然后通过r（x）=λ恢复短速率函数r（x）- Gπh（x）/h（x），（4.3），其中Gπ是转移半群（Qπt）t的扩展生成元≥（2.1）给出了X在Qπ下的0，以及X在Q readsQtf（X）=EQx[f（Xt）]=π（X）EQπX下的转移半群eRtr（Xs）ds-λtf（Xt）π（Xt）对于扩展生成元GQf=Gπf+Γπ（h，f）/h，其中Γπ（h，f）是Qπ下X的carrèe du champ（平方场）算子（参见Palmowski和Rolski（2002）的详细说明和参考文献）：Γπ（h，f）（X）=Gπ（fh）（X）- f（x）Gπh（x）- h（x）Gπf（x）。电子表格附录C中给出了证明。当短期利率存在时，定理4.1允许我们从任何给定的正特征函数和PK的相应特征值显式恢复短期利率，因此，也可以从特征值和特征函数的知识显式恢复风险中性概率。在金融经济学中，通常从结构一般均衡模型中导出的定价核开始，然后提取隐含的短期利率。金融工程文献以及金融市场实践中更常见的一种简化形式方法是直接从一类马尔可夫风险中性定律Q和一类明确规定的短期利率函数r（x）开始，并根据市场观察到的证券价格校准定价算子和r Q。为了将这两种方法联系起来，在下一节中，我们将研究给定速率模型中循环正特征函数的存在性问题。在这种方法中，我们从给定风险中性概率定律（Qx）的aBRP X开始∈E和E上给定的短利率函数r（x）。定价运算符由（4.2）定义。

我们面临的问题是，对于某些实λ和allt>0和x，定价算子是否具有满足（1.2）的正本征函数π（x）∈ 在局部等价概率测度Qπ| Ft=~MπtQ | Ft下，由正Q-鞅| Mπt=E定义-Rtr（Xs）ds+λtπ（Xt）/π（X）（4.4）过程X是循环的。我们注意到，当Mπ是从P到Qπ的P-鞅变换测度时，~Mπ是从Q到Qπ的Qmartingale变换测度。然后，Mπt/~Mπt=eRtr（Xs）dsSt=mt是风险中性因子分解（4.1）中的P-鞅，将测度从P变为Q。我们进一步指出，风险中性测度Q下的风险中性随机贴现因子本身具有特征因子分解-Rtr（Xs）ds=~Mπte-λtπ（X）/π（Xt）与P下随机折扣因子（1.3）的本征分解具有相同的本征函数π，但在物理量的本征分解中用Q-鞅因子Mπ代替P-鞅Mπ。5短期利率模型中回归本征函数的存在基于Nummelin（1984）、Kontoyiannis和Meyn（2005）、Hansen和Scheinkman（2009）的工作，发展了马尔可夫定价算子半群正本征函数存在的充分条件，使得X满足Qπ下的遍历性假设（第9节和附录D）。它们的充分条件是在一般算子半群的水平上给出的。虽然我们的工作不太一般，但对于几类在应用中很重要的短期模型，我们给出了一些显式且易于验证的充分条件，以证明存在一个循环正本征函数。5.1 L（E，m）A方法在本节中，我们假设，在给定的风险中性测度下，X是局部紧度量空间E上的保守亨特过程。

这需要额外假设E上的Borel right进程X具有左极限的样本路径，并且是准左连续的（在可预测的停止时间没有跳跃，尤其是固定时间）。在本节中，我们进一步假设给定的短速率函数r（x）是非负的。让Xrdenote X以r的速率终止（即，当正的连续加性函数lRTR（Xs）ds第一次超过一个独立的单位平均指数随机变量时，进程被终止（发送到一个孤立的墓地状态）。这是一个Borel标准过程（见Chen和Fukushima（2011年）中的定义a.1.23和定理a.1.24），因为它是捕杀时间之前狩猎过程X的样本路径。Th-epricing半群（Pt）t≥然后将0与Borel standardprocess Xr的转移半群标识。在这一节中，我们假设存在一个正的西格玛有限参考测度m，在E上有充分的支持，使得XRA是关于m的对偶。也就是说，E是一个强马尔可夫过程^Xron E和半群（^Pt）t≥对于任何t>0和非负函数f和g:ZEf（x）Ptg（x）m（dx）=ZEg（x）^Ptf（x）m（dx）。我们进一步做出以下假设。假设5.1。（i） 在E×E上存在一系列连续且严格正的函数p（t，·，·），对于任何（t，x）∈ (0, ∞) x E和E上的任何非负函数f，Ptf（x）=ZEp（t，x，y）f（y）m（dy），^Ptf（x）=ZEp（t，y，x）f（y）m（dy）。（ii）密度满足度：ZEZEp（t，x，y）m（dx）m（dy）<∞, t>0。（5.1）（iii）存在一些T>0的情况，比如supx∈以西结（t，x，y）m（dy）<∞, 好的∈EZEp（t，y，x）m（dy）<∞, T≥ T.（5.2）在这些假设下，我们有以下结果。定理5.1。假设满足假设5.1。

（i） 过程X是m-不可约的，满足关于参考度量m的绝对连续性假设B.1（见e-companion中的附录B）。（ii）定价算子Pt和对偶算子^Pt具有唯一的正的、连续的、有界的IgenFunctionπ（x）和^π（x）属于L（E，m）：ZEp（t，x，y）π（y）m（dy）=E-λtπ（x），ZEp（t，y，x）^π（y）m（dy）=e-λt^π（x）（5.3）与一些λ≥ 每t>0和每x为0∈ E.（iii）设C:=REπ（x）^π（x）m（dx）。存在常数c，α>0和T′>0，因此对于T≥ 我们有密度| Ceλtp（T，x，y）的估计值- π（x）^π（y）|≤ 总工程师-αt，x，y∈ E.（iv）在定义3.1和定义B.3的意义上，过程X在鞅（4.4）定义的Qπ下重复出现。此外，X在Qπ下是正循环的，且静态分布（dx）=C-1π（x）^π（x）m（dx）。（v） 此外，如果m是一个确定的度量，即m（e）<∞, 那么，对于任何报酬∈ L（E，m）我们对所有t的长期成熟度有如下估计≥ T′：Ptf（x）- cfe-λtπ（x）≤ Kkf kL（E，m）E-（λ+α）twith cf=RE（f（x）/π（x））（dx）=C-1REf（x）^π（x）m（dx），K是一个独立于f、x和t的常数。该证明在e-companion中的附录D.1中给出，并基于Zhang等人（2014），而Zhang等人（2014）又基于Jentzsch的th eorem，后者是L空间中积分算子的Perron-Frobenius定理的对应物。定理5.1在假设5.1下，立即给出了亨特过程的递归Hansen-Scheinkman因式分解的存在性。定理5.1中的第五部分是定理3.4的结果，其中β（x）=1/π（x）。

