用最优切换法求解有限时域Dynkin对策

2022-5-7 03:52:08

用最优切换法求解有限时域Dynkin对策*Randall殉道者+2018年10月8日摘要本文利用具有负切换成本的连续时间有限视界最优切换问题的最新结果，证明了最优停止（Dynkin）博弈中鞍点的存在性。利用最近关于双反射倒向随机微分方程范数估计的结果，获得了博弈值在时间范围内连续的充分条件。然后，针对Black-Scholes市场中可撤销看涨期权和看跌期权的特殊情况，对该理论进行了数值证明。MSC2010分类：91A55、91A05、93E20、60G40、91B99、62P20、91A15、91G60。关键词：最优切换，停止时间，最优停止问题，斯奈尔包络。1导言[7,9,25]等最近的论文显示了Dynkin对策与两种模式的最优切换问题之间的联系。特别是，让0<T<∞ 表示地平线，[7,9]的结果表明，值过程（Vt）为0≤T≤持续时间内（下文第2.1节）的Dynkin游戏的Tof存在并满足Vt=Yt-Yt，其中Y=（Yt）0≤T≤Tand Y=（Yt）0≤T≤对初始模式为1和0的最优切换问题分别进行皮重计算。另外，文献[2,13]展示了如何构造两个非负的超鞅来解决有限时间范围内的Dynkin博弈。此外，这些超级马术运动员的适当出场时间可以用来形成比赛的鞍点策略。因此，很明显，经典的两人Dynkin对策和双模最优切换问题在以下意义上是强耦合的：从Dynkin对策或最优切换问题开始，一个可以使用其参数和解来描述和求解另一个问题。

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2022-5-7 03:52:12

本文补充了这些发现，在适当的条件下，证明了双模最优切换问题的解为相应的Dynkin对策提供了一个延迟点的存在性。这是通过Snellenvelopes方法实现的，该方法一方面出现在[1]中的最优切换问题中，另一方面出现在[2,13]forDynkin博弈中。在这个过程中，我们将双模最优切换问题的解对与一对位于游戏早期退出值之间的超鞅联系起来。这种情况在某些情况下被称为莫科博德斯基假说。本文的研究内容如下。第二节介绍了Dynkin博弈及其辅助最优切换问题。第3节概述了一些符号和长期假设。博弈的结果在第4节“均衡的存在”中给出。*该研究得到了EPSRC拨款EP/K00557X/1的部分支持。+英国曼彻斯特牛津路曼彻斯特大学数学学院M13 9PL。电子邮件：兰德尔。martyr@gmail.comSolving第5节讨论了通过最优切换的有限时间视界Dynkin对策2关于对策解对时间视界依赖性的附加结果。展示这一理论的数字可以在第6节中找到，然后是结论、确认和参考。2.准备工作2。1 Dynkin博弈最优停止博弈，也称为计时随机博弈或Dynkin博弈，由Eugene Dynkin在20世纪60年代的某个时候引入。从那时起，人们对这些博弈进行了深入的研究，由于[11]中引入了博弈未定权益（也称为以色列期权），这些博弈重新引起了人们的兴趣。

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2022-5-7 03:52:14

下面描述的Dynkingame的特殊变体在最近的论文中进行了研究，如[2,7,8]。我们研究一个给定的完全概率空间(Ohm, F、 P）配备过滤器F=（英尺）0≤T≤∞满足F=F∞:=WTF和正确连续性和完整性的一般条件。我们用1a来表示集合（事件）a的指示函数。简写符号a.s表示“几乎肯定”。为了0≤ T≤ ∞ 设置英尺=（英尺）0≤T≤T、每个人∈ [0，T]设Tt，Tdenote满足T的FT停止时间的集合≤ ν ≤ T P-a.s.为阿吉文s∈ T0，T，我们写TS，T={ν∈ T0，T:ν≥ 标准普尔- a、美国。设E表示相应的期望算子。为了便于记法，对ω的依赖∈ Ohm 经常被压制。地平线T∈ (0, ∞) 为下文的讨论和本文的大部分内容确定。然而，我们经常强调对T的依赖性，因为第5节中的视界有所不同。让我们∈ [0，T]给定并与两名玩家关联，最大停站时间σ∈ Tt，Tandτ∈ T，T。从T到σ，M-IN和MAX之间的游戏一直在进行∧ τ，其中x∧ y： =最小值（x，y）。在此期间，M IN以ψ（t）的（随机）速率支付MAX。如果MIN在T之前退出游戏，并且在MaxExit之前或同时退出，则σ<T和σ≤ τ、 MIN支付给Max的金额为γ-(σ). 或者，如果MAX首先退出游戏，τ<σ，那么MAX向M支付的金额为γ+（τ）。如果两个玩家都没有在时间T之前退出游戏，我们设置σ=τ=T，MIN向M max支付金额Γ。我们定义了[t，t]上Dynkin博弈的这种支付，即玩家M的条件预期成本：Dt，t（σ，τ）=EZσ∧τtψ（s）ds+γ-(σ)1{σ≤τ} {σ<T}- γ+（τ）1{τ<σ}+Γ1{σ=τ=T}英尺, σ, τ ∈ Tt，T（2.1）这是一个零和博弈，因为M IN的成本（收益）就是MAX的收益（成本）。

