Tweedie（1994）第4节）。由于X是一个Lebesgue不可约Feller过程，取Rd中的值，根据Tweedie（1994）的定理7.1，它是一个T模型。然后（R1）通过Tweedie（1994）的定理4.1成立。相反，假设（R2）不成立。然后再根据Pins k y（1995）第130页的定理2.1，R（x，B）<∞ 为了所有的x∈ E和每个球B。很明显，（R1）d不成立。定理4.1Let∧t:=exp的C证明Ztr（Xs）ds- λth（Xt）h（X）=dQdQπFt.应用It^o的分部积分，我们可以写出：h（X）（λt）- ∧=eRtr（Xs）ds-λth（Xt）- h（X）=Zt（r（Xs）- λ） 二（徐）杜-λsh（Xs）ds+ZteRsr（Xu）du-λsdAhs+ZteRsr（许）du-λsdMhs，其中根据C,inlar等人（1980）的定理3.18，我们分解可加半鞅fu ncational（Xt）-h（X）=Aht+mhto有限变量的加性泛函a和加性Qπ-lo-calmartingale泛函Mh（mht不应与Mπt混淆）。

既然∧是一个Qπ-鞅，它必须保持zt（r（Xs）- λ） 二（徐）杜-λsh（Xs）ds+ZteRsr（Xu）du-λsdAhs=0。因此，有限变量的加性泛函必须是绝对连续的，Aht=Rtf（Xs）dsf（x），并且必须保持[r（x）- λ] h（x）+f（x）=0，所以在r（x）=λ- f（x）/h（x）。此外，由于Mht=h（Xt）-h（X）-Rtf（Xs）ds是一个局部鞅，该对（h，f）在定义Qπ下属于X的扩展生成元Gπ的域，f（X）=Gπh（X），dEq。（4.3）已验证。QT的表达式通过写入P-鞅mt=eRtr（Xs）dsSt=eRtr（Xs）ds获得-λtπ（x）π（Xt）MπtandQtf（x）=EQx[f（Xt）]=EPx[Mtf（Xt）]=EQπxeRtr（Xs）ds-λtπ（x）π（Xt）f（Xt）.发电机的结果是良好的（见Revuz and Yor（1999）第351页的命题3.4，以了解差异，或Palmowski and Rolski（2002）和其中的参考文献，以了解一般设置）。D证明存在的充分条件。1定理5.1（i）的证明，对于m（B）>0的每个Borel集B，EQx[Z∞B（Xt）dt]≥Z∞EQx[e-AtB（Xt）]dt=Z∞dtZB^p（t，x，y）m（dy）>0。因此X是m-不可约的。假设B.1显然是满足的。张等人（2014）第2节第2-4页中的论点的应用和轻微扩展证明了第（ii）部分。如Zhang et al.（2014）第2页所述，定价算子在L（E，m）上形成了一个强连续收缩半群。假设（5.1）意味着，对于任何t>0，pricingoperator pta及其d^Ptare Hilbert-Schm-idt算子。设G和^G是半群（Pt）t的整数生成元≥0及其对偶（^Pt）t≥分别在L（E，m）上为0。

在我们的假设下，根据Jentzsch定理（Schaefer（1974）第337页定理V.6.6），公共值λ：=inf Re（σ(-G））=inf-Re（σ(-^G）是非负的，并且是二者的乘性特征值-G和-的本征函数π（x）-G和的本征函数^π（x）-^G可以选择为e上的强阳性m-a.e，kπk=k^πk=1（这里σ（a）表示a的光谱）。继Zhang等人（2014年）之后，假设（5.2）的应用产生了本征函数实际上是有界的、连续的，因此在E上的任何地方都是严格正的。上述（5.3）对于每个x都是有效的∈ E和t>0。我们注意到Zhang等人（2014）对所有t>0的情况施加（5.2）。然而，如果放宽条件，要求存在一个常数T>0，使得（5.2）适用于allt，则他们的证明仍然成立≥ T这种假设的放松对我们很有用，因为它适应了CIR模型，如第6.1.1节所示。第（三）部分直接引自Zhang等人（2014）的引理2.1。（iv）x在Qπ下的跃迁函数Qπt（x，dy）对于m:pπ（t，x，y）=eλtπ（y）π（x）p（t，x，y）具有正的和连续的密度。通过（iii）我们得到了X和er的格林测度Qπ：Rπ（X，B）=Z∞ZBpπ（t，x，y）m（dy）dt≥Z∞TZBC-1π（y）^π（y）m（dy）dt-Z∞TZBcCe-αtπ（y）π（x）m（dy）dt=∞对于任何B∈ 带0<m（B）<∞. 因此，在定义3的意义上，X在PX下是反复出现的。1（R0）。由于假设B.1，在定义B.3（R1）的意义上，它也是反复出现的。最后，（iii）和（iv）重要的是，在pπ下x的跃迁密度pπ（t，x，y）收敛到静态密度C-1π（y）^π（y）作为t→ ∞.

因此，在本节中的假设下，X在Qπ下正递归，且平稳分布为C-1π（y）^π（y）m（dy）。（v） 如果m（E）<∞, 然后常数用L（E，m）表示，根据第（iii）部分中密度的估计，我们得到了Ptf（x）的大时间估计。D.2定理5.2的证明和1D微分的充分条件定理5.2的证明。（i） 正则或正弦问题的L（i，m）-主本征函数在（L，r）中没有零。不可接近的边界不包括在状态空间i中，因此，我们不需要检查主本征函数是否在不可接近的基础上消失。状态空间中包含规则的瞬时反射边界。如果l同时反映边界，则l（I，m）主本征函数满足limx↓lπ′（x）s（x）=0且π（l）>0。同样，如果r是瞬时反射边界，则L（I，m）主函数满足极限↑rπ′（x）s（x）=0且π（r）>0。由于谱定理的泛函演算形式，如果π是n个负自伴算子的本征函数-A的初始值λ≥ 0，它也是对称半群Pt=etAon L（I，m）的本征函数，由A生成，本征值为e-λt≤ 1.（ii）设Qπt表示X在Qπ下的转移半群，即Qπtf=EQπX[f（Xt）]。因为π| Ft=~MπtQ | Ft，我们可以写eqπtf（x）=π（x）EQx[e-Rtr（Xs）ds+λtf（Xt）π（Xt）]=π（x）Pλt（πf）（x），其中Pλt=eλtPt。（Pπt）t的生成元Gπ≥0是：Gπf=πAλ（πf）。然后，使用π满足S L方程Aλπ（x）=（A）的事实，得出（ii）中的表达式- λ） π（x）=0。速度密度mπ（x）和标度密度sπ（x）可以很容易地计算为mπ（x）=π（x）m（x）和sπ（x）=s（x）/π（x）。自π（x）∈ L（I，m），x在Qπ下的速度度量是有限的，即Rrlmπ（y）dy<∞. 因此，它也是扩散的平稳分布。

