然后我们选择一个新的起点并重复算法。详情见附录G。G二次向量方程。我们研究（F.10）形式的二次向量方程。我们从anM矩阵的定义开始（见Berman and Plemmons（1994））。定义G.1。如果矩阵a可以表示为a=sI- s>0和B的B≥ 0与≥ ρ（B），B的谱半径，那么A称为M矩阵。如果s>ρ（B），则A称为非奇异M矩阵。提案G.1。如果A是Z矩阵（即带有非正对角项的矩阵），则以下条件相当于A是M矩阵。如果x6=0，y=Ax，那么对于某些下标i，xi6=0，xiyi≥ 0.提案G.2。如果A是Z-矩阵，那么以下条件等价于非奇异M-矩阵：（i）A的每个特征值的实部为正。（ii）A-1存在和-1.≥ 0.（iii）如果≥ I+M表示M-矩阵M且>0。（iv）存在x≥ 使Ax>0。设F（x）=Mx- C-x和J（x）=M- d iag（x，…，xm）（雅可比矩阵）。我们考虑方程F（x）=0。解决方案x*被称为minimal，如果对于任何其他解x，我们必须有这个x*≤ x、 我们得到了以下结果。定理G.1。如果M是Z-矩阵，那么：（i）F（x）=0有一个解i F，并且仅当存在向量y，使得F（y）≥ 如果F（x）=0至少有一个解，则存在一个最小解x*. Fu rthermore，J（x）*) 是anM矩阵。（iii）如果F（x）=0有一个最小解x*, 然后从任何x<x开始*牛顿迭代法（xk）k≥0solvingJ（xk）（xk+1- xk）=-F（xk）（G.1）单调收敛于x*, x<x<…<十、*.（iv）如果存在向量y，则F（y）≥ 0，然后是最小解x*≤ y、 （v）如果存在一个向量y，使得F（y）>0，那么F（x）=0有一个最小解x*< y、 此外，J（x）*) 是一个非奇异M矩阵。证据

（i） 设ξ+θ=x，其中θ是一个非正常数向量。将其代入f（x）=0，我们得到：[M- diag（θ，…，θm）]ξ=[c+θ- Mθ]+ξ。我们可以选择θk=-s、 所以我-diag（θ，…，θm）=sI+m。通过定义G.1和命题。2（iii），我们可以选择足够大的- diag（θ，…，θm）是一个非单m-矩阵。此外，由于c+θ-Mθ是四次有理且严格凸的，我们可以选择足够大的s，使c+θ-Mθ>0。最后，F（x）=0的解的数量是有限的，因此，如果s很大，则F（x）=0的每个解x满足x>θ。我们选择满足上述所有属性的s。现在，让我们定义M=M-diag（θ，…，θm），~c=c+θ-Mθ，~F（ξ）=~Mξ-~c-ξ.~J（ξ）=~M-diag（ξ，…，ξm）。那么F（x）=0相当于Mξ=~c+ξ，（G.2），其中M是一个非奇异的M-矩阵和c≥ 所以它只能有严格的正解。根据Poloni（2011）的引理3.4，当且仅当存在向量时，等式（G.2）具有正解≥ 0，使得F（y）≥ 假设存在一个向量y，使得F（y）≥ 当ξ+θ=x时，我们可以选择θ<y和η=y- θ>0，使得/F（η）≥ 这意味着eq。（G.2）（因此F（x）=0）有一个解。相反，如果F（x）=0有一个解，则存在这样的解：F（y）≥ 这证明了（我）。（ii）当ξ+θ=x时，由于∧J（ξ）=J（x），因此（ii）遵循Poloni（2011）的定理3.1和3.2。（iii）选择x<x*. 我们通过归纳证明xk<x*. 对于k=0，x<x*, 所以基本步骤是成立的。假设xk<x*. 自J（x）*) 是一个M-矩阵且xk<x*, 根据命题G.2（iii）和（ii），J（xk）=M- diag（xk，…，xkm）是一个非奇异的M-矩阵和（J（xk））-1.≥ 0.因此，牛顿的迭代得到了很好的定义。

