信息不完全不对称的Dynkin对策

2022-6-10 21:46:34

具有不完全和不对称信息的DYNKIN游戏Tiziano DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERAbstract。研究了一类具有不完全和不对称信息的两人零和最优停止博弈的价值和最优策略。在我们的贝叶斯模型中，一方不知道潜在差异过程的漂移（不完全信息特征），但另一方知道（不对称信息特征）。我们对问题进行了阐述，并将其简化为完全马尔科夫式的设置，在这种设置中，不知情的玩家会优化停止时间，而知情者会使用随机停止时间来隐藏他们的信息优势。然后，我们提供了一个通用的验证结果，该结果允许我们通过求解具有一些非标准约束的合适的拟变分不等式来发现游戏的价值和玩家的最优策略。最后，我们研究了一个具有线性payoff的例子，其中相应的拟变分不等式可以得到显式解。1、导言本文的主要目的是设计方法，证明具有不完全和不对称信息的两人Dynkin对策的最优策略的值和存在性。游戏的基本过程是一维线性差异X。两个玩家都观察X的路径，而玩家2（知情玩家）确切地知道该过程的漂移和差异。

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2022-6-10 21:46:37

玩家1（不知情的玩家）的信息不完整，她无法直接观察到X的漂移系数，但它有一个先验分布，可以通过连续观察过程来改进其初始估计。至关重要的是，单方面缺乏信息会在游戏中引入不对称，因为与知情的玩家相反，不知情的玩家无法计算游戏的真实预期收益（对于每个给定的停止规则）。与关于不对称信息博弈的文献一致，知情玩家必须使用随机停止策略，以最大限度地发挥其信息优势。随机化允许知情的玩家以一种战略性的方式披露信息，使不知情的玩家以某种可取的方式行事。粗略地说，我们可以说，它允许知情的球员以最佳方式“隐藏”穿制服球员的真实漂移。相反，不知情的玩家无法通过使用随机化（见备注2.7）来提高自己的表现，因此将仅仅依赖于X生成的过滤的停止时间。本文的主要贡献是：（i）我们给出了问题的明确马尔可夫公式，并展示了其与游戏的临时版本（也称为代理形式游戏）的等价性，即。，奇异控制和最优停止的三人非零和博弈（第3节）；游戏是非标准的，因为玩家1无法观察到单数控件（由玩家2玩）；（ii）在前一项的基础上，我们制定了一个验证定理，允许美国日期：2020年7月15日。2000年数学学科分类。初级91G10；辅助60G40。关键词和短语。Dynkin游戏；信息不对称；随机策略；纳什均衡；奇异控制；拟变分不等式。确认：T。

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nandehutu2022

2022-6-10 21:46:41

De Angelis得到了EPSRC拨款EP/R021201/1和Knutand Alice Wallenberg基金会E.Ekstrom的支持。这项工作的一部分是在T.De Angelis和K.Glover访问乌普萨拉大学和E.Ekstrom访问利兹大学的研究周“停止对歧义厌恶玩家的游戏”期间进行的。我们感谢GS Magnuson基金会、利兹大学数学学院和theHeilbronn研究所资助这些访问。2 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERto为原始（事前）具有不完整和不对称信息的游戏构建最优策略（第5节）；验证结果（定理5.1）由一组非标准约束的拟变分不等式表示；似乎这种约束区域具有信息不对称设置的特点；（iii）使用拟变分不等式方法，我们明确解决了（直至数值寻根）一个具有线性支付的游戏版本（第6节）；该示例说明了第4节中介绍的反映调整后的似然比如何以最佳方式实现信息的战略性使用。据我们所知，上述三项在不同的随机动力学背景下都是新的。特别是，我们想强调的是，关于具有连续时间动态和信息不对称的零和博弈的大多数论文都集中在博弈的avalue的存在上，而对于知情者和非知情者而言，最优策略的构建大多被忽视了（我们将在下文的文献综述中详细阐述这一点）。在这个意义上，我们脱离了现有的文献，提出了一种可行的方法来描述参与者的最优策略。

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2022-6-10 21:46:45

此外，我们还证明了这种最优策略在代理形式的博弈（博弈的临时版本）中形成了纳什均衡。正如我们的分析所证明的那样，知情的参与者根据一种广义的强度停止，这种强度的规定方式是，调整后的似然比过程沿着某一边界进行反射。相反，未被告知的玩家会在这个被反射到另一个边界的过程中的击球时间停止。因此，我们证明了调整后似然比的反映在具有不对称信息的Dynkin博弈中起着至关重要的作用。1.1. 动机和文献综述。Dynkin游戏最初是在[14]中作为最佳停止问题的agame变体引入的。他们在过去二十年中的受欢迎程度很大程度上取决于他们在融资方面的应用。事实上，许多金融合同都配备了退出策略，允许一方或多方提前放弃其义务，但要付出额外成本。这些嵌入在合同中的“退出期权”在数学金融文献中被称为“游戏期权”。2000年，Kifer[25]证明了博弈期权的无套利价格可以通过解一个相关的零和Dynkin博弈来找到。在完全信息情况下，博弈有鞍点的一般条件在[30]（鞅设置）和[16]（马尔可夫集）中推导，在两个博弈方都希望另一方首先停止（所谓的消耗战）的情况下。进一步的研究（见[28]、[37]）得出了一个值的存在，并且-一般零和Dynkin对策的最优策略。认识到信息在此类博弈应用中的重要性，最近的文献考虑了具有不对称信息结构的博弈。例如，在[29]中考虑了关于游戏时间范围的不对称信息，他得出结论，在那篇论文的背景下，你知道的越多，等待的时间越长。

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大多数88

2022-6-10 21:46:48

格伦[23]研究了对称信息对游戏支付结构的影响；受早期研究（见[6]、[7]）的启发，有不对称信息的差异博弈以及无随机动态的明确示例，Gr¨un允许知情的玩家使用随机停止策略来操纵未知玩家的信念，她将博弈的价值描述为一个相关变分不等式的唯一粘性解（参见[21]，了解关于微分博弈的最新相关工作）。[22]中考虑了一个更一般的情况，即每个玩家都可以根据不同的过滤获得停止时间。在这种情况下，每个玩家都必须从另一个玩家的作为（或不作为）中了解世界的状态。同样，游戏价值的变量特征以类似于【23】的形式获得。文章【23】为知情玩家构建了最佳随机停车时间，而【22】为两个玩家在非分歧动态下提供了最佳随机策略。请注意，此处的“价值”概念（以及现有文献中关于不对称信息零和博弈的概念）与所谓的事前价值一致，即在知情的参与者获得具有不完全和不对称信息优势的信息丁金博弈之前。一旦知情的玩家实际获得了额外的信息，我们就获得了游戏的交互。在中间游戏中，最初的价值概念与未知情玩家在游戏关联代理形式下的预期均衡支付相一致（更多详情请参见备注3.5和3.7）。需要注意的是，【23】中的设置与我们的不同。

