可转换债券的Dynkin博弈及其最优策略

2022-5-8 00:23:31

可转换债券的核心问题之一是研究这样一种动态博弈，更重要的是，研究相应的最优赎回和转换策略。可转换债券的研究可以追溯到布伦南、施瓦茨[3]和英格索尔[13]。然而，在这些论文中，调用和转换策略都是预先确定的，因此如果早期对流或早期调用是最优的，它们都不需要解决自由边界问题。Sirbu等人*我们感谢总编辑陈光（Goong Chen），一位副主编和两位推荐人的宝贵意见和有益建议，这些意见和建议有助于显著改进论文的呈现方式。这项工作得到了中国国家自然科学基金会（编号11271143、11371155、11326199）、大学博士项目特别研究基金（编号20124407110001）的支持。+广东财经大学数学与统计学院，广州510320，hwyan10@gmail.com华南师范大学数学科学学院，中国广州510631，fhyi@scnu.edu.cn§华南师范大学数学科学学院，中国广州510631，yangzhou@scnu.edu.cn.The通讯作者。伦敦国王学院数学系，英国伦敦WC2R 2LS，格春。liang@kcl.ac.uk[18] 是最早分析永续可转换债券最优策略的公司之一（参见Sirbu和Shreve[19]了解有限期债券）。他们将问题从Dynkin博弈简化为非最佳停止时间问题，并讨论何时调用优先于转换，反之亦然。自那以后，可转换债券的几个更现实的特征被考虑在内。例如，Bielecki等人[1]考虑了可转换债券分解为债券成分和期权成分的问题。

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2022-5-8 00:23:34

Cr\'epey和Rahal[5]研究了具有看涨期权保护的可转换债券，这通常取决于路径，最近，Chen等人[4]共同考虑了可转换债券的税收收益和破产成本。为了获得完整的文献综述，我们参考了上述论文以及其中的参考文献。在本文中，我们首先使用反射后向随机微分方程（简称反射BSDE）方法研究了可转换债券的Dynkin博弈。我们采用简化的方法，假设企业的股票价值遵循一般的外部It^o过程，而不是将股票价值上的可转换债券视为企业价值和债券价值之间的差异，这是内生决定的。有趣的是，与[18]和[19]类似，我们还可以将Dynkingame简化为具有状态约束的最佳停止时间问题，即将具有两个障碍的反射BSDE简化为具有一个障碍和状态约束的反射BSDE。这种表示结果的一个重要结果是允许我们识别调用在转换之前的时间，反之亦然，这符合[19]。也就是说，我们在命题2.4-2.6中表明，当票面利率高于利率乘以退保价格时，债券持有人总是首先转换债券；当票面利率低于股息率乘以附加价格时，公司总是会首先降低票面利率；当票面利率介于上述两个界限之间时，债券持有人和公司将同时终止合同。

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2022-5-8 00:23:38

我们证明，上述表示结果适用于一般It^o过程设置，该设置不一定是马尔可夫的，后者是[18]和[19]中的标准假设。在马尔可夫情形下，研究可转换债券最优策略的一种方法是分析相应变分不等式（简称VI）的自由基的性质。尽管如此，与美式期权的研究相比，对自由边界分析以理解可转换债券的最优策略的研究很少，因为美式期权对应的自由边界已经得到了很好的研究。其中一个主要原因是c对应的Dynkin博弈（变量不等式）太复杂，无法研究。利用上述表示结果，我们可以将相应的Dynkin遗传算法简化为具有状态约束的最优停止时间问题，这为研究相应自由边界的性质铺平了道路。目前的作者已经在一些特殊情况下走上了这条道路（见[23,25,27]）。例如，在[27]中，作者假设发行人无权调用。在[25]中，作者只考虑退保价格和最终指定价格完全相等，因此相应的自由边界总是单调的。[23]只考虑票面利率低于利率乘以退保价格的情况。在本文中，我们试图填补以前的空白，并对不同情况下的自由边界进行了完整的分析，包括自由边界的位置及其渐近性、单调性和正则性等。特别是，我们集中讨论了支付不规则的情况（假设2.2）。自由边界有几个有趣的性质，如我们在第3节中所证明的。

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2022-5-8 00:23:41

首先，众所周知，自由边界的渐近性比方程解的渐近性更难获得，因为解的共收敛性并不意味着自由边界的收敛性，而且很难通过偏微分方程（简称PDEfor）估计来推导后者。在定理3.3中，我们设法获得了解和自由边界的渐近性。后者的主要思想是：我们求解相应的永续问题，然后利用其解构造有限ho Rizon问题的子解序列和超解序列，并通过这两个序列显示自由边界的渐近行为。其次，在某些参数假设下，VI（3.1）中的自由边界是非单调的（参见定理3.4和图3.5）。这是由于奇异的终端支付导致价格的时间导数在奇点附近的到期日附近膨胀。自由边界的非单调性导致可转换债券价格的非单调性。特别是，价格可能在接近成熟时上涨。为了证明这种非单调性，我们讨论了它的终端渐近行为和随着时间的推移它的初始渐近行为，并证明了终端值大于初始值，但小于某个中点的值。第三，证明自由边界光滑性的标准假设是，解与VI下障碍物之间的差异随时间增加（见[10]）。如果没有这种单调性，就很难实现[2,17]中讨论的规则性。

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2022-5-8 00:23:44

除非组合利率高于orem 3.5中规定的最终支付价格的利率倍，否则这种单调性条件不成立，自由边界的光滑性也不明显。在定理3.6中，我们通过使用微妙的坐标变换和VI的比较原理，证明了即使单调性条件失效，自由边界的光滑性。论文的其余部分组织如下：在第2节中，我们使用反射BSDE方法将可转换债券的定价模型作为Dynkin博弈。在第三节中，我们通过分析相应自由边界的性质来研究可交换键的最优策略。附录中给出了有关VI可解决性的一些技术细节。2可转换债券的Dynkin博弈在本节中，我们使用反射BSDE方法将可转换债券的定价问题表述为一个零和Dynkin博弈。我们在这一部分的主要结果是证明这样一个Dynkin对策可以归结为一个具有状态约束的最优停止时间问题。对于固定时间范围T>0，假设W是过滤概率空间上的一维布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}，P）满足通常条件，其中F是由布朗运动W生成的增强滤波，P被解释为风险中性概率测度。以一家公司为例，该公司发行的可转换债券的利率为c，到期日为T。