唯一剩下的就是证明X在Qπ下是循环的。我们可以把它分成三种情况。（1） 我的两端都在反思边界。然后在定理5.1中讨论。（2） 只有I的一端是反射边界（wlog我们假设它是左端）。由于X在Qπ下是守恒的，根据Pinsky（1995）定理5.1.5，对于任何X∈ （l，r），Zrxdx sπ（x）Zxxmπ（y）dy=∞.SinceRrlmπ（y）dy<∞, 我们有rrxsπ（x）dx=∞. 根据Borodin和Salminen（2002）的第20页，Xis在Qπ下重复出现（R2）。根据命题B.1，（R0）也成立。（3） 没有反射边界。类似地，根据Pinsky（1995）定理5.1.5，对于任何x∈ （l，r），Zxldxsπ（x）Zxxmπ（y）dy=∞ 和ZrxDxSπ（x）Zxxmπ（y）dy=∞.利用rrlmπ（y）dy<∞, 我们有rxlsπ（x）dx=∞ 和rrxsπ（x）dx=∞. 根据Borodin和Salminen（2002）的p.20，X是循环的（R2），因此（R0）在Qπ（iii）下由McKean（1956）（另见Linetsky（2004a）等式（12）），在我们的假设下，pricingoperator可以用ptf（X）=ZIp（t，X，y）f（y）m（dy）表示速度度量，密度p（t，X，y）表示p（t，X，y）=e-λtπ（x）π（y）+Z∞λ+αe-λtXi，j=1ui（x，λ）uj（y，λ）ρij（dλ）。因此，对于所有的t≥ 2T>0 | p（t，x，y）- E-λtπ（x）π（y）|=Z∞λ+αe-λtXi，j=1ui（x，λ）uj（y，λ）ρij（dλ）≤Xi，j=1Z∞λ+αe-λtui（x，λ）ρij（dλ）1/2Zλ+αe-λtuj（y，λ）ρij（dλ）1/2≤Xi，j=1E-（λ+α）（t-2T）Z∞λ+αe-λ2Tui（x，λ）ρij（dλ）1/2E-（λ+α）（t-2T）Z∞λ+αe-λ2Tuj（y，λ）ρij（dλ）1/2≤Xi，j=1e-（λ+α）（t-2T）p1/2（2T，x，x）p1/2（2T，y，y）：=ce-（λ+α）tp1/2（2T，x，x）p1/2（2T，y，y）。根据密度p（t，x，y）=p（t，y，x）的对称性，等式（5.1）f或t=t意味着Rip（2T，y，y）m（dy）<∞.

因此，对于任何L（I，m）支付，我们都有t≥ 2T>0:Ptf（x）=ZIp（t，x，y）f（y）m（dy）≤ZI | p（t，x，y）- E-λtπ（x）π（y）|f（y）m（dy）+ZIe-λtπ（x）π（y）f（y）m（dy）≤齐斯-（λ+α）tp1/2（2T，x，x）p1/2（2T，y，y）f（y）m（dy）+cfe-λtπ（x）≤ cfe-λtπ（x）+ce-（λ+α）tp1/2（2T，x，x）ZIp1/2（2T，y，y）f（y）m（dy）≤ cfe-λtπ（x）+ce-（λ+α）tp1/2（2T，x，x）拉链（2T，y，y）m（dy）1/2ZIf（y）m（dy）1/2≤ cfe-λtπ（x）+Kp1/2（2T，x，x）kf-kL（I，m）e-（λ+α）t，其中K是独立于f、x和t的常数。接下来我们给出了L（I，m）-主特征值存在的一些充分条件。我们首先需要回顾Linetsky（2008）第3.4-3.6节中的一些结果（参考和证明见Lin etsky（2004a））。定义D.1。对于给定的实λ，方程（5.6）在端点e处振荡∈ {l，r}当且仅当每个解在e处有无数个零聚集。否则在e处称为非振荡。这种分类对于固定λ是互斥的，但可以随λ变化。对于方程（5.6），每个端点有两种不同的可能性。提案D.1。（边界的振荡/非振荡分类）让e∈ {l，r}是等式（5.6）的端点。那么e属于以下两种情况中的一种且仅属于其中一种：（i）对于所有实λ，方程（5.6）在e处是非振荡的。相应地，端点e被认为是非振荡的。（ii）存在实数r∧≥ 0，使得方程（5.6）对于所有λ>λ在e处振荡，对于所有λ<λ在e处不振荡。相应地，e被称为是随∧而振荡的。当λ=λ>0时，方程（5.6）在e处可以是振荡的或非振荡的。对于λ=0，它总是非振荡的。基于边界的振荡/非振荡分类，非负算子的谱-A的分类如下。提案D.2。（光谱分类）（i）光谱分类i。

如果两个端点都是非振荡的，那么-A是简单的、非负的、纯粹离散的。（ii）光谱ii类。如果其中一个端点是非振荡的，而另一个端点是等速振荡的，且具有截面积∧≥ 0，则谱是简单且非负的，本质谱是非空的，σe(-（A） [Λ, ∞), 而∧是基本光谱的最低点。如果方程在λ=λ的振荡端点处是非振荡的≥ 0，则[0，∧]中有一组有限的简单特征值（可能为空）。如果SL方程在λ=λ>0的振荡端点处振荡，则[0，λ）c lu steringat∧（iii）光谱类别iii中存在一个完整的特征值序列。如果l与截面积∧一起振荡≥ 0和r随∧r振荡≥ 那么本征谱是非空的，σe(-（A） [Λ, ∞), ∧：=min{l，r}，并且∧是本征谱的最低点。谱在∧以下是简单的（重数为1）：=max{l，∧r}，在∧以上不是简单的。如果SL方程对于λ=λ是非振动的≥ 0，则[0，∧]中有一组有限的简单特征值（可能为空）。如果λ=λ>0的SL方程同位旋，则在∧的[0，λ）聚类中存在一个简单eig值的有限序列。基于此光谱分类，我们可以建立以下结果。定理D.1。

在本节中X和r的假设下-如果下列有效条件之一成立，则A的anL（I，m）-主本征函数π（x）的谱隙高于相应的主eig值λ：o（1）边界l和r都是非振荡的（2） 其中一个边界是非振荡的，另一个边界是振荡的，cuto∧>0，SL方程在λ=∧的振荡端点处是振荡的（3） 边界l和r都是振荡的，截面积为∧land∧rW，截面积为∧=min{l，∧r}>0，SL方程在∧对应的端点处为∧=∧振荡。证据（1） 根据建议D.2，当两个边界都是非振动的时，SL问题的谱是纯离散的。因此，存在一个简单特征值的有限序列。对应于最低本征值的本征函数是我们感兴趣的主要本征函数（基态）。（2） 当其中一个边界是非振动的，另一个边界是振动的，具有正截面积∧，SL方程在λ=∧处振动，根据命题D.2，在∧处的[0，λ）聚类中有一系列简单特征值。同样，我们对对应于最低特征值的主函数感兴趣。（3）当两个边界都是非振荡的，且截断∧l>0和∧r>0，且方程在∧=min{l，∧r}处振荡时>0，根据命题D.2，在∧处的[0，λ）聚类中有一系列简单特征值。这表明了定理D.1中的三个有效条件（1）-（3）。最后，我们注意到，在截函数是非振荡的情况下，命题D.2中的谱分类表明[0，λ]中有一系列离散特征值，但它可能是空的。

