贴现因子不完全信息下的合作

2022-5-7 03:09:00

折扣因子不完全信息下的合作*Cy Maor+和Eilon Solan2021年11月17日在重复博弈中，只有当玩家有足够的耐心时，才能在均衡中进行合作，合作的长期收益超过偏离的短期收益。如果玩家之间的折扣系数信息不完整，会发生什么？在本文中，我们研究了重复博弈，其中每个参与者对另一个参与者的折扣因子有不完全的信息，并询问在均衡中何时可以出现完全合作。我们提供了必要和充分的条件，允许在平衡状态下进行全面合作，这是由严峻的触发策略组成的，也是全面合作发生的世界各国的特点。然后我们问这些“合作事件”是否与completeinformation案例中的“合作事件”接近，即当另一方的折扣参与者的信息“几乎”完整时。1.介绍合作是人类行为中的一个重要主题。在重复的互动中，合作通常是通过威胁来实现的：如果一个玩家偏离了*索兰的工作得到了以色列科学基金会（Grant#212/09）的支持耶路撒冷希伯莱大学数学研究所，邮编：91904，Israe l.电子邮件：cy。maor@mail.huji.ac.il——特拉维夫大学数学科学学院，以色列特拉维夫69978。电子邮件：eilons@post.tau.ac.ilagreed根据计划，其他球员将惩罚他。三次惩罚的有效性取决于实施惩罚时偏离者所遭受的损失：如果损失很大，则威胁有效。只有当玩家对未来的回报有足够高的权重，也就是说，如果他们有足够的耐心，并且未来的回报能充分影响他们的整体效用，才能通过威胁来控制行为。

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2022-5-7 03:09:03

这意味着有时合作无法在平衡中产生：如果一个玩家应该合作，但没有耐心，他会倾向于偏离并获得短期利益。如果一个玩家认为其他玩家没有耐心，也会发生同样的情况；在这种情况下，玩家会认为该玩家不会合作，因此他也没有合作的理由。在本文中，我们研究了一个模型，其中两个参与者都不知道另一个参与者有多耐心；也就是说，玩家之间有关于彼此折扣因子的不完全信息。我们要问的是，完全合作是否以及何时能在平衡中产生，或者更确切地说，玩家的信念应该是什么，这样合作才能在平衡中产生。为了发展ourideas，我们考虑了重复的囚徒困境（见图1），这是一个用于研究合作相关问题的经典博弈。图1：囚犯的困境在这个游戏中，两个玩家都有两个动作，合作（C）和缺陷（D）。在一次性比赛中，动作D强烈地支配着动作C。如果玩家希望合作，他们可能希望在每个阶段玩（C，C），从而获得每个阶段的回报（3，3）。通过偏离D，玩家在偏离阶段获得1 a。如果球员因该偏差而遭受的总损失大于1，则该偏差将不可预测。一个玩家可以通过多种方式惩罚另一个偏离规则的玩家。一种方法是使用严酷的触发策略：如果另一个玩家偏离t台，玩D而不是C台，那么在所有未来阶段玩D来惩罚他。如果一名球员采用了严峻的t型索具策略，那么偏离者在偏离后的每个阶段至少损失2次。

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2022-5-7 03:09:07

特别是，只要偏差系数至少为，偏差就不可预测。惩罚越轨者的另一种方法是使用针锋相对的策略，在该策略中，每个阶段，玩家都会执行另一个玩家在前一阶段执行的动作。事实证明，只要偏离者的折扣系数至少为TAS，这种惩罚就能阻止偏离。当参与者的折扣因子是公共知识时，这些结构产生均衡。在这种情况下，每个玩家都知道另一个玩家会因为偏离而损失多少，因此他知道另一个玩家是否愿意合作。在本文中，我们研究了两个游戏者根据彼此的折扣因子具有不完全信息的再创博弈。我们的目标是研究在平衡状态下何时可能出现完全合作；也就是说，玩家的信念是什么，允许玩家在游戏中通力合作。为了说明这个问题分析的复杂性，假设参与者的折扣因子不是公共知识。策略文件是指在第一阶段，每个参与者都表示是否愿意合作，在随后的阶段，如果双方在第一阶段都表示愿意合作，参与者就会合作。如果折扣系数至少为a，则在第一阶段通过玩C来发出信号，否则玩D。这个结果可能不是一个均衡，因为如果一个玩家的折扣系数高于，但他很有可能注意到对手的折扣系数低于，那么该玩家有动机在第一阶段偏离并玩D。如前所述，惩罚严厉时更容易支持合作。

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2022-5-7 03:09:10

我们的目标是把重点放在玩家的信念上，这是平衡合作所需要的条件。因此，我们将考虑最严厉的惩罚，这是通过严厉的触发策略实现的；也就是说，如果一名球员偏离规则，他将在随后的所有阶段受到惩罚。因此，我们将每个玩家分为两种类型：一种是不合作型，总是有缺陷；另一种是合作型，遵循严酷的触发策略。正如我们通过一个例子（见例子5.4）所展示的，严峻的触发策略不一定是产生最广泛合作的策略，也就是在世界上最大的一组国家进行合作。我们选择关注g-rim触发策略，因为它简单，即使在复杂的信息结构下，也能让我们关注玩家的想法。根据严酷触发策略文件，如果玩家的折扣系数低于，那么他将不合作，属于非合作类型。如果玩家在比赛中很有可能让对手属于非合作类型，那么他也将属于非合作类型。如果对手将高概率分配给他属于非合作类型的事件，他也会拒绝合作。因此，只有当两个玩家的折扣系数至少为时，合作才能出现，每个玩家将另一个玩家的折扣系数至少为，每个玩家对另一玩家指定的事件具有足够高的概率，对其（玩家）的折扣因素至少具有足够高的概率，等等。换句话说，必须持有一份明确的要求清单，以便充分合作。毫不奇怪，支持非平衡所需的详细需求清单可以概括为两种情况。