在定理3.4中，我们直接假设了一个递归特征函数的存在性，然后证明了在指数遍历的附加假设下的长期定价，而在这一节中，我们给出了关于过程和定价核的充分条件，从而保证了当前特征函数的存在，并且在递归测度下指数遍历性成立。在Pt=^Pt的特殊情况下，即定价算子相对于测度m（Pt）t对称≥0可以被解释为以r速率填充的对称马尔科夫过程的转移半群（参见C hen and Fukushima（2011）和Fukushima et al.（2010））。特别是，基本上所有一维差分都是对称的马尔可夫过程，速度测度m充当对称测度。我们在第5.2节回到这一点。在对称情况下，假设5.1（ii）意味着对于每个t>0，定价算子pti是L（E，m）中的对称Hilbert-Schmidt算子。这进一步意味着定价半群是跟踪类（参见Davies（2007）第7.2节），因此，对于每个t>0，定价算子Pt有一个纯离散谱{e-λnt，n=1，2，…}与0≤ λ≤ λ≤ . . . 根据特征值的多重性重复，有限轨迹trPt=REp（t，x，x）m（dx）=P∞n=1e-λnt<∞.利用密度的对称性，p（t，x，y）=p（t，y，x）和Chapm an-K olmogorov方程，假设5.1（iii）简化为存在常数t>0的假设，即∈Ep（t，x，x）<∞ 尽管如此，t≥ T.（5.4）5.2一维微分在本节中，我们考虑的情况是，X是区间I上的保守一维微分，其左右端点l和r可以是有限的，也可以是有限的，-∞ ≤ l<r≤ ∞.

如果终点是确定的，我们假设它要么是不可接近的（自然边界或入口边界），要么是规定为瞬时反射的规则边界（参见Borodin和Salminen（2002）第二章，了解Feller对边界的分类和其他细节）。如果边界不可访问，则它不包括在状态空间中（I在不可访问边界处打开）。如果boun-dary瞬间反射，则它被包含在状态空间中（I在反射边界处闭合），因为该过程可以从内部到达边界。特别地，我们不考虑退出和正则的killing边界，因为X被假定为保守的，这里我们也不考虑吸收边界，因为在任何局部等价测度变换下，吸收边界仍然是吸收的，这是先验的，从而确保X在任何局部等价测度下都不是循环的。每一个保守的一维微分都有两个基本特征：速度测度m和标度函数S。速度测度m是I S的Borel-sigma代数上的一个测度，例如0<m（（a，b））<∞ 对于任何l<a<b<r.对于每t>0和x∈ I X的跃迁测度相对于m是绝对连续的，即Pt（X，A）=RIp（t，X，y）m（dy）。密度（t，x，y）在x，y，t中可以被认为是正的和联合连续的，并且在x，y中是对称的，即p（t，x，y）=p（t，y，x）（这是McKean（1956）首次证明的）。由于这种对称性，一维差分就是一个对称的马尔可夫过程。此外，对于速度测量值，X是m-不可约的，并且由于速度测量值m存在正的连续密度p（t，X，y），因此满足绝对连续性假设B.1（关于不可约性的定义，请参见e-companion中的附录B）。

因此，第5.1节的结果可应用于一维扩散离子。然而，对于1D差异，我们能够在基于Sturm-Liouville理论的一些附加假设下，制定更一般、更容易验证的效率条件。为此，我们在这里考虑一种特殊情况，其中速度测度相对于I上的勒贝格测度是绝对连续的，即m（dx）=m（x）dx，标度函数是S（x）=Rxs（y）dy，其中速度和标度密度m（x）和S（x）是连续且正的。此外，我们还假设s（x）是连续可微的。在这种情况下，作用于Cb（I）的一维扩散的过渡半群（I）上的连续有界函数）的极小生成元可以写成gf（x）=σ（x）f′（x）+u（x）f′（x），其中σ（x）和u（x）是与速度和标度密度相关的波动和漂移函数，通过：m（x）=σ（x）s（x），s（x）=e-Rx2u（y）dyσ（y）。Cb（I）上转移半群的生成元的域为D（G）={f，Gf∈ Cb（I），b.c.}，其中边界条件（b.c.）可在Borodin和Salminen（2002）中找到。在本节中，我们还假设存在非负短期利率r（x）≥ I.定价半群（Pt）t的极小生成元内的0≥当作用于Cc（l，r）函数（在（l，r）中具有紧支集的两次可微函数）时，Cb（I）上的0可写成以下形式的自伴形式：Af（x）=Gf（x）- r（x）f（x）=m（x）f′（x）s（x）′- r（x）f（x）。（5.5）此外，Cb（I）中的定价半群仅限于Cb（I）∩ L（I，m）唯一地推广到L（I，m）上的自伴收缩的连续半群。它的最小生成元是L（I，m）上的无界自伴非正算子，其域在McKean（1956）、p.526和L an-ger和Schenk（1990）、p.15或Linetsky（2008）、p.232中给出。

通过一些符号的使用，我们对定价半群及其生成器使用了相同的符号，正如Feller所说，一维扩散过程X根据其标度S指示的路线图行进，速度由其速度度量m指示。有关更多详细信息，请参见Borodin和Salminen（2002）以及Karlin和Taylor（1981）。在不同的函数空间Cb（I）和L（I，m）中。我们观察到pricingsemigroup的生成元可以解释为Sturm-Liouville（SL）算子。SL算子的理论可以用来建立一维微分（带killing）的谱分类，从而确定半群的定价。这种分类在Linetsky（2004a）和Linetsky（2008）第3.4-3.6节中给出，基于Sturm的SL普通微分方程解的振动理论（SL理论的一般背景见Amerin et al.（2005）和其中的参考文献）：-Af（x）=λf（x），x∈ （l，r），（5.6），其中A是二阶微分算子（5.5）。定理5.2。在本节对X和r的假设下，如果-L（I，m）中的A是非空的，那么：（I）最低本征值λ（主本征值）是非负的，相应的本征函数（主本征函数）π（x）在I上是严格正的。

