具有泊松随机干预时间的Dynkin对策

2022-6-8 18:59:29

具有泊松随机干预时间的DYNKIN对策*梁葛春，孙浩东+摘要。本文介绍了一类新的Dynkin对策，其中允许两个玩家在一系列外生泊松到达时间内做出他们的s-Toping决策。价值函数和相关的最优停车策略的特征是后向随机微分方程的解。本文进一步为博弈提供了一种复制策略，并应用该模型研究了可转换债券的最优转换和赎回策略，以及当泊松强度趋于一致时的渐近性。关键词。约束Dynkin博弈，惩罚BSDE，最优停止策略，复制策略，可转换债券。AMS科目分类。60G40、91A05、91G80、93E20.1。介绍Dynkin游戏是关于停止时间的游戏，两个玩家决定他们的最佳停止时间作为他们的策略。该游戏最早由Dynkin（14）引入，而Later在20世纪70年代由Neveu（28）推广。在这个游戏中，两个玩家观察两个随机过程，比如L和U，他们的目标是最大化/最小化支付的期望值R（σ，τ）=Lτ{τ≤σ} +Uσ{σ<τ}分别超过停止时间τ和σ。在离散时间设置中，假设U≥ 五十、 Neveu证明了博弈值及其关联最优策略的存在性。自那以后，Dynkin游戏有了长足的发展。B ismut【6】、Alario Nazaret et al【1】、Lepeltier and Maing uene au【21】和Morimoto【27】等人开发了校正积水连续时间模型。为了缓解条件U≥ 五十、 Yasuda[36]提出将策略类推广到随机停止时间，并证明了在merelyan可积条件下对策值的存在性。

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2022-6-8 18:59:33

Rosemberg等人【30】、Touzi和Vielle【34】以及Laraki和Solan【19】进一步扩展了他的工作方向。如果游戏中的两个玩家具有不对称的支付，那么这就产生了一个非零和Dynkin游戏。例如，见Hamadene和Zhang【16】以及最近的Angelis等人【12】，其中有更多参考文献。如果玩家对自己的概率模型模棱两可，那么在Bayraktarand Yao[3]中可以找到一个强大的Dynkin游戏版本。上述所有工作中的设置要么是连续时间，其中停止时间在某个时间间隔内取任何值，要么是离散时间，其中停止时间仅取预先指定的时间网格中的值。本文考虑了连续时间和离散时间的混合，并引入了一种新型的Dynkin对策，其中两个参与者都可以在由非齐次泊松过程生成的随机时间序列上停止，作为信号过程。我们称这种游戏为动态游戏。潜在的泊松过程可被视为对参与者停止能力的外部约束，因此它可能代表流动性效应，即泊松效应*这项工作得到了华威大学启动研究基金和自然科学基金11771158号的部分支持。+英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL。电子邮件地址：g。liang@warwick.ac.uk; h、太阳。9@warwick.ac.uk2梁葛春和孙浩东指出了潜在随机过程可用于停止的时间。

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2022-6-8 18:59:37

此外，泊松过程也可以看作是一种信息约束。玩家可以随时做出停止决策，但他们只能在泊松时间观察潜在的随机过程。我们的第一个主要结果是定理2。3，它描述了受训练的Dynkin对策的价值及其相关的最优停止策略，即惩罚后向随机微分方程（BSDE）的解。latteris广泛用于近似具有双o形障碍的反射BSDE的解和相应的连续时间Dynkin对策。约束Dynkin对策的主要思想是引入一系列辅助对策（见（3.9）-（3.10）），标准动态规划原则适用于这些辅助对策。此外，从惩罚的BSDE收敛到反映的BSDE（例如，[11]和[15]）以及约束Dynkingame的惩罚B SDE特征（2.6），我们还与连续时间的标准Dynkin对策建立了联系。也就是说，当泊松强度趋于一致时，约束Dynkin对策的值将收敛到其连续时间对应的值。我们的第二个主要结果是关于constraine d Dynkin博弈的复制（见定理5.1）。这适用于金融中的套期保值问题。在泊松时间最优停止的现有财务应用文献中，绝大多数论文关注风险中性估值，甚至没有提及对冲问题（参见[1 3]和[20]）。这正是缺乏基础的原因，因为众所周知，支持风险中性估值的主要论点是对冲策略的存在。我们通过为受约束的Dynkin博弈构造一个复制策略来解决这个问题（其中特别包括最优停止情况）。

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2022-6-8 18:59:40

对于这种复制问题，一个新元素是泊松过程产生的跳跃风险。为了对冲这种跳跃风险，我们引入了由泊松过程的跳跃时间生成的pricingprocess。然后，我们为一系列从不同泊松到达时间开始的约束Dynkin对策递归构建复制策略，对于每个对策，复制策略通过两个线性BSDE构建。第一个BSDE用于在下一个跳跃时间之前复制游戏的支付，第二个方程式用于在该跳跃时间之后复制支付。基于上述风险中性价值背后的复制策略，我们将约束Dynkin博弈应用于可转换债券的研究。在可转换债券中，债券持有人决定是保留债券以收集息票，还是将其转换为公司股票。她将选择一种转换策略来最大化债券价值。另一方面，发行公司有权赎回债券，并可能通过最小化债券价值来实现公司股权价值的最大化。这将创建一个两人零和游戏。传统上，可转换债券模型常常假设债券持有人和公司都可以在任何适合公司基本面（如股票价格）的停止时间停止。事实上，可能存在一些清算约束作为外部冲击，双方只有在这种冲击到来时才做出决定。我们将这种清算冲击建模为外生泊松过程的到达时间，因此可转换债券模型属于约束Dynkin博弈的框架。

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2022-6-8 18:59:44

类似的想法首次出现在DEBT运行问题的建模中（见[23]），该问题可以表示为具有泊松n到达时间的最优停止问题。此外，在马尔可夫环境下，我们明确推导了债券持有人和企业的最优stoppingdynkin对策，其中Poisson随机干预时间为3。我们表明，如果初始止损价格不太高（否则游戏将在第一个泊松到达时间停止），两个参与者的最优止损规则取决于组合利率c、股息率q、利率r和退保价格K之间的关系。对于企业，其最佳止损策略是要么尽快收回债券（ifc≥ rK）或尽可能推迟债券的调用时间（如果c<rK）。相反，投资者的最优止损策略取决于NC和qK之间的关系。如果c>qK，投资者将尽可能延迟转换时间；如果是c≤ 她的转换策略由一个最优转换边界决定，后者通过求解自由边界问题得到。转向文献，Dupuis和Wang[13]引入了限制止损时间的最优止损问题，他们将其用于建模在外生泊松到达时间行使的永久美式期权。关于这类最优停止问题的进一步扩展，参见alsoLempa【20】和Menaldi与Robin【25】。另一方面，梁[22]将此类最优停止问题与惩罚BSDE联系起来。Liang和Wei【24】研究了相应的最优切换（脉冲控制）问题，Menaldi和Robin【26】最近研究了更一般的信号时间和状态空间。可转换债券的研究可以追溯到Brennan和Schwartz[7]andIngersoll[17]。

