当上述方程式左边出现的所有导数都为零时。从主方程（5）中，我们需要求解以下方程组：0=-λiu（hi，n）u（li，o）+eγuiu（l，n）- eγdiu（hi，n），我∈ I（8）0=-λiu（hi，n）u（li，o）- γuiu（li，o）+γdiu（hi，o），我∈ I（9）具有u（hi，o）+u（li，o）=mi的约束条件，我∈ I（10）Xi∈Imi+Xi∈Iu（hi，n）+u（l，n）=1（11）使用每个约束条件（10）并在（9）的每个等式中用它们替换u（hi，o），我们得到0=-λiu（hi，n）u（li，o）- γuiu（li，o）- γdiu（li，o）+γdimi，我∈ 因此i（li，o）=γdimiλiu（hi，n）+γi，我∈ I（12）式中，γI，γui+γdi。同样地，设eγi，eγui+eγdi。现在，将每个（9）减去每个（8），并使用约束（11）替换u（l，n），我们得到：0=eγui“1”-xi∈伊米-xi∈Iu（嗨，n）#- eγdiu（hi，n）+γuiu（li，o）- γdiu（hi，o），我∈ 伊森γiu（hi，n）=eγui1-xi∈伊米！- eγuiXj6=iu（hj，n）+γuiu（li，o）- γdiu（hi，o），我∈ i使用约束（10）代替u（hi，o）并用（12）代替u（li，o），我们最终得到：u（hi，n）=-eγuieγiXj6=iu（hj，n）+γiγdimieγi（λiu（hi，n）+γi）-γdieγimi+eγuieγi1-xi∈伊米！，我∈ I（13）因此，我们必须求解K个未知量的非线性K方程组u（hi，n）。一旦我们解出u（hi，n），我们就可以通过（12）得到u（li，o），并推导出u（hi，o）=mi- u（li，o），乘以（10），且u（l，n）=1-圆周率∈伊米-圆周率∈Iu（hi，n），by（11）。现在，我们将进行设置，以便我们能够诉诸Leray-Krasnosel的skijSchauder固定点理论。设x=（x，x，…，xK）表示RK中的向量。让我，皮∈伊米。letI=[0，1]Kwith f=（f，f，…，fK）：I-→ RK，定义为：fi（x）=xi+eγuieγiXj6=ixj-γiγdimieγi（λixi+γi）+γdieγimi-eγuieγi（1- m） ,，我∈ I（14）自每个fi起，1≤ 我≤ K、 是连续映射，f是连续映射。现在让我们考虑函数g（x）=x-f（x）。

然后g（x）=（g（x）。。。，gK（x））与gi（x）=-eγuieγiXj6=ixj-λiγdimixieγi（λixi+γi）+eγuieγi（1- m） ,，我∈ I（15）我们将证明连续函数g有一个固定点x*这意味着f（x*) = 0，因此是x*是系统所需的稳定状态。我们现在陈述Leray-Schauder-Krasnosel\'skij定理[3]。该定理在任何Banach空间X中都是有效的。我们只考虑有限维空间，因此弱拓扑和强拓扑之间是等价的，因此它们的定理的条件（A）在我们的情况下对连续函数总是有效的。事实上，条件（A）甚至适用于有界函数，因为有界集在有限维空间中相对紧凑。条件（A）：设F是从X到X的函数，使得无论何时（xn）n∈Nis弱收敛，则序列（F（xn））n∈NHA是一个强收敛子序列。定理3.1。（Djebali-Sahnoun[3]）设C是Banach空间X中的非空闭凸集。设U是C的非空开子集。设F:\'U→ Cbe满足条件（a）的连续映射。如果F（\'U）是相对弱紧的，那么我们有以下二分法：（i）要么方程F（x）=xh是\'U（ii）中的解，要么存在一个元素U∈ U是U的边界，存在p∈ U=λF（U）+（1- λ） p表示一些λ∈ (0, 1).为了应用上述定理，我们现在将定义g的域和余域，并证明F=g的第二种选择不可能发生。设A=max{| gi（x）| 1≤ 我≤ K、 x∈ [0,1]K}和A=max{A，1}。然后我们考虑两个有界凸集C=[-A、 A]kandu={（x，…，xK）：xi>0和pi∈Ixi<1- m} 。U是K-单纯形的内部，单位为1- M

