订单簿动力学的流体力学极限

nandehutu2022

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《Hydrodynamic limit of order book dynamics》
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作者：
Xuefeng Gao and S.J. Deng
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
In this paper, we establish a fluid limit for a two--sided Markov order book model. Our main result states that in a certain asymptotic regime, a pair of measure-valued processes representing the \"sell-side shape\" and \"buy-side shape\" of an order book converges to a pair of deterministic measure-valued processes in a certain sense. We also test our fluid approximation on data. The empirical results suggest that the approximation is reasonably good for liquidly--traded stocks in certain time periods.
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中文摘要：
本文建立了一个双边马尔可夫订货本模型的流体极限。我们的主要结果表明，在一定的渐近区域内，代表订单的“卖方形状”和“买方形状”的一对测度值过程在一定意义上收敛于一对确定性测度值过程。我们还在数据上测试我们的流体近似。实证结果表明，对于特定时间段内流动交易的股票，这种近似是合理的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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Hydrodynamic_limit_of_order_book_dynamics.pdf
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何人来此

2022-5-7 04:23:31

订单动态的流体力学极限高雪峰*, 邓世杰**第一个版本：2014年11月27日该版本：2016年2月25日摘要本文建立了一个双边马尔可夫订货簿模型的流体极限。我们的主要结果表明，在一定的渐近状态下，一对度量值过程代表订单的“卖方形状”和“买方形状”，在一定意义上收敛于一对确定性度量值过程。我们还要测试数据的流体近似值。实证结果表明，在一定的时间段内，这种近似对于流动交易的股票是相当好的。1简介作为一种交易机制，在过去20年里，限价指令簿在股票和衍生品市场上越来越受欢迎。如今，世界上大多数金融市场，如美国的电子通信网络、香港股票交易所和多伦多证券交易所，都以电子限额订单的形式组织起来，以匹配买家和卖家。这激发了对limitorder图书的大量研究活动。参见，例如[12,27]了解评论。在本文中，我们的主要目标是发展极限订单簿形状在一个时间范围内的演变的近似值，这个时间范围比订单簿事件之间的时间长度要大。为此，我们对一个极限订单簿模型进行渐近分析，从而将极限订单簿在两个不同时间尺度上的动力学联系起来。人们越来越有兴趣研究订单簿动态的这种规模限制，主要是为了更好地理解价格形成过程，以及描述高频订单流动的点过程的参数与描述更大时间尺度的价格和订单簿形状动态的模型参数之间的关系。

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能者818

2022-5-7 04:23:34

参见，例如[1,5,7,8,15,18,23,24]。我们通过在以下渐近状态下建立双边马尔科夫订货簿模型的流体极限，为这一系列文献做出了贡献：（a）刻度大小为零；（b）订单到达率达到单位；（c）相对订单大小（与限制订单队列大小相比）变为零。这种制度适用于交易量较小（美国为1便士）的流动股的高频交易，订单的到达时间也很短*香港新界沙田香港中文大学系统工程与工程管理系；xfgao@se.cuhk.edu.hk**H.米尔顿·斯图尔特工业与系统工程学院，佐治亚理工学院，亚特兰大，佐治亚州30332；deng@isye.gatech.eduvery短线（以毫秒为单位），大量限价订单位于市场价格附近，等待交易。除了确定缩放限制外，我们还对来自美国纽交所Arca的历史订单数据进行了流体近似测试。我们的样本内分析表明，我们的理论可能有助于在价格波动性较低的时间段内，近似计算流动性股票的限价指令簿的演变。我们的渐近分析基于[9]中的订单簿模型，其中订单簿事件的高频动态由连续时间马尔可夫链（CTMC）描述。在他们的离散订单簿模型中，有一定数量的安全价格水平，订单簿的状态由每个价格的订单数量来描述。

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何人来此

2022-5-7 04:23:37

通过建立一类大数定律极限定理，我们发展了这个高维CTMC的流体近似。我们的主要结果（定理3.1）表明，当刻度大小1/n接近零时*, （a）最佳买入价和最佳卖出价的顺序在概率上收敛为常数；（b）测度值过程对的序列{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} ，表示订单簿的“卖方形状”和“买方形状”，在某种意义上收敛到一对确定性度量值过程。此外，限制过程的密度特性可以用普通微分方程（ODE）来描述，系数由顺序流强度决定。我们在建立流体极限方面的主要创新是用一对非负测度值过程表示双边极限序本，并用鞅方法研究这类过程的弱收敛性。这种订单簿的度量值过程表示和相关证明技术可能有助于为更一般的双边订单簿模型（如多尺度模型）建立规模限制，因为高频和低频交易者共存。参见，例如[6]。现在我们将我们的工作与一些密切相关的替代方案进行比较，这些替代方案也研究了在某些渐近区域中极限序簿形状的标度极限。这些包括[3,14,15,20,21,23,24]。其中，只有三项研究[3,14,15]涉及订单取消**. 在[15]中，作者证明了limitorder book动力学的一个大数定律结果。在它们的极限下，最佳出价和最佳出价的价格动态可以用两个耦合的常微分方程来描述，而相对的买卖形状函数可以用两个线性一阶偏微分方程来描述。

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何人来此

2022-5-7 04:23:40

该流体极限结果后来在[14]中进行了推广，以允许订单流量取决于订单簿的状态，包括价格和数量，并在[3]中建立了订单簿动力学的函数中心极限定理。我们注意到，尽管我们依靠一个略有不同的离散随机订货本模型来进行渐近分析，但从这三项研究来看，我们的理论结果并不完全是新的。然而，我们强调*刻度大小、订单到达率和相对订单大小均按大参数n的幂进行缩放。有关更多详细信息，请参见第2节。**订单取消建模很重要：例如，Nasdaqa超过95%的限价订单在未执行的情况下取消，见[13]。确定标度极限的证明技术是新颖的，与他们的方法非常不同。此外，与上述研究不同，我们在实际数据上对流体近似进行了实证检验，并说明了近似的潜在相关性。这是本文的两个主要贡献。最后，我们指出，我们必须关注一些特性，以保持模型和渐近分析的可处理性，这必然会导致一些不理想的后果。我们简要地讨论了主要的局限性。首先，限价是确定的，限价是一个常数。这是不现实的。然而，这样一个确定性模型可能是有用的。例如，在[25]中，使用了一个类似的流动指令簿模型，其中最佳买入价和卖出价也是常数，来分析限制和市场指令安排的问题，以便在固定的时间范围内以几分钟的时间最优地购买一批股票。