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2022-6-8 18:59:47

然而，Sirbu等人【31】首先分析了永续可转换债券的最佳策略（参见Sirbu和Shreve【32】中的有限水平对应项）。他将问题从一个Dynkin博弈简化为一个最优停止问题，并讨论了何时调用pre c edes c onversion，何时调用pre c edes c onversion，反之亦然。自那以后，可转换债券的几个更现实的特征被考虑在内。例如，Bielecki等人[4]考虑了将可转换债券分解为债券成分和期权成分的问题。Crepey和Rahal[10]研究了具有赎回保护的可转换债券，这通常是路径依赖的。Chen等人[9]考虑了可转换债券的税收收益和破产成本。为了进行完整的文献综述，我们参考了上述pap以及其中的参考资料。本文的组织结构如下。第2节包含问题公式和主要结果，第3节提供了证明。在第4节中，我们将与标准Dynkin游戏建立联系。第5节是关于受约束Dynkingame的复制。在第6节中，我们应用博弈中的约束和动态来研究马尔可夫环境下的可转换债券，并推导出各种情况下的显式最优停止策略和相应的自由边界。第7节对泊松强度变为完整时的博弈值和自由边界进行无符号分析。2、约束Dynkin游戏。Let（Wt）t≥0be在过滤概率s速度上定义的d维标准布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P），其中f是W的最小增强过滤。设{Ti}i≥0be强度为λ且最小增强滤波h={Ht}t的独立泊松过程的到达时间≥0.表示F和H生成的最小过滤，G={Gt}t≥0，即Gt=Ft∨Ht。

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2022-6-8 18:59:51

在不损失g通性的情况下，我们还假设T=0和T∞= ∞.设T是表示游戏结束时间的单位停止时间，ξ是表示相应支付的FT可测量随机变量。定义随机变量M：Ohm →n确保tm是T之后的下一个泊松到达时间，即M（ω）=Pi≥1i{Ti-1(ω)≤T（ω）<Ti（ω）}。4葛春亮、孙浩东任意整数i≥ 0，定义控制设置rti（λ）={G-停止时间τ，对于τ（ω）=TN（ω），其中i≤ N≤ M（ω）}。下标Tiin RTi（λ）表示允许选择的最小停止时间，λ表示潜在泊松过程的强度。考虑以下约束Dynkin博弈，其中两个参与者选择各自的停止时间σ，τ∈ RT（λ），以最小化/最大化所发现付款的预期值f（2.1）R（σ，τ）=Zσ∧τ ∧Te公司-rsfsds+e-rTξ{σ∧τ ≥T}+e-rτLτ{τ<T，τ≤σ} +e-rσUσ{σ<T，σ<τ}，其中r>0是贴现率，而f，作为一个渐进可测量过程的实际值，是持续的支付。如果σ恰好发生，则最终支付为U；如果τ恰好发生，则最终支付为L；如果σ和τ同时发生，则最终支付为ξ；否则，则最终支付为ξ，其中L和uar是渐进可测量过程的两个实际值。让我们定义约束Dynkin对策（2.2）vλ=infσ的上下值∈RT（λ）supτ∈RT（λ）E[R（σ，τ）]，（2.3）vλ=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）E[R（σ，τ）]。如果vλ=vλ=vλ=vλ，则游戏（2.2）-（2.3）的值为vλ。如果存在鞍点（σ*, τ*) ∈ RT（λ）×RT（λ），使得E[R（σ*, τ)] ≤E[R（σ*, τ*)] ≤E[R（σ，τ*)] 对于每个（σ，τ）∈ RT（λ）×RT（λ），则此对策的值存在并等于vλ=E[R（σ*, τ*)] .上述受约束的Dynkin游戏有两个新特性。首先，存在一个控制约束，即只允许在泊松到达时间停止。第二，球员不允许在最初的开始时间停止比赛。

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2022-6-8 18:59:54

相反，它们只允许从第一个泊松时间开始停止。我们还考虑了与上述约束Dyknin游戏相关的辅助游戏，将（2.2）-（2.3）中的控制集替换为RT（λ），因此玩家也可以在初始开始时间停止。即（2.4）^vλ=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）E[R（σ，τ）]，（2.5）^vλ=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）E[R（σ，τ）]。请注意，（2.4）-（2.5）和（2.2）-（2.3）之间的区别在于，前者允许在初始启动时间T=0时停止，而后者则不允许。换言之，（2.4）-（2.5）中的玩家首先做出停止决策，然后继续前进，而（2.2）-（2.3）中的玩家则首先前进，然后做出决策。我们将证明，如果对策（2.2）-（2.3）的值为vλ，那么（2.4）-（2.5）的值存在，并且由^vλ=min{U，max{vλ，L}}给出，因此关键是求解对策（2.2）-（2.3）。泊松随机干预次数为52.1的Dynkin对策。主要结果。为了解决上述约束Dynkin对策，我们引入了在随机视界[0，T]上定义的以下BSD:（2.6）VλT∧T=ξ+ZTt∧Thfs+λLs公司- Vλs+- λVλs- 我们+- rVλSID-ZTt公司∧t的TZλsdwst≥ 请注意，上述BSDE（2.6）通常用于构建具有两个反射棒r和U的反射BSDE的解决方案（参见（4.3））。直觉上，当NVλ低于L（或高于U）时，将有一个惩罚λ（L- Vλ）（o或λ（Vλ- U），因此B SDE（2.6）也被视为惩罚方程式。假设2.1。对于t∈ [0，T]，Lt≤ 此外，a.s.（i）当T是无限制的停止时间时，运行支付f和终端支付L、U和ξ都是有界的；（ii）当T是有界停止时间时，f、L、U和ξ是平方可积的，即[sup0≤t型≤T | Xt |]<∞ 对于X=f、L、U和ξ。假设L≤ U对游戏价值的存在至关重要。

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2022-6-8 18:59:57

另一方面，条件（i）和（ii）是为了保证BSDE（2.6）的解的存在性和唯一性，而BSDE（2.6）将反过来用于构造博弈值及其相关的最优停止策略。提案2.2。假设假设2.1成立。然后，BSDE（2.6）存在唯一解（V，Z）。此外，（i）当T无界时，V是富足的连续F-适应过程，Z∈ Mloc（0，T；Rd），其中后一个表示所有F-逐步可测过程Z的空间，使得| | Z | | loc：=E“Zt∧T | Zs | ds#<∞ 对于t≥ 0;（ii）当T有界时，V是一个连续的s平方可积F-适应过程，Z∈ M（0，T；Rd）。pro of基本上遵循了[29]中的T heorem 4.1（对于有界T）和[8]中的第5节（对于无界T），因此我们省略了它的证明，并参考了[29]和[8]了解详细信息。我们现在可以陈述本文的主要结果。定理2.3。假设假设2.1成立。设（Vλ，Zλ）为BSDE（2.6）的唯一解。然后，约束Dynkin对策（2.2）-（2.3）的值存在，并由vλ=vλ=vλ=vλ=vλ给出。相应的最优停止策略由（2.7）给出σ*T=inf{TN≥ T： VλTN≥ UTN}∧ TM；τ*T=inf{TN≥ T： VλTN≤ LTN}∧ 商标。此外，Dynkin对策（2.4）-（2.5）的值也存在，并由^vλ=min{U，max{vλ，L}给出，以及相关的最优停止策略σ*Tandτ*T、 2.2。示例。定理2.3以一种统一的方式解决了一类广泛的问题，涵盖了从马尔可夫到非马尔可夫的情况，以及从有限到无限的范围。在一维齐次马尔可夫环境中，通常存在阈值策略。为此，我们将在第6节讨论一个具体的可转换债券示例。