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2022-5-7 03:52:18

给定时间∈ [0，T]，玩家M IN选择策略σ∈ Tt，T最小化Dt，T（σ，τ），其中最大值起着策略τ的作用∈ 让它最大化。这将导致[t，t]上的游戏的上下值，由V+tand V表示-t分别为：V+t=ess infσ∈Tt，Tess supτ∈Tt，TDt，T（σ，τ），V-t=ess supτ∈是的，苔丝∈Tt，TDt，T（σ，τ）（2.2）定义2.1（游戏价值）。如果time-t的上下限值相等，那么[t，t]上的Dynkin博弈被称为“公平”∈Tt，Tess supτ∈Tt，TDt，T（σ，τ）=Vt=ess supτ∈是的，苔丝∈Tt，TDt，T（σ，τ）。（2.3）用Vt表示的公共值也被称为gameon[t，t]的解或值。通过最佳切换3解决有限时间范围的Dynkin博弈研究Dynkin博弈时，第一步是验证博弈是否公平。之后，我们会为玩家寻找策略，这些策略会给游戏带来价值或接近于游戏价值。这就引出了纳什均衡的概念。定义2.2（纳什均衡）。一对停车时间（σ*, τ*) ∈ Tt，T×Tt，如果对于任意σ，τ，则在[T，T]上建立博弈的纳什均衡或鞍点∈ Tt，T:Dt，T（σ）*, τ) ≤ Dt，T（σ）*, τ*) ≤ Dt，T（σ，τ）*) （2.4）验证鞍点（σ）的存在并不困难*, τ*) ∈ Tt，T×Tt，timpliest[T，T]上的博弈是公平的，其值由以下公式给出：∈Tt，Tess supτ∈Tt，TDt，T（σ，τ）=Dt，T（σ*, τ*) = ess supτ∈是的，苔丝∈Tt，TDt，T（σ，τ）（2.5）在关于ψ和γ±的相当温和的可积性和正则性假设下，已知（例如[3]）存在一个c`adl`ag FT适应过程（Vt）0≤T≤Tsch表示，对于每个t，随机变量vt给出了[t，t]上Dynkin博弈的公允价值。

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2022-5-7 03:52:22

此外，如果止损成本足够有规律，那么首秀时间D+和D-tde定义的比亚迪+t:=inf{s≥ t:Vs=-γ+（s）}∧ T、 D-t:=inf{s≥ t:Vs=γ-（s） }∧ t形成鞍点D-t、 D+t对于[t，t]上的Dynkin游戏。我们在本文中使用双模最优切换得到了类似的结论。2.2双模最优切换双模最优切换或“启动和停止”问题已经在各种背景下进行了研究，如文献[7,9]和其中的参考文献所证明的。按照惯例，我们用0和1表示这两种模式。因为我∈ {0，1}有一个随机的概率ψi：Ohm ×[0，T]→ R和时间T奖励Γi：Ohm → R.每个（i，j）∈ {0，1}×{0，1}从i切换到j的代价由映射γi，j决定：Ohm ×[0，T]→ R.定义2.3（辅助双模切换问题参数）。从Dynkin博弈的Payoff（2.1）中定义最佳切换问题的参数如下：切换成本：对于∈ {0，1}，集γii（·）=0，γi，1-i（t）：=γ-（t） 1{i=0}+γ+（t）1{i=1}。收益率：设定ψ（·）≡ ψ（·）和ψ（·）≡ 0.终端奖励：设置Γ≡ Γ和Γ≡ 0.定义2.4（允许的开关控制）。在固定时间内∈ [0，T]和初始模式∈ {0，1}，一个容许的开关控制α=（τn，ιn）n≥结论：1。一个非递减序列{τn}n≥0 Tt，Twithτ=tp-a.s.2。序列{n}n≥0，其中ι=i是固定的初始值，ιn：Ohm → {0，1}是Fτn-可测且满足ι2n=i和ι2n+1=1- 我喜欢n≥ 0.3. 停止时间{τn}n≥0在以下意义上是有限的：P（{τn<T，N≥ 0}）=0通过最佳切换解决有限时间视界Dynkin对策44。（双）序列α满足supn | Cαn|< ∞其中Cα是第一个n的总成本≥ 1在α：Cαn:=nXk=1γιk下切换-1，ιk（τk）1{τk<T}，n≥ 1在IDE设置时，注意允许的开关控制设置。

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2022-5-7 03:52:25

当t=0时，我们编写ais，当初始模式对讨论不重要时，我们删除superscript i。与每个α相关∈ A是（随机）函数u：Ohm ×[0，T]→ {0，1}被称为模式指示符函数：ut:=ι[τ，τ]（t）+Xn≥1ιn（τn，τn+1）（t），t∈ [0，T]与Dynkin gameon[T，T]相关的切换控制问题的目标函数由J（α；T，i）=E给出ZTtψus（s）ds+uT-Xn≥1γιn-1，ιn（τn）1{τn<T}英尺, α ∈ 在i.（2.6）处，结合ψ和Γ的适当可积性假设，对任何α都定义了目标函数∈ A.对于（t，i）∈ [0，T]×{0，1}给定并固定，目标是找到一个控制α*∈ 在，它使性能指数最大化：J（α*; t、 i）=ess supα∈At，iJ（α；t，i）备注2.5。根据随机模式指示符ιnar，具有超级（子）脚本的过程或函数按以下方式解释：Yιn=Xj∈{0,1}{n=j}Yj，n≥ 0γιn-1，ιn（·）=Xj∈{0,1}Xk∈{0,1}{n-1=j}{n=k}γj，k（·），n≥ 1.3符号和假设3。1符号在本文中，我们经常引用随机过程一般理论中的“可预测”和“准左连续”等概念。读者可以参考参考文献，如[10,24]了解更多细节。我们注意到，对于可预测的时间和过程，我们遵循[23,24]的约定（在参数集（0，∞)).1.对于p≥ 1，让lp表示满足E[|Z | p]<∞.2.对于p≥ 1，让MPF表示F-逐步可测实值过程的集合ESX=（Xt）t≥你满意吗，EZ∞|Xt | pdt< ∞.用最优切换法求解有限时间视界Dynkin对策53。为了p≥ 1，设Spdenote为F-逐步可测过程集X:E监督≥0 | Xt|P< ∞.4.