我们也有U=USUwithU={（x，…，ˇxi，…，xK）：带xj≥ 0J∈ I，其中对于某些I，ˇxi=0∈ 我和皮∈Ixi<1- m} U={（x，…，xi，…，xK）：其中xi≥ 0和π∈Ixi=1- m} 。首先假设有一个元素x∈ 存在的UFO p∈ Uandλ∈ （0，1）使得x=λg（x）+（1）- λ） p.在坐标系中，我们有0=λgi（x）+（1）- λ） 圆周率。Butgi（x）=-eγuieγiXj6=ixj- (1 - m）≥ 0.因此pi=-λ1-λgi（x）≤ 0，如果p∈ U假设现在有一个元素x∈ 存在的UFO p∈ Uandλ∈ （0，1）使得x=λg（x）+（1）- λ） p.等式为thenxi=λgi（x）+（1）- λ） piwithgi（x）=-eγuieγiXj6=ixj-λiγdimixieγi（λixi+γi）+eγuieγi（1- m） （16）=-eγuieγi（1- M- 十一）-λiγdimixieγi（λixi+γi）+eγuieγi（1- m） （17）Hencexi=λeγuieγixi-λiγdimixieγi（λixi+γi）+ (1 - λ） pi（18）Sopi=1- λ1.- λeγuieγi+λiγdimieγi（λixi+γi）xi（19）上述等式意味着Pi>1- λ1.- λeγuieγixi（20），我们得到π>xi，这反过来意味着π∈Ipi>Pi∈Ixi=1- m、 这与p∈ U总之，我们证明了：定理3.2。任何带有K资产的部分细分市场都有一个稳定的状态，属于K-simplex¨U={（U，…，uK）：ui≥ 0andPi∈Iui≤ 1.- m} .4。部分细分市场的稳定状态唯一性为了显示稳定状态的唯一性，我们将在函数g的固定点等效地显示，用于获得存在结果的函数g实际上是唯一的。我们将使用凯洛格唯一性定理[11]来证明这一点。与之前一样，我们陈述了Banach空间的一般结果，但在有限维设置中，我们得到了有界集是相对紧的。定理4.1。（Kellogg[11]）设D是Banach空间X中的非空开凸集→“D”是一个紧凑的连续映射，它在D上是连续可微的。

假设（i）对于每个x∈ D、 1不是F（x）的初始值，而（ii）对于每个x∈ D、 D的边界，F（x）6=x。那么F有一个唯一的固定点。凯洛格对该定理的最初陈述要求函数F从“D”到“D”，以确保至少存在一个固定点（根据Schauder定理）。但是，正如Kellogg在第209页所指出的，如果我们至少存在一个固定点，并且F是从D到X的函数，那么唯一性论证是有效的，就像Altman和Rothe的固定点定理一样。我们的情况与杰巴利-萨赫农定理完全相似。注意，条件（ii）表明固定点不能在边界上，因此它不是退化状态。同样，在我们的K维设置中，F r′echet导数ofF（x）=（F（x），F（x）。。。，FK（x））是它的雅可比矩阵J（x）=菲xji、 当jand Fis的所有偏导数都是连续的时，jand Fis是连续可微的。更具体地说，当F=g时gixi=-λiγiγdimieγi（λixi+γi）和gixj=-eγuieγiwhen j 6=i.定理4.2。每个部分细分的市场模型都有一个唯一的稳定状态，即在满足系统（12）-（14）的U中有一个唯一的解。证明我们记得U是一个有界的、开放的凸集。我们知道g是一个连续可微映射，因此它是一个紧连续映射，在U上是连续可微的。如果我们验证g满足凯洛格定理的条件（i）和（ii），我们就会证明它的唯一性。对于条件（i），我们需要证明，对于U中的所有x，1不是g（x）的特征值，也就是线性算子Id- g（x）是可逆的。

反过来，这相当于矩阵I（x），Id- g（x）的行列式不同于零。I（x）=geγu1eγ··eγu1eγeγu2eγg。。。。。。。。。。。。。。。英国-1eγK-1eγ英国-1eγK-1eγuKeγK··eγuKeγKgKK其中gii=1+λiγiγdimieγi（λixi+γi），对于1≤ 我≤ K.将I（x）的ithline乘以每个I的γI∈ 一、 我们得到一个矩阵，我们称之为J（x），它等价于I（x）。更具体地说，J（x）=l1··11升。。。。。。。。。。。。。。。1111KK其中lii=eγieγuigii，带1≤ 我≤ K.我们注意到lii>1，供以后使用。然后，我们用新的列Ci替换每个列Ciof J（x）- Ci+1，带1≤ 我≤ K- 1并得到等价矩阵H（x）H（x）=L- 1 0 · · · 11 - 陆上通信线- 1.1.- lK-1K-10 · · · 1 - lKKlKK矩阵H（x）=（hij）使得hiK=1，hii=lii-一对一≤ 我≤ K-1.hKK=lKK，hij=1- 如果i=j+1，hij=0，则为其他情况。现在，我们将在LiofH（x）行上按如下顺序执行基本运算：L=-陆上通信线-1，Lj=Lj-1.-Ljljj-1对于2≤ J≤ K.这些运算给出了下面的上三角矩阵（x）=-10··t1K0-1.0塔克-1K0··0 tKK矩阵T（x）=（tij）使得tii=-一对一≤ 我≤ K- 1.tjK=-jPi=1lli-1, 1 ≤ 我≤ K和tij=0，否则。因此，它的行列式由det（T（x））给出(-1） KKPi=1lli-1与0不同。因此1不是g（x）的特征值。为了检查条件（ii），我们需要证明，对于所有x“\'U wehave g（x）6=x。假设其中存在一个元素x\'U满足方程g（x）=x。因为x属于“\'U，然后有i，这样xi=0或pi=1xi=1-M