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2022-6-10 21:46:51

在[23]中，两位玩家都完全了解可观察的动力学，但在游戏中使用的支付函数的知识方面存在不对称。然而，在我们的问题中，两个参与者都知道所使用的支付函数，但对可观测动态漂移的认识存在不对称。因此，与我们的设置相反，在【23】中，没有从过程的观察中学习。同样值得注意的是，文献[23]中的变分问题（以及文献[22]中的变分问题）与我们的变分问题看起来非常不同：Gr¨un得到了一个变分不等式（与定理5.1中的耦合变分问题相反），它涉及三个“max max min”类型的嵌套障碍问题。这类变分问题的光滑解的存在性仍然是一个悬而未决的问题。在我们的变分问题和[23]中的变分问题之间显示出明确的联系似乎并不微不足道。然而，我们的方法允许我们通过证明关联拟变分不等式具有唯一的经典解来解决一个具有不同动力学的例子（见第6节）。在【15】一个Dynkin游戏中，研究了两名玩家对下垫过程的漂移有不同的信念。然而，在那篇文章中，信息是完全对称和完整的，双方都同意不同意。与【15】相比，在【23】和【22】中，设置不涉及学习，而在【23】和【22】中，球员只从对手的动作中学习，我们的球员面临着更复杂的双源学习情况。特别是，不知情的参与者通过持续观察过程本身和知情参与者的行动（或者更确切地说是缺乏行动，因为停止是唯一可能的行动）来了解潜在过程的漂移。由于学习是我们制定问题的关键因素，我们自然会利用有关随机过滤的文献。

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2022-6-10 21:46:54

该领域的早期贡献包括在序列分析中对统计问题的处理，例如参见[4]、[8]和[35]。在[31]中可以找到随机过滤的一般处理方法，在[26]和[27]中可以找到将此类技术应用于不完全信息投资问题的一些重要早期工作。最近在财务方面的贡献包括[3]、[10]、[33]和[38]（另见其中的参考文献）。对于不完全信息背景下的最优停止，早期参考文献为[13]，其处理了不完全信息对美式期权估价的影响；另见【20】和【18】。文[17]研究了漂移未知的最优解问题，文[32]研究了跳跃强度未知的最优解问题。文献[12]研究了一个具有对称和不完全信息的两人零和Dynkin博弈，得出了两人的最优策略。最后，经济学文献中的一篇相关论文是[9]，该论文考虑了在信息不太灵通的买家市场中进行交易的私人知情卖家的问题，以及资产类型（“好”或“坏”）的信息逐渐向他们披露的问题。在这种情况下，市场根据这些信息和卖方迄今为止拒绝的供应商的观察结果进行定位。与当前文件的一个关键区别是，买方（即市场）是非战略性的，因为市场对新信息的反应完全由基础过程的功能规定。1.2. 论文大纲。最后，我们对论文中的材料进行了概述。在第2节中，我们制定了一般Dynkin博弈，并介绍了知情玩家使用的随机停止时间类别。在第3节中，导出了学习动力学，并将博弈重新表述为停止和奇异控制的等价博弈。

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2022-6-10 21:46:57

在第4节中，我们解释了知情者的给定策略如何影响无知者的信念。接下来，第5节提供了基于拟变分不等式的验证结果。最后，第6节详细研究了一个线性支付的例子，第7节用数字说明了游戏的价值，基本情况下的一组参数为玩家使用的最佳策略提供了直觉。4 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer Glover 2。设置假设在概率空间上(Ohm, F、 P）我们有两个随机变量θ和U，以及一个相互独立的标准维纳过程W，使得P（θ=1）=π，P（θ=0）=1- π，其中π∈ （0，1）和U在[0，1]上均匀分布。我们考虑一个写在底层进程X上的非最优停止博弈，dynamicsdXt=（（1- θ）（可能无界）开放区间I上的u（Xt）+θu（Xt））dt+σ（Xt）dWt（1）。这里给出了u（·）、u（·）和σ（·）>0的Lipschitzcontinuous函数，使得X的状态空间在{θ=0}和{θ=1}两个事件上都是I。然后（1）承认了一个强解，为了避免进一步的技术性问题，我们假设I的边界点是不可能达到的。游戏由玩家1选择（随机）时间τ，玩家2选择（随机）时间γ，以及在τ∧ γ、玩家1收到amount（τ，γ）：=f（Xτ）1{τ<γ}+g（Xγ）1{τ≥γ} 来自玩家2。这里的payoff函数f和g是满足g的两个给定函数≥ f≥ 参与者1（2）的目标是从一组允许的停止策略中选择τ（γ），以最大化（最小化）R（τ，γ）的期望值。下文将具体说明可接受的停止策略的概念。为避免进一步的技术复杂性，我们将假定支付功能的连续性。假设2.1。

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2022-6-10 21:47:00

支付函数f和g在I上是连续的。参与者是理性的，模型是常识，即两个参与者都知道涉及的函数f、g、u、u和σ。两个游戏者都观察过程X，但我们假设游戏者1不知道θ是0还是1（等效地，漂移是u还是u），而游戏者2知道。最初，玩家1唯一可用的信息是上面给出的θ的分布，而玩家2在游戏开始时已经知道θ的真实值（相反的情况可以类似地处理）。这种不对称性是通过让参与者1可用的信息由filtrationfxt的P-null集的增广给出的：=σ（Xs，0≤ s≤ t），而玩家2可用的信息是通过增加filtrationfx，θt：=σ（θ，Xs，0≤ s≤ t）。当考虑信息不对称的游戏时，一个关键的方面是从更知情的玩家向不知情的玩家战略性地释放额外的知识。这是通过允许知情玩家（玩家2）的停止策略为随机停止时间进行数学建模的。先验地，未知情的玩家（玩家1）也可以使用随机停止时间，但事实证明，在我们的验证定理（定理5.1）及其在第6节中的应用中，她只需要考虑停止时间（另请参见备注2.7）。本文其余部分将使用以下符号。我们让FX=（FX）t≥0andFX，θ=（FX，θt）t≥0并表示T：{τ：τ是一个P-a.s.有限外汇停止时间}T：{τ：τ是外汇停止时间}a：={Γ：（ΓT）T≥0-FX是否自适应，a.s.右连续，非递减，带Γ0-= 0和Γ∞≤ 1} Aθ：={Γ：（Γt）t≥0-是FX，θ自适应和a.s。