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2022-6-8 19:00:00

在本节的其余部分中，我们列出了几个路径相关的示例，这些示例很难在马尔科夫框架下处理（至少需要一个案例进行研究），但被定理2.3涵盖。（i）路径依赖型支付L和U是固定的，因此它是一个持续的停止时间，s是一个适应F的一维正扩散过程。对于δ>0,6，葛春亮和孙浩东考虑在s上写一个以色列期权，到期日为t，持有人可以行使权利获得正常索赔，但作者因提前取消合同而受到δs的处罚（见[18]）。付款L和U的形式为Lt=max{m，s*t} Ut=最大{m，S*t} +δstm>砂S*t=sup0≤u≤tSu。这就是所谓的俄罗斯选择。对于Lt=RtSudu和Ut=RtSudu+δSt，它被称为以色列综合方案（见【2】）。在假设2.1中关于S的轻度可积性假设下，定理2.3表明，两个以色列选项的值都存在，并且关联的最优策略可以通过（2.6）的解来表征。（ii）路径相关停止时间T。停车时间在保险中被广泛用作各种风险的指标。设我们是一个适用于F的一维正扩散过程。我们可以将以下停止时间作为游戏的结束时间：下降停止时间T=inf{T≥ 0：秒*t型- St公司≥ m} 对于m≥ 0;占用停止时间T=inf{T≥ m：Rt{Su∈A} 杜邦≥ m}表示A R+。请注意，与标准首次通过时间不同（参见第6节中的θλ），这两种依赖路径的停车时间都需要在马尔可夫框架下进行定制分析，但可以由定理2.3以统一的方式涵盖。定理2.3的证明。我们首先给出了约束Dynkin对策（2.2）-（2.3）的等价公式。给定到达时间Ti，确定前Tiσ-场GTi=A.∈_s≥0Gs：A∩ {Ti≤ s}∈ Gsfor s公司≥ 0和▄G={GTi}i≥0

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2022-6-8 19:00:04

显然，约束丁金对策的上下值可以重写为（3.1）vλ=infNσ∈N（λ）supNτ∈N（λ）E[R（TNσ，TNτ）]，（3.2）vλ=supNτ∈N（λ）infNσ∈N（λ）E[R（TNσ，TNτ）]，其中nn（λ）=NG-N的停止时间N≤ N（ω）≤ M（ω）o。Nn（λ）中的下标n表示允许选择的最小停止时间，λ表示基础过滤的强度G。允许两个参与者在整数n，n+1，··，M的序列处停止。我们还观察到一对过程Vλ，Zλ解（2.6），当且仅当校正折扣过程（Qλt，~Zλt）=（e-rtVλt，e-rtZλt），对于t∈ [0，T]，求解以下BSDE（3.3）QλT∧T=△ξ+ZTt∧Tfs+λLs- Qλs+- λQλs-美国+ds公司-ZTt公司∧T▄ZλsdWs，其中▄ξ=e-rTξ和￠φs=e-rsφsforφ=f，L，U。因此，为了证明定理2.3，等价于显示t Qλ=Qλ=Qλ，其中（3.4）Qλ：=infNσ∈N（λ）supNτ∈N（λ）EhR（TNσ，TNτ）i，具有泊松随机干预时间的Dynkin对策7（3.5）qλ：=supNτ∈N（λ）infNσ∈N（λ）Eh▄R（TNσ，TNτ）i，其中▄R（σ，τ）=Zσ∧τ ∧T▄fsds+▄ξ{σ∧τ ≥T}+~Lτ{τ<T，τ≤σ} +~Uσ{σ<T，σ<τ}，最优停车策略由（3.6）给出Nσ，*= inf{N≥ 1:QλTN≥UTN}∧ M、 Nτ，*= inf{N≥ 1:QλTN≤LTN}∧ M、为了证明上述定理，我们从下面的引理开始。引理3.1。假设假设2.1成立。那么，对于任何1≤ n≤ M、时间Tn时BSDE（3.3）的解-1是递归方程qλTn的唯一解-1=E“ZTn∧TTn公司-1▄fsds+▄ξ{Tn>T}（3.7）+{QλTn≥UTn}▄UTn+{QλTn≤LTn}LTn+{LTn<QλTn<ntn}QλTn{Tn≤T}GTn公司-1i。证据将It^o公式应用于αtQλt，其中αt=e-λt，我们得到，对于t∈ [0，T]，αtQλT=αtQλT+ZTtαshfs+λfs（Qλs）ids-ZTtαs▄ZλsdWs，其中Fs（Qλs）：=Qλs+（▄Ls- Qλs）+- （Qλs-美国）+。

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2022-6-8 19:00:06

因此，QλTn-1=αTαTn-1ξ+ZTTn-1αsαTn-1hfs+λfs（Qλs）ids-ZTTn公司-1αsαTn-1ZλsdWs=E“E-λ（T-田纳西州-1） Иξ+ZTTn-1e级-λ（s-田纳西州-1） hfs+λfs（Qλs）idsGTn公司-1#.另一方面，我们使用条件密度λe-λ（x-田纳西州-1） Tn的dx计算（3.7）的右侧：E“ZTn∧TTn公司-1FSDGTn公司-1#=E“E-λ（T-田纳西州-1） ZTTn公司-1fsds+ZTTn-1λe-λ（x-田纳西州-1） ZxTn公司-1▄fsds dxGTn公司-1#=E“E-λ（T-田纳西州-1） ZTTn公司-1fsds+ZTTn-1fsZTsλe-λ（x-田纳西州-1） dx dsGTn公司-1#=E“ZTTn-1e级-λ（s-田纳西州-1） FSDGTn公司-1#，8葛春亮和孙浩东，我们在第二个等式中使用了分部积分。类似地，我们有ehξ{Tn>T}GTn公司-1i=Ehe-λ（T-田纳西州-1)~ξGTn公司-1i，安第斯{QλTn≥UTn}▄UTn+{QλTn≤LTn}LTn+{LTn<QλTn<ntn}QλTn{Tn≤T}GTn公司-1i=E“ZTTn-1λe-λ（s-田纳西州-1){Qλs≥Us}Us+{Qλs≤Ls}Ls+{Ls<Qλs<Us}Qλsds公司GTn公司-1#.因此（3.7）成立。由于方程（3.7）显然允许唯一解，QλTn-1是（3.7）中针对1的唯一解决方案≤ n≤ M、作为引理3.1的直接消耗，如果我们定义^Qλ=min{U，max{Qλ，{L}}，那么通过≤ U（soL≤U），^Qλ={Qλ≥U}U+{Qλ≤~L}~L+{L<Qλ<U}Qλ，因此，^Qλ满足以下递归方程：对于1≤ n≤ M，^QλTn-1（3.8）=最小值（≈UTn-1，最大值（E“ZTn∧TTn公司-1▄fsds+▄ξ{Tn>T}+^QλTn{Tn≤T}GTn公司-1#，#LTn-1），这也承认了一个独特的解，因为我们可以用草书的方式向后计算它的解。

