列维不确定性下的不可逆投资

2022-5-7 03:24:12

L’evy不确定性下的不可逆投资：最优边界方程*乔治·法拉利+帕沃·萨尔米宁2018年9月18日摘要。我们推导了一个新的关于指数L′evy不确定性下广义可逆投资问题的最优投资边界方程。该问题被设置为一个有限时间范围的二维退化奇异随机控制问题。与最近在不同环境中获得的结果一致，我们证明了最优边界与适当的Bank El Karoui表示问题的唯一可选解密切相关。这种关系和Wiener-Hopf分解使我们能够导出最优投资边界的积分方程。如果潜在的L’evy过程以正概率到达R w中的任何点，我们表明，投资边界的积分方程由另一个更容易处理的方程的唯一解唯一满足。我们证明了最优投资边界的连续性。本文最后给出了（i）C ob b Douglas型和（ii）CES型函数的明确结果。在第一种情况下，函数是可分离的，在第二种情况下，函数是不可分离的。关键词：自由边界，不可逆投资，奇异随机控制，最优停止，L’evy过程，银行和El-Karoui表示定理，基本容量。MSC2010子项目分类：91B70、93E20、60G40、60G51。JEL分类：C02、E22、D92、G31。1导言不确定性下的投资问题在过去几年中受到了越来越多的关注，包括经济文献和数学文献（例如，参见[20]以获得更广泛的回顾）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:15

有几篇经济学论文讨论了当运营利润函数依赖于反映变化的外生随机冲击过程时，企业利润最大化的问题，例如技术上可行的产出、需求和宏观经济条件等（参见[1]、[8]、[10]和[34]），并将不可逆的投资决策及其时机与实际情况联系起来*第一作者感谢德国研究基金会（DFG）通过RI1128-4-1赠款提供的资金支持。第二作者的研究部分得到了芬兰Svenska kulturfondenvia Stiftelsernas教授的资助。+德国比勒菲尔德大学数学经济学中心；乔治。ferrari@uni-比勒菲尔德。德阿博·阿卡德米大学，自然科学/数学和统计系，芬兰芬兰人安利克斯加坦3B，FIN-20500阿博，芬兰；phsalmin@abo.fiIrreversibleLevy不确定性2期权下的投资（参见[27]和[34]等）。通常在这些模型中，函数是可分离的（如Cobb-Douglas），经济冲击过程是几何布朗运动。在数学经济学文献中，不确定条件下的连续时间不可逆投资问题通常被建模为具有单调控制的凹（或凸）随机控制问题（参见[14]、[22]、[30]、[33]和[36]）。事实上，由于不允许撤资的经济约束，不确定性下的不可逆投资问题可能被视为所谓的“单调跟随者”问题；也就是说，一个投资策略由非减量随机过程给出的问题，R+上的相关随机Borel测度相对于Lebesgue测度可能是奇异的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 03:24:18

在这种情况下，不确定条件下的不可逆投资与经济文献中发现的实物期权（参见[27]和[34]）之间的联系可以被视为具有单调控制的洞穴（或凸）随机控制问题与最优停止中的某些问题之间的众所周知的联系。这种联系在[21]、[23]和[24]中得到了严格的证明。当优化下的随机过程X是马尔可夫过程，例如微分过程或L’evy过程时，最优控制策略通常包括通过一条曲线将奇异随机控制问题的状态空间分成两个区域，称为最优投资边界或FREE边界。这些区域通常被称为“行动”区域和“不行动”区域，因为在这些区域中，控制或施加作用是最佳的。类似地，在最优停止问题中，一个有“继续”和“停止”区域，在这两个区域中，分别让X的演化继续和停止是最优的。凹（或凸）奇异随机控制问题的主要特征是，奇异随机控制问题的作用域与适当关联的最优停止问题的停止域重合，最优策略是将受控过程保持在不活动（连续）区域内，且控制最小。很明显，通过对其自由边界的描述，研究与奇异s-to-Castic控制问题相关的最优停止问题，分离停止和继续区域，可以完全理解最优控制，即企业的最优投资政策。在本文中，我们基本上考虑了与[22]中相同的问题，但现在经济冲击由指数L’evy过程建模，而不是规则的线性扩散。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:21

在市场数据的时间序列中常见的概率分布中，列维过程可能表现出严重的尾部和偏斜。我们通过[4]、[7]、[36]等文献中的随机模糊条件方法，并依靠Bank El Karoui表示定理（参见[6]、定理3）的适当应用，解决了ir可逆投资问题。如[22]中所述，我们证明了Bank El-Karoui表示问题的唯一可选解与一维、有限时间范围、参数相关的临时停止问题的自由边界密切相关，该问题与原始奇异控制问题自然相关。这种关系和L’evy过程的Wiener-Hopf分解使我们能够导出自由边界的积分方程。如果潜在的L’evy过程h在R中的任意点具有正概率（作为α稳定的L’evy过程，具有α∈ （1，2）或在金融经济学中起重要作用的跳跃微分过程）然后证明自由边界是另一个更容易处理和方便的方程的唯一解。此外，利用该方程，我们还证明了自由界元在我们的一般L’evy过程框架中是连续的。据我们所知，这个结果第一次出现在她的脸上。最后，我们找到了最优边界的显式形式，即使在不可分离的情况下，在L’evy不确定性3操作利润函数下的CES（恒定替代弹性）不可逆投资（见下文第4.2节），从而得出了一个相当复杂的随机不可逆投资问题的最优投资政策的完整特征。[13]和[26]最近也讨论了确定不确定性下投资问题的最佳投资边界的问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:24

