自连续函数（Ynt）-Lt）-（ω） ，t∈ν(ω), τl(ω)下降到（Yt）-Lt）-（ω） =0，t∈ν(ω), τl(ω)当n→∞, 迪尼定理表明→∞↓ 监督∈[ν(ω),τl（ω） [（Ynt）-Lt）-(ω) = 0.As 1Al监督∈[ν,τl]（Ynt）-Lt）-≤ 1Al监督∈[ν,τl]L+t+| Ynt|≤ 2.l, N∈ N乘以（6.24），（6.27）和（6.25），应用有界收敛定理得到thatlimn→∞↓ E“A”l监督∈[ν,τl]（Ynt）- Lt）-#= 0.（6.36）与我们在[20]中给出的论点类似（见其中第21-22页），我们可以从（6.36）thatnY中推断l,不∈沙中的柯西序列{ν<t≤τl}ZntT∈[0，T]，n∈N是H2,2中的柯西序列。（6.37*）让Yl∈桑德斯l∈H2,2B分别为它们的极限，即limn→∞↓ E“supt∈[0，T]Yl,新界-YlT#+ 画→∞埃兹特{ν<t≤τl}Znt-简单lTdt=0。（6.38）直到n的子序列l,不∈N、 一个有limn→∞↓ 监督∈[0，T]Yl,新界-YlT= 0，P-a、 从（6.27）可以看出-a、 纽约lt=极限→∞↑ Yl,nt=limn→∞↑ 1AlYnt=1AlYt，T∈ [ν, τl], （6.39）与Y的连续性l表明A.lYν∨(τl∧（t）T∈[0，T]是一个连续的过程。（6.40）另一方面，强极限l弱极限Zl属于{ν<t≤τl}ZntT∈[0，T]，n∈ N必须重合，即eZlt=Zlt、 dt 数据处理-a、 这与（6.38），（6.27）和（6.39）以及（6.30）一起表明→∞A“E”l监督∈[ν,τl]Ynt-Yt#+ 画→∞EZτlν| Znt-Zlt | dt=0。（6.41）（3）乘以（6.31）和（6.40），Yν-Yν∨(τl∧t） =1AlYν-Yν∨(τl∧（t）, T∈[0，T]是F-适应连续过程，然后是soisKlt:=Yν-Yν∨(τl∧（t）-Zt{ν<s≤τl}g（s，Ys，Z）ls） ds+Zt{ν<s≤τl}ZlsdBs，t∈[0，T]。（6.42）人们可以从（6.41）中推断出→∞E“supt∈[ν,τl]Knt- KlT#= 0.（6.43*）6.2第5节中结果的证明19So直到{Kn}n的子序列∈N、 它能容纳P-a、 s。撒林→∞监督∈[ν,τl]Knt- KlT= 0和Klt=limn→∞Knt，T∈ [ν, τl], （6.44）这与Kn的单调性一起表明，对于P-a、 sω∈ Ohm, 路径Kl·（ω） 随周期[ν（ω），τ增加l(ω)]. 我们也可以从（6.44）中推断P-a、 s。

ω ∈ Ohm, 测度dKnt（ω）弱收敛于测度dKl周期[ν（ω），τ]上的t（ω）l(ω)]. 然后是P-a、 s.Zτlt（Ys）- Ls）dKls=0，T∈ [ν, τl]. （6.45*）（4）设置τ：=ν，我们接下来将显示进程Y和进程zt:=Xl∈N{τl-1<t≤τl}Zltand Kt:=Xl∈NKlτl∧T-Klτl-1.∧T, T∈[0，T]（6.46）解（5.4）。像{τl-1<t≤τl}T∈[0，T]是F-改编c`agl`ad过程（因此F-可预测的）每个l ∈ N、 过程Z-isF-可预测的另一方面，很明显K是F-K=0时的调整过程。让我们来看看P-空集，使得对于任何ω∈Ncandl∈N、 RT|Zlt（ω）|dt<∞ 路呢Klt（ω）T∈[0，T]是连续的，并随周期[ν（ω），τ）增加l(ω)].给定ω∈ （N）∪N） （6.46）中的和是有限和：Zt（ω）：=NωXl=1{τl-1（ω）<t≤τl（ω） }Zlt（ω）a和Kt（ω）：=NωXl=1.Kl(τl(ω) ∧ t、 ω）-Kl(τl-1(ω) ∧ t、 ω）, T∈[0，T]。（6.47）前者意味着Zt | Zt（ω）| dt=Zτ（ω）| Zt（ω）| dt=NωXl=1Zτl(ω)τl-1（ω）|Zlt（ω）|dt≤NωXl=1ZT|Zlt（ω）|dt<∞, 那么Z∈H2，0。我们从（6.47）中的后一个可以看出，路径{Kt（ω）}t∈[0，T]在[0，ν（ω）]周期内等于0，是从K开始连续增加的一个连接l(τl-1（ω），ω）到Kl(τl(ω), ω), l = 1，··，Nω在周期内[ν（ω），τ（ω）]，然后在周期内保持不变τ（ω），T. 因此，{Kt（ω）}t∈[0，T]是一条持续增长的路径，表示K∈K.让我l ∈ N.可以推断出kT=Xi∈NKiτi∧T-Kiτi-1.∧T=lXi=1Kiτi∧T-Kiτi-1.∧T=lXi=1-Yτi∧t+Yτi-1.∧T-Zτi∧tτi-1.∧tg（s，Ys，Zis）ds+Zτi∧tτi-1.∧Tzisbs=lXi=1-Yτi∧t+Yτi-1.∧T-Zτi∧tτi-1.∧tg（s，Ys，Zs）ds+Zτi∧tτi-1.∧tZsdBs=-Yτl∧t+Yν∧T-Zτl∧tν∧tg（s，Ys，Zs）ds+Zτl∧tν∧tZsdBs=-Yt+Yν-Ztνg（s，Ys，Zs）ds+Ztνzsds，T∈[ν, τl]. （6.48）它遵循tha tYt=Yτl+Zτltg（s，Ys，Zs）ds+Kτl-Kt-ZτltZsdBs，T∈ [ν, τl]. （6.49）自K在τi上的增量-1，τi]是Kiover[τi]的that-1，τi]对于任何i∈ N、 （6.45）表示zτlν（Yt）- Lt）dKt=lXi=1Zτiτi-1（Yt）- Lt）dKt=lXi=1Zτiτi-1（Yt）- Lt）dKit=0，P-a、 美国。

（6.50）因为P{Yτ≥Lτ}=1，（5.4）完全保持P-a、 在集合{ν=τ}上，和（Yν）∨t） （ω）≡（Yν）（ω）T∈[0，T]是任意ω的恒定路径∈{ν =τ}. 让我们来看看P-空集，使得对于任何ω∈{ν <τ} ∩ 北卡罗来纳州∩ Ncandl∈N、 （6.35）和（6.50）保持情景ω，以及（Yν）∨(τl∧t） ）（ω）T∈[0，T]是一条连续路径见（6.40）.任意ω的可积参数DRBSDEs∈{ν = τ}∩N∪ N∪ Nc、 我们可以从（6.49）中推断（5.4）适用于场景ω和（Yν）∨t） （ω）=（Yν）∨(τ ∧t） ）（ω）T∈[0，T]是一条连续路径。命题5.3的证明：受影响的BSDE的影响条件意味着-a、 s.0≤Zst{Yr>Yr}dKr=Zst{Lr=Yr>Yr}dKr≤Zst{Lr>Lr}dKr=0，0≤ t<s≤ 它跟在后面-a、 s.Zst{Yr>Yr}（dKr）- dKr）=-Zst{Yr>Yr}dKr≤ 0, 0≤ t<s≤ 然后我们可以在周期[0，T]上应用3.2的假设，Vi=Ki，i=1，2来得到结论。关于任意n的定理5.1：（1）（存在性）的证明∈ N、 我们在（1.10）中定义了函数GNA，满足（H1）-（H5）自∈ S+。根据命题3.1，BSDE（ξ，gn）允许一个唯一的解（Yn，Zn）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p）s，表明Ynis是（D）类。此外，3.3定理表明，对于任何ω∈ Ohm 除了P-空集NYnt（ω）≤ Yn+1t（ω），T∈ [0，T]，N∈ N.（6.51）我们可以让（6.51）保持任何ω∈ Ohm 通过设置Ynt（ω）：=1{ω∈Nc}Ynt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, N∈ N每一个修改的版本仍然属于∩P∈（0,1）Sp，属于（D）类，含锌的BSDE（ξ，gn）含量.应用命题5.1，其中（Yn，Zn，Jn）=（Yn，Zn，0），n∈ 极限过程Yt:=limn→∞↑ Ynt，t∈ [0，T]是F-clas（D）满足E“supt”要求的前dic表格流程∈[0，T]| Yt | p#∞, P∈ (0, 1). 接下来就是这个了∈[0，T]（Yt）-+Y+t≤ Y*+ Y*< ∞, P-a、 s.As YT=limn→∞↑ YnT=ξ≥ 中尉，P- a、 应用命题N5.2和（ν，τ）=（0，T）得到Y∈ ∩P∈（0,1）Spsolves-RBSDE（ξ，g，L）与一些（Z，K）∈ H2,0×K。