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2022-5-8 00:23:48

可转换债券写在公司的基础股票s上，风险中性概率测度下的价格过程由s=St+Zst（ru）给出- qu）Sudu+ZstσuSudWu，（2.1）表示0≤ T≤ s≤ T，其中r，q，σ分别表示无风险利率，股息率和波动率。假设2.1息票利率c、无风险利率r、股息率q和波动率σ为F-可测量且一致有界。此外，波动率为正σt>0，对于t∈ [0，T]。考虑一位投资者在纽约时间从发行人手中购买一股可转换债券∈ [0，T]。假设该公司没有违约。通过持有可转换债券，她将继续从发行人处收取票面利率c，直到合同终止。在合同到期之前，投资者有权将其债券转换为公司股票，而公司有权赎回债券并迫使债券持有人将其债券交给公司。因此，合同将在三种情况下终止：（1）如果公司在某个F-stop时间τ首先调用债券，债券持有人将在时间τ收到预先指定的退保价格K；（2）如果投资者选择在某个F-stop时间θ首先转换债券，或者两个参与者选择同时终止合同，债券持有人将在时间θ以预先指定的转换率γ转换债券，从而获得γsθ∈ (0, +∞); （3）如果双方在合同期内均未采取任何行动，则在到期日T时，投资者必须以预先规定的价格L将其债券出售给该公司，或以转换率γ将其转换为该公司的股票，她将获得最大{1，γST}。

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2022-5-8 00:23:51

总之，投资者将在s开始时间t获得以下折扣报酬∈ [0，T]：P（τ，θ）=Zτ∧θtR（t，u）cudu+R（t，τ）ki{τ<θ}+R（t，θ）γSθI{θ≤τ、 θ<T}+R（T，T）max{L，γST}I{τ∧θ=T}，（2.2）式中τ，θ∈ Ut，T，所有F的集合-停止时间取[t，t]中的值，R（t，u）=exp{-Rutrsds}是风险中性世界中从t到u的发现率。投资者将选择θ∈ Ut，t最大化P（τ，θ），而企业将选择τ∈ Ut，ep（τ，θ）。因此，我们有上限值和下限值，分别为Vt=ess。infτ∈噢，苔丝。supθ∈Ut，TE[P（τ，θ）|Ft]；Vt=ess。supθ∈噢，苔丝。infτ∈Ut，TE[P（τ，θ）|Ft]对应的Dynkin对策（se e[6]用于定义Dynkin对策）。这个游戏的价值是存在的，如果存在一些过程，例如Vt=Vt=Vt，a.s.代表t∈ [0，T]，vt是根据无套利原则计算的可转换债券的时间T值（见[21]第36章）。如果存在纳什均衡点（τ*t、 θ*（t）∈ Ut，T×Ut，Tsuch thatE[P（τ*t、 θ）| Ft]≤ E[P（τ）*t、 θ*t） |英尺]≤ E[P（τ，θ）*t） |Ft]，τ，θ的a.s∈ Ut，T，那么对策V的值o存在，由vt=E[P（τ）给出*t、 θ*t） |英尺]。（2.3）纳什均衡点（τ）*t、 θ*t）被称为这种可转换债券的最优策略，其中τ*tandθ*分别给出了最优呼叫策略和转移策略。转换支付fγS通常被称为下障碍，退保价格K被称为上障碍。假设2.2无风险利率不低于股息率：rt≥ qt≥ 0，a.s.堡∈ [0，T]，且退保价格大于到期付款：K>L>0。第一个假设是≥ qt≥ 0是自然的。如果K<L，那么预先规定的价格L是不相关的，因为企业可以在到期前随时以退保价格K进行调用，以避免支付更多（见[19]）。

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2022-5-8 00:23:56

如果K=L，如[27]所示，则对应的积水VI的有效域（状态约束）中的终值仅为常数K，因此该问题的研究相对标准，相应的自由边界总是单调的。在本文中，我们主要考虑K>L的情况，这会导致在自由边界上出现奇异的终值，这使得问题更加复杂和复杂。此外，在这种情况下，自由边界不一定是单调的。在下面，我们表示最优策略（τ*t、 θ*t）以及反映BSDE的解决方案中可转换债券的价格。请注意，转换支付（较低障碍）γS并不总是由退保价格（较高障碍）K决定的，因此我们必须求助于具有如下状态约束的反射BSDE。引理2.3 Let（Y，Z，K+，K-) 是以下关于[t，σ]的BSDE的唯一解决方案*t] :Ys=max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}+Zσ*ts（铜）- 如玉）杜-Zσ*tsZudWu+Zσ*tsdK+u-Zσ*tsdK-u、 γSs≤ Y≤ K、对于s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（Yu）- γSu）dK+u=Zσ*tt（K）- Yu）dK-u=0，（2.4），其中σ*t=inf{u≥ t:苏≥ K/γ}∧ T.然后可转换债券的价值由Vt=yt给出，最优策略由τ给出*t=inf{s≥ t:Ys=K}∧ σ*t、 θ*t=inf{s≥ t:Ys=γSs}∧ σ*t、上述表示结果和（2.4）适定性的证明与定理4相似。Cvianic和Karatzas[6]中的1个，固定到期日T被随机到期日σ取代*t、因此，我们省略了证据，并参考[6]了解详细信息。本节的主要结果是将（2.4）简化为具有状态约束的非最优停止时间问题。首先要注意的是，如果≥ K/γ，即。

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2022-5-8 00:23:59

下部障碍物大于上部障碍物，则σ*t=t，在这种情况下，投资者和公司将选择同时终止合同*t=θ*t=t，可转换键的值是Vt=γSt。因此，在下面我们只考虑St<K/γ的情况。命题2.4假设cs≤ rsK a.s.对s∈ [t，σ*t] 。然后，可转换债券的价值由Vt=Yt给出，其中y解决了以下反映的BSD E：Ys=max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}+Zσ*ts（铜）- 如玉）杜-Zσ*tsZudWu+Zσ*tsdK1，+u，Ys≥ γSs，代表s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（Yu）- γSu）dK1，+u=0。（2.5）特别是，如果cs<rsK a.s∈ [t，σ*t] 当y<K时∈ [t，σ*t）因此，最优策略为给定τ*t=σ*t、 θ*t=inf{s≥ t:Ys=γSs}∧ σ*t、证据。我们首先证明≤ K on s∈ [t，σ*t] 。那么（Y，Z，K1，+，0）就是（2.4）的解。事实上，考虑以下辅助反射BSDE：\'Ys=K+Zσ*ts（ruK）- 如玉）都-Zσ*ts“ZudWu+Zσ*tsd\'K1，+u，\'Ys≥ γSs，代表s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（\'Yu- γSu）d\'K1，+u=0，这显然有一个唯一的解（\'Ys，\'Zs，\'K1，+s）=（K，0，0）。从那时起≥ max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}和rsK- 瑞茜≥ 反恐精英- 瑞莎。s、奥恩斯∈ [t，σ*t] ，反映BSDE的比较原则（见[8]）意味着≤\'\'Ys=s上的K∈ [t，σ*t] 。接下来我们展示了s上的Ys<K∈ [t，σ*t）如果cs小于s上的rsK a.s∈ [t，σ*t] 。如果没有，就有出口∈ [t，σ*t）这样Y\'s=K。注意，我们必须有Y\'s>γs（否则γs）≥ Y’s=K意味着‘s=σ*t）。定义θ*\'s=inf{s≥ \'s:Ys=γSs}∧ σ*t、那么Yθ*\'s=γsθ*\'s≤ K.由于Ys>γs和d\'K1，+s=0，在[\'s，θ*\'s），（2.5）就绪\'s=Yθ*\'s+Zθ*\'s\'s（铜）- 如玉）杜-Zθ*“s”sZudWu。考虑以下辅助BSDE：^Y′s=K+Zθ*\'s\'s（卢比）- 杜汝宇-Zθ*\'s\'s^ZudWu，它显然有一个唯一的解（^Ys，^Zs）=（K，0）。

