以蓝色绘制的分量V（·，0，1）与b之间的增益函数相同*bbut也有两个分支：V（·，1，1）下方的左分支在开关处连接V（·，1，1）和b处的增益函数*, 右分支在合并到b处的增益函数之前穿过V（·，1，1）。图6缩放到图5中标记的窗口，显示对应于点（0.315780）的值函数的组件，该点是图3中垂直脂肪条上方但仍低于曲线b（u）的情况（iii）（a）-点。只有分量V（·，0，1）发生变化。而在图5中，V（·，0，1）与整个间隔（b）上的增益函数相同*, b） ，在图6中，它的曲线图覆盖了从右边穿过V（·，1，1）的所有增益函数，并在s处再次与之相遇。图6以图形的形式证实了定理1.6，即案例（iii）（a）-策略与图2中讨论的案例（iii）（b）-策略相同。总之，案例（iii）（b）策略适用于图1所示标记区域内的所有（u，s），以及该标记区域右侧象限中图3中曲线smax（u）上方的部分。备注3.2。回想一下，案例（iii）（b）策略包括等待指数下跌- 根据备注1.1（ii），s的大小- 相当可观。因此，在我们的例子中，对于大到30%的u值，人们预计指数需要相当长的时间才能下降到s- s、 为了避免这种风险，交易者不希望选择带有K点的看跌期权，从而使交易水平高于图3中的曲线smax（u），以获得u的一系列“较大”值。替代这种不合适的K选择的方法是选择一个带有K的推杆，使得对于所有“较大”的u值，水平Sstay低于图3中的曲线smax（u）。

这个备选方案涉及到剩下的案例-（iv）-策略，我们返回图5来更详细地讨论这个策略。回想一下，在我们的示例中，u=30%，s=15000。根据函数b*（s）-如图4所示，砂b之间的间隙*在我们的例子中，道琼斯指数约为30点。显然，如果- sis的指数约为50点，道琼斯指数的s值约为15000点，那么从s到s的下跌不会对指数的波动性产生任何影响。所以，至少在我们的例子中，为了与模型的假设一致，s的值应该远高于B*（即b* s） 。图5现在可以用来说明两种不同的策略，具体取决于当前值s高于b的程度*. 假设b*< s<b时，交易者会立即卖出/行权，而假设b<s时，交易者会等待指数达到区间，然后卖出/行权。出于备注3.2中给出的相同原因，交易者不希望等待指数达到bifu高达30%。因此，对现值s应位于何处的进一步但最终的限制是b* s<b.注意b- B*在我们的例子中是800点左右，考虑到指数从令人满意的水平下降时可能产生的杠杆效应，这是正确的尺度* s<b至b以下a级*= 15030.对于给定的s和s，关系b*（u，s）<s<b（u）对于所有u的“较大”值，可以通过选择适当的打击级别K来实现。3.1选择打击级别以下步骤总结了之前关于如何根据停止级别b、b、b选择推杆打击级别的讨论*由定理1.6和上文图3前面段落中引入的Smaxin水平给出。

总结之后，我们简要描述了定理1.6中给出的策略如何用于交易。第一步：确定贴现率α，并选择一个现值为s的指数。通过比较从指数上的一系列交易期权计算出的隐含效用，找到σ。决定一个盒子的大小-该指数预计在不久的将来会下降。根据分析历史数据或其他情况，确定“兴奋”波动率σ的大小。通过分析历史数据或其他数据，找出在规模下降后“兴奋”波动率状态的平均时间跨度- 你选择的指数，即1/λ。设置u=0。步骤2：对于不同的K值，计算：b；u，使得b=b（u）；smax（u+ρ）表示有效的大ρ；b（△u+ρ）；B*（μu+ρ，s）。对于ρ的正确调整，请与图3进行比较，图3中的μ和μ+ρ分别为13.7%和30%，以及注释3.1（iii）中关于13.7%量级的注释。第3步：最后选择一个打击等级为K的推杆，使b<s<smax（)u+ρ）和b*（)u+ρ，s）<s<b（)u+ρ）。我们认为，对于交易而言，如果b的大小为，指数的现值s和下跌到水平的位置将是最好的*（§u+ρ，s）- sis的规模比s小- 如我们上面的例子所示。注意，这也需要b*（§u+ρ，s） s、 当使用定理1.6给出的策略交易上述选择的看跌期权时，假设u的值完全为负值，以符合大小s的下降- 在不久的将来，贸易商最初将遵循案例（iii）（b）策略。首先，如果sis水平在预期的时间范围内达到，交易者将继续遵循案例（iii）（b）策略直至结束。