但第一种情况属于第二种情况，因为gi（x）=-eγuieγiPj6=ixj- (1 - m）.所以，gi（x）=0意味着pj∈Ixj=Pj6=Ixj=（1）- m） 。现在，对于x这样的PJ∈Ixj=（1）- m） ，我们回忆起那个gi（x）=eγuieγixi-λiγdimixieγi（λixi+γi）.如果g（x）=x，那么gi（x）=xi∈ I.但这意味着eitherxi=0或eγui（λixi+γI）- eγi（λixi+γi）- λiγdimi=0。后者意味着xi=-eγdiγi+λiγdimieγdiλi< 但这两种情况都是不可能的，因为xi≥ 0和Pj∈Ixj=（1）- m） 。这给了我们g也满足了Kellogg定理的条件（ii），我们得到了g有唯一的固定点x的结论*. 因此，该点是U中的唯一点，因此f（x*) = 因此，每个部分细分的市场都有一个独特的稳定状态。注1：出现在唯一性定理证明中的矩阵H（x）=（hij）是这样的：对于i>j+1，hij=0。这种特殊形式的矩阵在文献中称为上海森堡矩阵。虽然这些矩阵出现在文献[13]和[10]以及许多控制理论应用中，但它们的行列式还没有已知的通用显式公式。Ramirez[13]和Marjic[10]计算了三对角Hessenberg矩阵（即上下Hessenberg矩阵）的行列式，并用斐波那契多项式表示。我们的证明也为我们的情况提供了一个明确的决定因素公式。注2：当我们有条件γui（1）时，也可以在超立方体[0，r]k上使用库帕[12]公式化的庞加莱-米兰达定理来证明存在结果-m） eγi≤ R≤1.-mK-1对于i中的所有i。如果是这样的话，我们有一个迭代方法来近似稳态。

不幸的是，如果这个条件没有得到验证，庞加莱-米兰达的假设就无效。确认：这项研究部分得到了魁北克研究基金会-自然与科技基金会（FRQNT grantno.180362）的团队资助。参考文献[1]B’elanger，A.，Giroux，G.：关于信息渗透的一些新结果。斯托克。系统。3（9），1-10（2013）[2]B’elanger，A.Giroux，G.和Moisan Poisson，M.：具有多种资产的场外交易模型。q-fin.CP，arXiv:1308.2957v1。[3] Djebali，S.，Sahnoun，Z.：Schauder和Krasnosels\'kij类型的非线性替代方案，以及对空间中Hammerstein积分方程的应用。熟练工人。差别。Equat。2492061-2075（2010）[4]杜菲，D.：动态资产定价理论。普林斯顿。大学按编辑3.（2001）[5]杜菲，D.：黑市：场外市场的资产定价和信息传输。普林斯顿。大学按编辑2.（2012）[6]杜菲，D.，G^arleanu，N.，Pedersen，L.H.：场外市场。计量经济学。73（1），1815-1847（2005）[7]杜菲，D.，G^arleanu，N.，Pedersen，L.H.：场外交易市场的估值。牧师。金融家。螺柱。20，1865-1900（2007）[8]杜菲，D.，孙，Y.：独立随机匹配的精确大数定律。乔恩。经济部。西奥。1105-1139（2012）[9]费兰，R.，吉鲁，G.：动态议价市场的大数定律。乔恩。阿普尔。普罗巴。45（7）45-54（2008）[10]Janji\'c，M.：Hessenberg矩阵和整数序列。乔恩。整数。塞肯。1-10（2010）[11]Kellogg，R.B.：Schauder不动点定理中的唯一性。过程。是数学Soc。60207-210（1976）[12]库帕，W.：庞加莱-米兰达定理。上午。数学月104（4），545-550（1997）[13]Ram\'Irez，J.L.：关于卷积广义Fibonacci和Lucas多项式。阿普尔。数学计算

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