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2022-5-8 00:24:02

那么BSDE的严格比较原则（见[7]）意味着Y’s<K。从上述命题来看，如果cs<rsK，则可转换债券的价值远远低于合同终止前的卖方价格K，因此在合同终止于σ之前，公司不会收回债券*t、投资者总是会首先转换债券。命题2.5假设cs≥ s上的qsK a.s∈ [t，σ*t] 。然后，可转换债券的价值由Vt=Yt给出，其中y解决了以下反映的BSD E：Ys=max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}+Zσ*ts（铜）- 如玉）杜-Zσ*tsZudWu-Zσ*tsdK2，-u、 Y≤ K、对于s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（K）- Yu）dK2，-u=0。（2.6）特别是，如果cs>qsK a.s.在s∈ [t，σ*t] ，然后是Ys>s∈ [t，σ*t）因此，最优策略由τ给出*t=inf{s≥ t:Ys=K}∧ σ*t、 θ*t=σ*t、证据。我们首先证明≥ γ-s∈ [t，σ*t] 。然后（Y，Z，0，K2，-) 是（2.4）的解决方案。事实上，考虑以下辅助反射BSDE：\'Ys=γSσ*t+Zσ*ts（γ-quSu）- 如玉）都-Zσ*ts“ZudWu-Zσ*tsd’K2，-u、 \'Ys≤ K、对于s∈ [t，σ*t] ，Zσ*tt（K）-“Yu）d”K2，-u=0，这显然有一个独特的解决方案（\'Ys，\'Zs，\'K2，-s） =（γSs，γσsSs，0）。因为γSσ*T≤ max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}，和γqsSs- 瑞茜≤ qsK- 瑞茜≤ 反恐精英- 瑞森s∈ [t，σ*t] ，比较原则意味着≥\'Ys=γs∈ [t，σ*t] 。接下来我们展示Ys>s∈ [t，σ*t）如果cs>qsK a.s.在s上∈ [t，σ*t] 。如果没有，就有出口∈ [t，σ*t）这样Y\'s=γs。注意，我们必须使Y\'s<K（否则γs=Y\'s）≥ K意味着‘s=σ’*t）。定义τ*\'s=inf{s≥ \'s:Ys=K}∧ σ*t、然后Yτ*\'s=K≥ γSτ*自Ys<K和d\'K2以来，-[s，τ]上的s=0*\'s），（2.6）re-adsY\'s=Yτ*\'s+Zτ*\'s\'s（铜）- 如玉）杜-Zτ*“s”sZudWu。考虑以下辅助BSDE：^Y′s=γsτ*\'s+Zτ*\'s\'s（γ曲素）- 杜汝宇-Zτ*\'s\'s^ZudWu，它显然有一个唯一的解（^Ys，^Zs）=（γSs，γσsSs）。

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2022-5-8 00:24:06

然后严格比较原则意味着Y’s>γs。根据上述命题，如果cs>qsK，可转换债券的价值vt严格大于合同终止前的转换价值γsts，因此投资者在合同终止于σ之前不会转换债券*t、而企业总是会首先调用债券。通过重复2.4和2.5的证明中的论点，我们可以得出，如果qsK≤ 反恐精英≤ rsK。特别是，如果qsk<cs<rsK，则可转换债券的值vsk在接触终止前的（γSs，K）之间有界。因此，在合同终止之前，投资者不会转换债券，公司也不会收回债券*t、命题2.6假设qsK≤ 反恐精英≤ rsK a.s.对s∈ [t，σ*t] 。然后，可转换债券的价值由Vt=Yt给出，其中y在[t，σ]上求解以下BSDE*t] ：Ys=max{γST，L}I{σ*t=t}+γSσ*tI{σ*t<t}+Zσ*ts（铜）- 如玉）杜-Zσ*tsZudWu。（2.7）特别是，如果qsK<cs<rsK a.s∈ [t，σ*t），然后是Y∈ s上的（γSs，K）∈ [t，σ*t）因此，最优策略由τ给出*t=θ*t=σ*t、 3可转换债券的最优策略在本节中，我们通过研究相应的调用/转换基础的性质，进一步考虑了马尔可夫情形下可转换债券的最优策略。假设3.1假设所有系数都是常数：ct=c，rt=r>0，qt=q，t的σt=σ∈ [0，T]。由于上述马尔可夫假设，我们知道存在一个函数V（S，t）S，如vt=V（St，t）。

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2022-5-8 00:24:09

定义以下域转换域CV={（S，t）∈ (0, ∞) ×[0，T）：V（S，T）=γS}；调用域CL={（S，T）∈ (0, ∞) ×[0，T）：V（S，T）=k6=γS}；连续域CT={（S，T）∈ (0, ∞) ×[0，T）：γS<V（S，T）<K}。转换域CV和延拓域CT之间的连线称为转换边界C（T），而调用域CL和延拓域CT之间的相交线称为调用边界H（T）。根据反射BSDE解和VI粘度解的Feynman-Ka C公式（见[8]第8节），命题2.4意味着≤ qK(≤ rK）然后V（S，t）=V（S，t），其中V使用状态约束解决以下VI：电视+LV=-c、如果V>γS和（S，t）∈ DT，电视+LV≤ -c、如果V=γS和（S，t）∈ DT，V（K/γ，t）=K，0≤ T≤ T、 V（S，T）=max{L，γS}，0≤ s≤ K/γ，（3.1），其中lv=σSSSV+（r）- q）SSV- rV，DT=（0，K/γ）×[0，T）。这里，DT是我们问题的有效域（状态约束），因为在[K/γ]域中，∞) ×[0，T），V（S，T）=γS，因此投资者总是会选择转换，[K/γ，∞)×[0，T）个人简历此外，如果c<qK，命题2.4也意味着V（t，S）=Yt<K on（t，S）∈ DT。

