具有可积参数的双反射BSDE及相关Dynkin

2022-5-7 05:37:48

具有可积参数和相关Dynkin对策的双反射BSDE*Erhan Bayraktar+，Song Yao§摘要我们研究了一个具有可积参数的双反射倒向随机微分方程（BSDE）及其相关的Dynkin对策。当方程的下障碍物L和上障碍物U完全分离时，我们通过粘贴局部解构造了双反射BSDE的唯一解，并证明了Y-独特解决方案的组成部分代表了相应的Dynkin游戏的价值过程-评估，由BSDE引起的非线性预期，其生成器g与双反射BSD相同。特别是第一次τ*当过程Y遇到L和第一次γ时*当Y meetsU形成Dynkin游戏的鞍点时。关键词：BSDE，反射BSDE，双反射BSDE，g-评估/期望、惩罚、临时停止问题、粘贴局部解决方案、Dynkin博弈、鞍点。1引言本文研究了一个具有g生成元g，可积终端数据ξ和两个可积障碍物L，U的双反射倒向随机微分方程Yt=ξ+ZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT-Kt- JT+JT-ZTtZsdBs，t∈ [0，T]，Lt≤ Yt≤ Ut，t∈ [0，T]，ZT（Yt- Lt）dKt=ZT（Ut）- Yt）dJt=0（流量条件）。（1.1）这样一个方程的解由四个ada-pted过程组成：一个连续过程Y、一个局部平方可积过程Z和两个连续递增过程K和J。Klimsiak[38]研究了同样的问题，但假设了Mokobodzki的条件：L和U之间存在半鞅，这实际上很难验证。相反，我们只要求两个障碍L，U是完全可分离的，即。

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2022-5-7 05:37:51

Lt<Ut，T∈ [0，T]。Bis mut[9]在线性情况下引入倒向随机微分方程（BSDE），作为控制理论中随机Pontryagin极大值原理的伴随方程。后来，Pardoux和Peng[42]将它们推广到一个完全非线性的版本：t=ξ+ZTtg（s，Ys，Zs）ds-ZTtZsdBs，t∈ [0，T]，（1.2），并证明了当生成元g在（Y，Z）中是Lipschitz连续的且终端基准ξ是平方可积的时，BSDE允许唯一解（Y，Z）。从那时起，BSDEs理论迅速发展，并在许多领域得到应用*我们要感谢裁判们的仔细阅读和帮助我们改进论文的有益评论。+密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡，48109；电子邮件：erhan@umich.edu.E.Bayraktar部分获得了美国国家科学基金会职业资助DMS-0955463和应用数学研究资助DMS-1118673，部分获得了苏珊·M·史密斯教授职位的支持。本材料中发表的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点、发现、结论或建议，不一定反映国家科学基金会的观点。§宾夕法尼亚州匹兹堡匹兹堡大学数学系15260；电子邮件：songyao@pitt.edu.DRBSDEs具有可积参数2个领域，如数学金融、理论经济学、随机控制、随机微分对策、偏微分方程（参见[21]或[15]中的参考文献）。作为BSDE的一种变体，一个BSDE带有一个反映障碍物（例如较低的障碍物L）书信电报≤ Yt=ξ+ZTtg（s，Ys，Zs）ds+KT- Kt-ZTtZsdBs，t∈ [0，T]，ZT（Yt- Lt）dKt=0（气流条件）。（1.3）由El Karoui等人[20]研究。

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2022-5-7 05:37:55

如果g在（y，z）中是Lipschitz连续的，并且如果终端基准ξ和下障碍物L平方可积，这些作者证明了反射BSDE有一个唯一的解（y，z，K），并且-唯一解的组成部分是g下相关最优停止问题中奖励过程L的斯奈尔包络-评估（如需更一般性的说明，请参见[13]附录a、[7]第7节）。作为BSDE引起的非线性预期，与反射的BSDE具有相同的生成器g-求值具有经典线性期望的许多（鞅）性质，因此成为非线性分析中非常有用的工具。特别是，g-评估与数学金融中的风险度量密切相关。在[20]的基础上，Cvitani\'c和Karatzas[14]将BSDE的研究扩展到具有两个反射障碍的人群。他们表明，在Mokobodzki条件下（两个障碍物之间存在拟马尔可夫），或在其中一个障碍物上的某个正则条件下，具有Lipschitz生成器、平方可积终端数据和平方可积障碍物的双反射B SDE具有唯一解参见[28]中的假设（H）了解简化形式. Cvitani\'c和Karatzas als o发现-唯一解的组成部分实际上是相关Dynkin对策的值过程，这是一个零和随机微分方程，在g-eva luation（有关更一般的声明，请参见示例[17]）。从数学金融的角度来看，该光盘对评估美国游戏选项或以色列选项具有重要意义，参见Hamad`ene[24]。后来，Hamad`ene等人[29,27,24]将控制添加到双重反射BSDE和相关状态过程的漂移系数中，以分析混合零和控制器和止动器博弈以及相应的鞍点问题。

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大多数88

2022-5-7 05:37:58

有关Dynkin游戏的文献和最新进展，请参见[36,48,32,4]。关于控球和塞球游戏的历史和最新发展，参见[35,37,5,6,3,2,18,41,8]。在双反射BSDE的其他发展中，Lepeltier和San Martin[39]获得了g仅连续且变量（y，z）线性增长时的存在结果；当g在y中的Lipschitz连续时，Xu[49]得到了适定性结果-变量被放松为单调条件；Bahlali等人[1]，Essaky等人[23,22]分析了当g在z中有二次增长时，最大解的存在性-可变的。上述所有关于双重反射BSDE的文章，除[24]外，均假定了（扩展的）Mokobodzki条件或上述规定条件。根据[24]的观察，双反射BSDE的局部解的存在不依赖于这两个条件，Hamad`ene和Hassani[25]粘贴局部解，以形成具有两个明显障碍的双反射BSDE的唯一解。从那时起，包括[12,19,26,31]和presentone在内的大多数后续论文都假设了障碍物的完全分离。在BSDE理论的发展过程中，人们做出了一些努力来削弱终端数据上的平方可积性，以便与线性BSDE对可积终端数据的良好姿态相匹配：El Karoui等人。[21]证明了对于任何p-带p的可积初始基准面∈ (1, ∞), 带有Lipschitz生成器的BSDE将管理一个唯一的p-可积解。Briand等人[10,11]后来对这一健康结果进行了升级，从而得出了y上发电机g的唇裂状态-变量为y上的单调性条件。在Hamad`ene和Popier[30]扩展了[11]关于反射BSDE的结果之后，Hamad`ene等人。

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2022-5-7 05:38:01

[19] 对具有两个完全独立障碍的双重反射BSDE进行进一步概括。我们致力于研究具有可积参数的双反射BSDE（1.1）的可解性，并将讨论相关的Dynkin对策。除了y上的单调性条件-变量与Lipschitz条件-变量，如果ge NEG在z上另外有一个生长条件-α阶变量∈ (0, 1)参见本论文[11]中的（H7）或（H5）, 然后，具有可积终端数据的BSDE允许一个唯一的解（Y，Z），例如Y和Z都是p-任意p的可积过程∈ （0，1）而Y是类ss（D）的。所以相应的-每个可积随机变量的评估都有明确的定义。在[11]中关于生成器g Asset 6的相同假设下，我们将证明具有可积1的双反射BSDE的相似适定性结果。介绍3终端数据和两个不同的可积障碍。虽然我们遵循[25,19]的方法粘贴本地解决方案，但用于Lp的估计-在p=1或类别（D）的情况下，p>1的解不再有效。我们设法导出了一些新的估计和近似方案。为了构造具有可积终端基准ξ和可积lowerobstacle L的反射BSDE的唯一解，我们使用了[20]中介绍的惩罚方法和定位技术。这是因为近似解只有p-可积（P∈（0，1）：给定n∈ N、我们将发电机g与y的距离相抵-变量是低Lt，即gn（t，y，z）：=g（t，y，z）+n（y- Lt）-. 带发电机和终端数据ξYnt=ξ+ZTtg（s，Yns，Zns）ds+nZTt的BSDEYns- Ls-ds-ZTtZnsdBs，t∈ [0，T]，（1.4）具有唯一的p-可积（P∈（0，1））溶液（Yn，Zn），使Yn为（D）类。