然而，其中的设置比我们的更简单，因为[13]中只考虑了可分离的运行性能，而[26]中只讨论了一维模型。在这里，我们允许任何满足下面假设2.1的凹形运行，我们的不可逆投资问题被设置为一个二维退化奇异随机控制问题。此外，我们的方程遵循strongMarkov性质和Wiener-Hopf分解，不是通过写下任何积分微分自由边界问题（如[26]中所述）或在边界本身施加相关最优停止问题的值函数的任何正则条件而获得的。从这个意义上说，我们的方法似乎绕过了与Levy环境中光滑条件的有效性相关的困难（参见[2]、[12]和[31]）。论文的结构如下。在第2.1节中，我们建立了不可逆投资问题，然后在第2.2节中解决。在第2.3节中，我们得到了基于基本容量过程的最优投资边界的特征。第3节讨论了描述最优投资边界的方程。最后，在第4.2节“最优投资问题”中给出了一些具体计算的例子。1[22]中的设置和基本假设考虑了生产单程od的企业的最优不可逆投资问题。然而，考虑到市场在经验上经常表现出显著的偏度和峰度，我们通过指数随机过程eX，w这里X={Xt，t对经济的不确定状态（例如，商品的需求，或宏观经济条件，或生产商品的价格）进行建模≥ 0}是定义在完全过滤概率空间上的实值L′evy过程（而不是复合泊松过程或子目标）(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-7 03:24:28

对于任何x∈ R、我们让Px（·）：=P（·| X=X）并导出相应的期望算子。在下文中，我们将简单地写出P=P和E=E。L’evy过程是一个具有平稳和独立增量的随机过程，具有。s、 c`adl`ag路径（右连续，左限），并在时间零点从零开始。EachL\'evy过程完全由其L\'evy三重态（γ，σ，π）表征，其中γ，σ∈ R和∏是所谓的L’evy度量，集中在R\\{0}和满意度Zr（1）上∧ x） π（dx）<∞.此外，每个L’evy过程X可以表示为xt=γt+σBt+X（1）t+X（2）t，（2.1）其中B是标准布朗运动，X（1）是零均值纯jum p鞅，X（2）是跳跃至少为1的复合泊松过程，（2.1）中的所有分量都是L’evy不确定性下的不可逆投资。作为平稳增量和独立增量的等式，它也可以是s howntate[eiθXt]=e-tψ（θ），（2.2）对于所有t≥ 0和θ∈ R、 Wher eψ（θ）：=- loge[eiθX]=iγθ+σθ+ZR1.- eiθx+iθx1{|x |<1}π（dx）是X的L′evy特征指数。众所周知的L′evy过程有布朗运动、泊松过程、跳跃扩散过程和方差伽马过程。我们参考[9]或[25]了解有关L’evy过程的详细说明。假设该公司的生产能力根据y，νt:=y+νt，Cy，ν：=y发展≥ 0，（2.3）其中，ν是一个（不可逆的）投资计划，即一个非减损的、左连续的（Ft）自适应过程，使得ν=0 P-a.s。企业的瞬时利润由运营利润函数π：R+×R+7描述→ R+，取决于经济状况和生产能力。本文认为以下假设是有效的：假设2.1.1。映射（z，c）7→ π（z，c）是连续的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:31

此外，C7→ π（z，c）是严格递增和严格凹的，具有连续和严格递减的导数πc（z，c）：=R+×（0）上的cπ（z，c），∞) 令人满意的limc→0πc（z，c）=∞, 极限→∞πc（z，c）=κ，对于某些0≤ κ < ∞.2.过程（ω，t）7→ πcex+Xt（ω），y是P（dω） E-任何y>0的rtdt可积。这里r是一个满足假设2.2的正贴现因子。r>κ。在下一节中，需要假设2.2来推导最优控制策略（参见下面的Proposition 2.5）。此外，我们将在备注2.7中看到，假设2.2需要有一个非空的“无投资区域”。备注2.3。通过Cobb-Douglas和对数运算函数，假设2.1.1满足κ=0。另一方面，对于形式为π（z，c）=（αzγ+（1- α） cγ）γ，对于某些α∈ （0,1）和γ∈ （0，1）（这将减少到Cobb-Douglas操作性能，π（z，c）=zαc1-α、当γ=0时，有κ=（1）- α)γ. 还值得注意的是，γ<0的CES运行性能不符合假设2.1.1，因为在这种情况下，limc→0πc（z，c）=（1）- α)1/γ.L\'evy不确定性下的不可逆投资5对于任何投资计划，未来总净利润的预期现值定义为：y（ν）：=EZ∞E-rtπ（ex+Xt，Cy，νt）dt-Z∞E-rtdνt. （2.4）从现在起，如果投资计划的现值是确定的，我们将称其为可接受的投资计划；i、 e.ifEZ∞E-rtdνt< ∞. （2.5）我方将用SOT表示所有可接受的投资计划。由于（2.5）和π的正性，它认为Jx，y（ν）>-∞ 不管怎样∈ 所以公司经理的目标是挑选一个合适的人选*这样v（x，y）：=Jx，y（ν）*) = supν∈SoJx，y（ν）<∞, （x，y）∈ R×R+。（2.6）由于π（z，·）是严格凹的，soi是凸的，而Cy，ν是ν中的一个函数，所以我们得到，在sox上，Jx，y（·）也是严格凹的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:34

因此，如果一个最优解*to（2.6）确实存在，它是独一无二的。我们将在下一节提供最优控制的形式。我们将在本节中解决最优投资问题。[36]中对一个与我们（2.6）类似的非常普遍的随机可逆投资问题进行了深入研究，其中假设冲击过程是一个一般的渐进测量过程，或最近在[22]中，在一个不同的环境中。因此，通过简单地修改[22]或[36]中的参数（另见[7]和[38]），可以获得以下一些结果。我们将陈述它们的完整性，并提供一篇完整的论文，但我们将仅简要介绍它们的证据，并参考文献了解细节。我们用所有Ft停止时间τ的集合表示∈ [0, ∞] 然后放e-rτ（ω）=0如果τ（ω）=∞.根据[22]、等式（11）和定理3.2，我们对最优控制ν进行了如下表征*.提议2.4。在假设2.1下，一个控制ν*∈ 所以Jx，y（ν）*) < ∞ 问题（2.6）的唯一最优投资策略是当且仅当满足以下最优条件时EZ∞τe-rsπc（ex+Xs，Cy，ν）*s） dsFτ- E-rτ≤ 0，a.s。τ ∈ T，EZ∞EZ∞te-rsπc（ex+Xs，Cy，ν）*s） ds英尺- E-rtdν*T= 0，（2.7）成立。一阶条件（2.7）可视为经典优化理论中库恩-塔克条件的随机、有限维推广。第一种情况（2.7）中不等式的左侧称为超梯度过程（参见[22]，等式（11）和注释3.1）。它被解释为在时间τ时，由于额外的投资单位而产生的6个边际收益的情况下，未来总净不可逆投资的预期现值∈ T

