为了将来的参考，我们注意到dxt=（ui+σ）Xtdt+σXtdfWit，underePi（64）和dΦt=σωΦtdt+ωΦtdfWt，undereP，（65）dΦt=（σω+ω）Φtdt+ωΦtdfWt，undereP。（66）也可以很容易地验证Φ和X通过直接比例有效地联系在一起，即-1Φt=x-ω/σXt公司ω/σe（一）-1/2)ω-ωσ（ui-σ)t、 ePi-a.s.（67）引理6.3。对于（x，Д）∈ R+×R+和（τ，γθ）∈ T×TθRour博弈支付可以重写为bjx，Д（τ，γθ）=xeEДheuτ（1- Γτ) + (1 + )ZτeutdΓti（68）+eEИheuτΦτ（1- Γτ) + (1 + )ZτeutΦtdΓti.此外，我们有bjx，Д（τ，γθ）=Jx，Д（τ，Γ）+ДJx，Д（τ，Γ），其中Jx，Д（τ，Γ）=xeEДheuτ（1- Γτ) + (1 + )ZτeutdΓti（69）和jx，Д（τ，Γ）=xeEДheuτ（1- Γτ) + (1 + )ZτeutdΓti。（70）证明。注意到xt=x eutdePdP，则（68）中的表达式遵循（24）和（29）FXt，P-a.s.，并在推论3.3的证明中进行论证。同样，（69）和（70）紧随（27）和（28）。20蒂齐亚诺·德安吉利斯（TIZIANO DE ANGELIS）、埃里克·埃克斯特罗姆（ERIK Ekstrom）和克里斯托夫·格洛维特（KristoferGloverit）直觉地清楚，如果u=u，球员2就不应该停下来。注意，对于任何Γ∈ A、 分部积分允许我们重写（69）asJx，Д（τ，Γ）=x1+eEДhuZτeut（1- Γt）dt+ZτeutdΓti.使用该u<0，我们立即得到jx，Д（τ，Γ）≥ x个1+eEДhuZτeutdti= Jx，~n（τ，0），即（34）保持不变。因此，命题3.8表明，有必要在γ的子类中寻找纳什均衡∈ γ=+∞ （相当于，Γ=0）。现在我们需要求出剩余的平衡控制Γ*,1和停止时间τ*. 我们首先对τ的结构作出有根据的猜测*和Γ*,然后我们验证了使用这样的猜测，我们可以从定理5.1.6.1中得到拟变分不等式的解。候选人调整的似然比。在u=u的情况下，不对称信息的存在会激励知情玩家不要立即停止，以“愚弄”不知情的玩家。

事实上，如果让不知情的玩家相信漂移很低（即u=u），那么不知情的玩家可以选择提前停止，这对知情玩家有利，因为只需支付较小的报酬。因此，玩家2自然只想在Φ变得太高时停止（即，不知情的玩家坚信漂移为u）。包括上述推理中的随机化思想，我们预计知情的玩家将根据某种“强度”在某个上限停止。随机化的效果是产生一个调整后的似然比Φ*, 这可以解释为知情者进行操纵后，未知情者的信念。因此，对于玩家2来说，这是一个在操纵玩家1的信念和及时停止之间找到最佳权衡的问题。根据上面的启发，我们推测玩家2将构造Γ*,1以反映工艺Φ的方式*= Φ(1 - Γ*,1） 处于较高阈值。考虑到这个想法，让B∈ (0, ∞) andan初始信念∈ (0, ∞) 被给予。众所周知，存在一对独特的过程（Y，L），因此EPД-a.s.one具有（L）t≥0是连续且不递减的，L=0，（71）Y0-= ^1，Y=Д∧ B和Yt∈ （0，B）表示t≥ 0，（72）（Y，L）求解（dYt=σωYtdt+ωYtdfWt- dLt，Rt{Ys<B}dLs=0。（73）那么Y是一个在B处有反射的扩散过程。定义过程ΓB∈ A byΓB0-= 0，ΓB=最大值{0，1- B/Д}和ΓBt=1- (1 - ΓB）e-Lt/B，ePД-a.s.（74）接下来，我们表明，对应于配对Γ=（0，ΓB）的调整后似然比由反映的过程Y给出。提案6.4。修复B∈ (0, ∞), 并考虑上述过程（Y，L）和ΓBas。然后对于任何类型∈ (0, ∞) 我们有ΦBt：=Φt（1- ΓBt）=Yt，对于所有t≥ 0，ePД-a.s.（75）证明。