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2022-6-10 21:47:03

右连续，非递减，带Γ0-= 0和Γ∞≤ 1}.具有不完全和不对称信息的DYNKIN博弈在上述定义中，我们使用Γ0-= 0表示Γ>0只能通过在时间0跳变过程来实现。显然，A Aθ，注意Γ∈ Aθ当且仅当Γ=Γ{θ=0}+Γ{θ=1}对于某些Γ，Γ∈ A、为了确定随机停止时间（参见，例如，[37]），回想一下U是一个随机变量，它独立于W和θ，且均匀（0,1）分布。定义2.2（随机停止时间）。oFX随机停止时间是由（2）γ=inf{t）给出的随机变量γ≥ 0：Γt>U}，对于某些Γ∈ A、我们用TR表示FX随机化停止时间集。oFX，θ-随机化停止时间是一个随机变量γθ，由（3）γθ=inf{t≥ 0：Γt>U}，对于某些Γ∈ Aθ。我们用TθR表示FX，θ-随机停止时间集 T TR公司 TθR。事实上，第一个内含物在定义上是明确的，第三个内含物从 Aθ；此外，如果τ∈ T，然后是带ΓT的构造（2）=0 t<τ1 t≥ τ给出了与τ一致的随机停止时间，这证明了中间包含。此外，任何γθ∈ 对于某些（γ，γ），Tθrca可以分解为γθ=γ{θ=0}+γ{θ=1}∈ TR×TR.我们说γ∈ Γ生成的TRis∈ A如果γ定义如（2）所示。同样，γθ∈ 由Γ生成的TθRis∈ Aθ，如果γθ的定义如（3）所示。为了将来参考，给出了γ∈ tr由Γ生成∈ A、我们还引入了FX停止时间（即T的成员）γ（z）：=inf{T≥ 0:Γt>z}，对于所有z∈ [0, 1].（4）定义2.3。

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nandehutu2022

2022-6-10 21:47:06

随机停止对是一对（τ，γθ）∈ T×TθR。有点滥用符号，我们有时写γθ=Γ=（Γ，Γ），其中（Γ，Γ）是生成γθ的Γ的分解，我们也指（τ，Γ）∈ T×Aθ作为随机停止对。给定随机停止对（τ，γθ）∈ T×TθR，从未知情玩家的角度来看，游戏的预期收益是J（τ，γθ）=J（τ，Γ，Γ）：=E[R（τ，γθ）]。（5）我们还说，这是事前游戏的预期回报（有关J的解释，请参见备注3.5）。游戏的下限值v和上限值v（对于玩家1）定义为v：=supτ∈Tinfγθ∈TθRJ（τ，γθ）≤ infγθ∈TθRsupτ∈TJ（τ，γθ）=：v，（6），我们说，如果v=v，则存在值v。定义2.4。随机停止对（τ*, γ*θ) ∈ T×Tθrisa鞍点ifE[R（τ，γ*θ)] ≤ E[R（τ*, γ*θ)] ≤ E[R（τ*, γθ）]，对于所有其他对（τ，γθ）∈ T×TθR.6 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERRemark 2.5。对于零和博弈，标准的做法是查看博弈的价值概念和玩家的最优策略（即给出鞍点的策略）。a（τ）的存在性*, γ*θ）因为事前博弈意味着一个值的存在，并且τ*和γ*θ分别是参与者1和参与者2的最优策略。我们的方法还将涉及对游戏（或代理形式游戏）的临时（非零和）版本的研究，其中自然解的概念是纳什均衡。备注2.6。我们将注意力限制在T中的停车时间上，即精确到a.s的停车时间。这样做的好处是，符号和计算变得更容易。

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2022-6-10 21:47:09

此外，重新校准g≥ f≥ 0，鞍点（τ*, γ*θ) ∈ T×TθR（定义2.4）也将是相应博弈的鞍点，策略为T×TθRand，预期收益J（τ，γθ）：=E[R（τ，γθ）1{τ∧γθ<∞}].（7）实际上，假设（τ*, γ*θ) ∈ T×TθRis是定义2.4中的鞍点。τ的完整性*γ的最优性*θwe haveJ（τ*, γθ）=J（τ*, γθ) ≥ J（τ*, γ*θ） =J（τ*, γ*θ）对于所有γθ∈ TθR.此外，J（τ，γ*θ） =Ehlim infn→∞R（τ∧ n、 γ*θ)1{τ∧γ*θ<∞}我≤ lim信息→∞EhR（τ∧ n、 γ*θ)1{τ∧γ*θ<∞}我≤ lim信息→∞E[R（τ∧ n、 γ*θ)] ≤ J（τ*, γ*θ） =J（τ*, γ*θ）对于任意τ∈ 其中第二个不等式是法图引理。因此，我们的索赔得到了证实。备注2.7。如果游戏有一个值（v=v in（6）），则玩家1在选择随机停止时间时没有任何益处（比较，例如，[28]）。事实上，首先请注意SUPτ∈TJ（τ，γθ）=supτ∈任意γθ的TJ（τ，γθ）∈ TθRby由Fatou引理和（7）中的Jas组成（也可参见上面的注释）。因此，对于任何γθ∈ TθRandγ∈ TR（使用U的两个独立副本进行随机化），我们有j（γ，γθ）=ZJ（γ（z），γθ）dz≤ supz公司∈[0,1]J（γ（z），γθ）≤ supτ∈TJ（τ，γθ）=supτ∈TJ（τ，γθ），其中我们还回顾了（4）。上述不等式意味着≤ supγ∈TRinfγθ∈TθRJ（γ，γθ）≤ infγθ∈TθRsupγ∈TRJ（γ，γθ）≤ v、这验证了我们的说法，前提是v=v。请注意，上述备注中的参数要求存在一个值，即使未提供信息的玩家没有使用随机停止时间。这种情况通常不会发生，但我们可能会认为它应该在我们的游戏中保持，因为（至少）两个事实的结合：（1）不知情的玩家（玩家1）没有隐藏的信息，（2）她也没有避免同时停止的动机；事实上，玩家1同时停车的回报永远不会比独自停车更糟糕（因为g≥ f）。

