（B.14）这会立即产生“sup0”≤T-s≤σ,0≤s、 t≤TZntns | LnF（Xn（u））| du#≤CnE“sup0≤s≤T-σZs+σsnXk=1 | Xnk（nu）| du#+Cσ。结合（A.3），我们得到（B.11）。我们下一个节目（B.12）。为此，我们为每个美国≥ 0，ηn（u）=LnF（Xn（u））- 2F（Xn（u））·LnF（Xn（u）），其中ln在（2.5）中给出，F是（5.11）中给出的线性函数。检查ηn（u）=Xk<pnA（u）nf（kn）·ΘnB（pnA（u）- k） ·| Xnk（u）|+nf（kn）·∧nB（pnA（u）- （k）+Xk>pnB（u）nf（kn）·λnA（k）- pnB（u））+nf（kn）·ΘnA（k）- pnB（u）·| Xnk（u）|+Nf（pnA（u）n）·ΥnB+f（pnB（u）n）·ΥnA.现在，对于每个固定n，一个验证{（Mnt）-Rntηn（u）du:t≥ 0}是关于过滤Fnin（B.3）的局部鞅（见[17]附录1中的引理5.1）。假设{（Mnt）-Rntηn（u）du:t≥ 0}和{Mnt:t≥ 0}确实是Fn-鞅。然后，关于鞅的Doob最大不等式得到了“sup | s”-t|≤σ,0≤s、 t≤T | Mnt- Mns|#≤ 4E“sup0≤T≤T | Mnt|#≤ 16E（|MnT |）=EhZnTηn（u）dui（B.15）因此，为了建立（B.12），我们继续绑定ηn（u）。使用假设2.2和f在[0,1]上有界的事实，有一个常数C>0，使得0≤ ηn（u）≤n“CnnXk=1 | Xnk（u）|+Cn#（B.16）结合（A.3）并应用变量公式的变化，我们发现n个大的hzntηn（u）dui≤CTn。（B.17）然后我们从（B.15）中获得（B.12）。仍然需要证明两个局部鞅{（Mnt）-Rntηn（u）du:t≥ 0}和{Mnt:t≥ 0}确实是每个固定n的Fn鞅。根据[28，定理51]，它可以表示每个t≤ T，Ehsup0≤s≤t|Mns|i<∞, （B.18）EhZntηn（u）dui<∞. （B.19）不平等（B.19）直接源于（B.17）。为了证明（B.18），我们使用（B.9），这意味着sup0≤s≤t | Mns|≤ 3 sup0≤s≤t（Yns）+3（Yn）+3ZntLnF（Xn（s））ds不等式（B.18）由（B.8）、（B.14）和（A.1）衍生而来。因此，证据是完整的。C命题5.2的证明在本节中，我们证明命题5.2。

我们依赖于（5.12）中的表示，即hζnt，fi=nnXi=1Xni（nt）·f在里面= F（Xn（nt））=hζn，fi+nZtLnF（Xn（ns））ds+Mnt。（C.1）这里Lnis算子在（2.5）中给出，MNI是鞅，F在（5.11）中给出。我们∈ C（[0，1]）贯穿本节。从（2.6）中可以清楚地看出→∞hζn，fi=Zf（x）%（x）dx=hζ，fi，（C.2），其中ζ是密度ζ（dx）=%（x）dx表示x的确定性符号度量∈ [0, 1].为了证明命题5.2，我们现在引入两个辅助引理。下一个引理是（C.1）中的鞅项消失（弱收敛到零）为n→ ∞.证据直接来自（B.15）和（B.17）。引理C.1。对于T>0，我们有limn→∞E“sup0≤T≤T | Mnt |#=0。（C.3）下一个引理涉及“缩放”生成器的弱收敛性。证明很长，因此推迟到本附录末尾。引理C.2。对于子序列{nk:k=1，2…}在（5.7）中，我们有固定的f∈ C（[0,1]）sup0≤s≤Tnk·LnkF（Xnk（nks））- hν，fi+hζs，AΘfi=> 0作为nk→ ∞, （C.4）式（5.13）中给出了ν，式（5.14）中给出了AΘ，式（5.11）中给出了F。我们现在准备证明命题5.2。命题5.2的证明。给定（C.1）-（C.4）和hζnk，fi=> hζ，fi为nk→ ∞, 我们得出，过程ζ满足方程（5.15）。hζ路径的连续性，直接遵循引理B.4。接下来我们展示了一个唯一的度量值过程（5.15）。由于方程（5.15）中没有随机性来源，因此ζ是确定性的。假设固定t∈ [0，T]，ζ对于Lebesgue测度是绝对连续的，并且它有一个有界密度函数，使得ζT（dx）=φ（x，T）dx。

