关于鲁棒Dynkin对策

2022-5-8 11:24:43

姚得到了国家科学基金会DMS-1613208鲁棒Dynkin对策2的部分支持。在定理4.1中，我们证明了玩家1的上下限值过程重合，因此她有一个有效过程Vt（ω）=Vt（ω）=Vt（ω），（t，ω）∈[0，T]×Ohm 在健壮的Dynkin游戏中。我们还可以在定理4.1中看到第一次τ*当V与L相遇时，是玩家1的最佳停车时间，即V=infγ∈ TinfP∈打气R（τ）*, γ), （1.1）处理Vt+Rtgsds，t∈ [0，T]是路径定义的非线性期望集[ξ]（ω）：=infP下的子鞅∈P（t，ω）EP[ξt，ω]，（t，ω）∈[0，T]×Ohm 最新τ*.由于Dynkin对策实际上是两个最优停止问题的耦合，Snell[55]引入的解决最优停止问题的鞅方法后来被扩展到Dynkin对策，参见[48,11,1,43,46]。在本文中，我们将采用广义鞅方法，对非线性期望se={Et}t进行响应∈[0，T]。P中概率的相互奇异性带来了一些主要的技术障碍：首先，P中的非支配概率意味着我们对非线性期望E没有支配收敛定理。因此，我们不能遵循Dynkin对策的经典方法来获得E-V·+R·gsds的鞅性质。第二，我们没有一个可测量的停止策略选择定理，这使动态规划原理的证明变得复杂。我们的鞅方法从processV的动态规划原理（DPP）开始。DPP（P位置3.1）的“s ubs解”部分依赖于概率类{P（t，ω）}（t，ω）上的“粘贴下的弱稳定性”假设（P3）∈[0，T]×Ohm, 这使得我们可以通过计算局部ε来构造近似测量-最优概率模型。

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2022-5-8 11:24:46

我们在第5节中表明，（P3）以及我们对概率类的其他假设，在一些具有控制的路径依赖SDE的情况下是令人满意的，这代表了一大类关于同时漂移和波动不确定性的模型。我们证明了DPP（命题3.2）的“上解”部分通过使用TTP的可数稠密子集Γ来构造合适的近似。这个动态程序结果暗示了过程V（命题3.4）的连续性，它在证明定理4.1的近似方案（将在下一段中描述）中起着关键作用。定理4.1的关键是E-过程的次鞅性Vt+RtgsdsT∈[0，T]到τ*. 受Nutz和Zhang[50]的想法启发，我们使用具有无穷多个值的叠加时间进行近似，定义了一个值过程的近似序列Vn的toV byVnt（ω）：=infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈Tt（n）EPRt，ω（τ，γ）≤Vt（ω），（t，ω）∈[0，T]×Ohm,其中Tt（n）收集所有Tt-停止时间取值T∨（i2）-（新界）ni=0。根据（P3），命题3.1仍然适用于Vn，这导致了任何δ>0和k≥n、过程Vnt+RtgsdsT∈[0，T]是一个E-网格{i2上的子鞅-kT}ki=0，直到Vn满足L+δ时的第一次νn，δ（见（A.14））。让k→∞, N→∞ 然后ε→0，我们可以从limn推断→∞↑ Vn=V（命题3.3）和V的连续性Vt+RtgsdsT∈[0，T]是一个E-直到τ的子鞅*. 定理4.1很容易遵循。值得指出的是，我们的论点并不要求支付过程是有界的。以一些附加条件为代价，例如P的弱紧性和[56]的强粘贴条件（所有这些条件都满足弱公式的控制，见例6.1），我们可以应用[7]的主要结果在定理6.1中找到一对（P*, γ*)∈P×T使得v=EP*R（τ）*, γ*). （1.2）相关文献。

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2022-5-8 11:24:50

自[18]引入Dynkin对策以来，几十年来，Dynkin对策一直在离散和连续时间模型中进行分析。Bensoussan和Frie dman[24,8,9]首先通过变分不等式和自由边界问题分析了马尔科夫扩散过程中的博弈。[4]中的Bayrakta r和S^irbu使用随机Perron方法（一种没有平滑性的验证方法）研究了这个问题。对于一类更广泛的奖励过程，鞅方法是在Mokobodzki的条件（见[48,10,11,1]）和关于支付过程的某些正则性假设（见[43,41]）下发展起来的。Cvitani\'c和Kar atzas[16]将Dynkin对策与反向随机微分方程（BSDE）联系起来，其中有两个反射bar Rier L和U。随着BSDEs理论的发展，Dynkin博弈吸引了很多人。1注记法和初步准备3注意概率框架中的布朗过滤，参见例[31,30,27,26,6 1,29,33,13,23,6]。在这些作品中，[27,29,33,13,23,6]只要求“L<U”，而不是通过惩罚方法要求Mokobodski的条件。在数学金融学中，Dynkin博弈理论可以应用于定价和对冲博弈期权（或Israe li期权）及其衍生产品，参见[39、44、35、26、22、17]和调查文件[40]中的参考文献。此外，[22,2]还分析了Dynkin博弈价值对基础资产波动性变化的敏感性。

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2022-5-8 11:24:53

在许多其他领域，对Dynkin对策也有大量研究：例如，[31,30,26,29,33]在Dynkin对策中加入随机控制，以研究控制和停止的混合零和随机微分对策；[59,37,25,12]和[57,15]分别通过相关的奇异控制问题和脉冲控制问题研究了一些Dynkin对策；[62,54,60,42]考虑了Dynkin游戏，其中玩家可以选择随机停止时间；[9,51,47,14,34,28,32]分析了非零和Dynkin博弈。然而，关于模型不确定性下的Dynkin对策的研究很少：Hamadene和Hdhiri[29]以及Yin[63]研究了一组等价概率下的Dynkin对策，这些概率代表漂移不确定性（Orknight不确定性）。当概率集包含相互奇异的概率（或等效地，基础的漂移和波动性都可以针对参与者1进行“操纵”），多林斯基[17]推导了离散时间内博弈期权的超复制价格的对偶表达式，马图西等人[45]对Dynkin gamesunder G-对二阶双反射BSDE的期望（由Peng[52]介绍）。在本文中，我们充分受益于[38,3]（分析了P为支配时的问题）、[19]（P为非支配但性质与阻止者合作）和[50,5]（其中P为非支配且性质与阻止者为对手）为鲁棒最优停止问题开发的鞅技术尤其是[7]的结果对于确定鞍点至关重要。

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2022-5-8 11:24:58

（后一个结果最近也被证明有助于定义[21]中完全非线性退化路径相关偏微分方程的粘性解。）。本文的其余部分组织如下：在1.1节中，我们将介绍一些符号和初步结果，例如正则条件概率分布。在第二节中，我们通过引入一些关于奖励过程和相互奇异概率的假设，为我们的主要结果奠定了基础。然后，第三节推导了玩家1的上价值过程和近似值过程的性质，如路径规则和动态规划原理。它们在推导第4节所述的健壮Dynkingames的主要结果时起着至关重要的作用。在第5节中，我们给出了一个路径相关SDE的例子，其控制满足我们的所有假设。在第6节中，我们讨论了在附加条件下，玩家1的值的最佳三元组。第7节包含我们研究结果的证明，而这些报告中带有星号标签（对应方程式编号）的一些辅助陈述的演示则推迟到附录中。在附录中，我们还包括了定理4.1.1.1符号和初步证明所需的技术引理∈N.对于所有Rd×d，让S>0dstand-有值有限矩阵，用b（S>0d）表示Borelσ-在相对欧几里德地形y下S>0的区域。我们还确定了时间范围T∈(0, ∞) 让t∈[0，T]。我们开始Ohmt:=ω ∈C[t，t]；研发部: ω（t）=0作为周期[t，t]上的正则空间，并用t表示其零路径：={ω（s）=0，s∈[t，t]}。对于任何人来说∈[t，t]，kωkt，s:=supr∈[t，s]|ω（r）|，ω ∈Ohmtde定义了一个关于Ohmt、特别是，k·kt是Ohmt、 Btof的规范过程Ohm这是一个d-维纳测度Ptof下的二维标准布朗运动Ohmt、 FtT.