注意，（73）意味着dLt=1{Yt=B}dLtwe可以在（73）中写出第一个方程，即dyt=σωYtdt+ωYtdfWt- B-1年初至今。具有不完全和不对称信息的DYNKIN博弈21现在回想（71）–（72），由于上面的等式，我们可以在EPДasYt=（Д）下显式写出Y∧ B） 经验值ωfWt+（σω-ω） t型- B-1吨.将上述表达式与ΓBin（74）和Φin（65）进行直接比较，得出（75）。下面，我们根据本节开头提到的猜想，制定并解决一个变分问题：玩家2将选择一个阈值B∈ R+并采用夫妻产生的随机停止时间（0，ΓB）∈ A×A。玩家1将选择阈值A∈ （0，B）并在τA处停止：=inf{t≥ 0：ΦBt≤ A} 。(76)6.2. 线性支付问题的拟变分不等式。在这里，我们使用一种构造性的方法来获得拟变分不等式的候选解，然后我们将在下一节中根据定理5.1的要求进行测试。如上所述，我们寻求与Γ的平衡*,0≡ 如果游戏者2玩Γ=（0，ΓB），而游戏者1玩τA，我们从（69）Jx，ν（τA，Γ）中获得*,0）=xeEД[euτA]=：xV（Д）。（77）我们的想法是，我们应该在定理5.1中验证u（x，Д）=xV（Д）和uas。这将在定理6.10中使用本节收集的事实。很容易检查（参见，例如，【36】）VSaties（78）ωДV（Д）+σωДV（Д）+uV（Д）=0，Д∈ （A，B）V（Д）=1，Д∈ （0，A）V（B）-) = 请注意，B处的条件是通常的正常反射条件。此外，观察EPД（ΦB=B）=1表示Д≥ B、 因此，对于φ，EEД[euτA]=eEB[euτA]≥ B、 因此，v（Д）=0，Д≥ B、 （79）此外，我们还注意到u<0表示V（Д）≤ 1, φ ≥ A、 （80）相反，It^o公式的应用给出了MMA 6.5。假设存在“V”∈ C（[A+∞)) ∩ 解（78）–（79）的C（[A，B]）。

然后'V（Д）=eEДeuτA= V（Д）。接下来，我们介绍一个函数xV（Д），我们想将其与（70）中的Jx，Д（τa，ΓB）联系起来。我们根据以下逻辑为Vac计算了一个边值问题：（i）在区间（a，B）中，两个参与者都不应该停止，因此函数V应该表现为ΦB的过程，其创建速率为u；（ii）只有当过程ΦB超过B时，知情玩家才会停止（尽管在B的第一次击球时间内并非必要）。那么我们期望V（B）=1+;（iii）对于玩家2来说，B的选择是最优的（假设玩家1使用τA），经典平滑条件应保持不变，即我们期望V（B-) = 0;（iv）如果未知情的参与者首先停止（根据τA），那么参与者2的成本为V（A）=1。结合以上四项，我们得到了边值问题（81）ωДV（Д）+（ω+σω）ДV（Д）+uV（Д）=0，Д∈ （A，B）V（Д）=1，Д∈ （0，A）V（Д）=1+, φ ∈ [B，∞)V（B）=0.22 TIZIANO DE ANGELIS，ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERNotice，如果V∈ C（[A+∞)) ∩ C（[A，B]）解决了上述系统，然后由于it^o演算的应用，很容易验证xv（Д）=Jx，Д（τA，ΓB）（82）。此外，我们可以建立V的单调性，这将在本节后面的部分中有用。引理6.6。假设0<A<B和V∈ C（[A，B]）解（81）。然后V（Д）≥ ^1为0∈ [A、B]和1≤ V（Д）<1+ 对于^1∈ [A，B）.证明。让我们从观察（81）中的第一、第三和第四个方程开始，这意味着ωBV（B-) = -u(1 + ) < 0。上述和V（B）=0意味着存在λ>0（B- λ≥ A） V（Д）>0，表示Д∈ （B）- λ、 B）。（83）为了达成矛盾，假设存在∈ （A，B）使得V（Д）<0。然后我们还可以定义：=sup{ν∈ （A，B）：V（Д）<0}，且明显为c∈ （A、B- λ]. 由于Vit的连续性，V（c）=0。由于常微分方程是欧拉型的，其解是幂函数的线性组合；因此V∈ C∞（A、B）。