此外，应用引理A.2和（ν，τ）=（0，T）并使用H¨older不等式，这就是为什么”ZT | Zs | dsp/2#+E[KpT]≤ CpE[（Y）*)p] +CPEZHTDT！p<∞, P∈ (0, 1).即（Z，K）∈ ∩P∈（0,1）（H2，p×Kp）。（2） （唯一性）让（Y，Z，K），（Y，Z，K）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p×Kp）是RBSDE（ξ，g，L）的两个解，如（D）类的Y，Yis。从命题5.3我们知道P{Yt=Yt，T∈ [0，T]}=1，所以它保持P-a、 s.thatZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt-ZTtZsdBs=ZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt-ZTtZsdBs，t∈ [0，T]。比较两侧的多个可更换部件，结果显示Zt=Zt，dt 数据处理-a、 然后，P-a、 s.Kt=Y-Yt-Ztg（s，Ys，Zs）ds+ZtZsdBs=Y-Yt-Ztg（s，Ys，Zs）ds+ZtZsdBs=Kt，t∈ [0，T]。（3） （证明（5.1）和（5.2））Fixν∈T和γ∈我们将简单地表示τ（ν） bτ。{Yγ}γ的一致可积性∈Timplies，Yγ∈L（Fγ），so我们从（A.2）中看到P-a、 s.Yγ，Yγt=Yγ+Zγtgs、 Yγ，Yγs，Zγ，Yγsds-ZγtZγ，YγSDB，T∈ [ν, γ]. （6.52）因为它持有P-a、 s.thatYt=Yγ+Zγtgs、 Ys，Zsds+Kγ- Kt-ZγtZsdBs，T∈ [ν，γ]，6.3定理2.1的证明21应用命题3.2和（Y，Z，V）=Yγ，Yγ，Zγ，Yγ，0（Y，Z，V）=（Y，Z，K）是P-a、 s，Yγ，Yγt≤YTT∈[ν, γ]. 特别地，例如ν，γ[γ]=γ，γν≤Yν，P-a、 s.（6.53）As Yγ≥1{γ<T}Lγ+1{γ=T}ξ=Rγ，P-a、 在美国，我们从g的臭名昭著中走出来-评估yν≥ Egν，γ[Yγ]≥ Egν，γ[Rγ]，P-a、 s.（6.54），因为它持有P- a、 s.任何t的Yt>Rt=ltt∈[ν，bτ），RBSDE（ξ，g，L）中的流动条件意味着-a、 对于任何t，s.Kt=Kν∈[ν，bτ]。然后它保持P-a、 s.thatYt=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtgs、 Ys，Zsds+Kbτ∧γ-Kt-Zbτ∧γtZsdBs=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtgs、 Ys，Zsds-Zbτ∧γtZsdBs，T∈ν、 bτ∧γ.与（6.52）相似，有一个P-a、 s.Ybτ∧γ、 Ybτ∧γt=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtgs、 Ybτ∧γ、 Ybτ∧γs，Zbτ∧γ、 Ybτ∧γsds-Zbτ∧γtZbτ∧γ、 Ybτ∧γSDB，T∈ν、 bτ∧ γ.再次应用命题3.2得到P-a、 s.，Yt=Ybτ∧γ、 Ybτ∧γt对于任何t∈ν、 bτ∧γ.

因此，yν=Ybτ∧γ、 Ybτ∧γν=Egν，bτ∧γ[Ybτ∧γ] ，P-a、 这与（6.53）一起证明了（5.1）。当YT=ξ=RT，P- a、 s，我们可以从过程Y的c连续性和过程r的右连续性推导出Ybτ=Rbτ，P-a、 所以在（6.55）中取γ=T得到Yν=Egν，bτ[Ybτ]=Egν，bτ[Rbτ]，P-a、 这与（6.54）一起意味着（5.2）。6.3定理2.1（1）（存在性）的证明我们将遵循[25]的方法，通过粘贴局部解来构造DRBSDE（ξ，g，L，U）的整体解，见我们的简介。（1a）增加惩罚计划为了n∈ N、 我们在（1.10）中定义了满足（H1）的函数GNA-（H5）自∈ S+。定理5.1和重新标记5。2显示以下内容反映了带发电机GNA和上部障碍物U的BSDE美国犹他州≥ Yt=ξ+ZTtgn（s，Ys，Zs）ds- JT+JT-ZTtZsdBs，t∈ [0，T]，ZT（Ut）- Yt）dJt=0。（6.56）提供独特的解决方案（Yn、Zn、Jn）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p×Kp）s，这表明Ynis属于（D）类。根据命题5。3和注释5.2，它适用于任何ω∈ Ohm 除了P-空集N thatYnt（ω）≤ Yn+1t（ω），T∈ [0，T]，N∈ N.（6.57）我们可以让（6.57）保持任何ω∈ Ohm 通过设置Ynt（ω）：=1{ω∈Nc}Ynt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, N∈ N每一个修改的版本仍然属于∩P∈（0,1）Sp，属于（D）类，满足（6.56）和（Zn，Jn）. 根据命题5.1，极限过程t:=limn→∞↑ Ynt，t∈ [0，T]是F-满足这些“支持”的（D）类可预测过程∈[0，T]| Yt | p#<∞, P∈(0, 1). （6.58）具有可积参数的DRBSDE 22Letν∈T对任何人来说∈N、 定义停止时间γNν：=inf{t∈[ν，T]：Ynt=Ut}∧T∈T因为它持有P-a、 s.thatYnt<UT∈ν、 γnν, 我们可以从（6.56）中的流量条件中得出：Jnt=Jnν，T∈[ν，γnν]= 1.然后，它跟随着- a、 s.0=Jnγnν- Jnt=Ynγnν- Ynt+Zγnνtgn（s，Yns，Zns）ds-ZγnνtZnsdBs。

（6.59）显然，γnν在n中减少，其极限γν：=limn→∞↓ γnν≥ 由于过滤F的正确连续性，ν仍然是一个停止时间。我们声称yγν=1{γν=T}ξ+1{γν<T}Uγν，P-a、 s.（6.60）（见附录）。所以Yγν≥ 1{γν=T}LT+1{γν<T}Lγν=Lγν，P-A.s、 自从E监督∈[0，T]| Yt | p+supt∈[0，T]| Yt | p<∞, P∈（0，1）并且因为它持有P-a、 s.thatYnt=Ynγν+Zγνtgn（s，Yns，Zns）ds-ZγνtZnsdBs，T∈ [ν，γν]（6.61）对于任何n∈ N乘以（6.59），将命题5.2应用于（Yn，Zn）N∈奈尔斯：这一过程Yν∨(γν∧（t）T∈[0，T]搭扣-a、 s.连续路径且存在（Zν，Kν）∈H2,0×k如P-a、 美国。书信电报≤ Yt=Yγν+Zγνtg（s，Ys，Zνs）ds+Kνγν- Kνt-ZγνtZνsdBs，T∈ [ν，γν]，Zγνν（Yt- Lt）dKνt=0。（6.62）自E[|Yν|]<∞ 由{Yζ}ζ的一致可积性∈T、 引理A.2，H¨older不等式和（6.58）表明Zτν| Zt | dtp/2#≤ CpE监督∈[ν，τ]| Yt | p+ 内容提供商EZτνhtdtp<∞, P∈ (0, 1). （6.63）（1b）减刑方案与备注1.3（4）中讨论的gl类似，gU（t，ω，y）：=（y- Ut（ω））+，（t，ω，y）∈ [0，T]×Ohm x R显然是aPB（R）/B（R）-可测函数（H2）-（H4）。对任何人来说∈ N、 从备注1.3（3）中我们可以看到egn（t，ω，y，z）：=g（t，ω，y，z）-n（y）-Ut（ω））+，（t，ω，y，z）∈[0，T]×Ohm×R×R定义了一个生成器，定理5.1表明RBSDEξ、 埃格恩，L这是一个独特的解决方案eYn eZn eKn∈ ∩P∈类（Kp，nis×kps）的（1，nis×kps）。由于egnis在n中减少，命题5.3表明P-a、 s.eYnt≥eYn+1t，T∈ [0，T]，N∈ N.（6.64）和（6.57）一样，我们可以假设（6.64）在任何地方都适用Ohm.设置埃尔，欧盟:= (-U-L）∈ S+×S-. 对任何人来说∈ N拜恩，bZn，bJn:=-艾恩，-eZn，-eKn令人满意的是，P-a、 s.eUt=-书信电报≥bYnt=-ξ -ZTtgs、 eYns，eZnsds+nZTt艾恩斯-我们+ds-eKnT+eKnT+ZTTESNSDBS=bYnT+ZTtg-s、 宾斯，bZnsds+nZTt比恩斯-埃尔斯-ds+bJnT-比恩特-ZTtbZnsdBs，t∈ [0，T]。