此外，π（x）也是定价算子pte的本征函数-λt≤ 1.（ii）在QπX下，生成元Gπ作用于c（l，r）by Gπf（X）=σ（X）f′（X）+μπ（X）f′（X），μπ（X）=u（X）+σ（X）π′（X）π（X）π（X）dx（其中π被归一化，因此riπ（X）m（X）dx）dx=1）和标度密度s（X）/πX）。（iii）如果i n加法，λ和-Ain L（I，m）大于λ，并且对于某些t=t>0（因此，对于所有t≥ T），然后对于任何支付函数f∈ L（I，m）长到期优先股适用于t≥ 2TPtf（x）- cfe-λtπ（x）≤ Kp（2T，x，x）kf-kL（I，m）e-（λ+α）t，其中cf=RIf（y）π（y）m（dy），K是一个独立于f、x和t的常数。该证明在e-companion中的附录D.2中给出。定理5.2将一维扩散环境中循环正本征函数的存在性问题简化为相应SL方程的L（I，m）-本征函数的存在性问题。e-companion中的附录D.2给出了区间I端点附近σ（x）、u（x）和r（x）的渐近性质的充分条件。

第三部分给出了1D差异的长期定价公式的充分条件，其严格程度远远低于第5.1节中的假设（尤其是，我们要求定价半群仅为≥ 对于某些T>0的情况，当op立即向Hilbert Schmidt提出时（对于所有T>0的情况），如第5.1.5.3节所述，RdI中的多维微分在本节中，我们假设（风险中性）过程X是E=RdI中的微分，即X被构造为RdI上二阶微分算子的Stroock-Varadhan鞅问题的唯一解，条件是Pinsky（1995）第32页定理10.4。也就是说，i=1，d、 bi（x），i=1。。。，d、 在Rd上是可测的局部有界函数，并假设aij（x）是连续的，矩阵（aij（x））是局部椭圆的，即Pdi，对于所有x，j=1aij（x）vivj>0∈ RDV∈ 研发部- {0}. 设G为形式的微分算子：G=dXi，j=1aijxixj+dXi=1bixi然后，根据Pinsky（1995）第32页的定理10.4，Rd上G的Strrock-Varadhan鞅问题至多存在一个解。Pinsky（1995）第33页的附加非爆炸条件（10.4）确保了该解的存在。在这种情况下，唯一解（Qx）x∈对于鞅问题，具有连续路径的过程X是非保守的，并且具有强马尔可夫性。此外，Qx（Xt∈ B） 对于勒贝格测度，具有密度p（t，x，y），对于任何有限的停止时间τ，Qx（Xt+τ∈ B | Fτ）=Rd中所有t>0和Borel集B的RBp（t，Xτ，y）dy（Pinsky（1995），p.36定理10.6）。

在这一节中，我们还假设aijand biare局部H¨older continuouson Rd。扩散过程的例子是由DXT=b（Xt）dt+σ（Xt）dBt（5.8）形式的随机微分方程的解提供的，其中有一些可测量的波动矩阵σ（x），使得σ（x）σ（x） =a（x）。特别是，如果b和σ满足Rd中非爆炸弱解存在和唯一性的充分条件，我们将在本节中讨论这些微分的例子。我们进一步假设存在一个短速率rt=r（Xt），其中r（x）是一个给定的短速率函数。定理5.3。假设，除了本节中关于X的现有假设外，a，带r在Rd上都是局部H–older连续的，并且r i s存在一个耗尽域序列（Dn）n≥1以使Dn Dn+1带DnRdandrn→ ∞ , 其中rn:=inf{r（x）：x∈ 研发部- Dn}。（5.9）那么定价算子Pt有一个严格正的本征函数π，具有连续和H¨oldercontinuous二阶导数，并且在Qπ=（Qπx）x下∈Rd扩散过程X在定义3.1和定义B.3的意义上都是反复出现的，其中ψ=Leb，Rd上的Lebsgue度量。此外，（QπX）X∈RDR解决了算子ratorGπ=dXi，j=1aij的鞅问题xixj+dXi=1bπixibπi（x）=bi（x）+dXj=1aij（x）jπ（x）π（x）。（5.10）p roof基于Pinsky（1995）中提出的二阶椭圆算子和相关微分过程的理论。电子版附录D.3中给出了相关信息。特别是，如果扩散X是SDE（5.8）的非唯一非爆炸解，我们也可以通过直接应用Girsanov定理获得漂移（5.10）。过程Bπ，它=位-Rtλisds，其中λit=dXj=1σji（x）jπ（x）π（x）是Qπ下的标准布朗运动（这里B是er Q下的布朗运动）。

这个过程λ在这个差异模型中扮演着风险市场价格的角色。定理5.3可以通过用开域D代替RDD来推广 Rd要求X是D上的一个微分，它是通过解D上的鞅问题构造的，并且当从任何X开始时，Xd不会到达D的边界∈ D（将inRdis中的非爆炸条件替换为X不达到D的界元的要求，即它不退出开域D）。系数a、b、r的所有条件都是通过用开域D替换Rd来计算的。我们注意到，在非简并条件下，二次项结构模型（QTSM）中的支持条件（5.9）是满足的，其中状态变量和r（x）中的支持率是二次的→ ∞ 作为kxk→ ∞, 但不满足于短期结构模型（ATSM）。幸运的是，在适当的假设下，我们可以直接利用ATSM的特殊性质（见e-companion中的附录ix F）证明其存在性。我们还注意到，我们在第5.2节中给出的关于1次微分的循环正本征函数存在的充分条件比在本节中给出的充分条件要尖锐得多。特别是，对于一维差分，我们不需要假设短期利率在边界处趋于一致。6短期利率模型的示例6。1一维扩散模型中的回归本征函数在本节中，我们讨论一些流行的一维短速率扩散模型。这里，X是一个具有特定风险中性动态的1D微分，s短率函数r（X）是特定的。对于1D微分，我们能够给出正特征函数的详细描述。我们从与定价半群P的生成元A（5.5）相关联的图拉姆·刘维尔赋（5.6）开始。