因此，在这些情况下，我们无法断定L（I，m）中是否存在一个主基函数。在这三种充分条件下，L（I，m）主特征值λ和非负自伴SL算子的谱上限之间都存在谱差-λ以上的A。接下来，我们给出了易于验证的显式充分条件，即边界是非振动的，或是具有正截面积∧>0的振动的，使得SL方程在λ=λ处振动，因为这些情况在定理5.2中给出了正主函数存在的充分条件。我们从以下结果开始（参见Linetsky（2008），第236页）。提案D.3。入口或瞬时反射边界是非振荡的。与此相反，自然边界既可以是非振荡的，也可以是带cuto off∧的振荡的≥ 0.为了确定自然边界何时为n开-振荡或具有截面积∧的振荡，可以方便地将SL方程转换为Liouville法线形式（参见Everitt（2005），p.280或Linetsky（2008））。为了进行这种转换，我们进一步假设μ在（l，r）上是一次连续可微分的，σ在（l，r）上是两次连续可微分的。修理一些x∈ （l，r）并考虑映射：（l，r）→ （g（l），g（r））：g（x）：=Rxxdz/σ（z）。由于（l，r）上的σ（x）>0（这源于（l，r）上的m（x）>0），g（x）在（l，r）上严格增加。让g-1拒绝它的相反方向。现在我们将SL方程中的自变量和因变量转换为：y=g（x）=Zxxdzσ（z），v（y）=（u（x）pσ（x）s（x））x=g-1（y），其中s（x）是标度密度。函数v（y）满足Liouville范式中的SL方程：-v′′（y）+Q（y）v（y）=λv（y），y∈ （g（l），g（r）），（D.1），其中势函数Q（y）由Q（y）=U（g）给出-1（y）），U（x）：=（σ′（x））-σ（x）σ′′（x）+u（x）2σ（x）+u′（x）-u（x）σ′（x）σ（x）+r（x）。

（D.2）在Stu-rm-Liouville理论中，因变量和自变量的这种变换称为Liouville变换。它将SL方程（5.6）简化为刘维尔范式（D.1）。Liouville范式中的SL方程具有著名的（平稳的）一维薛定谔方程的形式。SL方程边界的振荡/非振荡分类在Liouville变换下保持不变，即SL方程（5.6）在端点处是非振荡的∈ 当且仅当薛定谔方程（D.1）在该λ的g（e）处是非振动的。薛定谔方程的振荡/非振荡分类取决于端点附近势函数Q的行为。我们有以下分类结果（Linetsky（2004a））。提案D.4。（自然边界的振荡/非振荡分类）假设e∈ {l，r}是自然边界，U（x）在式（D.2）中定义，极限limx→欧盟（x）存在（它被允许是有限的）。（i） 如果e通过Liouville变换转化为一个有限端点，即g（e）=Rexdzσ（z）是有限的，那么e是非振荡的。（ii）假设e被转化为- ∞ 或者+∞ 通过刘维尔变换。如果limx→欧盟（x）=+∞, 那么e是非振荡的。如果limx→eU（x）=∧对于某些有限的∧，则e随∧而振荡。自从接线员- A是非负的，因此∧≥ 0.如果∧>0且limx→例如（x）（U（x）-Λ) > -1/4，那么e对于λ=λ>0是非振荡的。如果∧>0且limx→例如（x）（U（x）-Λ) < -1/4，则e在λ=λ>0时振荡。如果∧=0，对于∧=0，e总是非振荡的。命题D.4给出了自然边界的显式振荡/非振荡分类，包括边界附近σ、u和r的渐近行为。

与理论相结合。2，P位置D.2和定理D.1，对于风险中性资产定价模型中的定价算子，它给出了正L（I，m）-主特征函数的存在性的显式充分条件f，其中X是一维扩散，r（X）是本节假设下的短期率。我们强调这些条件仅仅是不够的。首先，在具有截∧振荡的自然边界情况下，在具有非振荡∧的情况下，[0，λ]中可能存在一个主特征值。不幸的是，在这种情况下，我们没有一个明确的充分条件来证明本征值的存在。这种情况必须逐案检查。此外，如果主本征值λ确实存在于[0，λ]中，且与∧不相等，则λ与λ以上的光谱部分之间存在光谱间隙。与该特征值对应的伊根测度Qπ是循环的（该证明类似于定理5.2的证明）。最后，即使SL方程不具有L（I，m）-本征函数，定价算子Pt也可能具有L（I，m）之外的正本征函数。D.3定理5.3的证明我们无法观察到，在我们的假设下，与Lebesgue测度相关的微分离子具有正密度。因此，它是不可约的，满足关于贝斯格测度的假设B.1。此外，在我们的假设下，算子G的广义主特征值（参见Pinsky（1995），定义见第147页）λc（Rd）-r（x）关于RDI定义和满足λc（Rd）≤-r、 其中r:=inf{r（x）：x∈ Rd}（r>-∞ 根据我们对r（x）的假设。这源于平斯基（1995）第146-8页的定理3.2和3.3。下一步，我们在r（x）的假设下，证明了算子G-r（x）-λc（Rd）至关重要（参见Pinsky（1995），第145页的定义）。

让（Dn）n≥1呼气蛋白g结构域序列→ ∞ 考虑操作符G-r（x）定义在域Rd上-边界上具有消失Dirichlet边界条件的DnDn。根据Pinsky（1995）第146-8页的定理3.2和3.3，相应的广义主特征值是有限的，并且满足λc（Rd-Dn）≤ -注册护士。辛塞恩→ ∞, λc，∞（Rd）：=inf{λc（D′）：满足Rd的D′a域- D′ Rd}=-∞ （参见Pinsky（1995），第176页对该数量的定义）。因此-∞ = λc，∞（Rd）<λc（Rd）≤ - r<∞.因此，运算符G-r（x）- 根据平斯基（1995）第176页定理7.2，λc（Rd）是临界的。然后，运算符G-r（x）-Rd上的λc（Rd）具有唯一的正调和函数π（x）∈ C2，α（Rd），即（G- r（x）- λc（Rd））π（x）=0，且所有x的π（x）>0∈ Rd（参见Pinsky（1995），第148页定理3.4）。这里C2，α（Rd）是具有连续二阶导数的f函数空间，其所有偏导数达到二阶H¨older连续且指数α在Rd上。我们可以将正Q-局部鞅e关联起来-Rt（λc（Rd）+r（Xs））dsπ（Xt）π（x），具有此正谐波函数。我们需要确保这个过程实际上是一个鞅。为此，有必要证明eqx[e-所有x的Rt（λc（Rd）+r（Xs））dsπ（Xt）]=π（x）∈ 所有t>0，即π（x）是由g生成的半群的正不变函数-r（x）-λc（Rd）。在我们的假设下，这源自Pins k y（1995）第182页的定理8.6。对应的本征测度（Qπx）x∈RDM解决了算子G的h变换Gπ的鞅问题- r（x）- h=π的λc（Rd）（参见Pins k y（1995），第126页）。最后，我们需要证明X在Qπ下是循环的。根据命题B.1，我们只需要证明（R3）。根据Pinsky（1995）在p.130上的定理2.1，当且仅当算子Gπ在Rd上不具有格林测度，即。