然后，设置V：=对（81）中的第一个方程进行微分，我们得到V必须解决边值问题（84）ωДv（Д）+（2ω+σω）Дv（Д）+αv（Д）=0，Д∈ （c，B），v（c+）=v（B-) = 0，α：=ω+σω+u。然后，例如通过费曼-卡克公式，v（Д）=0表示Д∈ （c，B），这与（83）相矛盾。然后V（Д）≥ 如所述，在[A，B]中为0。此外，1≤ V（Д）<1+ 对于^1∈ [A，B），通过（81）中的第二个和第三个等式。此后，当提及大众汽车时，将隐含地假设它解决了（81）（我们在下一节中显示，以下（81）和（85）可以以独特的方式同时解决）。回顾（68）现在很自然地将jx，Д（τA，0，Γ1，B）与函数xv（Д）：=x（V（Д）+ДV（Д））。使用（78）和（81）中的第二个等式，我们立即看到V（A）=1+A。此外，回顾（29），函数Ξ（x，Д）：=xV（Д）/（1+Д）应表示代理形式游戏中未知情玩家的均衡支付（请注意，实际上Ξ（x，A）=x）。因此，通过最优性，我们期望经典光滑条件在边界A处成立，即ΞΞ（x，A+）=0，或等效地，V（A+）=1。因此，使用（78）和（81），我们得出V应该解决边值问题（85）ωДV（Д）+σωДV（Д）+uV（Д）=0，Д∈ （A，B）V（Д）=1+Д，Д∈ （0，A）V（A+）=1，V（B-) = 1 + .此外，V（Д）=1+, φ ≥ B（86）乘以（79）和（81）。在结束本节之前，我们将提供V的一些有用属性。引理6.7。假设V∈ C（[A，B]）解（85）。然后V（Д）>1+Д，V（Д）>1表示Д∈ （A、B）。具有不完全和不对称信息的DYNKIN对策23证明。首先请注意，ODE是Euler类型，因此V∈ C∞（A、B）。

区分（85）中的第一个方程，并对增值税A和增值税B施加边界条件，我们发现v：=Vsolves（87）ωДv（Д）+（ω+σω）Дv（Д）+uv（Д）=0，Д∈ （A，B）v（A+）=1，v（B-) = 1 + .回顾ΦundereP的动力学（见（66）），设置ρA：=inf{t≥ 0：Φt≤ A} ρB：=inf{t≥ 0：Φt≥ B} ，并使用It^o的公式，我们很容易得到v（Д）=eEДheu（ρA∧ρB）v（ΦρA∧ρB）i（88）=eEДheu（ρA∧ρB）i+eEДheuρB{ρB<ρA}i。现在引理中的两个权利要求都来自（88），因为u>0，并且回顾V（Д）=1+Д≤ A.最后，我们注意到引理6.7和V（A+）=1这一事实意味着V（A+）≥ 0.然后将（85）的第二和第三个方程插入第一个方程，并使用V（A+）≥ 0我们得到ωAV（A++σωA+u（1+A）=0==> uA+u≤ 0下一个推论成立。推论6.8。假设V∈ C（[A，B]）解（85）。那一定是≤ -u/u.6.3. 变分问题的解和纳什均衡。现在我们证明了（81）和（85）可以用一种独特的方式同时求解。请注意，一旦找到函数V和Vand以及边界点A和B，函数Vis将根据关系V（Д）自动确定：=V（Д）- ^1V（Д）。Vin（81）ODE的一般解为（89）V（Д）=CДβ-1+CИβ-1，其中Cand Care常数和β∈ （0，1）和β<0是二次方程ωβ（β）的解- 1) + σωβ + u= 0.（81）中的第三和第四个边界条件可用于确定Cand CasC=（1- β)(1 + )β- βB1-β和C=（β- 1)(1 + )β- βB1-β.根据条件V（A）=1和导出的Cand C表达式，我们得出方程（90）（1- β)AB公司β-1+ (β- 1)AB公司β-1=β- β1 + .引理6.9。存在唯一的a/B值∈ （0，1）满足（90）。证据设h（z）=（1- β） zβ-1+ (β- 1） zβ-1.- (β- β)/(1 + ) 我们可以看到h（z）=（1- β)(β- 1)zβ-2.- zβ-2.> z为0∈ （0，1）自β∈ （0，1）和β<0。此外，limz↓0h（z）=-∞ h（1）=(β- β)/(1 + ) > 0