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2022-6-8 19:00:10

我们证明了^QλTn-1是另一个受约束的Dynkin游戏的价值。引入辅助约束Dynkin对策的上下值为（3.9）^qλTn-1=ess infNσ∈Nn型-1（λ）ess supNτ∈Nn型-1（λ）EhRn-1（TNσ，TNτ）| GTn-1i，（3.10）^qλTn-1=ess supNτ∈Nn型-1（λ）ess infNσ∈Nn型-1（λ）EhRn-1（TNσ，TNτ）| GTn-1i，其中▄Rn-1（σ，τ）=Zσ∧τ ∧TTn公司-1.∧T▄fsds+▄ξ{σ∧τ ≥T}+~Lτ{τ<T，τ≤σ} +Uσ{σ<T，σ<τ}带＠R（σ，τ）=R（σ，τ），和nn-1（λ）=nG-n的停止时间n- 1.≤ N（ω）≤ M（ω）o.注意，当n=1时，（3.9）-（3.10）对应于辅助Dynkin对策（2.4）-（2.5），它将用于求解原始约束Dynkin对策。辅助博弈与原始博弈的区别在于，泊松随机干预时间为9的初始丁金博弈中的玩家做出停止决策，然后在辅助博弈中前进，而在原始博弈中，他们首先前进，然后做出决策。引理3.2。假设假设2.1成立。那么，对于任何1≤ n≤ M、辅助约束Dynkin对策（3.9）-（3.10）的值存在。其值由^qλTn表示-1，满足递归方程（3.8），即^qλTn-1=最小值（▄UTn-1，最大值（E“ZTn∧TTn公司-1▄fsds+▄ξ{Tn>T}+^qλTn{Tn≤T}GTn公司-1#，#LTn-1)).因此，^qλTn-1=^QλTn-1a。s、（3.11）给出了（3.9）-（3.10）的最佳停车策略^Nσ，*n-1=inf{N≥ n- 1：^qλTN=~UTN}∧ M^Nτ，*n-1=inf{N≥ n- 1：^qλTN=▄LTN}∧ M、证明。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设▄fs=0。第1步。

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2022-6-8 19:00:13

自TM起-1.≤ T<TM，辅助对策的上限值（3.9）等于^qλTn-1=ess infNσ∈Nn型-1（λ）ess supNτ∈Nn型-1（λ）Ehξ{Nσ=Nτ=M}+~LTNτ{N-1.≤Nτ≤M-1，Nτ≤Nσ}+~UTNσ{N-1.≤Nσ≤M-1，Nσ<Nτ}| GTn-1i。我们声称（3.12）^qλTM-1=最小UTM-1，最大值ξ| GTM-1i，~ LTM-1oo，and，对于n- 1.≤ 我≤ M- 2，（3.13）^qλTi=minnUTi，maxnEh^qλTi+1 | GTii，~LTioo。如果（3.12）-（3.13）保持，则^qλTn-1=最小值UTn-1，最大值ξ{n=M}+^qλTn{n≤M-1} | GTn-1i，~ LTn-1oo=最小值UTn-1，最大值ξ{Tn>T}+^qλTn{Tn≤T}| GTn-1i，~ LTn-1oo，这是递归方程（3.8）。同样，我们得到了^qλTn-1也满足执行方程（3.8）。由于（3.8）允许一个唯一的解，很明显，^qλTn-1=^qλTn-1=^qλTn-1=^QλTn-1a。s、第2步。接下来，我们展示（3.12）-（3.13）。确实，因为i=M- 1，^qλTM-1=ess infNσ∈纳米-1（λ）ess supNτ∈纳米-1（λ）Ehξ{Nσ=Nτ=M}+~LTM-1{M-1=Nτ≤Nσ}+~UTM-1{M-1=Nσ<Nτ}| GTM-1i=最小σ∈纳米-1（λ）maxNτ∈纳米-1（λ）nE[￠ξ| GTM-1] {Nσ=Nτ=M}+~LTM-1{M-1=Nτ≤Nσ}+~UTM-1{M-1=Nσ<Nτ}o=minnUTM-1，最大[￠ξ| GTM-1] ，▄LTM-1oo。10梁葛春和孙浩东将军，代表n- 1.≤ 我≤ M- 2，我们有^qλTi=ess infNσ∈Ni（λ）ess supNτ∈Ni（λ）Ehξ{Nσ=Nτ=M}+~LTNτ{i≤Nτ≤M-1，Nτ≤Nσ}+~UTNσ{i≤Nσ≤M-1，Nσ<Nτ}| GTii。对GTi+1取条件期望进一步得到^qλTi=ess infNσ∈Ni（λ）ess supNτ∈Ni（λ）EhLTi{i=Nτ≤Nσ}+~UTi{i=Nσ<Nτ}+Ehξ{Nσ=Nτ=M}+~LTNτ{i+1≤Nτ≤M-1，Nτ≤Nσ}+~UTNσ{i+1≤Nσ≤M-1，Nσ<Nτ}| GTi+1i | GTii=minnUTi，maxnEh^qλTi+1 | GTii，| LTioo，其中第二个等式自操作ess影响σ后成立∈Ni+1（λ）ess supNτ∈Ni+1（λ）和[·| GTi]是可互换的，这将在下一步中得到验证。第3步。在这一步中，我们将显示操作ess infNσ∈Ni+1（λ）ess supNτ∈Ni+1（λ）和[·| GTi]可重新互换，即（3.16）以下保持不变。为此，对于固定i和nσ∈ Ni（λ），我们注意到族（3.14）EhRi（TNσ，TNτ）| GTii，Nτ∈ Ni（λ）是一个递增的有向集。事实上，如果我们选择任意的Nτ，Nτ∈ Ni（λ）和letXj=EhRi（TNσ，TNτj）| GTii，对于j=1，2。

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2022-6-8 19:00:17

然后，确定停止时间NτasNτ=Nτ{X≥十} +Nτ{X<X}，我们有Nτ∈ Ni（λ）andEhRi（TNσ，TNτ）| GTii≥最大{X，X}。同样，对于固定i，我们还有族（3.15）ess supNτ∈Ni（λ）EhRi（TNσ，TNτ）| GTii，Nσ∈ Ni（λ）！是递减有向集。在假设2.1下，很明显，（3.14）和（3.15）都是一致可积的。因此，根据Neveu【28】的命题VI-1-1，我们得到了^qλTi+1GTii=E“ess infNσ∈Ni+1（λ）ess supNτ∈Ni+1（λ）EhRi+1（TNσ，TNτ）| GTi+1iGTi#=ess infNσ∈Ni+1（λ）E“ess supNτ∈Ni+1（λ）EhRi+1（TNσ，TNτ）| GTi+1iGTi#=ess infNσ∈Ni+1（λ）ess supNτ∈Ni+1（λ）EhRi+1（TNσ，TNτ）| GTii。（3.16）步骤4。还有待证明^Nσ，*n-1，^Nτ，*n-1.在（3.11）中，确定了辅助Dynkin游戏（3.9）-（3.10）的最佳停止时间，即。