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2022-5-7 05:38:04

{gn}n的单调性∈尼姆比{Yn}n强∈N、由于对结果进行了总体比较（命题3.2）。然后我们可以找到一个停止时间τl使得| Yn |一致有界于l 在s-tocastic区间[[0，τ]l]]. 通过局部估计（引理a.2），局部L-Zn的范数一致地由l. 所以在子序列中，zn弱收敛于某个Zl. 因此，我们可以推导出Knt:=nRtYns-Ls-ds收敛到Klt:=Y-Yt-Rtg（s、Ys、Z）ls） ds+RtZl在[0，τ]上均匀分布l]]. 让n→ ∞ 在（1.4）中显示（Y，Z）l, Kl) 是[[0，τ]上的（1.3）局部解l]].粘贴（Y，Z）l, Kl)’随机区间上的s]]τl-1, τl]]’我们得到了一个g大叶p-可积（P∈（1.3）的溶液（Y，Z，K）。这是一个命题的唯一性，这是一个命题的结果。再次应用命题3.2表明，对于相应的g-评估，Y-（1.3）的唯一解的组成部分是一个超鞅，甚至是一个鞅，直到过程Y第一次遇到较低的障碍L。因此，Y是相关最优停止问题中奖励过程L的斯奈尔包络，在该问题中，玩家试图从游戏中选择一个最佳退出时间，以最大化其预期回报g-预料基于具有可积参数的反射BSDE的适定性结果，我们接下来采用[25]的粘贴局部解的方法来构造（1.1）的全局解：设（Yn，Zn，Kn）为唯一的p-可积（P∈ （0，1））使用受惩罚的发电机GNA和upp er障碍U解决反射BSDE。我们介绍了Yn的增长极限Y，以及一些过程（Zl, Kl), 在一些随机区间[[ν]上求解（1.3）l, ν′l]] 无论如何l ∈ N

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2022-5-7 05:38:09

对于一个递减方案的极限，可以得出一个相反的结论，该递减方案涉及带生成器egn（t，y，z）的反射BSDE:=g（t，y，z）-n（y）- Ut）+和较低的障碍L：对于某些过程（eZl,eJl), （哎呀l,eJl) 在一个随机区间[[ν′上解具有上obsta c le U的反射BSDEl, νl+1] [参考译文]任何l ∈ N.然后粘贴（Y，Z）l, Kl, 0）和（eY，eZ）l, 0，eJl) 或者超过[[ν]l, ν′l]] 和[[ν′”l, νl+1] ]产生一个全球性的-可积（P∈（0,1））双反射BSDE（1.1）的解。利用P位置3.2再次表明-评估，Y-刚刚构造的（1.1）解的分量是直到第一次τ的子鞅*当Y遇到较低的障碍时，它是最新的超级艺术家*当Y遇到上面的障碍物U时。因此，Y是g下相关Dynkin g ame的值-评估中，L响应。U当玩家提前停止游戏时，会从对手那里获得坐骑过程吗响应。不听话而不是她的对手。（1.1）的唯一性结果很容易得出。此外，对（τ）*, γ*) 形成了这样一个Dynkin游戏的鞍点。因为主要是和p打交道-可积（P∈（0，1）的解，如果不首先使用本地化，我们就无法应用Doob的鞅不等式和BSDE理论中的许多著名估计，这增加了技术难度。此外，为了克服我们在证明p-可积性（P∈ （0，1））在惩罚方案中，我们适当地利用了田中的公式、假设（H5）和其他技巧，特别是（6.14）的证明。本文的其余部分组织如下：在列出必要的符号后，我们给出了双反射BSDE的定义，并在第1部分中对其生成器g进行了一些假设。

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2022-5-7 05:38:12

我们首先在第2节给出了我们论文的主要结果，即具有可积参数的双反射BSDE以及-Y型方程的鞅特征-唯一解的分量，后者意味着Y是g下相关Dynkin对策的有效过程-评价第3节回顾了具有可积终端数据的BSDE的适定性结果，并给出了随机区间上BSDE的一般比较结果，其中具有可积参数的RBSDE在我们的分析中起着重要作用。带生成元g和可积终端数据的BSDE的独特解引发了一种广泛定义的非线性透视，称为“g”-第4节将讨论其特点。在第5节中，为了构造一个具有可积参数的反射BSDE的唯一解决方案，作为我们主要结果的准备，我们使用惩罚方法，该方法涉及两个辅助单调结果。我们证明了-反射BSDE唯一解的分量正是g下相关最优停车问题的Snellenvelope-评价第6 c节包含了我们结果的证明，而一些技术权利要求的证明遵循了附录1.1的符号和定义。在本文中，我们定义了一个时间ho rizon T∈ (0, ∞), 让B成为d-完备概率空间上的维数标准布朗运动(Ohm, F、 P）。由BF={Ft:=σ（σ（Bs；s）产生的增强滤波∈ [0，t]）∪ N）}t∈[0，T]满足了通常的假设，其中N包含所有P-F中的空集。设T是所有F的集合-停止时间τ取[0，T]中的值。对于任何ν，τ∈ T与ν≤ τ，我们设置ν，τ：={γ∈T:ν≤γ ≤τ}. 递增序列{τn}n∈如果是P，则称为“静态”-a、 sω∈ Ohm, 对于某些n=n（ω），T=τn（ω）∈N

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2022-5-7 05:38:15

通常我们说[0，T]F-关于（T，P），如果{Xτ}τ，可测过程X属于（D）类∈这是P-统一或mly可积。然后，我们让P表示F-逐步可测σ-菲尔德[0，T]×Ohm 并将使用公约 := ∞.让p∈ (0, ∞). 它适用于（0，）的任何有限子集，∞) 那个1.∧ NP-1.nXi=1api≤nXi=1ai！P≤1.∨ NP-1.nXi=1api。（1.5）和任何p′的∈ （p，∞), 一个有XP≤ 1+xp′，十、∈ (0, ∞). （1.6）续集中将频繁使用以下空格。1）任何潜艇-σ- 设L（G）是所有有值空间G-可测随机变量ξ和setLp（G）：=nξ∈L（G）：kξkLp（G）：=E[|ξ| p]1.∧p<∞o、 2）我们需要S的以下子空间，它表示所有实值，F-适应的连续过程：oSp:=nX∈S:kXkSp：=E[（X）*)p]1.∧p<∞o、他是谁*:= 监督∈[0，T]| Xt |Sp+：=nX∈S:X+=X∨0∈SPO和Sp-:=nX∈S:X-=(-十）∨ 0∈Spo；o五：=十、∈ S:X是有限的变量;o K:=十、∈ S:X是一个X=0的递增过程五、 o金伯利进程：=十、∈ K:XT∈ Lp（英尺）.3） LeteH2,0（分别为H2,0）表示所有Rd的空间-值，F-逐步可测量（分别为-可预测的）带有RT|Xt|dt<∞, P-a、设置H2，p：=十、∈ H2,0:kxkh2，p:=nEhRT | Xt | dtp/2io1∧（1/p）∞.在上述符号中，如果p≥1，k·kΞpis是Ξp=Lp（G），Sp，H2，p的范数，如果p∈（0,1），（X，X′）→ kX-X′kΞpde在Ξp上定义了一个距离，在此距离下Ξp是一个完整的度量空间。让我们回顾一下倒向随机微分方程（BSDE）、反射B SDE s和双反射BSDE s的概念：一个（基本）参数对（ξ，g）由一个实值的FT组成-可测随机变量ξ与函数g:[0，T]×Ohm×R×Rd→ R就是PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量的1.1符号和定义5定义1.1。给定一个参数对（ξ，g），设L，U∈ 假设P{Lt≤ 美国犹他州，T∈ [0，T]}=1和LT≤ ξ ≤ UT，P-a、美国。

