具有交互波动性的美式看跌期权交易研究

2022-5-7 04:18:30

具有交互波动性的美式看跌期权交易研究*英国考文垂华威大学统计系CV4 7AL电子邮件：s。assing@warwick.ac.ukAbstractWe引入一个简单的随机波动率模型，其新颖之处在于考虑了资产价格的击中次数，并研究了时间范围（资产价格达到一定水平后）呈指数分布的期权的最优停止问题。在各种情况下，我们得到了明确的最优停止规则，其中一个有趣的是，由于存在意外的断开连续区域，因此非常复杂。最后，我们详细讨论了当交易员预期近期市场下跌时，这些止损规则如何用于美国看跌期权的交易。关键词最优停止，随机波动模型，制度转换，美国期权数学学科分类（2010）：初级60G40；本文讨论了期权交易激励下的最优停止问题。首先，我们介绍了一个简单的短期资产价格模型，该模型能够捕捉所谓杠杆效应的某些方面，其次，在这种模型下，我们预测该资产上永久美国看跌期权的价值和执行时间。杠杆效应指的是一种现象，即资产价格下降通常伴随着波动性上升。我们不会争论杠杆效应是否是真实现象。我们更倾向于将其视为一种观察到的现象，自20世纪70年代中期以来，许多论文都对此进行了讨论，当时布莱克[1]给出了广受欢迎的宏观经济解释。由于已经观察到这种影响，寻求风险的市场参与者可能希望利用它。然而，其他影响可能会叠加在可能的杠杆效应上。

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2022-5-7 04:18:33

例如，负收益报告后股价下跌通常伴随着波动性下降，因为在宣布事件后不确定性降低。因此，押注于价格下跌和波动性上升的组合的决定需要对相关市场条件进行仔细分析，这就留给了代理市场参与者。我们心目中的市场参与者是一名期权交易员，他做出了这个决定，并计划在美国看跌期权上做多。当押注杠杆效应时，做多美国看跌期权的理由有两个；价格下跌和波动加剧都会提高看跌期权价格。但是，如果交易者想在进入交易前了解这种下注策略的风险，他们应该创建一个价格模型（St，t）≥ 0）美国看跌期权的基础资产，首先，*由EPSRC博士奖学金#ASTAA1213YXZ资助。它足够简单，第二，能够捕捉交易者对未来偏好的关键特征，第三，有足够的参数来控制未来价格不同情景的概率。我们提出的模型可以试探性地描述如下：o价格St，t≥ 0，表现为几何布朗运动，波动性参数σ和趋势u直到达到临界水平s s，其中s是当前价格；o当达到临界水平时，波动性参数上升到σ，股票的趋势变为u；o这种“激发”状态持续一段时间，其长度为T，与速率λ呈指数分布最终，价格冻结在指数时间T到期时的价格。这种波动率模型的新特点是它依赖于价格过程的击中次数，这在文献中还没有讨论过。我们称这种随机波动性为交互进化性，以强调这种额外的依赖性。备注1.1。

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2022-5-7 04:18:37

（i）上述模型假设St=St∧（τs+T），对于T≥ 0，其中τadef=inf{t≥ 0:St≤ a} ，（1.1）对于给定的价格水平a。将价格冻结在τs+T的原因是，这个时间跨度被认为是交易的时间范围：一旦市场的波动性降至正常水平，交易者希望退出。在该模型下研究永久美式看跌期权很容易发现，看跌期权应在随机时间τs+T最佳行使，最新情况见备注1.3（ii）。（ii）符号s s用于强调差异- 在资产的当前价格和临界水平之间，应选择足够大的数值。s的大小- 根据杠杆效应，确定市场下跌的强度，从而导致波动率从σ变为σ。（iii）σ的合理选择是交易员希望做多的已交易美国国债的当前隐含波动率。现在回想一下log St=log s+（u-σ）假设t+σ布朗运动z}|{bt对t成立∈ [0，τs）。因此，对于固定σ，u的选择决定了命中时间τs的分布。为了满足交易者对近期市场下跌的偏好，应选择足够小的u，以降低τs大值的概率。

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2022-5-7 04:18:40

但是，交易者还应该分析u值较大时的最优止损问题，也就是说，他们应该在假设自己错了且近期市场下跌的可能性很小的情况下分析自己的头寸。（iv）对于t∈ [τs，τs+T），这是交易的最后阶段，交易者假设slog St=log s+（u）-σ）（t）- τs）+σ（Bt）- Bτs）。参数σ，u的选择反映了交易者对杠杆效应引发的注册机制强度的看法，因此，这种选择或多或少取决于交易者的经验和他们对市场历史的理解。（v）使用指数时间T对杠杆效应影响的时间跨度进行建模，使模型足够简单。还假设T与τs之前发生的情况无关。参数λ应足够大，以确保新波动率制度的时间跨度平均为天而不是周。如果τ和T都在平均水平上较短，那么整个交易的时间范围可能小于美国看跌期权的到期时间。（vi）根据上述第（iii）、（iv）项中的建议，交易员选择u、u的理由与交易期间的市场利率无关。因此，模型的潜在概率度量应该被视为对现实世界度量的猜测，而不是定价度量。在这个模型的背景下，计算出美国看跌期权的最佳行使时间，可以让交易者根据自己对未来的偏好，指示何时退出他们进入的交易。

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2022-5-7 04:18:43

模型下的看跌期权价值主要用于确定最佳行使时间，不应与交易看跌期权的价格混淆。（vii）我们的分析可用于激励选择具有合理的行权水平和到期时间的已交易美式看跌期权，以押注价格下跌和波动性上升的组合。详细示例见第3节。该模型具有马尔可夫链状态转换波动率模型的特点，当波动率为σ时，其激励状态持续指数时间。但是，在这个指数时间结束时，马尔可夫链并没有进入对应于另一个波动水平的状态，而是进入吸收状态。因此，对于交易的第二个也是最后一个阶段，该模型可以被视为退化的马尔可夫链制度转换波动率模型。我们将在下面的备注1.7（ii）中对马尔可夫链制度转换波动率模型进行评论。对于交易的初始阶段，该模型不同于马尔可夫链制度转换波动率模型，因为系统不会在马尔可夫链移动后进入兴奋状态。相反，它会根据资产价格是否下降到临界水平进入兴奋状态，也就是说，根据资产价格过去的表现。为了实现马尔可夫性，我们添加了一个过程（Yt，t≥ 0）用于筛选价格是否已降至临界水平。