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nandehutu2022

2022-5-7 03:52:28

设Q表示拟左连续（左连续停止时间）的F适应c`adl`ag过程集。对于给定的0<T<∞ 我们使用类似符号MpT、SPT和QT表示有限时间范围[0，T]。3.2本节中的假设T∈ (0, ∞) 这是武断的。假设3.1。我们采用以下可积性、可测性和正则性假设：o过滤F=（Ft）t≥0满足通常条件，并且是准左连续的瞬时支付率满足ψ∈ MT；o游戏的早期退出停止成本-, γ+∈ 装货单∩ QT；o终端支付满足∈ 土地是可测量的。假设3.2。停止成本假设：i。- γ+（T）≤ Γ ≤ γ-（T）P- a、 s.（3.1）ii。T∈ [0，T]：γ-（t） +γ+（t）>0p- a、 s.（3.2）条件（3.1）是Dynkin对策文献[3]中的标准条件，而条件（3.2）是最优切换问题[7]的典型条件。4通过最优切换存在纳什均衡在本节中，我们使用鞅方法来证明每一个t∈ [0，T]存在一个鞍点（σ*t、 τ*t）对于[t，t]上带payoff（2.1）的Dynkin对策。4.1斯奈尔包络图表明，如果这组随机变量{Xτ，τ∈ T0，T}是一致可积的。提议4.1。设G=（Gt）0≤T≤t这是一个经过调整的R值c`adl`ag过程，属于[D]类。然后存在一个唯一的（直到不可区分的）自适应R值c`adl`AGZ=（Zt）0过程≤T≤Tsuch认为Z是支配G的最小超鞅。过程Z被称为G的Snell包络，它具有以下性质。1.对于任何θ∈ T0，Twe have:Zθ=ess supτ∈Tθ，TE[Gτ| Fθ]，因此ZT=UT。（4.1）通过最佳切换解决有限时间视界Dynkin博弈62。

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2022-5-7 03:52:31

Meyer分解：存在一个一致可积的c`adl`ag鞅M和一个可预测的可积增长过程a，使得所有0≤ T≤ T，Zt=Mt- 在，A=0。(4.2)3. 让θ∈ T0，Tbe给定和{τn}n≥0 Tθ，T是趋于极限τ的停止时间的递增序列∈ Tθ，并使EG-τn< ∞ 为了n≥ 0.假设任何此类序列满足以下条件，lim supn→∞Gτn≤ Gτ然后τ*θ∈ Tθ，由τ定义的Tde*θ=inf{t≥ θ：Zt=Gt}∧ T（4.3）在θ之后是最优的，即：Zθ=EhZτ*θ| Fθi=EhGτ*θ| Fθi=ess supτ∈Tθ，TE[Gτ| Fθ]4。每θ∈ T0，T，ifτ*θ是等式（4.3）中定义的停止时间，然后是停止过程Zt∧τ*θθ≤T≤这是一个（一致可积）c`adl`ag鞅。例如，可以在[5,18,21]中找到这些性质的证明。4.2最优切换问题的鞅方法在假设3.1和3.2下，我们可以证明存在一对唯一的过程Yt，Yt0≤T≤Tsuch那是给我的∈ {0，1}，在概率意义下解最优切换问题。这可以使用斯奈尔信封理论来实现，细节可以在另一篇论文中找到[17]。定理4.2。存在一对独特的过程Yt，Yt0≤T≤t归属于圣∩ QTP- a、 s。，Yit=ess supθ∈Tt，TERθtψi（s）ds+Γi{θ=t}+Y1-iθ- γi，1-i（θ）{θ<T}英尺YiT=Γi（4.4）其中i∈ {0,1}和0≤ T≤ T此外，对于每（t，i）∈ [0，T]×{0，1}，存在一个控制α*∈ At，isuch thatYit=J（α*; t、 i）=ess supα∈At，iJ（α；t，i）4.3纳什均衡的存在性，以及定理4.2和定义Gi中的过程=吉特0≤T≤T、我∈ {0,1}，by:Git=Γi{t=t}+Y1-信息技术- γi，1-i（t）{t<t}（4.5）过程Git+Rtψi（s）ds0≤T≤这是c\'adl\'ag，在上述第4.1条提案中，该过程Yit+Rtψi（s）ds0≤T≤这是斯奈尔的信封Git+Rtψi（s）ds0≤T≤T