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2022-5-7 03:09:13

因此，在均衡状态下，完全合作需要（a）每个参与者的折扣因子至少，（b）每个参与者分配一个足够高的可能性，其他参与者将进行合作。为了保证条件的有效性，我们需要增加第三个条件，（c）当一个玩家不合作时，另一个玩家不合作的概率非常高。有趣的是，（b）中的概率并不是常数，而是取决于玩家的折扣系数：折扣系数越高，如果无法实现合作，玩家的损失就越大。因此，打折率高的玩家会在打折率低的情况下不合作。为了对贴现因子上的不完全信息进行建模，我们使用了一个带有不完全信息的Harsany’s名称，其中自然状态是贴现因子对，以及贝叶斯均衡的概念。一对事件（K，K）是一对合作事件，如果每个参与者i在Ki上玩严酷触发策略，并且Ki的补上总是有缺陷的策略对是贝叶斯均衡。也就是说，当合作事件发生时，在平衡状态下完全合作是可能的。我们首先提供合作事件对的完整特征。然后，我们定义了一个新的f-信念概念，它是Monderer和Samet（19 89）p-信念概念的推广：当f是定义在世界状态集合上的实值函数时，如果playeri分配给a atω的条件概率至少为f（ω），则事件a是在世界状态ω下层i的NF-信念。

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mingdashike22

2022-5-7 03:09:16

这一概念与上文提到的合作条件（b）密切相关，因为为了进行合作，每一方都需要分配一个足够高的概率，即另一方存在，如果我们使用完美的贝叶斯均衡而不是贝叶斯均衡，结果不会改变。合作的可能性取决于他自己的贴现率，因此也取决于世界的状况；也就是说，玩家必须相信另一个玩家会为了某个函数而合作。利用迭代f-信念和公共f-信念的概念，我们提供了一个最大合作事件对的迭代构造。合作事件的特征可以推广到f或其他两人博弈。对于2×2博弈，结果基本相同，条件（a）-（c）进行了适当的调整。在大型游戏中，虽然（相当于）条件（a）-（c）仍然是合作事件的特征，但我们对最大的一对合作事件的构建不再有效。文献中研究的另一个解决方案概念是内部相关合理化能力（ICR），参见Dekel、Fudenberg、andMorris（2007）和Weinstein and Yildiz（2007）。就这一概念而言，结果具有相同的影响，但条件（c）不是agrim触发策略可实现的必要条件。在这种情况下，通过f-信念构造合作事件更简单，并且可以很容易地扩展到大于2×2的情形。一个自然的问题是，当贴现因子的信息几乎完全时，在完全信息的情况下，是否存在与合作事件接近的合作事件。

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2022-5-7 03:09:19

Monderer和Samet（1989）确保，当信息在某种意义上几乎完全时，世界上大多数国家都存在一种与完全信息平衡相吻合的平衡。然而，在这种几乎完全的信息平衡中，在他们的环境中总是有“未映射的区域”；也就是说，战略不明确的世界状态。我们问，在几乎完全的信息环境中，格里姆特里格战略是否存在一种均衡，这种均衡在世界上的每一个状态中都被定义，并且接近于完全信息均衡。事实证明，答案取决于对几乎完整信息的定义。我们将为这个概念提供两个自然定义；在一个类似于Mondrer和Samet（1989）的游戏中，对于囚徒困境和某类其他游戏，答案是肯定的，但通常是否定的，而在另一个游戏中，对于所有游戏，答案是肯定的。我们的分析表明，f信念的概念对研究不完全信息下的合作具有重要意义。显然，是否合作的决定取决于球员的整个信仰等级；我们的分析表明，这在很大程度上取决于玩家的确切折扣系数，而不仅仅是，比如说，取决于它是否高于或低于某个固定的阈值，就像在信息复杂的游戏中一样。

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2022-5-7 03:09:22

最后，我们的分析表明，对几乎完全信息的定义的细节极大地影响了作为参与者信念函数的最大一对合作事件的连续性，并且我们指出了一个可能的概念定义，以保证该函数的连续性。关于具有不同折扣因素的重复博弈，尤其是关于它们的不完整信息的文献非常少。Lehrer和Pauzner（1999）对具有不同贴现因子的重复博弈进行了最全面的分析，他们描述了两人博弈中的均衡收益，并表明重复博弈中的可行收益集通常比基础阶段博弈收益的凸壳更大。Lehrer和Ya r iv（1999）分析了两人零和重复遗传算法，关于支付矩阵的单边不完全信息，其中贴现因子是公共知识。最接近我们的分析是Blonsky和Probst（2008），他们处理的是一个两人博弈，关于折扣因素的信息不完整。他们的论文描述了一个与囚犯的困境有关的博弈中的有效均衡和支付的帕累托前沿，但在阶段博弈中有更多的策略，对应于不同的合作或信任水平。我们的论文在几个方面与Blonsky和Probst（2008）不同。首先，我们处理的是不同类别的游戏，其中不包括逐步建立信任的机制。其次，虽然Blonsky和Probst（2008）采用了一种简单的信息结构，并询问什么是有效的均衡，但我们采用了一种简单而自然的策略（严酷的触发），并检查了它何时会导致给定信息结构的均衡。

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大多数88

2022-5-7 03:09:25

在其他研究中，虽然Blonsky和Probst（2008）展示了在特定的游戏和信息结构中合作的均衡是怎样的，但我们研究了玩家的信念要求，这些信念保证了严酷触发策略中均衡的存在。沃森（Watson，1999200）和高桥（Chassang and Takahashi，2011）分析了一个关于支付矩阵的不完全信息的两人博弈中信任的建立，这与Blonsky和Probst（2008）以及Kajii和Morris（1997）和Chassang and Takahashi（2011）中的博弈有些相似，他们研究了重复遗传算法中平衡点对支付矩阵上少量不完整信息的稳健性。Chassang和Takahashi（2011）也特别处理了囚徒困境，并表明严峻的触发平衡并不是维持合作的最彻底的方式。论文的结构如下。在第二节中，我们介绍了折扣因子信息不完全的重复囚徒困境，以及合作事件的概念。在第3节中，我们描述了成对的合作事件。在第四节中，我们介绍了f-信念、公共f-信念和迭代f-信念的概念，并用这些概念描述了重复囚徒困境中最大的一对合作者。第5节提供了示例。