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2022-5-7 05:38:18

我们说1（Y，Z）∈ S×eH2,0是终端数据ξ和生成器g的BSD E的解BSDE（ξ，g）简称如果（1.2）保持P-a、 s.2三胞胎（Y，Z，K）∈ S×eH2,0×Kis是一个具有终端数据ξ、发生器g和降低障碍物L简称RBSDE（ξ，g，L）如果（1.3）保持P-a、 s.3四胞胎（Y，Z，K，J）∈ S×eH2,0×K×Kis具有终端数据ξ、发生器g、下障碍物L和上障碍物U的双反射BSDE的解DRBSDE（ξ，g，L，U）简称如果（1.1）保持P-a、美国评论1.1。给定一个参数对（ξ，g），g-（t，ω，y，z）：=-g（t，ω，-Y-z） ,，（t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm ×R×Rd（1.7）明确定义了一个PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量的功能。对我来说∈ Swith LT≤ ξ、 P- a、（Y，Z，K）∈S×eH2,0×Ksolves-RBSDE（ξ，g，L）当且仅当（eY，eZ，eJ）=(-Y-Z、（K）∈ S×eH2,0×Kis是以下反射BSDE的一种解决方案，终端数据ξ=-ξ、发电机g-上障碍物U=-L:美国犹他州≥eYt=eξ+ZTtg-（s，eYs，eZs）ds-eJT+eJT-ZttezDBS，t∈ [0，T]，ZT（Ut）-eYt）deJt=0。（浮置条件）（1.8）设g:[0，T]×Ohm ×R×Rd→ R是PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量的功能。为了研究具有生成元g和可积参数（ξ，L，U）的双反射BSDE，我们将对函数g进行如下总结：对g进行假设。让κ>0，λ∈ R、 α∈ （0，1）并让{ht}t∈[0，T]是一个非负可积过程i、 e.h∈ L（[0，T]×Ohm, B（[0，T]）F、 dt P）. 它可以容纳dt 数据处理-a、美国。

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2022-5-7 05:38:21

（H1）|g（t，ω，y，z）- g（t，ω，y，z′）|≤ κ| z- z′|，Y∈ Rz、 z′∈ Rd；（H2）sg n（y）- y′）·（g（t，ω，y，z）- g（t，ω，y′，z））≤ λ| y- y′|，y、 y′∈ RZ∈ Rd；（H3）y→ g（t，ω，y，z）是连续的，Z∈ Rd；（H4）| g（t，ω，y，0）|≤ ht（ω）+κy |，Y∈ R（H5）|g（t，ω，y，z）- g（t，ω，y，0）|≤ κ（ht（ω）+| y |）+| z |）α，（y，z）∈ 从现在开始，任何p∈ [0, ∞) 我们假设Cp是一个泛型常数，依赖于p，κ，λ+，T和ERThtdt特别地，Cwill表示一个依赖于κ、λ+、T和ERThtdt的通用常数, 其形式可能会因线条不同而有所不同。为了方便起见，我们将调用函数g:[0，T]×Ohm×R×Rd→ R如果是P，则为“发电机”B（R）B（研发）/B（研发）-可测量和满意度（H1）-（H5）。备注1.2。如果函数g:[0，T]×Ohm ×R×Rd→ R在y中是Lipschitz连续的i、 e.对于一些eκ>0的，它保持SDT 数据处理-a、 s.那| g（t，ω，y，z）- g（t，ω，y′，z）|≤ eκy- y′|，y、 y′∈ RZ∈ 研发部, 然后H2自动持有和H4将替换为| g（t，ω，0，0）|≤ ht（ω），dt 数据处理-a、美国评论1.3。设g为发电机。1）函数g-（1.7）中定义的也是发电机。2）给定τ∈T，自从{t≤τ }T∈[0，T]是F-适应c`agl`ad过程因此F-可预测的, g的可测性意味着gτ（t，ω，y，z）：=1{t≤τ（ω）}g（t，ω，y，z），（t，ω，y，z）∈[0，T]×Ohm*R×Rd（1.9）定义了一个PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量的功能。可以推断gτ也满足（H1）-（H5）实际上，它满足（H2）的eλ=λ∨0.3）如果g′是另一个生成器，那么对于给定的L，任何a，b>0.4）的ag+bg′也是∈ S+，gL（t，ω，y）：=（y- Lt（ω））-, （t，ω，y）∈ [0，T]×Ohm x R显然是PB（R）/B（R）-可测函数在y上是Lipschitz连续的，满足ERTgL（t，0）dt=ERTL+tdt≤ T kL+kS<∞. 值得注意的是。2.gLsatis fies（H2）-（H4）。

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2022-5-7 05:38:24

然后第3）部分显示，对于任何n∈ Ngn（t，ω，y，z）：=g（t，ω，y，z）+n（y）- Lt（ω））-, （t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm ×R×Rd（1.10）定义了一个发电机。具有可积参数的双反射BSDE 62主要结果：具有可积参数的双反射BSDE和相关的Dynkin对策本研究的贡献是具有可积参数的双反射BSDE的以下良好结果，其中-唯一解决方案的组成部分代表了s o下的相关Dynkin博弈的价值，称为“g”-eva luation”（见第4节），由BSDE与双重反射BSDE相同的发电机气体引起的非线性预期。与[25]一样，我们假设在双重反射的BSDE中完全分离下部和上部障碍物，而不是传统的Mokobodski条件，这在实践中很难检查。定理2.1。设g为发电机。对于任何ξ∈L（英尺），L∈S+和U∈s-这样P{LT≤ξ ≤UT}=P{Lt<UT，T∈[0，T]}=1，DRBSDE（ξ，g，L，U）允许唯一解（Y，Z，K，J）∈∩P∈（0,1）Sp×H2,0×K×Ksuch thatY属于（D）类。定义R（τ，γ）：=1{τ<γ}Lτ+1{γ≤τ }∩{γ<T}Uγ+1{τ=γ=T}ξ，τ, γ ∈ T让我们∈ T，τ*ν：=infT∈ [ν，T]：Yt={T<T}Lt+1{T=T}ξ∈Tν，Tandγ*ν：=infT∈[ν，T]：Yt=1{T<T}Ut+1{T=T}ξ∈它适用于任何τ，γ∈ Tν，TthatEgν，τ∧γ*νYτ∧γ*ν≤ Yν≤ Egν，τ*ν∧γYτ*ν∧γ, P-a、因此，它持有P-a、 s.thatesssupτ∈Tν，TEgν，τ∧γ*νR（τ，γ）*ν)=Yν=Egν，τ*ν∧γ*νRτ*ν, γ*ν= essinfγ∈Tν，TEgν，τ*ν∧γR（τ）*ν, γ). （2.2）特别是，我们有yν=esssupτ∈Tν，Tγ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）= essinfγ∈Tν，tessupτ∈Tν，TEgν，τ∧γR（τ，γ）, P-a、 s.（2.3）备注2.1。（1）对于任何ν，ζ∈T与0≤ν ≤ζ ≤τ*, 很明显τ*ν= τ*, P-a、美国。

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2022-5-7 05:38:29

然后（2.1）表明Yν≤Egν，τ*ν∧ζYτ*ν∧ζ=Egν，γγ, P-a、这表明-DRBSDE（ξ，g，L，U）的唯一解的分量是g-时间τ的次鞅*g的定义见（4.3）-鞅. 类似地，Y是g-su permartingaleup to timeγ*. 因此，Y是g-直到时间τ的鞅*∧γ*.（2）在（2.3）中，如果我们认为响应。U当玩家选择停止游戏的时间τ提前时，玩家将从其对手处收到或支付的金额（如果金额为负）响应。不早而不是她的对手选择的停止时间γ，然后是Y-DRBSDE的唯一解（ξ，g，L，U）的分量正是g下D yn kin对策的玩家值-评价如果比赛在ν开始∈ T，（2.2）表明初始时间τ*当值过程Y在ν和第一次γ之后满足L时*当Y在v形成游戏的鞍点后遇到U时。3具有可积参数的BSDE定理2.1的推导基于具有可积终端数据的BSDE的适定性结果，即下文引用的定理6.2和6.3，即命题3.1。在第5节中，我们将利用惩罚方法构造一个具有可积参数的对应反射BSDE的唯一解，我们可以采用[25]的粘贴局部解的方法来获得定理2.1。提议3。1.设g为发电机。对于任何ξ∈ L（FT），BSDE（ξ，g）允许一个唯一解（Y，Z）∈∩P∈（0,1）（Sp×H2，p）使得Y是（D）类。这个适定性结果导致了一个广义鞅表示定理：推论3.1。对于任何ξ∈ L（FT），存在唯一的Z∈ ∩P∈（0,1）H2，P-a、 s.E[ξ| Ft]=E[ξ]+ZtZsdBs，t∈ [0，T]。(3.1)4.