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nandehutu2022

2022-5-7 03:52:33

假设3.1通过最佳切换7和3.2解决有限时间范围内的Dynkin博弈，以及∈ 装货单∩ QTI∈ 一、 GI在[0，T]上是准左连续的，在T处有一个可能的正跳跃。因此，我们可以应用命题4.1的性质3来验证anyt∈ [0，T]，停止时间ρi，*由ρi定义的tde，*t=inf{s≥ t:Yis=Y1-是- γi，1-i（s）}∧ T（4.6）是以模式i启动时[T，T]的最佳首次切换时间∈ {0, 1}. 每个t∈ [0，T]，使用（4.6）定义一对停车时间（σ*t、 τ*t）按σ*t=ρ0，*t、 τ*t=ρ1，*t（4.7）我们将证明（σ*t、 τ*t）是[t，t]上Dynkin游戏的鞍点。为了做到这一点，我们首先建立了以下关于这一对的引理Y、 Y根据莫科博德斯基的假设。引理4.3。Yand Yof定理4.2的过程满足以下条件：τ ∈ T0，T：-γ+(τ) ≤ Yτ- Yτ≤ γ-（τ），P- a、 s.（4.8）证明。因为我∈ {0,1}，让Gi=吉特0≤T≤t如式（4.5）所示。记住yit+Rtψi（s）ds是0上Git+Rtψi（s）ds的Snell包络≤ T≤ T让τ∈ T0，Tbe武断。根据（右连续）斯奈尔包络的支配性质，Yiτ≥ Giτ保持P-a.s.，这表明≤ Yiτ- Giτ=Yiτ+γi，1-i（τ）- Y1-iτ几乎肯定在{τ<T}上，由此我们得到-γ+(τ) ≤ Yτ- Yτ≤ γ-（τ）几乎可以肯定的是{τ<T}另一方面，我们有Yτ- Yτ=ΓP- a、在{τ=T}事件上。将其与方程（3.1）结合使用-γ+(τ) ≤ Yτ- Yτ≤ γ-（τ）几乎可以肯定的是，{τ=T}和索赔（4.8）成立。定理4.4。让我们来看看定理4.2中的过程。那么每一个t∈ [0，T]，（σ*t、 τ*t）等式（4.7）中定义的满意度：Yt- Yt=Dt，T（σ）*t、 τ*t） P- a、 s.（4.9），其中Dt，T（·，·）是报酬（2.1）。此外，对于任何σ，τ∈ Tt，T:Dt，T（σ）*t、 τ）≤ Dt，T（σ）*t、 τ*（t）≤ Dt，T（σ，τ）*t）（4.10）证据。对于t=t，这一说法基本上是令人满意的，所以从今以后让t∈ [0，T）是一个给定但任意的时间。

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2022-5-7 03:52:36

因为我∈ {0,1}，让Gi=吉特0≤T≤t如式（4.5）所示。定义流程=^Yt0≤T≤Tby^Yt:=Yt+Rtψ（r）dr.根据定理二。在[23]中的77.4条中，一个停止的超级马丁格尔也是一个超级马丁格尔。对于每个σ，τ∈ 他阻止了斯奈尔的信封Y∧(σ∧τ*（t）T≤s≤坦然^Ys∧(σ*T∧τ)T≤s≤因此，皮重是最重要的。此外，利用命题4.1中停止的斯奈尔包络的马廷格尔性质，我们可以看到^Y- 主要内容如下：1。^Ys- YT≤s≤(σ*T∧τ*t）是鞅；用最优切换法求解有限时间视界Dynkin对策。对于任何σ，τ∈ Tt，T，^Ys- YT≤s≤(σ*T∧τ）是一个超级艺术家；3.对于任何σ，τ∈ Tt，T，^Ys- YT≤s≤(σ∧τ*t）是次鞅。这种描述使我们能够证明（4.9）和（4.10）。用于建立（4.10）的参数基本上与我们用来展示（4.9）的参数相同，根据假设3.2和引理4.3，模从等式到不等式的直接变化。

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2022-5-7 03:52:39

因此，我们仅证明（4.9）。^Y的鞅性质- Yon[t，σ*T∧ τ*t] 允许我们推断如下：Yt- Yt=E“Zσ*T∧τ*ttψ（r）dr+Yσ*T∧τ*T- Yσ*T∧τ*TFt#（4.11）涉及这一对的术语Y、 Y条件期望的内部可以重写为：EhYσ*T∧τ*T- Yσ*T∧τ*TFti=EYσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t}英尺+ EYτ*T- Yτ*T{τ*t<σ*t}英尺（4.12）通过等式（4.7）并以事件{τ为条件*t<t}，停止时间τ的最优性*t给出如下结果：Yτ*t{τ*t<t}=h-γ+(τ*t） +Yτ*{tiτ*t<t}（4.13）此外，1{σ*t> τ*t} =1{σ*t> τ*t} {τ*T≤T}=1{σ*t> τ*t} {τ*t<t}自τ*T≤ T和σ*T≤ TP-a.s.，我们可以用方程（4.13）来验证以下内容：P-a.s.，呃Yτ*T- Yτ*T{τ*t<σ*t}Fti=EhYτ*T- Yτ*T{τ*t<σ*t} {τ*t<t}Fti=Eh(-γ+(τ*t））1{τ*t<σ*t}Fti（4.14）由方程（4.7）确定，并以事件{σ）为条件*t<t}，停止时间σ的最优性*tgives:Yσ*t{σ*t<t}=h-γ-(σ*t） +Yσ*ti{σ*t<t}用来推断：呃Yσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t} {σ*t<t}Fti=Ehγ-(σ*t） 1{σ*T≤τ*t} {σ*t<t}Fti（4.15）自τ*T≤ 我们有1{σ*T≤τ*t} {σ*t=t}=1{σ*t=τ*t=t}，并使用YT=Γ和YT=0a。s、我们得到：嗯Yσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t} {σ*t=t}Fti=EhΓ1{σ*t=τ*t=t}Fti（4.16）再次出现，因为σ*T≤ T P-a.s.，我们可以使用方程（4.15）和（4.16）来断言：Yσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t}Fti=EhYσ*T- Yσ*T{σ*T≤τ*t}{σ*t<t}+1{σ*t=t}Fti=Eγ-(σ*t） 1{σ*T≤τ*t} {σ*t<t}英尺+ EΓ1{σ*t=τ*t=t}英尺（4.17）然后，我们使用等式（4.11）中的等式（4.12）、（4.14）和（4.17）来证明权利要求（4.9）。用最优切换法解有限时间视界Dynkin对策。定理4.4的结果是以与文献中使用概率方法的其他几篇论文类似的方式获得的。