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kedemingshi

2022-5-7 03:09:28

在第6节中，我们给出了一些扩展和补充结果，包括关于另一方折扣因子的不完全信息的一般两人博弈，几乎完全信息的分析，以及f-信念概念的另一个可能应用，定义将两个不同的完全信息均衡“组合”为不完全信息均衡的充分条件，不一定是重复的博弈。2.模型考虑了贴现因子信息不完全的重复囚徒困境。也就是说，自然状态的集合是S=[0，1]；自然状态S=（λ，λ）∈ S分别表示两个参与者1和2 r的贴现因子Sλ和λ。任意的玩家将用i表示；当i是玩家时，j表示另一个玩家。我们考虑世界上的一组普遍（也就是说，不一定是有限的）状态Ohm, 配备了σ-代数∑。函数λ=（λ，λ）：Ohm → 表明与世界上每一种状态相适应的自然状态；因此，λi（ω）∈ [0，1）是参与人i在世界ω状态下的折扣因子r。每个参与人i的信念由函数Pi给出：Ohm → (Ohm). Wedenote by Pi（E |ω）玩家i归因于事件E的概率∈ ∑在世界ω的状态下，由Ei（·|ω）表示相应的期望算子。函数Pi是可测量的，因为∈ ∑，函数ω7→ Pi（E |ω）是可测量的。这个函数必须是一致的，因为每个玩家都知道自己的信念：对于每个ω，Pi（{ω′：Pi（ω）=Pi（ω′）}|ω）=1∈ Ohm. 我们假设每一个参与者都是相似的，尽管与我们在下面得到的结果稍弱一些，但在世界的每一种状态下都可以得到自己的贴现因子ω：π（{ω′：λi（ω′）=λi（ω）}|ω）=1f或每个ω∈ Ohm.

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kedemingshi

2022-5-7 03:09:31

三胞胎(Ohm, ∑（P，P））被称为置信空间。处于世界状态ω的玩家i的类型是世界上所有状态的集合，给定玩家的信息，这些状态与世界的真实状态无法区分；形式上，它是集合{ω′|Pi（ω′）=Pi（ω）}。为了允许一般的信息结构，我们假设一个参与者拥有的信息由一个子σ-alg ebra∑iof∑描述，并且λi和Piare∑i-可测量。因此，每个玩家都知道自己的折扣系数和信念。σ-代数∑II表示玩家i可以描述的事件。游戏如下：在游戏开始时，世界的状态ω∈ Ohm 当我意识到这一点时，每个玩家我都会学习他的类型，因此也会学习折扣因子λi（ω）。然后，玩家重复播放图1（参见第2页）中显示的囚犯的单曲。玩家i的行动过程是一个函数，它将玩家i的混合行动分配给重复囚徒困境中的每个特定行动历史。这是一种针对特定类型球员的策略。玩家i的两个简单的动作过程就是D的动作过程*i、在这部电影中，他总是扮演D，以及可怕的触发动作GT*i、他在第一阶段合作，在随后的每个阶段，只有在其他玩家在之前的所有阶段都合作的情况下，他才会合作。玩家i的策略是一个∑i-可测函数η，它为世界ω的每个状态分配一个作用过程ηi（ω）。在策略文件（ηi，ηj）下，参与者i的主观报酬取决于世界ω的状态，是γi（ηi，ηj |ω）=Ei（P∞t=1（λi（ω））t-1ui，t |ω），其中ui是玩家i在t阶段的报酬。

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kedemingshi

2022-5-7 03:09:35

请注意，主观支付在三个方面取决于ω：首先，玩家i的贴现因子取决于ω；第二，玩家我采取的行动取决于ω；第三，球员i对球员j的类型的信念，因此对球员j的路线的信念，当球员对自己和其他球员的折扣因素都有不完整的信息时。然而，在许多应用程序中，假设一个玩家知道自己的折扣系数是很自然的，这使我们能够集中精力研究不完整信息对另一个玩家折扣系数的影响。为了很好地定义策略的∑i-可测性，需要在行动过程空间上引入拓扑结构。在本文中，我们将只研究一种简单的策略，即条件gr im触发策略，定义如下（定义2.1），不会出现可测量性问题。作用的大小，也取决于ω。在完全信息的情况下，两个玩家都知道对方的演员。在这种情况下，当且仅当两个参与者的贴现因子至少为λi:=时，严酷的触发过程是一个均衡。因此，这些玩家将在世界上的一些国家进行合作，而在世界上的其他国家则永远不会进行合作。这种观察引导我们对条件严酷触发策略进行以下定义，在这种策略中，玩家在世界上的一些州玩一个触发过程，并且总是在世界上的其他州叛逃。定义2.1让我∈ {1,2}做一名球员，让基 Ohm 是∑i-可测集。

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2022-5-7 03:09:39

合作区域为i的条件严酷触发策略，用η表示*i（Ki）是η定义的策略*i（Ki，ω）=燃气轮机*iifω∈ 基德*iifω/∈ 基。如果一个玩家使用了有条件的严酷触发策略，那么他在第一阶段的行为将揭示他是遵循严酷触发的行为过程还是“从不合作”的行为过程。如果η*（K，K）：=（η）*（K），η*（K））是贝叶斯均衡，那么当ω∈ K∩ 球员们将在比赛中通力合作。定义2.2事件对（K，K）可以称为一对协同事件，如果η*（K，K）=（η）*（K），η*（K））是一种贝叶斯均衡，正如引言中所提到的，合作事件的意义在于，它们能够在整个游戏中实现合作，而无需交换信息。如下面的例子5.4所示，在一个短的信号周期后，即使没有非琐碎的合作事件，参与者也会从某个阶段开始合作。这对(, ) 是一对合作的事件，在其中的球员从来没有合作。此外，如果（K，K）是合作事件，且Ki=, thenKj=. 事实上，如果Ki= 然后玩家i从不合作，所以玩家j的主要策略是永远不合作。注意这里可能有两对非空但不相交的协同事件。事实上，给定一个包含一对非空合作事件（K，K）的信念空间，考虑一个包含原始信念空间的两个独立副本的辅助信念空间。（K，K）的两个副本是辅助信念空间中的两对不相交的合作事件。集合（K，K）越大，合作发生的概率越高。

