这个额外的测试确保了Wet测试预测的正态分布，而不仅仅是参数ρ、u和σ的预测值。8.4 Jarque Bera测试标准Jarque Bera测试是正态性测试，其统计JB由JB定义=NSW+（K）- 3),其中，样本偏度为SW=^u/^u3/2，样本峰度为K=^u/^u，对于{710uj:j=2,3,4}，分别为第二、第三和第四分之一阶矩，由^uj=（1/n）P（si）估计- \'s）j，j=2,3,4，其中n是样本量，{si|i=1，…，n}是总损失s的样本数据点。JB是两个自由度的渐近卡方分布，因为JB只是两个渐近独立的标准化法线的平方和。这意味着，如果出现以下情况，必须在α级拒绝HO：≥ χ1-α、 2.零假设检验样本是否遵循均值和方差未知的正态随机变量。在95%和99%的置信水平下，拒绝无效假设的临界值分别为5.991和9.21。不幸的是，标准JB统计对极端观测非常敏感，因为已知经验矩对异常值非常敏感；样本方差受异常值的影响大于平均值，干扰了样本偏度和峰度的估计。为了解决这个问题，Gel at提出了对Jarque-Bera试验的稳健修正。al.（2008），它利用稳健的标准偏差（即中位数的平均绝对偏差（MAAD））来估计样本中更为明显的峰度和偏度（在。

等人，2008年）。稳健的Jarque Bera（RJB）测试统计数据由JB定义=北卡罗来纳州buJn+北卡罗来纳州buJn- 3.其中，中位数的平均绝对偏差（MAAD）计算为Jn=√（π/2）nnPi=1 | si-中位数（si）|，偏度和峰度的稳健样本估计分别为bujn和bujn，Cand Care正数和{si | i=1，…，n}是总损失S的样本数据点（Gel at.al.，200 8）。与标准的Jarque-Bera检验一样，稳健的Jarque-Bera（RJB）检验统计量渐近遵循χ1-α、 2具有两个自由度的分布。然后，如果RJB≥ χ1-α、 2，分别为95%和99%置信水平下的临界值5.9 91 a和9.21。8.5像KS和AD这样的相关图测试本身并不能证明独立性，所以为了评估数据的概率积分变换（PIT）是否为i.i.d，我们使用了一种绘图工具，即相关图，这是一种有助于检测特定依赖模式的工具，可以提供有关密度重建效率的信息（Diebold等人，1998年）。由于我们不仅对线性依赖感兴趣，还对其他形式的非线性依赖感兴趣，例如条件异方差，我们不仅研究了相关图（pt- \'\'pt），但它也会增强，即（pt）的相关图- “pt）和（pt- “\'pt”）是条件变量和条件偏度。这有时还与LjungBox检验相补充，它根据一些滞后来测试总体随机性（Diebold等人，1998）。8.6可靠性图或QQ图该图用于通过拟合曲线与对角线的接近程度来确定拟合的质量，近似值越接近越好，与对角线的偏差给出条件偏差。

此外，当装配曲线位于直径线以下时，该图可能显示过度装配问题，当装配曲线位于该线以上时，该图可能显示欠装配问题。为了获得可靠性图，我们需要找到F的最大熵（累积）分布函数*sagain使用经验（累积）分布函数fn如果模型良好，点将非常靠近从0到1的线。8.7边缘校准图另一个有用的类似工具是边缘校准图，这是基于这样一种思想：如果一个系统的估计值和观测值具有相同（或几乎相同）的基本分布，则该系统将被边缘校准。然后，图形设备是F的绘图*S（sj）- Fn（sj）与sj，其中F*S（·）是最大熵（累积）分布函数，Fn（·）是观测离子的经验（累积）分布函数，{sj | j=1，…，n}是总损失S的样本数据点。在边缘校准的假设下，我们预计约为零的微小波动。同样的信息可以用分位数Q（F）来表示*S（·），q）- Q（Fn（·），Q），Q∈ 函数F的（0,1）*S（·）和Fn（·），（Gneiting等人，2007年）。参考文献[1]Barzilai，J.，和Borwein，J.M.（1988）。两点步长梯度法。《数值分析杂志》，8141-148。[2] 伯克维茨，J.（2001）。测试密度预测，并应用于风险管理。《商业与经济统计杂志》，19465-474。[3] Borwein，J.M.和Lewis，A.S（2000）凸分析和非线性Op tim i z书籍，Springer Verlag，纽约，2000年。[4] 克莱门茨，M.P.，和亨德利，D.F.（编辑部）。与经济预测相伴。约翰威利父子公司（2008）。[5] 克劳，E.L.，和清水，K.（1988）。对数正态分布：理论与应用（第88卷）。纽约：德克尔先生。[6] 克鲁兹，M.G.（2002）。

建模、测量和对冲操作风险（第19-2页）。纽约：约翰·威利父子公司。[7] Diebold，F.X.，Gunther，T.A.和Tay，A.S.（1998）使用金融风险管理应用程序评估密度预测，国际经济评论，39863-883。[8] Gel，Y.R.，和Gastwirth，J.L.（2008）。JarqueBera正态性检验的稳健修正。《经济学快报》，99（1），30-32页。[9] 格尼廷，T.，巴拉布道伊，F.，和拉弗瑞，A.E.（2007）。概率预测、校准和清晰度。英国皇家统计学会期刊：B辑（统计学方法学），69（2），243-268。[10] Gzyl，H.，Novi Inverardi，P.L.和Tagliani，A.（2013）确定骨质严重程度的数值方法比较。《运营风险杂志》，第8卷，第315页。[11] Gzyl，H.，和Tagliani，A.（2012）。由指数函数的分数阶矩确定总损耗的分布。应用数学与计算[12]Gzyl，H.和Vel\'asquez，Y.《线性反问题：最大熵联系》，新加坡世界科学出版社（2011年）。[13] Hyndman，R.J.，和Koehler，A.B.（2006）。再看一眼就可以衡量预测的准确性。《国际预测杂志》，22（4），679-688。[14] 信息理论与统计物理。物理系。牧师。，1957106,620-630.[15] Leipnik，R.B.（1991）关于对数正态随机变量：特征函数，澳大利亚数学学会期刊B辑，32页327347。[16] 卡普尔，J.N.（19 89）。科学与工程中的最大熵模型。JohnWiley&Sons，（1989）[17]Marsaglia，G.，和Marsaglia，J.（2004）。评估安德森-达林分布。统计软件杂志，9（2），1-5。[18] 《运营风险：建模与分析约翰·威利父子公司》，美国纽约，2006年。[19] Rockafellar，R。T、 和乌里亚舍夫，S。

（2000）《条件风险价值优化》，风险杂志，2，21-41。[20] 罗森布拉特，M.（1952年）。关于多元变换的评论，《数学统计年鉴》，23470-472。[21]斯蒂芬斯，M.A.（1974）。ED F统计与一些比较，美国统计协会杂志，69730-737。[22]塔斯，O.比较分配。柏林斯普林格（2010）。[23]Tay，A.S.和Wallis，K.F.（2000）密度预测：一项调查。《预测杂志》，19235-254。