将方程（5.15）两边的光滑测试函数g（t）相乘，对ton[0，t]积分，代入（5.13）和（5.14），并注意到f可以是[0，1]上的任意连续函数，我们很容易验证几乎每x∈ （p，1），ZT~n（x，t）g（t）dt=%（x）ZTg（t）dt+ZTg（t）Zth∧A（x）- p）- ΘA（x）- p） ν（x，s）idsdt。也就是说，对于固定的x∈ （p，1），对于（3.6）和（3.7）中给出的常微分方程而言，ν（x，·）是一个弱解，因此在第二个参数t中，可以测量出Ф（x，t）。另一方面，很明显，对于固定x，常微分方程（3.6）和（3.7）有一个独特的经典解∈ （p，1）。因此，我们从ODE的经典解和弱解的等价性（参见[31，第1章，引理1.3]）中推断出，当x>p时，密度函数φ（x，·）是（3.6）和（3.7）的唯一经典解。类似的论证得出，当x<p时，φ（x，·）是（3.6）和（3.8）的唯一经典解，（5.15）的解决方案是唯一的（我们允许我们自己在一组测量值上修改φ（x，t），包括点x=p。修改独立于t）。其余的证明集中于证明ζ是绝对连续的，并且它是一个有界密度函数。我们证明了存在一些常数依赖于T，因此对于所有f∈ C（[0,1]）和t∈ [0，T]，|hζT，fi |≤ CTZ | f（x）| dx。为此，我们首先从方程（5.10）和连续映射理论推导出，对于任何f∈ C（[0,1]）和t∈ [0，T]，|hζnkt，fi |=> |hζt，fi | as nk→ ∞.将定理3.4应用于[4]yieldsE | hζt，fi |≤ 林英芬→∞E | hζnkt，fi |。（C.5）我们接下来重点讨论E | hζnkt，fi |的边界。回想一下极限订单到达过程Anispathy上限由泊松过程Aniwith rate∧确定（见（a.7））。

因此，|hζnt，fi |=nnXi=1Xni（nt）·f（in）≤nnXi=1 | Xni（0）| | f（in）|+nnXi=1Ani（nt）·f（in）≤nnXi=1|%（英寸）| | f（英寸）|+nnXi=1|Ani（新界）·f（英寸）,这意味着e | hζnkt，fi |≤nknkXi=1 |%（墨水）| | f（墨水）|+|∧t·nkxi=1 | f（墨水）|。结合（C.5）和ζ是确定性度量这一事实，我们推导出| hζt，fi |≤Z |%（x）| | f（x）| dx+|∧t·Z | f（x）| dx，（C.6）在让nk→ ∞. 因此我们都有f∈ C（[0,1]）和t∈ [0，T]，|hζT，fi |≤ CTZ | f（x）| dx，（C.7），其中CT=maxx∈[0,1]|%（x）|+|∧T。由于连续函数在Lebsgue可积函数L（[0，1]）的空间中是稠密的，我们从有界线性变换定理推导出方程（C.7）适用于所有f∈ L（[0,1]）。然后，我们从[11，定理15.6]得出结论，ζ是一个有限测度，相对于Lebesguemeasure是绝对连续的，其密度函数η（x，t）相对于tox是有界的∈ [0,1]和t∈ [0，T]。证据是完整的。引理C.2的证明。在整个证明过程中，我们∈ C（[0，1]），我们使用{n:n≥ 1} 而不是它的子序列{nk:k≥ 1} 为了符号的简单性。我们还使用了一个通用常数C，它可能因行而异，但C与n无关。我们首先展示了f∈ C[0,1]，sup0≤s≤Tn·Xk>pnB（ns）nf（kn）·λnA（k）- pnB（ns））-Zpf（x）∧A（x）- p） dx=> 0作为n→ ∞.（C.8）为此，我们定义了z∈ [0,1]和n≥ 1hn（z）=Xkn>znf千牛λA千牛- Z, （C.9）h（z）=Zzf（x）∧A（x）- z） dx。（C.10）应用假设2.2，我们发现（C.8）相当于UP0≤s≤T嗯pnB（ns）n- h（p）=> 0，作为n→ ∞. （C.11）定理3.1的（a）部分暗示当n→ ∞, 我们有pnb（n·）n=> p在D中（[0，T]，R）。此外，由于f和∧是一致连续的，且有界于[0,1]，因此可以直接验证函数h是连续的，序列{hn:n≥ 1} 会聚到h。