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2022-5-8 00:24:12

因此，我们有∩ DT=O。同样，命题2.5暗示如果c≥ rK(≥ qK），然后V（S，t）=V（S，t），其中V使用状态约束解决以下VI：电视+LV=-c、如果V<K和（S，t）∈ DT，电视+LV≥ -c、如果V=K和（S，t）∈ DT，V（K/γ，t）=K，0≤ T≤ T、 V（S，T）=max{L，γS}，0≤ s≤ K/γ。（3.2）此外，如果c>rK，命题2.5也意味着V（t，S）=Yt>γS在（t，S）上∈ DT，所以CV∩DT=O。最后，如果qK≤ C≤ rK，然后V（S，t）=V（S，t），其中V解决了以下Dirichlet问题：电视+LV=-c、在DT中，V（K/γ，t）=K，0≤ T≤ T、 V（S，T）=max{L，γS}，0≤ s≤ K/γ。（3.3）此外，强最大原理（见[9]）意味着V（t，S）=Yt∈ （t，S）上的（γS，K）∈ DT（不仅适用于qK<c<rK的情况）。因此，对调用/转换策略的分析归结为嵌入在上述三个P DE问题中的自由边界的性质。[23]研究了c>rK情况下的VI（3.2）。在这种情况下，持有者不会在域（S，t）中转换∈ DT，调用边界H（t）总是单调的（见图3.1）。因此，这个问题是相对标准的。案例qK的PDE（3.3）≤ C≤ rK是微不足道的，因为持有者不会转换，公司也不会调用域（S，t）∈ DT（见图3.2）。我们在附录B中留下了PDE（3.3）的显式解。在本文中，我们主要考虑c<qK情况下的VI（3.1）。这种情况下的情况更加复杂和复杂（见图3.3）- 3.5). 在这种情况下，转换边界C（t）甚至可能由于单数支付而失去单调性。oTooγS<V<KV=γSV=KtSoOoK/γCTCVCLH（T）C（T）γS<V<kv=γSoTtSoOoK/γCT CVC（t）图3.1。c>rK图3.2。qK≤ C≤ rKoTtSoOoK/γCT CVγS<V<kv=γSC（t）oTtSoOoK/γCT CVγS<V<kv=γSC（t）图3.3。

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2022-5-8 00:24:15

rL≤ c<qK，c>（α+-1） rKα+图3.4。rL≤ c<qK，c≤(α+-1） rKα+oTtSoOoL/γoK/γCT CVγS<V<kv=γSC（t）图3.5。C≤ rL（α）+- 1） /α+3.1转换边界的性质在这一小节中，我们证明了（3.1）的自由边界C（t）的性质，如它的位置、渐近性质、单调性、正则性等。我们首先在定理M3.1中证明了（3.1）：V的解不仅是粘性解，而且是强解∈W2，1p（DT）∩ C（DT），p>1。由于（3.1）是简并的，我们首先通过以下转换将其转换为熟悉的非简并VI：u（x，τ）=V（S，t），τ=t- t、 x=ln S- lnk+lnγ。（3.4）那么，检查u是否受τu- 如果u>Kexand（x，τ），则Lu=c∈ OhmTτu- 鲁≥ 如果u=Kexand（x，τ）∈ OhmT、 u（0，τ）=K，0≤ τ ≤ T、 u（x，0）=max{L，Kex}，x≤ 0，（3.5），其中Lu=σxxu+R- Q-σ徐- 茹，OhmT=(-∞, 定理3.1对于c<qK的情况，VI（3.5）有唯一的强解u∈ W2，1p，位置(Ohm（T）∩C(OhmT） p>1。此外徐∈ C(OhmT）我们有以下估计：maxKex，cr+rL- cre-rτ≤ U≤ K英寸OhmT、（3.7）0≤ 徐≤ K exinOhmT.（3.8）如果进一步c≥ rL持有，我们还有以下估计：τu≥ 上午0点OhmT.（3.9）定理3.1的证明相当长且相对标准，因此我们将其证明留在附录中。τxoc=xoc∞CTxu>K exCVxu=K exc（τ）τxoc=xoTCTxu>K exCVxu=K exc（τ）图3.6。C≥ rL，c≤ rK（α）+- 1） /α+图3.7。C≥ rL，c>rK（α）+- 1)/α+τxoc=ln L- ln Koc∞otCTxu>K exvxu=K exc（τ）o图3.8。C≤ rL（α）+- 1） /α+我们通过变换（3.4）将CVx、CTx、c（τ）分别表示为CV、CT、c（t）的对应物。

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2022-5-8 00:24:20

从（3.8），u- Kexis相对于x减小，因此转换边界y给定为asc（τ）=inf{x≤ 0:u（x，τ）=Kex}，转换区和延拓区可以进一步表征为asCVx={（x，τ）∈ (-∞, 0）×（0，T）：u（x，τ）=Kex}={（x，τ）∈ (-∞, 0）×（0，T）：x≥ c（τ）}；CTx={（x，τ）∈ (-∞, 0）×（0，T）：u（x，τ）>Kex}={（x，τ）∈ (-∞, 0）×（0，T）：x<c（τ）}。本节的主要结果是证明在不同的参数假设下，对流和连续区域具有以下形状（见图3.6）- 3.8 ). 注意，图3.8显示转换边界是非单调的，当时间接近对流边界的起点时，转换边界可能会上升。接下来，我们证明了自由边界c（τ）的位置、渐近性、单调性和正则性。定理3.2（自由边界的位置）对于c<qK的情况，变分不等式（3.5）的自由边界c（τ）具有以下性质：（1）CVx {x≥ 所以CTx {x<x}和c（τ）∈ [X，0]，其中X= ln c- ln K- lnq.（2）对于任意τ，存在一个c（τ）>cf的正常数tsuch∈ （0，t]其中c= 最大{X，ln L-在K}。（3） c（τ）的起点是（c（0），0）和c（0）= limτ→0+c（τ）=c.证明。(1). 根据（3.5），在域CVx中∩ OhmT、 V=kex，必须保持C≤ τV- LV=τ（kex）- L（K ex）=q K ex=> 十、≥ 因此，CVx∩OhmT {x≥ X}。自CLx以来∩ OhmT=O，然后是CTx {x<x}和c（τ）≥ 十、(2). 该证明分为两种情况：情况1：如果c=X（见图3.6和3.7），那么对于任何τ>0的情况，证明c（τ）>X是足够的。我想不会吧。性质（1）意味着存在一个t>0，使得c（t）=X。