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2022-5-7 03:52:44

例如，[19]（特别是Lytheorem 1）使用鞅方法处理Dynkin博弈；[20] （尤其是定理2.1），它在阿马尔科夫环境中对Dynkin对策的值函数进行了半调和描述；[2,8]使用了双重反射后向随机微分方程的概念。备注4.6。虽然我们从一个Dynkin游戏开始，然后制定了一个最优切换问题，但我们可以通过反向操作得出这些结果。更准确地说，用终端奖励数据Γ、Γ和瞬时利润过程ψ、ψ来处理任何两种模式的最优切换问题（满足第3节中的假设）。然后，我们通过设置Γ：=Γ来制定相应的Dynkin对策- Γ, ψ:= ψ- ψ并使用切换成本函数确定博弈的停止成本，如定义2.3.5博弈解对时间范围的依赖性我们在本节和下一节中假设存在标准布朗运动B=（Bt）t≥0定义(Ohm, F、 P），而且F=（Ft）t≥0是B的完全自然过滤。众所周知，在这种情况下，所有F停止时间都是可预测的。因此，所有属于Q的fadapt过程都有P-几乎肯定连续的路径。假设第2.1节的ψ和γ±在所有[0]上定义，∞) 带ψ∈ 曼德γ±∈ s∩Q（γ±仍满足假设3.2）。此外，为了简单易用，我们假设ψ≡ 0并定义两个过程L=（Lt）t≥0和U=（Ut）t≥0by Lt=-γ+（t）和Ut=γ-（t）。对于0<T≤ ∞ 和t∈ [0，T]，我们定义了Dynkin博弈的以下收益：对于σ，τ∈ Tt，T，Dt，T（σ，τ）=EUσ{σ≤τ} {σ<T}+Lτ{τ<σ}+ΓT{σ=τ=T}英尺（5.1）ΓT在哪里∈ 这是可以测量的。

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能者818

2022-5-7 03:52:47

在T=∞ 我们假设lim inftUt≤ lim SuptlandΓ∞满足感∞:= lim suptLtorΓ∞:= 视情况而定。在有限和有限视界设置的适当条件下，已知（例如[3]，或本文针对有限视界的情况）存在一个c`adl`ag FT自适应过程vt，使得随机变量vt是带有payoff（5.1）的游戏值。在本节中，我们证明了确定性（因为Fis是平凡的）映射t7→ VT在（0，∞).这是[22]中关于双反射后向随机微分方程（DRBSDEs）范数估计的最新结果的直接结果。5.1双反射后向随机微分方程为了激发对DRBSDEs的讨论，我们进行了以下观察。根据定理4.2，我们知道∈ (0, ∞) 鉴于并确定存在流程Y0和Y1，T属于ST∩ QT（4.4）。此外，由于ψ≡ 同样，Y0和Y1是适当工艺的斯奈尔包络线，因此是超级马丁格尔。让（Mi，T，Ai，T）表示Yi，T，i的迈耶分解∈ {0,1}（参见（4.2））。我们注意到，bothMi，Tand Ai，Tbelong to styi，T∈ 将过滤FTI置于准左连续位置。利用这种分解，Yi，TT=Γian和Mi，T的布朗鞅表示，我们得到了allt∈ [0，T]：Yi，Tt=Γi，T-ZTtζi，TsdBs+Ai，TT- Ai，TtP-a.s.（5.2）通过优化切换求解有限时间范围内的Dynkin对策，其中ζi，T∈ 这是可以预测的。此外，我们还可以证明（例如[12]中的命题B.11]）Zthyi，Tt- （Y1）-i、 Tt- γi，1-1（t））idAi，Tt=0 P-a.s.（5.3）回想定理4.4，过程VT=（VTt）0≤T≤由VTt定义的Tde=Y1，Tt-Y0，ttPayoff（5.1）解决了Dynkin博弈。

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2022-5-7 03:52:51

回顾定义2.3，引理4.3，并使用上面的（5.2）-（5.3），我们看到在[0，T]上，过程vt满足（VTt=ΓT-RTtζTsdBs+KTT- KTtL≤ 及物动词≤ UVTt- 书信电报dA1，Tt=美国犹他州- VTtdA0，Tt=0，其中ζT:=ζ1，T- ζ0，Tand KT:=A1，T- A0，T（5.4）我们现在介绍一些符号，并回顾[22]中的一些结果。对于0<T<∞ andFT改编的c`adl`ag流程X和X:okXkST：=E（补充0）≤T≤T | Xt |）o 为了0≤ t<t≤ T，WttX表示X在（T，T）ok（X，X）kST上的总变化：=kX+kST+k（X）-kST, 其中X+（分别为X）-) 是积极的（resp.）X的负部分（分别为X）。o让^Xt=max（Xt，Xt-),ˇXt=min（Xt，Xt-):k（X，X）kT:=supπEN-1Xi=0hE[^Xτi+1 |Fτi]-ˇXτii++h^Xτi- E[ˇXτi+1 | Fτi]i++ k（X，X）kstw其中，上确界接管所有停止时间分区π：0=τ≤ . . . ≤ τn=T。定义5.1。[22，第10页]之后，提出了一种与效率（或驱动因素）f（ω，t，v，z）相关的DRBSDE（全局）解决方案：Ohm ×[0，T]×R×R→ R、 FT可测量的终端值ΓT，以及相应的上下势垒L和U，是满足（Vt=ΓT+RTtf（s，Vs，ζs）ds的FT可测量过程的三重（V，ζ，K）-RTtζsdBs+KT- KtL≤ 五、≤ U、 [Vt]-- 书信电报-] dA+t=[Ut]-- 及物动词-] 爸爸-t=0（5.5），其中V是c`adl`ag，K是正交分解K:=a的有限变化过程+-A.-,和K（V，ζ，K）kT:=E“sup0≤T≤T | Vt|+ZT|ζt|dt+图克#< ∞.回顾上述等式（5.4）和（VT，ζT，KT）的性质，我们发现三重（VT，ζT，KT）是定义5.1意义上的DRBSDE（5.4）的解。此外，以引理4.3（Mokobodski的假设）和[22]的定理3.4为例，我们也知道（VT，ζT，KT）在这种情况下是（5.4）的模不可分辨唯一解。通过最优切换115.2求解有限时间范围Dynkin对策DRBSDE的解对时间范围的依赖性此后，我们只考虑带f的DRBSDE（5.5）的解≡ 0