为了显示单调性，我们首先注意到，对于每个kJ（xk）（x*- xk）+F（xk）=（x*-xk）>0。自（J（xk））-1.≥ 这意味着0-（J（xk））-1F（xk）<x*-xk，这意味着xk+1<x*对于每个k，这就完成了归纳。通过牛顿迭代（G.1），F（xk）=-（xk）- xk-1)≤ 0代表所有k≥ 1.我们已经展示了（J（xk））-1.≥ 因此，通过（G.1），我们得到xk+1≥ XK适用于所有k≥ 1.这意味着xkis是一个单调序列，其上以x为界*, 因此，它必须趋同。将其极限表示为x∞≤ 十、*. 然后取等式（G.1）中的极限，我们得到F（x）∞) = 0，也就是x∞是方程F（x）=0的解。通过最小解的定义，x∞= 十、*.（iv）选择x小于x的x*, x<y，并将其作为牛顿迭代的起点。正如在上一个陈述的证明中，我们可以通过归纳证明xk<y，然后取极限（iv）。（v） 通过（i）和（ii），我们知道F（x）=0有一个最小解x*. 考虑另一个二次向量方程F（x）=Mx- \'c-其中，c=c+F（y）（请注意，y在假设中给出，并且是固定的）。因为F（y）=0，同样通过（i）和（ii），我们知道F（y）=0有一个最小解x*≤ y、 自F（`x*) =\'F（\'x*) + F（y）=F（y）>0，乘以（iv）最小解x*F（x）=0*≤ \'x*. 设ξ=x*- 十、*≥ 0.我们可以验证j（x）*)ξ=F（y）+ξ>0。自J（x）*) 是一个Z-矩阵，由命题G.2（iv），J（x）*) 是非奇异M矩阵。自J（x）*) isZ矩阵，ξ≥ 0和J（x）*)ξ>0，我们看到ξ>0。因此x*< \'x*≤ Y二次项结构模型中的回归本征函数本节研究二次项结构模型中的回归本征函数（Beaglehole and Tenney（1992），Constantinides（1992），Rogers（1997），Ahn et al.（2002），an d Chen et al.（2004））。

假设x是在Q:dXt=（b+BXt）dt+ρdBQt下求解SDE的d维OU过程，其中b是d维向量，b是d×d矩阵，ρ是非奇异d×d矩阵，因此扩散矩阵a=ρ是严格的正定义。短速率函数取ber（x）=γ+δx+xΦx，其中常数γ、向量δ和对称正半有限矩阵Φ被视为所有x的短速率均为非负∈ Rd.如果Φ是严格正定义，则QTSM满足理论5中的充分条件。3（自r（x）起）→ ∞ 作为kxk→ ∞), 这里有一个唯一的循环本征函数。如果Φ是半正定的，这种情况通常超出定理5.3中的有效条件，但仍然可能存在唯一的递归特征函数。下面我们将建立一个有效的条件。我们假设Φ不为零（如果为零，则模型简化为只有OU因子且没有CIR因子的有效模型，并在最后一节中介绍）。考虑一个指数二次函数fu，V（x）：=e-U十、-十、vx，其中向量u和对称正半有限矩阵V是x+xVx≥ c代表所有x∈ Rd和一些实常数c。然后，以下公式成立（参见Chen等人的定理3.6）。

（2004）：EQxhe-RTr（Xs）dsfu，V（XT）i=e-l（T，u，V）-m（T，u，V）十、-十、N（T，u，V）x，（H.1），其中标量l，向量m和对称矩阵N满足Riccati方程（tr（·）表示矩阵轨迹）：tl（t，u，V）=F（m（t，u，V），N（t，u，V）），l（0，u，V）=0，tm（t，u，V）=R（m（t，u，V），N（t，u，V）），m（0，u，V）=u，tN（t，u，V）=t（m（t，u，V），N（t，u，V）），N（0，u，V）=V，（H.2）带F（m，N）=-Mam+tr（aN）+mb+γ，R（m，N）=-2Nam+Bm+2Nb+δ和t（m，N）=-2南+BN+NB+Φ。我们寻找指数二次型fu，V（x）：Ehe的定价算子的正本征函数π（x）-RTtr（Xs）ds+λTfu，V（Xt）i=fu，V（x）。使用Eqs。（H.1）和（H.2），我们发现矩阵V满足所谓的连续时间代数ICCATI方程（CTARE）（此类方程在随机控制文献中得到了很好的研究，参见Lancaster和Rodman（1995））2V aV- B五、- V B- Φ = 0.给定CTARE解V，向量u满足线性方程2v au- BU- 2V b- δ = 0.给定解u和V，特征值为λ=γ-Uau+tr（aV）+ub、 首先假设Φ为正定义（这是罗杰斯（1997）的例子3.2所考虑的情况）。然后根据CTARE理论，存在唯一解V，使得矩阵B的所有特征值- 2aV有负实部。标准数值算法可用于确定数值解，包括在Matlab中。自从矩阵B- 2aV是奇异的n，e也是u的唯一解。然后我们有一个正的Q-鞅Mπt=e-Rtr（Xs）ds+λtfu，V（Xt）/fu，V（X）可以定义一个新的度量Qπ。通过它的^o公式，我们得到了∧Mπt=-~Mπt∧（Xt）dBQt，其中∧（Xt）=ρ(-U- 2V Xt）。根据Girsanov定理，BQπt=BQt-Rt∧（Xs）ds是Qπ下的标准布朗运动。