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2022-5-7 04:18:46

为了充分描述St的动力学，我们还添加了一个过程（ηt，t≥ 0）这是一个筛选激励长度的吸收马尔可夫链。从技术上讲，我们使用强马尔可夫过程（S，Y，η）=（St，Yt，ηt，t）≥ 0），在一类概率空间上(Ohm, F、 Ps，y，i，（s，y，i）∈其中def=h（s，∞) ×{0}×{1}i∪h（0，∞) ×{1}×{0，1}被认为是拓扑空间（0，∞) 配有producttopology的×{0,1}×{0,1}。该过程的发生器由F（s，0，1）=us正式定义f（s，0，1）+σsf（s，0，1），代表s∈ （s），∞),Lf（s，1，1）=usf（s，1，1）+σsf（s，1，1）+λf（s，1，0）- f（s，1，1）, 对于s∈ (0, ∞),Lf（s，1，0）=0，对于s∈ （s），∞),考虑空间C上的无界算子∞（A）在一个消失的整体上的连续函数。它的域由所有f组成∈ C∞（A）满足f（s，1，1）-f（s，0，1）=0，这样，当从A上的Schwartz分布的意义上理解Lf时，它给出了一个完全消失的连续函数，并且对A.备注1.2。（i）条件f（s，1，1）- f（s，0，1）=0是一个离散的Neumann边界条件。

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2022-5-7 04:18:50

这个边界条件意味着Ps，0,1=Ps，1,1，以及状态（s，0，1）和（s，1，1）之间的相互作用，导致过程Yt的跳跃，当价格链达到s时。（ii）因此，对于所有s>s，在Ps，0,1下，它认为Yt=1[τs，∞)（t），t≥ 0，ηt=1，t≤ τs，而对于所有的s>0，在Ps，1,1下，它认为Yt=1，t≥ 0和（ηt，t≥ 0）是一个独立的两态连续时间马尔可夫链，从1开始，以λ的速率在零处吸收。（iii）结合（ii）和Lf（·，1，0）≡ 0个yieldsPs，y，i{St=St∧τη，0表示所有t≥ 0}= 1.为所有人（s、y、i）∈ A、其中τη，0def=inf{t≥ 0:ηt=0}，（1.2）也就是说，τη，0起着注释1.1（i）中所称的τs+t的作用。（iv）考虑到发电机L的其他定义特性，过程的S分量（S，Y，η）从S>shas开始，根据Ps，0,1，与备注1.1第（iii）项和第（iv）项中讨论的价格过程相同。请注意，我们本可以在Y跳跃后以λ的速率终止进程（S，Y）。但是，正如下面备注1.7（ii）中所解释的，使用像η这样的额外分量具有这样的优势，即我们可以在马尔可夫链区域切换模型的上下文中应用关于最优停止的结果。（v）由于（S，Y，η）是强马尔可夫函数，过滤（Ft，t≥ 0）由（S，Y，η）生成的是右连续的，并且，由于明显的原因，该过滤与最小的右连续过滤一致，该过滤包含（σ（Su:u）的普遍增强≤ t），t≥ 0).总而言之，我们已经建立了一个概率模型，根据第2页四个要点中列出的特性预测资产的价格。接下来，在这个模型下，我们将研究以这种资产为基础的永久美国看跌期权合同的价值和最佳行使时间。

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大多数88

2022-5-7 04:18:52

使用我们的概率模型，这样一个看跌期权的价值函数取了FORMV（s，y，i）def=supτ≥是的，是的，我-ατ（K）- Sτ）+]，表示（S，y，i）∈ A、（1.3）在过滤（Ft，t≥ 0).备注1.3。（i）贴现率α是指在交易时间间隔内，贸易商或多或少无风险考虑的投资回报率。如备注1.1第（iii）项和第（v）项所述，根据交易者的未来偏好，假设该时间间隔平均较短，因此选择α为常数是一个很好的近似值。这里，“由（S，Y，η）生成的过滤”指过滤（σ（Su，Yu，ηu:u）的普遍增强≤ t），t≥0）参见第2.7节。[5]中的B，以充分说明通用过滤。（ii）注意v（s，y，i）=supτ≤τη，0Es，y，i[e-ατ（K）- Sτ）+]因为St=St∧τη，0，t≥ 0，意味着e-ατ（K）- Sτ）+≤ E-ατη，0（K- Sτη，0）+onτ≥ τη,0. 因此，在我们的模型下，永久看跌期权应在τη，0=τs+T，最晚执行。首先回顾一下[7]中在几何布朗运动背景下获得的永久美式看跌期权的结果。定理1.4。给出了一类概率空间（~Ohm,~F，~Ps，s>0），let（~St，t≥ 0）是一个Fellerprocess，它的生成器是Lf=usf+σsf，f的闭包∈ C（（0，∞)),其中，当下标0添加到C时，表示紧凑支持。然后，值函数V（s）def=supn~Es[e-α∧τ（K）-~S~τ）+]：~τ关于（~St，t）的停止时间≥ 0）由V（s）给出的ois=K- s:s∈ （0，b）（K）- b）某人γ-: s∈ （b），∞)（1.4）其中b=-γ-K/（1）- γ-), γ-表示二次方程∑γ+（u）的负根-σ)γ - α = 0. （1.5）备注1.5。

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mingdashike22

2022-5-7 04:18:55

（i）上述值函数V满足度0=usV（s）+σsV（s）- αV（s），对于s>b，受制于V（b）=K- b、 ~V（b）=-1.lims→∞~V（s）=0。（ii）如果：-σ> 0，则不存在（确定的）最佳停止时间，在该时间，值函数V可以达到。但是)τbis是一个马尔可夫时间，在设置)Es[e]时，达到定理1.4中给出的)V-α∧τb（K）-在{τb=∞}. 在下面所有进一步的情况下，在可能的有限马尔可夫时间内获得一个值函数将被理解为如上所述，因为所有考虑的值函数在有限时间内消失。下一个定理给出了本文的主要结果。定理1.6。回忆（1.1）、（1.2）和备注1.1（ii）中的s，以及备注1.5（ii）中的b.Letγ+（γ）的含义-) 表示方程（1.5）的正（负）根。以下情况完全描述了（1.3）给出的值函数。（i）在平凡的情况下，V（s，1，0）=（K- s） +，对于所有s>0的情况，最佳停止时间为0。（ii）让β+（β-) 表示二次方程σβ+（u）的正（负）根-σ)β - (α + λ) = 0. （1.6）然后，存在一个光滑函数h:（0，∞) → R使v（s，1，1）=K- s:s∈ （0，b]csβ++csβ-+ h（s）：s∈ （b，K]dsβ-: s∈ （K），∞)式中，系数c、c、D和停止水平是通过求解第9页的方程（2.4）获得的。