因此，我们得出结论，在（0，1）中存在唯一的根h（z）=0。24 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK EKSTR¨OM和Kristofer GLOVERNext，对于常数和D，（85）中V的ODE通解为（91）V（Д）=DДβ+DДβ。可以使用（85）中的第二和第三边界条件来确定，并且DasD=A-ββ- β[-β+ (1 - β） A]和D=A-ββ- β[β+ (β- 1） A）]。根据边界条件V（B-) = 1 +  和D的导出表达式，我们得到了方程（1+)(β- β） B=（A/B）-ββ[β+ (β- 1） A]- （A/B）-ββ[β+ (β- 1） A）]。将（90）的唯一根表示为δ=A/B∈ （0，1）我们设置A=δB以获得（1+)(β- β） B=δ-ββ[β+ (β- 1） δB]（92）- δ-ββ[β+ (β- 1） δB]。线性方程（92）具有唯一解（93）B=ββ（δ-β- δ-β)(1 + )(β- β) - β(β- 1)δ1-β+ β(β- 1)δ1-β、 使用δ可以直接检查B>0∈ （0，1）在分子和分母中。从上面我们可以看到，A和B由（90）和（93）唯一确定，相应的候选值Vand V分别由（89）和（91）给出。请注意，为了在（0）上定义V+∞) 我们简单地通过取V（ν）=V（B）+（1）+，在Cway中扩展上面构造的V)(φ - B） ，用于^1≥ B、 （94）V（Д）=1+Д，表示Д≤ A、 （95）此外，我们扩展了Vto[B+∞) 在Cway和to（0，a）中，通过取v（Д）=1+, 对于^1≥ B、 （96）V（Д）=1，表示Д≤ A、 （97）定理6.10。设A<B是（90）和（93）的唯一解，设Vand V在（89）和（91）中用（94）–（97）构造。表示V（Д）：=V（Д）- ДV（Д）并回忆ΦBandτAfrom（75）和（76）。LetΓ*= （0，ΓB），设γ*θ是由Γ生成的随机停止时间*, 和设置τ*:= τA.然后随机停止对（τ*, γ*θ） 是具有（62）中所述线性支付的代理formgame的纳什均衡（即事前博弈的鞍点）。

此外，对于所有（x，Д）∈ R+×R+我们有bjx，ν（τ*, γ*θ） =xV（Д），Jx，Д（τ*, 0）=xV（Д），Jx，Д（τ）*, ΓB）=xV（Д）。证据证明依赖于证明定理5.1中的u（x，Д）：=xV（Д）和ui（x，Д）：=xVi（Д），i=0，1，完全满足所有条件。让我们从设置开始，对于i=0，1，C：{（x，Д）：u（x，Д）>（1+Д）x}和Ci：{（x，Д）：ui（x，Д）<（1+)x} 信息不完全和不对称的DYNKIN对策，S：=R+\\C，Si：=R+\\Ci。根据引理6.6和（81）中的第二个方程，我们得到C=R+×（0，B）和S=R+×[B+∞). 类似地，从（86）和引理6.7我们得到C=R+×（A+∞)和S=R+×（0，A）。由于V和Vsolve（85）–（86）和（81）分别为，立即检查Vsolves（78）–（79）。此外，引理6.5保证Valso满足（77）。那么（80）也成立，意味着C=R+和S=.既然规定了C、Ci、S、SiA，很容易检查S上的Lu（x，Д）=L[x（1+Д）]=x（u+uД）≤ 0，（98），其中最后一个不等式来自推论6.8（回想一下，Li是度量Pi下（X，Φ）的微型生成器）。因此，（98）和（85）意味着（42）。此外，（78）和（81）表示（43）。此外，（78）和（81）中的第二个方程表示（44），（79）和（81）中的第三个方程表示（45）。最后，ui（x，ν）≤ x（1+) 对于i=0，1乘以（80）和引理6.6。很明显，（Xt，ΦBt）t≥0施工满足条件（46）–（48），因为我们考虑的所有概率度量在Ft上是等效的，对于每个t<∞. 此外，Pi（τA<∞) = 1由于τ是反映扩散的恒定水平的第一次击中时间，因此P（τa<∞) =(1 - π） P（τA<∞) + πP（τA<∞) = 1、只剩下检查横截性条件（49）。首先，我们注意到τn（u）和τn（ui），i=0，1，如（41）所定义，收敛为n→ ∞ 由于u和ui的规则性，在PiandePi下，i=0，1。使用ΦBt∈ [0，B]对于所有t≥ 0，Px，Д-a.s。