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2022-5-7 03:52:54

让我们来看看∈ (0, ∞)让{Tn}n≥0 (0, ∞) 是单调递减到T:Tn的任意序列吗↓ T我们将[0，T]上的唯一解（V，ζ，K）扩展到[0，T]上的（5.5）到[0，T]上定义的唯一解（VT，ζT，KT），方法如下：∈ [0，T]，VTt:=Vt∧T、 ζTt:=ζT∧T{T≤T}，KTt≡ A+，Tt- A.-,Tt带A±，Tt:=A±t∧T（5.6）通过LTt定义相应的下部和上部屏障Lt和UTon[0，T]：∧坦杜特：=Ut∧T、直接检查（VT，ζT，KT）是否是DRBSDE（VT=ΓT）的[0，T]上的唯一解-RTtζTsdBs+KTT- KTtLT≤ 及物动词≤ 美国犹他州，VTt-- LTt-dA+，Tt=乌特-- VTt-爸爸-,Tt=0（5.7），根据上述第5.1条定义。假设5.2。假设给我们一个序列{ΓTn}n≥0满足的随机变量：o每个Γtn都是可测量的oLTn≤ ΓTn≤ UTnoΓTn→ Γtaln肯定是→ ∞o 苏普≥0|ΓTn|∈ 请注意，最后两个条件意味着ΓTn→ ΓTin Las n→ ∞. 设（VTn，ζTn，KTn）表示DRBSDE（5.5）在[0，Tn]上的唯一溶液。然后，我们以与之前相同的方式（参见（5.6）-（5.7））将这些解决方案扩展到[0，T]，分别使用上下势垒LTN和UTn。我们继续写（VTn，ζTn，KTn）来表示这些扩展，以避免过度的表示法。定义δ（n）V:=（VTn- VT）和类似的其他情况。[22]的定理3.5证明了以下估计：E“sup0≤T≤Th |δ（n）Vt |+|δ（n）Kt | i+ZT |δ（n）ζt | dt#≤ CE[|δ（n）Γ|]+CE[|T |+|Tn |]+k（LTn，UTn）kT+k（LT，UT）kTE“sup0≤T≤Th |δ（n）Lt |+|δ（n）Ut | i#！（5.8）式中，C为正常数。5.3 Dynkin游戏的价值与时间的关系我们现在回到本节的主题，即展示T7→ VT在（0，∞).为此，必须证明，对于每一个T∈ (0, ∞) 和任意序列{Tn}n≥0 (0, ∞)满意的Tn→ T，那个VTn→ VT与VTn（分别为VT）表示（5.5）与f的唯一解≡ 0和时间范围[0，Tn]（分别为[0，T]），并且在通常的欧几里德意义下发生收敛。

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mingdashike22

2022-5-7 03:52:56

我们通过展示T7进行辩论→ VT是（0，∞), 进一步注意到证明单音序列{Tn}n的序列收敛性是有效的≥0 (0, ∞). 我们只显示T 7→ VT是正确的，因为另一个案例也有类似的推理。用最优切换定理5.3求解有限时间视界Dynkin对策。让我们∈ (0, ∞) 任意和{Tn}n≥0 (0, ∞) 任何序列都令人满意吗↓ T让D0，T（·，·）（分别为D0，Tn（·，·））作为与地平线[0，T]（分别为[0，Tn]）的Dynkin游戏的报酬（5.1）。假设终端值Γ和{ΓTn}n≥0在这些相应的支付中，满足假设5.2。然后，让vt和{VTn}n≥0表示这些博弈的值（根据定理4.4存在），我们有limn→∞|VTn- VT |=0（5.9）和地图t7→ 因此，VT在（0，∞).证据从上面第5.2节的讨论中，我们可以断言存在一个正常数C，例如（参见（5.8））：|VTn- VT|≤ CE[|δ（n）Γ|]+CE[|T |+|Tn |]+k（LTn，UTn）kT+k（LT，UT）kTxE“sup0≤T≤Th |δ（n）Lt |+|δ（n）Ut | i#！（5.10）注意，自supn起，E[|Tn |]在n中一致有界≥0|ΓTn|∈ Lby假设5.2。[22]中的定理3.4验证了范数k（L，U）kT是有限的，不难看出k（LT，UT）kT≤ k（LTn，UTn）kT≤ k（L，U）kT表示每n。在（5.10）中使用这个表示我们有| VTn- VT|≤ CE[|δ（n）Γ|]+CE[|T |+supn≥0 | Tn |]+2k（L，U）kTxE“sup0≤T≤Th |δ（n）Lt |+|δ（n）Ut | i#！（5.11）和（5.11）的右侧是所有n≥ 我们有≤T≤Th |δ（n）Lt |+|δ（n）Ut | i=supT≤T≤Tn|书信电报- LT |+| Ut- UT|几乎可以肯定的是，当n→ ∞.