SL方程（5.6）的每个正本征函数π（x）产生一个形式为（4.4）的正局部鞅Mπ。如果生成元的本征函数也是半群的本征函数，那么Mπ是正鞅，我们可以定义一个新的概率测度。在所有这些概率测度中，至少有一个是这样的，即X在它下面是连续的。我们还将看到，存在额外的正特征函数的参数族，使得X在相关概率测度下是瞬态的，并且此类模型表现出不稳定的经济行为，其中，无风险利率要么渐近运行到不确定性（渐近超通胀）或零（零下限陷阱）。6.1.1 CIR模型考虑风险中性度量QdXt=（a+bXt）dt+σpxtbqt（6.1）下的CIR SDE，a>0，b∈ R、 σ>0。短期利率为rt=Xt。关于CIR模型的详细讨论见e-companion的附录e.1，其中明确验证了假设5.1。因此，CIR模型具有循环特征函数。对CIR模型中的正本征函数进行更详细的处理是有指导意义的。为了简单起见，我们假设Feller条件成立，即2a≥ σ、 使过程保持严格的正（不为零）。我们从CIR Sturm Liouville颂歌开始（这里b=-κ） σxπ′+（a）-κx）π′- xπ=-σ>0的λπ（6.2），a>0，κ=-B∈ R、 λ∈ R.它可以简化为对流超几何方程，其解可以用Kummer和Tricomi对流超几何函数表示。我们首先描述所有解决方案（不一定是积极的）。表示γ：=√κ+ 2σ.提议6.1。定义α：=（λ）- λ） /γ，其中λ=a（γ- κ） /σ是L（（0，∞), m） （见E-companion中的附录E.1）。（i） 如果α不是非正整数，即α6=-n、 n=0，1。

（这意味着λ不是一个L（（0，∞), m） 定价半群的生成元A的特征值，即λ6=λn=γn+λ），式（6.2）的两个线性相关解为：ψλ（x）=eκ-γσxM（α，β，2γxσ），φλ（x）=eκ-γσxU（α，β，2γxσ），其中M（a，b，z）和U（a，b，z）是Kummer函数和Tricomi函数。（ii）如果α是一个非正整数r，则Kummer和Tricomi反超几何函数M和U简化为广义Laguerre多项式，两个解ψλ（x）和φλ（x）线性相关，并且都简化为L（（0，∞), m） -本征函数φn（x）a见附录E.1中的E-companion。然后，可以将一个解取为φn（x），而在不同的情况下，其他线性独立的解则不同（Slater（1960）第5-8页中可以找到关于复杂超几何方程的完整研究，此处省略以节省空间）。利用这些线性无关的解，我们可以构造形式为（4.4）的局部鞅M，其中π（x）=Cψλ（x）+Cφλ（x）由λ，C，C参数化∈ R.通过应用It^o公式和π是Sturm-Liouville方程解的事实，这些过程立即成为局部鞅。由于π是C（0，∞)),当Feller条件满足时，X保持严格正。我们现在确定哪些局部马丁鞅是正鞅。以下定理的证明见E-companion中的附录E.1。定理6.1。~Mπ是正鞅当且仅当π（x）=Cψλ（x），且C>0和λ≤ λ（相应地，α≥ 0).这一结果明确地刻画了CIR定价半群的所有正特征函数，从而刻画了CIR模型中形式为（4.4）的所有正Q-鞅。它们由单个参数α参数化≥ 0（相当于λ≤ λ).

现在我们来看看X在与这些鞅相关的相应概率测度下的beh-avior。首先考虑解π（x）=e-(γ-κ） σx对应于α=0（因此λ=λ）。状态变量X遵循平均回复率γ较高的平均回复率=√Qπ下的κ+2σ>κ：dXt=（a- γXt）dt+σpXtdBQπt，其中BQπt=BQt+γ-κσRt√Xsds是Qπ下的标准布朗运动。因此，π与唯一的递归本征函数πR相同。我们还注意到，当b=-κ<0时，满足定理5.1第（v）部分中的有效条件，在这种情况下，主特征值λ给出了CI R模型中零息票债券的渐近收益率∞= 极限→∞-T-1ln P（x，t）=λ=a（γ）- κ)/σ. 此外，可以直接验证该结果也适用于案例B=-κ>0，即使在这种情况下，定理5.1（v）中的有效条件不满足。我们现在考虑定价半群的正本征函数对应于α>0（λ<λ）：πα（x）=ψλ（x）=eκ-γσxM（α，β，2γxσ）。很容易检查这些溶液不属于L（（0，∞), m） （直接使用Kummer函数m的渐近性质很容易验证，它们不能与CIR速度密度m平方可积）。在Qπα下，XT用漂移（5.7）：dXt求解SDE=A.- γXt+2αγβM（α+1，β+1，2γXt/σ）M（α，β，2γXt/σ）Xtdt+σpXtdBQπαt。该计算使用M′（α，β，x）=（α/β）M（α+1，β+1，x）这一事实。利用反超几何函数的渐近性质，我们得到了以下漂移渐近性：（2αγx/β）M（α+1，β+1，2γx/σ）/M（α，β，2γx/σ）→ 2γx as x→ +∞. 因此，对于大x，漂移渐近地表现为a+γx，并且在这些概率测度下，过程不是平均混响。应用Karlin和Tay lor（1981）第234页上的测试，我们验证+∞ 在这种情况下是一个吸引人的自然边界。