实际上，指数等待时间应通过等待平均等待时间1/λ的倍数来实现，其中倍数的选择取决于贸易商。其次，如果在预期的时间范围内没有达到sis水平，交易员将获得足够的新市场数据来更新u的价值。根据统计测试或其他情况，他们应该决定u的更新值是低于!u还是高于!u+ρ。如果决定更新后的u低于u，交易员可以继续遵循案例（iii）（b）策略（必要时再次更新u），但他们也应该考虑完成交易，因为出售/行权不会导致任何损失。如果决定更新后的u高于|u+ρ，交易者应改变案例（iv）策略，但要考虑基础资产的最新价值。如果新的现值高于b*（§u+ρ，s），他们应该立即出售/行使。

但是，如果在stob范围内*（§u+ρ，s），交易者可以继续遵循主要案例（iii）（b）策略，除非b级*（u+ρ，s）在下降到水平s之前达到，此时他们应该立即出售/行使。附录我们验证了定理1.6（ii）中给出的V（·，1，1）的显式表达式确实是值函数。我们的验证方法将不同于Remark1中提到的标准方法。7（三）。首先，我们引入形式微分算子lf（s）=usf（s）+σsf（s）+λ（K）- （s）+- f（s）并注意到，通过标准参数（例如参见[10]中的第5.2.1节），函数V（·，1，1）是连续的，满足（αI）- 五十） V（·，1，1），V（·，1，1）- （K）- ·)+= 0对（0，∞)在粘度意义上。其次，给出了一类概率空间（~Ohm,~F，~Ps，s>0），我们考虑Feller过程（~St，t）≥ 0）其生成器是)Lf=usf+σsf，f的闭合∈ C（（0，∞)),并定义值函数V（s）=sup)τ≥0~Es[e-βτ（K）-~Sτ）+λZτe-βu（K）-~Su）+du]，式中，~β=α+λ，且相对于（~St，t）的所有停止时间取上确界≥ 0).第三，根据[10，Thm.5.2.1]，值函数针对变量不等式的唯一粘度解βI-L）f- λ（K）- ·)+, F- （K）- ·)+= 0对（0，∞)满足线性增长条件。因此，由于αI- L=~βI-~L- λ（K）- ·)+,由于V（·，1，1）是有界的，从上面的第一步可以看出，V（·，1，1）=V.Fourth，由[10，引理5.2.2]（在（0，∞) 在我们的例子中是有效的），值函数在延拓区域附近，并且，根据[10，第5.2.1]条，它是连续边界。