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2022-5-7 03:52:59

利用单调收敛定理和limn→∞根据假设5.2，E[|δ（n）Γ|]=0，传递到极限n→ ∞ 在（5.11）中≤ 林恩芬→∞|VTn- VT|≤ 林尚→∞|VTn- VT|≤ 下面是声明。6数字示例6。1可取消通话和put选项在本节中，我们使用与上文第5节相同的概率设置。我们假设一个无风险利率r>0且风险资产价格过程S=（St）t为常数的Black Scholesmarket≥0哪个满意度=SexpR-ρt+ρBt, T≥ 0（6.1），其中S>0和ρ>0是常数。到期日为T>0的标的资产上的买入（或卖出）期权是一种未定权益，它赋予持有人权利，但不是通过最优转换13来解决有限时间范围内的动态博弈，在到期日为T时以预定的执行价K买入（或卖出）资产。如果该期权为“美式”期权，则持有人可随时行使该权利∈ [0，T]。在时间τ行权时期权的支付效果G（Sτ）∈ [0，T]由G（Sτ）=（Sτ）给出- K） +对于看涨期权（K- Sτ）+对于看跌期权（6.2），期权的可取消（游戏）版本授予作者在到期时间0时取消期权的能力≤ σ<T。如果提交人决定行使这项权利，期权持有人将获得标准期权的报酬加上δ>0的额外金额，这是对提前终止合同的提交人的处罚。在时间0时，从作者到卖方的现金流的预期值由以下公式得出：D0，T（σ，τ）=EE-rσ（G（Sσ）+δ）1{σ<τ}{σ<T}+e-rτG（Sτ）1{τ≤σ}（6.3）合同持有人希望选择行使时间τ，以最大化支付。另一方面，作者希望通过选择适当的取消时间σ来最小化这种支付。

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2022-5-7 03:53:03

我们假设σ和τ是从T0，Tof停止时间中选择的。等式（6.3）是期权制定者和持有人之间的Dynkin博弈的报酬（尽管与上文（2.1）略有不同）。第3节中列出的假设可以在这个游戏中得到验证，对定理4.4的证明的检查表明，其结论对于支付（6.3）仍然有效。因此，可取消的看涨/看跌期权可以使用最优转换进行估值。6.2近似程序前提是我们另外得到一个整数0<M<∞ 一个递增的时间序列{tm}Mm=0 [0，T]满足T=0和tM=T。为每个tmandi设置^F={Ftm}Mm=0和∈ {0,1}，让^A（M）tm，i Atm，ibe控制的子类α=（τn，ιn）≥0其中每个τ包含{tm，…，tm}中的值，并满足P（{τn<T}∩ n的{τn=τn+1}）=0≥ 1.从模式i开始的辅助最优切换问题的离散时间近似∈ {0，1}attime Tm的形式与（2.6）类似（为了简单起见，ψ=ψ=0）：α∈^A（M）tm，i，^J（M）（α；tm，i）=EΓιN（α）-Xn≥1γιn-1，ιn（τn）1{τn<T}Ftm式中，ιN（α）是在控制α下切换到T之前的最后一个模式。[16]的结果表明存在^F适应序列^Y（M），i={^Y（M），im}Mm=0，i∈ {0,1}，由^Y（M）定义，iM=Γi，对于M=M- 1.0:^Y（M），im=maxj∈{0,1}n-γi，j（tm）+Eh^Y（M），jm+1Ftmio（6.4）使maxm∈{0，…，M}^Y（M），im∈ Land^Y（M），im=ess supα∈^A（M）tm，i^J（M）（α；tm，i）P-A.s.对于每个M=1，2，定义^V（M）={^V（M）M}Mm=0by^V（M）M:=^Y（M），1m-^Y（M），0，并重新校准定义2.3中给出的特定参数。回顾定理4.4，我们发现随机变量^V（M）mca可以用来近似连续时间动态过程的值，其payoff Dtm（·，·）（参见（2.1））。然而，对于^V（M），有一个更有效的反向归纳公式。对于m=m- 1.

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2022-5-7 03:53:06

、0和我∈ {0,1}将事件Cim和dim定义如下：Cim:=n^Y（M），im=Eh^Y（M），im+1FtmioDim:=n^Y（M），im=-γi，1-i（tm）+Eh^Y（M），1-im+1Ftmio（6.5）通过优化切换解决有限时间范围的Dynkin对策注意∪ Dim）=1表示每一个i∈ {0,1}和m=m- 1.0.不难验证（使用假设3.2和最优性参数——见[16]）P（Dm∩ Dm=0形式=M- 1.这导致：P- a、 s.，^Y（M），imD1-im=Eh^Y（M），im+1FtmiD1-im（6.6）^Y（M），1米-^Y（M），0m=（^Y（M），1m-^Y（M），0m）Xi=0Dim∩C1-im+1厘米∩厘米（6.7）使用^V（M）M=^Y（M），1m-^Y（M），0m，方程（6.6）和（6.7），事件CimandDim的定义（6.5），以及反向归纳公式（6.4），可以表明^V（M）满足：P-a.s.，^V（M），iM=Γ，对于M=M- 1.0：^V（M），im=minγ-麦克斯-γ+（tm），Eh^V（M），im+1Ftmi为了考虑指数贴现，假设报酬和成本尚未贴现，反向归纳公式应写成：^V（M），iM=Γ，对于M=M- 1.0：^V（M），im=minγ-麦克斯-γ+（tm），Ehe-r（tm+1）-tm）·V（M），im+1Ftmi（6.8）读者可以将反向归纳公式（6.8）与[11]的定理2.1中出现的公式进行比较。在马尔可夫环境下，最小二乘蒙特卡罗回归（LSMC）方法（第8章，第6节[6]）可用于数值近似（6.8）中的条件预期。6.3可取消看涨期权和看跌期权的数值结果我们现在给出可取消看涨期权和看跌期权的数值结果。采用LSMC算法的反向归纳公式（6.8）来实现这一效果，使用简单的2阶单项式来近似条件期望。