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mingdashike22

2022-5-7 04:23:43

第二，为了保持数学分析的可操作性，在我们的渐近分析中必须忽略一些现实特征，例如非平稳性、时间聚类性和顺序流的相互依赖性。有关这一领域的最新发展，请参见[1]。本文概述。第2节回顾了[9]中马尔可夫订单簿模型的一个变体，并说明了订单流量和初始条件的假设。第3节总结了我们的主要结果。第四节讨论了实证分析。第5节介绍了证明主要结果的概要。第6节专门讨论主要结果的证明。附录中提供了辅助结果及其证明。符号所有随机元素都定义在公共概率空间上(Ohm, F、 P）除非另有规定，否则x∈ R、我们设置x+=max{x，0}和x-= 麦克斯{-x、 0}。对于不小于x的最小整数，我们写dxe；对于不大于x的最大整数，我们写bxc。在[0,1]上的连续函数集用C（[0,1]）表示。给定一个公共空间E，右连续函数的空间f:[0，T]→ 带左极限的E由D（[0，T]，E）表示。假设空间D（[0，T]，E）具有目的论。对于随机元素序列{Xn:n≥ 1} 取度量空间中的值，我们写Xn=> X表示Xnto X在分布中的收敛性。每一个样本路径为D（[0，T]，E）的随机过程被认为是一个D（[0，T]，E）值的随机元素。对于Borel测度ν和函数f，当积分存在时，我们设置hν，fi=Rf（u）ν（du）。

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大多数88

2022-5-7 04:23:46

符号δu表示位置u处的狄拉克度量∈ R、也就是说，对于Borel集U，δU（U）=（1，如果U∈ U、如果你/∈ U.[0,1]上的有限非负测度空间用M+（[0,1]）表示，[0,1]上的有限有符号测度空间用M（[0,1]）表示。2模型和假设在本节中，我们描述了[9]中引入的订单簿模型的一个变体，并陈述了假设。在本文的整个过程中，我们确定时间T>0。修理≥ 1.在不丧失一般性的情况下，我们假设投资者可以在价格范围（0，1）内向n个离散的等距价格水平{n，n，····，nn}提交他们的限制订单。因此，参数n也表示刻度大小的倒数。时间t的限制订单簿的状态由向量Xn（t）给出≡ （Xn（t），Xnn（t））∈ 锌，我在哪里∈ {1，…，n}，|Xni（t）|表示在时间t时以i/n价格未完成的限价订单数量。如果Xni（t）>0，则有Xni（t）以i/n价格出售订单，如果Xni（t）<0，则有-Xni（t）以i/n价格购买订单。为了确定最佳要价（限价销售订单中的最低价格）和最佳出价（限价购买订单中的最高价格），我们定义了两个映射PnA和PnB，对于给定状态x=（x，…，xn）∈ ZnPnA（x）≡ inf{i∈ {1，…，n}：xi>0}∧ {n+1}，（2.1）PnB（x）≡ sup{i∈ {1，…，n}:xi<0}∨ 0，（2.2）其中 = ∞ 喝一杯 = -∞ 按照惯例。对于t≥ 0，我们写了PnA（t）=PnA（Xn（t）），（2.3）pnB（t）=PnA（Xn（t））。（2.4）因此，对于时间t时的订单Xn（·），最好的要价是pnA（t）/n，最好的出价是ispnB（t）/n，其中1/n是刻度大小。我们会对n→ ∞, i、例如，刻度大小接近于零。

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mingdashike22

2022-5-7 04:23:50

对于每一个固定n，如[9]中所述，我们假设（a）极限买入（分别卖出）订单在独立的、指数分布的时间以∧nB（i）（分别∧nA（i））的速率到达与相反的最佳报价相距i个刻度，（b）市场买入（分别卖出）订单以ΥnB（分别ΥnA）的速率到达独立的、指数分布的时间，（c）在距离对方最佳报价i个刻度处的每个限价买入（分别卖出）订单，在按指数分布的时间后，以费率ΘnB（i）（分别ΘnA（i））独立取消。（d）上述所有事件都是相互独立的。（e）所有订单都是单位大小的，与n无关。与[9]中的模型相比，额外的特点是我们允许订单流量强度是侧相关的（购买订单或销售订单）。这一点已经在经验上得到了观察，这一特征将有助于我们在第4节中的实证分析。鉴于这些假设，状态过程Xn（·）是一个n-具有状态空间Zn的二维CTMC。定义运算符如下：对于任何函数H:Zn→ R和每个x∈ ZnLnH（x）=Xk<PnA（x）hH（xk+）- H（x）· ΘnB（PnA（x）- k） ·| xk | i+xk<PnA（x）hH（xk）-) - H（x）· ∧nB（PnA（x）- k） i+Xk>PnB（x）hH（xk+）- H（x）· ∧nA（k）- PnB（x））i+Xk>PnB（x）hH（xk）-) - H（x）· ΘnA（k）- PnB（x））·xk | i+H（xPnB（x）+）- H（x）· ΥnA+H（xPnA（x）-) - H（x）· ΥnB，（2.5），其中（2.1）和（2.2）中给出了pna和PnBare映射，对于k∈ {1，…，n}（xk+=（x，…，xk-1，xk+1，xk+1，xn），xk-= （x，…，xk）-1，xk- 1，xk+1，xn）和x0+=x（n+1）-= x、在EdzNesimal空间中，从EdzNesimal到EdzNesimal的函数的顺序是从EdzNesimal到EdzNesimal。首先，价格范围（0，1）在我们的渐近分析中不是必要的。我们也可以对一些独立于n的整数c使用（c，c），这不会影响我们的结果。

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大多数88

2022-5-7 04:23:53

其次，上述模型的状态空间是-维整数格，它的维数为n→ ∞. 因此，马尔可夫链上的标准极限定理（参见，例如[22]）不适用于我们的渐近分析。第三，在我们的分析中，可以允许具有有限秒矩的随机订单大小。为了简化演示，我们在本文中使用了单位订单大小。在本文中，我们做出以下假设。假设2.1。存在一个从[0,1]到R的函数%，因此对于固定的n≥ 1，初始订单簿Xn（0）由Xni（0）给出≡ n·%（in）代表i∈ {1,2，…，n}。（2.6）部分p∈ （0,1），%（p）=0和sup{x∈ [0,1]：%（x）<0}=inf{x∈ [0,1]：%（x）>0}=p；（2.7）（b）函数|%|在（p- , p）和（p，p+) 对于一些小的 > 0;（c）函数%是连续的，在[0，p）和（p，1]上有界。假设2.2.对于每个市场侧j∈ {A，B}，在[0,1]上存在正连续函数∧j（x）和非负连续函数Θj（x），常数κ<1和Υ≥ 0这样对于每个n和i∈ {1,2，…，n}，∧nj（i）=∧j（in），Θnj（i）=nΘj（in）和Υnj≤ nκ·Υ。（2.8）这两种假设都是基于我们的数据分析。首先，根据经验，我们发现，对于某些流动性交易的股票，如美国银行、福特汽车公司和戴尔公司，有大量的限价指令处于或接近最佳报价，等待执行。这为（2.6）提供了实证支持。为了技术方便，我们还对初始比例的规律性做了三个假设。在这里，p可以被视为一只股票在时间零点的“市场价格”。其次，从我们的数据中，我们还发现，对于上述流动性股票，在最佳报价附近，通常限制订单到达率和取消率的比率∧nj（i）Θnj（i）为n=100。