因此，在QπdXt=（b- au+（B）- 2aV）Xt）dt+ρdBQπt.因为矩阵B的特征值-2aV有非负实部，X是平均混响tin g，因此，循环和er Qπ（参见附录F）。因此π=fu，相对于唯一的循环本征函数。现在考虑Φ仅为正半定义的情况。根据CTARE理论（参见Lancaster和Rodman（1995）第234页），如果, Φ）是可稳定的，其中B是风险中性测度Q下OU过程漂移中的矩阵，则存在CTARE的唯一正半有限解V，矩阵的所有特征值- 2aV具有严格的负实部（该解可通过标准数值算法在数值上找到）。因此，在这种情况下，X是Qπ下的均值回复，对应于这个解（u，V），π=fu，相对于递归本征函数。I JumpsLi等人（2015）提出的CIR过程的重现性，获得了JCIR过程的过渡密度的分析表示。从eir结果可以看出，JCIR过程具有正密度。因此，它与勒贝格测度是不可约的。另一方面，我们知道跳跃微分过程具有Feller性质（参见Duffee等人（2003）定理2.7）。根据定理3.2（ii）→（iii）在S chilling（1998）中，其转换半群将有界连续函数映射为有界连续函数。根据Tweedie（1994）的定理7.1，X是一个T模型。取任意点x∈ R+。根据Tweedie（1994）的定理4.1，X在定义B.3的意义上是递归的，当且仅当xis拓扑递归（当R（X，O）=∞ 适用于所有社区（x中的O）。根据Keller Restel and d Mijatovic（2012）的定理2.6，X在Qπ下有一个极限d分布，该极限分布也是一个平稳分布。

由于JCIR过程具有正的跃迁密度，因此很明显，它的平稳测度必须对x的每个开放邻域（实际上，每个集合都具有正的勒贝格测度）充电。因此很容易看出R（x，O）=∞ 对于x的O的所有社区，即x在拓扑上重复出现。因此，X在定义B.3（R1）的意义上是反复出现的。由于X相对于Lebesgue测度具有正的跃迁密度，因此满足假设B.1。因此，命题B.1 X在定义3的意义上也是反复出现的。1（R0）。参考文献-安和高。期限结构动力学的参数非线性模型。《金融研究评论》，12（4）：721-7621999。D-H.Ahn、R.F.Dittmar和A.R.Gallant。二次期限结构模型：理论与证据。《金融研究回顾》，15（1）：243–2882002。阿尔巴尼斯和库兹涅佐夫。统一三个波动率模型。《风险》，17（3）：94-982004年。C.Alb an ese、G.Campolieti、P.Carr和A.Lip ton。布莱克·斯科尔斯采用超几何方法。风险，14（12）：99-1032001。阿尔瓦雷斯和杰曼。用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《计量经济学》，73（6）：1977-2016年，2005年。W.O.Amerin、A.M.Hinz和D.B.Pearson。斯特姆·刘维尔理论。伯赫奥瑟，巴塞尔，2005年。F.奥德里诺、R.惠特马和M.路德维格。罗斯恢复定理的实证分析。SSRN提供，http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2433170, 2014.矩阵对（B）, Φ）是可稳定的当且仅当t存在矩阵K，使得矩阵B的所有特征值+ ΦK有负实部。J.Az\'ema、M.Kaplan Du fl o和D.Revuz。马尔可夫过程的重现性。亨利·庞卡研究所年鉴（B）《概率与统计》，2（3）：185-2201966年。J.Az\'ema、M.Kaplan Du fl o和D.Revuz。