等式πx[R∞D（Xs）ds]=∞ 为了所有人∈ RDD和全开集D 因为Gπ是G的h-变换-r（x）-λc（Rd），通过命题2。Pinsky（1995）的第2章，p.133 Gπ不具有格林测度当且仅当G-r（x）-λc（Rd）不具有格林测度。然而，我们已经证明了G- r（x）- λc（Rd）是关键的。因此，根据临界性的定义（参见Pinsky（1995），第145-6页），它不具备格林测度。这就完成了证明。E补充了1D差异示例。1补充CIR模型中的s考虑CIR SDE（6.1）。漂移为Lipschitz，波动率σ（x）=σ√x满足了山田渡边的条件，因此SDE为任何x提供了独特的强力解决方案≥ 因为在a=0和x=0的退化情况下，所有t的解都是Xt=0≥ 0，通过对一维SDE的比较，得出a>0和x的解≥ 0保持非负，Xt≥ 全t为0≥ 0.当伐木条件满足时，2a≥ σ、 当从任何x>0开始时，该解保持严格的正解，即T=∞ a、 在美国，这是第一次达到零。它也可以从x=0开始，在这种情况下，它会立即进入区间（0，∞) 并且对于所有t>0的情况都保持严格的阳性。我们把状态空间设为I=（0，∞) 在这种情况下，不包括I中的零（在这种情况下，我们只考虑正的起始值，x>0）。当Feller条件不满足时，0<2a<σ，当从x>0开始时，解可以在有限时间内达到零，并且零是瞬时反射边界。在这种情况下，状态空间是区间I=[0，∞)因为零可以从内部到达，并且包含在状态空间中。I上的标度和速度密度为：s（x）=x-βe-2bxσ，m（x）=σxβ-1e2bxσ，其中β：=2aσ。当b<0时，该过程为均值回复，均值回复率κ=-B

它与伽马密度C的平稳测量值正相关-I上的1m（x）与C=κ（σ2κ）β-1Γ（β）将速度密度归一化为概率密度。当b>0时，状态变量中的漂移是线性增加的，该过程是非均值回复且是突变的。当b=0时，该过程简化为平方贝塞尔过程（即σX是指数为ν=β的贝塞尔过程）- 参见Jeanblanc等人（2009年）。如果β>1，则为暂时性，如果β>1，则为复发性≤ 1（这可以通过检查积分的收敛性来确定∞p（t，x，y）dt与平方贝塞尔过程的跃迁密度）。半对称群的正密度-关于速度测量m（x）dx的RtXsdsf（Xt）]已知为封闭形式（对于b<0，该密度出现在Cox等人（1985a）中）；同样的表达式适用于b≥ 0）：p（t，x，y）=γe-λt-bσ（x+y）（1）- E-γt）xye-γtβ-1exp-γ（1+e）-γt）σ（1）- E-γt（x+y）Iβ-1.4γ-pxye-γtσ（1）- E-γt）,其中γ：=pb+2σ，λ：=aσ（γ+b），Iα（x）是修正的贝塞尔函数。应用Hille-Hardy公式将底贝塞尔函数展开为广义拉盖尔多项式的双线性级数（参见Mendoza Arriaga和Linetsky（2014b）的第6节），得到d ensityp（t，x，y）的双线性本征函数展开式=∞Xn=0e-λntаn（x）аn（y）具有特征值和特征函数（参见达维多夫和莱因茨基（2003）、戈罗沃伊和莱因茨基（2004）或门多萨·阿里加和莱因茨基（2014b）；这里，我们从零开始标记特征值：λn=γn+aσ（γ+b），νn（x）=hσβ-1N！Γ（β+n）ie-（b+γ）xσL（β）-1） n2γσx, n=0，1。本征函数是连续的、有界的，并在L（I，m）中形成一个正交系统。IGENV值满足第5.1节中的跟踪类条件，在这种情况下，等式（5.1）自动满足。我们现在验证等式（5.2）。

由于p（t，x，x）是连续的，通过（5.4），我们只需要证明它在零和完整的边界上保持有界。用贝塞尔函数Iα（x）=O（xα）作为x→ 0和Iα（x）=O（x-ex）作为x→ ∞, 我们有p（t，x，x）=O（1）作为x→ 0和p（t，x，x）=O十、-β+e-2f（t）σx作为x→ ∞, 其中f（t）=b+γ1-E-γt1+e-γt.因此，forb≥ 0（非均值回复情况）等式（5.2）适用于所有t>0的情况。对于b=-κ<0（均值回复情况），等式（5.2）适用于所有t≥ T=γln的Tγ+κγ-κ. 因此，CIR模型满足所有b∈ R、 定理5.1适用，且唯一的递归本征函数为theL（I，m）-主本征函数πR（x）=~n（x）=e-b+γσx。状态变量x遵循测量值QπR:dXt=（a）下的均值回复循环- γXt）dt+σpXtdBQπRt，其中γ=√b+2σ和BQπRt=BQt+γ+bσRt√Xsds是一个标准的布朗运动，在QπR下。显然，X是QπR下的循环。定理6.1的证明。为了验证鞅性，我们需要验证π（x）处的th是半群（Pλt:=eλtPt）t的不变量函数≥0:Pλtπ（x）=eλtZ+∞π（y）p（t，x，y）m（y）dy=π（x），（E.1），其中p（t，x，y）是关于速度测度的CIR定价半群的密度。为了验证这一点，我们使用了Pinsky（1995）的定理5.1.8，该定理给出了开区间上二阶微分算子的正调和函数成为该算子生成的半群的正不变函数的必要和充分条件。我们首先陈述平斯基的结果。定理E.1。（Pinsky（1995）的定理5.1.8）让二阶微分算子a（x）ddx+b（x）ddx+V（x）满足a，b，V∈ I=（α，β）上的C0，α和a>0，其中-∞ ≤ α < β ≤ +∞. 让x∈ (α, β).