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2022-5-8 11:25:02

设Ft={Fts}s∈[t，t]，含Fts:=σBtr；R∈ [t，s], 是BTP的自然过滤，并表示itsPt-增强型byFt=Ftss∈[t，t]，式中：=σFts∪新界andNt：=N Ohmt:N A一些A∈FtTwith Pt（A）=0. 对未来的期待Ohmt、 FtT，Pt将简单地用Et表示。同样，我们让PTT成为盗窃-逐步可测西格玛-[t，t]×的领域Ohm让我来响应。Tt收集所有信息响应。英尺-停车时间。考虑到∈ [t，t]，我们设置Tts:={τ∈ Tt：τ（ω）≥ sω ∈ Ohmt} ，Tts:={τ∈ Tt：τ（ω）≥ sω ∈ Ohmt} 并定义运行映射∏tsfromOhmttoOhm斯比πts（ω）（r）：=ω（r）-ω（s），（r，ω）∈[s，T]×Ohmt、根据[5]中的引理A.1，τ（πts）∈Tts，τ ∈Ts.（1.3）任何δ>0和ω的鲁棒Dynkin对策4∈Ohmt、 Osδ（ω）：=ω′∈ Ohmt:kω′- ωkt，s<δ这是Fts-可测开集Ohmt、（1.4）andOsδ（ω）：=ω′∈Ohmt:kω′-ωkt，s≤δ这是Fts-可测闭集OhmT参见[5]中的例（2.1）. 特别地，我们将分别用Oδ（ω）和Oδ（ω）简单地表示OTδ（ω）和OTδ（ω）。对任何人来说∈N和s∈[t，t]，让Tt（n）表示所有Ft-停止时间取{tni}ni=0且tni:=t中的值∨（i2）-nT），i=0，·，2n，（1.5）并设置Tts（n）：={τ∈Tt（n）：τ（ω）≥sω ∈Ohmt} 。特别是，我们确实设置了Tt(∞):=Ttand Tts(∞):=Tts。让我们收集所有的可能性Ohmt、 FtT. 任何P∈Pt，我们考虑关于P的以下空间：1）对于FtT的任何子西格玛场G，让L（G，P）是所有实值的空间，G-可测随机变量sξ与kξkL（G，P）：=EP|ξ|< ∞.2）设S（Ft，P）为所有实空间-英国《金融时报》-适应过程{Xs}s∈[t，t]具有所有连续路径且满足EP[X]*]<∞, X在哪里*:=kXkt，T=sups∈[t，t]| Xs |。如果上标t为0，我们将从上述注释中删除它。比如(Ohm, F）=(Ohm, F）。如果| Xt（ω）|，我们说一个过程X的界是some C>0≤ C表示任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.

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2022-5-8 11:25:05

此外，re al valuedprocess X在[0，T]×上是一致连续的Ohm 关于连续函数的某些模ρif | Xt（ω）-Xt（ω）|≤ρD∞（t，ω），（t，ω）, （t，ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, （1.6）其中d∞（t，ω），（t，ω）:= |T-t |+kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t.对于任何t∈[0，T]，T king T=T=T in（1.6）s howthXt（ω）-Xt（ω）≤ρkω-ωk0，t, ω, ω∈Ohm, 这意味着英国《金融时报》-Xt的可测性。SoX确实是一个F-适应所有连续路径的过程。此外，设M表示c连续函数ρ的所有模，对于某些c>0和0<p≤p、 ρ（x）≤C（xp∨xp），十、∈[0, ∞). （1.7）在本文中，我们将使用公约inf := ∞.1.2移位过程和正则条件概率分布在本小节中，我们≤T≤s≤T级联ωω的seω∈Ohmtand和eω∈Ohm周六时间：ω seω（r）：=ω（r）1{r∈[t，s）]+ω（s）+eω（r）{r∈[s，T]}，R∈ [t，t]定义了另一条道路Ohmt、集合ωs= ω海：=ωseω：eω∈eA对于任何非空的茶Ohms、引理1.1。如果∈ Fts，然后ωsOhms A表示任何ω∈ A.对于任何Fts-可测随机变量η，自{ω′起∈Ohmt：η（ω′）=η（ω）}∈引理1.1意味着ωsOhms {ω′∈Ohmt：η（ω′）=η（ω）}即η（ω）seω）=η（ω），eω∈Ohms、（1.8）也就是说，η（ω）值仅取决于ω|[t，s]。让ω∈Ohmt、对于任何一个Ohmtwe集为，ω：={eω∈Ohms:ωseω∈A} 作为一个Ohm沙龙ω。特别地，s、 ω=. 给定一个随机变量ξOhmt、通过ξs，ω（eω）：=ξ（ω），确定ξ沿ω|[t，s]的位移ξs，ωseω）， eω∈Ohms、相应地，对于进程X={Xr}r∈[t，t]打开Ohmt、它的移位过程Xs，ωisXs，ω（r，eω）：=（Xr）s，ω（eω）=Xr（ω）seω），（r，eω）∈ [s，T]×Ohms、移位随机变量和移位过程“继承”了原始变量的可测性：2。粘贴5位置1.1下的弱稳定性。

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2022-5-8 11:25:09

让0≤T≤s≤T和ω∈ Ohmt、（1）如果实值随机变量ξOhm这是Ftr-对某些人来说是可测量的∈ [s，T]，那么ξs，ω是Fsr-可测量的（2）对任何人来说∈ N∪ {∞} 和τ∈Tt（n），如果τ（ω）sOhm（s）[r，T]对于一些r∈[s，T]，然后τs，ω∈Tsr（n）。（3）给定τ∈Tt，如果τ（ω）≤s、然后τ（ω）sOhm（s）≡τ(ω); 如果τ（ω）≥s（resp.>s），然后τ（ω）seω）≥s（分别>s）， eω∈Ohm因此，τs，ω∈Ts.（4）如果实值过程{Xr}r∈[t，t]是英尺-适应（分别为英尺）-然后x，ω是Fs-改编（分别为Fs）-逐步测量）。让P∈Pt。根据规则的条件概率分布（参见[58]），我们可以按照[5]的第2.2节引入移位概率{Ps，ω}ω族∈OhmTPs，在其下，相应的移位随机变量和移位过程继承了原始变量的P可积性：命题1.2。（1）适用于Pt-a、 sω∈Ohmt那Pts、 ω=Ps.（2）如果ξ∈LFtT，P为了一些P∈Pt，那么它适用于P-a、 sω∈Ohmtξs，ω∈LFsT，Ps，ω安第普斯，ωξs，ω= EPξFts(ω) ∈ R.（1.9）（3）如果X∈s英国时报为了一些P∈Pt，那么它适用于P-a、 sω∈Ohmt x，ω∈ sFs，Ps，ω.根据（1.9），位移的Pt-空集也有零度量。引理1.2。对任何人来说∈Nt，它适用于Pt-a、 sω∈ Ohmt等于Ns，ω∈ 纳什。这一小节在[5]中给出了更多细节和证据。