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:36

（2.7）背后的直觉是，当超梯度在某个停止时间为正时，会有少量额外投资。另一方面，当超梯度为负时，不应进行投资，因为类似地减少此类投资将是有益的。如[22]第3节或[36]定理3.2中所述，下一个命题将最优控制连接起来*关于合适的班克尔·卡鲁伊表示问题的解决方案，请参见[6]、定理1、定理3和与（2.7）相关的备注2.1。提议2.5。假设2.1和2.2成立。然后方程Z∞τe-rsπcex+Xs，supτ≤u<sludsFτ= E-rτ，τ∈ T，（2.8）有一个唯一的（直到不可区分的）严格正可选解，具有右上角的连续路径。让我*表示该解决方案并定义ν*t:=（sup0）≤s<tl*s- y）∨ 0，t>0，ν*:= 0.（2.9）如果ν*是可容许的，因此Jx，y（ν）*) < ∞ 然后是问题（2.6）的唯一最优不可逆投资计划。证据我们只粗略地描述了证明的两个主要步骤，并参考了[22]和[36]f。第一步。这里的目标是证明（2.8）允许一个唯一的（直到不可区分的）严格正可选解*具有右上角的连续路径。为此，对于κasin假设2.1，应用Bank El-Karoui表示定理（参见[6]，定理3和andRemark 2.1），其中^T=+∞, u（ω，dt）：=e-rtdt（2.10）和f（ω，t，l）：=πcex+Xt（ω），-L, 对于l<0，-l+κ，代表l≥ 0，（2.11）表示决定论过程{e-rt，t≥ 0}，然后使用与[22]中命题3.4相同的参数。第二步。按照[36]中定理3.2的证明进行，很容易看出*of（2.9）满足一阶条件（2.7）。因此，命题2.4ν*是最优的，如果它是可容许的，并且Jx，y（ν*) < ∞.备注2.6。注意*（2.9）中的定义明显增加并保持连续。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:39

而且，自从我*是可选的，因此可以逐步测量，然后*可通过[19]定理IV.33进行渐进测量，因此（Ft）适用。因此要证明*这就是为什么要证明*满意度（2.5）。这样一个条件，以及Jx，y（ν*) < ∞,如果贴现因子r足够大，则通常为真。在许多情况下，一旦v的明确形式出现，就可以验证这一点*已知（示例见第4节）。根据[6]引理4.1（另见[5]，备注1.4-（ii）），我们称[0，T]上的实值p过程ξ右上连续，如果对于每个T，ξT=lim supsTξswith lim supsTξs:=lim↓0杯∈[t，（t+）∧T]ξs.L’evy不确定性下的不可逆投资72.3基本容量和自由边界当δ=0时，很容易看出我们的最优策略（2.9）与[36]的定理3.2中的一致。根据[36]中的定义3.1，流程*是一个基本产能过程，也就是说，当企业的生产能力严格高于*t、最好等待，因为此时企业面临产能过剩。另一方面，当容量水平低于l时*t、企业应立即进行投资，以达到l级*t、因此，它代表的是最大容量水平，因此不适合将投资推迟到任何未来时间。很明显，我*必须与关联的最优时间问题的最优边界相联系。这种联系最近在[22]的理论3中得到了证明。9，在不同的环境中（另请参见[15]在现场时间范围内的一维不可逆投资问题）。在本节中，我们可以看到，在我们的列维设置中也存在类似的连接。与[22]类似，等式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:42

（25），介绍最佳停车问题：找到停车时间τ*这样对于所有人（x，y）∈ R×（0，∞)v（x，y）：=EZτ*E-rsπc（ex+Xs，y）ds+e-rτ*= infτ≥0EZτe-rsπc（ex+Xs，y）ds+e-rτ. （2.12）请注意，问题（2.12）是与不可逆投资问题（2.6）相关的最佳时机问题，因为它可能被解释为不投资的最小成本。从数学上讲，问题（2.12）是与奇异控制问题（2.6）相关的一维、有限时间范围、参数相关（y仅作为参数输入）最优停止问题。在f act中，可以显示（例如，参见[3]、[21]和[24]）在我们的假设下vy（x，y）=v（x，y）和τ*:= inf{t≥ 0 : ν*t> 0}，带ν*（2.6）的最佳停车时间是（2.12）的最佳停车时间。自v（x，y）≤ 1.所有人（x，y）∈ R×（0，∞), 状态空间拆分为：={（x，y）∈ R×（0，∞) : v（x，y）=1}，C:={（x，y）∈ R×（0，∞) : v（x，y）<1}。直觉上，S是最适合立即投资的区域（所谓的“行动区域”或“投资区域”），因为其中的边际价值v=v等于投资的边际成本。另一方面，C是有利于推迟投资选择的区域（所谓的“不作为区域”或“无投资区域”），因为边际价值v=Vi严格小于其中的边际投资成本。由于π（z，·）是严格共面的，映射y7→ v（x，y）对于任何x都是递减的∈ R、因此b（x）：=sup{y>0:v（x，y）=1}，x∈ R、（2.13）是停止区域和继续区域之间的边界，即所谓的自由边界。我们通过了公约b≡ 如果{y>0:v（x，y）=1}=.备注2.7。请注意，假设2.2对于非空无投资区域C是必要的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:46