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2022-5-7 03:53:09

对于算法的每次运行，使用对偶采样和关系（^S=S^Sm+1=^Smexp）模拟几何布朗运动（6.1）的10000条采样路径{^Sm}Mm=0[r]-ρ] h+ρ√h·ξm+1, m=0，M- 其中h=tm是步长，{ξm}Mm=1是I.I.D.标准正态随机变量序列。该选项的值设置为100次算法运行结果的经验平均值。使用相同的模型参数对可取消的看涨期权和看跌期权进行估值。这些参数从[14，p.128]中获得，如下所示：r=0.06，ρ=0.4，K=100和δ=5。我们计算了有限时间范围内的期权价值，T=0.5×2q，q=0，8.初始现货价格∈ {60,140}，M=1000个时间步。6.3.1可撤销看涨期权的数值结果。下图1显示了S选项值的数值结果∈ {60, 140}. 实线显示有限期期权价值，虚线显示永久期权价值。使用从[4]中获得的以下公式计算后者：∞=（δSK，如果S∈ [0，K]S- K+δ，如果S∈ （K），∞)通过最优切换15求解有限时间视界Dynkin博弈图1：S的有限和有限时间视界可取消看涨期权值∈ {60, 140}.对于图1中所示的两种情况，最终视界选项值相对于时间视界T似乎是连续的。此外，在图1-（b）中，期权价值明显接近于永久期权的价值T→ ∞.6.3.2可撤销看跌期权的数值结果。图2:S的有限期和有限期可撤销看跌期权价值∈ {60, 140}.图2提供了可撤销看跌期权的类似图示。在这种情况下，永存值是使用从[15]中获得的以下公式计算的：i.δ≥ δ*: 五、∞= VAP（S）ii。

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2022-5-7 03:53:13

δ < δ*: 五、∞=K- S、如果是∈ （0，k）*]（K）- K*)（Sk）*)-(γ-1）（SK）γ-（SK）-γ（k）*K） γ-（k）*（K）-γ+δ（SK）-(γ-1）（Sk）*)-γ-（Sk）*)γ（k）*K） γ-（k）*（K）-γ、如果是∈ （k）*, K） δ（SK）-(2γ-1），如果∈ [K，∞)式中γ=rρ+，s7→ VAP（S）是永久美式看跌期权的时间0值，作为初始资产价格δ的函数*= VAP（K），andk*Kis将（0，1）中的解转化为以下等式：y2γ+2γ- 1 = 2γ1+δK通过最佳切换16解决有限时间视界Dynkin游戏对于感兴趣的读者，我们注意到δ*= VAP（100）u 30.3和k*u 69.9比1。这意味着V∞= K- S=60和V时∞= δ（SK）-(2γ-1）当S=140时。t7的连续性→ 从图2可以得出与可撤销看涨期权类似的结论。7结论本文展示了如何利用双模最优切换问题的解在连续时间和有限时间范围内推导Dynkin博弈的解[0，T]。在某些假设下，Dynkin博弈的价值从t开始≥ 0存在且满足Vt=Yt- Yt，其中Yt和Yt分别是初始模式为1和0的最优切换问题的最优值。此外，（Yt）0≤T≤坦德（Yt）0≤T≤T（因此V=（Vt）0≤T≤T）是正确的连续过程，并且可以使用适当的V初始次数构造Dynkin博弈的纳什均衡解。双反射随机微分方程的结果被用来证明博弈的值是时间范围参数T的连续函数。这一结果通过可取消看涨期权和看跌期权的数值实验得到证实。确认该研究得到了EPSRC拨款EP/K00557X/1的部分支持。作者要感谢他的博士生导师J.莫里亚蒂、同事T.德·安吉利斯、S。

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2022-5-7 03:53:16

哈马德·埃尼和阿洛瑟斯的评论导致了论文草稿的改进。参考文献[1]B.Djehiche，S.Hamad`ene和A.Popier，《有限时域最优多重切换问题》，暹罗控制与优化杂志，48（2009），第2751-2770页。[2] R.Dumitrescu，M.-c.Quenez和A.Sulem，《广义Dynkin游戏和带跳跃的双反射BSDE》，2014年10月，arXiv:1310.2764v2。[3] E.Ekstrom和G.Peskir，《马尔可夫过程的最优停止博弈》，SIAMJournal on Control and Optimization，47（2008），第684-702页。[4] E.Ekstrom和S.Villeneuve，关于最优停止博弈的价值，《应用概率年鉴》，16（2006），第1576-1596页。[5] N.El Karoui，《随机性控制的概率方面》，圣弗罗尔九世概率教育学院，1979年（1981年）。[6] P.Glasserman，《金融工程中的蒙特卡罗方法》，《随机建模与应用概率》第53卷，斯普林格纽约，纽约，纽约，2003年。[7] 郭和P.托梅切克，奇异控制和最优切换之间的联系，暹罗控制与优化杂志，47（2008），第421-443页。[8] S.Hamad`ene和M.Hassani，由布朗运动和泊松噪声驱动的具有两个反射屏障的BSDE和相关的Dynkin博弈，概率电子杂志，11（2006），第121-145页。通过最佳切换解决有限时间范围的Dynkin博弈17[9]S.Hamad`ene和M.Jeanblanc，关于启动和停止问题：可逆投资中的应用，运筹学数学，32（2007），第182-192页。[10] J.Jacod和A.N.Shiryaev，《随机过程的极限定理》，德国《数学研究》第288卷，施普林格-柏林海德堡，柏林，海德堡，2003年。[11] Y.Kifer，《博弈选择，金融与随机》，第4期（2000年），第443-463页。[12] M.科比兰斯基和M-C。

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