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2022-5-8 11:25:14

在接下来的三个部分中，我们将逐步为robustDynkin游戏的主要结果（定理4.1和定理6.1）提供技术设置和准备。2.粘贴下的弱稳定性为了研究鲁棒Dynkin对策，我们需要一些关于支付过程的正则性条件。关于支付过程的长期假设（g、L、U）。（A） g，L和U是[0，T]×上一致连续的实值过程Ohm 对于连续函数ρ的同调，满足Lt（ω）≤ Ut（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.对于任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 还有s，s′∈ [t，t]，我们在技术上定义R（t，s，s′，ω）：=Rs∧s′tgr（ω）dr+1{s≤s′}Ls（ω）+{s′<s}Us′（ω）。由（1.6），|R（t，s，s′，ω）-R（t，s，s′，ω）|≤Zs∧s′t | gr（ω）-gr（ω）|dr+1{s≤s′}Ls（ω）-Ls（ω）|+1{s′<s}|Us′（ω）-Us′（ω）|≤ （1+s）∧s′-t） ρkω-ωk0，s∧s′, ω, ω∈ Ohm. （2.1）让健壮的Dynkin游戏从时间t开始∈[0，T]当历史沿着ω|[0，T]路径演化时∈Ohm. 玩家1和玩家2在游戏退出时间做出自己的选择。如果玩家1选择τ∈ TtandPlayer 2选择γ∈ Tt，游戏在τ处进行∧γ. 然后，玩家1将从她的对手那里收到一个累加的重罚τ∧γtgt，ωsds和终端支付Lt，ωτ（分别，ωγ）ifτ≤γ（res p.γ<τ）。这里是ne-gativeRτ∧γtgt，ωsds，Lt，ωτorUt，ωγ表示从P层1向玩家2支付的款项。所以玩家1在时间τ的总财富∧γisRt，ω（τ，γ）：=Zτ∧γtgt，ωsds+1{τ≤γ} Lt，ωτ+1{γ<τ}Ut，ωγ=Zτ∧γtgt，ωsds+1{τ≤γ} Lt，ωτ∧γ+1{γ<τ}Ut，ωτ∧γ.因为1.1（4）表示gt，ω，Lt，ω和Ut，ω是Ft-具有所有连续路径的自适应过程，Rt，ω（τ，γ）∈Ftτ∧γ, τ, γ ∈Tt。（2.2）此外，很明显Rt，ω（τ，γ）（eω）=Rt、 τ（eω），γ（eω），ωteω, eω∈ Ohmt、（2.3）健壮的Dynkin游戏6接下来，我们定义ψt:=(-Lt）∨ 美国犹他州∨0，t∈ [0，T]。

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2022-5-8 11:25:17

通过（1.6），我们可以推断ψt（ω）-ψt（ω）≤ ρkω-ωk0，t, T∈ [0，T]，ω, ω∈ Ohm; （2.4）（为了方便读者阅读，我们在第7.1节中提供了一份声明。）很明显Rt，ω（τ，γ）≤Zτ∧γt|gt，ωs|ds+ψt，ωτ∧γ, （t，ω）∈ [0，T]×Ohm, τ, γ ∈Tt。（2.5）下面的结果表明，移位支付过程的可积性与给定的路径历史无关。引理2.1。假设（A）。无论如何∈[0，T]和P∈Pt，如果ψt，ω∈S（Ft，P）和EPRTt|gt，ωS|ds<∞ 对于某些ω∈Ohm,然后ψt，ω′∈S（Ft，P）和EPRTt|gt，ω′S|ds<∞ 总的来说ω′∈Ohm.我们将集中讨论PTP中转移支付过程可积的可能性：假设2.1。无论如何∈[0，T]，bPt:=nP∈Pt:ψt，0∈S（Ft，P）和EPRTt | gt，0s |ds<∞ois不是空的。备注2.1。（1）如果ψ∈ S（F，P）和EPRT|gs|ds<∞, 然后Pt∈BPT适用于任何t∈ [0，T]。（2）如命题5.1所示，当（A）中的连续模ρ具有多项式增长时，受控SDE（5.1）在[t，t]期间的解的规律属于Pt。在（A）和假设2.1下，我们可以从引理2.1推导出，对于任何t∈[0，T]和P∈bPt，ψt，ω∈s英国时报和EPZTt|gt，ωs|ds<∞, ω ∈ Ohm. （2.6）接下来，我们需要概率类在以下意义下进行调整和弱稳定粘贴：对概率类的持续假设。（P1）对于任何t∈ [0，T]，我们考虑一个{P（T，ω）}ω族∈Ohm如果ω|[0，t]=ω|[0，t]，则P（t，ω）=P（t，ω）的子集。（2.7）进一步假设概率clas{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm对于连续函数bρ，满足以下两个条件：对于任何0≤ t<s≤ T，ω∈ Ohm 和P∈P（t，ω）：（P2）存在一个扩张(Ohmt、 F′，P′）的(Ohmt、 FtT，P）即

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2022-5-8 11:25:22

FtTF′和P′|FtT=P和Ohm′∈ F′与P′的结合(Ohm′) = 因此Ps，eω属于P（s，ω）对于任意的eω∈ Ohm′.（P3）（粘贴下的弱稳定性）对于任何δ∈Q+和λ∈N、设{Aj}λj=0为Fts-分割Ohm对于j=1，··，λ，Aj某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪{δ} 和eωj∈Ohmt、然后是纽约睡衣∈P（s，ω）teωj），j=1，···，λ，存在abP∈P（t，ω）使得（i）bP（A∩A） =P（A）∩ A） ,，A.∈ FtT；（ii）对于任何j=1、·、λ和A∈ 英国石油公司金融时报∩Aj）=P（A）∩ Aj）；（iii）任何∈N∪{∞} 和∈Ts，确实存在新泽西州∈Tts，j=1，··，λ使得对于任何∈Ftsandτ∈ Tts（n）λXj=1EbPA.∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）≤λXj=1EP{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（），)+Zstgt，ωr（eω）dr+ bρ（δ）。（2.8）备注2.2。（1）通过（2.7），可以将P（t，ω）视为Pt的路径依赖子集。特别地，P:=P（0，0）=P（0，ω），ω ∈Ohm.（2）（2.8）的两面都是有限的，我们将在第7节中展示。尤其是，由于映射eω，右侧的期望值得到了很好的定义→ sup∈Ts（n）EePRs，ωteω（），)对于任意n，在范数k kt，t下是连续的∈N∪{∞},eP∈bPsand∈Ts.3。动态规划原理7（3）类似于[5]中假设的（P2），条件（P3）可被视为粘贴下稳定性的弱形式，因为它由“有限粘贴下的稳定性”所暗示参见[56]中的例（4.18）: 对于任何0≤ t<s≤ T，ω∈ Ohm,P∈P（t，ω），δ∈Q+和λ∈N、设{Aj}λj=0为Fts-分割Ohm对于j=1，··，λ，Aj 某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪{δ} 和eωj∈ Ohmt、那么任何睡衣∈P（s，ω）teωj），j=1，··，λ，由bp（A）=P（A）定义的概率∩A.+λXj=1EPh{eω∈Aj}PjAs，eω我A.∈ FtT（2.9）在P（t，ω）中。正如[49]中的备注3.6（见[5]中的lso备注3.4]）所指出的，（2.9）不适用于带有控件的路径相关SDE示例（见第5节）。