的确，如果r≤ κthenv（x，y）=1+infτ≥0EZτe-rsπc（ex+Xs，y）- Rds≥ 1+infτ≥0EZτe-rs（κ）- r） ds= 1，其中，上述不等式是由πc（z，c）的f作用引起的≥ 极限→∞πc（z，c）=κ（z，c）。因此，如果r≤ 对于所有的x（x，y）=1∈ R×（0，∞), 因此意味着C=.Levy不确定性下的不可逆投资8正如[22]假设3.6或[36]第5节中所述，我们现在假设边际利润受到市场条件改善的积极影响。假设2.8。z 7的映射→ πc（z，c）对任何c都是不变的∈ (0, ∞).备注2.9。注意，Ifπ是两次连续可微的，那么假设2.8相当于要求π是超模（见[39]）；也就是说，对于任何z，z∈ R+C∈ (0, ∞)π（z）∨ z、 c）+π（z）∧ z、 c）≥ π（z，c）+π（z，c）。Cobb-Douglas函数和CES函数是（0，∞) × (0, ∞).提议2.10。假设2.1和2.8成立。然后，最优停止问题（2.12）的值函数v在R×（0）上是o连续的，∞),o 这样x7→ v（x，y），y∈ (0, ∞), 这是不减损的。证据对于连续性，考虑序列{（xn，yn）：n∈ N} R×（0，∞) 收敛到（x，y）∈ R×（0，∞). 取ε>0，设τε：=τε（x，y）为初始值为x和y的问题（2.12）的ε-最优停止时间。然后我们得到v（x，y）- v（xn，yn）≥ EZτεe-rtπc（ex+Xt，y）- πc（exn+Xt，yn）dt- ε. （2.14）在不丧失一般性的情况下，让{xn:n∈ N} （十）- ，x+）对于一个合适的>0，应使≥ 0ex-+Xt≤ exn+Xt≤ ex++Xt。考虑到假设2.1和2.8，我们可以将（2.14）右侧的支配收敛定理应用于getlim supn→∞v（xn，yn）≤ v（x，y）+ε。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:49

（2.15）类似地，对于问题（2.12），取ε-最优停止时间τεn:=τε（xn，yn），初始值为x，ynone hasv（x，y）- v（xn，yn）≤ EZτεne-rtπc（ex+Xt，y）- πc（exn+Xt，yn）dt+ ε (2.16)≤ EZ∞E-rtπc（ex+Xt，y）- πc（exn+Xt，yn）dt+ ε.再次唤起支配收敛定理Yieldn→∞v（xn，yn）≥ v（x，y）- ε、（2.17）与（2.15）一起，意味着v.不可逆投资在L’evy不确定性9下的连续性。为了验证第二种说法，让τ*:= τ*（x，y）是初始值为x和y的最佳停止时间。然后对于x<x，我们有v（x，y）- v（x，y）≥ EZτ*E-rtπc（ex+Xt，y）- πc（ex+Xt，y）dt≥ 0，因为πc（·，y）应该是非减量的，参见假设2.8，参见[22]中命题3.7的证明。提议2.11。在假设2.1和2.8下，（2.13）中定义的自由边界b为o非减量，o左极限右连续。证据b是非减量的这一事实可以用[22]中类似的方法来证明（参见COLLARY 3.8的证明）。从单调性来看，b在任何点上都是左右极限。为了证明b是右连续的，fix∈ 注意，对于每一个ε>0，我们有关于b的耳鸣性的m，即b（x+ε）≥ b（x），这意味着b（x）≤ limε↓0b（x+ε）=:b（x+）。考虑序列{（x+ε，b（x+ε））：ε>0} s一个有{（x+ε，b（x+ε））：ε>0}→ ε（b），当↓ 0和（x，b（x+）∈ S、因为S是由v的连续性封闭的（参见命题2.10）。然后，b（x+）≤ 定义（2.13）中的b（x），且证明完整。下一个定理将[22]中的定理3.9应用于我们的指数L’evy设置。它连接基本容量过程l*与原始控制问题相关的最优停止问题（2.12）的自由边界b。定理2.12。让我*是（2.8）和b自由边界定义（2.13）的唯一可选解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:52

在假设2.1、2.2和2.8下，一个hasl*t=b（x+Xt），t≥ 0.（2.18）证据。首先，因为b是Borel可测的（单调的），所以dx是可选的，所以（2.18）右边的过程是可选的。此外，t 7→ b（x+Xt）是右上连续的，因为b是上半连续的（由命题2.11表示为非减量且右连续的）和t7→ 这是连续的。为了证明（2.18），[22]中的论点（见命题3.4的证明）很容易适用于本案。因此，我们有*t=-ξ*t、其中，过程ξ*允许以下表述（参见第1049页的[6]公式（23））ξ*t=s上升l<0:ess-infτ≥tEZτte-r（s）-t） πcex+Xs，-Lds+e-r（τ）-（t）英尺= 1.. （2.19）为了处理（2.19）中的条件期望，可以像[22]中的定理3.9的证明那样进行，并研究正则概率空间(Ohm, P）。然而，考虑到我们的列维，我们让Ohm := D（[0，∞)) 是[0]上所有c`adl`ag函数ω的Skorohod空间，∞) 因此ω=0，端点为Skorohod拓扑，F表示其Borelσ场。此外，P是关于Ohm 坐标过程Xu（ω）=ωu，u≥ 0，是一个L′evy过程，移位算子θu：Ohm 7.→ Ohm 定义为θu（ω）（s）=ωu+s，用于L’evy不确定性10ω下的不可逆投资∈ Ohm 美国呢≥ 最后，我们用（Fu）u表示≥0过滤，这里fu是由7生成的→ωs，s≤ u、并由P-null集扩充。根据[19]中的定理103，第151页——基于onGalmarino的测试——任何停止时间τ∈ T，τ≥ t、可以写成τ（ω）=t+τ′（ω，θt（ω）），其中τ′：Ohm × Ohm 7.→ [0, ∞], 英尺 F∞-可测量且τ′（ω，·）是每个ω的停止时间∈ Ohm.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:24:55