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大多数88

2022-5-7 04:23:57

此外，我们观察到，与市场价格附近的限价订单数量相比，市场订单到达率（例如，每秒交易量）的幅度不是很高，尤其是在低价格波动期间。这两个事实激励（2.8）。关于函数∧j，Θjan连续性的假设和∧jare technicalan的正性，它们有助于我们的数学分析。3.主要结果在这一部分我们陈述了本文的主要结果。我们首先定义了三个测量值过程序列（参见[10]了解测量值过程的背景）。固定的≥ 1和t∈ [0，T]，我们设置ζn，+T=nnXi=1（Xni（nt））+·δin=nXi>pnB（nt）Xni（nt）·δin，（3.1）ζn，-t=nnXi=1（Xni（nt））-· δin=nXi<pnA（nt）-Xni（nt）·δin，（3.2）ζnt=ζn，+t- ζn，-t=nnXi=1Xni（nt）·δin，（3.3），其中Xnis为n-带状态空间ZN的维CTMC，它描述了（2.3）和（2.4）中给出的极限指令簿、pnA和Pnbar的演变，以及δu是以u为中心的狄拉克度量。空间缩放的选择取决于以下事实，即总价格水平存在，每个价格水平上的极限指令数量为n级（假设2.1和2.2）。对于固定的t，一对（ζn，+t，ζn，-t）表示订单簿在某个大时间nt的“卖方形状”和“买方形状”，度量ζntr表示订单簿在大时间nt的整个形状。注意对（ζn，+t，ζn，-t）生活在产品空间M+（[0,1]）×M+（[0,1]）。

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能者818

2022-5-7 04:24:00

目前，我们使用M（[0，1]）来表示这个productspace，它配备了一个适当的度量，使得M（[0，1]）是完整的和可分离的。第5.2节给出了空间M（[0,1]）的精确定义。我们对马尔可夫过程（ζn，+，ζn，-) 作为n→ ∞.这与限制机制相对应，即价格刻度大小1/n接近零，订单到达率变为零，相对订单大小（与限制订单队列大小相比）变为零。这可以从假设2.1–2.2以及（3.1）–（3.2）中时间被加速n的事实中很容易看出。值得注意的是，ζnis也是一个马尔可夫过程，它包含与（ζn，+，ζn，-). 然而，对于固定t，ζNTI是存在于空间M（[0，1]）中的一个有符号度量，它不适合研究弱收敛，因为弱拓扑通常不可度量（参见，例如[30]）。因此，我们转而研究非负测度值过程对序列{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1}.现在我们陈述本文的主要定理。第6节给出了证据。重新计算假设2.1和2.2中给出的百分比p、λA、λB、ΘA和ΘB。定理3.1。假设假设假设2.1和2.2成立。然后作为n→ ∞,（a）我们有SUP0≤T≤T新界北- P=> 0，（3.4）sup0≤T≤T新界北- P=> 我们有（ζn，+，ζn，-) => （ζ+，ζ-) 在D（[0，T]，M（[0，1]）中，其中（ζ+，ζ-) 是一对确定性测度值过程。

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nandehutu2022

2022-5-7 04:24:04

此外，对于任何t∈ [0，T]，非负测度ζ+tandζ-皮重相对于勒贝格测度是绝对连续的，并且具有密度函数φ+=max{φ，0}和φ-=麦克斯{-η，0}使得ζ+t（dx）=+（x，t）dx和ζ-t（dx）=~n-（x，t）x的dx∈ [0, 1].函数φ由以下方程组唯一确定：对于x∈ [0,1]~n（x,0）=%（x），（3.6）t~n（x，t）=∧A（x）- p）- ΘA（x）- p） ·Д（x，t），x>p，（3.7）t~n（x，t）=-∧B（p- 十）- ΘB（p- x） o（x，t），x<p。（3.8）ψ（p，t）=0，t∈ [0，T]。（3.9）定理3.1提供了订单簿动力学的流体近似值。请注意，在高频交易中，订单簿事件的到达时间通常非常短（以毫秒为单位）。因此，结果表明，在“低频”时间尺度上（以几分钟为顺序），标度的最佳出价和最佳要价是一个常数p，订单簿卖方和买方的密度曲线由骃+（x，t）和骃给出-（x，t）的特征是线性常微分方程，其系数由订单到达率和取消率决定。正如导言中所讨论的，这个确定性极限可能不现实，但它可能对研究其他问题有潜在的帮助。根据定理3.1和（2.7），我们可以很容易地验证∈ [0，T]，ν+（x，T）=e-ΘA（x）-p） t·%（x）+∧A（x）- p） ΘA（x）- p）·1.- E-ΘA（x）-p） t对于p<x≤ 1, (3.10)φ-（x，t）=e-ΘB（p-x） t·%（x）-+∧B（p- x） ΘB（p- x）·1.- E-ΘB（p-x） t为了0≤ x<p.（3.11）当n较大时，我们从定理3.1中获得了订单簿形状的瞬态行为的以下近似值：对于区间I [0,1]和t∈ [0，T]ζn，+T（I）=nXi>pnB（nt），在∈伊克斯尼（新界）≈ ζ+t（I）=ZI~n+（x，t）dx≈nXin∈I~n+（in，t），（3.12）ζn，-t（I）=nXi<pnA（nt），单位为∈我-新界北≈ ζ-t（I）=ZI~n-（x，t）dx≈nXin∈I^1-（in，t），（3.13），其中第（3.10）和第（3.11）条给出了φ+和φ+。

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大多数88

2022-5-7 04:24:07

在下一节中，我们将测试数据的近似值（3.12）和（3.13）。4实证分析在本节中，我们进行样本分析，以说明定理3.1中流体近似的潜在相关性。我们的实证分析基于纽约证券交易所Arca（简称Arca）2010年8月的一个月消息级订单数据。截至2009年，纳斯达克上市证券约20%的市场份额和纽约证券交易所上市证券的10%在Arca上交易。使用了两个数据集。第一个数据集包括Arca上的所有限额订单活动，包括限额订单提交、修改和删除。对于数据中的每一条消息，它都包含一个时间戳（精确到毫秒）、价格和订单大小、买入或卖出指示器、股票符号、交易所和一个ID（标识符）。该数据集使我们能够在任何给定时间为在Arca上交易的股票创建限额订单簿。我们的第二个数据集记录了所有交易。每条消息都包含一个时间戳（精确到秒）、交易价格和订单大小、买入或卖出指标、交易发生时这两个价格上的最佳买入/卖出价格和长期限制订单数量、股票符号和ID（标识符）。结合第一个数据集，我们可以分析详细的订单流量属性，如限价订单到达率、市场订单到达率和限价订单取消率。4.1实证分析本节的目的是说明，我们的理论模型可以潜在地用于在满足我们的模型假设的以分钟为单位的库存和时段的时间尺度上近似订单形状的演变。我们的方法是实证检验（3.12）和（3.13）中的近似值。

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mingdashike22

2022-5-7 04:24:10

为了方便起见，我们将这些近似方程的两边乘以n，也就是说，我们测试了以下近似，并证明它们相当好：Xi>pnB（nt），in∈伊克斯尼（新界）≈ nXin∈I~n+（in，t），（4.1）Xi<pnA（nt），in∈我-新界北≈ nXin∈I^1-（in，t）。（4.2）（4.1）（分别为（4.2））的左侧代表价格区间I中的限价卖出（分别为买入）订单总数 [0，1]。随着价格水平的适当变化，这些数量可以直接从数据中获得，因为我们在每个时刻都有完整的经验主义者书籍信息。另一方面，右侧的量涉及函数φ+和φ的值-在离散价格水平i/n.Wenext讨论如何计算这些值。首先，我们筛选数据，以确定满足假设2的股票和时段。1和2.2。我们发现，美国银行（BAC）、通用电气（GE）、福特汽车（F）和戴尔（Dell Inc.）等流动交易股票通常有大量的限价指令，处于或接近最佳报价，等待市场交易。这与假设2.1一致。一旦选择了一只股票，我们会扫描首日订单数据，寻找价格波动性较低的时间范围（例如几分钟），这样假设2.2也可以满足。为了便于说明，我们以2010年8月5日下午12:45-13:05的股票BAC为例。在这20分钟的时间内，美国银行的最佳买入价和卖出价几乎没有变化。第二，我们估计并输入所需的参数，以计算魟+和魟-如（3.10）和（3.11）所示。这些参数包括初始订单数量百分比、数量p、时间长度nt、限制订单到达率和限制订单取消率。我们按照下面描述的四个步骤来选择和计算这些参数。1.