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2022-5-7 03:09:42

如果有几对集合（K，K）η*（K，K）是aBayesian均衡，然后使用游戏前的沟通或中介，玩家可以通过最大量的合作事件对（K，K）达成贝叶斯均衡。我们的主要目标是描述合作事件，并提供计算最大合作事件对s（K，K）的算法。3合作事件的描述我们从描述完全信息（简单）基准案例中的合作事件开始，其中贴现因子是参与者的共同知识。然后我们将用不完全信息分析一般情况。当游戏具有完全信息时，在均衡状态下，每个玩家都知道另一个玩家将采取的行动：一个玩家合作的当且仅当其折扣因子至少为λi=且另一个玩家合作时。特别是，如果η*（K，K）是一个贝叶斯均衡，那么必然K=K：因此，在完全信息的情况下，我们得到了合作事件的以下特征。定理3.1当博弈具有完全信息时，（K，K）是一对合作事件当且仅当K=K 其中∧：=∩ 和∧i:={ω∈ Ohm: λi（ω）≥ λi}表示i∈ {1, 2}.当信息不完全时，合作事件的特征更为微妙，并由以下定理描述。定理3.2设Ki Ohm 对于每个i=1，2，都是∑i-可测量的事件。pair（K，K）是一对合作事件i f，且仅当每个i=1，2（a）Ki时 ∧i；（b） π（Kj |ω）≥ 每ω的fi（ω）∈ 基；和（c）π（Kj |ω）≤ 每ω的fi（ω）/∈ 基；式中，fi是由fi（ω）定义的∑i-可测函数：=1-λi（ω）2λi（ω）。条件（a）是一个个体理性条件：如果一个玩家自己的折扣系数不足以证明合作是合理的，他就不会合作。

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2022-5-7 03:09:45

条件（b）和（c）涵盖了确保合作所应持有的整个信念层次。条件（b）要求当一方应该合作时，他分配另一方合作的充分高概率；如果不是这样的话，玩家会发现在这个世界上不合作是有益的。合作的边界取决于玩家的折扣系数，因此它取决于世界的状态。事实上，如果参与者的折扣系数很高，他将愿意在第一阶段承担风险并进行合作，即使其他参与者也会合作的可能性很低，因为由于折扣系数较高，第一阶段可能的损失很小。条件（c）是条件（b）的同义词；它要求当一个玩家不应该合作时，他给另一个玩家合作的可能性很低；否则，玩家更愿意合作。注意，条件（c）对ω基本成立/∈ 在这种情况下∧i因为fi（ω）≥ 1.定理的证明见附录A。有趣的是，定理3.1是定理3的特例。2、当信息完整时，世界状态ω是否取决于玩家的共同知识，因此pi（Kj |ω）为0或1。如果K=K，则条件（b）中的概率为1，条件（c）中的概率为0。自从Ki ∧i，我们有fi（ω）≤ ω为1∈ 基。此外，对于每个ω，fi>0∈ Ohm. 在这种情况下，条件（b）和（c）保持不变。

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大多数88

2022-5-7 03:09:48

另一方面，如果K6=Kandω∈ 那么Pi（Kj |ω）=0，条件（b）不成立。因此，如定理3.1所述，我们推断（K，K）是合作事件的条件是K=K Λ∩ ∧.4信念算子在本节中，我们介绍了f-信念和公共f-信念的概念，它们是Monderer a and Samet（1989）引入的p-信念和公共p-信念概念的推广。这些概念将有助于合作活动的建设。本节中给出的定义和结果适用于具有任意数量参与者的一般信念空间（关于一般信念空间的正式定义，请参见定义10.1 inMaschler、Solan和Zamir（2013））。定义4.1让我成为一名球员，让fi：Ohm → R是∑i-可测函数，设a Ohm 成为一个事件，让ω∈ A.玩家i-fi相信世界状态ω下的事件A，如果π（A |ω）≥ fi（ω）。我们说，如果玩家1f-相信ω处的事件，玩家2f-相信ω处的事件，那么两个玩家f-都相信ω处的事件。函数f：Ohm → 如果fiis∑i，则称为*-可测∈ {1, 2}.定义4.2让f：Ohm → Rbe a*-可测函数，设a Ohm bean eve nt，让ω∈ A.事件A是世界状态下的共同f信念ω如果在ω每个玩家我相信A，每个玩家我相信两个玩家f相信A，每个玩家我相信两个玩家f相信A，每个玩家我相信两个玩家f相信两个玩家f都相信A，等等。如果有p∈ （0，1）使f≡ p和f≡ p、然后f-信念和普通f-信念分别简化为Monderer和Samet（1989）的p-信念和普通p-信念。