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2022-5-8 11:25:25

因此，我们假设弱粘贴条件（P3），这证明了我们的近似方案在证明主要结果时是有效的。3动态规划原理考虑了概率类{P（t，ω）}（t，ω）上具有支付过程（g，L，U）的鲁棒Dynkin对策∈[0，T]×Ohm如第2节所述。如果玩家1保守地认为大自然也反对她，那么对于任何（t，ω）∈[0，T]×Ohm,Vt（ω）：=supτ∈Ttinfγ∈ TtinfP∈P（t，ω）EPRt，ω（τ，γ）和vt（ω）：=infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）在给定历史路径ω|[0，t]的情况下，确定玩家1在时间t的下限值和上限值。正如我们将在定理4.1中看到的，vcoin与V一致，V是参与方1的值过程V，其与r·gsds之和为E-直到第一次τ的子鞅*为了这个目的，当V满足L时，我们在本节中推导了V的一些基本性质及其近似值，包括动态规划原理。让（A）、（P1）-（P3）和假设2.1在本节中保持不变。对于任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 按照[50]的想法，我们从技术上定义了fV byVnt（ω）：=infP的近似值过程∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈Tt（n）EPRt，ω（τ，γ）≤ infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）=Vt（ω），N∈ N、（3.1）并特别规定∞t（ω）：=Vt（ω）。让n∈ N∪ {∞}. 很明显vn（T，ω）=infP∈P（T，ω）infγ∈ TTsupτ∈TT（n）EPRT，ω（τ，γ）= infP∈P（T，ω）EPRT，ω（T，T）= LT（ω），ω ∈ Ohm. （3.2）我们可以证明- ψt（ω）≤Lt（ω）≤Vnt（ω）≤Ut（ω）≤ψt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. （3.3）为方便读者，我们在第7.1节中提供了证据。我们需要对Vn的以下假设来讨论它们所使用的动态规划原则。假设3.1。存在连续性函数ρ的模≥ ρ使得对于任何n∈ N∪ {∞}Vnt（ω）- Vnt（ω）≤ ρkω- ωk0，t, T∈ [0，T]，ω, ω∈ Ohm. （3.4）备注3.1。

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2022-5-8 11:25:28

如果P（t，ω）不依赖于ω∈ [0，T]，那么假设3.1自动成立。备注3.2。假设3.1意味着VNF-适合任何人∈ N∪ {∞}.我们首先介绍了Vn动态规划原理的子解：命题3.1。对任何人来说∈ N∪ {∞}, 0≤ T≤ s≤ T和ω∈ Ohm,Vnt（ω）≤ infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈Tt（n）EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}Vnst、 ω+Zstgt，ωrdr. （3.5）鲁棒Dynkin对策8相反，我们只需要给出V的动态规划原理的超级解∞= 五、提议3.2。对于任何0≤ T≤ s≤ T和ω∈ Ohm,Vt（ω）≥ infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈TtEP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr.作为命题3.1和3.2的结果，玩家1的上限值过程V满足了真正的动态编程原则。我们利用另一个条件进一步证明了VntoV的收敛性及其在下两个命题中的路径正则性。假设3.2。对于任何α>0，存在连续性函数ρα的模，使得对于任何t∈ [0，T）supω∈Otα（0）补充∈P（t，ω）supζ∈TtEPρδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr- Btζ≤ ρα(δ), δ ∈ （0，T）.（3.6）命题3.3。让n∈ N、 t∈ [0，T]和α>0。它适用于任何ω∈ Otα（0）thatVt（ω）≤ Vnt（ω）+ρα（2）-n） +2-N|gt（ω）|+ρα（T）-（t）. （3.7）提案3.4。（1）对于任何n∈ N∪ {∞}, 所有路径都是左上半连续和右下半连续的。特别是，过程V具有所有连续路径。（2）对于任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和P∈ P（t，ω），Vt，ω∈ S（Ft，P）。4主要结果在本节中，我们陈述了关于稳健Dynkin博弈的第一个主要结果。让（A）、（P1）-（P3）和假设2.1、3.1、3.2在整个章节中适用。给定t∈ [0，T]，设置Lt:={随机变量ξonOhm : ξt，ω∈ L（FtT，P），ω ∈ Ohm, P∈ P（t，ω）}。显然，Ltisclosed在线性组合下：即对于任何ξ，ξ∈ 和α，α∈ R、 αξ+αξ∈ Lt。

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2022-5-8 11:25:31

然后我们定义了线性期望：Et[ξ]（ω）：=infP∈P（t，ω）EP[ξt，ω]，ω ∈ Ohm, ξ ∈ 对任何人来说∈ N∪{∞} 和τ∈T，Vnτ和rτgrdr都属于Lt.（4.1）（我们在第7.3节中证明了这一主张。）与经典的Dynkin对策类似，我们将证明在鲁棒Dynkin对策中，V与V作为参和者1的值过程V重合，并且V plusR·gsds是一个响应非线性期望E的子鞅。定理4.1。让（A）、（P1）-（P3）和假设2.1、3.1、3.2成立。（1）对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm,Vt（ω）：=Vt（ω）=Vt（ω）（4.2）在给定历史路径ω的时间t开始的鲁棒D yn kin博弈中[0，t]。此外，Vt（ω）=infγ∈ TtinfP∈P（t，ω）EPRt，ωτ*（t，ω），γ, τ在哪里*（t，ω）：=infs∈[t，t]：Vt，ωs=Lt，ωs∈Tt。（4.3）（2）F-具有所有连续路径的自适应过程Υt:=Vt+Rtgrdr，t∈ [0，T]是一个E-时间τ以下的子鞅*:=τ*（0,0）=infT∈[0，T]：Vt=Lt∈在某种意义上，对于任何ζ∈TΥτ*∧ζ∧t（ω）≤EtΥτ*∧ζ(ω), （t，ω）∈[0，T]×Ohm. (4.4)5. 示例：受控路径相关SDEs 95示例：受控路径相关SDEs在本节中，我们提供概率类{P（t，ω）}（t，ω）的示例∈[0，T]×Ohm在路径依赖的情况下，带控制的随机微分方程。设κ>0，设b:[0，T]×Ohm×Rd×d→ RDP应该是一个PB（Rd×d）B（道路）-可测函数| b（t，ω，u）-b（t，ω′，u）|≤κkω-ω′k0，tand|b（t，0，u）|≤κ（1+| u |），ω, ω′∈Ohm, （t，u）∈[0，T]×Rd×d.Fix T∈ [0，T]。我们让UT收集所有S>0d-英国《金融时报》-渐进可测量过程{us}∈[t，t]使得|us |≤ κ、 ds×dPt-a、美国。