因此，值函数V（·，1，1）=Vis覆盖整个域（0，∞)和{s>0:V（·，1，1）>（K）的Cinside- s） +}。如果现在可以证明集合{s>0:V（·，1，1）>（K- s） +}必须具有以下形式（b，∞) 对于某些最佳停车级别b∈ （0，K），那么V（·，1，1）将同时满足边界条件和粘贴条件（2.2），以及经典意义上的第9页（2.2）上的方程。但后者必须有（2.3）给出的解，从而得到定理1.6（ii）中V（·，1，1）的显式表达式。备注A.1。最佳停车水平B必须满足（2.4），因为V（·，1，1）满足（2.2）。然而，通过求解（2.4）发现bby需要显示非线性方程解的唯一性。[3]和[4]中都没有提到这个唯一性问题。为了完整性，我们将在下一个引理之后展示引理A.3中（2.4）解的唯一性。然而，附录末尾的示例A.4表明，这种唯一性不是（2.4）这样的方程的固有特性，即使这些方程是从具有凸增益函数的最优停止问题导出的。总的来说，在完成我们的验证方法时，我们只需要证明以下引理。引理A.2。存在b∈ （0，K）使得{s>0:V（·，1，1）>（K）- s） +}=（b，∞).证据证据可分为两种情况≤ α和u>α。对于u≤ α、 过程（e）-αtSt，t≥ 0）是一个Ps，1，1-上鞅，并且通过复制[4]中命题1的证明得出了这个定理的结论。对于u>α，我们给出了一个适用于u的证明≥ 首先，因为我们的增益函数是（K- ·)+, 有人认为，尽管如此，∞) ×{1}×{1}位于连续区。

因此，bdef=sup{s>0:V（s，1，1）=K- s} <kb因为当值函数和增益函数都连续时，停止区域关闭。现在我们要用矛盾来证明这一点- s、 为了所有的人∈ （0，b），完成引理的证明。回顾附录第一部分讨论的V（·1，1）的正则性。因此，如果b=0，也就是说，如果上确界接管了空集，那么v（s，1，1）=csβ++csβ-+ h（s），代表s∈ （0，K），与第2.1节中的（2.3）相同。由于V（·，1，1）是有界的，系数C必须为零，因此，使用注释1.7（ii）中给出的h的显式选择，lims↓0V（s，1，1）=λKα+λ<K，这将与V（·1，1）相矛盾≥ （K）- ·)+在（0，∞).接下来，假设b>0，V（s，1，1）>K- 这是为一些人准备的∈ （0，b.），那么将存在延续区域的一个分量（u，u），其中0<u<u<b，使得usV（s，1，1）+σsV（s，1，1）+λ（K）- （s）- （α+λ）V（s，1，1）=0（A.1）对于所有s∈ （u，u），在经典意义上，andV（u，1，1）=K- UV（u，1，1）=-1，V（u，1，1）=K- UV（u，1，1）=-1.（A.2）注意，由于V（·，1，1）支配（K- ·)+, （A.1）暗示V（s，1，1）≥ -2usσV（s，1，1）+2αsσV（s，1，1），对于s∈ （u，u），导致V（s，1，1）≥2αuσV（s，1，1）≥2αuσ（K）- u） >0，代表s∈ U∩ （u，u），（A.3）因为≥ 0，通过连续性，V（·，1，1）在u的邻域中为负值。因此，V（·，1，1）在uso的左邻区严格地增加，为了（a.2）成为真，必须存在一个最大的反射点u∈ （u，u）给定byu=sup{s∈ （u，u）：V（s，1，1）=0}。当然，由于V（·，1，1）在连续区域中，V（u，1，1）等于零。

但是V（u，1，1）<-1自V（·，1，1）在（u，u）上严格增加，因此，通过与（A.3）相同的论证，V（u，1，1）≥2αuσ（K）- u） >这与V（u，1，1）=0。引理A.3。只有一个解决方案（c，c，d，b）∈ R×（0，K）到系统（2.4）。人们可以用排除b=0的方法来排除u=0。证据我们仅使用注释1.7（ii）中给出的相应函数h展示了α+λ6=u情况下的引理，因为在α+λ=u的剩余单一情况下，用另一个函数h进行计算时，没有任何根本性的变化。首先，我们忽略系统（2.4）的最后一个方程，并用任意的b>0替换BB。