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2022-5-8 00:24:23

我们推断在域N=(-∞, 十） ×（0，t）：u>Kex，u满足τu- Lu=c≥ qKex=τ（Kex）- L（Kex），u（X，t）=Kex | X=X。根据Hopf引理（见[9]），我们得到x（u）- Kex）（X，t）<0。另一方面，定理3.1暗示徐∈ C(OhmT）。意思是xu连续穿过自由边界c（τ），并且x（u）- Kex）（X，t）=0。因此，我们有一个矛盾。案例2：如果c=ln L- 在K（参见图3.8）中，则证明存在一个正常数tsuch thatc（τ）>ln L- 在K， τ ∈ （0，t）。我们需要证明的是，存在一个正常数t，使得u（lnl- ln K，τ）>K ex | x=ln L-ln K=L， τ ∈ （0，t]。（3.10）实际上，我们将w表示为PDE（B.1）的解，然后w采用（B.2）的显式形式。因此，A-B-P最大原理（见[20]）意味着≥ w英寸Ohm为了证明（3.10），我们使用（B.2）的显式形式来估计w（Lnl）的渐近行为-lnk，τ）asτ→ 0+. 不难检查为τ→ 0+，我们有如果x>0，Φ（x，τ，t）=Φ（x，τ，t）=1+o(√τ），如果x<0，Φ（x，τ，t）=Φ（x，τ，t）=o(√τ），如果x=0，Φ（x，τ，t）=-σ α√2π√τ - t+o(√τ），如果x=0，Φ（x，τ，t）=-σ (α+1)√2π√τ - t+o(√τ），w（ln L）- lnk，τ）- L=o(√τ）+L-σ α√2π√τ+o(√τ )- L-σ (α+ 1)√2π√τ+o(√τ )=σL√2π√τ+o(√τ ).因此，有一个正常数tsatis fies（3.10）。(3). 既然我们已经证明了（2）的性质，就有必要证明→0+c（τ）≤ c、如果我们可以证明，对于任何固定的x>c，都存在一个正常数δ，那么上述不等式是显而易见的*使得u（x，τ）=kex | x=x， τ ∈ [ 0, δ*]. （3.11）实际上，对于任何固定的x>c，我们构造了一个函数，使得w（x，τ）=Kex+δ（x）- x），（x，τ）∈ N△= [x]- δ、 x+δ]×[0，δ*],式中δ，δ*是要测定的正常数。我们首先假设δ很小，所以x-δ>坎德x+δ<0。接下来，我们展示≤ W酒店。

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2022-5-8 00:24:26

事实上，在域N中很容易检查WSatiesτW- LW=qKex- δ[σ+（2r）- 2问-σ）（十）- 十）- r（x）- x） ]≥ qKex-δ- δ[σ+（2r+2Q+σ）δ]>c- δ[σ+（2r+2q+σ）δ]，其中我们使用了x- δ>c≥ 最后一个不平等。选择足够小的δτW- 此外，很明显w（x±δ，0）>Kex（x±δ，0）=u（x±δ，0）。回忆你∈ C（OhmT）我们推断出存在一个正常数δ*使得w（x±δ，τ）≥ u（x±δ，τ）， τ ∈ [ 0, δ*].因此，我们感到满意(τW- LW≥ c、 W≥ 基克斯，西北部≥ u、在请注意。A-B-P最大原理（见[20]）意味着≤ 在域名中。特别是，美国≤ W=Kexon直线x=x，τ∈ (0, δ*]. 把你≥ Kex，我们得到（3.11）。接下来，我们分析fr-ee-b边界的渐近行为和VI（3.5）asτ的解→ ∞:定理3.3（自由边界的渐近性）对于c<qK的情况，自由边界c（τ）和VI（3.5）的解u（x，τ）具有以下渐近性质：（1）如果≤ rK（α）+- 1） /α+成立，其中α+在引理A.1中定义，那么我们有（见图3.6和图3.8）limτ→+∞c（τ）=c∞= 自然对数α+α+- 1crK,limτ→+∞u（x，τ）=u1，∞（十）=Kα+expnα+x+（1）- α+c∞o+cr，x<c∞,凯克斯，c∞≤ 十、≤ 0.（2）如果c>rK（α+- 1） /α+保持不变，则存在正康斯坦特，使得自由边界c（τ）在点（0，T）处结束（见图3.7），即c（τ）=0，表示τ∈ [T，T]，CTx (-∞, 0）×[T，T]，limτ→+∞u（x，τ）=u2，∞（十）= Keα+x+cr（1）- eα+x），x≤ 0.备注3.1事实上，上述结果意味着有限视界问题的解u（x，τ）和自由边界c（τ）收敛于解u1，∞（或u2，∞) 自由边界c∞（或0）随着时间的推移，相应的永久性问题。证据

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大多数88

2022-5-8 00:24:31

证明分为五个步骤：步骤1：构造VI（3.5）的上解和子解。对于任何固定的t>0，我们将UTA表示为Wp，loc(Ohm) ∩ C（Ohm ) 以下VI的解决方案：-Lut=c+re-rt/2，如果ut>Kexand x∈ Ohm , (-∞, 0),-卢特≥ c+re-rt/2，如果ut=kex和x∈ Ohm,ut（0）=K。（3.12）我们将在步骤2中给出VI（3.12）的显式解。表示W=ut+ert/2-rτ- E-rt/2。我们认为，如果t足够大，W是VI（3.5）的超解。事实上，这并不难验证τW- LW≥ c和W≥ Kex，W（0，τ）≥ K=u（0，τ），0≤ τ ≤ t、 W（x，0）≥ K+ert/2- E-rt/2≥ K≥ max{L，Kex}=u（x，0），x≤ 0.（注意r>0）通过应用VI的比较原理（见[22]），我们推导出u≤ W=ut+ert/2-rτ- E-rt/2。（3.13）接下来，表示UTA为Wp，loc(Ohm) ∩ C(Ohm ) 以下VI的解决方案：-Lut=c- 重新-rt/2，如果ut>Kexand x∈ Ohm,-卢特≥ C- 重新-rt/2，如果ut=kex和x∈ Ohm,ut（0）=K。（3.14）我们将在步骤2中给出VI（3.14）的显式解。W=ut- ert/2-rτ+e-rt/2。重复上面同样的论点，我们推断出≥ w=ut- ert/2-rτ+e-rt/2，（3.15），前提是t足够大。第二步：我们求解VIs（3.12）和（3.14）。这有助于解决以下问题：-Lv=c*, 如果v>kex和x∈ Ohm,-吕≥ C*, 如果v=kex和x∈ Ohm,v（0）=K（3.16）。很明显，如果我们让c*= c+re-rt/2和c*= C-重新-分别为rt/2。（1）在案例c中*≤ rK（α）+- 1） /α+，我们首先找到（3.16）的下列关联自由边界问题的有界解：(-Lv=c*> 0，x∈ (-∞, 十、*),xv（x）*) = v（x）*) = 凯克斯*.（3.17）不难检查（3.17）的溶液应为v=aeα+x+beα的形式-x+c*r、 x<x*,α在哪里-在引理A.1中定义。因为v有界且α-< 0，那么B=0。