（6.65）自g-是一台重新标记1.3（1）的发电机，应用5.1吨的提案拜恩，bZn，bJn在…上∈NYELDS thatbYt:=limn→∞↑拜恩特，t∈[0，T]是F-（D）类满足“支持”的可预测过程∈[0，T]比亚特p#<∞, P∈6.3定理2.1的证明∈T停止时间τnν：=infT∈[ν，T]：bYnt=eUt∧T=infT∈[ν，T]：eYnt=Lt∧T∈T正在减少旅馆。分析到（6.60），τν：=limn→∞↓ τnν≥ ν仍然是满足τν=-1{τν=T}ξ+1{τν<T}eUτν≥ -1{τν=T}UT- 1{τν<T}Lτν≥ -Uτν≥eLτν，P-a、 s.（6.66）表示任何n∈ N、 与（6.61）相似，我们可以从（6.65）中得出P-a、 s.bYnt=bYnτν+Zτνtgns、 宾斯，bZnsds+nZτνt比恩斯-埃尔斯-ds-ZτνtbZnsdBs，T∈ [ν, τν].作为E“supt∈[0，T]比亚特p+supt∈[0，T]比亚特p#∞, P∈ （0,1），使用（6.66）并应用命题5.2得出整个过程按ν∨(τν∧（t）T∈[0，T]有P-a、 s.c.连续路径和存在bZν，bKν∈H2,0×k如P-a、 美国。英语教学≤bYt=bYτν+Zτνtg-（s，bYs，bZνs）ds+bKντν-bKνt-ZτνtbZνsdBs，T∈ [ν，τν]、Zτν（bYt）-eLt）dbKνt=0。（6.67）自g-（H4）和（H5）具有与g相同的函数h，与（6.63）的类比表明E“Zτν| bZt | dtp/2#≤ CpE监督∈[ν,τ ]比亚迪P+ 内容提供商EZτνhtdtp<∞, P∈ (0, 1). （6.68）套eY，eZν，eJν=-通过-bZν，-bKν, 由（6.67）可知，P-a、 美国。美国犹他州≥eYt=eYτν+Zτνtg（s，eYs，eZνs）ds-eJντν+eJνt-ZτνteZνsdBs，T∈ [ν，τν]、Zτν（Ut）-eYt）deJνt=0。（6.69）（1c）接下来，我们证明，除了P-空集NLt≤eYt=Yt≤ Ut，t∈ [0，T]。（6.70）给定n∈ N、 我们设置Vnt:=nRt（Yns-Ls）-ds-JntandeVnt:=-nRt（艾恩斯）-美国）+ds+Knt，t∈[0，T]。As（Yn，Zn，Jn）解（6.56）和eYn eZn eKn苏格兰皇家银行ξ、 埃格恩，L, 它能容纳P-a、 s。thatYnt≤乌坦德因特≥书信电报，T∈[0，T]。

（6.71）然后我们可以推导出P-a、 s.Zst{Ynr>eYnr}dVnr-德夫纳≤nZst{Ynr>eYnr}（Ynr）-Lr）-+（eYnr）-（乌尔）+dr=nZst{Lr≥Ynr>eYnr}（Ynr-Lr）-+1{Ynr>eYnr≥Ur}（eYnr）-（乌尔）+博士≤nZst{Lr>eYnr}（Ynr-Lr）-+1{Ynr>Ur}（eYnr）-（乌尔）+dr=0，0≤t<s≤T.因为YnT=eYnT=ξ，P-A.s、 在[0，T]期间应用命题3.2，其中g=g=g，（Y，Z，V）=（Yn，Zn，Vn）和（Y，Z，V）=eYn，eZn，eVn产生PYnt≤艾因，T∈[0，T]=1.因此P-a、 s.Yt=limn→∞↑ Ynt≤ 画→∞↓eYnt=eYt，t∈ [0，T]。（6.72）另一方面，让ν∈ T由（6.66），eYτν∧γν=1{τν>γν}≤γν}eYτν=1{τν>γν}eYγν+1{τν≤γν，τν<T}Lτν+1{τν=γν=T}ξ≤ 1{τν>γν}Uγν+1{τν≤γν，τν<T}Yτν+1{τν=γν=T}ξ=1{τν>γν}Yγν+1{τν≤γν}Yτν=Yτν∧γν，P-a、 可积参数为24的s.DRBSDEs同样，我们从（6.69）和（6.62）中得出-a、 s.eYt=eYτν∧γν+Zτν∧γνtg（s，eYs，eZνs）ds-eJντν∧γν+eJνt-Zτν∧γνteZνsdBs和Yt=Yτν∧γν+Zτν∧γνtg（s，Ys，Zνs）ds+Kντν∧γν- Kνt-Zτν∧γνtZνsdBs，T∈ [ν, τν∧ γν].由于Y和Y都属于（D）类，所以使用（6.63），（6.68）并将命题3.2应用于随机区间[[ν，τν]∧γν]]与（Y，Z，V）=eY，eZν，-eJν（Y，Z，V）=（Y，Zν，Kν）得到P-a、 美国，艾特≤Yt，T∈[ν, τν∧γν].特别是一个haseYν≤ Yν，P-a、 s.当v随T变化时，横截面定理em（见[16]的定理IV.86）和（6.71）暗示P-a、 中尉≤ 画→∞↓eYnt=eYt≤ Yt=limn→∞↑ Ynt≤ Ut，t∈ [0，T]，与（6.72）一起证明（6.70）。特别是，我们从（6.62）和（6.69）中看到，（Y，Zν，Kν，0）lo callysolve在随机区间[[ν，γν]]上的双反射BSDE和（Y，eZν，0，eJν）=（eY，eZν，0，eJν）局部解在随机区间[[ν，τ]]上的双反射BSDE。（1d）通过粘贴构建解决方案对任何人来说∈ N和t∈ [0，T]，设置Int:=[（T- 2.-n）∨ 0，（t+2）-n）∧ [T]。

与（A.19）相似，我们可以从Yn\'s，eYn\'s和（6.70）的连续性推断P-a、 s·林→∞↑ infs∈IntYs=limn→∞↑ infs∈英特利姆→∞↑ Yms≥ 林姆→∞↑ 画→∞↑ infs∈IntYms=limm→∞↑ Ymt=Yt=eYt=limm→∞↓eYmt=limm→∞↓ 画→∞↓ 小吃∈英特姆斯≥ 画→∞↓ 小吃∈英特利姆→∞↓eYms=limn→∞↓ 小吃∈InteYs=limn→∞↓ 小吃∈英提斯≥ 画→∞↑ infs∈IntYs，T∈ [0，T]，这表明Y是一个连续的过程。太可怕了∈ ∩P∈（0,1）Spby（6.58）。设ν：=0，我们递归地设置停止时间ν′l:= γνl, νl+1:= τν′l, l ∈ N、 和定义过程zt:=Xl∈N{νl<T≤ν′l}Zνlt+1{ν′l<T≤νl+1} eZν′lt、 Kt:=Xl∈NKνlν′l∧T-Kνlνl∧T, Jt:=Xl∈NeJν′lνl+1.∧T-eJν′lν′l∧T, T∈[0，T]。（6.73）自{νl<T≤ν′l}T∈[0，T]和{ν′l<T≤νl+1}T∈[0，T]是F-适应c`agl`ad过程（因此F-可预测的）每个l ∈ N、 过程Z是F-可预测的而且，很明显K和J是F-K=J=0的适应过程。让我们来看看P-空集，使得对于任何ω∈对于任意t，路径L·（ω），U·（ω）Y·（ω）是连续的，Lt（ω）<Ut（ω）∈[0，T]。在（6.60）和（6.66）之间，除了P之外，它仍然有效-位于{ν′的空集nl<T}Yν′l= 1{ν′l<T}Uν′l和1{νl+1<T}eYνl+1= 1{νl+1<T}Lνl+1.l ∈N.（6.74）我们声称{νN}N∈Nis静止：more精确，对于任何ω∈（N）∪ N∪N） cT=ωNω（ω）表示sωNω∈ N.（6.75）假设不是，那么它适用于一些ω∈ （N）∪ N∪ N） 每N的ηN（ω）<T∈ N.给定∈ N、 asνN（ω）≤ ν′n（ω）≤ νn+1（ω）<T，（6.74）表明Yν′n(ω)=Uν′n（ω） 及Yνn+1(ω)=eYνn+1(ω)=Lνn+1(ω). （6.76）让t*= T*（ω） =林→∞↑ νn（ω）=limn→∞↑ ν′n（ω）∈ [0，T]。作为n→ ∞ 在（6.76）中，我们看到了路径SL·（ω）、U·（ω）和Y·（ω）的连续性*（ω） =林→∞Lνn+1（ω） =林→∞eYνn+1（ω） =eYt*（ω） =Yt*（ω） =林→∞Yν′n（ω） =林→∞Uν′n（ω） =Ut*(ω).矛盾出现了，所以（6.75）成立。那么（6.73）中的三个总和就是有限总和。与下面（6.47）的讨论类似，Z∈H2,0和K，J∈K.6.3定理2.1的证明25Letl ∈ N与l ≥ 2.

与（6.48）相似，我们可以从（6.69），（6.62）和（6.70）推断P-a、 s.Kt-Jt=l-1Xi=1Kνiν′i∧T- Kνiνi∧T-l-1Xi=1eJν′iνi+1∧T-eJν′iν′i∧T=l-1Xi=1-Yν′i∧t+Yνi∧T-Zν′i∧tνi∧甘油三酯s、 Ys，Zν是ds+Zν′i∧tνi∧tZνisdBs-eY+iν∧t+eYν′i∧T-Zνi+1∧tν′i∧甘油三酯s、 eYs，eZν′是ds+Zνi+1∧tν′i∧teZν′isdBs=l-1Xi=1-Yνi+1∧t+Yνi∧T-Zνi+1∧tνi∧甘油三酯s、 Ys，Zsds+Zνi+1∧tνi∧tZsdBs=-Yt+Y-Ztgs、 Ys，Zsds+ZtZsdBs，T∈[0, νl].它紧随其后-a、 s.Yt=Yνl+Zνl甘油三酯s、 Ys，Zsds+Kνl-Kt-Jνl+Jt-ZνltZsdBs，T∈[0, νl]. （6.77）由于K在[νi，ν′i]上的增量是K在[νi，ν′i]上的增量（K是[ν′i，νi+1]上的常数），并且由于J在[ν′i，νi+1]上的增量是J在[νi，νi+1]上的增量，（6.69），（6.62）和（6.70）ag暗示着zl（Yt）-Lt）dKt=l-1Xi=1Zν′iνi（Yt-Lt）dKt=l-1Xi=1Zν′iνi（Yt-Lt）dKνit=0，（6.78）和zνl（犹他州）-Yt）dJt=Zνl美国犹他州-艾特dJt=l-1Xi=1Zνi+1ν′i美国犹他州-艾特dJt=l-1Xi=1Zνi+1ν′i美国犹他州-艾特dJν′it=0，P-a、 s.（6.79）很明显，YT=limn→∞↑ YnT=ξ，P-a、 美国出租l → ∞ 在（6.7）、（6.78）和（6.79）中，我们从（6.75）和（6.70）中看到，（Y，Z，K，J）解出了DRBSDE（ξ，g，L，U）。（2） （证据（2.1）-（2.3）固定∈T我们将简单地表示τ*ν乘以bτ和γ*v乘以bγ。因为它持有P-a、 s.thatYt>Lt，T∈ν、 bτ和Yt<Ut，T∈ν、 bγ,DRBSDE中的流动条件（ξ，g，L，U）意味着-a、 s.Kt=Kν，T∈[ν，bτ]和Jt=Jν，T∈ν、 bγ. （6.80）设τ，γ∈我们从m（6.80）中看到-a、 s.Yt=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtg（s，Ys，Zs）ds- Jbτ∧γ+Jt-Zbτ∧γtZsdBs，T∈ν、 bτ∧ γ.As Ybτ∧γ∈L（Fbτ）∧γ） 利用{Yγ′}γ′的一致可积性∈T、 （A.2）表明P-a、 s.Ybτ∧γ、 Ybτ∧γt=Ybτ∧γ+Zbτ∧γtgs、 Ybτ∧γ、 Ybτ∧γs，Zbτ∧γ、 Ybτ∧γsds-Zbτ∧γtZbτ∧γ、 Ybτ∧γSDB，T∈ν、 bτ∧ γ. （6.81）应用命题3.2，其中（Y，Z，V）=（Y，Z，-J） 和（Y，Z，V）=Ybτ∧γ、 Ybτ∧γ、 Zbτ∧γ、 Ybτ∧γ, 0收益率-a、 美国，Yt≤Ybτ∧γ、 Ybτ∧γt对于任何t∈ν、 bτ∧γ. 它跟在那后面≤Ybτ∧γ、 Ybτ∧γν=Egν，bτ∧γYbτ∧γ, P-a、 美国。