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大多数88

2022-5-7 04:24:14

将日历时间从下午12:45标准化为零。下午12:45后，通过订单簿的第一张快照提供初始订单簿。因此，我们在每个Discrete价格水平上获得%的收益。2.将p设置为在下午12:45计算魟+时的最佳出价，以及在计算魟时的最佳询问-. 下午12:45的最佳买入价和卖出价分别为13.99美元和14美元。3.每五分钟拍摄一次订单的快照，直到下午13:05。更准确地说，我们分别在下午12:50、12:55、13和13:05之后记录订单簿的第一个快照。我们这样做是因为我们对以分钟为单位的“大”时间尺度上的形状动力学感兴趣。4.对于以下四个时间间隔中的每一个：12:45pm-12:50pm、12:45pm-12:55pm、12:45pm13:00pm和12:45pm-13:05pm，估算订单流量强度[9]。最后，我们通过插入modelparameters来计算（4.1）和（4.2）的右侧。我们将（4.1）和（4.2）中的区间I作为3美分的价格箱，例如，[$0.5，$0.53]。结果表明，改变垃圾箱大小会产生类似的结果，所以我们不需要进一步的细节。现在，我们展示了（4.1）和（4.2）中关于近似值的样本内测试的主要经验发现。我们使用图1进行说明。有关买方和卖方形状的详细统计数据和结果，请参阅作者网站上的互联网补充资料http://www1.se.cuhk.edu.hk/~xfgao/lobSupplement。图1显示了在四个不同的时间点应用我们的模型得到的BAC股票的经验卖出侧形状和理论卖出侧形状的比较。为了演示的清晰性，我们将重点放在比最佳要价高出10个百分点的价格水平上。这将转换为图1中的七个“连续”3美分价格箱。为了方便起见，每个价格箱中的合计订单量按363股进行缩放，这是BAC在下午12:45-13:05期间的平均限价卖出订单量。

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mingdashike22

2022-5-7 04:24:16

从图1中，我们观察到，根据我们的模型（定理3.1）计算的理论形状与Arca上BAC股票的经验形状之间有很好的一致性。因此，尽管存在简化的假设，但有积极的证据表明，我们的极限模型可以潜在地解释订单账簿形状在一个时间范围内的演变，这个时间范围比订单账簿事件之间的时间长度要大。最后，我们指出，我们实证分析的主要目的是说明流体近似的潜在相关性，而不是预测未来的顺序——书本形状，因此这里没有报告样本外预测结果。事实上，我们试图进行分析，发现该模型在预测方面效果不佳。一个可能的原因是，我们流体模型中的参数（顺序流体强度）是常数，而实际上它们随时间变化，在几分钟的时间尺度上是随机的。这就需要对订单流动强度和订单书形状的预测模型进行进一步研究，这超出了本文的范围。图1:2010年8月5日forBAC的经验卖方形状和理论卖方形状的比较。每个蓝条对应于每个3美分价格箱中的限价销售订单总数，它是从数据中获得的。每个品红条对应于每个价格箱中的限价销售订单总数，它是从我们的模型中获得的。在下午12:50、12:55、13:00和13:05的四个时间点，最好的要价是相同的（14美元）。

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可人4

2022-5-7 04:24:19

每个时间点（例如，12:50 pm）表示第一次订单预订事件在该时间点之后发生的时间。12:50pm时经验和理论形状的比较限额订单数量200 400 600 800 1000$14-$14.03$14.01-$14.04$14.02-$14.05$14.03-$14.06$14.04-$14.07$14.05-$14.08$14.06-$14.0912:50 Arca12:50 TH在12:55pm时经验和理论形状的比较极限订单数量200 400 600 800 1000$14-$14.03$14.01-$14.04$14.02-$14.05$14.03-$14.06$14.04-$14.07$14.05-$14.08$14.06-$14.0912:55 Arca12:55 TH 13:00pm时经验和理论形状的比较极限订单数量200 400 600 800 1000$14-$14.03$14.01-$14.04$14.02-$14.05$14.03-$14.06$14.04-$14.07$14.05-$14.08$14.06-$14.0913:00 Arca13:00 THM 13:05时经验和理论形状的比较极限订单数量200 400 600 800 1000$14-$14.03$14.01-$14.04$14.02-$14.05$14.03-$14.06$14.04-$14.07$14.05-$14.08$14.06-$14.0913:05 Arca13:05 Thm5初步本节介绍证明主要结果（定理3.1）的初步内容。5.1技术引理本节我们介绍一个技术引理。它连接过程（ζn，+，ζn，-) 在定理3.1的证明中起基础作用的ζn过程。请注意，对于固定f∈ C[0,1]，可以构造一个函数族fγ∈ C[0，1]被γ索引∈ （0，p）使得{fγ}一致有界且fγ（x）=f（x）如果p≤ 十、≤ 1,0如果0≤ 十、≤ P- γ、如果p- γ<x<p.（5.1）很明显Limγ→0+fγ（x）=f（x）·每x 1[p，1]（x）∈ [0，1]。（5.2）下面的引理表示hζn，+t，fi“接近”hζnt，fγi和hζn，-t、 fi与hζnτ，fγ“接近”- 当n大，γ小时。证明见附录A引理5.1。修正函数f∈ C[0,1]。