这样，定义金融时报 F∞-可测正随机变量Z（ω，ω′）：=Zτ′（ω，ω′）e-ruπcex+ω′u，-Ldu+e-rτ′（ω，ω′）（2.20）并设置Zt（ω）：=Z（ω，θt（ω）），在简单改变变量后，（2.19）中的条件透视内的项等于Zt（ω）。更精确地说，Zτ（ω）te-r（s）-t） πcex+Xs（ω），-Lds+e-r（τ（ω）-t） =Zτ′（ω，θt（ω））e-ruπcex+θt（ω）（u），-Ldu+e-rτ′（ω，θt（ω））=Zt（ω）。强马尔可夫性质的一个应用（例如，参见[35]第111页的exer-cise 3.19）对所有ω进行简化{Zt | Ft}（ω）=EXt（ω）{Z（ω，·）}∈ Ohm. 回顾（2.12）中v的定义，并使用（2.20）表示所有ω∈ Ohmξ*t（ω）=sup{l<0:v（x+Xt（ω），-l） =1}。最后，利用[22]中的参数（见定理3.9的证明），我们可以写出每个ω∈ Ohm 和t≥ 0l*t（ω）=-ξ*t（ω）=s up{y>0:v（x+Xt（ω），y）=1}=b（x+Xt（ω）），其中上面的最后一个等式从（2.13）开始。这就完成了证明。在这一点上，很明显，如果*of（2.9）是可容许的，因此Jx，y（ν）*) < ∞, 因此，最优停止问题（2.12）的自由边界b实际上是问题（2.6）的最优投资边界。此外，继续区C和停止区S分别是不活动区和活动区。事实上，由于理论2。12最优控制*式（2.9）可以表示为ν*t=sup0≤s<t（b（x+Xs）- y）∨ 0，t>0，ν*= 0; （2.21）也就是说，它是在时间t反映（ran dom）时间相关边界l处的生产能力所需的最小影响*t=b（x+Xt），t≥ 0.备注2.13。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 03:24:58

结合定理2.12和命题2.11，我们恢复了[36]和定理5.1，其中的一个论点与我们的不同，它表明基本容量在潜在冲击过程中单调增加；也就是说，如果我*是与aL’evy工艺X和l相关的基本容量*与另一个L’evy processeX相关联的基本容量是否为Ext≤ XTT≥ 0 a.s.，然后l*T≤ L*t所有t≥ 0 a.s.L’evy不确定性下的不可逆投资113最优投资边界方程在本节中，我们给出了我们的主要结果。利用命题2.5和2.12以及维纳-霍普法系数化，我们首先推导出最优投资边界b的积分方程（见下面的定理3.1）。结果表明，如果L′evy过程以正概率击中R中的每一点，则该方程有唯一解。在定理3.3中，给出了另一个更简单的方程，它描述了最优投资边界。此外，利用这样的方程，我们证明了边界是连续的。据我们所知，对于指数L’evy过程，自由边界在有限时间范围内的连续性证明，一维参数依赖于（2.12）型时间停止问题首次出现在这里。为了简化说明，在本节的其余部分中，我们将假设*of（2.9）是可容许的，并且使得Jx，y（ν）*) < ∞, 因此是最优的。这样，最优停止问题（2.12）的自由边界b实际上是问题（2.6）的最优投资边界。定理3.1。假设2.2和2.2。设Mt:=sup0≤U≤tXu，It:=在f0中≤U≤tXu。此外，让tr表示一个指数分布的随机时间，参数r indepe ndentofx。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:01

然后，不作为和行动区域之间的最优投资边界b是积分方程Z的左极限解的正非减右连续的∞Enπcey+z+ITr，f（y+z）oP（地铁）∈ dz）=r.（3.1）此外，如果L′evy过程X以正概率击中r的每个点，则（3.1）的解是唯一的。证据自从我*解（2.8）和l*t=b（x+Xt）（参见定理2.12），然后b满足=EZ∞τre-r（s）-τ） πcex+Xs，supτ≤u<sb（x+Xu）dsFτ= EZ∞重新-rtπcex+Xτ+（Xt+τ-Xτ），bsup0≤u<t（x+xτ+Xu+τ）- Xτ）dtFτ, （3.2）对于任何τ∈ 在第二个等式中，我们使用了b是非减损的事实。利用增量依赖性和X的强马尔可夫性，可以看出（3.2）与EY等价Z∞重新-rtπc分机b（Mt）dt= RY∈ R、而且，对于nπc外部，b（地铁）o=r，Y∈ R.（3.3）但是现在，通过维纳-霍普夫分解（参见[25]，第6章），我们知道- MTR独立于MTrand XTr- mtrha与^itri具有相同的定律，^I是I的独立副本，然后我们可以从（3.3）r=Eynπc写出外部，b（地铁）o=EnEnπcey+XTr，b（y+MTr）MTroo=EnEnπcey+MTr+（XTr）-地铁），b（y+MTr）MTroo=Z∞Enπcey+z+ITr，b（y+z）oP（地铁）∈ dz），在L’evy不确定性12下的不可逆投资，其中X的空间同质性已用于上述第二等式。最后，如果τ{xo}:=inf{t≥ 0:Xt=xo}<∞ 所有xo都有正概率∈ R、然后，左极限b满足（3.1）的正的、非减量的右连续的唯一性可以用矛盾证明，如[22]（见定理3.11的证明）。备注3.2。可以找到确保L'evy过程X以正概率命中R的每个点的充分条件，例如，在[25]的定理7.12中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:04