（6.82）同样地，我们可以减少≥Egν，τ∧bγYτ∧bγ, P-a、 （6.83）证明（2.1）。过程Y，L和U的连续性意味着1{bτ<T}Ybτ=1{bτ<T}Lbτ和1{bγ<T}Ybγ=1{bγ<T}Ubγ，P-a、 美国ITP紧随其后-a、 s.R（bτ，γ）=1{bτ<γ}Lbτ+1{γ≤bτ}∩{γ<T}Uγ+1{bτ=γ=T}ξ≥ 1{bτ<γ}Ybτ+1{γ≤bτ}∩{γ<T}Yγ+1{bτ=γ=T}YT=Ybτ∧γ、 （6.84）和R（τ，bγ）=1{τ<bγ}Lτ+1{bγ≤τ }∩{bγ<T}Ubγ+1{τ=bγ=T}ξ≤ 1{τ<bγ}Yτ+1{bγ≤τ }∩{bγ<T}Ybγ+1{τ=bγ=T}YT=Yτ∧bγ。（6.85）然后（6.82），（6.83）和g的单调性-计算结果表明，egν，τ∧bγR（τ，bγ）≤Egν，τ∧bγYτ∧bγ≤Yν≤Egν，bτ∧γYbτ∧γ≤Egν，bτ∧γR（bτ，γ）, P-a、 s.在τ上取本质s-upremum∈ Tν，和γ上的绝对必要值∈ Tν，T分别产生tha tessupτ∈Tν，Tγ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）≤ es-sinfγ∈Tν，tessupτ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）≤esssupτ∈Tν，TEgν，τ∧bγR（τ，bγ）≤ Yν≤essinfγ∈Tν，TEgν，bτ∧γR（bτ，γ）≤esssupτ∈Tν，Tγ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）, P-a、 再乘以6.80，它仍然保持P-a、 s。thatYt=Ybτ∧bγ+Zbτ∧bγtg（s，Ys，Zs）ds-Zbτ∧bγtZsdBs，T∈ν、 bτ∧ bγ.将其与γ=bγ的（6.81）进行比较，我们可以从命题3.2中推断出P-a、 s.，Yt=Ybτ∧bγ，Ybτ∧ bγt为任何∈ν、 bτ∧bγ. 在（6.84）中取γ=bγ，在（6.85）y中取τ=bτ，即yν=Ybτ∧bγ，Ybτ∧ bγν=Egν，bτ∧bγYbτ∧bγ= Egν，bτ∧bγR（bτ，bγ）,P-a、 这与（6.86）一起证明了（2.2）和（2.3）。（3） （唯一性）Let（Y，Z，K，J）∈∩P∈（0,1）Spx H2,0×K×Kbe DRBSDE（ξ，g，L，U）的另一种溶液，因此Y属于（D）类。因为Y也代表了atis（2.3），所以它适用于任何t∈ [0，T]tha-tYt=esssupτ∈t，苔丝∈Tt，TEgt，τ∧γR（τ，γ）= essinfγ∈Tt，tessupτ∈Tt，TEgt，τ∧γR（τ，γ）=Yt，P-a、 美国。

（6.87）Y和Y的连续性表明P-a、 s.ξ+ZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt- JT+JT-ZTtZsdBs=Yt=Yt=ξ+ZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt-JT+JT-ZTtZsdBs，t∈ [0，T]。比较两侧的马丁格尔零件表明，Zt=Zt，dt 数据处理-a、 它允许-a、 s.Kt- Jt=Kt- Jt，t∈ [0，T]。（6.88）DRBSDE中的影响条件（ξ，g，L，U）意味着-a、 s.Kt=Zt{Ys=Ls}dKs，Kt=Zt{Ys=Ls}dKs，Jt=Zt{Ys=Us}dJs，Jt=Zt{Ys=Us}dJs，t∈[0，T]。（6.89）作为P{Lt<Ut，T∈[0，T]}=1，我们可以推断P-a、 s.Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}{Ys=Ls}dKs=0和Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}{Ys=Ls}dKs=0，t∈[0，T]，这与（6.89），（6.87）和（6.88）一起导致P-a、 s.Jt=Zt{Ys=Us}dJs+Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}dJs+Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}dJs+Zt{Ys=Us}dKs=Zt{Ys=Us}dJs+Zt{Ys=Us}dKs=Jt∈[0，T]。然后很容易从（6.88）得出-a、 美国，Kt=Kt，T∈[0，T]。A.附录27A附录引理A.1。给定ξ∈L（Fτ），设ξ∈L（Fτ），设g（t，ω，y，z）=1{t≤τ（ω）}g（t，ω，y，z），（t，ω，y，z）∈[0，T]×Ohmx R×Rdbe是一个发电机。然后一个搭扣Yτ，ξt=Yτ，ξτ∧TT∈[0，T]=1和Zτ，ξt=1{t≤τ}Zτ，ξt，dt 数据处理-a、 s.（a.1）符号（Yτ，ξ，Zτ，ξ）见（4.1）. 特别是，它持有P-a、 s.thatYτ，ξt=ξ+Zτtgs、 Yτ，ξs，Zτ，ξsds-ZτtZτ，ξsdBs，T∈ [0, τ]. （A.2）证据：给定n∈N、 我们定义了一个停止时间γN:=infT∈[0，T]：ZtZτ，ξsds>n∧T∈T（A.3）由于Yτ，ξτ∧γn=Yτ，ξγn+Rγnτ∧γn{s≤τ}gs、 Yτ，ξs，Zτ，ξsds-Rγnτ∧γnZτ，ξsdBs=Yτ，ξγn-Rγnτ∧γnZτ，ξsdBs，P-a、 在美国，接受条件反射检查·|Fτ∧γn产生P-a、 s.Yτ，ξτ∧γn=EYτ，ξγnFτ∧γn=1{τ ≤γn}EYτ，ξγnFτ+1{τ>γn}EYτ，ξγnFγn=1{τ ≤γn}EYτ，ξγnFτ+1{τ>γn}Yτ，ξγn.（A.4）作为Zτ，ξ∈ ∩P∈（0,1）H2，p H2,0，{γn}n∈国家统计局。

让n→ ∞, 我们可以从Yτ，ξγγ∈TthatYτ，ξτ=1{τ≤T}EYτ，ξTFτ+ 1{τ>T}Yτ，ξT=EYτ，ξTFτ= EξFτ= ξ、 P-a、 然后，P-a、 s.Yτ，ξτ∧t=Yτ，ξτ+Zτ∧t{s≤τ}gs、 Yτ，ξs，Zτ，ξsds-Zττ∧tZτ，ξsdBs（A.5）=ξ+ZTt{s≤τ}gs、 Yτ，ξτ∧s、 1{s≤τ}Zτ，ξsds-ZTt{s≤τ}Zτ，ξsdBs，t∈ [0，T]。这表明Yτ，ξτ∧t、 1{t≤τ}Zτ，ξtT∈[0，T]也解BSDE（ξ，gτ）。清晰地Yτ，ξτ∧TT∈[0，T]是F-适应连续过程，使E“supt∈[0，T]Yτ，ξτ∧Tp#≤ E“supt∈[0，T]Yτ，ξtp#∞ 任何p∈ （0,1）以及Yτ，ξγγ∈T0，τ是一致可积的。像{t≤τ }T∈[0，T]是F-一种自适应的c`agl`ad过程因此F-可预测的, 我们看到了{t≤τ}Zτ，ξtT∈[0，T]是F-可预测过程RT{t≤τ}Zτ，ξt|p/2≤ ERT | Zτ，ξt|p/2< ∞ 对于任何p∈ (0, 1). 因此，通过BSDE（ξ，gτ）的s解的唯一性，（A.1）成立。此外，（A.5）也可以表示为：-a、 s.Yτ，ξτ∧t=ξ+Zτ∧甘油三酯s、 Yτ，ξs，Zτ，ξsds-Zττ∧tZτ，ξsdBs，t∈ [0，T]，这导致（A.2）。引理A.2。设g:[0，T]×Ohm×R×Rd→ R是PB（R）B（研发）/B（研发）-可测函数满足（H1）和（H4）。给定ν，τ∈T与ν≤τ、 让（Y，Z，K）∈S×eH2,0×K满足P-a、 s.Yt=Yτ+Zτtg（s，Ys，Zs）ds+Kτ- Kt-ZτtZsdBs，T∈ [ν, τ]. （A.6）如果E|Yν|< ∞, 那么对于任何p∈ (0, ∞), 嗯Rτν| Zt | dtp/2i+E（Kτ）-Kν）p≤ CpE监督∈[ν，τ]| Yt | p+CpEhRτνhtdt圆周率。具有可积参数的DRBSDEs 28Proof：设E|Yν|< ∞ 和fix p∈(0, ∞). 根据Burkholder-Davis-Gundy不等式，对于任何连续的局部鞅ME[（M）]，都存在cp>0*)p]≤ cpEhhMip/2土地和Eh（M）*)p/2i≤ cpEhhMip/4Ti。（A.7）设置ψ：=supt∈[ν，τ]|Yt |并假设E[ψp]<∞, 否则，结果就微不足道了。我们让n∈N并定义停止时间τN:=inf{t∈[ν，τ]：Rtν| Zs | ds>n}∧τ ∈T很明显，ν≤τn≤τ.