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2022-5-7 03:09:52

如果fi是每个i的常数函数∈ {1,2}，但与pmay不同，f-信念的概念简化为Morris和Kajii（1997）的p-信念的概念，其中p=（p，p）。定理3.2的条件（b）和（c）的等价公式使用了fi信念的概念，其中（fi）i=1,2是定理声明中定义的函数，如下所示：（b’）Kjis是fi对Ki的信念；和（c\'）Kcjis a（1- fi）-对Kci的信仰。因此，事件（K，K）是合作事件，如果（a）每个KI都是∧i（个体理性条件）的子集，（b\'）在玩家i应该合作的世界的每个状态，他fi相信其他玩家正在合作，并且（c\'）在玩家i不应该合作的世界的每个状态，他（1- fi）-认为另一方不会合作。定义4.3让我成为一名球员，让fi：Ohm → R是∑i-可测函数。玩家i的fi信念算子是算子Bfii:∑→ ∑这为每个事件分配了球员i fi在事件中相信的世界状态：Bfii（A）：={ω∈ Ohm | π（A |ω）≥ fi（ω）}。因为fi和Piare∑i-可测函数，集合Bfii（A）在每个事件A的∑iF中。设f：Ohm → Rbe是一个*可测量的函数。使用fi信念运算符，我们可以正式定义常见的f信念。定义0，f（C）：=C，（1）Dn+1，f（C）：=Bf（Dn，f（C））∩ 每n的Bf（Dn，f（C））≥ 0，（2）Df（C）：=\\n≥1Dn（C）。（3）事件C是ω的公共f-信念当且仅当ω∈ Df（C）。下面的建议列出了f-信念算子满足的几个理想性质，类似于Mondererand Samet（1989）中得出的结果。提议4.4让我∈ {1,2}和f：Ohm → Rbe*-可测量。以下陈述成立：1。如果A，C∈ ∑和A C、然后Bfii（A） Bfii（C）。如果∈ ∑那么Bfii（Bfii（A））=Bfii（A）。

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2022-5-7 03:09:55

如果（An）∞n=1是一个递减的事件序列，然后是Bfii（T∞n=1An=T∞n=1Bfii（An）。如果C∈ ∑i是∑i-可测事件，则bfii（C）=（C\\{ω∈ Ohm | fi（ω）>1}）∪ {ω ∈ Ohm | fi（ω）≤ 0}.5. 如果fi>0或{fi≤ 0} C、然后Bfii（A）∩ C=Bfii（A）∩ C）为了每一件事∈ ∑和每个∑i-可测事件C∈ Σ.证明：pa rts 1和3的证明类似于Monderer和Samet中命题2的证明（对于p-置信算子）。为了证明第4部分，观察pi（C |ω）=1代表每一个ω∈ C、对于每个ω，Pi（C |ω）=0/∈ C.第2部分来自第4部分，因为∈ ∑，Bfii（A）是一个∑i-可测事件，包含{ω∈ Ohm | fi（ω）≤ 0}. 为了证明第5部分，假设{fi≤ 0} 在这种情况下，Bfii（C）=C\\{fi>1}。假设ω∈ Bfii（A）∩ C）。从第1部分我们有ω∈ Bfii（A）与ω∈ Bfii（C） C.对于另一个方向，假设ω∈ Bfii（A）∩ C.然后π（A |ω）≥ fi（ω）和Pi（C |ω）=1，因此Pi（A∩ C |ω）≥ fi（ω）；也就是ω∈ Bfii（A）∩ C）。根据命题4.4，BFII是蒙德里尔和萨米特（1989）定义的信念算子。类似于Monderer和Samet（1989）中的命题3，我们得到了公共f-信念的以下特征。命题4.5当且仅当存在事件D时，事件C是世界ω状态下的公共f-beli ef∈ ∑使得（a）ω∈ D、（b）D Bfii（C）和（C）D Bfii（D）每i∈ {1,2}.4.1常见的f-信念和合作事件本着迭代p-信念的概念（见Morris，19 99），我们定义了成对事件的迭代f-信念的概念。正如我们将在下面看到的，这个概念也与共同f信念的概念有关。定义4.6每两个事件Ci∈ ∑，i=1,2，定义1，fi（Ci，Cj）：=Bfii（Cj）∩ Ci，Dn，fi（Ci，Cj）：=Bfii（Dn-1，fj（Cj，Ci））∩ Dn-1，fi（Ci，Cj），f或每n>1，Dfi（Ci，Cj）：=\\n≥1Dn，fi（Ci，Cj）。偶数t Dfi（C，C）被称为参与者i w.r.t的迭代f信念。

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2022-5-7 03:09:58

（C，C）。为了理解这个定义，假设ω是世界的真实状态，并且可以关心包含ω的两个事件。假设每个层我都被告知Ci。语句ω∈ Dfi（Ci，Cj）等价于：（a）玩家i-fi相信ω在玩家j的集合中，（b）玩家i-fi相信（b1）ω在玩家j的集合中，（b2）玩家j-fj相信ω在玩家i的集合中，等等。因为对于每个事件A，Bfi（A）是∑i-可测事件，如果ci是∑i-可测事件，那么事件Dfi（C，C），即层i w.r.t.（C，C）的迭代f-信念，对于每个（不一定∑i可测）事件Cj，也是∑i-可测的。作为下一个引理，Df（C，C）和Df（C，C）分别是Cand C的最大子集，因此定理3.2中的条件（b）成立。引理4.71。每一次我∈ {1,2}和eve ryω∈ Dfi（Ci，Cj）一个ha sPi（Dfj（Cj，Ci）|ω）≥ fi（ω）。Df（C，C）和Df（C，C）分别是Cand C（分别）的最大子集，因此该属性成立。2.如果Ciis∑i-可测且{fi≤ 0} Cifor i=1，2，那么Dn，fi（Ci，Cj）和Dfi（Ci，Cj）取决于cian和Cj的交点上的l y。在这种情况下，Df（C，C）∩ Df（C，C）=Df（C∩ C），包含世界上所有状态ω的事件∩ Cis是ω处的一个常见f-信念，dfi（Ci，Cj）=Bfii（Df（C∩ C），这个元素包含了世界上所有的状态ω，其中游戏者i f-be l拥有这个C∩ Cis是一种常见的f信念。引理4.7（2）关系到公共f-信念和迭代f-信念的概念：当每ω6的fi（ω）>0时∈ C和每个i=1，2，事件f（C∩ C）是迭代f-信念事件Df（C，C）和Df（C，C）的交集。莫里斯（1999）中的例子3表明，我们在这里定义的迭代信念的概念与莫里斯（1999）中定义的同名概念不同。如果f>0且f>0，则集合{fi≤ 0}为空，当Ciis∑i-可测时，第2部分保持不变。