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2022-5-7 05:38:31

G-评估和g-预期7提案n 3.1也会产生“g”-评估/预期”（见下一节），一种非线性预期，其下的最优停车问题值（分别为Dynkin g ame）解决了与发生器g相关的反射BSDE（分别为双反射BSDE），见（5.2）响应。(2.3).为了推导命题3.1的相应比较结果（这对于求解具有可积参数的反射BSDE的惩罚方法至关重要），我们需要[11]中引理2.2的以下简单推广（参见[30]中的推论1]）：引理3.1。给定V∈ 五、 if（Y，Z）∈ S×eH2,0满足P-a、 s.Yt=Y+Vt- V+ZtZsdBs，t∈ [0，T]，那么它适用于任何p∈ (1, ∞) 那个P-a、 s.| Yt | p=|Y | p+pZtsgn（Ys）| Ys | p-1dVs+pZtsgn（Ys）| Ys | p-1ZsdBs+p（p-1） Zt{Ys6=0}|Ys|p-2 | Zs | ds，t∈ [0，T]。借助引理3.1，我们可以推导出随机区间上BSDE的一般比较结果，这对于证明定理5.1和我们的主要结果orem 2.1:命题3.2是至关重要的。给定ν，τ∈T与ν≤τ、对于i=1，2，让gi:[0，T]×Ohm×R×Rd→R是PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量的函数和let一，子，六∈S×H2，0×Vsuch表示{Yiγ}γ∈Tν，τ是一致可积的Rτν| Zit | dtp/2i<∞ 为了一些p∈（α，1），P-a、 s.Yit=Yiτ+Zτtgi（s，Yis，Zis）ds+Viτ- 维特-Zτtzisbs，T∈ [ν, τ]. （3.2）假设Yτ≤ Yτ，P-a、 s.和P-a、 s.Zst{Yr>Yr}（dVr- （数字录像机）≤ 0, t、 s∈ 对于i=1或i=2，如果gisaties，t<s.（3.3）H1,H2,H5如果g（t，Y3-是的，Z3-（它）≤g（t，Y3）-是的，Z3-它），dt 数据处理-a、 s.在随机区间[ν，τ]]上：=（t，ω）∈[0，T]×Ohm: ν(ω)≤T≤τ(ω), 然后它保持P-a、是的≤YTT∈ [ν, τ].在V=V的[0，T]期间应用第3.2点≡ 对于Y为0的BSDE，我们得到以下比较结果-解属于（D）类，其Z-溶液为H2、Pf或某些p∈ (α, 1).提议3.3。

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2022-5-7 05:38:34

对于i=1，2，给定参数对ξi，giξ≤ ξ、 P-a、美国，让我们易子成为SDE的解决方案ξi，gi因此，Yi属于（D）类和Zi类∈ ∪P∈（α，1）H2，p.对于i=1或i=2，如果符合H1,H2,H5如果g（t，Y3-是的，Z3-（它）≤g（t，Y3）-是的，Z3-它），dt 数据处理-a、当它保持P-a、是的≤YTT∈ [0，T].4g-评估和g-期望g是一台发电机。对于任何τ∈T，因为（1.9）中定义的函数gτ是一个生成器，所以位置3.1表明，对于任何ξ∈L（FT），BSDE（ξ，gτ）允许唯一解Yτ，ξ，Zτ，ξ∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p）（4.1）使得Yτ，ξ属于（D）类。然后我们可以引入“g”的概念-“评估/预期”，这稍微概括了[43]和[45]中提出的定义：定义4.1。一类算子，如ν，τ：L（Fτ）→L（Fν），ν∈T，τ∈它被称为“g”-评估“如果有任何ν，τ∈T与ν≤τ和任何ξ∈L（Fτ），Egν，τ[ξ]：=Yτ，ξν∈L（Fν）如果ξ∈ L（Fτ）；-∞, 如果E[ξ-] = ∞;∞, 如果E[ξ-] < ∞ 和E[ξ+]=∞.具有可积参数的DRBSDEs，尤其是对于任何ν∈T和ξ∈L（FT）我们把Eg[ξ| Fν]：=Egν，T[ξ]称为“g”-ξ的“期望”取决于σ- Fν场。备注4.1。如果g独立于（y，z），即如果{gt}t∈[0，T]是F-用ERT | gt | dt逐步测量过程<∞, 那么对任何人来说∈T，τ∈Tν，TEgν，τ[ξ]=Eξ+ZτνgtdtFν, P-a、 s。，ξ ∈L（Fτ）。（4.2）当g≡ 0，g-期望退化为经典的线性期望，即对于任何ν∈T和ξ∈L（FT），Eg[ξ| Fν]=E[ξ| Fν]，P-a、根据命题3.3和命题3.1中的唯一性结果，可以推导出g-域L（FT）的求值继承了经典线性期望的以下基本性质：Letν，τ∈T与ν≤τ（1）“单调性”：对于任何ξ，η∈ L（Fτ）与ξ≤ η、 P-a、美国。

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2022-5-7 05:38:37

我们有Egν，τ[ξ]≤ Egν，τ[η]，P-a、 s。；（2） “时间一致性”：对于一个国家而言∈ Tν、τ和ξ∈ L（Fτ），Egν，γEgγ，τ[ξ]= Egν，τ[ξ]，P-A.s（3） “持续保存”：如果它保持dt 数据处理-a、 g（t，y，0）=0，Y∈ R、然后Egν，τ[ξ]=ξ，P-a、对于任何ξ∈L（Fν）；（4） “零一定律”：对于任何ξ∈ L（Fτ）和A∈ Fν，我们有1AEgν，τ[1Aξ]=1AEgν，τ[ξ]，P-a、 s。；此外，ifg（t，0，0）=0，dt 数据处理-a、 s，则Egν，τ[1Aξ]=1AEgν，τ[ξ]，P-A.s（5） “平移不变量”：如果g独立于y，则Egν，τ[ξ+η]=Egν，τ[ξ]+η，P-a、对于任何ξ∈ L（Fτ）和η∈L（Fν）。我们可以定义相应的g-一如既往的鞅：A B[0，T]F-类（D）的可测量过程X称为g-次鞅响应。G-超级啤酒-鞅如果有0≤ T≤ s≤ 0Egt，s[Xs]≥ （分别为。≤ 或=）Xt，P-a、 s.（4.3）g-鞅具有许多经典的鞅性质，如上交不等式、可选抽样定理、Doob-Meyer分解等，这些性质与g-与数学金融中的风险度量密切相关的评估参见[46]，[47]了解Lipschitz g的案例-用域L（FT）计算，二次g的情况见[40]，[34]-域L的求值∞（英国《金融时报》）. 由于页面的限制，我们将不会详细说明我们的g-用域L（FT）计算，也不考虑g的连通性-本文对风险度量进行了评价。5.具有可积参数的反射BSDE和相关的最优停止问题。对于命题3.1和命题3.3，我们可以使用pen-alization方法，作为实现go-al（定理m 2.1）的中间步骤，获得以下具有可积参数的反射BSDE的适定性结果，其中-唯一解的分量代表相关最优停止问题的值-评价定理5.1。设g为发电机。

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2022-5-7 05:38:41

对于任何ξ∈L（英尺）和L∈S+和LT≤ξ、 P-a、 s，RBSDE（ξ，g，L）允许一个非唯一解（Y，Z，K）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p×Kp）使得Y是（D）类。定义Rt:=1{t<t}Lt+1{t=t}ξ，t∈[0，T]。让我们∈ T和τ（ν）：=infT∈[ν，T]：Yt=Rt∈它适用于任何γ∈ Tν，TthatEgν，γγ≤ Yν=Egν，τ(ν)∧γYτ(ν)∧γ, P-a、特别是s.（5.1），我们有yν=esssupγ∈Tν，TEgν，γRγ= Egν，τ(ν)Rτ(ν), P-a、 s.（5.2）5。带有可积参数和相关最优停止问题的BSDE 9备注5.1。（1）鉴于（5.1），Y-RBSDE唯一解（ξ，g，L）的组分是g-超级马丁格尔。对于任何ν，τ∈T与0≤ν ≤τ ≤τ（0），很明显τ(ν) = τ（0），P-a、那么我们有Yν=Egν，τ(ν)∧γYτ(ν)∧γ=Egν，γγ, P-a、这表明Y是g-直到时间τ的鞅(0).（2）在（5.2）中，如果我们将R视为一个包含运行奖励L和终端奖励ξ的奖励过程，那么-RBSDE（ξ，g，L）唯一解的分量正是R在g下的S-nell包络-评价给定一个开始时间∈T，第一次τ（ν）当Y在V之后遇到R时，如果玩家的目标是在g下最大化预期回报，则V是玩家选择的最佳停止时间-预料为了推导定理5.1中的存在性结果，我们将使用惩罚化方法，该方法可概括为以下两个单调性结果：命题5.1。让我∈S+并设g:[0，T]×Ohm×R×Rd→ R是PB（R）B（研发）/B（研发）-（H1）、（H4）和（H5）的可测量功能。对任何人来说∈ N、考虑（1.10）中定义的函数gn和let（Yn，Zn，Jn）∈∩P∈（0,1）Sp×H2,0×k这是（D）类的Ynis和P类的Ynis-a、 s.Ynt=Ynt+ZTtgn（s，Yns，Zns）ds- JnT+JnT-ZTtZnsdBs，t∈ [0，T]。如果{Yn}n∈Nis是过程es的递增序列，然后是其极限Yt:=limn→∞↑ Ynt，t∈[0，T]是F-满足“支持”要求的（D）类可预测过程∈[0，T]| Yt | p#<∞, P∈(0, 1).提议5.2。