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mingdashike22

2022-5-7 04:24:23

存在一个正常数C依赖于onT和两个非负序列{an}，{an}都依赖于T，都接近0as n→ ∞, 这样对于每个γ∈ （0，p）n大，我们有≤T≤Thζn，+t，fi- hζnt，fγi我≤ ~an+Cγ，（5.3）Ehsup0≤T≤Thζn，-t、菲- hζnt，fγ- f i我≤ ^an+Cγ。（5.4）5.2{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} 在本节中，我们定义了波兰空间D（[0，T]，M（[0，1]），在该空间上，一对被测量值过程{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} 生活并讨论这个序列的紧密性。回想一下[0,1]上的有限非负测度空间，用M+（[0,1]）表示，是以下度量d+下的波兰空间：d+（γα，γβ）=∞Xk=1k | h|α，φki- h|β，φki | 1+|h|α，φki- hνβ，φki |（5.5），其中Γα，Γβ∈ M+（[0,1]），{φk:k≥ 1} 被选为C（[0,1]）的一个稠密子集，具有均匀拓扑，hа，φki≡Rφk（x）Γ（dx）对于测量值Γ，参见[17，第4.1节]。根据度量d+，我们可以在乘积空间M+（[0,1]）×M+（[0,1]）上定义度量d，这样d（γ+α，γ-α), (υ+β, υ-β)=qd+（γ+α，γ+β）+d+（γ）-α, υ-β），（5.6）式中（γ+α，γ）-α), (υ+β, υ-β) ∈ M+（[0,1]）×M+（[0,1]）。产品空间M+（[0,1]）×M+（[0,1]）配备了（5.6）中定义的度量d，用M（[0,1]）表示。有人已经证实M（[0，1]）是一个波兰空间（参见，例如[19]）。因此，Skorohod间隔（[0，T]，M（[0，1]），其中（ζn，+，ζn，-) 生活也是一个波兰空间，有目的论。有关拓扑的更多详细信息，请参见[4]。我们现在陈述本节的主要结果。附录B给出了证明。如果随机元素的Recala序列是紧的，并且序列的所有极限点都集中在连续路径上，则称其为C-紧。参见，例如[16，定义VI.3.25]。提议5.1。修正函数f∈ C[0,1]。

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能者818

2022-5-7 04:24:26

然后{（hζn，+，fi，hζn，-, fi）：n≥ 1} 在D（[0，T]，R）和{（ζn，+，ζn）中是C-紧的，-) : N≥ 1} 在D（[0，T]，M（[0，1]）中是C-紧的。命题5.1和普罗霍洛夫定理暗示序列{（ζn，+，ζn，-) :N≥ 1} 它相对紧凑。我们的下一步是描述这个相对紧凑序列的极限点。假设（ζ+，ζ-) 是一个极限点，即有一个子序列{（ζnk，+，ζnk，-) : k=1，2…}使得（ζnk，+，ζnk，-) => （ζ+，ζ-) 在D（[0，T]）中，M（[0，1]）作为nk→ ∞. （5.7）表征该对（ζ+，ζ-), 我们依靠ζt定义的辅助过程= ζ+t- ζ-t每个t∈ [0，T]，（5.8）5.3过程ζ的表征在本节中，我们对（5.8）中定义的过程ζ进行了表征。对于f，很容易验证这一点∈ C[0,1]，来自（π+，π）的函数-) ∈D（[0，T]，M（[0，1]）到（hπ+，fi，hπ）-, fi）∈ D（[0，T]，R）对于Skorohodj拓扑是连续的（使用[29]中的（5.5）-（5.6）和引理A.24）。现在（5.7）和连续映射定理表明，对于任意固定函数f∈ C（[0，1]）我们有asnk→ ∞,hζnk，+，fi，hζnk，-, 菲=>hζ+，fi，hζ-, 菲在D（[0，T]，R）中。（5.9）因此我们推断出hζnk，fi=> hζ，fi in D（[0，T]，R），（5.10），其中ζnis在（3.3）中给出，ζ在（5.8）中给出。下一步，固定n≥ 1，如果我们在RnbyF（x，…，xn）=nnXk=1f上定义函数F千牛xk，（5.11）我们从（3.3）和t的Xnthat的Markov性质中得到∈ [0，T]，hζnt，fi=nnXi=1Xni（nt）·f在里面= F（Xn（nt））=hζn，fi+ZntLnF（Xn（s））ds+Mnt。（5.12）这里的Lnis算子在（2.5）中给出，MNI是（局部）鞅。鞅表示（5.12）和（5.10）中的收敛性是刻画ζ的关键。为了说明本节的主要结果，我们回顾了假设2.2中给出的函数∧A、∧B、ΘA和ΘB，以及假设2.1中给出的p。

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nandehutu2022

2022-5-7 04:24:29

为了便于注释，weletν∧是一个符号测度，它对于Lebesgue测度是绝对连续的，例如对于x∈ [0,1]ν（dx）dx=∧A（x）- p） ·1x>p- ∧B（p- x） ·1x<p.（5.13）此外，我们假设AΘ是线性算子，因此对于f∈ C（[0,1]），AΘf（x）=f（x）·ΘA（x）- p） ·1x>p+B（p- x） ·1x<p. （5.14）我们现在陈述本节给出ζ特征的主要结果。提议5.2。Let（ζ+，ζ）-) 在（5.7）中为极限点，并在（5.8）中定义ζ。然后ζ满足以下方程组：对于任何f∈ C（[0,1]）和t∈ [0，T]，hζT，fi=hζ，fi+hν，fi·T-Zthζs，AΘfids，（5.15），其中（5.13）和（5.14）中给出了ν和AΘ。此外，hζ，fi具有连续轨迹，并且存在唯一的确定性度量值过程求解方程（5.15）。最后，对于固定的t∈ [0，T]，ζ是一个关于ebesgue测度绝对连续的有限测度，其有界密度函数由（3.6）-（3.9）确定。命题5.2证明的主要技术部分包括证明in（5.12）为n→ ∞, 鞅项消失，涉及生成元的项迅速收敛。我们把证明的细节留给附录C.6定理3.1的证明。在本节中，我们证明了定理3.1的主要结果。定理3.1第（b）部分的证明依赖于第5节的结果，而第（a）部分的证明不依赖于第5节的结果。6.1定理3.1第（a）部分的证明。我们用随机比较方法证明了（3.4）。（3.5）中的收敛性源自一个类似的论点，因此被省略。我们首先注意到Limn→∞pnA（0）n=limn→∞pnB（0）n=p.（6.1）这很容易从最佳出价和最佳要价的定义以及假设2.1中%的规则条件（b）得出。

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nandehutu2022

2022-5-7 04:24:34

因此，为了证明（3.4），必须展示≤T≤T新界北-pnA（0）n=> 0，作为n→ ∞.如果有的话 > 0，我们有sup0≤T≤T新界北-pnA（0）n> ≤ Psup0≤T≤TpnA（新界）- pnA（0）>n+ PpnA（0）- inf0≤T≤TpnA（nt）>n. （6.2）我们接下来证明，对于任何小δ>0，都存在Nδ，当N>Nδ时，Psup0≤T≤TpnA（新界）- pnA（0）>n≤ δ. （6.3）由于pnA（·）定义为n+1的上界，我们推断如果pnA（0）≥ n+1- N,然后（6.3）简单地跟着。因此下面我们假设pnA（0）<n+1- N, 或者相当于pnA（0）+bnC≤ n、对于固定的n和给定的pnA（0），我们首先定义从zn到Z的映射g:g（x）=pnA（0）+bncXi=pnA（0）x+i.（6.4）我们使用map g进一步引入一个辅助过程，以跟踪从pnA（0）到pnA（0）+bn的价格水平上的selllimit订单数量c、也就是说，对于每个t≥ 0，锌（t）= g（Xn（nt））=pnA（0）+bncXi=pnA（0）[Xni（nt）]+。（6.5）写入σnZn= inf{t≥ 0:Zn（t）=0}。（6.6）那么σnz是Zn从Zn（0）>0开始第一次达到0，其中Zn（0）>0来自于pnA（0）的事实≤ n、因此，为了显示（6.3），必须证明（σnZn≤ （T）≤ δ、当n>nδ时。（6.7）证明（6.7）的关键思想是构造一个n-维CTMC{Wn（t）：t≥ zn上由{Xn（t）：t支配的0}≥ 在eachn的强随机序意义下。就是呃(Wn(t))≤ zn和allt上所有实值增函数r的Er（Xn（t））≥ 要继续，我们设置Wn（0）=Xn（0）。为了方便起见，我们定义了两个常数：“∧”= 2·[（最大值）∈[0,1]λA（x））∨ （maxx）∈[0,1]λB（x））]∞, (6.8)Θ= （maxx）∈[0,1]ΘA（x））∨ （maxx）∈[0,1]ΘB（x））>0。