在漂移的影响下，这一过程是渐进的，是瞬时的。这是一种经济不稳定的行为，导致利率逐渐上升。重复性假设排除了这种行为。为了进一步说明这种行为，请考虑α=β的特殊情况。在这种情况下，λ=-aσ（κ+γ）<0，而反超几何函数降低为指数函数，π（x）=ψλ（x）=eκ+γσx。由于CIR扩散是一个有效的过程，可以通过计算期望值来直接验证等式（e.1），以验证≈Mπβt=exp-RtXudu+γ+κσ（Xt- 十）-aσ（γ+κ）t是鞅。应用Girsanov定理，我们立即看到，在相应的测度变化dxt=（a+γXt）dt+σpXtdBQπβt下，d裂谷中线性项前面的系数现在是+γ，而不是-γ在平均混响系数中，短速率在该测度下渐近地被吸引到单位。6.1.2吸收边界为零的平方根模型考虑SDE dXt=bXtdt+σ√XTDBQTB∈ R和σ>0，短期利率rt=Xt。这是CIR模型a=0的退化情况。当从x=0开始时，所有t的Xt=0≥ 0是一个独特的解决方案。当从x>0开始时，解在任何正时间t以正概率到达零，并且对于所有t，Xt=0≥ T、 这里是第一次击中零的时间。因此，零是一个吸收边界。显然，该模型中没有递归特征函数，因为具有吸收边界的过程不能通过局部等价的测度变换转化为递归过程。要分析这种情况下的所有正本征函数，请考虑theODE:σxπ′+bxπ′- xπ=-λπ. （6.3）考虑x=0时，对于π（0）>0的任何正解，我们必须得到λ=0。因此，零本征值是唯一一个在x=0时与本征函数正一致的本征值。

将λ=0代入式（6.3），常微分方程简化为σπxx+bπx-π = 0. 它有两个正解π±（x）=expn(-b±√b+2σ）x/σo。利用定价半群的一个有效性质，很容易直接验证这两个解都是定价半群的不变函数，Ptπ±（x）=π±（x）。因此，e-RtXsdsπ±（Xt）/π±（x）是正鞅。在Qπ±下，过程Xt求解SDE:dXt=±pb+2σXtdt+σpXtdBQπ±t。在这两种测量下，过程仍然有效，且吸收边界为零。当X被吸收为零时，吸收后的利率一直为零。我们发现解π±（x）不属于L（[0，∞), m） （速度密度与CIR相同，a=0）。另一方面，我们观察到π（x）=xe-B-γσxis是本征值λ=γ的本征函数，可与m平方积。然而，它不是严格正的，因为它在吸收态x=0时消失。因此，相应的鞅在t的所有时间都消失了≥ 因此，Tand不能定义等效的度量变换。因此，我们得出结论，在这个模型中不存在回归本征函数。虽然我们能够构造两个Trans-sitionindependent定价核，但X在这两个核下都被零吸收（几乎可以肯定是零下限陷阱）。Qin和Linetsky（2014）进一步证明了长键的存在，并与π一致-（Xt）/π-（十） 在这个模型中。6.1.3 Vasicek模式L考虑Q下的OU过程，求解SDEdXt=κ（θ- Xt）dt+σdbqt与θ，κ∈ R、 κ6=0，σ>0，rt=Xt。首先考虑κ>0的情况。很容易检查π（x）=e-x/κ是本征值λ=θ的SL方程的本征函数- σ/(2κ). 当κ>0时，很容易检查它是平方可积的，速度密度为m（x），因此是定价算子Pt的正L（R，m）本征函数，本征值为e-λt。

Girsanov的theorem立即意味着x solvesdXt=（κθ）-σκ- κXt）dt+σdBQπtunder Qπ。因此，X再次是一个正循环、均值回复的OU过程，但具有较低的裂谷。因此，π是唯一的循环本征函数。接下来考虑κ<0的情况。很容易检查π（x）=eκσx+（κ-2κθσ）xis特征值λ=θ的IGENF函数- κ - σ/(2κ). 当κ<0时，很容易检查它与速度密度m（x）的平方可积性，因此是定价算子Pt的正L（R，m）本征函数。Girsanov定理直接暗示X solvesdXt=（σκ- κθ+κXt）dt+σdBQπtunder Qπ。在Qπ下，X是一个正的、循环的、均值回复的OU过程。因此，如果利率在风险中性测度下遵循平均排斥漂移的OU过程，仍然存在唯一的递归特征函数。这与我们在b>0的CIR模型中观察到的情况类似。在E-companion的附录E.3中给出了OU模型中所有（非重复）正本征函数的完整分析，其中还给出了1D差异的进一步示例。6.2多维扩散模型6。2.1由于其可操作性（Vasicek（1977）、Cox等人（1985b）、Duffee和Kan（1996）、Duffee等人（2000）、Dai和Singleton（2000）、Duffee等人（2003）），有效模型是连续时间内使用最广泛的期限结构模型类别。一般多维有效性差异模型（参见Filipovi\'c和Mayerhofer（2009））不属于第5节中我们的有效条件。3.尽管如此，我们仍然能够根据其特殊性质，详细处理有效扩散模型中的循环本征函数。

如果线性模型是非退化的，漂移中斜率矩阵的所有特征都有严格的负实部，并且验证了关于参数的额外显式条件，则存在唯一的递归特征函数，其指数形式为πR（x）=eux、 在相应的回归本征测度QπR下，x是均值回复函数。e-companion中的附录ix F给出了完整的细节，其中给出了存在的有效条件、计算向量u的易于实现的数值程序、IgenValueλ的显式表达式，以及递归本征测量qπ下的函数微分X的显式表达式。6.2.2二次模型。二次项结构模型（Beaglehole and Tenney（1992）、Constantinides（1992）、Rogers（1997）、Ahn等人（2002）和Chen等人（2004））提供了多维扩散模型的另一个重要例子，在这些模型中，可以显式确定重现特征函数。假设X是一个d维OU过程，短速率函数是二次的：r（X）=γ+δx+xΦx，其中常数γ、向量δ和对称正半有限矩阵Φ被视为所有x的短速率均为非负∈ Rd.如果Φ是严格正定义，则qtsm满足定理5.3中的充分条件（自r（x）→ ∞ 作为kxk→ ∞), 还有一个独特的回归本征函数。如果Φ仅仅是正半限定，这种情况通常超出定理5.3中的有效条件，但仍然可能是唯一的递归特征函数。e-companion中的附录H给出了一个有效条件。