正调和函数φ，Aφ=0，是由Aif定义的半群ge ne的不变函数，且仅当以下两个条件成立时：Zxαdxφ（x）exp-Zxx2ba（z）dzZxxdyφ（y）a（y）expZyx2ba（z）dz= ∞,Zβxdxφ（x）exp-Z2B（XXDZ）Zxxdyφ（y）a（y）expZyx2ba（z）dz= ∞.在我们的例子中，a（x）=σx，b（x）=a- κx，V=-x+λ。显式地分析解ψλ（x）和φλ（x）的渐近行为，证明只有解ψλ（x）才导致一个马尔丁大风，所以我们必须有C=0。解φλ（x）导致严格的局部鞅。为了节省空间，我们省略了相关的计算。接下来我们检查阳性。已知Kummer和Tricomi对流超几何函数的正零点，其结果如下（可在Erdelyi（1953a），p.289中找到）：ψλ（x）>0表示所有x>0当且仅当α≥ 0（因此，λ≤ λ). 因此，我们证明π（x）=Cψλ（x）+Cφλ（x）是半群（Pλt）t的正不变函数≥0当且仅当C>0，C=0且λ≤ λ. E.2 3/2模型考虑3/2模型，其中短期利率在Q:dXt=κ（θ）下解SDE- Xt）Xtdt+σX3/2tdBQt，其中κ、θ、σ>0。对于所有正参数值，该解都保持严格的正解，并且在稳定密度等于标准化速度密度m（x）=x的情况下持续存在-2α-1e-βx，其中α：=kσ+1和β：=2κθσ。Ahn和Gao（1999）对利率模型进行了研究。应用它的^o公式可以表明，该模型是CIR模型的倒数，即它可以写成Xt=1/Yt的形式，其中Yt遵循CIR过程。与CIR模型类似，定价半群具有完全离散的s谱，是跟踪类（详见Linetsky（2004a）第6.3.3节）。然而，p（t，x，x）是无界的↓ 0，因此假设5.1中的条件（iii）不满足任何t>0。

然而，定理5.2中的条件（ii）是满足的（另见定理D.1），并且存在一个递归特征函数。为了明确地确定它，考虑SL方程：σxπ′′+κ（θ- x） xπ′- xπ=-λπ.可以很容易地检查π（x）=xα-u-1/2是本征值λ=κθ（u）的正本征函数- α+1/2），其中u：=qκσ++σ. 通过定理E.1，很容易证明π也是定价半群的特征函数。这也可以从π（x）与速度密度的平方可积这一事实中看出，它实际上是L（（0，∞), m） （参见Linetsky（2004a），第6.3.3 f节或详细信息）以及具有特征值e的定价算子的特征函数-λt。因此，它定义了一个测量值Qπ。根据Girsanov定理，很容易直接证明在Qπ下：dXt=~κ（~θ）- Xt）Xtdt+σX3/2tdBQπtwithκ=（u）- 1/2）σ和∧θ=κθ/~κ。自从- 1/2>0，这又是一个均值回复3/2模型，并且是正循环的。因此π是唯一的循环本征函数。E.3 Vasicek模型考虑Q下的OU过程，求解SDE dXt=κ（θ-Xt）dt+σdbqt与θ，κ∈ R、 κ6=0，σ>0，rt=Xt。OU-Sturm-Liouville方程σπ′+κ（θ）的解- x） π′- xπ=-λπ（E.2）可以用韦伯抛物柱面函数表示。我们同时治疗κ>0和κ<0两种情况。提议E.1。定义：α：=σq |κ|，z:=√2|κ|σ(θ - x） ε：=符号（κ）和u：=κ（λ）- θ+σ2κ）如果κ>0且u：=|κ|（λ- θ+σ2κ+κ）如果κ<0。

如果u不是一个非负整数，这意味着λ不是a的L（R，m）-特征值，那么等式（E.2）的两个线性独立解是：ψλ（x）=EεzDu（z- α） ，φλ（x）=eεzDu（α- z） ，其中Du（z）是韦伯抛物柱面函数（选择这些解是为了满足速度测量m的平方积分）(-∞, [0]和[0]上，∞), 分别）。如果ui是一个非负整数，那么韦伯函数简化为埃尔米特多项式，上述两个解变得线性相关，并简化为定价半群的L（R，m）本征函数。仍然可以用ψλ（x）=eεzDu（z）形式取一个解- α). 另一种线性独立的解决方案在不同的情况下有所不同（为了节省空间，我们省略了显式表达式）。与我们对CIR模型的分析类似，我们现在应用定理E.1来确定哪些局部鞅Mπ（4.4）是正鞅。定理E.2。当κ>0或κ<0时，局部鞅Mπ（4.4）为正鞅，且仅当u<0且C，C≥ 0，CC6=0，或u=0，C>0，C=0。证明策略类似于附录F.1中的CIR。它基于REM E.1的应用，a（x）=σ，b（x）=κ（θ）- x） ，V（x）=-R上的x+λ，其中通过考虑±处解的渐近性来验证积分条件∞ , 以及根据韦伯抛物函数的渐近性和零点依次验证解的正性（参见Erdelyi（1953b），p.122-123，Erdelyi（1953a），p.262，Erdelyi（1953b），p.126）。我们省略了细节以节省空间。当κ>0时，u=0的溶液减少到π（x）=e-在这种情况下，x/κ是由于韦伯功能的减少。很容易检查它是否与速度密度（x）平方可积。Girsanov定理立即暗示X solvesdXt=（κθ）-σκ- κXt）dt+σdBQπtunder Qπ。

因此，X再次是一个正循环、均值回复的OU过程，但具有较低的裂谷。因此，π是唯一的循环本征函数。当κ<0时，u=0的溶液降低为ψλ（x）=Ceκσx+（κ-2κθσ）x（D（x）=e-x/4）。当κ<0时，很容易检查它是squ可与速度d密度m（x）积的，因此，它是具有特征值e的pr-ice算子的正L（R，m）特征函数-λtwithλ=θ- κ -σ2κ. Girsanov定理立即暗示X solvesdXt=（σκ- κθ+κXt）dt+σdBQπtunder Qπ。在Qπ下，X是一个正的、循环的、均值回复的OU过程。因此，我们看到，如果利率在风险中性测度下遵循均值排斥漂移的OU过程，则仍然存在唯一的递归特征函数。这与我们在b>0的CIR模型中观察到的类似。接下来我们考虑与解π（x）=Cψλ（x）+Cφλ（x）对应的正本征函数，其中u<0，C，C≥ 0，CC6=0。考虑κ>0的情况。通过（5.7），在Qπ下，X解出：dXt=κθ -σκ- κXt+√2κσCDu-1(α - z）- CDu-1（z）- α） CDu（α）- z） +CDu（z）- α)dt+σdBQπt（漂移中的表达式源自ddz（ezDu（z））=uezDu这一事实-1（z））。利用韦伯抛物柱面函数的交感beh-avior，我们得到了CC6=0时的结果√2κσCDu-1(α - z）- CDu-1（z）- α） CDu（α- z） +CDu（z）- α)→ 2κx（1+o（1））as |x |→ ∞.因此，我们观察到X不再是平均回复，而不是排斥。特别是，考虑λ=-σ2κ+ θ - κ、 π（x）=eκσx+（κ-2κθσ）x.根据Girsanov定理，我们立即发现x在QπdXt=(-κθ+σκ+κXt）dt+σdBQπt。漂移中Xt前面的系数现在为κ>0。因此，X是平均排斥。在κ<0相似的情况下，分析u<0的溶液。