这是马尔可夫过程中的固有现象。Zeitschrift f–ur W Ahrscheinlichkeitsforerie and Verwandte Gebiete，13（3-4）：286-3141969。G.Bakshi和F.C habi-Yo。随机贴现因子的永久性和暂时性分量的方差界。《金融经济学杂志》，105（1）：191-208，2012年。G.Bakshi、F.Chabi-Yo和X.Gao。对长期债券预期超额收益的性质和变化来源的调查。可从SSRN获得，http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2600097, 2015.D.比格尔霍尔和M.坦尼。对“利率期限结构的非线性均衡模型”的修正和补充。《金融经济学杂志》，32（3）：345–353，1992年。A.伯曼和R.J.普莱蒙斯。《数学科学中的非负矩阵》，美国工业和应用数学学会，1994年。R.M.布卢门塔尔和R.K.盖托。马尔可夫过程和势理论。学术出版社，1968年。A.N.博罗丁和P.萨尔米宁。布朗运动手册-事实和公式。Birkh\'auser，2002年。J.博罗夫·伊奇卡和L.P.汉森。从资产定价的角度审视宏观经济模型。《经济计量学杂志》，183（1）：67–902014。J.Boroviˇcka、L.P.Hansen和J.A.Scheinkman。错误的恢复。在SSRN上可用，http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2441376, 2014.N.博亚琴科和S.列文多斯基。多因子二次项结构模型的特征函数展开法。《数学金融》，17（4）：503–5392007。P·卡尔和J·余。风险、回报和恢复。衍生工具杂志，12（1）：38-592012。E.C,inlar、J.Jacod、P.Pr otter和M.J.Sharpe。半鞅和马尔可夫过程。Zeitschriftfur Wahrscheinlichkeitsfore and Verwandte Gebiete，54（2）：161–2191980。L.Chen、D.Filipovi\'c和H.V.Poor。无风险和可违约利率的二次期限结构模型。

《数学金融》，14（4）：515–5362004。陈志强和福岛。对称马尔科夫过程，时间变化和边界理论。普林斯顿大学出版社，2011年。P.Cheridito、D.Filipov\'c和R.L。金梅尔。有效模型风险规格的市场价格：理论和证据。《金融经济学杂志》，83（1）：123-1702007。G·M·康斯坦丁尼德斯。一种关于利率的不祥期限结构的理论。《金融研究回顾》，5（4）：531-5521992。J·C·考克斯，Jr·J·E。英格索尔和S.A.罗斯。资产价格的跨期一般均衡模型。《计量经济学》，53（2）：363-3841985a。J·C·考克斯、Jr·J·E·I·恩格尔索尔和S·A·罗斯。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385-4081985b。Q.戴和K.J.辛格尔顿。短期结构模型的规格分析。《金融杂志》，55（5）：1943-1978，2000年。E·B·戴维斯。线性算子及其谱。剑桥大学出版社，2007年。D.达维多夫和V.莱恩茨基。基于标量差的期权定价：特征函数展开法。运营研究，51（2）：185-2092003年。F·D·奥伯·莱因和M·施韦泽。关于s-Martin gale期限结构模型中的储蓄账户。随机分析与应用，19（4）：605–6262001。F·D·奥贝林、M·施韦泽和C·斯特里克。隐含储蓄账户是独一无二的。《金融与随机》，4（4）：431-4422000。S.杜宾斯基和R.戈尔茨坦。从财务激励中恢复漂移和p参考参数。可在SSRN上获得，2013年。《动态资产定价理论》，第三版，普林斯顿大学出版社，2002年。D.杜菲和N.加里诺。债务抵押债券的风险和估值。《金融分析师期刊》，2001年第41-59页。D.杜菲和M.B.加曼。跨期套利与证券的马尔可夫估值。《冰的经济》，第49:37–60页，1991年。D.杜菲和R.简。利率的收益率模型。

