最优停止与离散时间非零和Dynkin对策

2022-5-31 12:27:42

由BSDEsMiryana Grigorova诱导的具有风险测度的非零和Dynkin对策的最优停止*Marie Claire Quenez+这是一篇文章的预印本，其最终和定义形式已在《科学：概率与随机过程国际杂志》第89卷第1期第259-279c页上发表【2017】【版权所有：Taylor&Francis】；可通过以下网址获取随机信息：http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17442508.2016.1166505第一版：2015年8月21日接受日期：2016年3月13日在线发布日期：2016年4月1日摘要我们首先研究了一个最优停止问题，其中玩家（代理人）使用一个特定的停止时间，以最优停止由（非线性）g预期评估风险的支付过程。然后，我们考虑一个关于离散时间的非零和博弈，两个代理的目标是最小化各自的ris-ks。a-gents的薪酬由g-expectations进行评估（对于不同的参与者，可能有不同的驱动因素）。利用第一部分的结果，结合S.Hamadène和J.Zhang的一些思想，我们通过递归过程构造了该博弈的纳什均衡点。我们的结果是在标准Lipschitzdriver g的情况下获得的，没有对驱动程序进行任何额外的假设，以确保相应g-期望的单调性。关键词：最优停止、非零和Dynkin博弈、g-期望、dynamicrisk测度、g-ame期权、纳什均衡1 Bimit Bimit（1976）、Bimit（1973）（在线性情况下）提出的介绍，Pardoux和Peng Pardoux和Peng（1990）在其开创性论文中进一步发展了倒向随机微分方程理论（简称BSDE）。

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2022-5-31 12:27:46

BSDEs理论*（通讯作者）柏林洪堡大学数学研究所+巴黎迪德罗塔大学概率与模型实验室在金融领域发现了许多应用，其中包括欧洲期权定价与对冲、递归效用、风险度量。BSDE引入了一个称为g条件期望的算子家族，该家族在（非线性）动态风险度量的文献中被证明是有用的（参见，例如Peng（2004），Rosazza Gianin（2006））。我们重新调用时间t的g-条件表达式∈ [0，T]（其中T>0是固定的时间范围，g是Lipschitz驱动因素）是将给定的终端条件ξ（其中ξ是一个平方可积随机变量，可相对于信息时间T进行测量）映射到具有参数（g，ξ）的BSD解的（第一个分量）在时间T的位置的运算符。该运算符由Egt、T（·）表示。运算符Eg0，T（·）称为dg期望。另一方面，Dynkin在Dynkin（1969）的离散时间框架中引入了零和Dynkin对策。从那时起，无论是在离散时间还是在连续时间，零和Dynkin博弈都有很多贡献（参见Bimit（1977）、Neveu（1972）、Alario Nazaret et al.（1982）、Lepeltier和Maingueneau（1984））。Kifer在Kifer（2000）中提出的博弈期权（也称为asIsraeli期权）的定价问题给出了一个突出的财务示例。与零和情况相比，关于非零和情况的研究较少。我们可以在连续时间设置中引用Hamadène和Zhang（2010）、Laraki和Solan（2013）、Hamadène和Hassani（2014），在离散时间设置中引用Morimoto（1986）、Ohtsubo（1987）、Shmaya和Solan（2004）、Hamadène和Hassani（2014）。

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大多数88

2022-5-31 12:27:49

关于零和和和非零萨姆金游戏的最新调查，读者请参考Kifer（2013）。在上述所有参考资料中，球员的薪酬是通过“经典”数学期望来评估的。近年来，一些作者（参见Dumitrescu et al.（2013）和Bayraktar and Yao（2015））考虑了连续时间内的“广义”Dynkin博弈，其中“经典”期望被更一般（非线性）的泛函所取代。所有这些扩展都限于零和情况。在本论文中，我们讨论了一个具有两个“塞子”的博弈问题，这两个塞子的利润（或报酬）是通过非线性动态风险度量来评估的，目的是最小化他们的风险。更具体地说，下面的情况是我们感兴趣的：我们得到了两个适配过程X和Y以及X≤ Y和XT=YTa。s、我们在离散时间内考虑一个博弈选项，即两个“阻止者”（卖方和买方）之间的合同，他们只能在给定时间0=t<t<…<tn=T，其中n∈ N、因此，这两个代理只能在网格{t，t，…，tn}中的值的离散停止时间中选择他们的策略。我们用Td0表示这组停止时间。回想一下，游戏选项赋予买方在任何（离散）停止时间τ行使的权利∈ Td0，t卖方有权在任何（离散）停车时间τ取消∈ Td0，T。在财务方面，我们可以说卖方的取消策略和买方的行使策略都是百慕大型的。如果买方在卖方取消之前的时间τ行使权利，则卖方向买方支付金额Xτ；否则，买方在终止时间τ从卖方收到金额Yτ。差异Yτ- Xτ≥ 0被解释为卖方在提前取消合同的情况下向买方支付的罚款。