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2022-5-7 03:10:01

当f=f时，f>0和f>0的条件特别适用于p-b Elifs的情况≡ p换一些p∈ （0，1）.证明：为了避免繁琐的符号，我们分别编写dfi和Dn，fi而不是dfi（Ci，Cj）和Dn，fi（Ci，Cj）。我们首先认为Dfi Bfii（Dfj）。事实上，根据命题4.4（3）和自（Dn，fj）∞n=1是一个递减的事件序列，Bfii（Dfj）=Bfii\\n≥1Dn，fj=\\n≥1Bfii（Dn，fj）\\N≥1.Bfii（Dn，fj）∩ Dn，fi==\\N≥1Dn+1，fi=Dfi。对于极大值性质，假设K 坎德K CsatisfyPi（Kj |ω）≥ 每ω的fi（ω）∈ K和每个i=1，2。每一次我∈ {1，2}是否有Ki Bfii（Kj），这意味着D1，fi（Ki，Kj）=Ki。然后对n进行归纳，Dn，fi（Ki，Kj）=Ki，因此Dfi（Ki，Kj）=它们在以下（强）意义上是最大的：如果K 坎德K CsatisfyPi（Kj |ω）≥ 对于每个i=1，2和每个ω∈ Ki，然后Ki Dfi（Ci，Cj）。基。因为基 Ciit根据命题4.4（1）得出Dfi（Ki，Kj）Dfi（Ci，Cj），第一项索赔如下。表示C:=C∩ C.因为{fi≤ 0} 根据命题4.4（5），一个有D1，fi（Ci，Cj）=Bfii（C）。这证明了第二项权利要求的第一部分。因为D1，fi（Ci，Cj）=Bfii（C），所以可以根据n的定义进行验证≥ 1一个有Dn，f（C）=Dn，f（C，C）∩ Dn，f（C，C），因此Df（C）=Df（C，C）∩ Df（C，C）。“球员i-fi相信C∩ Cis一个常见的f信念“是事件Bfii（Df（C））=Bfii（Df（C，C）∩ Df（C，C））（4）=Bfii（Dj（Cj，Ci））∩ Dfi（Ci，Cj）=Dfi（Ci，Cj）。（5）由于Dfi（C，C）是∑i-可测的，第二个等式来自命题4.4（5），最后一个等式来自这个引理的第一部分。作为定理3.2和引理4.7的结论，我们得到以下结果。定理4.8如果Ci ∧如果i=1,2，那么∩ C），Bf（Df（C∩C））是一对合作事件当且仅当Pi（Bfjj（Df（C∩ C））|ω）≤ 每ω的fi（ω）∈ ∧i\\Bfii（Df（C∩ C）），对于i=1，2。

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2022-5-7 03:10:04

具体而言，（Bf（Df（∧）），Bf（Df（∧）））是一对合作事件，其中∧=∧∩Λ.证明：第一个主张来自定理3.2和引理4.7，因为每ω6，efi（ω）>1∈ 相反，假设存在第二种说法*∈∧\\Bf（Df（λ））使得P（Bf（Df（λ）|ω*)) > f（ω）*). 表示K:=Bf（Df（λ）∪ {ω*}) K:=Bf（Df（λ））。根据假设，Pi（Kj |ω）≥ 每ω的fi（ω）∈ K和我∈ {1,2}，与引理4.7（1）相矛盾。最后一个案例定义了最大的合作事件：每一个玩家我在游戏中扮演可怕的触发动作，只要他相信λ，λ是一种常见的f-信念≥（否则，总是缺陷）是一种平衡。请注意，尽管不可能有一对比（Bf（Df（λ））、Bf（Df（λ））更大的合作事件，但可能有更小的非平凡合作事件对（参见下面的示例5.1）。备注4.9如果我们考虑中间相关合理化性（ICR）的解概念，而不是贝叶斯均衡，我们得到的结果略有不同。首先，行动方针是D*无论信息结构如何，对玩家i来说都是合理的，这使得定理3.2中的条件（c）变得多余。其次，使用与定理3.2和4.8中的证明类似的参数，可以证明GT*如果ω，则i是合理的∈ Bfii（Df（C∩ C））对于一些Ci 因此，策略η*i（Bfii）（Df（C∩ C））对于每种Ci选择都是合理的 ∧i.在考虑大型游戏时，这种差异更为显著（参见第6.1节）。5示例在本节中，我们给出了几个示例，说明合作事件的性质。构建示例，其中只有一对合作事件是平凡的一对(, ) 这并不困难。

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mingdashike22

2022-5-7 03:10:07

例如，如果有一个玩家，只要他的贴现因子高于λi=，一个SSIGN就很有可能发生玩家j的贴现因子较低的事件，那么该玩家将永远不会合作，并且不会有非平凡的合作事件对。同样的现象也会发生，如果这样的属性在更高的信念水平上，例如，有一个玩家i认为玩家j的信念满足，当玩家j的贴现因子高于λj时，玩家j将概率分配给玩家i的贴现因子较低的事件。我们用两个例子来表示t，其中Bfii（Df（λ））=i∈ {1，2}，所以（λ，λ）是一对合作事件；在第一个例子中，有额外的非平凡合作事件对，而在第二个例子中（λ，λ）是唯一的非平凡合作事件对。在本节的所有示例中，Ohm [0,1），我们求出ω的坐标∈ Ohm a s球员的折扣系数，即λ（ω）=（λ（ω），λ（ω））=ω。在所有的例子中，每个玩家对另一个玩家的折扣因素的信念只取决于他自己的折扣因素。例5.1Ohm = {,,}. 玩家的信念来源于一个共同的先验知识，这是一个均匀分布的先验知识Ohm.我们首先表明，对于每个i∈ {1，2}，根据定理4.8，（{，}，{，}）是一对合作事件。然后我们认为（{}，{}）也是一对合作事件。请注意，菲=, 菲=, 菲=.因为λ=λ=，所以∧={，}×{，，}和∧={，，}×{，}。因此，P（λ|ω）=对于每个ω。因为f（）<andf（）<我们得到D1，f（λ，λ）=∧。类似地，D1，f（λ，λ）=∧。由此得出Bf（Df（λ））=Df（λ，λ）=∧，因此对于每个i∈ {1,2}，球员i w.r.t.的盈利f信念。