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2022-5-8 11:25:34

让ω∈ Ohm, bt，ω（r，eω，u）：=b（r，ω）teω，u），（r，eω，u）∈ [t，t]×Ohmt×Rd×显然是PtB（Rd×d）B（道路）-满足| bt，ω（r，eω，u）的可测函数-bt，ω（r，eω′，u）|≤κkeω-eω′kt，rand|bt，ω（r，0t，u）|≤κ1+kωk0，t+|u|, eω，eω′∈Ohmt、（r，u）∈[t，t]×Rd×d∈ Ut，对[53]中的Theorem V.12.1的一个轻微扩展表明以下概率空间上的SDEOhmt、 FtT，Pt:Xs=Zstbt，ω（r，X，ur）dr+ZsturdBtr，s∈ [t，t]，（5.1）允许一个唯一的解Xt，ω，u，即anFt-满足Et的自适应连续过程Xt，ω，u*P< ∞ 无论如何≥1（或参见[5]的完整ArXiv版本以获取证明）。注意，SDE（5.1）取决于ω[0，t]通过发电机bt，ω。在不丢失基因的情况下，我们假设Xt，ω，u的所有路径都是连续的，并且从0开始。否则，通过设置N:={ω∈ Ohmt:Xt，ω，ut（ω）6=0或路径Xt，ω，u·（ω）不是连续的}∈Nt，可以取ext，ω，us:=1NcXt，ω，us，s∈[t，t]。这是anFt-适应的过程满足（5.1），其路径都是连续的，从0开始。应用Burkholder-Davis-Gundy不等式、Gronwall不等式和binω的Lipschitz连续性-变量，我们可以很容易地得出以下关于Xt，ω，u的估计：对于任何p≥ 1Et苏普∈[t，s]Xt，ω，ur-Xt，ω′，urP≤Cpkω-ω′kp0，t（s）-t） p，ω′∈Ohm, s∈ [t，t]，（5.2）和Et苏普∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Xt，ω，ur- Xt，ω，μζP≤φp（kωk0，t）δp/2，对于任意ft-停止时间ζ和δ>0，（5.3），其中Cpis是一个常数，取决于p，κ，T和φp:R+→R+是一个依赖于p，κ，T的连续函数（5.2）和（5.3）的证明见[5]的完整ArXiv版本.对于任何人来说∈ [t，t]，我们从[5]中看到 GXt，ω，us:=nAOhmt:Xt，ω，u-1（A）∈Ftso，即。，Xt，ω，u-1（A）∈Fts，A.∈ Fts。（5.4）即Xt，ω，uisFtsFts-可测量为从OhmttoOhmT

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2022-5-8 11:25:38

定义Ptbypt，ω，u（A）下的Xt，ω，u定律：=PtoXt，ω，u-1（A），A.∈ GXt，ω，uT，用Pt，ω，u表示Pt，ω，u对Ohmt、 FtT.现在，让我们设置P（t，ω）：=Pt，ω，u：u∈美国犹他州Pt。提议5.1。允许是连续性函数的模，对于某些 ≥1.(δ) ≤κ(1+δ), δ > 0.假设g，L，U满足（A）关于而这是gt（0）|dt<∞. 然后对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 我们有p（t，ω）bPt。概率类{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满意度（P1）-（P3），假设3.1-3.2.备注5.1。（1）当b≡0，命题5.1和结果（4.2）验证了[45]中的假设5.7（尤其是fort=0）。然后，我们从定理5.8中得知，对于具有零漂移的受控路径依赖SDE，游戏者1的值V与二阶双反射倒向随机微分方程的解密切相关。鲁棒Dynkin对策10（2）类似于[5]，我们考虑Ptover GXt，ω，uT下的Xt，ω，u定律的原因最大σ-根据映射Xt，ω，u事实上，命题5.1的证明在很大程度上依赖于Xt，ω，u的逆映射Wt，ω，u。根据[5]中命题6.2和6.3的证明，因为Wt，ω，u是anFt-只有pt，ω，u的渐进可测量过程-a、 s.连续路径，它适用于pt，ω，u-a、美国。

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2022-5-8 11:25:41

eω∈ Ohmt转移概率Pt，ω，us、 eω是移位的SDE的解的定律因此Pt，ω，us、 eω∈P（s，ω）teω）.这就解释了为什么我们的假设（P2）需要扩展(Ohmt、概率空间的F′，P′）(Ohmt、 6最优三元组在本节中，我们在支付过程和概率类的下列附加条件下，确定了鲁棒Dynkin博弈中玩家1的值的最优三元组。（A′）让g≡ 设L，U是两个实值过程，由一些M>0限定，使得它们在[0，T]×上一致连续Ohm 关于同一ρ∈ M、这个Lt（ω）≤ Ut（ω），（t，ω）∈ [0，T）×Ohm, 那么lt（ω）=UT（ω），ω ∈Ohm.还有，让一个家庭{Pt}t∈子集合的[0，T]PtofbPt=Pt，T∈ [0，T]满足：（H1）P:=Pis任意ρ的P.（H2）的弱紧子集∈ M、存在M的另一个ρ，即sup（P，ζ）∈Pt×TtEPρδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr- Btζ≤ρ(δ), T∈ [0，T），δ ∈ (0, ∞).特别是，我们需要ρ来满足（1.7），其中一些C>0和1<p≤ p、（H3）对于任何0≤ t<s≤ T，ω∈ Ohm 和P∈Pt，存在一个扩展(Ohmt、 F′，P′）的(Ohmt、 FtT，P）i、 e.FtTF′和P′|FtT=P和Ohm′∈ F′与P′的结合(Ohm′) = 1使得对于任何eω，Ps，eω都属于Ps∈ Ohm′.（H4）此外，让备注2.2（3）中规定的粘贴下的最终稳定性保持不变。下一个例子表明，弱公式的控制（即P包含所有半鞅测度，其中B具有均匀的基础漂移和扩散系数）满足（H1）-（H4）。例6.1。鉴于l > 0，设{Plt} t∈[0，T]是[20]中考虑的半鞅测度族，使得Plt收集上的所有连续半鞅测度(Ohmt、其漂移和扩散特性受l 和√2.l 分别地根据其中的引理2.3，{Plt} t∈[0，T]满意度（H1）、（H3）和（H4）。

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2022-5-8 11:25:45

此外，从Bur-kholder-Davis-Gundy不等式可以得出{Plt} t∈[0，T]满意度（H2），详见[7，例3.3]的证明。注2.2（3）和对注3.1证明的重新审视表明，路径无关概率类{Pt}t∈[0，T]满意度（P1）-（P3）和假设3.1，其中ρ=ρ，而假设3.2通常由（H2）和ρα表示≡ρ,α > 0. 所以定理4.1仍然适用于{Pt}t上的鲁棒Dynkin对策∈[0，T]。此外，（H1）使我们能够应用[7]的结果来解（1.2）。定理6.1。在假设（A′）和（H1）下-（H4），存在一对（P*, γ*) ∈ P×T使得V=EP*R（τ）*, γ*).备注6.1。定理4.1（1）和定理6.1暗示V=EP*R（τ）*, γ*)≥ infP∈打气R（τ）*, γ*)≥ γ干扰素∈ TinfP∈打气R（τ）*, γ)=五、这表明V=infP∈打气R（τ）*, γ*)=ER（τ）*, γ*). 因此，我们看到这对（τ*, γ*) 在尊重上是健壮的∈P、或（τ）*, γ*) 是Dynkin对策在非线性期望E.7证明下的鞍点。1.命题1.1（2）第1.1、2和3节中技术结果的证明：让n∈N和τ∈Tt（n）。假设τ（ω）sOhm（s）[r，T]对于一些r∈[s，T]。对于任何i=0，··，2n，使得tni=t∨（i2）-（新界）≥r、自从r≥s≥t、一个有er:=t∨（i2）-（新界）=T∨（i2）-（新界）∨s=s∨（i2）-nT）。7.1第1.1、2和3节中技术结果的证明11设置A:={ω′∈Ohmt：τ（ω′）≤呃}∈之后，我们可以从[5]的引理2.2推导出{eω∈ Ohms：τs，ω（eω）≤ er}={eω∈ Ohms：τ（ω）seω）≤ er}={eω∈ Ohms:ωseω∈ A} =As，ω∈ 弗瑟。所以τs，ω是Fs-停止时间的取值{t∨（i2）-（新界）∈[r，T]：i=0，·2n}{s∨（i2）-（新界）∈[r，T]：i=0，··，2n}，即τs，ω∈Tsr（n）。对于n=∞, 参见[5]中的推论2.1。证明（2.4）：L et t∈ [0，T]和ω，ω∈ Ohm. 我们从（1.6）中看到-Lt（ω）≤ -Lt（ω）+Lt（ω）-Lt（ω）|≤ ψt（ω）+ρkω-ωk0，t,和Ut（ω）≤ Ut（ω）+Ut（ω）- Ut（ω）|≤ ψt（ω）+ρkω-ωk0，t.因此，ψt（ω）=-Lt（ω）∨Ut（ω）∨ 0≤ψt（ω）+ρkω-ωk0，t.