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2022-5-8 00:24:34

回顾边界条件，我们推导出eα+x*= 凯克斯*-C*r、 Aα+eα+x*= 凯克斯*.既然α+>1，那么我们有x*= 自然对数α+α+- 1c*rK, v=Kα+eα+x+（1）-α+x*+C*r、（3.18）很明显，x*≤ 0.将v扩展到(-∞, 0]如下所示：v（x）=Kα+exp{α+x+（1- α+x*} +C*r、 x<x*,凯克斯，凯克斯*≤ 十、≤ 0.（3.19）接下来，我们证明v是唯一的Wp，loc(Ohm) ∩C(Ohm ) ∩L∞(Ohm) VI（3.16）的解决方案。在fac t中，唯一性遵循VI的比较原理（s e[22]），并且很容易验证解的正则性。那么证明v满足VI（3.16）就足够了。根据（3.18），我们可以检查xv（x）=keα+x+（1）-α+x*= Kexe（α）+-1）（十）-十、*)≤ Kex=x（Kex），x≤ 十、*.通过结合（3.17）的边界条件，我们得到了tha tv（x）- 凯克斯≥ 0, 十、≤ 十、*.因此，我们只需要证明这一点*≤ -LKex=q Kex， x>x*.这足以证明C*≤ q Kex*= qkα+α+- 1c*rK<=>α+α+- 1.≥rq<=> α+≤rr- q、（3.20）事实上，很容易检查σrr- Q+R- Q-σrr- Q- r=σ“rr- Q-rr- q#>0。回顾α+的定义，我们从二次函数的性质推导出（3.20）。因此，我们检查了v是VI（3.16）的唯一解。（2）在c的情况下*> rK（α）+- 1） /α+，sinc e x*（3.18）中定义的v大于零，则（3.19）中定义的v不是VI（3.16）的解。现在，我们需要重建VI（3.16）的解决方案。我们首先解决以下问题：- Lv=c*> 0，x∈ (-∞, 0); v（0）=K.（3.21）不难检验有界解是v（x）=Keα+x+c*r（1）- eα+x），x≤ 0.（3.22）接下来，我们证明v是唯一的Wp，loc(Ohm) ∩C(Ohm ) ∩L∞(Ohm) VI（3.16）的解决方案。通过与上述相同的公式，证明v（x）是有效的≥ KEX或任意x≤ 0.事实上，我们计算xv（x）=α+K-C*Reα+x≤ Keα+x≤ 凯克斯，十、≤ 0，这里我们使用了α+>1。通过结合（3.21）的边界条件，我们推导出v（x）≥ KEX或任意x≤ 0

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2022-5-8 00:24:38

因此，我们证明了v是VI（3.16）的唯一解。第3步：在c<rK（α）的情况下验证属性（1）+- 1)/α+.根据（3.13）和（3.15），如果t足够大，我们推导出以下不等式，ut（x）- ert/2-rτ+e-rt/2≤ u（x，τ）≤ut（x）+ert/2-rτ- E-rt/2。特别是，通过取τ=t，我们得到了（x）≤ u（x，t）≤ut（x）。自从ut，u，ut≥ 我们导出{x:ut（x）=Kex} {x:u（x，t）=Kex} {x:ut（x）=Kex}。检查tc+re并不困难-rt/2，c- 重新-rt/2→ c<rK（α）+- 1） /α+as t→ +∞.因此，第2步中的结论意味着ut用c表示（3.19）的形式*= C- 重新-rt/2和C*= c+re-分别为rt/2。将xt表示为相应的自由边界点x*定义见（3.18）。因为t是任意的，所以我们有[xτ，0]={x:uτ（x）=Kex} {x:u（x，τ）=Kex} {x:uτ（x）=Kex}=[xτ，0]，前提是τ足够大。因此，自由边界c（τ）的定义意味着α+α+- 1c- r e-rτ/2rK= xτ≤ c（τ）≤xτ=lnα+α+- 1c+re-rτ/2rK< 0，前提是τ足够大。此外，检查limτ并不困难→+∞xτ=c∞= limτ→+∞xτ，limτ→+∞uτ（x）=u1，∞（x） =limτ→+∞uτ（x），十、∈ Ohm.因此，性质（1）如下。第4步：在c=rK（α）的情况下证明性质（1）+- 1)/α+.在这种情况下，c- 重新-rt/2<rK（α+- 1） /α+，如果t足够大，UT仍然采用（3.19）的形式。重复步骤3中相同的参数，我们仍然有C（τ）≥ xτ=lnα+α+- 1c- r e-rτ/2rK, lim-infτ→+∞c（τ）≥ limτ→+∞xτ=0=c∞,lim-infτ→+∞u（x，τ）≥ limτ→+∞uτ（x）=u1，∞（x） =Kα+eα+x+cr，十、∈Ohm,假设τ足够大。另一方面，自由边界c（τ）的定义意味着c（τ）≤ 因此，我们推导出limτ→+∞c（τ）=0=c∞.通过应用与步骤3相同的方法，我们得出thatlim supτ→+∞u（x，τ）≤ limτ→+∞uτ（x），十、∈ Ohm.自从c+re-rτ/2>（α+- 1） rK/α+，uτ的形式为（3.22），而不是（3.19）。