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2022-5-7 03:10:10

（λ，λ）是∧i。要知道（{}，{}）是一组合作事件，请注意,,×| ω= P×,,| ω=,对于世界上的每一个状态ω∈ Ohm 每个球员我∈ {1,2}和定理3.2。事实上，同样的论点也暗示（{，}，{，}）是一对合作事件，因为π（{，}|ω）=对于世界ω的每个状态∈ Ohm 每个球员我∈ {1, 2}.例5.2Ohm 如例5.1所示。图2给出了球员的信念。λj=λj=λj=λi=λi=λi=0 1图2：在例5.2中给出了球员i的折扣系数的信念。每个球员都认为对方球员的折扣因素和他自己的一样重要。我们可以验证Bfii（Df（λ））=i∈ {1，2}，所以（{，}，{，}）是一组合作事件。让Cibe如例5.1所示。因为,,×|= P×,,|=>,为了避免繁琐的表示法，在示例中，当意义明确时，我们写{}而不是{}×{，，}或{，，}×{等等。我们也写f（）和f（），而不是f（，y））和f（（y，）来表示y∈ Ohm.从定理3.2可知（{}，{}）i不是一对合作事件。我们可以验证，在这个例子中，唯一的非n-平凡的cooperationevents对是（{，}，{，}）。在下面的例子中，Bfii（Df（λ））是∧ifor i的严格非空子集∈ { 1, 2}.例5.3Ohm 如例5.1所示。图3给出了玩家的信念：当且仅当另一个玩家的贴现因子较低时，每个玩家都认为自己的贴现因子较高。λi0 10 1 01 0 0图3：例5.3中给定贴现因子的玩家i的信念。我们可以验证Bfii（Df（λ））={}，并且（{}，{}）是合作事件的唯一平凡对。下一个例子显示，即使没有合作事件，也可能存在均衡，在这种均衡中，参与者以正概率最终合作。

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2022-5-7 03:10:13

这种合作是通过让玩家在游戏的第一阶段向另一方传递信息来实现的。例5.4Ohm = {(,), (,)}; 也就是说，玩家1的折扣因子较高，而玩家2的折扣因子可能较高或较低。有了概率p<=f（），世界的状态是（，）。我们首先认为Bfii（Df（λ））= 因为我∈ {1，2}，因此存在非平凡的合作事件对。实际上，∧=Ohm 和∧={（，）}，因此∧：=∩ Λ= {(,)}. 现在，D1，f=Bf（λ）=Bf（{（，）}），由于p<f（）<f（），我们有D1，f（λ）=. 因此，Bf（Df（λ））=,因此Bf（Df（λ））=.我们认为以下策略文件σ=（σ，σ）是一种贝叶斯平衡。玩家1：在第一阶段玩D。从D场的第二阶段开始*如果玩家2在第一阶段玩D，玩GT*如果玩家2在第一阶段玩C。玩家2：如果世界的状态是（，），则按行动路线D进行*. 如果世界的状态是（，），在第一阶段玩C；从第二阶段开始，游戏的过程是GT*, 从第二阶段的动作C开始，不考虑玩家1在第一阶段的动作。请注意，在该策略文件中，玩家2使用第一阶段向玩家1发送世界状态信号，从第二阶段开始，玩家可以在所有阶段中缺陷或合作。我们现在验证这个策略是一个贝叶斯均衡。因为从第二阶段开始，玩家遵循一种平衡，任何可能的偏差都会在第一阶段取消。玩家1不能在第一阶段偏离，因为在第一阶段，他在一次性游戏中占据主导地位，而他在该阶段的行为不会影响游戏的演变。我们现在认为，玩家2不能通过在第一阶段偏离来实现。首先假设世界的状态是（，）。

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2022-5-7 03:10:16

参与者2在σ下的支付为×1-= 3，如果他在第一阶段偏离了方向，玩起了游戏，他的报酬将是1-= 2.假设现在世界的状态是（，）。参与者2在σ下的报酬为1-= 2，如果他在第一阶段偏离，玩C，他将在第二阶段获得4，因此他的支付范围为×4+（）×1-=< 2.我们的最后一个例子涉及合作活动的连续性，因为参与者的信念不同。它表明，即使每个玩家都知道另一个玩家的折扣因子，也不需要有接近（λ，λ）的合作事件。我们将在第6.2节中进一步讨论这个问题。例5.5Ohm = （0，1）配备有Borelσ-代数。每个玩家都认为另一个玩家的折扣系数在其自身的>0范围内：p l层i认为λjis均匀分布在区间（λi（ω）-，λi（ω）+）∩ (0, 1). 有∧=[，1）×（0，1）和∧=（0，1）×[，1）。我们将证明Bf（Df（λ））=[，1）×（0，1），前提是非常小，这将表明∧和Bfii（Df（λ））在Hausdorff度量中不接近。让δ>0。因为fi是一个连续的单子函数，并且因为fi（）=，所以存在δ′>0，使得fi(- δ′) =+ δ.因此，世界的任何状态ω使得λi（ω）<min{+2δ，-δ′}不在D1，fi（i，j）中。实际上，对于世界ω的这种状态，一个hasPi（λj |ω）=Pi（{λj）≥} | ω） <+δ=fi(- δ′）<fi（ω）。因此，对于某些x，D1，f（λ，λ）=[x，1）×（0，1）≥ 最小{+2δ，- δ′}; 同样的结果对玩家2也适用。同样地，世界上的任何状态ω，比如λi（ω）<min{x+2δ，- δ′}不在D2，fi（λi，λj）中，对于x，D2，f（λ，λ）=[x，1）×（0，1）中≥ 最小{x+2δ，- δ′}. 我们继续归纳，得出世界上的任何状态ω，λi（ω）<- δ′不是inDfi（i，j）。对于每一个δ>0，这都是正确的。因为δ′变为0，δ变为0，Df（λ，λ） [, 1) × (0, 1).