结果方程组读数为sckβ++cKβ--λKα+λ- u+λKα+λ=dKβ-,cβ+Kβ+cβ-Kβ--λKα+λ- u=dβ-Kβ-,K- b=cbβ++cbβ--λbα+λ- u+λKα+λ，对于每一个b>0，该系统允许一个唯一的解c，c，d。为了分析系统（2.4）的非线性最后方程，我们只需要知道c=λK1显式给出的c-β+(β-- β+)β-α + λ - u-β-α + λ-α + λ - u,c（b）=K- b+λbα+λ- u-λKα+λ- cbβ+bβ-.其次，对于每个b>0，我们引入函数vb（s）=csβ++c（b）sβ--λsα+λ- u+λKα+λ，s>0，并指出b>0满足要求-b=cβ+bβ++c（b）β-bβ--λbα+λ- u当且仅当ifddsVb（s）| s=b=Vb（b）=-1.因此，当将Γ（b）=Vb（b）设为b>0时，引理的证明简化为表明方程Γ（b）=-1在0和K之间正好有一个根，这将在下面显示。通过直接计算，我们得到了Γ（b）=cbβ+-1(β+- β-) +αKβ-（α+λ）b-(α - u)β-+ λα + λ - u，对于b>0，所以→0Γ（b）=-∞ （从β开始）-< 0）和Γ（K）=0。因此，根据中值定理，存在b∈ （0，K）使Γ（b）=-1.对于唯一性，只需证明Γ（·）在（0，K）上增加，也就是说，对于所有b，Γ（b）6=0∈ （0，K）。但是，Γ（b）=c（β+- 1)(β+- β-)bβ+-2.-αKβ-α+λb-2，因此b∈ （0，K），等式Γ（b）=0等于bKβ+=α(α + λ - u)σλ(β+- 1)(β-- 1） ，我们在这里使用了β-是方程（1.6）的根。由于上述右侧始终是负的，因为如果α+λ>u，则β+>1，如果α+λ<u，则β+<1，因此不存在b>0，使得Γ（b）=0。例A.4。

让g:（0，∞) → R是满足G（x）的有界光滑凸函数=4:x=1/21:x=1，g（x）=-8:x=1/2-1:x=1，g（x）=0，x≥ 3，并考虑值函数V（x）=supτ≥0E[e-τg（Xxτ）]，其中Xxt=xe√2Bt，t≥ 是概率空间上的几何布朗运动(Ohm, F、 P）。按照[3,4]中使用的方法，与这个最优停止问题相关的自由边值问题是0=xV（x）+xV（x）- V（x），对于x>x，受制于V（x）=g（x），V（x）=g（x），limx→∞V（x）=0。因为这个问题的任何解决方案都必须采用cx+cx的形式-1，上述边界条件和粘贴条件导致c=0和两个等式sg（x）=cx-1，g（x）=-cx-2对于一对未知数（c，x）。这些方程至少有两个解，（c，x）=（1，1）和（c，x）=（2，1/2），但可能更多。请注意，值函数是唯一的，并且只能与从这些解决方案（c，x）构建的候选值函数之一相同。因此，这个例子实际上只是第24页的标记A.1。参考文献[1]布莱克，F.：股票价格波动变化的研究。摘自：1976年美国统计协会会议记录。(1976), 171–181.[2] 布林顿，J.和艾略特，J.：政权转换的美国选择。Int.J.Theor。阿普尔。《金融时报》第5期（2002），第497-514页。MR-1916958[3]郭，X.和张，Q.：带区域切换的永久美式看跌期权的闭式解。暹罗J.阿普尔。数学64，第6号，（2004），2034-2049年。MR-2110348[4]Jobert，A.和Rogers，L.C.G.：具有马尔可夫调制动力学的期权定价。暹罗J.ControlOptim。44, (2006), 2063-2078. MR-2248175[5]Karatzas，I.和Shreve，E.：布朗运动和随机微积分。第二版。数学研究生113。斯普林格·维拉格，纽约，1991年。xxiv+470页MR-1121940[6]莱霍茨基，J.P.：基于最大值的停止扩散过程的公式。安。

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