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2022-6-10 21:47:14

换言之，不需要随机化来抵消知情玩家的任何模仿行为，这将迫使未知情玩家获得较低的报酬（见[28]）。信息不完全和不对称的DYNKIN博弈7备注2.8。对于有界Payoff函数f和g，本文的设置和结果直接扩展到相反的情况，相反，玩家1知道漂移，而玩家2只知道部分信息。然而，需要额外注意无限制支付；特别是，需要注意支付时间的具体规定，以及下文定理5.1中规定的适当横向条件。3、停止与奇异控制的等价对策本文在马尔可夫环境下建立了该对策，并证明它等价于一个3人非零和的奇异控制与停止对策。后者对应于游戏的临时版本。我们首先以一种更明确的形式重写预期成本函数，它考虑了参与者1通过过程X的观察了解到的真实漂移≥ 0用（8）πt表示：=P（θ=1 | FXt）给定基本过程X的观察值θ=1的条件概率。根据标准过滤理论（见[31，第9章]），我们得到dxt=（u（Xt）（1- ∏t）+u（Xt）∏t）dt+σ（Xt）dBt，X=X和（9）d∏t=ω（Xt）∏t（1- πt）dBt，π=π。这里的创新过程bt：=Ztσ（Xs）dXs-Ztu（Xs）+（u（Xs）- u（Xs））∏sσ（Xs）dsis a（P，FX）-布朗运动和ω（·）：=（u（·）- u（·））/σ（·）被称为噪声信号。现在过程（Xt，∏t）t≥0是马尔可夫语，适合外汇。

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nandehutu2022

2022-6-10 21:47:17

下面，对于（x，π）∈I×（0，1），我们将表示px，π（·）：=P（·| X=X，π=π）和Ex，π[·]：=E[·| X=X，π=π]。此外，在（5）中，我们使用Jx，π（τ，γθ）来强调预期博弈收益对初始数据的依赖性。为了将游戏简化为控制和停止游戏，我们引入了zτYt形式的积分-dΓt：=YΓ+Z（0，τ）Yt-dΓt，代表∈ A和Y是一个适合外汇的右连续非负过程。这种类型的积分应在Lebesgue-Stieltjes意义上进行解释，需要注意的是，在这种情况下，过程Γ的（可能的）初始跳跃和终端跳跃都被考虑在内。此外，回顾（4）并使用[34，Prop.4.9，Ch.0]，我们得到了zg（Xγ（z））1{γ（z）≤τ}dz=Zτg（Xt）dΓt（10）表示τ∈ T提案3.1。对于（x，π）∈ I×（0，1）和任意（τ，γθ）∈ T×TθRwe haveJx，π（τ，γθ）=Ex，π(1 - Πτ)(1 - Γτ）f（Xτ）+（1- πτ）Zτg（Xt）dΓt（11） +Ex，πΠτ(1 - Γτ）f（Xτ）+∏τZτg（Xt）dΓt,8 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERwhere（Γ，Γ）∈ A×A是生成γθ的力偶。证据通过定义游戏的支付和定义TθRwe haveJx，π（τ，γθ）=Ex，πf（Xτ）1{τ<γθ}+g（Xγθ）1{γθ≤τ}= Ex，πf（Xτ）1{τ<γ}∩{θ=0}+g（Xγ）1{γ≤τ}∩{θ=0}（12） +Ex，πf（Xτ）1{τ<γ}∩{θ=1}+g（Xγ）1{γ≤τ}∩{θ=1}.为了在上述表达式中使用tower属性，我们声明f（Xτ）1{τ<γ}∩{θ=0}FXτ= (1 - πτ）f（Xτ）（1- Γτ）（13）Ex，πf（Xτ）1{τ<γ}∩{θ=1}FXτ= πτf（Xτ）（1- Γτ）（14）Ex，πg（Xγ）1{γ≤τ}∩{θ=0}FXτ= (1 - πτ）Zτg（Xt）dΓt（15）Ex，πg（Xγ）1{γ≤τ}∩{θ=1}FXτ= πτZτg（Xt）dΓt.（16）取（12）内的条件期望，利用上述表达式，我们得到（11）。因此，只需证明上述公式。

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2022-6-10 21:47:20

让我们从注意（17）{τ<U}开始 {τ < γ} {Γτ≤ U} 。由于Xτ是FXτ-可测的，利用条件期望的简单性质和（8）我们得到了X，πf（Xτ）1{τ<γ}∩{θ=0}FXτ= f（Xτ）Px，πτ < γFXτ，θ=0(1 - Πτ).然后，通过定义γ，利用U与θ无关，Γτ是FXτ-可测的，（17），我们还得到px，πτ < γFXτ，θ=0= Px，πΓτ≤ UFXτ，θ=0= (1 - Γτ).将最后两个表达式组合在一起可以得到（13）。显然（14）后面跟着同样的论点。对于（15），我们采用了类似的方法，我们还回顾了（4）和（10）中的γ（u）。那么我们有ex，πg（Xγ）1{γ≤τ}∩{θ=0}FXτ= Ex，πg（Xγ）1{γ≤τ}FXτ，θ=0(1 - πτ）（18）=Ex，πZg（Xγ（z））1{γ（z）≤τ} dz公司FXτ，θ=0(1 - Πτ)= (1 - πτ）Zg（Xγ（z））1{γ（z）≤τ} dz=（1- πτ）Zτg（Xt）dΓt，其中在倒数第二个等式中，我们使用g（Xγ（Z））1{γ（Z）≤τ} FXτ是否可测量所有z≥ 0，最后一个等式为（10）。（16）的证明是类似的。备注3.2。直观地，可以将（11）中的表达式解释为：想象informedplayer宣布她打算使用的FX，θ-随机停止策略Γ；然后，不知情的参与者（或任何其他外部观察者）可以评估与停止时间τ的任何选择相关的预期收益∈ T和任意采样路径T 7→ 基本过程的Xt（ω）。特别是，给定τ∈ T术语（1- πτ）是基于对X路径的观测，直到时间τ，与{θ=0}相关的概率，而（1- Γτ）是当事件{θ=0}发生时，知情玩家在时间τ之前不停止的概率。因此，对于给定ω∈ Ohm, 数量（1- Πτ(ω))(1 - Γτ（ω））表示在事件{θ=0}中，未知情的玩家将在未知情的玩家之前停止的概率。