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2022-5-31 12:27:53

总之，如果卖方选择取消时间τ，而买方选择行使时间τ，则前者向后者支付payoffi（τ，τ）：=XτI{τ≤τ} 时间τ时的+YτI{τ<τ}∧ τ。卖方在时间τ的付款∧ τ等于-I（τ，τ）。我们强调，我们在这里的目标不是确定博弈期权的“公平价格”（或“公平溢价”），而是确定与买卖双方风险最小化相关的博弈问题的“均衡”。假设卖方和买方以（可能）不同的方式评估其支付的风险。买方（代表卖方）的动态风险度量ρf（代表ρf）由BSDE和驱动程序f（代表f）导出。在负号之前，ρf（resp.ρf）对应于f-条件期望（resp.f-条件期望）家族。如果在时间0，买方选择τ作为行使时间，卖方选择τ作为取消时间，则买方（或卖方）在时间0的风险由ρf0，τ给出∧τ（I（τ，τ））=-Ef0，τ∧τ（I（τ，τ））分别。ρf0，τ∧τ(-I（τ，τ））=-Ef0，τ∧τ(-I（τ，τ））。每个代理人的目标是将其风险降至最低。我们感兴趣的是找到离散停止时间（τ）的“平衡”对*, τ*) 对于这个问题，即一对（τ*, τ*) ∈ Td0，T×Td0，T第一个代理人的风险在τ达到其最小值*当第二个策略固定在τ时*, 第二个代理的风险达到其最小值τ*当第一个策略固定在τ时*. 换句话说，我们正在寻找apair（τ*, τ*) ∈ Td0，T×Td0，Tsatisfyingmaxτ∈Td0，TEf0，τ∧τ*（I（τ，τ*)) = Ef0，τ*∧τ*（I（τ*, τ*))最大τ∈Td0，TEf0，τ*∧τ(-I（τ*, τ））=Ef0，τ*∧τ*(-I（τ*, τ*)).在博弈论术语中，上述博弈问题属于非零和类型，anda pair（τ*, τ*) 满足上述性质对应于该非零和博弈的纳什均衡点。

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2022-5-31 12:27:57

这个博弈问题可以看作是一个“广义”的非零sumDynkin博弈问题（“广义”一词指的是我们的问题涉及非线性期望而不是经典期望）。请注意，在f=f=0的平凡情况下，我们的博弈简化为经典的零和Dynkin博弈（具有经典预期）。我们还可以提到，我们可以很容易地将卖方和/或买方将各自的风险度量应用于他们的互联网收益（即支付减去游戏期权的初始价格）而不是他们的支付。如果期权的初始价格由x给出（其中x>0），则买方（对应卖方）在时间τ的净收益∧ τ由I（τ，τ）给出- x（分别为x- I（τ，τ））。我们使用类似于Hamadène和Zhang（2010）、Hamadène和Hassani（2014）以及Hamadène和Hassani（2014）的建设性方法，证明上述非零和Dynkin博弈问题存在一个纳什均衡平衡点。这种方法需要一些关于一个代理的最优停止的结果。因此，我们首先考虑以下一系列问题：V（tk）：=ess infτ∈Tdtk，Tρgtk，τ（ξτ）=-ess supτ∈Tdtk，TEgtk，τ（ξτ），对于所有k∈ 0，1，n、（1）式中，Tdtk，Tdenotes是{tk，…，tn}中值的离散停止时间集，其中ξ是agiven平方可积适应过程。我们刻画了随机变量序列（V（tk））k∈Nvia一种向后递归构造。我们还证明了停止时间τ*:= τ*（tk）：=inf{t∈ {tk，…，tn}，V（t）=ξt}，属于Tdtk，t，在时间tk时对（1）是最优的。为了证明我们的结果，我们将鞅方法推广到离散时间的g-条件期望情况。

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2022-5-31 12:28:00

我们的结果是在没有任何额外假设的情况下建立的，除了确保相应的g-条件期望的单调性之外。特别是，对于所有y，y′，我们没有对g（即，假设g（t，0，0，0）=0）进行“基础性”假设，也没有对g进行凹凸性假设，也没有对y进行“独立性”假设（即，g（t，y，z，k）=g（t，y′，z，k）∈ R），有时会在文献中出现。对于一个代理的最优停止问题，其收益由非线性期望评估，已有大量研究。El Karoui和Quenez（1997）、Quenez和Sulem（2014）以及Grigorova等人（2015）考虑了问题（1）的连续时间版本。相关工作包括但不限于Bayraktar等人（2010）、Bayraktar和Yao（2011）。Kr"atschmeran和Schoenmakers在Kr"atschmer和Schoenmakers（2010）的例子2.7中介绍了问题（1）的离散时间版本，他们在比本文中所做的假设更强的驱动因素g下解决了问题。特别是，Kr"atschmer和Schoenmakers（2010）的作者需要g-期望的零一定律，以及所有T的性质Egt，T（ξ）=ξ，对于所有ξ平方可积FT可测。这两个属性不适用于一般的利普希茨驱动因素g。因此，Kr"atschmer和Schoenmakers（2010）的结果不适用于我们的框架；因此，我们使用不同的技术来研究问题（1）。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们设置了框架和符号。