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mingdashike22

2022-5-7 04:18:58

确定的最佳停车时间为τb∧ τη,0.（iii）如果其中一种情况（a）b>沙V（s，1，1）≥ （K）- b）（s/b）γ-,（b） b≤ 沙V（s，1，1）>（K）- s） +，（c）b≤ s<K和V（s，1，1）=（K- s）满足，则V（s，0，1）=V（s，1，1）党卫军γ-, 对于s>s，该值函数在可能的有限马尔可夫时间τb处获得∧ τη，0，if（a）、（b）和τs，if（c）。（iv）如果b>K- s≤ V（s，1，1）<（K）- b）（s/b）γ-, thenV（s，0，1）=E*sγ+e*sγ-: s∈ （s，b）*)K- s:s∈ [b]*, b]∩ （s），∞)（K）- b）某人γ-: s∈ （b），∞)在哪里*= s、如果K- s=V（s，1，1）和e*, E*, B*取自第14页引理2.3的证明，否则。值函数在可能的有限马尔可夫时间τ[b]处获得*,b] ，0∧ τb∧ τη，0，其中τ[a，b]，0def=inf{t≥ 0:St∈ [a，b]，Yt=0}，对于级别0<a<b，这里（s，b*) = 当b*= s、备注1.7。（i）本文的贡献包括两个非平凡案例（iii）和（iv），但也包括对已知案例（ii）的批判性审查——见下文备注1.7（iii+iv）。案例（iv）在数学上最有趣，因为它导致了一个断开的连续区域。如备注1.1（vi）中所述，只有最佳停止时间才与转换器真正相关。请注意，除了（iii）和（iv）中提到的子案例之外，没有其他子案例。在第（iii）（c）种情况下，对s<K的限制源于如果s为V（s，1，1）>0这一事实≥ K.我们将在第3节中讨论所有子情况的数值示例。（ii）在（iii）和（iv）两种情况下的计算都依赖于在情况（ii）下获得的测度Ps，1,1，s>0下的最优停止问题的解。

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2022-5-7 04:19:02

在这些措施下，定价过程（St，t≥ 0）满足随机微分方程Dst=μηtStdt+σηtstdbt，这是备注1.1（iv）和备注1.2（ii）+（iii）中讨论的结果。请注意，上述随机微分方程描述了马尔可夫调制的几何布朗运动，该运动在文献中被广泛用作简单的马尔可夫链制度转换波动率模型。然而，在这种政权转换模型的背景下，只有两篇关于PricinPerpetal American puts的重要论文：一篇由郭/张[3]撰写，论述了两种状态马尔可夫链的情况，另一篇由Jobert/Rogers[4]撰写，论述了具有完全多个状态的马尔可夫链的一般情况。布林顿/埃利奥特[2]的有限时间期限美国看跌期权的工作可以被认为是[3]背后思想的延伸。当马尔可夫链退化时，情形（ii）中给出的值函数的显式形式是郭/张结果的特例。函数h：（0，∞) → R可以是上述第9页（2.2）中两个微分方程的首解，例如h（s）=-λsα+λ- u+λKα+λ和h（s）=λs对数sα+λ+σ/2+λKα+λ分别表示α+λ6=u和α+λ=u。（iii）为了证明（ii）中V（·，1，1）的显式表达式确实是值函数，需要验证参数。用V表示这个显式表达式*（·，1，1），验证的标准方法是验证第2.2.1节开头给出的属性（v1）、（v2）、（v3），但关于测量值Ps，1,1，s>0。在[3]之后，人们意识到作者没有验证，而是在定理3.1中假设（v3）。

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2022-5-7 04:19:05

此外，他们对（v2）的证明是不完整的，因为他们只证明（α）- 五十）五*(·, 1, 1) ≤ 0位于连续区域内。在延拓区域之外，也就是当V*（·，1，1）与（K）重合- ·)+, （α）的有效性-五十）五*(·, 1, 1) ≤ 0将取决于b的值，而[3]中没有解决这个问题。最后，他们还假设≥ 0，这是我们可能希望避免的假设，如备注1.1所述。总之，[3]中给出的价值函数的验证是不完整的，其假设对我们的目的来说过于严格，这就是为什么我们决定在附录中讨论这个验证。（iv）我们还检查了[4，Prop.2]证明中给出的验证论点。在这里，作者特别证明（α- 五十）五*(·, 1, 1) ≤ 0在延拓区域之外，但其证明要求（e-utSt，t≥ 0）成为限制u至u选择的超级艺人≤ r、我们无法遵循他们的（v3）证明，因为在我们看来，他们似乎使用了Doob的可选采样定理，使用了无限的停止时间。此外，我们不明白为什么在没有进一步论证的情况下，在附录1中提到的两种特殊情况下（Uniquetsy）的解[1]和[2]中提到的两种非线性解[1.2]的结果。在我们的例子中，相应马尔可夫链的Q矩阵是退化的。因此，在下一节中，我们仅概述案例（ii）的证据。但我们给出了足够的细节，将定理1.6（ii）中使用的符号置于上下文中。然而，回想一下备注1.7（iii），其中Wee解释说[3]中的值函数验证不完整。