X是Qπ下的平均排斥。E.4在eLet Xt=x+at+σbqt处具有布朗短R的默顿模型是一个具有漂移a的布朗运动∈ R和波动率σ>0，并考虑布朗短期利率rt=Xt。这是默顿（1973）首次考虑的历史上最早的利率期限结构连续时间随机模型。这个模型可以看作是b=0（κ=0）的OU模型的退化情况。这首歌的歌词是∑π′+aπ′- xπ=-λπ. （E.3）在这种情况下，韦伯抛物线圆柱函数导出艾里函数。定义α：=σ1/3(λ -a2σ），z=σ1/3倍。等式（E.3）的两个线性独立解为：ψλ（x）=E-a（2σ）1/3zAi（z）- α） ，φλ（x）=e-a（2σ）1/3zBi（z）- α).由于艾里函数Ai（z）和Bi（z）在负半直线上都有无穷多个零，根据Sturm的分离定理，Ai（z）和Bi（z）h的任何线性组合在z<0时都有无穷多个零。因此，对于任何λ，都没有正的本征函数。E.5考虑SDEdXt=κ（θ）的二次漂移的默顿短期利率模型- Xtdt+σxtdbqt，κ，θ，σ>0。这一过程由默顿（1975）从他的经济增长模型中导出，作为短期利率的模型。定义β：=2κθσ。应用Feller的测试，产地和单位都是难以接近的（自然）边界。当β>1时，速度密度为m（x）=xβ-2e-2κx/σand在（0，∞). 因此，这一过程在稳定伽马密度下是正循环的。当β=1时，速度测度不是可积的。然而，应用Pinsk y（1995）第208页的定理5.1.1，我们确定该过程是循环的。因此，它必然是空的。当β<1时，应用insky（1995）的定理5.1.1，我们建立了过程是瞬态的，原点是吸引边界（过程以概率1，Qx（limt）渐近吸引到原点）→∞Xt=0=1）。

Lewis（1998）在rt=Xt的短期利率模型中获得了零息票债券的闭式解。如Lewis（1998）所示，Pricingsemi群具有一些非空连续谱，因此不是Hilbert Schmidt，不满足第5.1节中的充分条件。它也不满足定理D.1中的任何有效条件（1）-（3）。然而，如Lewis（1998）所示，当β>1+κ时，SL方程σxπ′′+κ（θ- x） xπ′- xπ=-λπ有一个正L（（0，∞), m） -本征函数π（x）=x-1/κ，对应的特征值λ=θ-（1+κ）σ2κ及其上方的光谱间隙。很容易检查本征函数是否与速度密度平方可积。因此，当β>1+κ时，根据定理5.2，这是一个递归函数。根据Girsanov定理，X遵循Qπ：dXt=κ（∧θ）下的过程- Xt）Xtdt+σXtdBQπt（E.4），其中∧θ=θ-σκ. 由于β：=2κθσ>1，X在Qπ下是正递归的，我们证明了π是递归本征函数。当β≤ 1+κ，π（x）=x-1/κ不能与速度密度平方可积。然而，根据定理E.1，π（x）仍然是定价半群的本征函数，因此定义了正鞅和相应的本征测度。根据Girsanov定理，X在Qπ下遵循等式（E.4）。当β=1（β=1+κ）时，它是无效的。因此，π是循环本征函数。当β<1+κ时，β<1和X在Qπ下是瞬态的，而0是吸引边界。因此，在这种情况下π不能是递归的（在这种情况下没有递归的本征函数）。E.6有界区间上的一维差异与反射我们的最后一个例子是一个模型，其中状态变量是有限区间[l，r]上的d裂谷u（x）和波动率σ（x）的差异，短期利率rt=r（Xt）是x的函数。我们假设u和σ在闭合区间[l，r]上是连续的，[l，r]上的σ（x）>0。

r区的边界对于扩散过程来说是规则的，我们规定它们是瞬时反射的。r（x）假定为非负且在[l，r]上连续。定价半群的生成元isAπ=σ′（x）π′′+u（x）π′- r（x）π在l和r处的Neumann边界条件对应于gto中的瞬时反射，π′（l）=0和π′（r）=0。根据正则Sturm-Liouville理论，L（[L，r]）中的谱是纯离散的，L（[L，r]）中的半群是带e值的迹类-λnT当λn以与n成正比的速率递增时，本征函数φn（x）在[l，r]上是连续的，定价半群的密度p（t，x，y）在[l，r]×[l，r]上是连续的。在这种情况下，假设5.1得到满足，定理5.1成立，并且存在一个唯一的递归函数，它是主L（[L，r]）-本征函数π（x）=φ（x）。具有n的所有更高本征函数≥ 1在[l，r]上不是严格正的。在Qπ下，X在[l，r]上随漂移u（X）+σ（X）π′（X）/π（X）而变化，并在两个边界处发生瞬时反射。因此X在Qπ下是连续的，π是循环本征函数。注意，由于π的Neumann边界条件，dRiftσπ′（x）/π（x）中的风险溢价项在边界l和r处消失。因此，在边界附近，Qπ下的过程与风险中性测度下的原始过程类似。然而，在区间内，我们在漂移中恢复了一个非平凡的风险溢价。

这与C arr和Yu（2012）关于罗斯恢复的结果一致，该结果适用于规则边界有界层段上的1D差异（关于反射边界的罗斯恢复的更多信息，请参见Dubynsky和Goldstein（2013））。与本节中前面导致奇异SL问题的微分方程不同，在这种情况下，[l，r]上的正则SL方程没有任何非l（[l，r]）解，因为[l，r]上的连续函数在[l，r]上是平方可积的。因此，在这种情况下不存在附加的非L（[L，r]）正连续本征函数。F有效项结构中的递归本征函数。我们在本节中处理的过程取状态空间E=Rm+×Rn中的值≥ 0，其中m+n=d，其中Rm+=十、∈ Rm：xi≥ 0表示i=1。。。，M, 在这里，它解出以下SDE:dXt=b（Xt）dt+ρ（Xt）dBQt，X=X，其中扩散矩阵α（X）=ρ（X）ρ（X）对于一些d×d-矩阵a和αi以及d维向量b和βi，漂移b（x）在x中是有效的：α（x）=a+dXi=1xiαi，b（x）=b+dXi=1xiβi=b+bx，其中我们用b=（β，…，βd）表示d×d-矩阵和第i列向量βi，1≤ 我≤ d、 Xare CIR类型和的First m坐标为非负坐标，而最后n个坐标为OU类型。定义指数集I={1，…，m}和J={m+1，…，m+n}。对于任意向量u和矩阵ν，以及索引设置m，N∈ {I，J}，我们用uM=（uI）I表示∈M、 νMN=（νij）i∈M、 j∈n相应的子向量和子矩阵。在不丧失一般性的情况下（参见菲利波维奇和迈尔霍夫（2009）的定理7.2），我们假设函数是以下意义上的标准形式：dXI（t）=（bI+BIIXI（t）+BIJXJ（t））dt+ρII（X（t））dBQI（t），XI（0）=XI，（F.1）dXJ（t）=（bJ+bjixixixi（t）+bjxj（t））dt+ρJJ（X（t））dBQJ（t），XJ（0）=XJ，（F）=.2）其中矩阵ρ（X）是带ρIJ（X）的blo-ck对角线≡ 0，ρJI（x）≡ 0，ρII（x）=diag(√十、√xq，0。