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2022-5-7 05:38:44

让我∈S+，设g:[0，T]×Ohm ×R×Rd→ R是PB（R）B（研发）/B（研发）-可测量函数（H1）-（H4），设ν，τ∈ T与ν≤ τ. 对任何人来说∈N、考虑（1.10）和let（Yn，Zn）中定义的函数GN∈S×H2,0满足P-a、 s.Ynt=Ynτ+Zτtgn（s，Yns，Zns）ds-ZτtZnsdBs，T∈ [ν, τ]. （5.3）如果{t≥ν} Ynτ∧TT∈[0，T]，n∈ N是一个递增的过程序列，其极限Yt:=limn→∞↑ 1{t≥ν} Ynτ∧t、 t∈ [0，T]满足P{Yτ≥Lτ}=Pnsupt∈[ν,τ ]（Yt）-+Y+t< ∞o=1，然后处理{Yν∨t} t∈[0，T]有P-a、 s.连续路径，且存在（Z，K）∈H2,0×k如P-a、美国。书信电报≤ Yt=Yτ+Zτtg（s，Ys，Zs）ds+Kτ- Kt-ZτtZsdBs，T∈ [ν，τ]，Zτν（Yt- Lt）dKt=0。（5.4）另一方面，定理5.1中的唯一性结果来自以下关于Y-解属于（D）类，其Z-溶液为H2、Pf或某些p∈ (α, 1).提议5.3。对于i=1，2，给定参数对ξi，gi李呢∈ S+使得P{LiT≤ ξi}=P{ξ≤ ξ} =P{Lt≤ 书信电报，T∈ [0，T]}=1，让易，子，基成为RBSDE的解决方案ξi，gi，Li因此，Yi属于（D）类和Zi类∈ ∪P∈（α，1）H2，p.对于i=1或i=2，如果符合H1,H2,H5如果g（t，Y3-是的，Z3-（它）≤g（t，Y3）-是的，Z3-它），dt 数据处理-a、在美国，它持有P-a、是的≤YTT∈ [0，T]。备注5.2。通过备注1.3（1），可以将定理5.1、命题5.2和命题5.3应用于g-定义（1.7）获得反射式BSDE的版本，上面有障碍物，如（1.8）。具有可积参数的DRBSDEs。1.命题3.1第3节和第4节结果的证明：当[11]的条件（H7）自动满足时，有必要验证其中的条件（H5），即给定r≥0，过程ψrt（ω）：=sup | y|≤r | g（t，ω，y，0）-g（t，ω，0，0）|，（t，ω）∈[0，T]×Ohm 是可积的。通过（H3），它持有dt数据处理-A.s

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能者818

2022-5-7 05:38:48

ψrt（ω）=supy∈[-r、 r]∩Q | g（t，ω，y，0）-g（t，ω，0，0）|，这意味着ψris F-进步是可测量的。同时，（H4）表明dt数据处理-a、 s.，ψrt（ω）≤|g（t，ω，0，0）|+sup | y|≤r | g（t，ω，y，0）|≤2ht（ω）+κr。由此可知，ψrtl属于L（[0，T]×）Ohm, B（[0，T]）F、 dtP）。推论3的证明。1：显然，g（t，ω，y，z）：=0，（t，ω，y，z）∈ [0，T]×Ohm 是一台发电机。根据命题N3.1，BSDE（ξ，0）允许一个唯一解（Y，Z）∈ ∩P∈（0,1）（Sp×H2，p），使得Y为（D）类。给安∈N、我们定义了停止时间τN:=infT∈[0，T]：Rt | Zs | ds>n∧T∈T，从Z看∈ ∩P∈（0,1）H2，p H2,0表示{τn}n∈它是静止的。让我们∈[0，T]a和n∈N.自YτN∧t=Yτn-Rτnτn∧tZsdBs，P-a、在美国，采用条件期望E[·| Ft]可以得到yτn∧t=E[Yτn | Ft]，P-a、 s.（6.1）As{τn}n∈Nis静止不动，让n→ ∞ 在（6.1）中，我们可以从Y的连续性和{Yτ}τ的统一可积性来推导∈t Yt=E[Yt | Ft]=E[ξ| Ft]，P-a、特别是r，Y=E[ξ]。那么E[ξ| Ft]=Yt=Y+ZtZsdBs=E[ξ]+ZtZsdBs，P-a、这与过程的连续性相结合E[ξ| F·]T∈[0，T]和RtZsdBsT∈[0，T]导致（3.1），而过程Z的唯一性是明确的。命题3.2的证明：在不丧失一般性的情况下，假设GSaties（H1）、（H2）、（H5）和thatg（t，Yt，Zt）≤g（t，Yt，Zt），dt 数据处理- a、 s.在[ν，τ]]上。（6.2）设置（Y，Z）：=（Y）-Y、 Z-Z） q:=p/α∈ (1, 1/α).（1）我们首先展示了E“supt∈[ν,τ ]Y+tq#∞.自E[|Yν|]≤ E|Yν|+E|Yν|< ∞ 利用{Yiγ}γ的一致可积性∈Tν，τ，i=1，2，推论3.1意味着存在唯一性∈ ∩p′∈（0,1）H2，p′，使得E[Yν| Ft]=E[Yν]+rtezdbs，T∈[0，T]= 1.

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大多数88

2022-5-7 05:38:51

这和（3.2）一起表明P-a、 s.eYt:=E[Yν| Fν∧t] +Yν∨(τ ∧（t）-Yν=E[Yν]+Zν∧teZsdBs-Zν∨(τ ∧t） νgsds-Vν∨(τ ∧t） +Vν+Vν∨(τ ∧（t）-Vν+Zν∨(τ ∧t） νzsbs=E[Yν]-Zt{ν<s≤τ }gsds-Zt{ν<s≤τ}（dVs）- dVs）+Zt{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}Zs星展银行∈ [0，T]，（6.3）其中gs:=g（s，Ys，Zs）-g（s，Ys，Zs）。苏伊是个F-适应连续过程，即∈ 将It^oTanaka公式应用于processeY+得到P-a、 s.eY+t=E[Yν]+-Zt{eYs>0}{ν<s≤τ }gsds+Lt-Zt{eYs>0}{ν<s≤τ}（dVs）- dVs）+Zt{eYs>0}{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}Zs星展银行∈[0，T]，（6.4）6.1第3节和第4节中结果的证明，其中L是F-被称为Ey a t 0的“当地时间”的适应的、不断增加的过程。让n∈N.我们定义了停止时间τN:=infT∈|n，ν∧τ ∈Tν，τ，并对过程进行部分积分eλ+（τn）∧t） eY+τn∧TT∈[0，T]来获得P-a、 s.eλ+（τn）∧t） eY+τn∧t=eλ+τnY+τn+Zτnτn∧t{Ys>0}{s>ν}eλ+sgsds+Zτnτn∧t{Ys>0}{s>ν}eλ+s（dVs- （dVs）-Zτnτn∧teλ+sdLs-λ+Zτnτn∧teλ+seY+sds-Zτnτn∧t{eYs>0}eλ+s{s≤ν} eZs+1{s>ν}Zs星展银行∈[0，T]。（6.5）这里我们使用了以下事实：∨(τ ∧t） =E[Yν| Fν]+Yν∨(τ ∧（t）-Yν=Yν∨(τ ∧t） ,，T∈ [0，T]，即eYt=Yt，T∈ [ν, τ]. （6.6）由于GSaties（H2）和（H5），它持有ds 数据处理-a、在[[ν，τ]]上，{Ys（ω）>0}Gs、 ω，Ys（ω），Zs（ω）-Gs、 ω，Ys（ω），Zs（ω）≤1{Ys（ω）>0}λY+s（ω）≤λ+Y+s（ω），（6.7）以及Gs、 ω，Ys（ω），Zs（ω）-Gs、 ω，Ys（ω），Zs（ω）≤κhs（ω）+Ys（ω）+Zs（ω）|α+κhs（ω）+Ys（ω）+Zs（ω）|α.将其插回（6.5）并取t=ν∨在这里，我们从（6.2）和（3.3）中看到P-a、 s.eλ+（ν）∨（τn）∧t））Y+ν∨（τn）∧（t）≤eλ+τnY+τn+2κeλ+Tη-Zτnν∨（τn）∧t） {Ys>0}eλ+sZsdBs，t∈[0，T]，（6.8）式中η：=Rτνht++Yt++Zt++Zt|αdt。让我们∈ [0，T]。接受条件期望· |Fν∨（τn）∧（t）在（6.8）yie lds中，eλ+（ν∨（τn）∧t））Y+ν∨（τn）∧（t）≤Eheλ+τnY+τn+2κeλ+TηFν∨（τn）∧t） i，P-a、因此{ν≤T≤τn}eλ+tY+t≤ 1{ν≤T≤τn}Eheλ+τnY+τn+2κeλ+TηFti，P-a、美国。