在这两种情况下，递归函数都采用指数二次型：πR（x）=e-U十、-十、V x.e-companion中的附录H提供了一个确定向量u和对称正半有限矩阵V的数值程序，并给出了u和V.6.3带跳跃的CIR模型在QdXt=（a）下带跳跃的d维OU过程x在QπRin项下的特征值λRandrift的显式表达式- κXt）dt+σpXtdBQt+dJt，其中jt是具有L′evy测度m（dξ）的复合泊松过程=ue-ξ/udξ与到达率 > 0和正指数跳跃，平均尺寸u>0（参见杜菲和加莱诺（2001），菲利波维奇（2001））。为了简单起见，我们认为这是一种特殊情况，因为它会导致完全明确的结果。一般跳跃扩散模型中的回归本征函数将在未来的出版物中进行研究。短期利率为rt=Xt。从某种意义上说，该模型是一个很好的例子≤ 0EQx[e-RtXsds+zXt]=eφ（t，z）+ψ（t，z）x，其中函数φ（t，z）和ψ（t，z）满足tφ（t，z）=F（ψ（t，z）），tψ（t，z）=R（ψ（t，z）），ψ（0，z）=z，F（z）=tφ（t，z）| t=0=az+uz1- uz，R（z）=tψ（t，z）|t=0=σz- κz- 1.类似于a ffe-us离子的情况，我们寻找指数a ffe本征函数π（x）=e-uxEqx[e-RtXsds-uXt]=e-λt-有些λ。常数u必须满足：σu+κu- 1 = 0. 以更大的根u=(-κ +√κ+ 2σ)/σ. 那么主特征值等于λJCIR=λCIR+uu1+uu，其中λCIR=a（γ- κ） /σ是第6节中有跳跃的CIR模型的主要特征值。1.1. 我们发现，在Qπ下，过程X再次是具有jum ps:dXt=（a）的CIR- γXt）dt+σpXtdBQπt+dJQπ乘以平均回复率γ=√κ+2σ与具有L′evy测度mQπ（dξ）的复合泊松过程JQπ=ue-ξ（1/u+u）dξ和er Qπ。

因此，在测量值改变的情况下，跳跃的到达率和指数跳跃大小分布的平均值变为：^ =1+uu，^u=u1+uu，其中=-κ +√κ+ 2σσ.为了证明π是循环本征函数，我们需要证明X在定义3.1的意义下在Qπ下循环。我在附录中完成了。7结论本文发展了马尔可夫资产定价模型的谱理论，其中潜在的经济不确定性遵循Borel-right过程，随机贴现因子是X的正半鞅乘函数。一个关键结果是马尔可夫定价算子的正特征函数的唯一性理论，使得X在与本征函数（回归本征函数）相关的伊根测度。该结果的应用产生了Hansen和Scheinkman（2009）的唯一性，将马尔可夫随机d贴现因子的特征因子分解为一个因子，该因子以持有证券获得的随机回报率贴现未来现金流，收益由循环特征函数（特征安全性）和一个额外的正鞅确定，该鞅改变了概率度量是指盖根度量。作为推论，在随机折扣因子的过渡独立性假设下，该因子有效地将鞅因子设置为单位，该因子分解将罗斯（2015）的恢复定理从离散时间扩展而来，通过识别物理概率测度和当前特征测度，将有限状态不可约马尔科夫链转化为循环Borel-right过程。

在指数遍历性假设下，我们进一步获得了定价算子的长期渐近性，该定价算子将渐近收益率与复发性价值相一致，并用复发性特征函数表示了渐近长期到期证券的每iod总收益的有限持有量的状态依赖性。当资产定价模型由给定的风险中性概率和马尔可夫驱动因素的阿吉文短期利率函数确定时，我们给出了当前特征函数存在的充分条件，并在许多重要金融模型中提供了明确的例子，包括各种一维扩散模型、有效和二次多维扩散模型，以及一个带有跳跃的有效模型。从宏观金融角度来看，这些结果加深了我们对长期风险的理解。定理3.4表明，在额外的遍历性假设下，循环特征安全性可以与渐近长期到期的纯贴现债券相识别，从而导致马尔可夫模型中随机贴现因子的长期因子分解（Alvarez和J er mann（2005）、Hansen和Scheinkman（2009）、Martin和Ross（2013）、Boroviˇcka等人（2014），秦和林茨基（2014）。我们参考Boroviˇcka等人（2014年）和Qin and Linetsky（2014年）了解这方面的进一步发展。从实证金融的角度来看，本文的结果有助于在比罗斯的假设更一般的情况下为实证研究奠定基础。首先，本文的结果允许我们用连续时间马尔可夫过程代替离散时间、有限状态马尔可夫链。正如Audrin o等人（2014年）（以及Tran和Xia（2013年））所述，离散规范提出了一些需要仔细规范的重要实施问题。

通常情况下，连续的规格可能会导致更多的s表，已经规范化的估算程序。特别是，本文中的结果为用一个函数和二次微分以及循环微分来代替离散马尔可夫链开辟了途径。此外，本文的结果有助于在长期因式分解中放宽过渡独立性假设，从而为测试更一般的恢复开辟了途径。这通常需要将基础资产收益和/或宏观经济变量的历史时间序列数据与期权的当前市场价格相结合。在相关文献中，Martin（2014）最近提出了另一种恢复方法，他基于负协方差条件推导出了股票指数期权预期超额收益的下限。Bakshi等人（2015年）得出了长期债券预期超额收益的类似下限。施耐德和特洛伊（2015）将边界扩展到了其他时刻，并考虑了上边界。最后，从金融工程的角度来看，本文的结果在马尔可夫模型中给出了长期资产的明确原则。这些长期定价结果可以被视为特征函数展开文献（特别是Davydov和Linetsky（2003）以及引言中引用的其他参考文献）中定价结果对更一般的马尔可夫资产定价模型的扩展。