因为（H1），（H4）和H¨older不等式意味着kτn-Kν=Yν-Yτn-Zτnνg（t，Yt，Zt）dt+Zτnνztdbtbt≤2ψ+Zτnν（ht+κ| Yt |+κ| Zt |）dt+ZT{ν≤s≤τn}ZtdBt≤（2+κT）ψ+Zτνhtdt+κ√TZτnν| Zt | dt1/2+支持∈[0，T]Zt{ν≤s≤τn}ZsdBs, P-a、 以p-次方，我们可以从（1.5）和（A.7）推断出Kτn-Kν圆周率≤(1∨4p-1） （（2+κT）pE[ψp]+EZτνhtdtP+κpTp/2+cpE“Zτnν| Zt | dtp/2#）。（A.8）作为E|Yν|< ∞, 推论3.1意味着存在一个uniqueeZ∈ ∩P∈（0,1）H2，PE[Yν| Ft]=E[Yν]+rtezdbs，T∈[0，T]=1.类似于（6.3），（A.6）s，P- a、 s.eYt:=E[Yν| Fν∧t] +Yν∨(τ ∧（t）-Yν=E[Yν]-Zt{ν<s≤τ}g（s，Ys，Zs）ds-Zt{ν<s≤τ}dKs+Zt{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}Zs星展银行∈ [0，T]。（A.9）SoeY是F-适应连续过程，即∈ S.集a:=2（κ+κ）a和δ：=3(1 ∨ 4p/2-1)(1 ∨ 4p-1)κpTp/2+cp-2/p.将It^o公式应用于加工吃|爱|T∈[0，T]，我们可以从（A.9）推导出P-a、 美餐艾特=E[Yν]+阿兹提斯埃斯ds-2Zt{ν<s≤τ}easeYsg（s，Ys，Zs）ds+Zteas{s≤ν} |eZs |+1{ν<s≤τ}Zs|ds-2Zt{ν<s≤τ}easeYsdKs+2ztaseys{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}Zs星展银行∈ [0，T]。与（6.6）的类比表明，teYt=Yt，T∈ [ν, τ]. 因此，它持有P-a、 s.thateaτ| Yτ|=eaτeYτ= 吃艾特+aZτ茶埃斯ds-2Zτt{ν<s≤τ}easeYsg（s，Ys，Zs）ds-2Zτt{ν<s≤τ}easeYsdKs+2Zτteasys{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}ZsdBs+Zτ茶{s≤ν} |eZs |+1{ν<s≤τ}Zs|ds=吃| Yt |+Zτ茶a | Ys |+|Zs|-2Ysg（s、Ys、Zs）ds- 2ZτteasYsdKs+2ZτteasYsZsdBs，T∈[ν, τ]. （A.10）那么（H1）和（H4）意味着P-a、 s.eaνYν+Zτnνeasa | Ys |+|Zs|ds=eaτnYτn+2ZτnνeasYsg（s，Ys，Zs）ds+2ZτnνeasYsdKs-2Zτnνeasyszsbs≤eaTψ+2Zτnνeas|Ys | hs+κ| Ys |+κ| Ys | Zs|ds+2atψ（Kτn）-Kν）+2ZT{ν≤s≤τn}easYsZsdBs≤1+δe2aTψ+2atψ·Zτνhsds+2（κ+κ）Zτnνeas | Ys | ds+Zτnνeas | Zs | ds+δ（Kτn-Kν）+2ZT{ν≤s≤τn}easYsZsdBs.A.

附录29如下所示：-a、 s.Zτnν| Zt | dt≤Zτnνeas | Zt | dt≤4+δe2aTψ+2Zτνhtdt+δ（Kτn）-Kν）+4支持∈[0，T]Zt{ν≤s≤τn}easYsZsdBs.以p/2为例-下面，我们可以从（1.5）和（a.8）中推断出：Zτnν| Zt | dtp/2#≤(1 ∨ 4p/2-1)(4+δp/2apte[ψp]+2p/2EZτνhtdtP+δp/2E[（Kτn-Kν）p]+4p/2cpE“Zτnνe2at | Yt | Zt | dtp/4#）≤CpE[ψp]+CpEZτνhtdtP+E“Zτnν| Zt | dtp/2#+CpE“（ψ）p/2Zτnν| Zt | dtp/4#≤CpE[ψp]+CpEZτνhtdtP+E“Zτnν| Zt | dtp/2#。所以呢Rτnν| Zt | dtp/2i≤ CpE[ψp]+CpERτνhtdtP, 这和（A.8）一起表明了这一点“Zτnν| Zt | dtp/2#+EhKτn-Kν圆周率≤ CpE[ψp]+CpEZτνhtdtP. （A.11）作为Z∈eH2，0，它代表P-a、 sω∈ Ohm 对于某些Nω，τ（ω）=τNω（ω）∈ 然后让→ ∞ 在（A.11）中，我们可以应用单调收敛定理来得到这个结论。引理A.3。设X为F-可选流程与P-a、 s.右上半连续路径i、 对于任何ω∈ Ohm除了P-空集NX，Xt≥林斯tXs，T∈[0，T）. 如果Xν≤Xeν，P-a、 s.表示任何ν，eν∈T与ν≤eν，P-a、 然后是一个不断增长的过程。证明：设置Dk:=tki:=ik∧ T2kTi=0，K∈ N和D:=∪K∈NDk。给定t∈ [0，T），我们定义Xt:=limn→∞↑ infs∈ΘntXs，其中Θnt:=D∩ （t，（t+2）-n）∧ [T]。显然，Θnt=∪k> nΘn，kt，其中n，kt:=Dk∩t、 （t+2）-n）∧ T. （A.12）对于任何m，n∈ N，m<N，因为Θanti是（t，（t+2）的可数子集-n）∧ T]，随机变量infs∈Θntxs显然是F（t+2）-n）∧T-可测量的所以Xt=limn→∞n> m↑ infs∈ΘntXs∈ F（t+2）-m）∧T.As m→ ∞, 过滤F的正确连续性表明∈ ∩M∈核因子（t+2）-m）∧T=Ft+=Ft。

（A.13）（1）另外设置XT:=XT∈ 首先，我们展示了过程Xis F-逐步可测量。无论如何∈[0，T），c∈R和n，k∈N，k>N，因为它适用于i=0，··，2kt 还有其他的吗∈[tki，tki+1）∩[0，t]那Θn，ki:=Θn，ktki={tkj:j=i+1，··，i+2k-n} =Θn，kss、 （s+2）-n）∧ T0，（t+2）-n）∧ T,我们可以推导出n（s，ω）∈[0，t]×Ohm: 明尔∈Θn，ksXr（ω）≥公司=2kt∪i=0n（s，ω）∈[tki，tki+1）∩[0，t]×Ohm: 明尔∈Θn，ksXr（ω）≥公司=2kt∪i=0n（s，ω）∈[tki，tki+1）∩[0，t]×Ohm: 明尔∈Θn，kiXr（ω）≥公司=2kt∪i=0∩R∈Θn，kin（s，ω）∈[tki，tki+1）∩[0，t]×Ohm: Xr（ω）≥公司=2kt∪i=0∩R∈Θn，ki[tki，tki+1）∩[0，t]×{Xr≥ c}∈B（[0，t]）F（t+2）-n）∧T.（A.14）带可积参数的DRBSDE 30Now，Lete∈ [0，T]和ec∈ R.Ifet=0，那么（A.13）表明（s，ω）∈东部时间0×Ohm : Xs（ω）>ec= {0}×{X>ec}∈B（{0}）F如果ET>0，对于任何m>m:=l-我们可以从（A.14）和（A.12）中推断（s，ω）∈东部时间0- 2.-M×Ohm: Xs（ω）>ec=n（s，ω）∈东部时间0-2.-M×Ohm: 画→∞n> m↑ infr∈ΘnsXr（ω）>eco=∪n> mn（s，ω）∈东部时间0-2.-M×Ohm: infr∈ΘnsXr（ω）>eco=∪n> m∪l∈Nn（s，ω）∈东部时间0-2.-M×Ohm: infr∈ΘnsXr（ω）≥ec+1/lo=∪n> m∪l∈N∩k> nn（s，ω）∈东部时间0-2.-M×Ohm: 明尔∈Θn，ksXr（ω）≥ec+1/lo∈B东部时间0-2.-MFet和（A.13）表明（s，ω）∈东部时间0×Ohm: Xs（ω）>ec=n（s，ω）∈∪m> m东部时间0- 2.-M×Ohm: Xs（ω）>eco∪（s，ω）∈et×Ohm: Xs（ω）>ec=∪m> m（s，ω）∈东部时间0- 2.-M×Ohm: Xs（ω）>ec∪et×Xet>ec∈B东部时间0场效应晶体管。所以∧：=nE R:（s，ω）∈东部时间0×Ohm : Xs（ω）∈ E∈B东部时间0胎儿包含所有开放的形态集合（ec，∞), 产生B（R）。显然，λ是σ-R领域。B（R）是 ∧，即。（s，ω）∈东部时间0×Ohm : Xs（ω）∈ E∈B东部时间0任何宴会∈ B（R）。因此，Xis F-逐步可测量。（2） 修理l ∈ 因为X和X都是F-首次登场定理证明了τ是可测量的l:= inf{t∈ [0，T]：Xt≤ Xt- 1/l} ∧ T.定义停止时间，即τl∈ T我们声称l:= {τl< T}∈ 这是一个P- 空集：假设不是，所以l\\我不是空的。让ω∈ A.l\\NXand集s:=τl(ω).