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能者818

2022-5-7 04:24:37

（6.9）我们通过修改CTMC Xnas的转换参数来构造WNN，如下所示：（a）将限价销售订单到达率设置为零；（b）将限额买入订单取消率和市场卖出订单到达率设置为零；（c）将每个价格水平的限制购买订单到达率设置为（6.8）中给出的∧，将消费2.2中给出的市场购买订单到达率设置为nκΥ，并将每吨订单的限制销售订单取消率设置为Θ。接下来，我们将讨论WNI随机地由Xn控制。我们应用[26]的结果。回忆一套如果x∈ Γ意味着{y∈ Zn:y≤ x} Γ.从Wn的构造中，我们知道Wn中没有限价卖出订单到达和限价买入订单移除（由于取消或与市场卖出订单匹配）。这意味着，如果Wn从一个状态转变为w∈ 去另一个州∈ 先是锌，然后是钨≤ 关于偏序≤ 在锌上。因此，我们从[26，定理5.3]中推导出，对于所有递减集Γ，它都是有效的 ZN使w/∈ ΓXz∈ΓqWn（w，z）≥Xz∈ΓqXn（x，z）表示所有w≤ x、（6.10）其中，QWn和QxNar是Wn和Xn的过渡速率。从Wn的构造以及Wn和Xn都具有只有一个组件可以在每次转换时改变其值的特性，可以很容易地验证（6.10）。鉴于Wn由Xn随机支配，我们准备构造一个过程zn，该过程由（6.5）中给出的zn随机支配。我们只是设定为t≥ 0~Zn（t）= g（Wn（nt））=pnA（0）+bncXi=pnA（0）[Wni（nt）]+≥ 0.（6.11）那么Zn以强随机顺序支配Zn，因为g in（6.4）是Zn的增函数。然后我们推导出p（σnZn）≤ （T）≤ P（σn~Zn）≤ T），其中σnZn是Zn从Zn（0）=Zn（0）开始第一次达到零，即σnZn= inf{t≥ 0:Zn（t）=0}。（6.12）因此，为了证明（6.7）有必要证明，给定任何δ>0，存在Nδ，使得p（σNZn≤ （T）≤ δ、当n>nδ时。

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可人4

2022-5-7 04:24:40

（6.13）我们现在专注于证明（6.13）。我们可以验证（6.11）中定义的过程是一个吸收势垒为零的纯死亡过程，并且当它处于k状态时，死亡率为∈ {1, 2, . . .} 是拜恩给的·k·Θn+nκ·Υ. （6.14）我们也可以从假设2.1、（6.11）和（6.1）中检查thatlimn→∞~Zn（0）n=limn→∞npnA（0）+bncXi=pnA（0）[Xni（0）]+=Zp+p%（x）dx>0。（6.15）由于Zn是一个吸收态为零的纯死亡过程，我们得到σnZn=Zn（0）Xk=1Dk，（6.16），其中dk表示Zn从状态k开始并达到k的第一次通过时间-1，soDkis是一个指数随机变量，其速率k·′Θ+n1+κΥ在（6.14）中给出。此外，所有Dk都是相互独立的。因此，我们有[σnZn]=EhZn（0）Xk=1Dki=~Zn（0）Xk=1k·Θ+n1+κ·Υ，var（σnZn）=~Zn（0）Xk=1var（Dk）=~Zn（0）Xk=1（k·Θ+n1+κ·Υ）。由于κ<1，我们从（6.15）推导出存在独立于n的C，因此limn→∞ln-nE[σnZn]=1- κ′Θ>0和supnV-ar（σnZn）≤ C.（6.17）因此对于所有足够大的n，我们得到E[σnZn]>T。下面是v ar（σnZn）≥ 嗯E[σnZn]- σn~Zn: σn~Zn≤ 钛≥ 嗯E[σnZn]- T: σn~Zn≤ 钛=E[σnZn]- T· P（σn~Zn）≤ T）。因此我们推断，当n较大时，P（σnZn）≤ （T）≤E[σnZn]- TV ar（σn~Zn）。这在施用（6.17）后产生（6.13）。因此，我们完成了（6.3）的证明。下一个结果是，对于n大，PpnA（0）- inf0≤T≤TpnA（nt）>n≤ δ. （6.18）注意pnB（·）每次都小于pnA（·），我们有pnA（0）- inf0≤T≤TpnA（新界）≤ pnA（0）- inf0≤T≤TpnB（nt）=pnB（0）- inf0≤T≤TpnB（nt）+pnA（0）- pnB（0）。现在（6.1）意味着对于n大，PpnA（0）- pnB（0）>n≤δ.因此，有必要证明，对于n大pnB（0）- inf0≤T≤TpnB（nt）>n≤δ.这源于（6.3）的类似论点。因此我们有（6.18）。结合（6.2）、（6.3）和（6.18），我们得到（3.4）。

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kedemingshi

2022-5-7 04:24:43

因此，证据是完整的。6.2定理3.1第（b）部分的证明在本节中，我们证明定理3.1第（b）部分。我们根据第5节中的结果对极限点（ζ+，ζ）进行了表征-) 在（5.7）中。证据假设（ζ+，ζ-) 是一个极限点，如命题5.2所示。鉴于命题5.2，toshowζ+t（分别为ζ-t）绝对连续，密度分别为φ+（·，t）-（·，t）），必须证明对于任何f∈ C（[0,1]）和t∈ [0，T]，我们有hζ+T，fi=Zf（x）~n+（x，T）dx，（6.19）hζ-t、 fi=Zf（x）~n-（x，t）dx，（6.20）式中，φ+=最大{φ，0}，φ-= 麦克斯{-由（3.6）-（3.9）唯一地确定。为此，我们首先注意到hζnk，+t，fi=> hζ+t，fi为nk→ ∞ 固定时间t∈ [0，T]。这是真的，因为hζnk，+，fi=> （5.9）中的hζ+，fi，以及极限点hζ+，fi的几乎每一条路径，都是连续的。类似地，我们从（5.10）推导出hζnkt，fγi=>hζt，fγi表示fγ∈ （5.1）中引入的C[0,1]和t∈ [0，T]。由于ζ是由命题5.2确定的，我们得到hζnkt，fγi概率收敛于hζt，fγi。因此，对于固定的γ>0，hζnk，+t，fi- hζnkt，fγi=> hζ+t，fi- hζt，fγi为nk→ ∞.利用文献[4]中的定理3.4，我们从引理5.1中得到，存在一个常数C>0，这样对于每个γ∈ （0，p）和t∈ [0，T]Ehζ+t，fi- hζt，fγi≤ 林英芬→∞Ehζnk，+t，fi- hζnkt，fγi≤ 林英芬→∞（~ank+Cγ）=Cγ。（6.21）此外，由于ζ是命题5.2和{fγ：γ的有界密度函数的确定性有符号测度∈ （0，p）}在[0，1]上一致有界，根据支配收敛定理和（5.2）thatlimγ可以推断→0+hζt，fγi=hζt，limγ→0+fγi=Zpf（x）~n（x，t）dx。（6.22）由于а满足（3.6）-（3.9）和ρ满足（2.7），我们推断а在[p，1]上为非负，在[0，p]上为非正。这意味着zpf（x）~n（x，t）dx=Zf（x）~n+（x，t）dx。