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2022-5-8 11:25:49

然后交换ω和ω的角色证明（2.4）。引理2.1的证明：Le t t t∈ [0，T]和P∈ Pt。假设ψt，ω∈ S（Ft，P）和EPRTt|gt，ωS|ds<∞ 对于某些ω∈Ohm. 让ω′∈ Ohm. 对于任意（s，eω）∈[t，t]×Ohmt、（1.6）意味着gt，ω′s（eω）-gt，ωs（eω）=gs（ω′）teω）-gs（ω）teω）≤ρkω′teω-ωteωk0，s=ρkω′-ωk0，t, （7.1）so EPRTt|gt，ω′s|ds≤EPRTt | gt，ωs | ds+（T-t） ρkω′-ωk0，t<∞.命题1.1（4）表明Lt，ω′和Ut，ω′都是Ft-适应了所有连续路径的过程，过程ψt，ω′s也是如此=-Lt，ω′s∨ Ut，ω′s∨ 0，s∈ [t，t]。与（7.1）相似，我们从（2.4）中看到ψt，ω′s（eω）-ψt，ωs（eω）≤ρkω′-ωk0，t, （s，eω）∈[t，t]×Ohmt、因此，EPhψt，ω′*i=EP小吃∈[t，t]ψt，ω′s≤ EP小吃∈[t，t]|ψt，ωs|+ρkω′-ωk0，t= EPψt，ω*+ρkω′-ωk0，t< ∞.因此，ψt，ω′∈s英国时报. 备注2.1（1）的证明：让t∈[0，T]。命题1.2意味着P-a、 sω∈ Ohm, ψt，ω∈ sFt，（P）t，ω=s英国时报andEPtZTt | gt，ωs | ds=E（P）t，ω“ZTt | gs | dst、 ω#≤E（P）t，ω“ZT | gs | dst、 ω#=EP“ZT | gs | dsFt#（ω）<∞.然后从引理2.1得出，ψt，0∈s英国时报和EPtRTt | gt，0s | ds<∞. 因此，Pt∈bPt。备注证明2.2:2）修正t∈[0，T]让ω，ω∈Ohm, τ, γ ∈Tt。通过（2.3）和（2.1），Rt，ω（τ，γ）（eω）-Rt，ω（τ，γ）（eω）=Rt、 τ（eω），γ（eω），ωteω- Rt、 τ（eω），γ（eω），ωteω≤（1+T）ρkωteω-ωteωk0，T=（1+T）ρkω-ωk0，t, eω∈ Ohmt、（7.2）现在，让ω∈Ohm, s∈[t，t]，n∈ N∪ {∞},eP∈bPsand ∈t.给定eω，eω∈Ohm坦德∈Ts（n），类似于（7.2），Rs，ωteω（），)-Rs，ωteω（），)≤ （1+T）ρkωteω-ω teωk0，s= （1+T）ρkeω-eωkt，s. （7.3）遵循EePRs，ωteω（），)≤EePRs，ωteω（），)+（1+T）ρkeω-eωkt，s. 把上母带过∈Ts（n）yieldsthat sup∈Ts（n）EePRs，ωteω（），)≤ sup∈Ts（n）EePRs，ωteω（），)+（1+T）ρkeω- eωkt，T.

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2022-5-8 11:25:54

交换eω和eω的角色表明映射eω→ sup∈Ts（n）EePRs，ωteω（），)在标准kkT下是连续的，因此为FtT-可测量的接下来，让我们证明（2.8）的两个边都是有限的：让A∈Fts，τ∈Tts（n）和j=1，··，λ。通过（2.5）和（2.6），EbPA.∩AjRt，ωτ, 新泽西州≤EbPhRt，ωτ, 新泽西州我≤ EbPZτ∧njt | gt，ωs | ds+ψt，ωτ∧新泽西州≤EbPZTt | gt，ωs | ds+ψt，ω*< ∞.另一方面，在给定eω的情况下，鲁棒Dynkin对策12∈A.∩ Ajand∈Ts（n），在（7.3）中取（eω，eω）=（eω，eωj），我们可以从（2.5）和（2.6）再次推断：EPjRs，ωteω（），)≤EPjhRs，ωteωj（，)i+（1+T）ρkeω-eωjkt，s≤EPj中兴通讯gs，ωteωjrdr+ψs，ωteωj*+（1+T）ρ（δ）：=αj<∞.接下来就是这一步{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（），)+Zstgt，ωr（eω）dr≤EPA.∩AjZTtgt，ωr博士+αjP（A）∩（Aj）<∞,除此之外{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（），)+Zstgt，ωr（eω）dr≥-EPA.∩AjZTtgt，ωr博士-αjP（A）∩Aj）>-∞.在j上总结两者∈{1，··，λ}表明（2.8）的右侧是有限的。3） [5]中备注3.3（2）的证据表明，（2.9）满足（P3）（i）和（ii）：bP（A∩A） =P（A）∩ A） ,，A.∈FtT和BP（A∩Aj）=P（A）∩ Aj），j=1，··，λ，A.∈Fts。为了让BP满意（2.8），让我们∈ N∪ {∞} 和 ∈ 我们出发了nj:=（ts），j=1，··，λ，属于Ttsby（1.3）。让我们∈Ftsandτ∈Tts（n）。给定eω∈ Ohmt、位置1.1（2）表明τs，eω∈ Ts（n）。自从F-g和（1.8）的适应性意味着thatgr（ωTOhmt） =gr（ω），R∈ [0，t]和gr(ω teω）sOhms= gr（ω）teω），R∈ [0，s]，（7.4）我们从（2.3）中看到，对于任何bω∈ OhmsRt，ω（τ），（新泽西州）s、 eω（bω）=Rt，ωτ, 新泽西州（eω）sbω）=Rt、 τ（eω）sbω），πts（eω）sbω）, ω t（eω）sbω）=Rs、 τs，eω（bω），（bω），（ω）teω）sbω+Zstgr(ω teω）sbω博士=Rs，ωteω（τs，eω，)（bω）+Zstgr（ω）teω）dr.（7.5）作者L emma 1.1，（A∩ Aj）s，eω=Ohms（分别=) 如果eω∈ A.∩Aj（分别为/∈ A.∩ Aj）。