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2022-6-8 19:00:22

对于每个（Nσ，Nτ）∈泊松随机干预时间为11Nn的Dynkin对策-1（λ）×Nn-1（λ），EhRn-1.T^Nσ，*n-1，TNτ|GTn公司-1i≤EhRn-1.T^Nσ，*n-1，T^Nτ，*n-1.|GTn公司-1i≤EhRn-1.TNσ，T^Nτ，*n-1.|GTn公司-1i。为此，必须证明（i）^qλTm∧^Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.m级≥n-1是▄G-鞅；（二）^qλTm∧^Nσ，*n-1.∧Nτm级≥n-对于任何Nτ，1是▄G-超鞅∈ Nn型-1(λ);（三）^qλTm∧Nσ∧^Nτ，*n-1.m级≥n-1是任意Nσ的▄G-子鞅∈ Nn型-1(λ).的确，我们有^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.GTm公司=EmXj=n-1{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1=j}+{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.≥m+1}^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.GTm公司=mXj=n-1{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1=j}qλTj+{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.≥m+1}Eh^qλTm+1GTmi=mXj=n-1{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1=j}qλTj+{Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1.≥m+1}^qλTm=^qλTm∧^Nσ，*n-1.∧^Nτ，*n-1，其中倒数第二个等式源自以下定义：^Nσ，*n-1，^Nτ，*n-1.在（3.11）中，证明了鞅性质（i）。为了证明超鞅性质（ii），我们注意到^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1.∧NτGTm公司=E^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m}GTm公司=EmXj=n-1{Nσ，*n-1=j}+{Nσ，*n-1.≥m+1}^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m}GTm公司=mXj=n-1{Nσ，*n-1=j}qλTj+{Nσ，*n-1.≥m+1}Eh^qλTm+1GTmi{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m} 。使用^Nσ的定义，*n-1在（3.11）中，我们还发现有eh^qλTm+1GTmi≤ maxnEh^qλTm+1GTmi，~LTmo=^qλTmon{^Nσ，*n-1.≥ m+1}。12梁葛春和孙浩东依次，E^qλT（m+1）∧^Nσ，*n-1.∧NτGTm公司≤mXj=n-1{Nσ，*n-1=j}qλTj+{Nσ，*n-1.≥m+1}^qλTm{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m} =^qλTm∧^Nσ，*n-1{Nτ≥m+1}+^qλT^Nσ，*n-1.∧Nτ{Nτ≤m} =^qλTm∧^Nσ，*n-1.∧Nτ证明了超鞅性质（ii）。同样，子鞅性质（iii）也可以用类似的方法证明，并且完成了引理的证明。我们现在可以证明定理2.3。

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2022-6-8 19:00:25

通过引理3.1和3.2，我们得到qλ=E“ZT∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+^QλT{T≤T}#=E“ZT∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+^qλT{T≤T}#≥EZT公司∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+Eh▄R（T^Nσ，*, TNτ）| GTi{T≤T}（3.17）对于任何Nτ∈ N（λ），其中最后一个不等式来自上鞅性质（ii）。此外，回想一下eh▄R（T^Nσ，*, TNτ）| GTi=E“ZT^Nσ，*∧TNτ∧TT∧T▄fsds+▄ξnT^Nσ，*∧TNτ≥至+~LTNτnTNτ<T，TNτ≤T^Nσ，*o+~UT^Nσ，*nT^Nσ，*<T、 T^Nσ，*<TNτo | GT.将上述表达式插入（3.17）进一步的yieldsQλ≥E“ZT^Nσ，*∧TNτ∧T▄fsds+▄ξnT^Nσ，*∧TNτ≥至+~LTNτnTNτ<T，TNτ≤T^Nσ，*o+~UT^Nσ，*nT^Nσ，*<T、 T^Nσ，*<TNτo=Eh▄R（T^Nσ，*, TNτ）i，对于任何▄G-停止时间Nτ∈ N（λ）。取Nτ上的上确界∈ N（λ），weobtainQλ≥ supNτ∈N（λ）EhR（T^Nσ，*, TNτ）i≥ infNσ∈N（λ）supNτ∈N（λ）EhR（TNσ，TNτ）i=qλ。同样，我们也有Qλ≤ qλ。然后从qλ开始≥ qλ表示qλ=qλ=qλ。最后，我们验证了Qλ=E[R（T^Nσ，*, T^Nτ，*)], so（^Nσ，*,^Nτ，*) 是最佳停止策略。实际上，当Nσ=^Nσ时，*Nτ=^Nτ，*, （3.17）由于鞅性质（i），即Qλ=e“ZT），成为具有泊松随机干预次数13相等的anDynkin对策∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+^qλT{T≤T}#=E“ZT∧T▄fsds+▄ξ{T>T}+Eh▄R（T^Nσ，*, T^Nτ，*)|GTi{T≤T}#=Eh▄R（T^Nσ，*, T^Nτ，*)i、我们通过证明最优停止时间^Nσ，*,^Nτ，*实际面积Nσ，*, Nτ，*在（3.6）中。实际上，^Nσ，*= inf{N≥ 1：^qλTN=~UTN}∧ M=inf{N≥ 1：^QλTN=~UTN}∧ M=inf{N≥ 1:QλTN≥UTN}∧ M=Nσ，*,同样，^Nτ，*= Nτ，*.与标准Dynkin游戏的连接。我们证明，当λ→ ∞,约束Dynkin对策的值vλ收敛于标准Dynkin对策的值。

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2022-6-8 19:00:30

设置与第2节中的设置相同，只是控制集替换为Rt，Rt定义为Rt={F-停止时间τ，对于t≤ τ(ω) ≤ T}。将标准Dynkin游戏的相应上下值定义为（4.1）v=infσ∈Rsupτ∈RE[R（σ，τ）]，（4.2）v=supτ∈Rinfσ∈RE[R（σ，τ）]。如果v=v=v和（σ），这个游戏被称为有值v*, τ*) ∈ R×Ris称为对策ifE的鞍点[R（σ*, τ)] ≤E[R（σ*, τ*)] ≤E[R（σ，τ*)] 对于每个（σ，τ）∈ R×R.命题4.1。假设假设2.1成立，而且L和U都是连续的，并且满足LT≤ ξ ≤ 美国犹他州。然后，Dynkin对策（4.1）-（4.2）的值v存在，而且limλ↑∞vλ=v证明。为了解决Dynkin博弈（4.1）-（4.2），我们引入了以下在随机视界上定义的反映BSD（0，T）：（4.3）Vt∧T=ξ+ZTt∧T（fs- rVs）ds+ZTt∧TdK+s-ZTt公司∧TdK公司-s-ZTt公司∧t的TZSDWS≥ 0，在约束条件下（i）Lt≤ 及物动词≤ Ut，对于0≤ t型≤ T（ii）RT（Vt- Lt）dK+t=RT（Ut- Vt）dK-t=0。通过对反映的BSDE（4.3）的解决方案，我们指的是三次逐步可测量过程（V、Z、K），其中K：=K+- K-含K+和K-从K+=K开始递增的过程-= 0.14梁葛春和孙浩东（Haodong SunIt）从Hama de ne等人（15）得出，（4.3）是适定的，并且允许唯一解。使用类似于Cvitanic和Karatzas[11]中的论点，标准地证明了Dynkin博弈（4.1）-（4.2）的值存在，并由反射BSDE（4.3）的解给出，即v=v=v=v。为了证明第二个断言，我们不认为BSDE（2.6）可以被视为（4.3）的惩罚BSDE的序列，其中当地时间处理K+和K-近似为kλ，+t：=ZtλLs公司- Vλs+ds；Kλ，-t： =ZtλVλs- 我们+ds，Kλ：=Kλ+-Kλ，-. 自limλ↑∞E[支持∈[0，T]| VλT-Vt |]=0（参见，例如，[15]和[11]），第二个断言立即允许。5、受约束Dynkin游戏的复制。