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kedemingshi

2022-5-7 04:24:46

（6.23）因此，我们从（6.21）中发现：hζ+t，fi-Zf（x）~n+（x，t）dx≤ Ehζ+t，fi- hζt，fγi+ |hζt，fγi-Zf（x）~n+（x，t）dx|≤ Cγ+| hζt，fγi-Zf（x）|+（x，t）dx |。（6.24）让γ→ 在不平等（6.24）中，我们从（6.22）和（6.23）中得出结论hζ+t，fi-Zf（x）~n+（x，t）dx= 因此（6.19）的概率为1。一个类似的论点得出（6.20）。因此，证据是完整的。感谢Jim Dai、Ton Dieker、Rama Cont和Yu Gu的讨论。高雪峰感谢ECS拨款2191081，以及中大直接拨款4055035和4055054的支持。邓世杰部分得到了PSERC的资助。引理5.1的证明在本节中，我们在第5.1节中证明引理5.1。为此，我们首先引入一个结果，将（按比例）的限价订单总数限定在订单簿的特定价格范围内。证明推迟到本附录末尾。引理A.1。修正T>0。存在一个正常数C，它依赖于T，但与n无关，因此对于任何固定区间[a，b] [0,1]，我们有很多建议→∞Esup0≤T≤TnXi：在∈[a，b]| Xni（新界）|≤ C（b）- a），（a.1）和Lim supn→∞Esup0≤T≤TnXi：在∈[a，b]| Xni（新界）|≤ C（b）- a）。（A.2）除任何σ∈ [0，T]我们有很多建议→∞E“sup0≤s≤T-σZs+σsnnXk=1 | Xnk（nu）| du#≤ Cσ。（A.3）我们现在证明引理5.1。引理5.1的证明。我们专注于证明（5.3）。（5.4）的证明如下，因此省略。

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mingdashike22

2022-5-7 04:24:49

在整个证明过程中，我们使用了一个通用常数C，该常数可能取决于onT，并且可能因行而异，但C与n无关。根据ζn、+、ζ和fγ的定义（见（3.1）、（3.3）和（5.1）），我们推导出∈[0，T]hζn，+t，fi- hζnt，fγii=nE监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-nXi=1Xni（nt）fγ（in）=氖监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-xi≥npXni（nt）f（in）-xi∈（np）-nγ，np）Xni（nt）fγ（in）≤氖监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-xi≥npXni（nt）f（in）+氖监督∈[0，T]xi∈（np）-nγ，np）Xni（nt）fγ（in）. （A.4）我们现在在不平等符号（A.4）之后约束这两个术语。我们首先界定第二项，即（A.4）中的最后一项。因为函数族fγ的构造使得fγ对于所有γ一致有界于[0,1]上的某个常数C∈ （0，p），（A.4）中的第二项在byCn·E之上监督∈[0，T]Xi∈（np）-nγ，np）|Xni（nt）|,对于较大的n（A.2），其上进一步以Cγ为界。接下来，我们对第一个术语进行了界定，我们用an表示。很明显≥ 所以我们只需要证明limn→∞~an=0。我们把它分成两部分，分别研究。修正一些δ>0。因为f是连续的，所以它在[0,1]上有一个常数C的界。我们再推断一下监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-xi≥npXni（nt）f（in）; 监督∈[0，T]新界北- P≥ δ≤ 2C·E“sup0≤s≤TnXi=1n | Xni（ns）|；监督∈[0，T]新界北- P≥ δ#= bn，δ。（A.5）现在引理A.1中的（A.1）意味着序列{sup0≤s≤TPnk=1n | Xnk（ns）|：n≥1} 在L中一致有界，因此{sup0≤s≤TPnk=1n | Xnk（ns）|：n≥ 1} 是统一整数的。因此，我们从定理3.1和（a.5）的（a）部分得到，对于任何δ>0，limn→∞bn，δ=0。（A.6）我们下一步前往邦德内监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-xi≥npXni（nt）f（in）; 监督∈[0，T]新界北- P< δ.我们可以选择小δ>0，这样（p-δ、 p+δ） (0, 1).

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能者818

2022-5-7 04:24:56

证据是完整的。B命题5.1的证明本附录的目标是确定{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} ，即托普洛夫提案5.1。我们的方法是首先显示{ζn，+：n的紧密性≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 然后通过证明{ζn，+：n的极限点来获得接头紧密度≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 集中在连续路径集上。在本节的整个证明过程中，我们使用了一个通用常数C，它可能因行而异，但C独立于n。我们从几个辅助引理开始。下一个引理说，为了确定{ζn，+：n的紧密性≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 必须证明，对于每一个f∈C[0,1]，实值过程序列{hζn，+，fi:n≥ 1} 和{hζn，-, 菲：n≥ 1} 在D（[0，T]；R）中都很紧。这个引理可以在[17，第4章，命题1.7]中找到。引理B.1。一类非负测度值过程{νn:n≥ 1} 是紧inD（[0，T]，M+[0，1]），如果{hνn，fi:n≥ 1} 在D（[0，T]；R）中对于每一个f都是紧的∈ C[0,1]。下一个引理是[16]中的命题VI.3.26。引理B.2。对于固定T>0，让{Xn:n≥ 1} 是一系列的过程，这些过程在D（[0，T]，Rd）中具有价值，并配备了Skorokhod Jtopology。每n≥ 1、{Xn}适用于过滤（Fnt）t∈[0，T]。然后{Xn:n≥ 1} C-紧于D（[0，T]，Rd）当且仅当下列两个条件成立：（a）对于任何T∈ [0，T]和 > 存在一个紧集K（t，) rdinfNP（Xnt∈ K（t，)) > 1.- . （B.1）（B）每 > 0，limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | Xnt- Xns |>!= 0.（B.2）对于引理B.2及其在本文中的应用，我们总是采用过滤（Fnt）t∈[0，T]作为{Xn（nt）：T产生的自然过滤∈ [0，T]}用于固定n≥ 1.也就是说，Fnt= σ（Xn（ns），s）≤ t）。（B.3）下一个引理是[16]中的推论VI.3.33。引理B.3。