具有这种性质的L’evy过程的例子包括任何具有高斯成分的L’evy过程（在金融经济学中起重要作用的跳跃扩散过程的情况下）或具有α的对称α-稳定的L’evy过程∈ （1,2）（见[25]第7.5节和练习7.6）。关于单侧L’evy过程，有一个集合C:={x∈ R:P（τ{x}<+∞) > [25]的OREM 7.12中定义的0}不是空的（因为光谱单侧的L’evy过程蠕变），其中的预测条件（7.21）是满足的，（i）-（iii）相应适用。定理3.1证明中的维纳-霍普夫因式分解在我们的列维设置中取代了在独立指数时间（参见[17]p.185和[11]p.26）在定理3.11[22]中利用的规则、一维扩散及其运行上确界的位置的联合律。还值得注意的是，维纳-霍普法系数化已被公认为一种有用的工具，可用于求解一维、有限时间范围内的勒维过程最优停止问题，如[12]、[16]、[18]、[28]、[29]、[37]等所示。下一个定理代表了我们的主要结果。它表明，为了得到（3.1）的解，必须找到一个更简单方程的解。定理3.3。在假设2.1、2.2和2.8下，存在一个唯一的正函数^b满足方程nπc欧盟+ITr，f（u）o=r，u∈ R.（3.4）函数^b是不减损且连续的。此外，如果L′evy过程X以正概率击中R的每一点，则^b是不活动和作用区域之间的最佳投资边界。证据我们从证明（3.4）最多允许一个正解^b开始，这样它是非减量的和连续的。定义函数Φ（u，y）：=Enπc欧盟+ITr，yo- r、（u，y）∈ R×（0，∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:07

（3.5）不难看出，Φ（u，·）对于任何u都（严格地）在下降∈ R由于假设2.1。此外，再次感谢假设2.1，我们可以应用mon-otone收敛定理来说明Φ（u，·）在（0，∞), 酸橙↓0Φ（u，y）=∞ 还有limy↑∞Φ（u，y）=κ- r<0表示任何u∈ R、假设2.2，最后一个限值为负值。因此存在一个正的^b（u），u∈ R、解决（3.4）。为了证明^b是非减量的，fixε>0，注意（3.5）和^b解（3.4）意味着0=Φ（u+ε，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u））=Φ（u+ε，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u+ε））+Φ（u，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u））≥ Φ（u，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u）），在L’evy不确定性13下的不可逆投资，其中上述不等式如下，因为根据假设2.8，Φ（·，y）对任何人来说都是不可减损的∈ (0, ∞). 因此，有Φ（u，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u））≤ 因此^b（u+ε）≥^b（u），u∈ R、因为y 7→ Φ（u，y）是非递增的。接下来我们展示^b的连续性。我们首先考虑它的左连续性。修理你∈ R、按顺序{un:n∈ N} R这样联合国↑ u as n↑ ∞, 和定义b（u）-) := 画↑∞^b（联合国）。在不失去普遍性的情况下，我们可能会认为≥ 联合国≥ U- ，对于合适的>0，以便b（un）≥^b（u）- b的单调性和eun+ITr≤ EUITR≤ 0.这是从c 7的凹陷处得出的结论→ π（z，c）与z7的单调性→ πc（z，c）（分别参考假设2.1和2.8）表示πc（eun+ITr，^b（un））≤ πc（eu，^b（u）- )). 注意{un:n∈ N} 如上所述，我们有r=Enπceun+ITr，^b（联合国）o、 n∈ 放任↑ ∞ yieldsr=limn↑∞Enπceun+ITr，^b（联合国）o=Enπc欧盟+ITr，^b（美国）-)o、（3.6）其中使用了支配收敛定理和π的联合连续性（参见假设2.1）。然后我们得出结论：^b（u-) =^b（u）由（3.4）的解的唯一性决定。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:10

在另一个汉德，拿着一个序列{un:n∈ N} R这样联合国↓ u as n↑ ∞ 按照上面的类似论点，我们也可以证明^b的右连续性。因此，^b是连续的。显然，递减连续^b解（3.4）的正n也解（3.1），然后右上角的正连续可选过程^lt:=^b（x+Xt）解（2.8）。因此，通过命题2.5和定理2.12，我们得到了^lt:=^b（x+Xt）=b（x+Xt）=l*t、直到无法区分为止。这个证明是通过与定理3.1的证明类似的论证来完成的，即^b=b。作为定理3.3的一个显著副产品，我们得到了以下结果。推论3.4。如果L′evy过程X以正概率击中R的每一点，那么不作为和行动区域之间的最佳投资边界b是连续的。备注3.5。值得注意的是，在可分离的情况下，π（z，c）=zG（c），G连续可微分、递增、严格凹且满足INDA条件，方程（3.4）很容易转化为[13]的方程（15）（另见[36]，例3.3），其中H是b的（广义）逆。然而，我们的结果比[13]的结果更一般。与[13]不同的是，我们确实没有假设投资策略保持在上述范围内，而且，我们的等式（3.4）适用于满足假设2.1的所有经营利润，因此不一定是可分离的。根据第三节[13]中的讨论，考虑到投资策略的不可逆性，等式（3.4）可被视为对净现值规则或马歇尔定律的修正。备注3.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:13

结合定理2.12和推论3.4，我们发现，如果X以正概率击中R的每个点，那么基本容量过程l*问题（2.6）通常只有[6]才知道是右上角连续的，它确实与X具有相同的路径规律性，即它至少有c`adl`ag路径。在某种程度上，我们的方程（3.4）可以被解释为自由边界值问题的替代品，人们通常会记录自由边界值问题来描述最优停止问题的解（参见[32]）。在具有L’evy不确定性的最优停止问题的情况下，仍然可以导出自由边界问题（例如，参见[12]），即使必须注意相关积分微分算子的理解意义，以及在边界处施加的值函数的适当正则性性质。事实上，人们已经注意到（例如，参见[2]、[12]和[31]）最优停止问题的值函数的平滑特性（即其在最优边界处的C特性）可能在L'evy设置中失效。相反，我们的方程（3.4）不是从任何自由边界问题推导出来的，而是从（3.1）直接推导出来的，这要归功于l的后向方程（2.8）*= b（x+x）、Wiener-Hopf因式分解和x的强马尔可夫性质。因此，它代表了一个非常有用的工具，可以在假设L’evy过程以正概率命中R的每一点的情况下，确定（2.6）型不可逆投资问题的整类最优投资边界。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:16