特别地，我们得到了任意实数序列{zn:n≥ 1} ，林→∞hn（zn）=h（p）如果limn→∞锌=p∈ (0, 1). （C.12）然后，广义连续映射定理[32，定理3.4.4]得出如下结果：→ ∞嗯pnB（n·）n=> D（[0，T]，R）中的h（p）。由于与连续函数的C（[0，T]，R]相关的目的论与一致拓扑等价[4，第12节]，我们得到（C.11）和（C.8）。应用类似的论点，我们发现≤s≤TXk<pnA（ns）nf（kn）·λnB（pnA（ns）- （k）-Zpf（x）∧B（p- x） dx=> 0作为n→ ∞.（C.13）我们接下来证明当n→ ∞,sup0≤s≤TXk>pnB（ns）nf千牛· ΘnA（k）- pnB（ns）·Xnk（ns）-Zpf（x）ΘA（x）- p） dζs（x）=> （C.14）必须展示≤s≤TZpf（x）ΘA（x）- p） dζns（x）-Zpf（x）ΘA（x）- p） dζs（x）=> 0，（C.15）和sup0≤s≤TXk>pnB（ns）nf千牛ΘnA（k）- pnB（ns）·Xnk（ns）-Zpf（x）ΘA（x）- p） dζns（x）=> 0.（C.16）首先，我们证明（C.15）。我们提供一个草图。通过设置G（x）=（f（x）Θa（x）定义函数G- p） 如果p<x≤ 1,0如果0≤ 十、≤ p、 （C.17）如果G在[0,1]上是连续的，（C.15）很容易从（5.10）和Korohod Jtopology和连续函数空间上的一致拓扑的等价性中得出。如果G不是连续的，我们可以通过构造一系列连续函数{G来证明（C.15）:  > 0}这样对于每个小的 > 0，G和G除了在一个很小的区间（p- , p] 。我们省略了更多细节。接下来，我们证明（C.16）。我们还提供了一个草图。使用假设2.2和ζnin（3.3）的定义，它相当于表示为n→ ∞sup0≤s≤TXkn>pnB（ns）nnf千牛ΘA千牛-pnB（ns）n· Xnk（ns）-Xkn>pnf千牛ΘA千牛- P· Xnk（ns）=> 0.（C.18）这可以很容易地从（3.4）、（3.5）和引理A.1中验证。

我们省略了更多细节。类似地，我们可以表示为n→ ∞,sup0≤s≤TXk<pnA（ns）nf千牛ΘnB（pnA（ns）- x） ·Xnk（ns）-Zpf（x）ΘB（p- x） d（xζs）=> 最后，利用假设2.2和f在[0，1]上有界的事实，我们得到存在一些常数C，比如SUP0≤s≤TnNf（pnB（u）n）ΥnA- f（pnA（u）n）ΥnB≤Cn1-κ=> 0作为n→ ∞. （C.20）结合（C.8），（C.13），（C.14），（C.19）和（C.20），我们得到（C.4）。参考文献[1]弗雷德里克·阿伯格尔和艾曼·杰迪。基于ahawkes过程的订单模型的稳定性和价格标度极限。工作文件。可访问http://ssrn。com/abstract=2263162，2013年。[2] 大卫·奥尔德斯。弱收敛与过程的一般理论。预印本，1981年。[3] 克里斯蒂安·拜耳、乌尔里希·霍斯特和邱金鸟。具有状态依赖价格动态的限时订购书的一个泛函极限定理。arXiv预印本arXiv:1405.52302014。[4] 帕特里克·比林斯利。概率测度的收敛性。威利，纽约，第二版，1999年。[5] 何塞·布兰切特和陈新云。限价订单簿中买卖价差和价格动态的连续时间建模。arXiv预印本arXiv:1310.1103，2013年。[6] Rama Cont.限价订单市场的高频动力学：多尺度模型和渐近分析。工作文件，2015年。[7] 拉玛·康特和阿德里安·德·拉拉德。流动市场中的订单簿动力学：极限定理和扩散近似。工作文件。可访问http://ssrn。com/abstract=17578612011年。[8] 拉玛·康特和阿德里安·德·拉拉德。马尔可夫限价订单市场中的价格动态。《暹罗金融数学杂志》，4（1）：1-252013。[9] 拉玛·康特、萨莎·斯托伊科夫和里希·塔雷亚。订单动态的随机模型。奥普。Res.，58（3）：549–563，2010年。[10] 唐纳德·道森。测度值马尔可夫过程。斯普林格，1993年。[11] KB驱动程序。分析工具和应用程序。课堂讲稿。可访问http://www.math。ucsd。

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