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2022-5-7 04:19:09

相应的细节见附录。2.1定理1.6（i）和（ii）对所有s>0以及任何停止时间τ，Es，1，i[e]的证明-ατ（K）- Sτ）+]≤ 是的，1，i[e]-α(τ ∧τη，0）（K）- Sτ∧τη，0）+]，对于（s，i）∈ (0, ∞) ×{0，1}，自进程（St，t≥ 0）在τη0处停止。因此V（s，1，0）=（K- s） +最佳停止时间为0（i）。为了显示（ii），回想一下Yt=1，对于所有t≥ 0，a.s.，当从anys>0开始动力学时，y=i=1。现在，假设停止区域的形式为（0，b）×{1}×{1}∪ (0, ∞) ×{1}×{0}当从s>0开始时，y=i=1，其中bis是未知的停止水平。然后，通过[9，定理2.4]例如，如果V是下半连续的，则值函数V（s，1，1）将在τ处获得*= τb∧ τη，0，（2.1）和（e）-α(τ*∧t） V（圣∧τ*, Yt∧τ*, ηt∧τ*), T≥ 0）将是一个Ps，1，1-鞅。我们想利用这个鞅性质来推导V和b的方程。现在假设V有更多的正则性，可以应用一个推广的It^o公式（见下面的备注2.2）来获得-α（t）∧τ*)V（圣∧τ*, Yt∧τ*, ηt∧τ*) = V（S，Y，η）+Zt∧τ*E-αu（L）- αI）V（Su，Yu，ηu）du+Mt∧τ*,尽管如此，t≥ 0，a.s.，其中M表示局部鞅，I表示恒等式算子。当然，对于上面左边的鞅，右边的积分必须消失。

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2022-5-7 04:19:12

利用第3页给出的L的具体形式和上文证明的（i），可以得到该积分消失的充分条件0=微秒V（s，1，1）+σsV（s，1，1）+λ（K）- （s）- s的（α+λ）V（s，1，1）∈ （b，K）0=微秒V（s，1，1）+σsV（s，1，1）- s的（α+λ）V（s，1，1）∈ （K），∞)取决于边界的未知B主题和粘贴条件→∞V（s，1，1）=0，V（K）-, 1,1）=V（K+，1,1），V（K）-, 1, 1) = V（K+，1,1），（2.2）K- b=V（b+，1，1），- 1 = V（b+，1，1），其中- 和+分别表示在相应的参数处取左极限和右极限。上述方程的已知解的形式为v（s，1，1）=（csβ++csβ-+ h（s）代表s∈ （b，K）dsβ++dsβ-对于s∈ （K），∞)（2.3）具有未知系数c、c、d、d和β+（β-) 是方程（1.6）的正（负）根。关于函数h的选择，我们参考备注1.7（ii）。当然，（2.2）中的第一个条件意味着d=0，而其他四个条件则意味着kβ++cKβ-+ h（K）=dKβ-,cβ+Kβ+cβ-Kβ-+ Kh（K）=dβ-Kβ-,K- b=cbβ++cbβ-+ h（b），- b=cβ+bβ++cβ-bβ-+ 波黑（b）。（2.4）请注意，系数c、c、D线性依赖于bβ，因此问题归结为b的数值求解。有关验证，请参阅附录。关于y=1的V的讨论到此结束。现在我们来看看理论1的案例（iii）和（iv）。6处理案例y=0.2.2定理1.6的证明（iii）回顾定理1.4的设置，但也要介绍V（s）def=supnEs[e]-α∧τ（K）-~S~τ∧ττs）+]：关于（~St，t）的ττ停止时间≥ 0）哦，为了所有的人≥ s、引理2.1。如果b≤ s<K，那么V（s）=（K- （s）党卫军γ-, 对于s≥ s、（2.5）和（可能是有限的）马尔可夫时间τ是最佳时间。证据假设b≤ s<K和fix s≥ s

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2022-5-7 04:19:15

通过“猜测和验证”，可以检查（2.5）的右侧是否满足（v1）（K）- s）（s/s）γ-=~Es[e-α∧τs（K）-~SτS）+{τS<∞}],（v2）过程（e）-αt（K）- s）（）∧ττs/s）γ-, T≥ 0）是一个Ps超鞅，（v3）（K）- s）（s/s）γ-≥ （K）- s） +。对于（v1），根据It^o的公式，~Es[e-α∧τs（K）-~SτS）+{τS<∞}]= 极限→∞~Es[e-α（ττs）∧t）（K）- s） ~sτs∧ts！γ-]= 极限→∞~Es“（K- （s）党卫军γ-+ （K）- s） Z~τs∧te-αu[（）- αI）·sγ-]（~Su）du+Mt∧■τs#=（K- （s）党卫军γ-,因为（Mt，t）≥ 0）是一个Ps鞅，积分中的表达式消失。对于（v2），根据马尔可夫性质，有必要证明-αt（~St）∧ττs/s）γ-] ≤ （s/s）γ-, 无论如何≥ 0，忽略常数K- s、但是，对于固定的t≥ 0，~Es[e-αt~St∧τss！γ-] ≤~Es[e-α（t）∧~τs）~St∧τss！γ-] =党卫军γ-,当证明上述（v1）时，最后一个等式已经验证。对于（v3），请注意V（b）=（K- b） γ-b=-1如备注1.5（i）所述。基于两个参数，我们现在可以推断（K）的导数- s）（·/s）γ-比-1开（s，K）。首先是（K）的导数- s）（·/s）γ-下面是-1在s，因为b≤ 单纯形V（b）（K）- s） γ-/s=（K）- b） s（K）- s） b≥ 1.第二，（K）- s）（·/s）γ-在（s，K）上是凸的。但是，如果（K）的导数-s）（·/s）γ-比-1关于（s，K）和（K）-s）（·/s）γ-触摸（K）- ·) 在s，然后（K- s）（s/s）γ-> （K）- s） +，对所有人来说∈ （s，K）。最后- s）（s/s）γ->（K）- s） +=0，代表s∈ [K，∞), 这是显而易见的。备注2.2。在下面的内容中，我们将使用Meyer公式[8]的一个简单应用，它推广了^o\'s公式，如下所示：如果φ：（0，∞) → R是一个连续两次可微分的函数，除了在若干点{a，…，an}处，使得φ（ak±）def=limx→ak±φ（x）和φ（ak±）def=limx→ak±φ（x）存在且是有限的，k=1。