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能者818

2022-5-7 05:38:54

（6.9）乘以（1.5）和H¨older不等式η≤Zτνht+| Yt|αdt+Xi=1Zτν| Zit |αdt≤ T1-αZτνht+| Yt|dtα+T1-α/2Xi=1Zτν| Zit | dtα/2，P-a、 s.Fubini定理与系统的一致可积性γγ∈Tν，τ意味着EZτν| Yt | dt=EZτν| Yν∨(τ ∧t） |dt≤ 埃兹特Yν∨(τ ∧（t）dt=ZTEhYν∨(τ ∧（t）idt≤T supγ∈Tν，τE|γ|<∞.当q=p/α时，再次应用（1.5）和H¨older不等式得到e[ηq]≤ 第三季度-1T（1-α） qEZτνht+| Yt|dtp+3q-1T（1-α/2）qXi=1E“Zτν| Zit | dtp/2#<∞. （6.10）我们从呃Rτν| Zit | dtp/2i<∞, i=1，2表示P-a、 sω∈ Ohm, 对于某些Nω，τ（ω）=τNω（ω）∈ 无论如何∈ [0，T]，因为易γγ∈Tν，τ，i=1，2意味着eλ+γY+γγ∈Tν，τ，n→∞ 在（6.9）中，P-a、 s.{ν≤T≤τ}Y+t≤1{ν≤T≤τ}eλ+tY+t≤1{ν≤T≤τ}2κeλ+TEheλ+τ（Yτ）-Yτ）++η| Fti=1{ν≤T≤τ}2κeλ+TE[η| Ft]。利用Y+的连续性和过程的连续性，可积参数为12的DRBSDEE[η|英尺]T∈[0，T]，一个得到PY+t≤2κeλ+TE[η| Ft]，T∈[ν, τ]= 1.然后Doob的鞅不等式和（6.10）导致了“supt”∈[ν,τ ]Y+tq#≤ （2κ）qeqλ+TE“supt∈[0，T]（E[η| Ft]）q#≤qq- 1.q（2κ）qeqλ+TE[ηq]<∞. （6.11）（2）接下来，我们展示E“supt∈[ν,τ ]Y+tq#=0；然后很容易得出结论。根据（6.4），应用引理3.1得到P-a、美国。eY+tq=E[Yν]+Q-qZt{eYs>0}{ν<s≤τ }eY+sQ-1.gsds+qZteY+sQ-1dLs-qZt{eYs>0}{ν<s≤τ }eY+sQ-1（dVs）-dVs）+qZt{eYs>0}eY+sQ-1.{s≤ν} eZs+1{ν<s≤τ}ZsdBs+q（q）-1） Zt{eYs>0}eY+sQ-2.{s≤ν}埃兹+1{ν<s≤τ}Zs|ds，t∈ [0，T]。设置a:=λ++κ1∧（q）-1）让n∈N

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2022-5-7 05:38:58

我们定义了一个停止时间γn:=infT∈[ν，τ]：sups∈[ν，t]Y+s+Ztν| Zs | ds>n∧τ ∈Tν，τ，并对过程进行部分积分aq（γn∧（t）eY+γn∧T库特∈[0，T]来获得P-a、 s.eaq（γn）∧（t）eY+γn∧Tq+q（q）-1） Zγnγn∧t{eYs>0}eaqseY+sQ-2.{s≤ν}埃兹+1{s>ν}|Zs|ds=eaqγnY+γnq+qZγnγn∧t{Ys>0}∩{s>ν}eaqsY+sQ-1.gsds-aqZγnγn∧柚木eY+s量子点-qZγnγn∧柚木eY+sQ-1dLs+qZγnγn∧t{Ys>0}∩{s>ν}eaqsY+sQ-1（dVs）-（dVs）-qZγnγn∧t{eYs>0}eaqseY+sQ-1.{s≤ν} eZs+1{s>ν}Zs星展银行∈[0，T]。然后（6.6），（6.2），（6.7）和（3.3）暗示P-a、 s.eaqtY+tq+q（q）-1） Zγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds=eaqγnY+γnq+qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1.gsds-aqZγnteaqsY+s量子点-qZγnteaqsY+sQ-1dLs+qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1（dVs）-（dVs）-qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1ZsdBs≤ eaqγnY+γnq+qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1.g（s，Ys，Zs）-g（s，Ys，Zs）ds-qκ1∧（q）-1） ZγnteaqsY+s量子点-qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1ZsdBs，T∈ [ν，γn]。自1{Yt>0}κY+tQ-1 | Zt|≤Q-1{Yt>0}Y+tQ-2 | Zt |+κq-1.Y+tQT∈[ν，τ]，我们可以从（H1）推导出P-a、 s.eaqtY+tq+q（q）-1） Zγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds≤eaqγnY+γnQ- qZγnt{Ys>0}eaqsY+sQ-1ZsdBs，T∈ [ν，γn]。对t=ν进行实验表明tq（q-1） EZγnν{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds≤ EheaqγnY+γn气。另一方面，Burkholder-Davis-Gundy不等式意味着∈[ν，γn]eatY+tq#≤ EheaqγnY+γnqi+qE“支持”∈[0，T]ZTt{ν≤s≤γn}{Ys>0}eaqsY+sQ-1ZsdBs#≤ EheaqγnY+γnqi+CqE“支持∈[ν，γn]eatY+tq/2·Zγnν{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds1/2#≤ EheaqγnY+γn气+E“支持∈[ν，γn]eatY+tq#+CqEZγnνYs>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds。作为E“supt∈[ν，γn]eatY+tq#≤ “监督”∈[ν,τ ]Y+tq#∞ 在（6.11）中，从（6.12）中可以看出“supt”∈[ν，γn]Y+tq#≤E“supt∈[ν，γn]eatY+tq#≤2EheaqγnY+γnqi+CqEZγnν{Ys>0}eaqsY+sQ-2 | Zs | ds≤cqehaqγnY+γn气。因为（6.11）和呃Rτν| Zit | dtp/2i<∞, i=1，2，它适用于P-a、 sω∈ Ohm 对于某些N′ω，τ（ω）=γN′ω（ω）∈N