在下一节中，我们将展示如何解析地求解方程（3.4），即使是在具有不可分离函数的平凡情况下。4显式结果在本节中，我们推导了不可逆投资问题（2.6）的最优投资边界的显式形式，对于Cobb-Douglas和CES（子成分的常数弹性）操作函数，即π（z，c）=zαcβ和α，β∈ π（z，c）=（αzγ+（1）- α） cγ）γ，带α，γ∈ 分别为（0,1）。此外，我们将在本节中假设，L’evy过程X以正p概率到达R的任何点，因此，最优投资边界为方程（3.4）的唯一解（参见定理3.3）。回想一下，Tris是一个指数分布的随机时间，参数r独立于x，Mt:=sup0≤U≤tXuand It:=inf0≤U≤tXu。符号bψ用于X的平面变换的对数（定义明确时），即bψ（λ）：=log eeλX.4.1 Cobb-Douglas运营部门假设运营部门为Cobb-Douglas类型；也就是说，π（z，c）=zαcβ表示α，β∈ (0, 1).提议4.1。假设bψ（α1-β) ∨bψ（α+β）定义良好，且（参见假设2.2）r>0∨bψ（α1）- β) ∨bψ（α+β）。（4.1）那么对于Cobb-Douglas运营公司，最优投资边界为b（x）=（θex）α1-β、 x∈ R、（4.2）用θ表示：=βE{EαITr}rα. （4.3）列维不确定性证明下的不可逆投资。在这种情况下，等式（3.4）的形式为r=βeαxE{eαITr}bβ-1（x）。（4.4）取b（x）=（θex）α1-β很容易看出，上面的（4.4）对于θ是求解的，如（4.3）所示。[36]中使用的参数（见定理7.2的证明）很容易适用于α6=1的情况- β表示如果（4.1）成立，则*t:=sup0≤s<t（b（x+Xs）- y）∨ 0，t>0，和ν*:= 0（参见（2.21））是可容许的，而Jx，y（ν）*) < ∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:19

因此，ν*对于问题（2.6）来说是最优的，因此（4.2）中给出的b是最优投资边界。备注4.2。命题4.1的结果与[36]中命题7.1和命题7.2的结论一致，其中基本容量过程*已在Lev y过程和Cobb-Douglas项目中明确确定。4.2 CES运营项目我们现在转向CES（恒定替代弹性）类型的不可分离运营项目，即π（z，c）=（αzγ+（1- α） cγ）γ对于某些α∈ (0, 1). 此外，为了满足消费2.1.1的要求，让γ∈ （0,1）有limc→0πc（z，c）=0和κ：=limc→∞πc（z，c）=（1）- α)γ.据我们所知，对于不可分离的CES型和指数L’evy过程的最优投资边界（2.6）的显式形式首次出现在这里。提案4.3。假设bψ（1）定义良好，且（参见假设2.2）r>（1- α)γ∨bψ（1）。（4.5）对于CES运营公司，最佳投资边界由b（x）=Kex，x给出∈ R、（4.6）其中常数K（取决于γ、α和R）是唯一的正解toEn1 +α1 - αeγITrK-γ1.-γo=r（1）- α)γ. （4.7）证据。在这种情况下，等式（3.4）变为- α） γ=En1 +α1 - αeγ（x+ITr）b-γ（x）1.-γo.（4.8）比较（4.8）和（4.7）可以看出，b（x）=Kexis是最佳边界的自然候选。为了验证我们的坦诚饮食，我们首先必须证明（4.7）在莫斯通阳性溶液中确实存在。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:22

定义函数F：（0，∞) 7.→ R asF（u）：=En1 +α1 - αeγITru-γ1.-γo-r（1）- α)γ.L’evy不确定性下的不可逆投资16很明显，u 7→ F（u）是严格递减的，连续的，因为0<γ<1，它保持不变↓0F（u）≥ 利木↓0uγ-1Enα1 - αeγITr1.-γo-r（1）- α)γ= ∞.此外，自0<γ<1起，也有0≤ eγITr≤ 1和利木↑∞F（u）≤ 利木↑∞1 +α1 - αU-γ1.-γγ-r（1）- α)γ= 1 -r（1）- α） γ<0，其中最后一个不等式是由于r>（1- α）根据假设。因此，F（u）=0最多允许一个正解。为了完成证明，我们必须证明*t:=sup0≤s<t（b（x+Xs）-y）∨0，t>0，ν*:= 0（参见（2.21））是可容许的，并且使得Jx，y（ν）*) < ∞; 因此，问题的最优f（2.6）。显然，ν*是（英尺）适应，左连续和不减损。通过维纳-霍普夫分解eMTrEeITr=rr-bψ（1），（4.9），然后回忆（4.5）并使用（4.9）我们得到Z∞重新-rtν*tdt≤ 柯Z∞重新-rtsup0≤s<tex+Xsdt= 柯Z∞重新-rtex+Mtdt= 凯克斯eMTr< ∞.因此，通过部件进行集成是可行的Z∞E-rtdν*T< ∞, （4.10）即ν*是可以接受的。下一位考虑者Z∞E-rtπ（ex+Xt，y+ν）*t） dt≤重新Z∞重新-rteγ（x+Xt）+y+sup0≤s<tKex+Xsγγdt≤1.-γrEZ∞重新-rtex+Xt+y+sup0≤s<tKex+Xsdt=1.-γry+exE外向型+ 凯克斯eMTr< ∞, （4.11）我们再次使用了（4.5）和（4.9）。结合（4.10）和（4.11）表明Jx，y（ν*) < ∞（参见（2.4））。因此可以得出如下结论：*对于问题（2.6）是最优的，而（4.6）中的b是最优投资边界。Levy不确定性下的不可逆投资17备注4.4。显然，情况γ=n，n≥ [22]中讨论的2是命题4.3中研究的一个特殊情况，在这种情况下，b（x）=kex对于某个正常数K:=K（n，α，r）求解方程（4.7）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 03:25:25