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2022-5-7 04:19:18

n，那么φ（St）=φ（S）+Ztφ（Su）dSu+Ztφ（Su）dhSiu+nXk=1Lt（ak）[φ（ak+）- φ（ak）-)],尽管如此，t≥ 0，a.s.，其中Lt表示连续半鞅（St，t）的局部时间≥ 0).请注意，上述公式中的两个被积函数对于Lebesgue几乎每个u都有很好的定义，几乎可以肯定，它唯一地确定了积分。如果φ是连续的，那么当地时间项甚至会消失，并且上面的公式看起来像经典的It^o公式。现在，我们回到我们的问题：对于s>s，我们已经知道V（s，0，1），对于所有s>0，i=0，定理1.6（iii）（a）和（iii）（b）的证明，假设定理1.6（iii）的条件（a）或条件（b）满足*= τb∧τη，0，并引入：V*（s，y，i）def=V（s，1，1）党卫军γ-: s>s，y=0，i=1V（s，1，i）：s>0，y=1，i∈ {0，1}验证，对于任何s>s，（v1）V*（s，0，1）=Es，0,1[e-ατ*（K）- Sτ*)+{τ*<∞}],（v2）过程（e）-α电视*（St，Yt，ηt），t≥ 0）是一个Ps，0,1-超马氏体，（v3）V*（s，0，1）≥ （K）- s） +，在（a）和（b）两种情况下都意味着定理1.6的结论。我们将验证（v1）、（v2）、（v3）。首先观察V（s，1，1）>（K- s） +持有（a）和（b）两种情况。要在非平凡的情况（a）中看到这一点，请注意（K）- b）（·/b）γ-是严格凸[s，b]和接触（K- s） +在s=b<K时，所以V（s，1，1）≥ （K）- b）（s/b）γ-> K- s、因此，（s，1，1）对于第4页上的最优停止问题（1.3）处于连续区域。由于当y=i=1时，bis是延拓区域的下边界，我们可以推断b<s，因此τs<τ*, 对于s>s，因此，Es，0,1[e-ατ*（K）- Sτ*)+{τs<∞}]=Es，0,1hEs，0,1[e-ατ*（K）- Sτ*)+{τs<∞}|Fτs]i=Es，0,1he-ατs{τs<∞}Es，1,1[e-rτ*（K）- Sτ*)+]| {z}V（s，1，1）i，由强马尔可夫性质。

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2022-5-7 04:19:21

所以，简单地算出命中时间τs（v1）的拉普拉斯变换。注意（St，t≥ 0）只接受正值。接下来我们验证（v2），对于s>s fix。通过Markov性质，我们只需要证明es，0,1[e-α电视*（St，Yt，ηt）]≤ 五、*（s，0，1），（2.6）表示所有t≥ 0.修复t≥ 0，考虑到-α电视*（St，Yt，ηt）=e-α电视*（St，Yt，ηt）- E-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，Yt∧τs，ηt∧τs）+e-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1），（2.7），其中最后一项由V调整*（s，1，1）=V*（s，0，1）。{t，利用马尔可夫的性质，现在认识到≥τs}e-α电视*（St，Yt，ηt）]=Es，0,1h{t≥τs}Es，0,1[e-α电视*（St，Yt，ηt）| Ft∧τs]i=Z{t≥τs（ω）}e-ατs（ω）Es，1,1[e-α（t）-τs（ω））V*（圣-τs（ω），Yt-τs（ω），ηt-τs（ω））]|{z}≤ 五、*（s，1，1）来自案例（ii）Ps，0,1（dω），并且由于（2.7）右侧的差异等于-α电视*（St，Yt，ηt）- E-ατsV*（s，1，1）]i×1{t≥τs}，我们得到了，0,1[e-α电视*（St，Yt，ηt）]≤ Es，0,1[e-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1）]。（2.8）为了证明（2.6），我们想在上面的右边应用It^o公式，然后取期望值。回想一下我在第3页介绍的操作员。作为函数V*（·，0，1）定义于，∞) 可以推广到R上的C-函数，它的公式是Ps，0,1-a.s.yieldse-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1）=V*（s，0，1）+Zt∧τse-αu（L）- αI）V*（Su，0，1）du+IBM，其中IBMis是针对期望值为零的布朗运动的可积随机积分。此外，通过显式计算- αI）V*（s，0，1）=0，表示s>s，因此（2.8）的右手侧减小为V*（s，0，1）最终显示（2.6）。在（a）和（b）两种情况下，对于任何s>s，仍需验证（v3）。对于（a），请注意*（s，0，1）=V（s，1，1）党卫军γ-≥ （K）- b）某人γ-党卫军γ-= （K）- b）某人γ-,因此必须证明（K-b）（s/b）γ-≥ （K）-s） +，对于s>s。注意（K-b）（·/b）γ-巧合，在[b]上，∞), 利用定理1.4中给出的值函数V，它同时满足V（s）≥（K）- s） +，代表s∈ [b]，∞), 和V（b）=-1.

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2022-5-7 04:19:24

因此，因为（K- b）（·/b）γ-是一个凸函数（0，∞), 它必须以（K）为界- ·)+也在（s，b）上。对于（b），如果s≥ 但是，如果≤ s<K，那么我们从Lemma 2.1的证明中知道（K- s）（s/s）γ-> （K）- s） +，对于所有s>s。因此，V*（s，0，1）=V（s，1，1）党卫军γ-> （K）- s） +表示s>s，因为在（b）情况下，V（s，1，1）>（K- s） +假设。2.2.2定理1.6（iii）（c）的证明我们将验证第2.2.1节中的（v1）、（v2）、（v3）对于固定s>s，但使用τ*= τs。首先，注意，{τs<∞}, 过程（St，0≤ T≤ τs）在Ps下，0,1具有与过程相同的分布（~St，0≤ T≤ 定理1.4中引入的)p下的)τs）。引理2.1，对于s>s，wetherefore-Haves，0,1[e-ατs（K）- SτS）+{τS<∞}]=~Es[e-α∧τs（K）-~SτS）+{τS<∞}] = （K）- （s）党卫军γ-,式中V（s，1，1）=K- sby假设，和（v1）如下。对于（v2），可以复制第2.2.1节中的相应证明，因为值函数在所有子案例（a、b、c）中具有相同的形式。最后，V*（s，0，1）=V（s）≥ （K）- s） +，对于所有s>s，展示（v3）并完成定理1.6（iii）的证明。2.3定理1.6（iv）的证明与定理1.6（ii）的证明一样，我们首先猜测停止区域的结构，然后验证相应自由边值问题的解是期望值函数。首先，因为值函数声称是在马尔可夫时间τ[b]处获得的*,b] ，0∧ τb∧ τη，0，要猜测的停止区域应采用形式h[b*, b] ×{0}×{1}i∪h（0，b）×{1}×{1}i∪h（0，∞) ×{1}×{0}i，其中b是已知的，但是b*∈ [s，b]不是。