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2022-5-7 05:39:01

让n→ ∞ 在上面的不等式中，我们可以从莫诺通收敛定理（6.11）和支配收敛定理（即∈[ν,τ ]Y+tq#=limn→∞↑ E“supt∈[ν，γn]Y+tq#≤Cqlimn→∞EheaqγnY+γnqi=CqEheaqτ（Yτ）-Yτ）+qi=0。备注4.1的证明：让ν∈T，τ∈Tν，T。对于ξ，必须显示（4.2）∈L（Fτ）。给定n∈N、我们仍然在（A.3）中定义了停车时间。As Yτ，ξν∧γn=Yτ，ξγn+Rγnν∧γn{s≤τ}gsds-Rγnν∧γnZτ，ξsdBs，P-a、与（a.4）相似，采用条件期望E·|Fν∧γn得到Yτ，ξν∧γn=1{ν≤γn}EYτ，ξγn+Rτ∧γnν∧γ-ngsdsFν+1{ν>γn}Yτ，ξγn+Rτ∧γnν∧γ-ngsds,P-a、 s.自{γn}n∈Nis静止不动，让n→∞, 我们可以从Yτ，ξγγ∈TthatEgν，τ[ξ]=Yτ，ξν=1{ν≤T}EYτ，ξT+ZτνgsdsFν+ 1{ν>T}Yτ，ξT+Zτνgsds= Eξ+ZτνgsdsFν, P-a、美国。6.2第5节命题5.1的结果证明：（1）我们首先证明E[（Y*)p]<∞, P∈(0, 1).作为F的极限-适应的连续过程-可预测），Y也是F-可预测的过程。对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, Yt（ω）=limn→∞↑ Ynt（ω）意味着Y+t（ω）=limn→∞↑ Yn，+t（ω）。然后我们可以推断出+*（ω） =支持∈[0，T]Y+T（ω）=supt∈[0，T]支持∈NYn，+t（ω）=supn∈恩苏普特∈[0，T]Yn，+T（ω）=supn∈尼恩+*（ω） =林→∞↑ 伊恩+*(ω), ω ∈Ohm. （6.13）对于任何n∈N、过程YNTP的连续性-a、 s，Yn+*= 监督∈[0，T]Yn，+T=supt∈[0，T]∩QYn，+t∈英国《金融时报》，这意味着+*是《金融时报》-可测量的我们从（6.13）中看到的n是Y+*也是英国《金融时报》-可测量的让p∈（α，1）并设置η：=ξ++L+*∈ L（英尺）。给定n∈ N、我们声称P-a、 s.（Ynt）+≤ CαEh1+η+伊恩+*αFti，t∈ [0，T]，（6.14）（将在本证明的最后部分显示）。

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能者818

2022-5-7 05:39:03

因为Mnt:=Eh1+η+伊恩+*αFti，t∈ [0，T]是一个统一的可积鞅，应用[11]中的引理6.1，我们可以从（6.14），（1.5），（1.6），H¨older不等式和Young不等式（Yn+*)P≤ CpαE“supt∈[0，T]（Mnt）p#≤Cpα1- p（E[MnT]）p≤Cpα1- pn1+（E[η]）p+E（Yn+*)α阿宝≤Cpα1- pn2+E[η]+E伊恩+*Pαo≤ Cα，p1+E[η]+E伊恩+*P.可积参数为14E的DRBSDEs（Yn+*)P≤ E[（Yn）*)p] <∞, 我们看到E（Yn+*)P≤ Cα，p1+E[η]. 当n→ ∞, （6.13）和单调收敛定理+*)p]≤ Cα，p1+E[η]. 因为| Yt |=Y-t+Y+t≤ （Yt）-+ Y+t≤ |Yt |+Y+t，T∈ [0，T]，（6.15）（1.5）意味着E[（Y*)p]≤ E（Y）*)P+ E[（Y+*)p] <∞.此外，对于任何ep∈（0，α），（1.6）表明*)计划免疫≤1+Eh（Y）*)α+1i<∞. 因此，E[（Y*)p]<∞, P∈(0, 1).（2）接下来，让我们证明Y属于（D）类。从E[（Y）开始+*)α] < ∞, 让n→ ∞ 在任何一个定理中，fo.6∈[0，T]，Y+T≤CαE1+η+（Y）+*)α英尺, P-a、 s.使用过程Y+和过程Y+的连续性E1+η+（Y）+*)α英尺T∈[0，T]，我们从（6.15）中看到-a、 s.| Yt |≤ |Yt |+Y+t≤|Yt |+CαE1+η+（Y）+*)α英尺, T∈[0，T]。这意味着Y属于（D）类，而yi属于（D）类。（3）这仍有待证明费率索赔（6.14）。无论如何∈[0，T]，过程L的连续性表明P-a、 s.，Γt:=sups∈[0，t]L+s=sups∈[0，t]∩QL+s∈Ft，这意味着Γ是F-用E[ΓT]调整、持续增长的过程<∞.让n∈N.SinceRT{Ynt>Γt}（Ynt-Lt）-dt=0，应用它^o-田中的加工配方（Yn）-Γ）+产生（Ynt）-Γt）+=（YnT-ΓT）++ZTt{Yns>Γs}（g（s，Yns，Zns）ds-dJns-ZnsdBs）+ZTt{Yns>Γs}dΓs-（LnT）-Lnt，t∈[0，T]，其中ln是Yn的“当地时间”- Γ在0。设置a:=2（κ+κ）。

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2022-5-7 05:39:07

给定j∈ N、我们定义了一个停止时间γj=γnj:=inf{t∈[0，T]：Rt | Zns | ds>j}∧ T∈并按程序的各个部分进行整合ea（γj）∧t）（Ynγj）∧T- Γγj∧（t）+T∈[0，T]来获得P-a、 s.ea（γj）∧（t）Ynγj∧T-Γγj∧T++aZγjγj∧茶（Yns）-Γs）+ds=eaγj（Ynγj）-Γγj）++Zγjγj∧t{Yns>Γs}eas（g（s，Yns，Zns）ds-dJns-ZnsdBs）+Zγjγj∧t{Yns>Γs}easdΓs-Zγjγj∧提斯德恩斯，t∈ [0，T]。（6.16）因为（H4）、（H5）、（1.5）和（1.6）暗示| g（t，Ynt，Znt）|≤ |g（t，Ynt，0）|+|g（t，Ynt，Znt）- g（t，Ynt，0）|≤ ht+κ| Ynt |+κ（ht+|Ynt |+|Znt |）α≤ ht+κ| Ynt |+κ（ht+|Ynt |）α+κ| Znt |α≤ ht+κ| Ynt |+κ（1+ht+|Ynt |）+κ| Znt |α（6.17）≤ κ+（1+κ）ht+2κ| Ynt- Γt |+2κt+κZnt |α，dt 数据处理-a、根据（6.16）中的条件期望E[·| Ft]，我们可以从H¨older不等式推导出，对于任何∈ [0，T]ea（γj）∧（t）Ynγj∧T-Γγj∧T+≤κT吃+Eeaγj（Ynγj）-Γγj）+（1+κ）eaTZThsds+（1+2κT）eaTΓT+κT1-α/2e（1）-α） aTZγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2英尺, P-a、（6.18）我们使用了1{Ynt>Γt}|Ynt这一事实- Γt |=（Ynt）- Γt）+。将公式应用于过程ne2a（γj∧（t）（Ynγj）∧T- Γγj∧（t）+ot∈[0，T]in（6.16）生成e2a（γj）∧（t）（Ynγj）∧T- Γγj∧（t）++ 2aZγjγj∧氧化钛（Yns）- Γs）+ds+Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns | ds=e2aγj（Ynγj）-Γγj）++2Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+（g（s，Yns，Zns）ds-dJns-ZnsdBs）+2Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+dΓs-Zγjγj∧te2as（Yns）- Γs）+dLns，t∈ [0，T]。（6.19）6.2第15节中结果的证明，因为（H1）和（H4）暗示数据处理-a、 s.| g（t，Ynt，Znt）|≤|g（t，Ynt，0）|+|g（t，Ynt，Znt）-g（t，Ynt，0）|≤ht+κ| Ynt |+κ| Znt|≤ht+κ| Ynt- Γt |+κΓt+κ| Znt |，它持有dt 数据处理-a、那{Ynt>Γt}（Ynt-Γt）+g（t，Ynt，Znt）≤（Ynt）-Γt）+ht+（κ+2κ）（Ynt）-Γt）++{Ynt>Γt}Γt+{Ynt>Γt}Znt |。设置ψnt:=sups∈[t，t]（Yns）- Γs）+，t∈ [0，T]。