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2022-5-8 00:24:42

计算atlimτ很容易→+∞uτ=K-铬eα+x+cr=K-(α+- 1） rKα+reα+x+cr=u1，∞（x）。从上面的论点中，我们得到了thatlim infτ→+∞u（x，τ）≥ limτ→+∞uτ（x）=u1，∞（x） =limτ→+∞uτ（x）≥ lim supτ→+∞u（x，τ）。因此，我们证明了c=rK（α）情况下的性质（1）+- 1)/α+.第五步：证明属性（2）。在这种情况下，如果τ足够大，uτ的形式为（3.22）。重复与脚背3相同的论证，我们得到{x=0}={x:uτ（x）=Kex} {x:u（x，τ）=Kex} {x:uτ（x）=Kex}={x=0}，前提是τ足够大。那么，自由边界c（τ）的定义意味着，如果τ足够大，c（τ）=0。因此，存在一个正常数，C（τ）=0， τ ≥T很明显，limτ→+∞uτ（x）=u2，∞（x） =limτ→+∞uτ（x），十、∈ Ohm.因此，属性（2）如下。鉴于定理3.2中的性质（2）、（3）和定理3.3中的性质（1），我们讨论了自由边界c（τ）的非单调性（见图3.8）。定理3.4（自由边界的非单调性）对于c<qK，如果c≤ rL（α）+- 1） /α+成立，那么自由边界c（τ）在区间[0，T]中是非单调的（我们假设T足够大）。证据如果c≥ C∞, 那么定理3.2中的性质（2）、（3）意味着存在一个t>0，使得c（t）>c=c（0）≥ C∞.根据定理3.3中的性质（1），我们知道存在一个足够大的t>tandc（t）≤C∞+ c（t）<c（t）。因此，自由边界c（τ）是非单调的。另一方面，C≥ C∞<=> 最大值cqK，LK≥α+α+- 1crK<=> 最大值cq，L≥α+α+- 1cr。通过应用与（3.20）证明中相同的方法，我们得出结论：α+<rr- Q<=> （r）- q） α+<r<=>cq<α+α+- 1cr。因此，c≥ C∞<=> L≥α+α+- 1cr<=> C≤rL（α）+- 1)α+.接下来，我们考虑了自由边界c（τ）的单调性和正则性≥ rL。

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2022-5-8 00:24:45

因为（3.9）成立，所以这个问题在这种情况下是相对标准的。定理3.5（自由边界的正则性）对于c<qK的情况，如果c≥ r L保持不变，自由边界c（τ）在[0，T]与c（τ）的区间上相对于τ增加∈ C[0，T]∩ C∞（0，T）。此外，c（τ）在[0，T]上严格增加，T=sup{τ∈ [0，T]：c（τ）<0}。证据根据（3.8）和（3.9），我们有x（u）- （凯克斯）≤ 0, τ（u）- （凯克斯）≥ 上午0点OhmT.通过结合美国- 凯克斯∈ C（OhmT）我们推导出u（x，τ）- Kexis相对于τ增加，相对于x减少。对于任何固定τ∈ （0，T]和任意x∈ [c（τ），0]，τ∈ [0，τ]，我们推导出≤ u（x，τ）- 凯克斯≤ u（c（τ），τ）- Kec（τ）≤ u（c（τ），τ）- Kec（τ）=0，其中我们使用u=Kexon作为自由边界。因此，自由边界的定义意味着c（τ）≤ 对于nyτ，c（τ）∈ [ 0, τ]. 因此，我们推断c（τ）在[0，T]上增加。定理3.2中的性质（3）意味着c（τ）在τ=0时是右连续的。接下来，我们证明c（τ）在（0，T）上是连续的，否则，存在一些常数x，x，tsuch，x<x≤ 0,0<t<t，limτ→T-c（τ）=x，limτ→t+c（τ）=x（见图3.9），以及τu- Lu=c in（x，x）×[t，t]，u（x，t）=Kex，十、∈ （x，x）。τxoxoxototoTCTxCVxc（τ）m图3.9。非连续自由边界如果x<x<x，那么我们有τu（x，t）=c+LKex=c- qK ex<0，其中最后一个不等式从x开始≥ 十、这是从定理3.2的性质（1）推导出来的。很明显，上述ine质量与（3.9）相矛盾。接下来，我们证明了c（τ）在[0，T]上严格递增。否则，存在一些常数x，t，tsuch，x<0，0≤ t<t≤ Tand c（τ）=xf表示任何τ∈ [t，t]（见图3.9）。很明显，u（x，τ）=kex对于任何（x，τ）∈ [x，0]×[t，t]。自从徐不断地跨越自由边界xu（x，τ）=kex对于任何τ∈ [t，t]。

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2022-5-8 00:24:48

然后我们推断τu（x，τ）=0，τ(xu）（x，τ）=0， τ ∈ [t，t]。（3.23）另一方面，在域N=(-∞, x） ×（t，t），u和τu分别满足τu- N中的Lu=c，u（x，τ）=Kex， τ ∈ （t，t）(τ(τu）- L(τu）=0，τu≥ 0英寸N，τu（x，τ）=0， τ ∈ （t，t）。通过应用Hopf引理，我们推导出x(τu）（x，τ）<0，这与（3.23）中的第二个等式相矛盾。最后，由于我们有e估计值（3.9），标准的做法是显示C∞（0，T）（见[10]）。接下来，我们改进了c<rL情况下自由边界c（τ）的正则性。在这种情况下，（3.9）是错误的，因此[10]中的标准方法不适用于这个问题。改进正则性的主要思想是对原问题应用适当的坐标变换，并将其转化为新问题，从而获得类似于（3.9）的估计。定理3.6（自由边界的正则性）对于c<qK的情况，如果c<rL进一步成立，则自由边界c（τ）∈ C[0，T]∩ C∞（0，T）。证明。我们首先应用以下变换y=x+R-氯τ、 v（y，τ）=e（r-cL）τ（u（x，τ）- Kex）。（3.24）不难推断v满足以下VI（见图3.10）：τyoOo△CTyCVycy（τ）图3.10。