存在{si}i∈N [s，T]和利米→∞↓ si=s，因此xsi（ω）≤ Xsi（ω）- 1/l, 我∈ N.（A.15）给定m∈ N、 我们可以找到一些bi=bi（m）∈ N和bn=bn（m）≥ i’’我是这样的≥bi和n≥ bn，（si，（si+2）-n）∧ [T] (s)(s+2)-m）∧ T]因此Θnsi=∪k> nDk∩si，（si+2）-n）∧ T∪k> mDk∩s、 （s+2）-m）∧T= Θms.因此∈ΘmsXr（ω）≤ infr∈ΘnsiXr（ω）。勒丁→ ∞, 我们看到∈ΘmsXr（ω）≤ Xsi（ω）。就像我→ ∞, （A.15）A和X·（ω）的右上半连续性意味着∈ΘmsXr（ω）≤ 里美→∞Xsi（ω）≤里美→∞Xsi（ω）- 1/l ≤limrsXr（ω）- 1/l ≤ Xs（ω）- 1/l.现在，让我→ ∞ 产生x（ω）≤ Xs（ω）- 1/l, 这表明xτl≤ Xτl- 1/l 在l\\NX。（A.16）F-X的可选可测量性意味着停止过程的可测量性Xτl∧TT∈[0，T]（参见[33]的推论3.24），因此Xlt:=1{Xτl∧T≤Xt}，t∈[0，T]也是F-可选流程。自从Xlν=1{Xτl∧ν≤Xν}=1，P-a、 任何一个都可以∈T，交叉作用定理（见[16]的定理em IV.86）表明，对于任何ω∈Ohm 除了P-空集Nl,十、lt（ω）=1或（Xτ）l∧t） （ω）≤ Xt（ω），T∈ [0，T]。（A.17）让ω∈ A.l\\（NX）∪Nl). As X（τ）l(ω), ω) ≤ X（t，ω），T∈ [τl（ω） 通过（A.17），我们可以从（A.16）推导出thatX（τ）l(ω), ω) ≤ X（τ）l(ω), ω) ≤ X（τ）l(ω), ω) - 1/l.A.附录31A合同附件A，so 0=P（A）l) = P{Xt≤ Xt- 1/l 有一段时间∈ [0，T）}.让l → ∞ 对于某些t，产生p{Xt<Xt∈ [0，T）}=liml→∞↑ P{Xt≤ Xt- 1/l 有一段时间∈ [0，T）}=0，这与X的右上半连续性一起表明，除了P-空se t NXt≥Xt≥limstXs=limn→∞↓ 小吃∈（t，（t+2）-n）∧T]Xs≥ 画→∞↓ 小吃∈ΘntXs≥ 画→∞↑ infs∈ΘntXs=Xt，T∈[0，T）。也就是说，它适用于任何ω∈ NcthatXt（ω）=limsts∈D∩（t，t]Xs（ω），T∈ [0，T.[A.18]塞滕：=N∪∪s、 s′∈D、 s<s′Xs>Xs′, 这也是一个P-给定ω的零s集∈eNcand t，t′∈ [0，T]与T<T′，设{sn}n∈N D∩带limn的（t，t′）→∞↓ sn=t且设{s′n}n∈N D∩（（t′，t）∪{T}）与limn→∞↓ s′n=t′。

我们可以从（A.18）推导出Xt（ω）=limn→∞Xsn（ω）≤ 画→∞Xs′n（ω）=Xt′（ω）。因此，X是一个不断增长的过程。（6.34）的证明：（1）Yn的连续性意味着P-a、 sω∈ OhmlimstYs（ω）=limn→∞↑ infs∈（t，（t+2）-n）∧T]Ys（ω）=limn→∞↑ infs∈（t，（t+2）-n）∧T]limm→∞↑ Yms（ω）≥ 林姆→∞↑ 画→∞↑ infs∈（t，（t+2）-n）∧T]Yms（ω）=limm→∞↑ limstYms（ω）=limm→∞↑ Ymt（ω）=Yt（ω），T∈ν(ω), τ(ω), （A.19）这表明Yν∨(τl∧（t）T∈[0，T]有P-a、 s.右下半连续路径。然后从（6.32）thateK开始l有P-a、 s.右上半连续路径。（2） 我们下一个节目是thateKlγ是一个弱极限Knτl∧γN∈任何γ的Nin L（FT）∈ T让我们∈ L（英尺）。借助鞅表示定理，存在唯一的Zχ∈ H2，2如P所示-a、 s.Mχt:=E[χFt]=E[χ]+ZtZχSDB，T∈ [0，T]。设置ζ=ζl:= ν ∨(τl∧γ) ∈T和n∈N.我们定义Υl,nt:=Knν∨(ζ∧t） +Yl,nν∨(ζ∧（t）-Yl,nν-埃克lν∨(ζ∧t） +Yν∨(ζ∧（t）-Yν,T∈[0，T]。当Knν=0乘以（6.22）时，我们可以从（6.28）推导出P-a、 s.Υl,nt=-Zν∨(ζ∧t） νg（s，Y）l,ns，Zns）- g（s，Ys，0）-嗯lsds+Zν∨(ζ∧t） ν硫化锌-ZlsdBs=-Zt{ν<s≤ζ}g（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Ys，0）-嗯lsds+Zt{ν<s≤ζ}硫化锌-Zls星展银行∈ [0，T]，因此Υl,尼桑·F-适应连续过程。因为（6.27），（6.31）和（6.25）这是怎么回事l,新界|≤ 4.l+千牛∨(ζ∧（t）+埃克lν∨(ζ∧（t）, T∈[0，T]，（1.5），（6.29）和（6.33）意味着Υl,N*我≤3Eh16l+Knτl+埃克l*我≤Cl+CEZτlν|嗯lt |+| Zlt|dt<∞, （A.20）这表明l,N∈ 比如美国（6.22），一个哈塞克lt=0，T∈ [0, ν]. （A.21）如此l,nν=Knν-埃克lν=0. 通过部件整合过程MχΥl,尼尔斯：P-a、 s.χΥl,nT=MχTΥl,nT=MχtΥl,nt+ZTtMχsdΥl,ns+ZTtΥl,nsdMχs+hMχ，ΥiT-hMχ，Υit=-ZTt{ν<s≤ζ} Mχsg（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Ys，0）-嗯lsds+ZTt{ν<s≤ζ} Mχs硫化锌-ZlsdBs+ZTtΥl,nsZχsdBs+ZTt{ν<s≤ζ} Zχs硫化锌-Zlsds，t∈ [0，T]。（A.22）具有可积参数的DRBSDEs，因为Doob的鞅不等式表明Eh（Mχ*)我≤ 4E|MχT|= 4E|χ|< ∞ （即。