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2022-5-7 05:39:10

然后从m（6.19）得出e2a（γj∧（t）Ynγj∧T-Γγj∧T++Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as|Zns|ds≤e2aT（Ynγj）++2e2aTψntZTthsds+te2atΓT+2e2aTψntΓT- 2Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as（Yns- Γs）+ZnsdBs≤e2aT（Ynγj）++（ψnt）+CZThsds+CΓT+Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as（Yns- Γs）+ZnsdBs, T∈ [0，T]，取两边的或derα/2的幂，我们从（1.5）中看到α/2-1eαa（γj）∧（t）Ynγj∧T- Γγj∧T+α+Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2≤eαaT（Ynγj）+α+（ψnt）α+CαZThsds！α+CαΓαT+ZTt{s≤γj}{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+ZnsdBsα/2，t∈[0，T]。（6.20）让t∈[0，T]。对于任何一个∈辛恰堡ZTt{s≤γj}{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+ZnsdBsα/2=ZTtA{s≤γj}{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+ZnsdBsα/2=ZTA{t≤s≤γj}{Yns>Γs}e2as（Yns-Γs）+ZnsdBsα/2，乘以1Ato（6.20）并取期望值，我们可以从Burkholder-Davis-Gundy不等式和（1.6）E中推导出frAZγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2≤CαE“A（Ynγj）+α+1A（ψnt）α+1AZThsds！α+1AΓαT+ZTA{t≤s≤γj}{Yns>Γs}e4as（Yns）-Γs）+|Zns | dsα/4#≤CαEA+1A（Ynγj）++1A（ψnt）α+1AZThsds+1AΓT+1A（ψnt）α/2·ZTt{s≤γj}{Yns>Γs}e2as | Zns | ds！α/4≤CαE“A+1A（Ynγj）++1A（ψnt）α+1AZThsds+1AΓT#EAZγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2.自从ERγjγj∧t{Yns>Γs}e2as|Zns|dsα/2≤ eαaTjα/2和sinceE[（ψn）α]=e“supt∈[0，T]（Ynt）-Γt）+α#≤ E“supt∈[0，T]（Ynt）+α#≤ kYnkSα<∞,具有可积参数16A的DRBSDEs允许A随FTE变化Zγjγj∧t{Yns>Γs}e2as | Zns |ds！α/2英尺≤ CαE“1+（Ynγj）+（ψnt）α+ZThsds+ΓT英尺#。然后我们从（6.18）中看到Ynγj∧T-Γγj∧T+≤ea（γj）∧（t）Ynγj∧T-Γγj∧T+≤CαE“1+（Ynγj）+（ψn）α+ZThsds+ΓT英尺#，P-a、 s.（6.21）{Ynγ}γ的一致可积性∈蒂姆普利斯（Ynγ）+γ∈T.砷锌∈ ∩P∈（0,1）H2，p H2,0，{γj}j∈尼丝静止不动。所以le Ting j→ ∞ 在（6.21）中，我们可以从过程Ynt的连续性推断+≤Γt+（Ynt-Γt）+≤Γt+CαE“1+ξ++（ψn）α+ZThsds+Γt英尺#≤CαE1+η+（ψn）α英尺, P-a、然后根据过程SYN+和过程的连续性提出索赔（6.14）E1+η+（ψn）α英尺T∈[0，T]。

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2022-5-7 05:39:13

命题5.2的证明：证明相对较长，请参见我们的简介以获取草图。我们将把一些技术细节（带星号标签的方程式）的演示推迟到附录中。（1）对任何人来说∈ N、 Knt:=nRt{ν<s≤τ}（Yns）- Ls）-ds，t∈ [0，T]显然是一个KsatisfyingKnt=0的过程，T∈[0, ν]. （6.22）作为Knτ-Knt=nRτt{ν<s≤τ}（Yns）-Ls）-ds=nRτt（Yns-Ls）-ds，T∈[ν，τ]，（5.3）s如何表示P-a、 s.Ynt=Ynτ+Zτtg（s，Yns，Zns）ds+Knτ- Knt-ZτtZnsdBs，T∈ [ν, τ]. （6.23）自{t≥ν}T∈[0，T]是F-采用了c`a dl`ag工艺和s inc e工艺Ynτ∧TT∈[0，T]是F-通过连续过程，我们看到Y是F-可选流程。（需要一些努力才能显示Y beν和T之间的连续性，中间结果见（6.40）。）根据初始定理，τl:=infT∈ [ν，τ]：（Yt）-+Y+t+L+t+Ztνhsds>l∧τ, l ∈ N（6.24）表示带ν的停止时间≤ τl≤ τ、也就是说。τl∈ Tν，τ。作为EhL+*+RTHTDI<∞ 和Pnsupt∈[ν,τ ]（Yt）-+Y+t< ∞o=1，表示任意ω∈Ohm 除了P-对于some Nω，τ（ω）=τNω（ω）处的空集N∈N.现在，让我们来看看l∈N用于本部分以及接下来的两部分。让N:=∪N∈N{ω∈Ohm : 路径Yn·（ω）不是连续的}（这显然是一个P-空集）并设置l:= {ν < τl} ∩ 北卡罗来纳州∈ Fν∧τl Fν。给定ω∈ A.l, 对任何人来说∈ N我们可以从（6.24）得出| Ynt（ω）|≤ l, T∈ν(ω), τl(ω), 每个Ynt的连续性意味着|Ynt（ω）|≤ l,T∈ν(ω), τl(ω). 然后是{Yn}n的单音性∈南沙普恩∈NYnt（ω）≤Yt（ω）∨Yt（ω）≤ l, T∈ν(ω), τl(ω), ω ∈ A.l. （6.25）让n∈ N.作为E|1AlYnν|≤ l, 推论3.1表明存在一个uniqueeZl,N∈ ∩P∈（0,1）H2，psuch茅草EA.lYnν| Ft=EA.lYnν+RteZl,nsdBs，T∈[0，T]= 1.与（6.3）相似，我们可以从（6.23）推断P-a、纽约l,nt:=EA.lYnν| Fν∧T+Ynν∨(τl∧（t）-Ynν=EA.lYnν-Zt{ν<s≤τl}g（s，Yns，Zns）ds-千牛∨(τl∧t） +Knν+Zt{s≤ν} 埃兹l,ns+1{ν<s≤τl}硫化锌星展银行∈ [0，T]。

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大多数88

2022-5-7 05:39:17

（6.26）6.2第5.17Y节中结果的证明l,尼桑·F-适应的连续过程（即Yl,N∈ S）这很令人满意l,nt=EA.lYnν| Fν+Ynt-Ynν=1AlYnν+1Al（Ynt）-Ynν）=1AlYnt，T∈ [ν, τl], （6.27）和（6.26）表明-a、纽约l,新界-Yl,nτl-Knτl+Knt+ZτltZnsdBs=Zτltg（s，Yns，Zns）ds=1AlZτltg（s，Y）l,ns，Zns）ds=Zτltg（s，Y）l,ns，Zns）ds，T∈[ν, τl]. （6.28）自EYl,nν≤ l 由（6.27），（6.25）和由于Knν=0由（6.22），应用引理A.2和（Y，Z，K）=（Yl,n、 Zn，Kn）和（τ，p）=（τl, 2），我们从（6.27），（6.25）和（6.24）中看到lν| Znt | dt+E（Knτ）l)≤行政长官“监督”∈[ν,τl]Yl,新界#+行政长官“Zτlνhtdt#≤Cl. （6.29）然后从（H1）得出ERτlν| g（t，Y）l,新界，Znt）-g（t，Y）l,nt，0）| dt≤κERτlν| Znt | dt≤Cl. 根据[50]的定理5.2.1，{ν<t≤τl}ZntT∈[0，T]，n∈N有一个弱收敛的子q uenc e我们仍然用{1{ν<t来表示它≤τl}Znt}t∈[0，T]，n∈ N带极限Zl∈ H2,2；和{ν<t≤τl}（g（t，Y）l,新界，Znt）-g（t，Y）l,新界，0）T∈[0，T]，n∈ N具有弱收敛子序列我们仍然用{ν<t≤τl}（g（t，Y）l,新界，Znt）-g（t，Y）l,新界，0）T∈[0，T]，n∈N和limitehl∈H2，2。这很容易推断lt=1{ν<t≤τl}Zl坦德lt=1{ν<t≤τl}嗯lt、 dt 数据处理-a、 s.（6.30）F-Y的可选可测量性意味着停止进程的可测量性Yν∧TT∈[0，T]和Yτl∧TT∈[0，T]（参见[33]中的推论3.24）。作为一个l∩ {t>ν}∈ 任何FTT∈ [0，T]，A.l∩{t≥ν}T∈[0，T]是F-采用c`adl`ag工艺。Thennyν∨(τl∧（t）- Yν=1Al∩{t≥ν} （Yτ）l∧T- Yν=1Al∩{t≥ν} （Yτ）l∧T- Yν∧t），t∈ [0，T]（6.31）是F-可选流程，它遵循thateKlt:=Yν-Yν∨(τl∧（t）-Zt{ν<s≤τl}g（s，Ys，0）+ehlsds+Zt{ν<s≤τl}ZlsdBs，t∈ [0，T]（6.32）还定义了F-可选流程。

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