增加通用性的代价是，在这些模型中，我们只能识别主特征函数，因此，具有适用于长期资产的渐近定价结果，而在特征函数展开文献中，显示了整个谱展开，允许对所有到期资产进行定价，但在更严格的建模假设下。与上面的实证讨论相联系，长期定价渐近性揭示了从观察长期资产（如长期债券）市场价格的时间序列中实证确定特征值λ和特征值πR的可能性，正如Martin和Ross（2013）在离散时间马尔可夫链框架中所述。Borel Right流程我们请读者参考Blumenthal和Getoor（1968）、S harpe（1988）和Chen和Fukushima（2011）了解更多细节。下面我们来看看陈和福岛（2011）附录A中的介绍。回想一下，可测空间（E，E）上的连续时间马尔可夫过程是一个四重态(Ohm, F，（Xt）t≥0，（Px）x∈E） ，在哪里(Ohm, F）是一个可测量的空间，对于每个起点x∈ E(Ohm, F，（Xt）t≥0，Px）是一个具有状态空间（E，E）和连续时间参数的随机过程≥ 0和B∈ E，Px（Xt∈ B） 作为x的函数，E是可测量的吗∈ E、 存在容许过滤（Ft）t≥0使得马尔可夫性质相对于它成立，即Px（Xs+t∈ B | Ft）=PXt（Xs∈ B） ，Px-a.s.，Px（X=X）=1（马尔科夫过程X的正态性表示概率度量Px控制从时间0的X开始的过程的行为）。如果Px（Xt），则称马尔可夫过程为保守过程∈ E） =1表示所有x∈ 伊恩特≥ 0（进程保持在E中）。由于我们的保守派司机X是保守派，我们不处理杀戮，也不将墓地州与我们的州空间相连。

对于马尔可夫过程X，转换函数由Pt（X，B）：=Px（Xt）定义∈ B） 对于t≥ 0，x∈ E、 B∈ E对于马尔科夫过程X，我们定义了X通过Ft生成的最小容许过滤：=σ{Xs，s≤ t} 安德夫∞:= σ{Xs，s≥ 0}. X具有关于（Ft）t的马尔可夫性质≥0，对于任何∧∈ F∞,Qx（λ）是x的E-可测函数。对于（E，E）上的每个概率度量u，积分pu（λ）=REPx（λ）u（dx），λ∈ F∞, 定义一个概率度量(Ohm, F∞), 这就是马尔科夫过程的概率定律，初始分布为μ，因为Pμ（X∈ B） =u（B）表示B∈ E在马尔可夫过程的一般定义中，状态空间（E，E）仅被假定为可度量空间。在本文中，我们假设E是一个带有Borel s igma-场E的Lusin拓扑空间。也就是说，E同胚于某些紧度量空间的Borel子集。Lusin空间（E，E）上的（保守）马尔可夫过程X如果满足以下条件，则称为（保守）Borel-right过程：（i）对于每个≥ 0时，存在一个移位器θt：Ohm → Ohm 那是什么o θt=Xs+t每s≥ 0.（ii）对于每个ω∈ Ohm, 样本路径→ Xt（ω）∈ E在[0]上是右连续的，∞). （iii）X是一个强马尔可夫过程（回想一下，如果存在一个强马尔可夫性质适用的正确连续容许过滤（Mt），则马尔可夫过程称为强马尔可夫过程，即对于任何（Mt）-停止时间σ，初始分布u，s≥ 0和B∈ E，Pu（Xσ+s）∈ B | Mσ）=PXσ（Xs∈ B） ，Pu-a.s.{σ<∞}).

由于本文中的保守派司机X是保守派，所以我们不讨论杀戮和墓地。Borel-in-Borel-right过程表明，X的状态空间E与紧度量空间的Borelsubset同胚，并配备了Borel sigma域E s o，即对于每个f，传递函数Ptf是Borel可测的∈ Bb（E）（有界Borel可测函数的空间）。名称中的右指的是正确的过程，如Sharpe（1988）或Chen and Fukushima（2011）定义A.1.35和TheoremA中定义的具有正确连续路径的强马尔可夫过程。1.37，其中状态空间E被视为一个更一般的Radon拓扑空间，即E是某些紧度量空间的一个普遍可测子集的同胚（如果集合对于E上的所有有限测度都是可测的，则该集合是普遍可测的）。BRP的上述定义显然取决于对权利持续可接受过滤（Mt）的任意选择≥0表示描述强马尔可夫性质的X。然而，它实际上只依赖于X的最小容许过滤（Ft），因为BRPI相对于（Ft+）t是强马尔可夫的≥0由Ft+定义：=∩t′>tFt′，t≥ 0.最小允许过滤（Ft）可按如下方式完成。用Fu表示∞Pu-F的完成∞以及Fu中所有空集的族∞（回想一下Pu（λ）=REPx（λ）u（dx）时的th）。然后，我们将每t的fut=σ（Ft，N）≥ 0.我们让Ft=∩uFut，其中u通过E上的所有概率测量。由此产生的过滤被称为BRP X的最小增强容许过滤。根据Chen和Fukushima（2011）第443页上的定理A.1.18，BRP X的最小增强容许过滤已经是右连续的，并且X相对于它是强马尔可夫的。

因此，它符合随机微积分的一般假设。inlar等人（1980）开发了右过程半鞅的随机演算（另见Sharpe（1988）第六章）。如这些文献所示，可以建立右过程上半鞅的随机演算，从而使所有Px，x的所有关键性质同时成立∈ 具体地说，让Y是一个半鞅过程(Ohm, F，（Ft）t≥0，Px）每x∈ E.C,inlar等人（1980）的定理3.12表明，其分解为局部鞅和有限变分过程之和，其二次变分过程，其连续局部鞅部分，以及关于它的随机积分，对于所有Px，x都是相同的∈ 此外，Y是一个半马丁盖尔(Ohm, F，（Ft）t≥0，Qu），并且上述分解和过程也适用于Pu。B关于马尔可夫过程的递推在本节中，我们给出了本文中使用的几种递推定义，并讨论了它们之间的关系。我们称之为定义3.1（R0）意义上的复发，我们将在继续进行时标记每个复发定义。我们首先考虑Tweedie BRP（1994年）复发的另一种定义。我们从定义开始——Tweedie（1994）和Meyn and Tweedie（1993）的不可约性。定义B.1。（不可约性）X被称为а-不可约，如果（E，E）上存在一个非平凡的西格玛有限度量а，使得任何集合B的平均占用时间∈ E，且φ（B）>0doe不会消失，即φ（B）>0=> R（x，B）>0表示所有x∈ E.也就是说，从任意点x开始∈ E马尔可夫过程X平均在每一个正度量值的Borel集合中花费了正的时间量ν（B）>0（它可以是有限的）。Ir还原性测量不是唯一的，也不是等效的。