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2022-6-8 19:00:33

在本节中，我们将讨论约束Dynkin对策的复制。这为下一节介绍的风险中性可转换债券估值提供了基础。我们将P解释为风险中性的概率度量，并让'Nt：=Pn≥1{Tn≤t}-λt，t≥ 0，是补偿泊松鞅。假设存在（d+2）基础资产，其定价过程如下：IT=Sit（r- qi）dt+SitσidWt，1≤ 我≤ d（5.1）dPt=Pt-rdt+Pt-“σd”Nt；（5.2）dBt=Btrdt，（5.3）其中r>0是无风险利率，’σ>0代表P的波动性，而qiandσi：=（σij）1≤j≤drepresent分别表示Si的股息和波动率。假设波动率矩阵σ：=（σij）1≤i、 j≤不可逆。风险资产（Si）1≤我≤敢于挑战那些用来对冲游戏中布朗噪音的隐藏资产。riskyasset P用于对冲泊松过程的跳跃风险。在实践中，它可能是提供跳跃时间（Tn）n的信用违约掉期的现金流≥1（例如，参见[5]了解单跳情况）。最后，B代表无风险银行账户。从第2.3节（特别是引理3.1和3.2），我们知道BSDE（2.6）的解vλ提供了从不同泊松到达时间Tn开始的约束Dynkin对策（2.2）-（2.3）的值-1对于1≤ n≤ M，它们满足递归方程-rTn公司-1VλTn-1=E“ZTn∧TTn公司-1e级-rsfsds+e-rTξ{Tn>T}（5.4）+e-rTnmin{UTn，max{VλTn，LTn}}{Tn≤T}| GTn-1..因此，游戏明星在Tn的折扣支付-1isZTTn-1e级-rsfsds+e-rTξ！{Tn>T}（5.5）+ztntntn-1e级-rsfsds+e-rTnmin{UTn，max{VλTn，LTn}！{Tn≤T}，具有泊松随机干预时间15的Dynkin博弈，其中VλTn是从Tn开始的博弈的值。将d与原始payoff（2.1）相比，上述payoff（n=1）仅涉及第一个泊松到达时间T，并且停止策略的最优性编码在VλT中。

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2022-6-8 19:00:36

因此，约束Dynkin博弈（2.2）-（2.3）的复制自然取决于相同博弈的复制，但从泊松到达时间T开始，后者又取决于从Tand开始的博弈的复制，依此类推。特别是从TM开始的游戏的折扣支付-1isRTTM-1e级-rsfsds+e-rTξ，sinceTM-1.≤ T<T根据随机变量M的定义。对于1≤ n≤ M，考虑从泊松时间Tn开始的约束Dynkin博弈-1、我们的目标是构建一个复制组合（πS，nt，πP，nt，πB，nt），t∈[总氮-1，T]，复制贴现支付f（5.5），其中πS，n=（πSi，n）1≤我≤D表示投资于（Si）1的金额≤我≤d、和πP，和πB，分别表示投资于P和B的金额。设Xnt为每个玩家在时间t时的相应财富。然后，Xnt=Pdi=1πSi，nt+πP，nt+πB，nt，并且自筹条件意味着Xnt=XnTn-1+ZtTn-1dXi=1πSi，nsSisdSis+πP，nsPs-dPs+πB，nsBsdBs+dXi=1qiπSi，nsds！（5.6）=XnTn-1+ZtTn-1.rXnsds+πS，nsσdWs+πP，ns'σd'ns,对于t∈ [总氮-1，T]。问题是要找到一个复制投资组合（πS，n，πP，n，πB，n），这样贴现的财富-RTX重复贴现支付（5.5），并证明XnTn-1=VλTn-1，即从Tn开始的约束Dynkin博弈-1是可复制的，其值实际上由VλTn给出-1、定理5.1。设（Yξ，θ，Zξ，θ）为随机视界[θ，T]上定义的带参数θ的线性B的唯一解∈ [0，T]，即（5.7）Yξ，θT∧T=ZTθer（T-s） fsds+ξ！-ZTt公司∧TrYξ，θsds-ZTt公司∧TZξ，θsdWs，对于t≥ θ. 然后，对于从TM开始的约束Dynkin游戏-1，其复制财富和相应的复制投资组合由xmt=Yξ，TM给出-1吨；（5.8）（πS，Mt，πP，Mt，πB，Mt）=（Zξ，TM-1tσ-1、0、XMt- πS，Mt），t∈ [TM-1，T]，其中σ-1是波动率矩阵（σij）的倒数1≤i、 j≤d

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2022-6-8 19:00:39

此外，游戏的价值由XMTM给出-1=VλTM-一般情况下，设（Yθ，Zθ）为[θ，t]上定义的带参数θ的线性B的唯一解∈ [0，T]，即（5.9）YθT∧T=ZTθer（T-s） fsds+ξ！-ZTt公司∧TrYθs- λ（Yθ，ss- Yθs）ds公司-ZTt公司∧TZθsdWs，对于t≥ θ、（Y（θ，’θ），Z（θ，’θ））是16葛春亮和郝东孙[’θ，T]上定义的线性BSD的唯一解，参数θ，’θ满足0≤ θ <θ ≤ T，即Yθ，’θT∧T=Z′θer（T-s） fsds+er（T-(R)θ）min{U'θ，max{Vλ'θ，L'θ}！(5.10)-ZTt公司∧试试θ，’θsds-ZTt公司∧TZθ，’θsdWs，对于t≥ θ、其中Vλ是BSDE（2.6）的唯一解。然后，对于从Tn开始的constrainedDynkin游戏-1对于1≤ n≤ M- 1，其复制财富和相应的复制组合由xnt=YTn给出-1t{t<Tn}+YTn-1，Tnt{t≥Tn}；（5.11）πS，nt=ZTn公司-1t{t≤Tn}+ZTn-1，Tnt{t>Tn}σ-1.πP，nt=年初至今-1，tt- 年初至今-1吨{t≤Tn}σ-1.πB，nt=Xt- πS，nt- πP，nt，t∈ [总氮-1，T]。此外，游戏的价值由XnTn给出-1=VλTn-1.证明。我们首先从TM开始复制受约束的Dynkin游戏-1、很明显（Yξ，TM）-1，Zξ，TM-1σ-1，0）满足财富方程（5.6），此外，通过将It^o公式应用于e-rtYξ，θt，我们进一步得到-r（t∧T）Yξ，θT∧T=ZTθe-rsfsds+e-rTξ！-ZTt公司∧Te公司-rsZξ，θsdWs。因此，e-rTYξ，TM-1t用n=M复制已发现的payoff（5.5）。此外，XMTM-1=Yξ，TM-1毫米-1=E“ZTTM-1e级-r（s）-TM公司-1） fsds+e-r（T-TM公司-1)ξGTM公司-1#=VλTM-一般来说，我们证明了1的断言≤ n≤ M- 1通过归纳法。假设在Tn和Xn+1Tn=VλTn开始的游戏中，评估保持不变。