数学金融，6（4）：379-4061996。D.杜菲、J.潘和K.辛格尔顿。转换分析和资产定价，以实现跳跃式的差异。《计量经济学》，68（6）：1343-13762000。D.杜菲、D.菲利波维奇和W.沙切迈耶。FIN ce中的一系列流程和应用。《应用概率年鉴》，13（3）：984–1053，2003年。A.埃尔德利。《高等超越函数》，第一卷，纽约：麦格劳·希尔，1953a。A.埃尔德利。高等超越函数，第二卷。纽约：麦格劳·希尔，1953b年。S.N.Ethier和。G.库尔茨。马尔可夫过程的特征和收敛性。威利国际科学出版社，2005年。W·N·埃弗里特。Sturm-Liouville微分方程目录。摘自：W.O.阿姆莱因、A.M.辛茨、皮尔逊D.B.（编辑部）、斯特尔麦克柳维尔理论。巴塞尔伯赫奥瑟，第271-331页，2005年。D.Filipovi’c.单因素有效期限结构模型的一般特征。《金融与随机》，5（3）：389-4122001。D.菲利波维奇和E.梅尔霍夫。有效扩散过程：理论与应用。Radon Series计算与应用数学，8:125–164，2009。B.弗莱萨克和L.P.胡格斯顿。积极的兴趣。风险，9（1）：46-491996年。J-P.Fouque、S.Jaimungal和M.Lorig。快速均值回复随机波动率模型中期权价格的谱分解。暹罗金融数学杂志，2（1）：665–6912011。福岛、大岛和武田。Dirichlet形式和对称马尔可夫过程。DeGruyter，2010年。M·B·加曼。走向EMIS集团定价理论。《金融杂志》，40（3）：847-8611985。H.Geman、N.El Karoui和J.Rochet。计分制的变化、概率测度的变化和期权定价。应用概率杂志，32（2）：443-4581995。R.K.格图。马尔可夫过程的存在性和重现性。S\'eminaire de Probabilit\'e S X IV1978/79784:397–4091980。P.格拉斯曼和K-K.金。有效差分模型中的力矩爆炸和平稳分布。

数学金融，20（1）：1-332010。V.Gorovoi和V.Linetsky。布莱克的利率期权模型、特征函数展开和日本利率。数学金融，14（1）：49-782004。V.Gorovoi和V.Linetsky。基于强度的抵押贷款估值：一个分析可处理的模型。《数学金融》，17（4）：541-573，2007年。L.P.汉森。随机经济中的动态估值分解。《计量经济学》，80（3）：911-9672012。L.P.汉森。另类投资期限的风险定价。《金融经济学手册》，2（B）：1571-161112013。L.P.汉森和E.雷诺。定价内核和随机折扣因子。《定量金融百科全书》，Rama Cont（编辑），霍博肯威利，1418-1427，2009年。L.P.汉森和J.A.舍因克曼。长期风险：运营商方法。《计量经济学》，77（1）：177-2342009。L.P.汉森和J.A.舍因克曼。定价增长——利率风险。《金融与随机》，16（1）：1-152012a。L.P.汉森和J.A.舍因克曼。具有随机增长的马尔可夫环境中的递归效用。NAS会议录，109（30）：11967-119722012b。L·P·汉森和d·J·A·舍因克曼。随机组合和不确定估值。Forthcominin Apr\'es le D\'eluge:金融和危机后的共同利益，Ed Glaeser，塔诺·桑托萨和格伦·韦尔主编，2014年。詹布兰科先生、约尔先生和切斯尼先生。金融市场的数学方法。2009年春天。Y.Jin和P.Glasserman。均衡正利率：一个统一的观点。《金融研究回顾》，14（1）：187–214，2001年。I.Karatzas、J.P.Leh oczky和S.E.Shreve。具有奇异资产价格的均衡模型。数学金融，1（3）：11-291991年。S·卡林和H·M·泰勒。随机过程的第二门课程。海湾专业出版社，1981年。M·K·埃勒·雷塞尔和A·米贾托维奇。

关于具有迁移的连续状态分支过程的极限分布。《随机过程及其应用》，122（6）：2329–23452012。I.Kontoyiannis和S.P.Meyn。大偏差渐近性与乘性正则马尔可夫过程的谱理论。概率电子杂志，10（3）：61–123，2005年。兰卡斯特和罗德曼。代数Riccati方程。奥克斯福特大学出版社，1995年。H·兰格和W·S。申克。广义二阶微分算子，相应的gapdi函数和超谐变换。Mathematische Nachrichten，148（1）：7-451990。刘易斯。特征函数展开在连续时间金融中的应用。《数学金融》，8（4）：349-383，1998年。刘易斯。随机波动下的期权估值。数学金融，8（4）：349-3832000。L.李和V.莱恩茨基。最佳停止和早期锻炼：特征函数展开法。运筹学，61（3）：625–643，2013年。L.李和V.莱恩茨基。时变Ornstein-Uhlenbeck过程及其在商品衍生模型中的应用。《数学金融》，24（2）：289–330，2014年。L·李、R·门多萨·阿里亚加和丹尼尔·米切尔。基本功能差异的分析表示。工作文件，2015年。莱恩茨基。期权价值的光谱分解。《国际理论与应用金融杂志》，7（3）：337–38420004a。莱恩茨基。亚洲（平均价格）期权的频谱扩展。运筹学，52（6）：856–86720004b。莱恩茨基。常漂移贝塞尔过程的谱表示：在排队和金融中的应用。《应用概率杂志》，41（2）：327–34420004c。莱恩茨基。为可能破产的股票衍生品定价。数学金融，16（2）：255-282006。莱恩茨基。衍生产品定价中的谱方法。