以1为界，我们得到0≤ 画→+∞Ex，ДhXτnV（ΦBτn）1{τA>τn}i≤ 画→+∞由于P-几何布朗运动{Xt，t≥ 0}是一致可积的。因此（49）适用于i=0。为了证明（49）的i=1，我们从（81）和伊藤公式的一个应用中可以看出，zt：=eu（t∧τA）V（ΦBt∧τA）是aePД-鞅。通过Fatou引理，eEheτAi≤ 限制→∞eEИheu（t∧τA）V（ΦBt∧τA）i≤ V（Д）<∞,这也意味着EP（τA<+∞) = 1，根据以下需要。最后，我们有0≤ 画→+∞Ex，ДhXτnV（ΦBτn）1{τA>τn}i≤ (1 + ) 画→+∞限制→+∞Ex，ДhXτn{τA∧t> τn}i=x（1+) 画→+∞限制→+∞eEДheuτn{τA∧t> τn}i≤ x（1+) 画→+∞eE^1euτn{τA>τn}= 0，我们使用ΦBt的地方∈ [0，B]对于所有t≥ 0，ePД-a.s.和以1+ 在（0，B）上，最后一个等式是由于支配收敛。回顾我们问题中的事前价值是xV（Д）和x≥ 0，一个最终观测值涉及到相对于ν的凸度（自V≥ 0，这也等价于关于π的凸性）。结果与文献[1]中关于不对称信息博弈的现有文献一致，与文献[6]、[7]、[21]、[22]和[23]中的最新结果一致。提案6.11。地图Д7→ V（Д）在[0]上是凸的，∞).证据结果可以通过V的显式表达式导出，但需要检查所有相关常数的符号。我们采用另一种方法，利用（A，B）解（90）和（93）的唯一性。26 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVERFirst，我们观察到如果存在≤ φ< φ≤ B使得V（Д）=V（Д）=0，则V=0在间隔（Д，Д）上。这可以很容易地由最大值原理推导出来，注意到V=：^V通过（87）的直接微分求出ωИ^V（Д）+（2ω+σω）ДV（Д）+（ω+σω+u）^V（Д）=0on（Д，Д）。

因为1=V（A+<V（B-) = 1 +  （A，B）上的V>1，我们得出结论→ V（Д）最多可以改变一次单调性。特别是，它在达到其全球最大值时不会减少，即对于所有的Д∈ （A，Д）带Д：=inf{Д∈ 【A，B】：V（ν）=最大∈[A，B]V（ν）}。如果V（Д）>1+, 然后存在B∈ （A，Д）使得V（B）=1+ 这对（A，B）也是（90）和（93）的解，用同样的构造，得到这些方程。这与解决方案的唯一性相矛盾。因此，V（Д）=1+ ν=B。那么Vis单调，V是凸的。数值结果在本节中，我们说明了第6节中发现的代理形式博弈中事前博弈和纳什均衡的价值。我们考虑u=-1，u=1，σ=0.5和 = 0.1. 对于这些参数，（90）和（93）确定的边界为A=0.329和B=0.868。然而，为了便于解释，下面我们将返回后验概率过程∏*, 其中，我们将下边界表示为a：=a/（1+a），将上边界表示为b：=b/（1+b）。对于我们的基本情况，这对应于a=0.248和b=0.465。此外，我们假设x=1，并注意到u（1，Д）=V（Д），ui（1，Д）=Vi（Д）；因此，我们参考V和Vias值函数。最后，由于u=u{θ=0}+u{θ=1}，我们将停止引用θ，并直接使用事件{u=u}和{u=u}，这两个事件具有明确的直观含义。首先，图2展示了∏的典型示例路径*-过程及其相关Γ*,1过程。注意，在这个特定示例中，播放器1在τ处停止*≈ 0.06*,1τ*≈ 0.13.因此，如果u=u或u=u且统一分布随机化装置U的值大于0.13，则播放器1在播放器2之前停止。（a） （b）图2。