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mingdashike22

2022-5-7 03:10:19

一个类似的不等式适用于玩家2。包含Df（λ，λ） [，1）×（0，1）遵循引理4.7（1），因为[，1）×（0，1）和d（0，1）×[，1）满足定理M3.2的不等式（b）。从定理4.8我们推断（[，1），[，1]）是合作事件的一个例子。证明la s t点的另一种方法是使用定理3.2Ohm = (0, 1)∩{（x，y）：|x-y |<}，这验证了世界的真实状态是在玩家信仰的支持下。此外，如果对于世界ω的每个状态，玩家i相信λjis以任何非原子对称的方式分布在λi（ω）周围，那么结果仍然成立。类似的例子也可以用有限的状态空间来构造。6概括和附加结果6。1一般两人重复博弈给出了重复囚徒困境的主要结果。在这一节中，我们提供了折扣因子信息不完全的一般重复博弈的模拟结果。我们将首先解释如何使定理3.2适应这种设置。该理论的条件（b）和（c）将发生变化，因为在一般游戏中，玩家比在囚徒困境中有更多的偏离方式。正如我们将在下面看到的，在一般情况下，即使事件Df（λ∩ ∧）不是空的，可能没有琐碎的合作事件。这是因为在大于2×2的博弈中，条件（b）和（c）指的不是相同的函数f，而是不同的函数f和g，因此Df（λ∩ ∧不自动填充条件（c）。然而，根据备注4.9的精神，如果我们将ICR视为一个解决方案概念，函数g将变得与η无关*i（Bfii）（Df（C∩C））仍然是每一种CI选择的合理策略 ∧i，尤其是对于Ci=λi。

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2022-5-7 03:10:22

因此，与贝叶斯平衡不同，在考虑ICR时，大型博弈的结果基本上保持不变。考虑一个两人重复博弈G，其中每个层i的动作集∈ {1，2}是一个有限集Ai，他的效用函数是ui:a×a→ R.将每个UIC多线性扩展到混合动作。在第2节的模型中，每个参与者都有关于另一个参与者的计算公式的不完全信息。设σ=（σ，σ）为单发博弈混合动作中的纳什均衡：=（{1，2}，a，a，u，u），设τ=（τ，τ）为满足以下两个条件的两个纯动作，对于每一个i∈ {1,2}：oui（τ，τ）>ui（σ，σ），和oτi不是针对σj的最佳反应。作用σ和σ是囚犯记忆中作用D的类似物，而作用τ和τ是作用C的类似物。用σ表示*这是玩家i的行动过程，他总是在其中玩σi，用GT表示*这是玩家i在第一阶段玩τiI的行动过程，在随后的每个阶段他都玩τiI，如果玩家j在之前的所有阶段玩τjin，则玩σiO。条件严酷触发策略的定义类似于定义2.1，行动过程σ*I替换行动D的“始终存在缺陷”过程*i:定义6.1让Ki Ohm 成为∑i-可测量的事件。玩家i与区域n Ki合作的条件格里姆特里格策略是策略η*i（Ki）定义为：η*（Ki |ω）=燃气轮机*i（ω）ω∈ Ki，σ*i（ω）ω6∈ 基。（6）合作活动的定义与定义2.2类似。在完全信息的情况下，存在阈值λ，λ，当且仅当λi（ω）≥ λifor everyω∈ Ohm, 式中λi:=minλi | ui（τ）1- λi-ui（σ′i，τj）+ui（σ）λi1- λi≥ 0σ′i6=τi.表示∧i={ω∈ Ohm | λi（ω）≥ λi}。

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2022-5-7 03:10:25

然后在完全信息的情况下，定理3.1成立：（K，K）当且仅当K=K时的再合作事件其中∧：=∩ Λ.一般设置中定理3.2的模拟如下。定理6.2设Ki Ohm 对于每个i=1，2，都是∑i-可测量的事件。Thepair（K，K）是一对合作事件，当且仅当每个i=1，2，（a）Ki ∧i，（b）Pi（Kj |ω）≥ 每ω的fi（ω）∈ Ki和（c）Pi（Kj |ω）≤ gi（ω）表示e非常ω/∈ Ki，对于∑i-可测函数fi（ω）：=maxσ′i∈Fiui（σ′i，σj）-ui（τi，σj）ui（τ）1-λi（ω）-（ui（σ′i，τj）+ui（σ）λi（ω）1-λi（ω））+（ui（σ′i，σj）-ui（τi，σj）），（7）和gi（ω）：=min{gi，gi（ω），gi（ω）}，其中σ′是参与者i的动作，Fi={σ′i∈ Ai | ui（τi，σj）<ui（σ′i，σj）}。函数s gi、gi（ω）和gi（ω）反映了几种类型的偏差，定义为gi:=minσ′i∈Hiui（σ）- ui（σ′i，σj）（ui（σ）- ui（σ′i，σj））+（ui（σ′i，τj）- ui（σi，τj）），其中Hi:={σ′i∈ Ai\\{σi，τi}ui（σi，τj）<ui（σ′i，τj）}，gi（ω）：=ui（σ）- ui（τi，σj）（ui（σ）- ui（τi，σj））+ui（τ）1-λi（ω）- （ui（σi，τj）+ui（σ）λi（ω）1-λi（ω））每当ui（σi，τj）+ui（σ）λi（ω）1-λi（ω）<ui（τ）1-λi（ω）, 否则gi（ω）：=1，gi（ω）：=minσ′i∈Hi（ω）ui（σ）-ui（τi，σj）（ui（σ）-ui（τi，σj））+（ui（τ）-ui（σi，τj）+（ui（σ′i，τj）-ui（σ））（λi（ω）），其中hi（ω）：={σ′i∈ Ai\\{τi}|ui（τ）- ui（σi，τj）+（ui（σ′i，τj）- ui（σ））λi（ω）<0}。按照惯例，空集上的上确界为1，空集上的上确界为0。值得注意的是，定理3.2和定理6之间唯一的区别。2处于状态（c）：在一般情况下，球员i（1）- gi）-相信事件kjd不会在每个ω6都成立∈ Ki，而不是（1）- fi）-认为本次活动无法举行。

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