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2022-6-10 21:47:23

对称变元可应用于∏τ（1）项- Γτ），具有不完全和不对称信息的DYNKIN对策9，即在事件{θ=1}中，玩家1在玩家2之前停止的概率。对于每个ω，将两者结合∈ Ohm 玩家1有一个概率（1- Πτ(ω))(1 - Γτ(ω)) + Πτ(ω)(1 - Γτ（ω））在播放器2之前停止并接收f（Xτ（ω））。类似的考虑可应用于积分项。在事件{θ=i}，i=0，1时，增量dΓ度量玩家2在（最小）时间间隔内停止的概率【t，t+dt】∈ Ohm, 积分zτg（Xt（ω））dΓit（ω），i=0，1，是在θ（ω）=i的情况下，参与方1在时间τ（ω）之前收到的累积预期收益。在以下情况下，也可以方便地使用似然比过程Φt：=πt/（1- πt），其在P下的动力学由（9）和It^o的公式asdΦtΦt=ω（Xt）（dBt+πtω（Xt）dt），Φ=Д，（19），其中Д=π/（1）- π). 二维扩散（X，Φ）的动力学在一定程度上涉及到P，我们更倾向于使用pi（A）：=P（A |θ=i）指定的度量和psp来表示∈ 外汇∞. 众所周知（见【31，第9章】）DPDPFXt=1- ∏t1- π=1+Д1+Φt=exp-Ztω（Xs）∏sds-Ztω（Xs）∏sdBs,（20） dPdPFXt=πtπ=exp-Ztω（Xs）（1- πs）ds+Ztω（Xs）（1- ∏s）dBs,（21）且X和Φ满足（22）dXt=ui（Xt）dt+σ（Xt）dWitdΦt=ω（Xt）ΦtdWt=ω（Xt）Φtdt+ω（Xt）ΦtdWt，其中：-Ztω（Xs）（i）- πs）ds+bt是π布朗运动，对于i=0，1。注意，系统（22）是半解耦的，即X的动力学不依赖于Φ。还要注意Φt=dPdPFXt，用于t∈ [0, ∞),（23）通过（20）和（21）。现在，我们重写了度量值P下的问题。接下来，我们为度量值Pi下的期望设置Ei[·]，i=0，1。推论3.3。

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2022-6-10 21:47:26

（未知玩家的预期回报。）对于（x，π）∈ I×（0，1）和任意（τ，γθ）∈ T×TθRwe haveJx，π（τ，γθ）=1+ДEx，π(1 - Γτ）f（Xτ）+Zτg（Xt）dΓt（24）+Ex，π(1 - Γτ）Φτf（Xτ）+ZτΦtg（Xt）dΓt,式中，Д=π/（1）- π).10 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERProof。我们从（11）右侧的第一项开始。对于任意τ∈ T，我们重新定义∏τ=P（θ=1 | Fτ），因此根据塔的性质和Pwe-getE的定义(1 - Πτ)(1 - Γτ）f（Xτ）= E(1 - Γτ）f（Xτ）1{θ=0}（25）=E(1 - Γτ）f（Xτ）|θ=0P（θ=0）=（1- π） E类(1 - Γτ）f（Xτ）.通过同样的论证，我们也得出(1 - πτ）Zτg（Xt）dΓt= (1 - π） E类Zτg（Xt）dΓt.对于（11）中的其余条款，我们首先注意到Πτ(1 - Γτ）f（Xτ）= E(1 - Πτ)(1 - Γτ）Φτf（Xτ）= (1 - π） E类(1 - Γτ）Φτf（Xτ）.第二，设置gn：=n∧ g和τm：=inf{t≥ 0：∏t≥ m/（m+1）}∧ τ ∧ 我们有πτZτg（Xt）dΓt= 画→∞E∏τZτgn（Xt）dΓt= 画→∞limm公司→∞E∏τmZτmgn（Xt）dΓt其中，第一个等式由单调收敛保持，第二个等式由支配收敛保持。然后，对于固定的n，m>0，我们有∏τmZτmgn（Xt）dΓt= E(1 - πτm）ΦτmZτmgn（Xt）dΓt= (1 - π） E类ΦτmZτmgn（Xt）dΓt,使用与（25）中相同的参数。工艺（Φt∧τm）t≥0是值为（0，m）且大于0的连续P-鞅≤Zτm∧sgn（Xt）dΓt≤ n代表所有s≥ 然后，根据伊藤公式，我们得到ΦτmZτmgn（Xt）dΓt= EZτmΦtgn（Xt）dΓt.后者意味着πτZτg（Xt）dΓt= (1 - π） limn公司→∞limm公司→∞EZτmΦtgn（Xt）dΓt= (1 - π） E类ZτΦtg（Xt）dΓt通过单调收敛。结合上述表达式，我们在注意到1后得到（24）- π = (1 + φ)-1.（24）中的表达式具有与备注3.2中解释的相同的直观含义，但用相似比代替概率∏τ和1- Πτ. 下一个推论类似地在（11）右侧的第一项和第二项中分别使用（20）和（21）。推论3.4。