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2022-6-8 19:00:42

然后，对于从Tn开始的游戏-1、通过构造Xnin（5.11）和BSDE（5.9）和（5.10）的最终数据，我们得到了-rTXnT=e-rT公司年初至今-1T{T<Tn}+YTn-1，TnT{T≥Tn}（5.12）=ZTTn-1e级-rsfsds+e-rTξ！{Tn>T}+ztntntn-1e级-rsfsds+e-rTnmin{UTn，max{VλTn，LTn}！{Tn≤T}。因此，e-RTX重新计算已发现的付款（5.5）。接下来，我们证明（5.1 1）中给出的（Xn，πS，n，πP，n）确实满足财富方程（5.6）。为此，请注意Xnt=Xnt∧田纳西州-+ （新台币∧田纳西州- Xnt公司∧田纳西州-) + （新台币- Xnt公司∧Tn），具有泊松随机干预时间的Dynkin对策∈ [总氮-1，T]。自Xnt起∧田纳西州-= 年初至今-1吨∧田纳西州-根据Xn的定义，我们有XNT∧田纳西州-= 年初至今-1吨-1+Zt∧田纳西州-田纳西州-1.rYTn公司-1秒- λ（YTn-1，不锈钢- 年初至今-1s）ds+Zt∧田纳西州-田纳西州-1ZTn-1sdWs=XnTn-1+Zt∧田纳西州-田纳西州-1年-1sds+Zt∧田纳西州-田纳西州-1ZTn-1sdWs-ZtTn公司-1（年初至今-1，不锈钢- 年初至今-1s）{s≤Tn}λds。此外，泊松到达时间Tn，Xnhas是一个跳跃，大小为nT∧田纳西州-Xnt公司∧田纳西州-=年初至今-1，TnTn- 年初至今-1吨-{Tn≤t} =Zt（YTn-1，不锈钢-年初至今-1s）{s≤Tn}）dNs。另一方面，由于Xnt=YTn-1，t事件{t≥ Tn}，我们有xnt- Xnt公司∧Tn=Ztt∧TnrYTn-1，Tnsds+Ztt∧TnZTn公司-1、TnsdWs。反过来，我们利用Xn，πS，nandπP，nin（5.11）的构造，推导出xnt=XnTn-1+ZtTn-1rXnsds+ZtTn-1πS，nsσdWs+ZtTn-1πP，ns′σd′ns。最后，将It^o公式应用于e-rtxn并使用（5.12），我们得到-r（t∧T）Xnt∧T=ZTTn-1e级-rsfsds+e-rTξ！{Tn>T}+ztntntn-1e级-rsfsds+e-rTnmin{UTn，max{VλTn，LTn}！{Tn≤T}-ZTt公司∧Te公司-rsπS，nsσdWs-ZTt公司∧Te公司-rsπP，ns′σd′ns。反过来，对GTn进行条件检验-1使用（5.4），我们得出结论：XnTn-1=VλTn-1.6.

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2022-6-8 19:00:47

适用于具有随机干预时间的可转换债券。在本节中，我们使用第2节中介绍的训练有素的Dynkin游戏，研究了两个玩家只能停止一系列随机干预时间的可转换债券。传统上，可转换债券模型常常假设债券持有人和发行公司都可以在任何适合公司基础（如股票价格）的停止时间停止。事实上，可能存在一些清算约束作为外部冲击，双方仅在发生冲击时才做出决策。我们将这种液化冲击建模为非均质泊松过程的到达时间。类似的想法首次出现在债务运行问题的建模中（见[23]），该问题可表述为具有泊松到达时间的最优停止问题。假设6.1。设d=1。在风险中性度量下，该公司的股价Ss如下（6.1）Sst=s+Zt（r- q） Ssudu+ZtσSsudWu，18葛春亮和孙浩东，Ss=s>0，其中常数r、q、σ代表无风险利率、股息率和股票波动率，满足参数假设r>q。该公司发行的可转换债券为永久性债券，票面利率为常数c。考虑投资者在初始时间t=0购买该可转换债券的份额。通过持有可转换债券，投资者将持续从公司获得couponrate c，直到合同终止。投资者有权将其债券转换为公司股票，而公司有权调用债券，并迫使债券持有人按顺序将其债券交还给公司≥1恒定强度λ>0。

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能者818

2022-6-8 19:00:50

因此，有两种情况下，合同可能终止：（i）如果公司在某个停止时间σ首次调用债券，债券持有人将在σ时间收到预先规定的退保价格K；（ii）如果投资者首先选择在某个停止时间τ转换其债券，或者两个参与者同时选择停止合同，债券持有人将在时间τ以预先规定的转换率γ转换其债券，从而获得γSτ∈ (0, 1).总之，投资者将在初始时间t=0时获得以下贴现收益：（6.2）P（s；σ，τ）=Zσ∧τe-ruc du+e-rτγSsτ{τ≤σ} +e-rσK{σ<τ}，带σ，τ∈RT（λ），其中▄RTi（λ）={G-τ的停止时间τ（ω）=TN（ω），其中N≥ i} 。投资者将选择τ∈RT（λ）使债券价值最大化，而金融机构将选择σ∈RT（λ）通过最小化债券价值来最大化公司的权益价值。这将导致第2节中介绍的受约束的动态名称。该约束可转换债券的上限值和下限值为（6.3）vλ（s）=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）E[P（s；σ，τ）]，（6.4）vλ（s）=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）E[P（s；σ，τ）]。请注意，第2节中的约束Dynkin博弈并不完全涵盖上述约束可转换债券，因为第2节中的模型具有随机终止时间T，而可转换债券是永久的。然而，在下面的命题中，我们将证明≥ \'sλ：=q+λr+λKγ，最优停止策略是微不足道的。在这一地区，投资者和企业在第一个泊松到达时间停止总是最佳的。直觉上，当股票价格高的时候，股票的吸引力足以引导投资者去看案例r≤ q可以用类似的方式处理。Poisson随机干预时间19的Dynkin博弈将其债券转换为股票，公司通过尽早调用债券来阻止投资者转换。提案6.2。

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2022-6-8 19:00:54

假设假设假设6.1成立。然后，约束可转换债券的价值，表示为vλ（s），存在并满足Lλ（s）≤ vλ（s）≤s的Uλ∈ (0, ∞), 式中，lλ（s）：=cr+λ+λq+λγs；Uλ：=c+λKr+λ。此外，在域s中∈\'sλ，∞, 认为vλ（s）=Lλ（s），最优停止策略为τ*,λ= σ*,λ=T.证明。选择τ≡ Tin（6.4）产生可转换债券价格的下界：vλ（s）=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）EZσ∧τe-ruc du+e-rτγSsτ{τ≤σ} +e-rσK{σ<τ}≥ infσ∈■RT（λ）E“中兴通讯-ruc du+e-rTγSsT#=EZ∞λe-λm佐暮-ruc du+e-rmγSsmdm公司=Z∞λe-λmZme-ruc du dm+λγEZ∞e-（r+λ）mSsmdm=cr+λ+λq+λγs=Lλ（s），其中我们使用了上一等式中的分部积分。另一方面，通过选择σ≡ Tin（6.3），我们得到可转换债券价格的上界：vλ（s）=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）EZσ∧τe-ruc du+e-rτγSsτ{τ≤σ} +e-rσK{σ<τ}≤ supτ∈RT（λ）E“中兴通讯-ruc du+e-rTγSsT{τ=T}+e-rTK{τ>T}#=cr+λ+最大值λq+λγs，λKr+λ= 最大{Lλ（s），Uλ}。在域s中∈\'sλ，∞, 我们总是有Lλ（s）≥ Uλsovλ（s）≤ Lλ（s）≤ vλ（s）。因此，可转换债券的价值存在，并且vλ（s）=vλ（s）=vλ（s）=Lλ（s），最优停止策略τ*,λ= σ*,λ=域s中的T∈0，\'sλ, 我们有Lλ（s）<Uλ。引入nF停止时间θλ：=inf{u≥ 0：Ssu≥ \'sλ}。然后，根据动态规划原理，vλ（s）=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）E“Zσ∧τ ∧θλe-ruc du+e-rθλvλ（Ssθλ）{σ∧τ ≥θλ}+e-rτγSsτ{τ≤σ} +e-rσK{σ<τ}{σ∧τ <θλ}] .20梁葛春和孙浩东对停车时间θλ，vλ的定义Ssθλ= vλ\'sλ= Lλ（(R)sλ）=Uλ。