π的典型样本路径*-过程（左）及其相关Γ*,1基本案例参数的流程（右）。请注意，左侧的虚线表示最佳边界a=0.248和b=0.465，我们选择了π=0.35。具有不完全和不对称信息的DYNKIN游戏27接下来，图3显示了与我们的基本情况相对应的玩家1和玩家2的值函数。请注意，V和V分别满足a和b处的光滑条件，V满足b处的反射条件。我们还观察了（79）和（80）中描述的V的性质，以及引理5.5和5.6中分别描述的Vand V的性质。还观察到命题6.11中所述的事前值V的凸性。当真实漂移为u时，informedplayer期望支付的金额远远超过玩家1有理由相信的金额，而当真实漂移为u时，知情玩家期望支付的金额更少。当u=u时，1+ 而游戏对玩家2的价值可以看作是由于玩家1不知情而减少了玩家2的预期成本。类似地，当u=u时，1与玩家2的游戏价值之间的差距表示由于玩家1不知情，玩家2的预期成本减少。图3：。游戏对玩家1的价值（实线；（1）- π） V+πV）以及当u=u（虚线；V）和u=u（虚线；V）时游戏对玩家2的价值。基本情况参数为u=-1，u=1，σ=0.5和 = 0.1;因此，a=0.248，b=0.465（由两条垂直线表示）。图4显示了所有四个参数（u、u、σ、，) 使用上述基本情况。我们首先注意到，信噪比ω=（u-u）/σ对理解这些结果起着至关重要的作用，因为ω越高，未知玩家的学习速度越快。

从这个意义上讲，参数u、u和σ的变化将影响信噪比，从而影响学习速度，这最终将对平衡结果产生影响。此外，改变u、u和σ不仅会影响学习速度（通过信噪比），还会影响游戏的预期收益，由于这些竞争效应，可能会导致非单调依赖性。最后，我们注意到 只有通过游戏的支付结构影响问题，并且对玩家1了解漂移的速度没有影响。考虑到这一点，我们现在开始描述图4中观察到的比较静力学结果。我们首先考虑变化u对平衡结果的影响。随着u的增加（allelse相等），播放器1的良好情况会变得更好，这既是因为漂移更大，也是因为信噪比增加，从而加快了学习过程。这表明阈值a应在漂移u中减小，这也在数值上得到证实，见图4（b）。同样，如果u=u且u很大，那么继续对玩家2来说代价高昂，在28号TIZIANO DE ANGELIS，ERIK Ekstrom和Kristofer GLOVER（a）（b）（c）（d）图4。基本情况参数（u=-1，u=1，σ=0.5和 = 0.1）当我们改变u、u、σ和, 分别地同时，具有关于漂移的附加信息的优势较小（因为信噪比增加）。因此，阈值b应以u为单位减小，这在数值上也得到了证实。当考虑u的变化时，对两个参与者都有两个相互竞争的影响。一方面，减少u对玩家1（sup玩家）不利，因此对阈值a的影响越来越大。

另一方面，u的减小会增加信噪比，从而加快学习过程，从而降低a。图4（a）证实了a对u存在非线性依赖的怀疑。出于上述相同的原因，u的变化对上阈值b的影响是不明确的。然而，对于我们的基本情况参数，在图4（a）中看不到这种潜在的模糊性。从图4（c）中，我们可以看到，随着σ的增加，玩家1的最佳阈值增加，而玩家2的最佳阈值减少。这背后的直觉是，随着σ的增加，信噪比增加，导致学习速度变慢，因此玩家1的值函数变小，因此a增加。然而，对于玩家2来说，σ增加意味着他们能够更好地隐藏玩家1的信息（增加b的动机），π过程方差的减少也意味着σ增加时，给定阈值的首次命中时间更大。由于u>0，更长的预期停止时间最终将导致玩家2的预期成本增加（减少b的动机）。通过数值计算，我们的基本情况参数的最终结果是，玩家2随着σ的增加降低了他们的阈值b。最后，我们考虑了. 自 不影响玩家1了解漂移的能力，其对均衡的影响只能通过具有不完整和不对称信息结构的Payoffdynkin博弈来实现。因此，所有的值函数在; 对于玩家1来说，这意味着延续区域在, 使阈值a减小。然而，b的noeasy单调性可以推断出来，因为对玩家2的延续区域没有明显的影响（因为障碍也取决于).