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2022-5-7 04:19:27

回想一下，这两个带B都必须由K控制。现在，参考定理1.6（ii）对基本参数的证明，未知值函数V（s，0，1）对应的自由边值问题是0=usV（s，0，1）+σsV（s，0，1）- αV（s，0，1），对于s∈ （s，b）*) ∪ （b），∞),取决于未知的b*根据边界条件sv（s，1，1）=V（s+，0，1），V（b*-, 0,1）=K- B*,V（b）*-, 0, 1) = -1，K- b=V（b+，0，1），- 1 = V（b+，0，1），lims→∞V（s，0，1）=0。（2.9）考虑到定理1.4，如果V（s，0，1）满足这些约束条件，那么它必须有相应的表示E*sγ+e*sγ-: s∈ （s，b）*)K- s:s∈ [b]*, b]∩ （s），∞)（K）- b）某人γ-: s∈ （b），∞)（2.10）其中e*, E*, B*应根据（2.9）的前三个条件确定。然而，这三个条件可能不会使e*, E*, B*唯一的但是，V是与最优停止问题相关的值函数，这导致了下一个引理中所述的唯一性，见下面的备注2.6（ii）。引理2.3。如果s<带（K- s） <V（s，1，1）<（K）- b）（s/b）γ-, 然后就有了独特的能力*, E*还有独特的b级停车位*∈ （s，b）使得v（s，1，1）=e*sγ+e*sγ-, （2.11）e*bγ+*+ E*bγ-*= K- B*, （2.12）e*γ+bγ+*+ E*γ-bγ-*= -B*,E*sγ+e*sγ-> K- s、对于s∈ （s，b）*).在证明这个引理之前，我们将陈述以下预备结果。引理2.4。（例如参见[6，引理2]）固定的≤ s≤ ~s，φ（s，~s）def=Es，0,1[e-α（τs）∧τs）{τs<τs}]=sγ+sγ-- sγ-~sγ+sγ+sγ-- sγ-~sγ+，和φ（s，~s）def=Es，0,1[e-α（τs）∧τs）{τs>τs}]=sγ+sγ-- sγ-sγ+sγ+~sγ-- sγ-~sγ+，其中τsdef=inf{t≥ 0:St≥ ~s}。引理2.5。在引理2.3的假设下，方程v（s，1，1）党卫军γ-= K- 正好有两个解决方案∈ （s，K）其中只有一个，比如s，小于b。考虑函数f（·）=V（s，1，1）（·/s）γ-- （K）- ·) 在（0，∞), 注意f（s）>0，f（b）<0，f（K）>0。

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2022-5-7 04:19:30

根据中值定理，存在s<s<b<s<K，如f（s）=f（s）=0，即V（s，1，1）姐妹γ-= K- si，对于i=1，2。只存在两个点，因为V（s，1，1）（·/s）γ-严格凸于（0，∞) 并且可以在不超过两个点处与一条直线相交。此外，V（s，1，1）党卫军γ-< K- s、对于s<s<s，（2.13），也因为严格凸性。引理2.3的证明。引入Γ（s，~s）def=V（s，1，1）φ（s，~s）+（K）- ~s）φ（s，~s），用于≤ s≤ 使用引理2.4中定义的函数φ，φ。对于固定的s>s，请注意函数[s，~s]3s 7→ Γ（s，~s）的形式为esγ++esγ-e=V（s，1，1）~sγ-- （K）- ~s）sγ-sγ+~sγ-- sγ-~sγ+，e=-V（s，1，1）~sγ++（K- ~s）sγ+sγ+sγ-- sγ-~sγ+，这两个边界条件都是γ++esγ-= Γ（s，~s）=V（s，1，1）&e~sγ+e~sγ-= Γ（~s，~s）=K- 已经满足了。因此，如果我们能证明只有一个b*∈ （s，b）使Γ（b）*, B*) = -1和Γ（s，b）*) > K- s、 s∈ （s，b）*),然后是三胞胎（e*, E*, B*), e在哪里*, E*当用b代替s时，上述公式给出了e，e3的值*, 将是引理2.3中所述问题的唯一解决方案。这里是e的独特之处*, E*源于b的唯一性*作为e的公式*, E*当处理sγ±和bγ±时，与引理2.3中条件的子系统（2.11）、（2.12）的唯一解一致*作为同事。首先，我们证明存在b*∈ （s，b）使Γ（b）*, B*) = -1.对于b的唯一性*我们参考以下备注2.6（ii）。使用基于It^o公式的简单计算，观察到≥ s、随机过程（e-α（t）∧τs）V（s，1，1）（St∧τs/s）γ-, T≥ 0）是一个Ps，0,1-鞅。现在，回想一下Lemma2中的SF。以及Γ（s，~s）的φ，φ的随机表示。

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2022-5-7 04:19:34

然后，通过Doob的可选采样Theorem≤ s≤ s、 V（s，1，1）党卫军γ-= Es，0,1[e-α（τs）∧τs）V（s，1，1）SτS∧τssγ-]= V（s，1，1）φ（s，s）+V（s，1，1）党卫军γ-φ（s，s）=V（s，1，1）φ（s，s）+（K）- s） φ（s，s）=Γ（s，s），使用引理2.5证明上述倒数第二个等式。因此Γ（s，s）=s“V（s，1，1）党卫军γ-#s=s.（2.14）接下来，对于任何s>s，Γ（s，s）=vsγ++γ--1(γ+- γ-) + （K）- s） s-1(γ-sγ+sγ-- γ+sγ-sγ+sγ+sγ-- sγ-sγ+，其中V代表V（s，1，1）。考虑上面的右手边是（V，s）的函数，在下面的例子中，它被g（V，s）取代。选择s=波段，意识到功能V7→ g（V，b）是严格递减的，因为s<bimplies sγ+bγ-- sγ-bγ+<0。此外g（（K）- b）（s/b）γ-, b） =-我们假设v（s，1，1）<（K- b）（s/b）γ-意味着g（V（s，1，1），b）>-1.但是，使用（2.14），我们也有thatg（V（s，1，1），s）=s“V（s，1，1）党卫军γ-#s=s，其中，根据引理2.5证明中使用的相同参数，上述右侧必须小于-1.总之，我们得到了g（V（s，1，1），s）<-1<g（V（s，1，1），b）。由于函数g（V（s，1，1），·）在（s）上是连续的，∞), 由于s<s<bby引理2.5，这也是中间值定理的一个结果，即存在b*∈ （s，b）使Γ（b）*, B*) =g（V（s，1，1），b*) = -1.其次，完成引理2.3的证明，我们将证明Γ（s，b）*) = E*sγ+e*sγ-> K- s、对于s∈ （s，b）*),在哪里*=V（s，1，1）bγ-*- （K）- B*)sγ-sγ+bγ-*- sγ-bγ+*, E*=-V（s，1，1）bγ+*+ （K）- B*)sγ+sγ+bγ-*- sγ-bγ+*.为此，我们分析了函数f（s）=e*sγ+e*sγ-, s>0。自f（b）*) = -1已经显示，f（s）>K- s、 s∈ （s，b）*), f在（0，b）上严格凸*)我们将在下面证明这一点。首先，观察两种情况*还有e*这些都是积极的。