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2022-6-8 19:00:57

因此，在do main中∈ （0，\'sλ），（6.3）-（6.4）等于（6.5）vλ（s）=infσ∈RT（λ）supτ∈RT（λ）EhP（s；σ，τ）i，（6.6）vλ（s）=supτ∈RT（λ）infσ∈RT（λ）EhP（s；σ，τ）i，其中payoffp（s；σ，τ）为zσ∧τ ∧θλe-ruc du+e-rθλUλ{σ∧τ ≥θλ}+e-rτγSsτ{τ<θλ，τ≤σ} +e-rσK{σ<θλ，σ<τ}。注意，如果我们引入g停止时间（6.7）TM：=inf{TN≥ θλ：N≥ 1} ，由于payoff函数▄P（s；σ，τ）在TM之后没有变化，我们可以用RT（λ）替换（6.5）-（6.6）中的控制集▄RT（λ），后者包括G停止时间T，T，··，TM。现在，我们将定理2.3（T=θλ，Lt=γSst，Ut=K，ft=c，ξ=Uλ）应用于（6.5）-（6.6），并得到域中可转换债券值的存在性∈ （0，’sλ）。由于上述提议，我们将分析重点放在领域∈0，\'sλ在本节的其余部分。我们分别通过常微分方程和相关自由边界的解来刻画可转换债券的价值和相应的最优停止策略。提案6.3。假设假设假设6.1成立。确定内部发电机L=σsss+（r- q） ss- r、对于s∈ （0，’sλ），可转换边vλ（s）的值是以下常微分方程的唯一解：（i）如果c>qK，则vλ（s）>γs，和（6.8）- Lvλ=c- λ（vλ- K） +边界条件vλ（(R)sλ）=Uλ；（ii）如果c<rK，则vλ（s）<K，以及（6.9）- Lvλ=c+λ（γs- vλ）+，边界条件vλ（(R)sλ）=Uλ。证据

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2022-6-8 19:01:00

根据定理2.3和（6.5）-（6.6），可转换债券价值为vλ（s）=vλ，s，对于s∈ （0，’sλ），其中Vλ是惩罚BSDE（6.10）Vλ，st的解的第一个分量∧θλ=Uλ+Zθλt∧θλhc+λγSsu- Vλ，su+- λVλ，su- K+- rVλ，suidu-Zθλt∧θλZλ，sudWu。此外，最优停止策略为（6.11）（σ*,λ=inf{TN≥ T： Vλ，sTN≥ K}∧ TM；τ*,λ=inf{TN≥ T： Vλ，sTN≤ γSsTN}∧ （6.7）中给出了泊松随机干预时间为21的TM，Dynkin对策。另一方面，根据股票价格S的马尔可夫性质，Vλ，st=Vλ（Sst）。反过来，It^o公式进一步暗示（6.12）vλ（Ssθλ）- vλ（Sst∧θλ）=Zθλt∧θλLvλ（Ssu）+rvλ（Ssu）du+Zθλt∧θλσssvλ（Ssu）dWu。然后从（6.10）和（6.12）得出vλ（s），对于s∈ （0，(R)sλ），求解ODE（6.13）- Lvλ=c+λ（γs- vλ）+- λ（vλ- K） +，基本条件vλ（(R)sλ）=Uλ。注意，如果c<rK，命题6.2 yieldsvλ（s）≤ Uλ=c+λKr+λ<rK+λKr+λ=K，如果c>qK，则为vλ（s）≥ Lλ（s）=cr+λ+λq+λγs>qKr+λ+λq+λγs>γs。然后立即执行ODE（6.8）-（6.9）。本节其余部分将通过其相关自由边界来描述约束可转换债券的最优停止策略。6.1. 案例一：qK<c<rK。从位置6.3来看，当qK<c<rK时，我们总是有γs<vλ（s）<K。因此，根据（6.11），最佳停止策略是τ*,λ= σ*,λ=TM。直观地说，当票面利率c满足c<rK，即cr<K时，公司将永远不会花费K赎回债券，因为它只需要支付永久债券的票面利率c，其价值为R。因此，在TM之前，FIR m不得致电。当票面利率c满足c>qK时，即。

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2022-6-8 19:01:05

c>qK>qr+λq+λγs>qγs，投资者不得将其债券转换为股票，因为她持有γ股股票将获得的股票股息不超过她从债券组合中获得的股息。因此，投资者在TM之前不得转换。在图7.1中，粗体水平线\'sλ表示转换和调用边界。我们模拟了三条泊松时间T=0.3、T=0.5、T=0.8和两条股票价格路径。投资者（和公司）将在TF将债券转换（并调用）为股票路径1。他们将在Tand T继续，并终止库存路径2的合同。通过显式求解相应的ODE，我们进一步计算了可转换债券的价值。注：在这种情况下，vλ=v1，λ求解（6.14）-Lv1，λ- c=0，对于0<s<sλ；v1，λ（0+）=cr；v1，λ（(R)sλ）=Uλ。我们将永续债券价值C置于边界v1处，λ（0+）：=lims↓0v1，λ（s），因为在这种情况下，公司没有动机调用或投资者转换债券。22梁葛春和孙浩东（6.14）的通解的形式为v1，λ（s）=A+sα++A-sα-+cr，对于0<s<sλ，其中（6.15）α±=-（r）- q-σ） ±q（r- q-σ） +2rσ。自α起-< 0，我们获得-= v1处的边界条件为0，λ（0+）。利用其他边界条件，我们进一步得到（6.16）v1，λ（s）=A1，λsα+cr，其中α=α+和A1，λ=λr+λrK-cr公司\'sλ-α.在图2中，我们进一步研究了值函数v1，λ（s），对于s，它始终保持在[Lλ（s），Uλ]之间∈ （0，’sλ）。由于Lλ>γs和Uλ<K，值函数也保持在（γs，K）之间，这意味着对于企业或投资者来说，在区域s中停止是绝对最优的∈ （0，’sλ）。6.2. 案例二：c≥ rK。很明显，如果c≥ rK。因此，从命题6.3开始，我们总是有vλ（s）>γs，从（6.11）开始，投资者的最佳转换策略是τ*,λ=TM，即。

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