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nandehutu2022

2022-5-8 00:24:51

变换后的自由边界cy（τ）τv- Lyv=ce（r）-cL）τ- qKey，如果v>0和（y，τ）∈ OhmyT，τv- 莱夫≥ 行政长官（r）-cL）τ- qKey，如果v=0和（y，τ）∈ Ohmy，v（（r）- c/L）τ，τ=0,0≤ τ ≤ T、 v（y，0）=（L- 键）+，y≤ 0，（3.25），其中lyv=σyyv+氯- Q-σ伊夫-cLv，OhmyT=纽约<R-氯τ, 0 < τ ≤ 到对于任何足够小的δ>0，我们表示ev（y，τ）=v（y，τ+δ），（y，τ）∈ OhmyT-δ.然后，ev代表以下VI（见图3.10）：τev- Lyev=ce（r）-cL）（τ+δ）- qKey≥ 行政长官（r）-cL）τ- qKey，如果ev>0和（y，τ）∈ OhmyT-δ,τev- 莱夫≥ 行政长官（r）-cL）（τ+δ）- qKey≥ 行政长官（r）-cL）τ- qKey，如果ev=0和（y，τ）∈ OhmyT-δ、 ev（（r）- c/L）τ，τ）=v（（r）-c/L）τ，τ+δ）≥ 0, 0 ≤ τ ≤ T- δ、 ev（y，0）=v（y，δ），y≤ 0.接下来，我们证明ev≥ v英寸OhmyT-δ. 事实上，VI的比较原理（见[22]）意味着它足以证明ev（y，0）=v（y，δ）≥ （L）- 键）+=v（y，0）。此外，由于≥ 那么我们需要证明的是- 键是（3.25）的子解。事实上，我们可以检查一下τ（L）- 钥匙）- Ly（L）- 键）=c- qKey≤ 行政长官（r）-cL）τ- qKey，（L）- 钥匙）y=（r）-c/L）τ≤ 0=v（y，τ）y=（r）-c/L）τ，0≤ τ ≤ 因此，我们得出结论- 键实际上是（3.25）的子解。我们已经证明了v（y，τ+δ）=ev（y，τ）≥ v（y，τ）inOhmyT-对于任何足够小的δ，这意味着τv≥ 几乎世界各地Ohm嗯。因此，通过使用[10]中的方法，我们可以证明cy（τ）∈ C[0，T]∩C∞（0，T）。根据变换（3.24），我们得到cx（τ）=cy（τ）-R-氯τ. 因此，c（τ）∈ C[0，T]∩ C∞定理3.1的证明我们在本附录中证明定理3.1。

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2022-5-8 00:24:55

因为（3.5）位于OhmT、我们在有界域中使用以下VI来近似（3.5），τun- Lun=c，如果un>Kexand（x，τ）∈ Ohm新界，τun- 伦≥ c、如果un=Kexand（x，τ）∈ Ohm新界，联合国(-n、 τ）=cr+rL-cre-rτ，un（0，τ）=K，0≤ τ ≤ T、 un（x，0）=max{L，Kex}，-N≤ 十、≤ 0，（A.1）其中Ohm新界= (-n、 0）×（0，T]和n∈ N+N>max{ln K- ln L，ln r+ln K- 在c}。接下来，我们利用惩罚方法证明了（A.1）解的存在性。我们首先构造惩罚函数βε（·），使得βε（s）∈ C∞（R），βε（s）≥ 0，β′ε（s）≥ 0，β′ε（s）≥ 0，βε（s）=0表示任何s≤ -ε、 βε（0）=M△= qK-c>0，（A.2）和limε→0βε（s）=（0，s<0+∞, s>0。然后，我们使用以下惩罚问题来评估oximate（A.1）：τuε，n- Luε，n- βε（Kex）- uε，n）=c inOhmnT，uε，n(-n、 τ）=cr+rL-cre-rτ，uε，n（0，τ）=K，0≤ τ ≤ T、 uε，n（x，0）=πε（Kex- 五十） +L，-N≤ 十、≤ 0，（A.3），其中πε（s）是平滑初值ma x{L，Kex}的平滑函数，满足πε（s）∈C∞（R），πε（s）≥ s、 0≤ π′ε（s）≤ 1，π′ε（s）≥ 0，limε→0+πε（s）=s+和πε（s）=（s，s）≥ ε、 0，s≤ -ε .引理A.1对于任意固定的n和ε，（A.3）有一个唯一的强解，使得uε，n∈ W2，1p(Ohm（新界）∩C(Ohm对于任何1<p<∞, 我们有以下估计：maxKex，cr+rL- cre-rτ≤ uε，n≤ K英寸Ohm新界；（A.4）0≤ 徐εn≤ K前任- α-eα-（x+n）-N在…上OhmnT，（A.5）式中α+，α-分别是普通微分算子L的正特征根和负特征根。也就是说，α+，α-分别是下列代数方程的正根和负根：∑α+R- Q-σα - r=0。如果c≥ RL，我们有以下估计：τuεn≥ -rεa.e.英寸Ohm新界。（A.6）证据。（A.3）c的解的存在性可以用[23,25,27]中类似的方式来证明，详情请参阅这些文献。唯一性直接来自A-B-P最大值原理（见[20]）。接下来，我们证明（A.4）。

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2022-5-8 00:24:58

让w=Kexand回忆（A.2），我们计算τw- Lw-βε（Kex）- w）- c=qKex- βε(0) - c=qKex+c- qK-C≤ 0，w(-n，τ）=Ke-N≤ 闵cr，L≤ uε，n(-n、 τ），w（0，τ）=K=uε，n（0，τ），w（x，0）=Kex≤ 麦克斯{L，Kex}≤ πε（Kex）- 五十） +L=uε，n（x，0）。因此，w=Kexis是（a.3）的子解，我们已经证明了uε，n≥ 凯克斯。Lettingw=cr+rL- cre-rτ，我们有τw- Lw-βε（Kex）- w）- C≤ τw+rw- c=0，w(-n，τ）=uε，n(-n、 τ），w（0，τ）≤ 最大值cr，L≤ maxnqKr，Lo≤ K=uε，n（0，τ），w（x，0）=L≤ 麦克斯{L，Kex}≤ πε（Kex）- 五十） +L=uε，n（x，0）。因此，w是（A.3）的另一个子解，我们证明了（A.4）中的第一个不等式。此外，很容易检查K是（a.3）的超解。因此，（A.4）中的第二个不等式是显而易见的。接下来，我们证明（A.5）中的第二个不等式。LetW=cr+rL- cre-rτ+K前任- eα-（x+n）-N.如果ε足够小，n足够大，那么OhmnT，W满意度（x，τ）≥ minncr，Lo+Kex- 柯-N≥ Kex+ε，和τW- LW+βε（Kex）- W）- c=c+qKex- c>0，W(-n、 τ）=uε，n(-n、 τ）；W（0，τ）≥ K+ε>K=uε，n（0，τ），W（x，0）≥ L+Kex- 柯-N≥ πε（Kex）- 五十） +L=uε，n（x，0）。因此，W是（A.3）的另一个超解，满足ε，n（x，τ）≤cr+rL- cre-rτ+K前任- eα-（x+n）-N= uε，n(-n、 τ）+K前任- eα-（x+n）-N.如果我们定义新的（x，τ）=K前任- α-eα-（x+n）-N,然后我们有徐ε，n(-n、 τ）≤W(-n、 τ）。

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