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2022-5-7 04:19:37

事实上，当s<b*意味着分母γ+bγ-*- sγ-bγ+*是负值，两个系数的正值*, E*从v（s，1，1）bγ-*- （K）- B*)sγ-< 0和- V（s，1，1）bγ+*+ （K）- B*)sγ+<0，其中前一个不等式是（2.13）的结果，因为b*从区间（s，b）中选择，而后一个不等式是我们假设K的结果- 一方面，s<V（s，1，1），另一方面，s<b*, γ+>0，另一方面。因此，如果γ+≥ 1，那么f是两个严格凸函数的和，因此处处严格凸。现在，假设0<γ+<1，这是剩余的情况。注意f只有一个局部极小值s=[-E*γ-E*γ+]γ+-γ-, 这个最小值是全局的，因为f（0+）=lims→∞f（s）=∞.因此，f在（0，s）上严格递减，在（s）上严格递增，∞) 这意味着b*< 因为f（b）*) = -1.最后，f在s=[-E*γ-(γ--1） e*γ+(γ+-1)]γ+-γ-, 这一点满足度>s。因此，f必须至少在（0，s）上是严格凸的，这也证明了f在（0，b）上是严格凸的*) （0，s）。备注2.6。（i）以K为例- s=V（s，1，1），b的选择*还没有讨论过。在这种情况下，我们声称*= s、我们将在下面验证（2.10）给出的相应函数是否与（s）上的V（·，0，1）一致，∞).（ii）在（K）的情况下- s） <V（s，1，1）<（K）- b）（s/b）γ-, 我们证明了b的存在*∈ （s，b）及任何该等b*唯一确定（2.10）中给出的函数。我们将在下面验证，任何这样的函数是否与（s）上的V（·，0，1）一致，∞). 此外，如引理2的证明所示。3.对于b的任何选择*, （2.10）给出的相应函数必须在（s，b）上严格凸*).

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2022-5-7 04:19:40

因此，由于关于最优停止问题的值函数是唯一的，因此只能有一个b*.集τ*= τ[b]*,b] ，0∧ τb∧ τη，0，并引入：V*（s，y，i）def=E*sγ+e*sγ-: s∈ （s，b）*), y=0，i=1K- s:s∈ [b]*, b]∩ （s），∞), y=0，i=1（K- b）某人γ-: s∈ （b），∞), y=0，i=1V（s，1，i）：s>0，y=1，i∈ {0，1}再次，通过验证第2.2.1节开头所述的条件（v1）、（v2）、（v3），我们完成了备注2.6中列出的程序和定理1.6（iv）的证明。对于（v1），如果s∈ [b]*, b] ，那么就没有什么需要证明的了，因为我们立即停止，如果s>b，那么（v1）遵循定理1.4，作为V*在（b）上与（V）重合，∞).在剩下的s<s<b的情况下*, 观察引理2.3的假设是否满足，询问- s=V（s，1，1）可以排除。此外，Es，0,1[e-ατ[b]*,b] ，0∧τb∧τη，0（K- Sτ[b*,b] ，0∧τb∧τη，0）+]=Es，0,1[e-α（τb∧τη，0）（K）- Sτb∧τη，0）+{τ[b]*,b] ，0>τs}]+Es，0,1[e-ατb*（K）- B*)+{τ[b]*,b] ，0<τs}]=Es，0,1hEs，0,1[e-α（τb）∧τη，0）（K）- Sτb∧τη，0）+{τ[b]*,b] ，0>τs}| Fτs]i+（K- B*) φ（s，b）*)根据强马尔可夫性，它简化为v（s，1，1）φ（s，b）*) + （K）- B*) φ（s，b）*).使用第14页引理2.3证明开头给出的Γ的定义，最后一个表达式等于Γ（s，b）*). 自从b*被选择为Γ（s，b*) = 五、*（s，0，1），条件（v1）在剩余的情况下也会出现。对于（v2），要意识到，通过第12页第2.2.1节中使用的相同参数，本节的上述候选值函数满足（2.8），因此我们只需要证明es，0,1[e-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1）]≤ 五、*（s，0，1），（2.15）对于任何t≥ 现在，考虑函数φ（s）=V*（s，0，1），s>s。注意φ可以扩展为一个函数（0，∞) 属于备注2.2中描述的类型，具有许多明显的异常平滑点。

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2022-5-7 04:19:43

以K为例- s=V（s，1，1），其中b*= s、在b有一个例外点，而在K的情况下- s<V（s，1，1）b有两个例外点*, b、然而，在这两种情况下，分别应用定理1.4和引理2.3，可以用φ连续的方式扩展φ。因此，根据备注2.2，我们Ps，0,1-a.s.哈维-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1）=V*（s，0，1）+Zt∧τse-αu（L）- αI）V*（Su，0，1）du+IBM，（2.16），其中L再次代表第3页介绍的算子，而IBMis是一个针对期望值消失的布朗运动的可积随机积分。接下来，通过显式计算-αI）V*(·, 0, 1) ≤ （s，b）上的0*)∪（b）*, b）∪（b），∞). 因为这个过程（苏，u∈ [0，τs]）有Ps，0,1-a.s.在{b中没有占用时间*, b} 不平等性（2.15）由（2.16）衍生而来，采用期望值，证明（v2）。最后，条件（v3）是引理2.3的结果，如果s∈ （s，b）*), 定理1.4，如果∈ （b），∞). 否则，就没有什么可展示的了。3数值分析和讨论我们将使用s，u，σ，u，σ，α，λ，K的实际相关值来讨论定理1.6的四种情况（iii）（a-c）和（iv）。请注意，选择u，σ，α，α，λ，K将确定b的值，并且REM 1.6的两种情况（iii）（b，c）可以重新表示为（b）b≤ 沙b<s，（c）b≤ s<K和b≥ s、然而，这两种情况（iii）（a）和（iv）的表述需要V（s，1，1）的值，这就是为什么我们决定用V（s，1，1）来表述（iii）（b，c）。在下文中，当使用名词“put”而无需进一步说明时，我们指的是定理1.6中所考虑的永久性Lamerican put。