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可人4

2022-5-8 11:25:58

然后（7.5）导致EBPA.∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）=λXj′=1EP{eω∈Aj′}EPj′hA.∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）s、 eωi=λXj′=1EP{eω∈A.∩Aj}{eω∈Aj′}EPj′hRt，ω（τ），（新泽西州）s、 eωi=EP{eω∈A.∩Aj}EPjRs，ωteωτs，eω，+Zstgt，ωr（eω）dr#≤ EP{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（），)+Zstgt，ωr（eω）dr.对j求和∈{1，··，λ}产生（2.8）。（3.3）的证明：L et（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 自英国《金融时报》以来-Lt，Utand（1.8）的可测性表明Lt，ωt（eω）=Lt（ωteω）=Lt（ω）和Ut，ωt（eω）=Ut（ωteω）=Ut（ω）， eω∈ Ohmt、（7.6）它适用于任何τ∈Tt（n）Rt，ω（τ，t）=1{τ=t}Lt，ωτ+1{t<τ}Ut，ωt=1{τ=t}Lt，ωt+1{t<τ}Ut，ωt≤Ut，ωt=Ut（ω）。SoVnt（ω）≤ infP∈P（t，ω）supτ∈Tt（n）EPRt，ω（τ，t）≤ infP∈P（t，ω）EPUt（ω）= Ut（ω）≤ ψt（ω）。另一方面，自从t∈ Tt（n）和因为Rt，ω（t，γ）=1{t≤γ} 对于任何γ，ωt+1{γ<t}Ut，ωγ=Lt，ωt=Lt（ω）∈Tt，Vnt（ω）≥ infP∈P（t，ω）infγ∈ TtEPRt，ω（t，γ）= infP∈P（t，ω）EPLt（ω）= Lt（ω）≥ -ψt（ω）。备注3.1的证明：修正n∈N∪ {∞}. 让我们∈[0，T]，ω，ω∈Ohm, P∈Ptandτ，γ∈Tt。通过（7.2），EPRt，ω（τ，γ）≤EPRt，ω（τ，γ）+（1+T）ρkω-ωk0，t. 取τ的上确界∈ Tt（n），取γ的最小值∈ t然后对P进行计算∈ptvnt（ω）≤Vnt（ω）+（1+T）ρkω-ωk0，t. 交换ω和ω的r轴，我们得到了每n的ρ=（1+T）ρ的（3.4）∈ N∪ {∞}. 7.2动态规划原理的证明137.2动态规划原理的证明命题3.1的证明：Fix n∈ N∪{∞}, 0≤T≤s≤T和ω∈Ohm.1）当t=s时，因为vn是F-根据备注3.2改编，与（7.6）的类比表明：越南t、 ωt（eω）=Vn（t，ω）teω）=Vnt（ω），eω∈Ohmt、然后呢∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈Tt（n）EPh{τ∧γ<t}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥t}Vntt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPVnt（ω）= Vnt（ω）。2）为了证明（3.5）对于t<s的情况，我们将粘贴局部近似值P-根据（P3）求（Vns）t，ω的极小值，然后进行一些估计。2a）根据标准k·kt，T，自Ohm在可分完备度量空间中，存在一个可数稠密子集bωtjJ∈诺夫OhmT

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2022-5-8 11:26:03

固定ε>0和le tδ∈Q+满足ρ（δ）∨bρ（δ）∨（1+T）ρ（δ）<ε/5. 让j∈N.By（1.4），Aj:=Osδ（bωtj）∪j′<jOsδ（bωtj′）∈Fts。我们可以找到一件睡衣∈P（s，ω）tbωtj）和aγj∈tsvns（ω）tbωtj）≥ γ干扰素∈ Tssupτ∈Ts（n）EPjRs，ωtbωtj（τ，γ）-ε ≥ supτ∈Ts（n）EPjRs，ωtbωtj（τ，γj）-ε. （7.7）给定eω∈ Osδ（bωtj），模拟y到（7.3）表明，对于任何τ∈ Ts（n）Rs，ωteω（τ，γj）-Rs，ωtbωtj（τ，γj）≤（1+T）ρkeω-bωtjkt，s≤（1+T）ρ（δ）≤ε、所以EPjRs，ωteω（τ，γj）≤EPjRs，ωtbωtj（τ，γj）+ε/5. τ上的taking上确界∈Ts（n），我们从（7.7）和（3.4）中得出∈Ts（n）EPjRs，ωteω（τ，γj）≤ supτ∈Ts（n）EPjRs，ωtbωtj（τ，γj）+ε≤Vnsωtbωtj+ε≤Vns（ω）teω）+ρkωteω-ωtbωtjk0，s+ε=（Vns）t，ω（eω）+ρkeω-bωtjkt，s+ε≤（Vns）t，ω（eω）+ρ（δ）+ε≤（Vns）t，ω（eω）+ε。（7.8）接下来，Fix P∈ P（t，ω），λ∈ N和letbPλ是P（t，ω）在（P3）中的概率（Aj，δj，eωj，Pj）λj=1=（Aj，δ，bωtj，Pj）λj=1和A：=λ∪j=1AjC∈Fts。那么我们有ebpλ[ξ]=EP[ξ]，ξ ∈LFts，bPλ∩LFts，PEbPλ[1Aξ]=EP[1Aξ]，ξ ∈LFtT，bPλ∩LFtT，P. （7.9）此外，根据（2.8）和（7.8），存在新泽西州∈Tts，j=1，··，λ，对于任何∈Ftsandτ∈Tts（n）λXj=1EbPλA.∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）≤λXj=1EP{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（，γj）+Zstgt，ωr（eω）dr+ bρ（δ）≤ EPA.∩交流电（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+ ε. （7.10）2b）现在，让我们∈t和τ∈Tt（n）。用A={τ应用（7.10）∧γ ≥s}∈Fts，可以证明λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）≤ EP{τ ∧γ≥s}∩交流电（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+ ε. （7.11*）我们用{nj}λj=1形成新的Ft-停止时间bγλ：=1{γ<s}γ+1{γ≥s}Aγ+λXj=1Aj新泽西州.

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2022-5-8 11:26:07

（7.12*）自bγλ起≥s> {γ上的τ≥s}∩{τ<s}，（2.2）表明{τ∧γ<s}Rt，ω（τ，bγλ）=1{γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{γ≥s}∩{τ<s}Zτtgt，ωsds+Lt，ωτ=1{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）∈Fts。鲁棒Dynkin对策14那么我们可以从m（7.9），（7.11），（2.5）和（3.3）中推导出ebpλRt，ω（τ，bγλ）=EbPλ(1{τ ∧γ<s}+1{τ∧γ≥s}∩A） Rt，ω（τ，γ）+λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）≤ EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+1{τ ∧γ≥s}∩A.Rt，ω（τ，γ）-（Vns）t，ω-Zstgt，ωrdr+ε≤ EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+1AZTtgt，ωrdr+2ψt，ω*+ε.取τ的上确界∈Tt（n）产生vnt（ω）≤ supτ∈Tt（n）EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+2EPA.ZTtgt，ωrdr+ψt，ω*+ε.然后对γ进行估算∈t在右边，我们得到vnt（ω）≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈Tt（n）EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+2EPλ∪j=1AjCZTtgt，ωrdr+ψt，ω*+ε.自从∪J∈NAj=∪J∈NOsδ（bωtj） ∪J∈非δ（bωtj）=Ohm坦辛塞普ZTtgt，ωrdr+ψt，ω*<∞ （7.13）乘以（2.6），λ→ ∞, 从支配收敛定理可以推导出vnt（ω）≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈Tt（n）EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+ ε.最终，对P∈ P（t，ω）在右边，然后让ε→ 0收益率（3.5）。命题3.2的证明：设0≤T≤s≤T和ω∈Ohm. 对于给定的P，必须显示∈P（t，ω）γ∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）≥ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr. （7.14）固定ε>0。存在一个bγ=bγ（ε）∈ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，bγ）≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）+ ε/5. （7.15）1）集bγ′：=bγ∨s∈Tts。在第一步中，我们使用TSA和命题1.2的“稠密”可数子集来表示vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ esssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts+ε、 P-a、美国。