ρJJ（x）ρJJ（x）= 对于某些整数0，aJJ+mXi=1xiαi，JJ（F.3）≤ Q≤ m、 为了确保过程保持在域E=Rm+×rN和规则外简并，我们对系数做了以下假设。假设F.1。（容许性和非简并性）（1）所有i=1，2，…，的aJJandαi，JJare对称正半定义。。。，m、 （2）q=m，aJJ+Pmi=1αi，JJis非奇异，（3）bI>0，BIJ=0，BIIhas非负对角元素。非简并假设（2）确保没有任何风险因素是多余的。假设（3）中CIR型分量漂移中的常数向量bI>0的正性确保了当过程到达状态空间的边界时E、 它将返回到状态E=Rm++×Rn（Rm++:=十、∈ Rm:xi>0表示i=1。。。，M) 不会减少边界上的扩散。这一条件在文献中通常被施加在一个新模型上（参见Glasserman和Kim（2010）以及Dai和Singleton（2000））。对于满足假设F.1的任何p参数，SDE（F.1）（F.2）的唯一解取E中的值（参见Filipovi’c和Mayerhofer（2009）的定理8.1）。用qx表示x的有效解xxne的定律∈ E、 Qx（Xt）∈ A） ：=Q（Xxt）∈ A） 。然后qt（x，A）=Qx（Xt∈ A） 定义的f或所有t≥ 0，Borel s子集合A的E和x∈ 定义了马尔科夫转移半群（Qt）t≥0关于Eby-Qtf（x）：=REf（y）Qt（x，dy）上Borel可测有界函数的Banach空间。如Duffeeet al.（2003）所示，这个半群是Feller，也就是说，它离开了在单位不变时消失的连续乐趣空间。因此，马尔可夫过程(Ohm, F，（Xt）t≥0，（Qx）x∈E） 是E上的Feller过程。它在E上有连续的路径，并且具有强马尔可夫性质（参见Yamada and Watanabe（1971），推论2，第162页）。

因此，这是一个Borel过程（实际上是一个狩猎过程）。在一个有效期结构模型中，短期利率过程RTI被指定为有效期=r（Xt）=γ+δ对于某些常数γ和一个d维向量δ。由于以下结果（参见菲利波维奇和梅尔霍夫（2009）的定理4.1），该模型被称为有效。提案F.1。（零息债券）设τ>0。以下陈述是等效的：（i）等式[e]-RτR（Xxs）ds]<∞ f或全部x∈ Rm+×Rn。（ii）存在唯一解（Φ（·u），ψ（·u））：[0，τ]→ 以下Riccati方程组截至时间τ的C×CdtΦ（t，u）=ψJ（t，u）aJJψJ（t，u）+bψ（t，u）- γ、 Φ（0，u）=0，tψi（t，u）=ψ（t，u）αiψ（t，u）+βiψ（t，u）- δi，i∈ 我tψJ（t，u）=BJJψJ（t，u）- δJ，ψ（0，u）=u（F.5）表示u=0。在任何一种情况下，Rd中都存在一个0的开凸邻域U，使得Riccati方程组（F.5）允许一个唯一解（Φ（·U），ψ（·U））：[0，τ]→ C×CDA代表ALU∈ S（U）：={z∈ Cd | z的真实部分∈ U} ，以下有效陈述成立：EQhe-RTtr（Xxs）ds+uXxT | Fti=eΦ（T-t、 u）+ψ（t）-t、 u）Xxt（F.6）适用于所有美国∈ S（U），t≤ T≤ t+τ和x∈ Rm+×Rn。接下来，我们考虑均值回复函数的一个子类。定义F.1。（均值回复有效差）在假设F.1下，如果有效差X的漂移向量具有以下形式，则称为均值回复：b（X）=b（X- θ） ，（F.7），其中矩阵B的所有eig值都有严格负实部和θ∈ Rm++×Rn。在均值回复情况下，常微分方程组的唯一解dY（t）/dt=B（Y（t）- θ） 从任何初始条件Y=Y开始∈ E收敛到θ为t→ +∞. 由于BIJ=0，B的所有特征值都具有严格负实部的条件意味着Bii和Bjjalso具有严格负实部的特征值。

再加上BIIhas为非负反对角元素的条件，它意味着-BIIS是一个非单M-矩阵。关于M-矩阵的性质，我们参考了Berman和Plemmons（1994）或附录ix G。假设bI>0，如果-BII是一个非奇异M矩阵，BJJHAVE的所有特征值都是严格负实部，我们有-B-1b∈ Rm++×Rn。因此，b（x）可以用θ=-B-1b。因此，我们有以下几点。提议F.2。（平均值重新转换的必要和充分条件）在假设F.1下，X是一个平均值，当且仅当-BII是一个非奇异M-矩阵，BJJ的所有特征值均为严格负实部。我们可以证明以下关于平均混响效应的结果，这对我们研究循环本征函数至关重要。提案F.3。（均值回复效应的复发）在假设下。1，如果解X=（Xx）X∈有效SDE的Eof是均值回复和（Qx）x∈注意Xx的概率定律，然后是Borel-right过程（X，（Qx）X）∈E） 在定义上是反复出现的3。1.鉴于Glasserman和Kim（2010）关于均值回复效应的平稳分布的结果，这一结果并不令人惊讶，但由于一些测量问题，定义3.1意义上的复发证明是技术性的，此处省略。这种困难源于一个事实，即从扩散理论的角度来看，扩散是退化的，ρii（x）=√xiv边界上的所有元素xi=0。现在我们将寻找指数形式的单项结构模型的定价算子的正特征函数。我们从ansatzπ（x）=eu开始对于定价算子Pt的正特征函数。