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2022-6-10 21:47:29

（知情玩家的预期成本。）对于（x，π）∈ I×（0，1）和任意（τ，γθ）∈ T×TθRwe haveJx，π（τ，γθ）=（1- π） Jx，π（τ，Γ）+πJx，π（τ，Γ），（26），其中Jx，π（τ，Γ）：=Ex，π(1 - Γτ）f（Xτ）+Zτg（Xt）dΓt（27）信息不完全和不对称的DYNKIN对策11andJx，π（τ，Γ）：=Ex，π(1 - Γτ）f（Xτ）+Zτg（Xt）dΓt.（28）备注3.5。（26）中的表达式对函数Jx，π提供了以下解释。想象一下，在游戏开始之前（即时间t=0-), 两个玩家都不知道θ。然而，他们都知道，一旦游戏开始（即，在时间t=0时），玩家2将了解θ的真实值。然后，我们可以认为Jx，π是t=0时两个参与者的预期报酬- （给定随机停止对（τ，γθ））。正如人们在这种情况下所期望的那样，t=0时的支付- 是根据两种可能情况下（游戏的预期支付）支付θ的先验分布得出的平均值。当游戏在时间t=0开始时，知情玩家的收益“崩溃”为Jx，π或Jx，π，因为她知道θ的真实值。相反，第1层的预期收益仍然是Jx，π。这种情况对应于游戏的临时版本，即在知情玩家获得信息之后。值得注意的是，文献中关于具有连续时间动力学的非对称博弈的许多论文（参见，例如，[6，7，22，23]）仅使用payoffjx，π进行分析。在这些论文中，游戏的“价值”在我们的设置中对应于中间游戏中未知情玩家的预期均衡支付，或者，相当于事前游戏的价值。现在，我们来讨论游戏预期收益的最终公式，这也是我们发现最适合我们的求解方法的公式。

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2022-6-10 21:47:32

对于（τ，γθ）∈ T×TθRandД=π/（1）- π），设usdenotebJx，Д（τ，γθ）：=（1+Д）Jx，π（τ，γθ）。（29）下一个结果将事先版本的游戏的鞍点与其临时版本的纳什均衡联系起来（与[24]中的精神相同）。提案3.6。Let（x，ν）∈ 给出I×R+。随机停止对（τ*, γ*θ) ∈ 事前博弈中的T×TθRisa鞍点（定义2.4）当且仅当它是代理形式博弈中的纳什均衡。也就是说，当且仅当*,0, Γ*,1) ∈ A×A是生成γ的偶*θ、我们有（30）Jx，ν（τ*, Γ*,0) ≤ Jx，Д（τ*, Γ），（31）Jx，Д（τ）*, Γ*,1) ≤ Jx，Д（τ*, Γ）和（32）bJx，Д（τ，γ*θ) ≤bJx，Д（τ*, γ*θ）对于所有随机停止对（τ，Γ）∈ T×Aθ。证据我们从（26）中得出，ρ（τ，γθ）=Jx，Д（τ，Γ）+ДJx，Д（τ，Γ）。（33）由此可知，知情玩家的策略Γ=（Γ，Γ）最小化Sbjx，Д（τ*, γθ）当且仅当Γ和Γ最小化Jx，Д（τ*, Γ）和Jx，Д（τ*, Γ），分别。相反，条件（32）与定义2.4中的相同。对于纳什均衡（τ*, γ*θ）我们参考tobJx，Д（τ*, γ*θ），Jx，Д（τ*, Γ*,0）和Jx，Д（τ*, Γ*,1）作为相应的平衡报酬s.12 TIZIANO DE ANGELIS，ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERRemark 3.7。我们观察到，命题3.6将这场游戏解释为一名门将和两名控制员之间的三人非零和游戏。请注意，挡块同时对两个控制器进行比赛，而每个控制器仅对挡块进行比赛。这与不完全信息博弈的经典结果是一致的（见[24]或[1]）。

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2022-6-10 21:47:35

特别是，上述三人博弈可以解释为我们（贝叶斯）博弈的“代理形式”，其中（30）–（32）代表均衡的“中期定义”。下一个命题提供了一个条件，在此条件下，如果代理形式博弈中存在纳什均衡，则有可能找到另一个纳什均衡，使得知情的玩家（玩家2）在事件{θ=0}上从不停止。这一结果有助于在某些情况下简化纳什均衡的构造，例如在第6节研究的问题中。提案3.8。固定（x，Д）∈ R+×R+并假设（τ*, Γ*,0, Γ*,1) ∈ T×TθRis是agent形式博弈中的一个纳什均衡，使得（34）J（τ，0）≤ J（τ，Γ）*,0）对于所有τ∈ T然后（τ*, 0, Γ*,1）也是一个纳什均衡。证据首先注意，（31）自（τ）起成立*, Γ*,0, Γ*,1）是纳什均衡。此外，对于任何∈ TR，（35）Jx，Д（τ*, 0) ≤ Jx，Д（τ*, Γ*,0) ≤ Jx，Д（τ*, Γ），其中第一个不平等来自（34），第二个来自（30）。因此，（30）和（31）适用于候选平衡（τ*, 0, Γ*,1).还有待证明（32）适用于候选均衡。为此，请首先注意，在（35）yieldsJx，Д（τ）中插入Γ=0*, 0）=Jx，Д（τ）*, Γ*,0).因此，bJx，Д（τ*, 0, Γ*,1） =bJx，Д（τ*, Γ*,0, Γ*,1），sobJx，Д（τ，0，Γ）*,1) ≤bJx，Д（τ，Γ）*,0, Γ*,1) ≤bJx，Д（τ*, Γ*,0, Γ*,1） =bJx，Д（τ*, 0, Γ*,1）对于τ∈ T，其中第一个不等式来自（34），第二个不等式来自（τ*, Γ*,0, Γ*,1）贝因加-纳什均衡。这就完成了证明。4.

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2022-6-10 21:47:37

调整后的信念和纳什均衡如果agent形式的博弈中存在均衡，那么两个参与者都能够计算它，因为他们都知道停止时间τ*以及不断增加的过程Γ*,0和Γ*,1用于生成γ的*θ（本文不考虑平衡点的唯一性问题）。给定生成过程Γ*,0和Γ*,1，未知玩家计算我们所指的调整后的后验概率∏*t： =P（θ=1FXt，γ*θ> t），t≥ 因此，虽然后验概率∏仅基于对样本路径x的观察，但调整后的后验概率也考虑了informedplayer的假设策略。利用条件期望的性质，我们可以写出（37）π*t=P（θ=1，γ*θ> t型FXt）P（γ*θ> t型FXt）=P（γ*> t型FXt，θ=1）P（θ=1FXt）P（γ*θ> t型FXt）=（1- Γ*,1t）∏tP（γ*θ> t型FXt），具有不完全和不对称信息的DYNKIN对策13，其中最后一个等式是使用与命题3.1证明中使用的参数相同的参数获得的。同样，对于分母，我们有p（γ*θ> t型FXt）=P（γ*> t型FXt，θ=0）P（θ=0FXt）+P（γ*> t型FXt，θ=1）P（θ=1FXt）（38）=（1- Γ*,0吨）（1- ∏t）+（1- Γ*,1t）∏t。组合（37）–（38）得出∏*t=（1- Γ*,1t）Φt1- Γ*,0t+（1- Γ*,1t）Φt，（39），然后很容易看到调整后的后验概率满足Φ*t： =π*t1级- Π*t=Φt1- Γ*,1t1- Γ*,0吨，吨≥ 0。（40）因此Φ*这是调整后的后验概率的似然比，或调整后的似然比。有一个微妙的点，对它的理解是下面定理5.1证明的关键。在构建代理形式博弈中的纳什均衡时，我们尤其需要验证条件（30）和（31）；所以问题就出现了，τ是什么*应取决于。