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2022-5-8 11:26:11

（7.16）与[5，命题4.1]的证明一样见其中第（2A）和（2c）部分, 对于任意δ>0，ζ，我们可以构造一个稠密的可数子集Γ∈ 赞德普∈ 附言{n}n∈NΓ以至于limn→∞↓ n（bω）=ζ（bω）， bω∈Ohm沙{n6=ζn}<δ，N∈N、（7.17）式中ζN:=P2nT我=2ns{i2-N≤ζ<（i+1）2-n}i+1n∧T∈Ts.自ζ（πTs）∈tts对于任何ζ∈Tsby（1.3），除P外，它保持不变-空集Rt，ωζ（πts），bγ′Fts≤esssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts, ζ ∈ Γ . （7.18）7.2命题1.1（2）对动态规划原理的证明，γeω：=（bγ′）s，eω∈根据（1.9），存在一个P-对于任何eω∈欧洲议会Rt，ωζ（πts），bγ′Fts（eω）=EPs，eωhRt，ω（ζ（πts），bγ′）s、 eωi=EPs，eωRs，ωteω（ζ，γeω）+Zstgt，ωr（eω）dr，ζ ∈ Γ. （7.19）这里我们用n来比喻（7.5）Rt，ω（ζ（πts），bγ′）s、 eω=Rs，ωteωζ、 γeω+Rstgt，ωr（eω）dr.By（P2），存在一个扩展(Ohmt、 F′，P′）的(Ohmt、 FtT，P）和Ohm′∈ F′与P′的结合(Ohm′) = 1使得对于任何eω∈ Ohm′,Ps，eω∈ P（s，ω）teω）。让我们成为FtT吧-含N的可测集∪eN和P（N）=0。现在，fix eω∈ Ohm′∩北卡罗来纳州∈ F′。存在ζeω∈ tspζ∈TsEPs，eωRs，ωteω（ζ，γeω）≤EPs，eωRs，ωteωζeω，γeω+ε/5 . （7.20）作为Ps，eω∈P（s，ω）teω，（2.6）表示eps，eω中兴通讯gs，ωteωrdr+ψs，ωteω*<∞. （7.21）对于某些δeω>0，EPs，eωA.中兴通讯gs，ωteωrdr+ψs，ωteω*< ε/5适用于任何A∈ FsTwith Ps，eω（A）<δeω。

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2022-5-8 11:26:14

（7.22）使用（δ，ζ，eP）涂抹（7.17）=δeω，ζeω，Ps，eω, 存在keωK∈NΓ这样limk→∞↓ keω（bω）=ζeω（bω），bω∈Ohm以及Ps，eω{keω6=ζkeω}<δeω，K∈N、式中ζkeω：=P2kT我=2ks{i2-K≤ζeω<（i+1）2-k}i+1k∧T∈T.给定k∈N、（7.22）和（2.5）表示eps，eωhRs，ωteωζkeω，γeω-Rs，ωteωkeω，γeωi=EPs，eωh{ζkeω6=keω}Rs，ωteωζkeω，γeω-Rs，ωteωkeω，γeω我≤ 2EPs，eω{ζkeω6=keω}中兴通讯gs，ωteωrdr+ψs，ωteω*<ε、再加上（7.18）和（7.19）表明eps，eωRs，ωteωζkeω，γeω<EPs，eωRs，ωteωkeω，γeω+ε≤esssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts（eω）-Zstgt，ωr（eω）dr+ε。我们可以从mζeω=limk→∞↓ ζkeω与L thats的连续性ωteω（ζeω，γeω）≤ 林克→∞Rs，ωteω（ζkeω，γeω），（7.23*）（2.5），（7.21），支配收敛定理和（7.20）暗示vt，ωs（eω）=Vs（ωteω）≤ supζ∈TsEPs，eωRs，ωteω（ζ，γeω）≤EPs，eωRs，ωteωζeω，γeω+ε/5=limk→∞EPs，eωRs，ωteωζkeω，γeω+ε/5 ≤esss upτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts（eω）-Zstgt，ωr（eω）dr+ε， eω∈Ohm′∩Nc，这显示Ohm′∩北卡罗来纳州A:=nVt，ωs+Rstgt，ωrdr≤ es-ssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts+εo.如注释3.2和命题1.1（1）所示，意味着vt，ωs+Rstgt，ωrdr=Vs+Rstgrdrt、 ω∈Fts，我们看到∈因此P（A）=P′（A）≥P′Ohm′∩ 北卡罗来纳州= 1.因此，（7.16）成立。此外，我们可以找到一个序列e{τn}n∈Nin Ttssuch thatsupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts= 画→∞↑ EPRt，ω（τn，bγ′）Fts, P-a、下一步，让τ∈T和n∈N

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2022-5-8 11:26:18

因为τn:=1{τ∧bγ<s}τ+1{τ∧bγ≥s} τn（7.25*）定义了一英尺-停车时间，（7.16）和（3.3）表明{τ ∧bγ<s}Rt，ω（τ，bγ）+1{τ∧bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ EPh{τ∧bγ<s}Rt，ω（τn，bγ）+1An∩{τ ∧bγ≥s}EPRt，ω（τn，bγ′）Fts+εi+αn，（7.26），其中An:=nesssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts<EPRt，ω（τn，bγ′）Fts+ε/5o∈Ftsandαn:=EPhAcnRTt | gt，ωr | dr+ψt，ω*i、此外，我们可以从（2.5）thatEPhAn∩{τ ∧bγ≥s} EPRt，ω（τn，bγ′）Ftsi=以弗所一∩{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ′）Ftsi=EP一∩{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ）=EP{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ）-1Acn∩{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ）≤EP{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ）+αn，它与（7.26）和（7.15）一起导致{τ ∧bγ<s}Rt，ω（τ，bγ）+1{τ∧bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ EPRt，ω（τn，bγ）+2αn+ε≤ supτ∈TtEPRt，ω（τ，bγ）+2αn+ε≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）+ 2αn+ε。自从limn→∞↑ P（An）=1乘以（7.24），我们从（7.13）和limn的支配收敛定理中可以看出→∞↓ αn=0和thusEP{τ ∧bγ<s}Rt，ω（τ，bγ）+1{τ∧bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）+ ε, τ ∈Tt。（7.27）取τ的上确界∈t在左手边，然后让ε→0导致（7.14）。命题3.3的证明：让n∈ N、 t∈ [0，T]，α>0和ω∈ Otα（0）。我们∈P（t，ω）和γ，τ∈Tt。在（1.5）中设置{tni}ni=0as，并定义τn:=1{τ=t}t+nXi=1{tni-1<τ ≤tni}tni∈Tt（n）。我们可以推导出Rt，ω（τ，γ）-Rt，ω（τn，γ）=-Zτn∧γτ ∧γgt，ωrdr+1{τ≤γ}Lt，ωτ-1{τn≤γ} Lt，ωτn-1{γ<τn}Ut，ωγ+1{γ<τ}（Ut，ωγ-Ut，ωγ=-Zτn∧γτ ∧γgt，ωrdr+nXi=1{tni-1<τ ≤tni≤γ}Lt，ωτ-Lt，ωtni+1{tni-1<τ ≤γ<tni}Lt，ωτ-Ut，ωγ）. （7.28）给定i=1，··，2n，（1.6）表明对于任何eω∈ {tni-1< τ ≤ tni≤ γ}Lt，ωτ（eω）-Lt，ωtni（eω）=Lτ（eω），ωteω-Ltni，ωteω≤ρtni-τ（eω）+ 苏普∈[0，T](ωteω）R∧τ（eω）-(ωteω）（r）∧（tni）≤ρ-n+supr∈[τ（eω），tni]eω（r）-eω（τ（eω））≤ρ-n+supτ（eω）≤R≤（τ（eω）+2-n）∧TBtr（eω）-Btτ（eω）.

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