那么向量u必须满足每个x的方程∈ E和t>0:EQhe-Rtr（Xxs）ds+uXxti=欧盟十、-λt.（F.8）使用等式。（F.6）和（F.5），等式（F.8）y ields如下（在这种情况下Φ（t，u）=-λt，ψ（t，u）=u）：λ=γ-U贾朱杰- Bu、 uαiu+βiu- δi=0我∈ 一、 BJJuJ- δJ=0。（F.9）假设BJJ的所有特征值均为严格负实部。然后从上一个方程uj=（B）中立即找到（m+n）维向量u的非奇异分量（n-d压缩向量）（JJ）-1δJ.将这个结果代入第二个方程，我们得到了一个二次向量方程，用于它们的维向量uI（u的CIR分量）：MuI=c+uI，（F.10），其中uI表示m维向量的分量（uI）i=uI，i=1，m、 它们×m-矩阵m和m-维向量c由（回想一下，在不丧失一般性的情况下，我们假设ρ（x）是标准形式（F.3））：m=-B二、 ci=-δi+m+nXj=m+1bj+m+nXj，k=m+1αi，jkujuk。（F.11）一般来说，二次向量方程（F.10）可以没有、一个或多个解。如果Ui是二次向量方程（F.10）的解，那么π（x）是具有特征值e的Pricing算子的正特征函数-λ乘以λ，由（F.9）中的第一个方程给出。进程mxt=eλt-Rtr（Xxs）dsπ（Xt）π（x）=eu（Xxt）-x） +λt-Rt（γ+δ）Xxs）ds（F.12）则是每个x的单位平均正Qx鞅∈ E和可用于定义每个x的新概率度量Qπxf∈ E.根据这项措施，仍需验证X是否反复出现。附录G给出了（F.10）形式的二次向量方程的一些关键结果。基于这些结果，我们能够给出充分的条件，以确保存在一个解决方案，Cheridito等人给出了关于局部等价测度变换和有效模式中保持有效性的风险溢价的一般研究。

(2007).因此X是与正本征函数π（X）=eu相关的Qπ下的均值回复函数x、 根据命题F.3，在定义3.1的意义上，均值回复效应是反复出现的。因此，X在相应的Qπ下是循环的。最后，根据eorem 3.3，解是唯一的，π是唯一的递归本征函数。定理F.1。（扩散模型中存在一个循环特征函数）LetX是一个扩散（F.1）-（F.2）在风险中性概率下满足假设F.1 Q和r是短期利率（F.4）。假设X的系数满足以下附加假设：（i）如果n>0，则矩阵bjj的所有特征值都具有严格负实部；（ii）如果m>0，则存在向量y∈ Rm，这样以下不等式成立（这里向量yhas分量（y）i=yi，M和c在（F.11）中定义）：- C-y> 0。然后存在一个唯一的正本征函数，它具有指数形式π（x）=eux=欧盟IxI+u特征值为e的jxjj-λtwithλ=γ-U贾朱杰- Bu、 其中uI=u*在假设（i）和（ii）下，二次向量方程（F.10）的最小解保证存在，anduJ=（B（JJ）-1δJ，使得在相应的概率测度Qπ下，过程X遵循具有以下漂移参数的平均反演扩散（F.1）-（F.2）：~bI=bI，~BII=BII+diag（u*, ..., U*m） ，bJ=bJ+aJJuJ，（F.13）~BJJ=BJJ，（~BJI）ki=（BJI）ki+m+nXl=m+1αi，klul，i=1。。。，m、 k=m+1。。。，由（m+n）维Qπ标准布朗运动BQπt=BQt驱动-Rt∧sds，风险过程的市场价格由∧i（t）=（i）i（t）=u给出*ipXi（t），i=1，m、 ∧J（t）=ρJJuJ。（F.15）证据。

首先假设你*它是二次向量方程的解（不一定是最小的），mx是相应的鞅（F.12），Qπxis是相应的概率测度。根据它的公式，dMxt=Mxt∧tdBQt，其中∧t=（I（t），J（t））由式（F.15）给出。根据Girsanov定理，过程BQπ是Qπ下的标准布朗运动。然后，X立即用漂移参数（F.13）-（F.14）和Qπ下不变的ρ（X）解出a ffine SDE（F.1）（F.2）。直接验证Qπ上的漂移参数满足假设F.1是很直接的。接下来，我们验证条件（i）和（ii）确实足以确保最小溶液u*在Qπ下，函数过程X是均值回复的。首先我们观察到M是一个Z矩阵。根据定理G.1，等式（F.10）有一个解，当且仅当向量y存在，例如M y- C-Y≥ 0.如果存在解，则存在最小解U*我就是- 诊断（u）*, ..., U*m） 是一个m矩阵（参见附录G）。如果存在满足严格不等式的向量y-C-y> 0，然后是M-诊断（u）*, ..., U*m） 是一个非单乌拉尔姆矩阵。因此，条件（ii）保证了最小解u*存在一个矩阵M-诊断（u*, ..., U*m） 是一个非奇异m矩阵。命题F.2 X是Pπ下的均值回复微分，当且仅当-■BII=-BII-诊断（u）*, ..., U*m） 是一个非奇异m矩阵（由条件（ii）保证），BJJ的所有特征值都有严格负实部（由条件（i）保证）。因此，我们已经验证了条件（ii）对于最小解u是有效的*Ito存在，且条件（i）和（ii）一起足以使X在对应于该解的测量变化Qπ下均值回复。根据命题F.3，X在Qπ下是连续的。

最后，根据定理3.3，递归特征函数是唯一的。有两种特殊情况下，定理F.1中的条件（ii）在不受系数限制的情况下自动成立。第一种情况是δI>0，δJ=0。在这种情况下，空头率取决于CIR系数Xind和OU系数XJ。第二种情况ism=0，因此X是一个无CIR因子的n维OU过程。条件（ii）仅仅是一种非退化条件。它的较弱版本，要求存在y，例如M y-C-Y≥ 0（d）表示为（ii）*），仍然保证等式（F.10）有解。但在这个解对应的测度变化下，X不一定是均值回复。（ii）中的严格等式与假设（i）一起，保证了X在对应于解的测度变化下的均值回复性质，从而确保了重现性。正如附录G中定理G.1的证明中所解释的，方程式（F.10）可以通过牛顿迭代轻松地进行数值求解。从负初始向量u<0开始。给定uk，通过求解线性系统j（uk）（uk+1）得到向量uk+1- 英国）=-F（英国）与F（u）=Mu- C-uand雅可比J（u）=M- 诊断（u，…，嗯）。如果牛顿迭代收敛到一个解u，那么我们检查矩阵J（u）=M-diag（u，…，um）是一个非奇异矩阵。如果是，那么这是一个极小解，X在相应的回复下是循环的。如果牛顿迭代收敛，但解是这样的，J（u）=M-diag（u，…，um）不是一个非奇异M矩阵，那么这个解不是极小的，即u*< u、 我们通过选择一个新的起点继续寻找一个最小解，然后重复这个算法。如果牛顿的迭代不收敛，那么我们的起点u>u*, 或者没有解决方案（条件（ii）*不满足）。