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2022-6-10 21:47:40

首先，我们重新调用该进程∈ 玩家1无法观察到θ，因为这两个玩家没有交流（他们只看到对手在某个点停下）。因此，如果游戏者2玩一个非平衡空气（Γ，Γ），停止时间τ*不受此（次优）选择的影响。然而，两位选手都知道平衡对（τ*, Γ*). 因此，玩家1选择τ*最多可能取决于（也将取决于）与Γ相关的调整信念过程*. 也就是说，我们应该期望τ*是进程路径的停止时间（X，Φ*). 因此，我们自然而然地会考虑开放式策略中的均衡。5、验证结果在本节中，我们提供了一个验证结果（定理5.1），该结果从PDE理论的角度解决了代理形式博弈中存在纳什均衡的问题（即，相当于事前博弈的鞍点）。特别是，我们证明了一个三重函数（u，u，u），其中u：=u+^1uthat解出了一个合适的拟变分不等式，为博弈提供了平衡报酬，如（30）、（31）和（32）所示。这是通过从候选函数（u，u，u）中识别纳什均衡来实现的。拟变分不等式的公式将我们问题的概率公式与偏微分方程理论联系起来，并将在下一节中用于构建具有线性支付函数的特定示例的完整解，∞loc（I×（0+∞)) L中常见的Sobolev函数空间∞其一阶和二阶导数也是L中的函数∞loc（还记得，通过Sobolev嵌入W2，让CKbe是紧K上的C函数的空间，∞loc公司对于任何压缩K，[2，第4.12节]）。

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2022-6-10 21:47:44

下面，对于i=0，1，用与度量Pi下的动力学of（X，Φ）相关的二阶微分算子表示，isL：=ω（x）ДИИ+σ（x）xx+2（σω）（x）Дx^1+ u（x）x、 L：=ω（x）ДИИ+σ（x）xx+2（σω）（x）Дx^1+ u（x）x+ω（x）Дφ.在下一个定理中，我们将使用以下停止时间的局部化序列：对于C函数h，letI（h）t：=Ztσ（Xs）(xh）（Xs，Φ*s-) + ω（Xs）Φ*s-(Дh）（Xs，Φ*s-)ds、14 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERwithΦ*如（40）所示，我们设置τn（h）：=inf{t≥ 0:I（h）t≥ n}∧ n、（41）在说明定理之前，我们还注意到 I×（0+∞), 它的闭包应该相对于I×（0+∞), 在这个意义上，U不包括状态空间的边界，即U∩ （I×（0+∞)) = .定理5.1（拟变分不等式）。假设2.1成立。设u，u，u:I×（0+∞) → [0, ∞) 是连续函数，u：=u+Дu。表示c：={（x，Д）∈ I×（0+∞) : u（x，Д）>（1+Д）f（x）}，Ci：{（x，Д）∈ I×（0+∞) : ui（x，ν）<g（x）}，S：=（I×（0+∞)) \\ C、 Si：=（I×（0+∞)) \\ Cifor i=0，1。对于i=0，1，假设u∈ W2，∞loc（C∩ C）∩ C（C∩ C）∩ C（C∩ C∩ C），和ui∈ C（C∩ C∩ C）（u，u，u）解拟变分不等式max{Lu（x，Д），（1+Д）f（x）- u（x，ν）}=0，a.e。

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2022-6-10 21:47:47

（x，Д）∈ C∩ C、（42）Liui（x，Д）=0，对于所有（x，Д）∈ C∩ C∩ 对于i=0，1，（43），在附加条件ui下为C≤ g表示i=0，1和ui（x，Д）=f（x），表示（x，Д）∈ S、（44）uiИ（x，Д）=0，对于（x，Д）∈ S∪ S、（45）还假设存在Γ*∈ Aθ，带Pi（Γ*,0t<1）=1和Pi（Γ）*,1t<1）=1，对于所有t≥ 0和i=0，1，这样，回顾（40），我们有：Pand P-a.s。，Γ*,0吨·Γ*,1t=0，对于所有t≥ 0，（46）（Xt，Φ*t）∈ C∩ C、对于所有t≥ 0,(47)对于i=0、1和所有t≥ 0，dΓi，*t=1{（Xt，Φ*t型-)∈Si}dΓi，*tandRΦ*tΦ*t型-{（Xt，z）/∈Si}dz=0。（48）此外，假设τ*:= inf{t≥ 0：（Xt，Φ）*t）/∈ C} 是有限的P-a.s.，横向条件→+∞Eix，^1{τ*>τn}ui（Xτn，Φ*τn）= 0，i=0，1，（49）保持τn=τn（ui）和τn=τn（u），如（41）所示，并保持所有（x，Д）∈ I×（0+∞).然后，让我*θ∈ Aθ是由Γ生成的随机停止时间*, 我们有（τ*, γ*θ）在代理形式博弈中形成纳什均衡（即事前博弈中的鞍点）。因此，事前博弈中存在一个值v，代理人形式博弈中的均衡收益由v=u（x，Д）=bJx，Д（τ）给出*, γ*θ）和ui（x，Д）=Jix，Д（τ*, γ*θ），对于i=0，1。（50）证明。我们首先观察到，在我们的假设下，停止时间τn（ui）、i=0、1和τn（u）是这样的：τn（ui）、τn（u）→ ∞ 作为n→ ∞, Pand P-a.s.（为了这个结果，我们需要Γ*,所有t的it<1≥ 0).信息不完全不对称的DYNKIN对策15τ的最优性*. Letτ∈ T用{τn}表示∞n=1停车时间的定位顺序τn=τn（u）。