二项式展开的应用（另见[22]第4.2节）将常数K的方程（4.7）简化为以下n阶多项式方程- 1n-1Xj=1N- 1jAj，nα1 - αjK-jn-“r（1）- α)γ- 1#=0与Aj，n:=E{ejnITr}。由于r>（1）以来的笛卡尔符号规则，这样的多项式方程允许唯一的正解- α)γ.致谢。乔治·法拉利感谢弗兰克·里德尔的有益讨论。PaavoSalminen感谢比勒费尔德大学数学经济中心在比勒费尔德和安德烈亚斯·基普里亚努逗留期间的热情款待和支持，以及一封激动人心的电子邮件。参考文献[1]ABEL，A.B.，Ebery，J.C.（1996）。具有成本可逆性的最优投资。牧师。经济部。螺柱。63 581–593.[2] 艾莉，L。，KYPRIANOU，A.E.（2005年）。关于列维过程第一段的一些评论，美国的Put和Pasting原则。安。阿普尔。Probab。15(3) 2062–2080.[3] 巴尔德松，F.M.，卡拉萨斯，I。(1997). 不可逆投资与产业均衡。金融斯托奇。1 69–89.[4] 班克，P.，里德尔，F.（2001年）。跨期替代的最优消费选择。安。阿普尔。Probab。11 750–788.[5] 班克，P.，福尔默，H.（2002）。美国选项、多武装匪徒和最优消费计划：一个统一的观点。在巴黎，普林斯顿大学讲授数学金融。数学课堂讲稿。1814 1–42. 斯普林格·维拉格。柏林[6] 班克，P.，北卡罗伊（2004年）。一个随机表示定理及其在优化和障碍问题中的应用。安。Probab。32 1030–1067.[7] 班克，P.（2005年）。动态燃油控制下的最优控制。暹罗J.ControlOptim。44 1529–1541.[8] 本托利拉，S.，贝托拉，G.（1990）。解雇成本和劳动力需求：睡眠硬化症有多严重？牧师。经济。螺柱。57(3) 381–402.[9] BERTOIN，J.（1996）。列维进程。坎布里奇大学出版社。[10] BERTOLA，G.（1998年）。不可逆转的投资。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:29

Res.Econ。52 3–37.L’evy不确定性下的不可逆投资18[11]BORODIN，A.N.，SALMINEN，P.（2002）。布朗运动手册-事实与公式，第2期。埃德·伯赫——奥瑟·韦拉格。巴塞尔。[12] 博亚琴科，S.，列文多斯基，S.Z.（2002）。永久美式期权是evy流程的基础。暹罗J.公共交通管制。40 1663-1696.[13] 博亚琴科，S.（2004年）。不可逆转的决定和创纪录的新闻原则。是经济部。牧师。94(3) 557–568.[14] CHIAROLLA，M.B.，豪斯曼，U.G.（2009）。关于一个随机不可逆投资问题。暹罗J.控制优化。48 438–462.[15] 基亚罗拉，M.B.，法拉利，G.（2014）。利用Bank-El-Karoui表示定理确定随机不可逆投资问题的自由边界。西亚姆。控制蒂姆。52(2) 1048–1070.[16] CHRISTENSEN，S.，SALMINEN，P.和TA，Q.B.（2013年）。强马尔可夫过程的最优停止。随机过程。阿普尔。123(3) 1138–1159.[17] CS\'AKI，E.，F¨OLDES，A.和SALMINEN，P.（1987年）。线性扩散最大值及其位置的联合分布。安。I.H.Poincar\'e，第B 23（2）节179-194。[18] DELIGIANNIDIS，G.，LE H.和UTEV，S.（2009年）。具有独立增量的进程和应用程序的最佳停止。J.阿普尔。Probab。46(4) 1130–1145.[19] DELLAC Here，C.，MEYER，P.（1978年）。概率和潜力。第一章至第四章北荷兰数学研究29。[20] DIXIT，A.K.，平迪克，R.S.（1994）。投资和更大的不确定性。普林斯顿大学出版社。普林斯顿大学[21]EL KAROUI，N.，KARATZAS，I.（1991）。Skorohod问题的一种新方法及其应用。斯托克。斯托克。代表3457-82。[22]法拉利，G.（2013）。关于随机不可逆投资问题自由边界的积分方程。arXiv:1211.0412v1，即将在Ann上发布。阿普尔。Probab。[23]I.卡拉萨斯（1981）。随机决策理论中的单调跟随问题。阿普尔。数学

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 03:25:32

擎天柱。7 175–189.[24]KARATZAS，I.，SHREVE，S.E.（1984）。最优停止与奇异随机控制之间的联系I.单调跟随问题。暹罗J.控制优化。22856–877.[25]基普里亚努，A.E.（2006）。关于列维过程及其应用的介绍性讲座。斯普林格。[26]梁，J.，杨，M.和蒋，L.（2013）。具有跳跃扩散过程的实物期权模型中锻炼策略的封闭形式解。暹罗J.阿普尔。数学73（1）549–571列维不确定性下的不可逆投资19[27]麦克唐纳，R.，SI EGEL，D.（1986）。等待投资的价值。经济问题J。101707–727.[28]MORDECKI，E.（2002）。L’evy过程的最优停止和永久选项。金融斯托奇。6(4) 473–493.[29]MORDECKI，E.，SALMINEN，P.（2007年）。亨特和列维过程的最优停止。随机79（3-4）233-251。[30]OKSENDAL，A.（2000年）。不可逆转的投资问题。金融斯托奇。4 223–250.[31]PESKIR，G.，SHIRYAEV，A.（2000年）。泊松过程的顺序测试问题。安。统计数据28837-859。[32]PESKIR，G.，SHIRYAEV，A.（2006）。最优停止和自由边界问题。数学讲座ETH，Birkhauser。[33]PHAM，H.（2006）。具有随机生产能力的不可逆投资模型的显式解。《从随机分析到数学金融》，Festschriftfor Albert Shiryaev（Y.Kabanov和R.Liptser编辑）。斯普林格。[34]平迪克，R.S.（1988）。内部收益率——可逆投资、资本选择和公司价值。是经济部。牧师。78 969–985.[35]REVUZ，D.，YOR，M.（1999年）。连续鞅和布朗运动。弹簧滞后。柏林[36]RIEDEL，F.，SU，X.（2011）。关于不可逆转的投资。金融斯托奇。15(4) 607–633.萨林[2011]第37页。最优停止、Appel多项式和Wiener-Hopf分解。随机83（4-6）611-622。[38]STEG，J.H.（2012）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