Mχ∈ s H2，2），应用Bur-kholder-Davis-Gundy不等式和H¨older不等式，我们从（A.20）中看到“supt”∈[0，T]Zt{ν<s≤ζ} Mχs硫化锌-Zls星展银行+ 监督∈[0，T]ZtΥl,nsZχsdBs#≤CE“Mχ*Zζν硫化锌-Zlsds1/2#+CEΥl,N*ZT|Zχs|ds1/2#≤C（Eh（Mχ*)i·EZζν硫化锌-Zlsds）1/2+C（EhΥl,N*i·EZT | Zχs | ds）1/2<∞.即Rt{ν<s≤ζ} Mχs硫化锌-Zls星展银行T∈[0，T]和Rt{s≥ν}Υl,nsZχsdBsT∈[0，T]是一致可积的。然后在（A.22）中取t=0的表达式得到Knζ-埃克lζi=Ehχ-Yl,nζ+Yζ+Yl,nν-Yνi+E[χΥl,nT]=Ehχ-Yl,nζ+Yζ+Yl,nν-Yν我- EZT{ν<s≤ζ} Mχsg（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Y）l,ns，0）-嗯lsds-EZT{ν<s≤ζ} Mχsg（s，Y）l,ns，0）-g（s，Ys，0）ds+EZT{ν<s≤ζ} Zχs硫化锌-Zlsds:=In-在里面-In+In。作为Mχ，Zχ∈H2，2，方程的弱收敛性{ν<s≤τl}（g（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Y）l,（n，0）s∈[0，T]，n∈N to{ν<s≤τl}嗯lss∈[0，T]和{ν<s≤τl}硫化锌s∈[0，T]，n∈N to{ν<s≤τl}Zls∈[0，T]到（6.30）表明limn→∞In=limn→∞In=0。自从χ-Yl,nζ+Yζ+Yl,nν-Yν≤4.l|χ|由（6.27）、（6.31）、（6.25）和自E[|χ|]≤1+E[|χ|]<∞ 在（1.6）中，支配收敛定理意味着limn→∞In=0。Mo reover，（H3）显示Limn→∞{ν<s≤ζ}g（s，Y）l,ns，0）-g（s，Ys，0）= 画→∞A.l∩{ν<s≤ζ}g（s，Yns，0）-g（s，Ys，0）=0，ds 数据处理-a、 而（H4）、（6.27）和（6.25）则暗示ds 数据处理-a、 美国。{ν<s≤ζ} Mχsg（s，Y）l,ns，0）-g（s，Ys，0）≤1{ν<s≤ζ} |Mχs|2hs+κYl,ns+ κ| Ys|≤1{ν<s≤ζ} |Mχs|2hs+2κl.As（6.24）和H¨older不等式表明Ezt{ν<s≤ζ} |Mχs |（2hs+2κ）l) ds≤2.l（1+κT）EMχ*≤2.l（1+κT）nEh（Mχ*)io1/2<∞,我们可以再次应用控制c收敛定理来获得limn→∞In=0。因此limn→∞呃χKnζ-埃克lζi=0。因为（6.22）和（A.21）意味着∈ NKnτl∧γ-埃克lγ=Knτl∧γ-埃克lτl∧γ=Knτl∧γ-千牛∧(τl∧γ)-埃克lτl∧γ-埃克lν∧(τl∧γ)=千牛∨(τl∧γ)-千牛-埃克lν∨(τl∧γ)-埃克lν=Knζ-埃克lζ、 一周→∞呃χKnτl∧γ-埃克lγi=0，这表明Knτl∧γN∈他身体虚弱lγ单位为L（FT）。（3） 现在，让γ，eγ∈不是这样的≤eγ，P-a、 美国。

对任何人来说∈N、 因为Knis是一个不断增长的过程，所以它保持P-a、 s.thatKnτl∧γ≤Knτl∧eγ。（A.23）那么我们必须lγ≤埃克leγ，P-a、 s.：假设不是，即P-A组的测量值：=埃克lγ> 埃克leγ∈FTI严格大于0，这将遵循EhAeKlγi>EhAeKl然而，我们从第（2）和（A.23）部分知道lγi=limn→∞EAKnτl∧γ≤ 画→∞EAKnτl∧eγ= 埃哈克l一个矛盾出现了。因此，eKlγ≤埃克leγ，P-a、 s.T.Then L emma a.3表明l这是一个不断增长的过程。附录33（6.37）的证明：设置A:=2（λ++κ）并固定m，n∈N中的m>N。我们定义过程Ξm，nt:=Ξmt-Ξnt，t∈[0，T]表示Ξ=Y，Yl, Z.与（A.10）相似，我们可以从（6.26）中推断P-a、 美餐Yl,m、 新界+Zτl茶a | Yl,m、 ns |+|Zm，ns|ds=eaτlYl,m、 nτl+2Zτl挑逗的l,m、 nsg（s，Y）l,ms，Zms）-g（s，Y）l,ns，Zns）ds+2Zτl挑逗的l,m、 nsdKms- 2Zτl挑逗的l,m、 nsdKns-2Zτl挑逗的l,m、 nsZm，nsdBs，T∈ [ν, τl]. （A.24）通过（H1）和（H2），它持有ds 数据处理-a、 s.thatYl,m、 nsg（s，Y）l,ms，Zms）-g（s，Y）l,ns，Zns）= Yl,m、 nsg（s，Y）l,ms，Zms）-g（s，Y）l,ns，Zms）+Yl,m、 nsg（s，Y）l,ns，Zms）-g（s，Y）l,ns，Zns）≤λ| Yl,m、 ns |+κYl,m、 ns | | Zm，ns|≤（λ++κ）|Yl,m、 ns |+|Zm，ns |。（A.25）此外，可以从过程KmthatZτ的定义中推断l挑逗的l,m、 nsdKms=1AlZτlteasYm，nsdKms=1AlZτlt{Yms<Ls}easYm，nsdKms≤1AlZτlt{Yms<Ls}eas（Ls-Yns）dKms≤伊塔lZτlν（Yns）-Ls）-dKms≤伊塔l小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-!Kmτl, T∈ [ν, τl].

（A.26）同样，-Zτl挑逗的l,m、 nsdKns≤ 1AlZτlt{Yns<Ls}eas（Ls-Yms）dKns≤伊塔l小吃∈[ν,τl]（Yms）-Ls）-!Knτl≤ 伊塔l小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-!Knτl, T∈ [ν, τl].把这个和（A.25），（A.26）插回（A.24）表示P-a、 美餐Yl,m、 新界+Zτl茶| Zm，ns | ds≤ η -2Zτl挑逗的l,m、 nsZm，nsdBs，T∈ [ν, τl],式中η：=eaτlYl,m、 nτl+2数据l小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-!Kmτl+Knτl.从H¨older不等式（6.27）和（6.29）中我们可以看出，t=ν的经验值为t{ν<t≤τl}|Zm，nt | dt≤EZτlνeas | Zm，ns | ds≤2E[η]≤2EheaτlYl,m、 nτli+4eaT（E“Al小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-#×呃Kmτl+Knτli） 1/2≤切哈lYτl-Ynτli+Cl（E）“A”l小吃∈[ν,τl]（Yns）-Ls）-#)1/2. （A.27）另一方面，伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不平等性意味着“超级”∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤E“supt∈[ν,τl]吃Yl,m、 新界#≤ E[η]+2E“支持∈[0，T]ZTt{ν<s≤τl}容易的l,m、 nsZm，nsdBs#≤E[η]+CE“支持”∈[ν,τl]Yl,m、 新界!·Zτlνeat|Zm，nt|dt1/2#≤E[η]+E“支持∈[ν,τl]Yl,m、 新界#+CEZτlνeat|Zm，nt|dt。作为E“supt∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤ 4.l通过（6.27）和（6.25），它从（A.27）中派生出“supt”∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤ 2E[η]+CEZτlνeat|Zm，nt|dt≤ CE[η]。（A.28）具有可积参数34的DRBSDEs和（6.27）表明∈[0,ν]Yl,m、 新界#≤E“supt∈[0，T]EA.lYm，nν英尺#≤4EhA.lYm，nν我≤4E“supt∈[ν,τl]Yl,m、 新界#,我们从（6.27）和（A.28）中看到“supt”∈[0，T]Yl,m、 新界#≤E“supt∈[0,ν]Yl,m、 新界+ 监督∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤5E“supt∈[ν,τl]Yl,m、 新界#≤CE[η]。这一点加上（A.27）导致了supm>n（E）supt∈[0，T]Yl,m、 新界#+EZT{ν<t≤τl}|Zm，nt | dt）≤CE[η]≤切哈lYτl-Ynτli+Cl（E）“A”l监督∈[ν,τl]（Ynt）-Lt）-#)1/2.As 1AlYτl-Ynτl≤2.l, N∈N乘（6.25），让N→∞, 从有界收敛定理和（6.36）可知→∞supm>n（E）supt∈[0，T]Yl,m、 新界#+EZT{ν<t≤τl}|zmt=1240。因此Yl,NN∈砂岩中的尼斯-柯西层序{ν<t≤τl}ZntT∈[0，T]，n∈N是H2，2中的柯西序列。

（6.43）的证明：作为Knν=Kl通过（6.2）和（6.42），我们可以从（6.28）推导出P-a、 s.Knt-Klt=（Knt）-Knν）-（K）lT-Klν） =Yl,nν-Yl,新界-1Al（Yν）-Yt）-Ztνg（s，Y）l,ns，Zns）-g（s，Ys，Z）l（s）ds+Ztν（Zns）-Zls） 星展银行，T∈[ν, τl].然后（6.27）和（H1）表明P-a、 美国。Knt-KlT≤1Al|Ynν-Yν|+1AlYnt-Yt+Ztνκ| Zns-Zls |+| g（s，Y）l,ns，Zl（s）-g（s，Ys，Z）l（s）|ds+Ztν硫化锌-Zls星展银行, T∈[ν, τl].因为H¨older的不等式和（1.5）意味着Knt-KlT≤加利福尼亚州l|Ynν-Yν|+CAlYnt-Yt+CZtν| Zns-Zls | ds+CA.lZtν| g（s，Y）l,ns，Zl（s）-g（s，Ys，Z）ls） |ds+Csupet∈[0，T]Zet{ν<s≤τl}硫化锌-Zls星展银行, T∈[ν, τl],我们可以从杜布的鞅不等式推断出∈[ν,τl]Knt- KlT#≤ 总工程师A.l|Ynν- Yν|+行政长官l监督∈[ν,τl]Ynt- Yt#+CEZτlν| Znt-Zlt | dt+CE“ZτlνAlg（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）dt#.有界收敛定理m和（6.25）表明limn→∞↓ EA.l|Ynν-Yν|= 多亏了（6.41），它仍然显示出Limn→∞E“ZτlνAlGt、 Ynt，ZlT-Gt、 Yt，ZlTdt#= 0.（A.29）A.附录35By（H3），它包含dt 数据处理-A.s、 那个limn→∞A.l∩{ν<t≤τl}g（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）=此外，（H1），（H4）和（6.25）意味着对于任何n∈ 不适用l∩{ν<t≤τl}g（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）≤1Al∩{ν<t≤τl}g（t，Ynt，0）+g（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Ynt，0）+g（t，Yt，0）+g（t，Yt，Z）l（t）-g（t，Yt，0）≤1Al∩{ν<t≤τl}2ht+2κl+2κ| Zlt|:= Hlt、 dt 数据处理-a、 s.（a.30）作为厄特ltdt≤2.l+2κlT+2κT1/2ERτlν| Zlt|dt1/2< ∞ 通过（6.24）和H¨older不等式，应用支配收敛定理yie-lds-thatlimn→∞EZτlνAlg（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）dt=0。所以直到{Yn}n的子序列∈N、 它能容纳P-a、 s。那个limn→∞RτlνAlg（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）dt=0。因为（A.30）表明∈NRτlνAlg（t，Ynt，Z）l（t）-g（t，Yt，Z）l（t）dt≤RThltdt, P- a、 既然H？older的不平等意味着RThltdt≤ 嗯2.l+2κlT+2κRτlν| Zlt|dt我≤ Cl+CERτlν| Zlt|dt<∞, 再次应用支配收敛定理得到（A.29）。