有些措施比其他措施收费更多。然而，如果过程X是不可约的，则存在一个最大不可约测度ψ，对于任何测度ψ′，当且仅当φ′相对于ψ是绝对连续的，且ψ（B）=0时，该过程是不可约的=> ψ{x∈ E:R（x，B）>0}=0。（B.1）（Tweedie（1994）中的定理2.1）。对于给定的过程X，最大不可约测度在测度等价性上是唯一的。从现在起，ψs总是指最大不可约测度。定义B.2。（Tweedie（1994），第179页）如果R（x，B）=∞, 十、∈ B、 如果存在常数M<∞ 使得R（x，B）≤ M、 x∈ E如果它能被可数个一致瞬变集所覆盖。利用ψ-不可约性的概念（Tweedie（1994），定理2.3），马尔可夫过程的重现性和瞬时性之间的二分法可以很好地表述如下。定义B.3。（R1）假设xisψ-不可约。那么X是重复出现的，在这个意义上，everyset B∈ ψ（B）>0的E是循环的，或者在E是瞬态集的意义上，X是瞬态的。接下来，我们将介绍Boro-din和Salminen（2002）第20页中一维差异的复发定义。在这里，我们考虑第5节中假设的1D差异设置。定义B.4。（R2）如果Px（Hy<∞) = 1代表所有x，y∈ 一、 其中Hy=inf{t≥ 0:Xt=y}。否则，它被称为瞬态。直觉是，从I中的任何点开始，周期性1D扩散以概率1撞击I中的任何其他点。接下来，我们将在Rdin Pinsky（1995）第2.7章中介绍差异重现的定义，该定义与前一章类似，但适用于多维差异。

这里X是第5.3节意义上的影响（假设第5.3节中的假设成立）。定义B.5。如果Px（σB（y）<∞) = 1代表所有x，y∈ E和>0，其中σB（y）=inf{t≥ 0:|Xt- y|≤ }. 否则X被认为是瞬时的。直觉是，从Rda中的任何一点开始，周期性的扩散以概率1击中任何一个在有限时间内的任何一点为中心的开放球。复发的不同定义是在不同的背景下，在不同的假设集下进行的，通常并不等同。在讨论这些定义之间的关系之前，我们先介绍一个重要的绝对连续性假设（也称为Meyer’shypothesis（L）），用于马尔可夫过程的预解（参见《仁城》第422页和《福岛》（2011年）的定义a.2.16（AC）或《夏普》（1988年）第56页的定义10.25）。对于α≥ 0，定义Rα为马尔可夫过程的预解算子或α-势算子：Rαg（x）：=ExZ∞E-αtg（Xt）dt.预解测度（Rα（x，B）：=（RαB）（x））α>0都是有限测度，并且彼此等价。此外，如果对于某些x∈ E、 一些s et B和一些α≥ 我们有Rα（x，B）=0，然后Rα（x，B）=0表示所有α≥ 0（回想一下R（x，B）=R（x，B）是绿色的度量）。因此，通过（B.1），我们得到ψ（B）=0=> ψ{x∈ E:Rα（x，B）>0}=0。（B.2）假设B.1。（绝对连续性假设）对于某些α>0（因此对于所有α>0）和所有x∈ E、 预解测度相对于极大可约测度是绝对连续的，即Rα（x，·） ψ(·).B.1提案。（1） 假设X是ψ-不可约BRP。然后（R0）=> （R1）。相反，如果Xisψ-不可约且假设B.1成立，则（R1）=> （R0）。（2） 假设在第5.2节的设置下，X是一个1D微分。然后（R0）<=> （R1）<=> （R2）。（3） 假设在第5.3节的设置下，X是RDR的一个差异。然后（R0）<=> （R1）<=> （R3）。证据

（1） 假设X是ψ-不可约且（R0）。对于ψ（B）>0的任何集合B，根据ψ不可约性，R（x，B）>0。因此，通过（R0），R（x，B）=∞, 这意味着（R1）。相反，假设X是ψ-不可约的，假设B.1成立且（R1）。对于ψ（B）>0的任何集合，R（x，B）=∞ 为了所有的x∈ E根据定义B.3中的重复出现。对于ψ（B）=0的任何集合B，对于所有x，Rα（x，B）=0∈ 根据假设B.1，E和α>0。正如上面等式（B.2）所讨论的，它还认为R（x，B）=0代表所有x∈ 因此，对于任何ψ-可测集B，R（x，B）=0或R（x，B）=∞. 因此，由于度量ψ是sigma-fine，因此对于任何不可广泛测量的集合B都是相同的∈ E*, 这意味着（R0）。（2） 正如我们在第5.2节中所讨论的，X满足假设B.1，其中ψ是速度测量值。因此，（R0）<=> （R1）。我们只需要证明（R1）<=> （R2）。设p（t，x，y）表示x和G（x，y）的密度d:=R∞p（t，x，y）dt。从Borodin和Salminen（2002）的第20页，我们可以看到ifG（x，y）<∞ 对于任何内部点（x，y）∈ I×I，那么G在这一点上是连续的。我们有关系R（x，B）=R∞RBp（t，x，y）dydt=RBG（x，y）dy.假设（R1）。在I内部选择一个m（B）>0的有限区间B。那么R（x，B）=RBG（x，y）dy=∞. 因此，存在y使得G（x，y）=∞. 根据Borodin和Salminen（2002）的第20页，X在（R2）的意义上是反复出现的。相反，假设（R2）。同样由Borodin和Salminen（2002）的第20页，G（x，y）=∞ 为了所有人，y∈ I.因此R（x，B）=RBG（x，y）dy=∞ 对于m（B）>0的所有B，这意味着（R1）。（3） 我们首先观察到，在我们的假设下，X相对于贝斯格测度具有正密度。因此，它是不可约的，满足假设B.1。因此，通过（1）我们得到（R0）<=> （R1）我们只需要<=> （R2）。假设（R2）。然后通过Pinsky（1995）定理2.1在p.130上的证明，R（x，B）=∞ 为了所有人∈ E和每个球B.T hus每个点都是拓扑循环的（参见。