运筹学与管理科学手册：金融工程，15:223–3002008。A.利普顿。外汇的数学方法：金融工程师的方法。世界科学基金会，2001年。A.利普顿和W.麦基。无国界障碍。风险，15（5）：81-852002。洛里格先生。时变快速均值回复随机波动率模型。《国际理论和应用金融杂志》，14（08）：1355-13832011。I.马丁。市场的预期回报是多少？工作文件，2014年。I.马丁和S.罗斯。长期债券。工作文件，2013年。H.麦肯。某些抛物型偏微分方程的初等解。《美国数学学会学报》，82（2）：519-5481956。R.门多萨·阿里亚加和V.莱恩茨基。在跳转到违约的扩展CEV模型下进行股票违约掉期定价。《金融与随机》，15（3）：513-5402011。R.门多萨·阿里亚加和V.莱恩茨基。通过多元隶属关系构造具有相关跳跃的马尔可夫过程：在多名称信贷权益模型中的应用。《数学金融》，将于2014年出版。R.门多萨·阿里亚加和V.莱恩茨基。随时间变化的CIR默认强度具有双边均值回复跳跃。《应用概率年鉴》，24（2）：811–8562014b。R.门多萨·阿里亚加、P.卡尔和V.莱恩茨基。Unified creditequity建模中的时变马尔可夫过程。《数学金融》，20（4）：527-5692010。R.C.默顿。理性期权定价理论。贝尔经济与管理科学杂志，4（1）：141-1831973。R.C.默顿。不确定条件下增长的渐近理论。《经济研究回顾》，42（3）：375–393，1975年。S.P.梅恩和R.L.特维迪。马尔可夫过程的稳定性II：连续时间过程和采样链。《应用概率的进展》，25（3）：487–5171993。E.努姆·埃林。一般不可约马氏链和非负算子。剑桥大学出版社，1984年。Z

帕尔莫夫斯基和T·罗尔斯基。马尔可夫过程测度指数变化的一种技术。伯努利，8（6）：767-7852002。R·G·平斯基。正调和函数和扩散。剑桥大学出版社，1995年。F.波罗尼。二次矩阵和向量方程的算法。Edizioni della Normale，2011年。L.秦和V.林埃茨基。长期风险：鞅方法。工作纸，http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2523110, 2014.D.Revuz和M.Yor。连续鞅与布朗运动，第293卷。斯普林格，1999年。L.C.G.罗杰斯。利率和汇率期限结构的潜在方法。数学金融，7（2）：157-1761997。L.C.G.罗杰斯。风险中性定价和Black-S-choles公式的起源。《风险管理和分析手册》，2:81-941998。S.A.罗斯。恢复定理。《谈话幻灯片》，2014年。S.A.罗斯。恢复定理。《金融杂志》，70（2）：615-6482015。谢弗。B anach格和正算子。斯普林格·维拉格，1974年。R.席林。Feller半群的保守性与扩张。《积极》，2（3）：239-2561998年。P.施耐德和F.特洛伊。（几乎）无模式复苏。可从SSRN获得，http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2641896, 2015.夏普先生。马尔可夫过程的一般理论。学术出版社，1988年。L·J·斯莱特。反超几何函数。剑桥大学出版社，1960年。N-K.Tran和S.Xia。特定的恢复。工作文件，2013年。R·L·特威迪。能够在离散和连续时间内使用Harris方法的拓扑条件。数学应用学报，34（1-2）：175-188，1994年。瓦西塞克。术语结构的平衡表征。《金融经济学杂志》，5（2）：177-1881977年。J.沃尔登。通过无限扩散过程进行恢复。工作文件，2013年。山田和渡边。

关于随机微分方程解的唯一性。京都大学数学学报，11（1）：155-1671971。詹庚、李诗生和宋若荣。一般马尔可夫过程的拟平稳性和拟遍历性。科学中国数学，57（10）：2013-20242014。