从图4（d）中，我们观察到a对 并且，对于我们的基本情况参数，b在.最后，为了计算博弈中的信息价值，我们在文章的最后对信息对称和不完全的情况进行了非正式讨论。假设两个参与者对u具有相同的初始先验分布，即他们同意π作为初始概率，即dRIFT为u，并且1- π表示漂移为u的概率。然后，不需要对其他玩家进行随机操作，就可以获得停止时间（τ，τ）的鞍点。事实上，具有线性支付的博弈减少了toU（x，Д）=x1+ДsupτinfτeEeuτ（1+Φτ）1{τ<τ}+（1+)euτ（1+Φτ）1{τ≤τ}式中，dΦt=σωΦtdt+ωΦtdfWtundereP。然后可以直接检查是否可以找到A、B∈ (0, ∞) A<B，A函数bv+1≤bV公司≤ (1 + )（1+Д）以便ωДbV（Д）+σωДbV（Д）+ubV（Д）=0，表示Д∈ （A，B）bV（Д）=1+A，表示Д∈ （0，A）bV（A+）=1，bV（Д）=（1+)（1+B），用于∈ [B，∞)bV（B-) = 1 + .使用标准验证参数，（τ*, τ*) := （τA，τB）是停车时间的鞍点，相应的值函数由U（x，Д）=xbV（Д）/（1+Д）给出。图5：。左边：对称不完全信息情况下（实线）两个参与者的共同值函数，与不对称情况下（虚线）的值函数相比。两条垂直线对应于值SA：=A/（1+A）和b：=b/（1+b）（对于对称情况）。右侧：这些值之间的差异，代表了我们游戏中信息的价值。

基本情况参数：u=-1，u=1，σ=0.5和 = 0.1，即yieldsa=0.193，b=0.758（对于对称情况）。30 TIZIANO DE ANGELIS、ERIK EKSTR¨OM和Kristofer Glover图5绘制了基本情况参数的值函数U（1，π）=U（x，π）/x，以及非对称情况下未知情玩家的值函数，以供比较。还绘制了不对称值函数和对称值函数之间的差异，并可解释为此设置中的信息值。参考文献[1]Aumann，R.和Maschler，M.在信息不完全的情况下重复博弈。麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，1995年。[2] Adams，R.A.和Fournier，J.J.F.Sobolev空间（第二版）。学术出版社2003年。[3] Back，K.《资产定价理论中的不完全和不对称信息》。《金融中的随机方法》，数学讲师1856（2004），1-25。[4] Bather，J.A.Bayes确定正态均值符号的程序。过程。剑桥菲洛斯。Soc。，58 (1962),599-620.[5] Bensoussan，A.，Friedman，A.具有停止时间和自由边界问题的非零和随机微分对策。变速箱。美国。数学Soc。，231（1977）第2号，275-327。[6] Cardaliaguet，P.《信息不对称的差异博弈》。暹罗J.控制优化。46（2007），第3816-838号。[7] Cardaliaguet，P.和Rainer，C.具有不对称信息的随机微分对策。应用程序。数学Optim公司。59（2009），第1、1-36号。[8] Cherno Off，H.正态分布平均值的序贯检验。过程。第四届伯克利研讨会。数学统计学家。和问题。，1 (1961), 79-91.[9] Daley，B.和Green，B.在柠檬市场等待消息。《计量经济学》80（2012），第4期，1433-1504。[10] De Angelis，T.《部分信息的最优股息和退化反射差异的停止》。金融斯托克。24（2020），第1号，71-123。[11] De Angelis，T.、Ferrari，G.、Moriarty，J。