证明o（6.45）：适用于任何n∈ N、 H¨older不等式和（6.29）意味着EZτlνYnt-YtdKnt=EA.lZτlνYnt-YtdKnt≤A“E”l监督∈[ν,τl]Ynt-Yt!Knτl#≤（呃KnτlAl监督∈[ν,τl]Ynt-Yt#)1/2≤Cl（E）“A”l监督∈[ν,τl]Ynt-Yt#)1/2.作为n→ ∞, （6.41）显示limn→∞EZτlνYnt-YtdKnt= 所以直到{Yn}n的子序列∈N、 林恩→∞ZτlνYnt-YtdKnt=0，P-a、 s.（a.31）代表P-a、 sω∈ Ohm 这样（6.44）成立，路径Yt（ω）-Lt（ω）从t=ν（ω）到t=τ是连续的l（ω） 通过（6.40），我们可以从（6.44）中推断出度量dKnt（ω）弱收敛于度量edklt（ω）on周期[ν（ω），τl（ω） ]索利姆→∞Zτl（ω） ν（ω）（Yt（ω）-Lt（ω））dKnt（ω）=Zτl（ω） ν（ω）（Yt（ω）-Lt（ω））dKlt（ω）。把这个加在（A.31）上，我们从（6.35）中看到-a、 s.0≤ 1{ν<τl}Zτlt（Ys）-Ls）dKls≤ 1{ν<τl}Zτlν（Ys）-Ls）dKls=Zτlν（Ys）-Ls）dKls=limn→∞ZτlνYns-LsdKns=limn→∞Zτlν{Yns<Ls}（Yns-Ls）dKns≤0, T∈ [ν, τl],证明（6.45）。索赔证明（6.60）：很明显，Yγν=1{γν=T}YT+1{γν<T}Yγν≤ 1{γν=T}ξ+1{γν<T}Uγν，P- a、 所以我们只需要展示c onverse不等式。修理∈ N.显然，Kns:=nRs（Ynr-Lr）-s博士∈[0，T]是一个使P满意的过程-a、 s.Ynt=YnγnⅤ+ZγnⅤtg（s，Yns，Zns）ds+KnγnⅤ- 千牛-ZγnνtZnsdBs，T∈ 可积参数为36by（6.59）的[ν，γnν]DRBSDEs。自E[|Ynν|]<∞ 利用{Ynζ}ζ的一致可积性∈T、 应用引理A.2（Y，Z，K）=（Yn，Zn，Kn）和τ=γnν，我们从（1.6）中可以看出，对于任何p∈（0,1）EZγnνν| Znt | dt！p/2≤CpE“监督”∈[ν，γnν]|Ynt | p+Zγnννhtdtp#≤CpE“1+sups∈[0，T]| Ys | p+sups∈[0，T]| Ys | p+ZThtdt |。（A.32）让j∈N和定义a s浇头时间ζnj:=infT∈[0，T]：Rt | Zns | ds>j∧T∈T

因为（6.59）显示yγν∧ζnj≥ Ynγν∧ζnj=Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（s，Yns，Zns）ds+Knγnν∧ζnj- Knγν∧ζnj-Zγnν∧ζnjγν∧ζnjZnsdBs≥ Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（s，Yns，Zns）ds-Zγnν∧ζnjγν∧ζnjZnsdBs，P-a、 在美国，接受条件检验，嗯·Fγν∧ζnjiyields，P-a、 s.Yγν∧ζnj≥E“Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（t，Ynt，Znt）dtFγν∧ζnj#=1{γν≥ζnj}E“Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（t，Ynt，Znt）dtFζnj#+1{γν<ζnj}E“Ynγnν∧ζnj+Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（t，Ynt，Znt）dtFγν#：=In，j+In，j.（A.3）As{γν≥ ζnj} {γnν≥ ζnj}，它保持P-a、 s.thatIn，j=E“{γν≥ζnj}Ynγnν∧ζnj+1{γν≥ζnj}Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（t，Ynt，Znt）dtFζnj#=Eh{γν≥ζnj}YnζnjFζnji=1{γν≥ζnj}Ynζnj。（A.34）与（6.17）、（H4）、（H5）、（1.5）和（1.6）类似，暗示g（t，Ynt，Znt）≤κ+（1+κ）ht+2κ| Ynt |+κ| Znt |α，dt 数据处理-a、 s。然后根据H¨older不等式，P-a、 s.Zγnν∧ζnjγν∧ζnjg（s，Yns，Zns）ds≤Zγnνγνg（s，Yns，Zns）ds≤CZγnνγν（1+hs+|Yns |）ds+κ（γnν）-γν)1-α/2Zγnνγν| Zns | ds！α/2（A.35）≤ CZT（1+hs+| Yns |）ds+CαZT | Zns | ds！α/2. （A.36）Fubini定理和{Ynζ}ζ的一致可积性∈T、 ERT | Yns | ds=RTE|Yns|ds≤喝一杯∈[0，T]E|Yns|< ∞,和锌一起∈ H2，α表明（A.36）中的最后一项是可积的。砷锌∈ ∩P∈（0,1）H2，p H2,0显示了这一点ζnjJ∈如果是静止的，它可以保持P-a、 那就是林杰→∞Yγν∧ζnj=Yγν，尽管我们还没有证明Y是否是一个连续过程。让j→ ∞ 在（A.33）和（A.34）中，我们可以从{Ynζ}ζ的一致可积性推导出来∈Tand支配收敛定理的条件期望形式thatyγν≥ 1{γν=T}YnT+limj→∞In，j=1{γν=T}ξ+1{γν<T}E“Ynγnν+Zγnνγνg（T，Ynt，Znt）dtFγν#=1{γν=T}ξ+1{γν<T}E{γnν=T}ξ+1{γnν<T}Uγnν+Zγnνγg（T，Ynt，Znt）dtFγν#，P-a、 （a.37）在上一个等式中，我们使用了Ynγnν=Uγnν，P-a、 美国。

利用yn和U的连续性讨论{γnν<T}。自从limn→∞↓ 1{γnν=T}=1{γν=T}和自ξ∈ L（FT），应用支配收敛定理的条件实验版本→∞{γν<T}E{γnν=T}ξFγν= 画→∞E{γν<T}{γnν=T}ξFγν= 0，P-a、 s.（a.38）参考文献37As 1{γnν<T}Uγnν= 1{γnν<T}Ynγnν≤Yγnν+Yγnν, P-a、 s，{Yζ}ζ的一致可积性∈Tand{Yζ}ζ∈Timpliesthat of{γnν<T}UγnνN∈N、 然后它从U thatlimn的连续性开始→∞E{γnν<T}UγnνFγν= E{γν<T}UγνFγν= 1{γν<T}Uγν，P-a、 s.（a.39）集合eα：=（1+α）∈ (0, 1). 给定ε>0，ε：=nEhRγnνγνg（s，Yns，Zns）dsFγνi>εo∈Fγν（A.35）、H¨older’sinequality和（A.32）表示p（Anε）≤εE“AnεEZγnνγνg（t，Ynt，Znt）dtFγν#=εE“AnεZγnνγνg（t，Ynt，Znt）dt#≤CεEZγnνγν（1+ht+|Ynt |）dt+κεE（γnν）-γν)1-α/2Zγnνγν| Znt | dt！α/2≤CεEZγnνγν1+ht+| Yt+| Yt|dt+κεnEh（γnν）- γν)(2-α） eα2（eα-α） io1-α/eα（e“Zγnνγν| Znt | dteα/2#）α/eα≤CεEZγnνγν1+ht+| Yt+| Yt|dt+CαεnEh（γnν）-γν)(2-α） eα2（eα-α） io1-α/eα（e“1+sups∈[0，T]| Yt | eα+sups∈[0，T]| Yt | eα+ZThtdt#）α/eα。由于Fubini定理和{Yζ}ζ的一致可积性∈T、 {Yζ}ζ∈这是怎么回事1+ht+| Yt+| Yt|dt≤ZT（1+ht）dt+ZTE|Yt |+| Yt|dt≤ZT（1+ht）dt+T支持∈[0，T]E[|Yt |]+T supt∈[0，T]E[|Yt |]<∞,让n→ ∞, 我们可以从支配收敛定理和有界收敛定理中推导出来→∞P（E）Zγnνγνg（s，Yns，Zns）dsFγν>ε） =0，P-a、 因此，EhRγnνγνg（s，Yns，Zns）dsFγνi在概率P上收敛到0，直到{（Yn，Zn）}n的子序列∈N、 一个哈斯林→∞E“Zγnνγνg（s，Yns，Zns）dsFγν#=0，P-a、 与（a.37）一起-（A.39）导致Yγν≥1{γν=T}ξ+1{γν<T}Uγν，P-a、 美国。参考文献[1]K.B a h lali，S.Hamad`ene和B。Mezerdi，具有两个反射屏障和连续二次增长系数的倒向随机微分方程，随机过程。应用程序。，115（2005），pp。

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