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2022-5-7 04:19:46

然而，正如备注1.1（ii、iii、v）所示，看跌期权最佳行使时间的平均长度应该很短，因此我们认为我们的分析也为交易的美国看跌期权提供了良好的基准，到期时间足够长，可以进行中期期权交易，即三个月或更长。首先，我们必须选择看跌期权的标的资产。根据Black在[1]中给出的宏观经济解释，我们认为当整个市场下跌时，杠杆效应更有可能被观察到，因此我们选择了一个指数，比如道琼斯指数。第二，要完全确定看跌期权，必须选择一个打击级别。在本节的最后，我们总结了如何根据下面定理1.6的讨论选择罢工级别。现在我们选择K=17000进行演示。接下来，我们对σ=20%、u=0、σ=35%、α=5%、λ=100的下列假设值进行拟合，并参考备注1.1和备注1.3（i）的解释。因此，σ=20%被认为是当前交易的美国PutK的隐含波动率，罢工K和到期时间至少为三个月，我们假设预期的市场下跌将导致σ=35%的“兴奋”波动率。设置λ=100意味着假设“兴奋”状态平均只持续半周。在股市下跌后，目前尚不清楚该指数的新趋势是什么。此外，如果“激发”状态只持续很短的时间，可以假设根据更大σ的“激发”函数主导趋势。因此，新趋势的合理选择是u=0。剩下的两个非固定参数是：。由于σ，α，K已经确定，u和b之间存在一对一的对应关系，因此，每对（u，s）确定定理1.6的四种情况（iii）（a-c）和（iv）中的一种。

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2022-5-7 04:19:49

每种情况下给出的最优止损规则都被称为交易者的策略，如下所示。实际上，根据道琼斯指数的现值，交易者会根据他们对未来的偏好来选择，因为他们预计市场会出现一定规模的下跌。在我们的分析中，我们采取了相反的观点：我们首先对沙子的价值进行分类，然后讨论当前价值对交易者选择的策略的影响。而s- S决定了预期市场下跌的规模，u的选择决定了根据模型（回想一下，σ已经确定）这种情况应该在多长时间内发生。如果希望模型预测的许多价格轨迹在相当短的时间内达到该水平，则应使用相当小的u值。例如，u=-100%意味着，大致上，该模型下预期的指数值在两周内从15600降至15000。相比之下，在u值更大的情况下，该模型更经常地预测未来指数的上升，这当然与预期的市场下跌不一致。尽管如此，我们仍将分析u的更大值，因为如果贸易商在交易过程中发现他们对未来的偏好是错误的，相应的策略可能对他们有用。下面的图1显示了嵌入（u，s）-平面的b=b（u）的蓝色图形。红色水平线表示b=14658级，在u=13.7%处穿过b（u）。图1图2曲线b（u）左侧（或上方）的任何点（u，s）与其中一种情况（iii）（b，c）相关，曲线右侧（或下方）的任何点与理论1中的一种情况（iii）（a）、（iv）相关。6.图2显示了对应于两点的值函数(-114500）和(-图1中曲线b（u）的左侧。

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2022-5-7 04:19:53

绿色反对角线是增益函数（K）的一部分- ·)+, 红色的凸曲线是V（·，1，1）的图形，它合并到b处的增益函数上。分别在s=14500和s=15000处击中V（·，1，1）的蓝色分支是在s处的制度变化之前V（·，0，1）的对应版本的图形。回想一下，V（·，0，1）和V（·，1，1）是价值函数的两个不同组成部分，由于Remark1中解释的边界条件，它们在上图中连续相遇。2（i）第4页。图2可以用来说明假设s=14500的策略之间的质量差异≤ b（情况（iii）（c））和假设s=15000>b（情况（iii）（b））的情况。当假设=14500时，交易者等待指数到达，然后立即卖出/行使看跌期权。当假设s=15000时，他们也会等待指数达到Sb，但随后会利用由于市场下跌期间隐含的杠杆效应而在他们的模型中实现的从σ到σ的制度变化：他们要么在1/λ的进一步等待时间后出售/行使看跌期权，要么在指数达到b时出售/行使看跌期权，1/λ等于1/2周，这非常短。因此，V（·，1，1）看起来非常类似于到期前不久出售的美国国债的价值函数，这就解释了为什么V（·，1，1）与收益函数如此接近。备注3.1。（i）根据我们对价值函数的定义，所有策略都指行使期权。

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2022-5-7 04:19:56

然而，由于尚未到期的期权价格总是高于其行使价值，出售期权不会造成任何不利影响。（ii）如上文所述，选择一个带有K点的看跌期权，使交易的水平低于B点，然后应用定理1.6，使用较小的u值，也就是说，根据预期的市场下跌使用u值，得出一个最佳策略，交易员不会从隐含的杠杆效应中受益。因此，交易者希望选择K，以便他们心目中的水平高于b。（iii）在（ii）之后，对于图1所示标记区域中的至少所有（u，s），所使用的策略将是上述关于s=15000（情况（iii）（b））的策略。请注意，该区域的u值高达13.7%，远高于道琼斯指数10年（2004-2013年）6.05%的平均回报率。因此，定理1.6案例（iii）（b）中给出的策略在一定意义上是稳健的，即当模型将根据交易者的偏好预测市场下跌时，它适用于μ的小值，但当模型将预测标准回报而不是市场下跌时，它也适用于μ的“中性”值。由于备注3.1（ii），我们将讨论的剩余部分限制在s>b的情况下。通过备注3.1（iii），我们知道，案例（iii）（b）中给出的策略对于μ的较小且“中性”值是稳健的。接下来，我们讨论当交易者对未来的偏好“完全”错误时，定理1.6所提供的策略类型，也就是说，当u显著大于13.7%，并且（u，s）属于图1中标记区域右侧的象限时。为了演示，我们选择u=30%。图3显示了图1中标记区域右侧的象限部分，该区域表示10%≤ u≤ 100%.

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