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kedemingshi

2022-5-7 04:24:59

让{Xn:n≥ 1} 和{Yn:n≥ 1} be two C–过程的紧序列inD（[0，T]，Rd）。然后{Xn+Yn:n≥ 1} 在D（[0，T]，Rd）和{（Xn，Yn）：n中是C-紧的吗≥ 1} 是C–D中的紧度（[0，T]，R2d）。下一个引理表示实值过程序列{hζn，fi:n的C-紧性≥ 1} 每f∈ C（[0,1]）。证据很长，所以我们将其推迟到本附录末尾。回想一下（3.3），我们为每个n≥ 1和t∈ [0，T]，hζnt，fi=nnXi=1Xni（nt）·f（in）。引理B.4。修正任何f∈ C（[0,1]）。实值随机过程序列{hζn，fi:n≥ 1} 是C–在D（[0，T]，R）中紧。利用引理B.1–B.4，我们已经准备好证明命题5.1。命题5.1的证明。我们应用引理B.2来建立{hζn，+，fi:n的C-紧性≥ 1} 在D（[0，T]，R）中表示固定的f∈ C（[0,1]），其中hζn，+t，fi=nnXi=1hXni（nt）i+·f（in）。（B.4）{hζn的C-紧密性，-, 菲：n≥ 1} 下面使用类似的论点。{（hζn，+，fi，hζn，-, fi）：n≥ 1} 在应用引理B.3后立即跟进。我们首先证明{hζn，+，fi:n≥ 1} 引理B.2的（a）部分。我们依赖于函数fγ族∈ （5.1）中引入的C[0,1]。请注意，对于固定t∈ [0，T]，supnP（|hζn，+T，fi |>L）≤ supnP（|hζn，+t，fi）- hζnt，fγi |>L）+supnP（|hζnt，fγi |>L）≤Lsupn（~an+Cγ）+supnP（|hζnt，fγi |>L），其中我们在最后一个不等式中使用了马尔可夫不等式和（5.3）。因为{an}是一个有界序列，我们可以选择L large，使得lsupn（~an+Cγ）任意小。此外，对于固定的γ和t，{hζnt，fγi:n≥ 1} 是引理B.4给出的紧序列。因此，我们可以选择大的，使得supnP（|hζn，+t，fi |>L）也任意小。这两个事实意味着{hζn，+t，fi:n≥ 1} 是固定t的一个紧密序列∈ [0，T]。接下来我们验证{hζn，+，fi:n≥ 1} 也满足引理b.2的（b）部分。

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kedemingshi

2022-5-7 04:25:02

很明显，从（B.4）我们已经确定了≥ 1.过程hζn，+，fi适用于（B.3）中给出的过滤Fn。给定一个实数c>0，我们从（5.3）中得出，对于n个较大的psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζn，+T，fi- hζn，+s，fi |>c！≤ 2·Psup0≤T≤T | hζn，+T，fi- hζnt，fγi |>c！+Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζnt，fγi- hζns，fγi |>c！≤ 2·c（~an+cγ）+Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζnt，fγi- hζns，fγi |>c！。（B.5）由于对于固定的γ>0，过程hζn，fγi适用于Fn，因此我们从引理B.4推断limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζnt，fγi- hζns，fγi |>c！=0.结合（B.5），这意味着固定γ∈ （0，p）和c>0，limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζn，+T，fi- hζn，+s，fi |>c！≤6Cγc.Letγ→ 0+，我们得到limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζn，+T，fi- hζn，+s，fi |>c！=0.给定{hζn，+，fi:n的C-紧性≥ 1} 和{hζn，-, 菲：n≥ 1} 对于任何已执行的功能f∈ C[0,1]，我们首先从引理B.1推导出{ζn，+：n≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 在D（[0，T]，M+[0，1]）中是紧的。接下来我们讨论{ζn，+：n的极限点≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 具有连续的采样路径。假设ζ+是{ζn，+：n的极限点≥ 1} 然后，我们很容易从连续映射定理中证明hζ+，fi是{hζn，+fi:n的极限点≥ 1} 对于任何函数f∈ C[0,1]。由于C-紧序列{hζn，+，fi:n的所有极限点≥ 1} 集中在一组连续路径上，我们推断，对于几乎所有ω，我们都有：对于固定t∈ [0，T]，lims→td+ζ+s（ω），ζ+t（ω）= 林斯→T∞Xk=1k | hζ+s（ω），φki- hζ+t（ω），φki | 1+|hζ+s（ω），φki- hζ+t（ω），φki |=0，（B.6），其中（φk）是C[0,1]的稠密子集，距离测度d+在（5.5）中给出。因此，极限点ζ+具有连续的采样路径。类似地，{ζn的每个极限点的几乎所有路径，-: N≥ 1} 是连续的。

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能者818

2022-5-7 04:25:07

现在是{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} inD（[0，T]，M（[0，1]）源自[2]中的引理3.5和推论3.6。引理B.4的证明。我们验证引理b.2中的条件（a）和（b）是满足的。为了便于标记，我们为固定函数f编写了代码∈ C[0,1]和t≥ 0Ynt= hζnt，fi=nnXi=1Xni（nt）·f（in）。（B.7）我们首先从引理B.2证明了YNSTATIES条件（a）。自从supx∈[0,1]| f（x）|≤对于某些常数C，通过f的连续性，我们从（B.7）推导出| Ynt |≤nnXi=1 | Xni（nt）| | f（in）|≤CnnXi=1 | Xni（nt）|。我们现在从引理A.1推导出≤T≤T | Ynt | i≤ C.（B.8）马尔可夫不等式的应用立即产生YNTSTATIS FIES（B.1）。接下来，我们在引理b.2中证明了Yn也满足条件（b）。请注意，ynt=F（Xn（nt））=Yn+ZntLnF（Xn（s））ds+Mnt，（B.9），其中ln是（2.5）中给出的运算符，mn是（局部）鞅，函数F在（5.11）中定义。鉴于 > 0，σ>0，我们从（B.9）推断出PSUP | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T|Ynt- Yns |>!≤ Psup0≤T-s≤σ,0≤s、 t≤TZntnsLnF（Xn（u））du>!+ Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | Mnt- Mns |>!. （B.10）我们的策略是，对于大n，存在一个独立于n的常数C，使得E“sup0”≤T-s≤σ,0≤s、 t≤TZntnsLnF（Xn（u））du#≤ |C.sup-t|≤σ,0≤s、 t≤T | Mnt- Mns|#≤CTn。（B.12）利用马尔可夫不等式和切比雪夫不等式，以及（B.10），我们得到了limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T|Ynt- Yns |>!= 0.其余的证据集中在确定（B.11）和（B.12）。我们从证明开始（B.11）。对于固定n，我们从（5.11）和（2.5）推导出lnf（Xn（u））=Xk<pnA（u）nf（kn）ΘnB（pnA（u）- k） | Xnk（u）|-nf（kn）∧nB（pnA（u）- （k）+Xk>pnB（u）nf（kn）∧nA（k）- pnB（美国））-nf（kn）ΘnA（k）- pnB（u）| Xnk（u）|+Nf（pnB（u）n）ΥnA- f（pnA（u）n）ΥnB.（B.13）由于f在[0,1]上有界，我们从假设2.2中推断| LnF（Xn（u））|≤CnnXk=1 | Xnk（u）|+Cn。

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