两人非零和停止博弈的阈值型纳什均衡。安。应用程序。概率。，28（2018），第1112-147号。[12] De Angelis，T.、Gensbitel，F.和Villeneuve，S.这是一个关于资产的Dynkin游戏，其回报信息不完整。数学操作。Res.（2020），将出现。[13] D\'ecamps，J.-P.、Mariotti，T.和Villeneuve，S.不完全信息下的投资时机。数学操作。第30（2005）号决议，第472-500页。[14] Dynkin，E.B.最优停止问题的博弈变体。苏联数学。Dokl。10 (1969), 16-19.[15] Ekstrom，E.、Glover，K.和Leniec，M.Dynkin具有异质信念的游戏。J、 应用程序。概率。54（2017），第1236-251号。[16] Ekstrom，E.和Peskir，G.马尔可夫过程的最优停止对策。暹罗J.控制优化。47（2008），第2号，684-702。[17] Ekstrom，E.和Vaicenavicius，J.漂移不确定性下资产的最优清算。暹罗J.Financ。数学7（2016），第1357-381号。[18] Ekstrom，E.和Vannestal，M.美国期权和不完整信息。内景J.Thero。应用程序。资金22（2019）no.61950035，14 pp.【19】Fleming，W.H.和Soner，H.M.《受控马尔可夫过程和粘度溶液》（第25卷）。Springer Science&Business Media（2006）。[20] Gapeev，P.《部分信息模型中永久美式期权的定价》。内景J.Thero。应用程序。财务15（2012），第1号，ID 1250010。[21]Gensbitel，F.信息不对称的连续时间马尔可夫博弈。Dyn公司。游戏应用程序。9（2019），第3671-699号。[22]Gensbitel，F.和Gr–un，C.信息不对称的零和停止博弈。数学操作。第44号决议（2019年），第1号，277-302。[23]Gr–un，C.关于信息不完全的Dynkin游戏。暹罗J.控制优化。51（2013），第5号，4039-4065。[24]Harsanyi，J.“贝叶斯”玩家玩的信息不完整的游戏。一、 基本模型。管理科学。14 1967 159-182.【25】Kifer，Y.游戏选项。金融斯托克。4（2000）号。

4, 443-463.[26]Lakner，P.《部分信息效用最大化》。随机过程。应用程序。56（1995），第2号，247-249。[27]Lakner，P.《投资者的最佳交易策略：部分信息案例》。随机过程。应用程序。76（1998），第1号，77-97。[28]Laraki，R.和Solan，E.连续时间零和停止对策的值。暹罗J.控制优化。43（2005），第5号，1913-1922年。[29]Lempa，J.和Matom–aki，P.一个信息不对称的Dynkin博弈。随机85（2013），第5763-788号。【30】Lepeltier，J.-P.和Maingueneau，M.A.Le jeu de Dynkin en the eorie g'en'erale sans l\'hypoh\'ese de Mokobodski。《随机13》（1984），第1-2、25-44号。具有不完全和不对称信息的DYNKIN对策31【31】Liptser，R.S.和Shiryaev，A.N.随机过程的统计。第2卷。数学应用，6。Springer Verlag，纽约，1977年。[32]Lu，B.不完全信息下跳跃资产的最优出售。应用程序。数学财务20（2013），第6期，599-610。【33】Monoyios，M.《部分和内部信息下的最优投资和对冲》。高级金融建模、Radon计算和应用数学系列。8 (2009), 371-410.[34]Revuz，D.和Yor，M.连续鞅和布朗运动。第293卷。Springer Science&BusinessMedia，2013年。【35】Shiryaev，A.N.《序列分析的两个问题》。控制论，3（1967），第2期，63-69。【36】Shreve，S.E.、Lehoczky，J.P.和Gaver，D.P.具有吸收和反射屏障的一般差异的最佳消费。暹罗J.控制优化。，22（1984），第1期，第55-75页。【37】Touzi，N.和Vieille，N.采用混合策略的连续时间Dynkin游戏。暹罗J.控制优化。，41（2002），第4号，1073-1088。[38]Ziegler，A.连续时间金融中的不完全信息和异质信念。Springer Verlag，纽约，2003年。T

德安吉利斯：英国利兹大学数学学院，LS2 9JT利兹。E、 Ekstrom：瑞典乌普萨拉大学数学系，邮箱480，75106乌普萨拉。K、 格罗弗：悉尼理工大学，新南威尔士州百老汇123号邮政信箱，2007年，澳大利亚。