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2022-6-10 21:47:50

如果u在整个空间中连续两次可微，则使用该Lu≤ 0一次∩ C、应用It^o公式，然后取期望值，将给出φh（1- Γ*,0τ∧τn）u（Xτ∧τn，Φ*τ∧τn）i≤ u（x，Д）- Ex，^1Zτ∧τnu（Xt，Φ*t型-)dΓ*,0，ct（51）+Ex，ДZτ∧τnuИ（Xt，Φ*t型-)Φ*t型-dΓ*,0，ct- ΦtdΓ*,1，ct+Ex，ДhXt≤τ∧τn(1 - Γ*,0t）u（Xt，Φ*t）- (1 - Γ*,0吨-)u（Xt，Φ*t型-)i、其中Γ*,i、 cdenotesΓ的连续部分*,i、 i=0，1。使用一个缓和的论点（参见，例如，[19，Thm.4.1，Ch.VIII]），在注意到（X，Φ*) 仅接受C中的值∩ Cas per（47）。由于u（x，Д）=u（x，Д）+u（x，Д）+u（x，Д）和回顾（48），我们发现（45）意味着u（Xt，Φ*t型-)Φ*t型-dΓ*,0，ct- ΦtdΓ*,1，ct（52）=u（Xt，Φ*t型-)Φ*t型-dΓ*,0，ct- g（Xt）ΦtdΓ*,1，ct。然后，将与递增过程的连续部分相关的积分组合为一个指数，νhZτ∧τnuИ（Xt，Φ*t型-)Φ*t型-dΓ*,0，ct- ΦtdΓ*,1，ct-Zτ∧τnu（Xt，Φ*t型-)dΓ*,0，cti（53）=-Ex，ДhZτ∧τng（Xt）（dΓ*,0，ct+ΦtdΓ*,接下来，我们计算跳跃和回忆的贡献（46）。关于事件{Γ*,0t>0}我们有，回顾（45）和（48），u（Xt，Φ*t） =u（Xt，Φ*t型-) = g（Xt）u（Xt，Φ*t） =u（Xt，Φ*t型-).因此，使用（40）和Γ*,1t=0，我们得到（1- Γ*,0t）u（Xt，Φ*t）- (1 - Γ*,0吨-)u（Xt，Φ*t型-)(54)= (1 - Γ*,0吨）g（Xt）+Φ*tu（Xt，Φ*t）- (1 - Γ*,0吨-)g（Xt）+Φ*t型-u（Xt，Φ*t型-)= -Γ*,0tg（Xt）。同样，在事件上{Γ*,1t>0}我们有（55）（1- Γ*,0吨）u（Xt，Φ*t）- u（Xt，Φ*t型-)= -Γ*,1tΦtg（Xt）。通过组合（51），（53），（54）和（55），我们得到（56）Ex，Дh（1- Γ*,0τ∧τn）u（Xτ∧τn，Φ*τ∧τn）i≤ u（x，Д）- Ex，^1Zτ∧τng（Xt）（dΓ*,0t+ΦtdΓ*,1吨）,我们注意到，关于递增过程的积分现在也包括跳跃部分。

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2022-6-10 21:47:54

重新排列术语并使用该u（x，Д）≥ （x，Д）的（1+Д）f（x）∈ C∩ Cwe get（57）u（x，Д）≥ Ex，Дh（1- Γ*,0τ∧τn）f（Xτ∧τn）（1+Φ*τ∧τn）+Zτ∧τng（Xt）（dΓ*,0t+ΦtdΓ*,1t）i.16 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERPassing to the limit as n→ ∞ 使用Fatou引理givesu（x，ν）≥ supτ∈TbJx，Д（τ，γ*θ).为了得到逆不等式，我们用τ重复上述步骤*∧ τn代替τ，其中τn=τn（u），如（41）所示。在这种情况下，我们可以使用标准It^o公式，因为u∈ C（C∩ C∩ C）和（Xt∧τ*, Φ*t型∧τ*)t型≥0一定会在C中发展∩ C∩ C、那么（51）中的不等式是一个等式，所以（56）变为（x，Д）=Ex，Д“（1-Γ*,0τ*∧τn）u（Xτ*∧τn，Φ*τ*∧n） +Zτ*∧τng（Xt）（dΓ*,0t+ΦtdΓ*,1t）#=Ex，Дh（1- Γ*,0τ*)f（Xτ*)(1 + Φ*τ*)1{τ*≤τn}+（1- Γ*,0τn）u（Xτn，Φ*τn）1{τn<τ*}i+Ex，Д“Zτ*∧τng（Xt）（dΓ*,0t+ΦtdΓ*,1t）#，其中我们使用了u（Xτ*, Φ*τ*) = f（Xτ*)(1 + Φ*τ*). 从u（x，Д）=u（x，Д）+Дu（x，Д）和（49）我们得到limn→+∞Ex，^1(1 - Γ*,0τn）u（Xτn，Φ*τn）1{τn<τ*}= 0，在回顾测量变更时（23）。所以使用单调收敛，我们把极限取为n→ ∞得出U（x，ν）=supτ的结论∈TbJx，Д（τ，γ*θ） =bJx，Д（τ*, γ*θ).Γ的最优性*. 拾取Γ∈ Aθ，注意（Xt∧τ*, Φ*t型∧τ*)t型≥0∈ C∩ C∩ C、自ui∈C（C∩ C∩ C）对于i=0，1，我们可以将标准It^o公式应用于ui（X，Φ*) 在C上使用Liui=0∩ C∩ C、这给了SEIX，^1(1 - Γiτ*∧τn）ui（Xτ*∧τn，Φ*τ*∧τn）= ui（x，Д）- Eix，Д“Zτ*∧τnui（Xt，Φ*t型-)dΓi，ct#（58）+Eix，Д“Zτ*∧τn1- Γit-1.- Γ*,0吨-uiИ（Xt，Φ*t型-)(Φ*t型-dΓ*,0，ct- ΦtdΓ*,1，ct）#+Eix，ДhXt≤τ*∧τn(1 - Γit）ui（Xt，Φ*t）- (1 - Γit-)ui（Xt，Φ*t型-)i、其中{τn}∞n=1是停止时间τn=τn（ui）的本地化顺序。忆及在t 7的支持下，uiД=0→ dΓ0，*tand t 7→ dΓ1，*t（参见。

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