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2022-5-31 12:28:03

第3节专门讨论一个玩家的最优停车问题。在3.1小节中，我们定义了离散时间g-（超）鞅的概念，并给出了它们的一些性质；在第3.2小节中，我们刻画了最优停止问题的值函数，并证明了最优停止时间的存在性。在第四节中，我们建立了两人非零和Dynkin博弈，并证明了纳什均衡的存在性。在第5节中，我们简要地评论了我们的结果可能存在的紧张关系。附录包含g-expectations（第a.1款）的有用属性，以及一些相关备注，以及第3.2节中的简单结果证明frameworkLet是一个固定的位置实数。设（E，K）是具有σ-有限正测度ν的可测空间。让(Ohm , F、 P）是一个（完全）概率空间，具有一维布朗运动W和具有补偿器dt的独立泊松随机测度（dt，de） ν（de）。我们用▄N（dt，de）表示补偿过程，即▄N（dt，de）：=▄N（dt，de）- dt公司 ν（de）。设F={Ft:t∈ [0，T]}是与W和N相关的（完全）自然过滤。我们使用以下符号：oL（FT）是一组可测量且平方可积的随机变量Lν是K-可测函数集l : E→ R使得klkν：=RE|l（e） |ν（de）<∞.

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2022-5-31 12:28:07

对于l ∈ Lν，k∈ Lν，我们定义hl, kiν：=REl（e） k（e）ν（de）。oH2，是一组实值可预测过程φ，使得kφkH2，T：=Eh（RT |φT | dt）i<∞.o H2，Tν是实值过程l的集合：（ω，T，e）∈ Ohm ×【0，T】×E 7→ lt（ω，e）∈ R哪些是可预测的，即（P K） -可测量，且KLKH2，Tν：=EZTkltkνdt< ∞.o S2，是一组实值RCLL适应的过程esД，使得ДS2，T：=E（supt∈[0，T]|ДT |）<∞.我们回顾BSDE理论中的以下术语。定义2.1（Lipschitz驱动程序，标准数据）如果以下两个条件成立，则称函数g为驱动程序：o（可测量性）g：Ohm ×[0，T]×R×Lν→ R（ω，t，y，z；l) 7.→ g（ω，t，y，z，l) 是P B（R） B（Lν）- 可测，其中P是上的可预测σ-代数Ohm ×[0，T]，B（R）是R上的Borelσ-代数，B（Lν）是Lν上的Borelσ-代数（可积性）Eh（RT | g（t，0，0，0）| dt）i<∞.如果存在常数K，则驱动器g称为Lipschitz驱动器（或标准Lipschitz驱动器）≥ 0，以便dP dt-a.e.，对于每个（y，z，l) ∈ R×Lν，（y，z，l) ∈R×Lν，| g（ω，t，y，z，l) - g（ω，t，y，z，l)| ≤ K（| y- y |+| z- z |+kl- lkν）。A pai r（g，ξ）表示g是Lipschitz驱动，ξ∈ L(Ohm, FT，P）称为一对标准数据或一对标准参数。设（ξ，g）为一对标准数据。与Lipschitz驱动器g、终端时间T和终端条件ξ相关的BSDE公式如下：Yt=ξ+ZTtg（s，Ys，Zs，ks）ds-ZTtZsdWs-ZTtZEks（e）~N（ds，de），用于t∈ [0，T]。（2）我们记得，上述BSDE在空间s2，T×H2，T×H2，Tν中允许一个唯一的解三重态（Y，Z，k）。我们用Eg·，T（ξ）表示BSDE解的第一个分量（即（Egt，T（ξ））T∈[0，T]是S.Peng词汇表中ξ的g-条件求值族）。还回顾一下（参见，例如El Karoui et al.El Karoui et al。

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2022-5-31 12:28:10

（1997））如果终止时间由停止时间τ给出∈ T0，Tand如果ξ是Fτ-可测的，则与终端时间τ、终端条件ξ和Lipschitz驱动程序g相关的BSDE解定义为具有（固定）终端时间T、终端条件ξ和Lipschitz驱动程序gτ的BSDE解，由gτ（T，y，z，l) := g（t，y，z，l)I{t≤τ} 。因此，该解的第一个分量等于（例如τt，t（ξ））t∈[0，T]。在续集中，还用（Egt，τ（ξ））t表示∈[0，T]。在集合{t上有Egt，τ（ξ）=ξa.s≥ τ}。回想一下，T被解释为最终时间范围。对于每个T′∈ [0，T]和η∈L（FT′），我们设置ρgt，T′（η）：=-Egt，T′（η），0≤ t型≤ T′（3）如果T′代表给定的到期日和时间T′的财务状况，则ρgt，T′（η）被解释为时间T的η风险。函数ρg：（η，T′）7→ 因此，ρg·，T′（η）代表了BSDE与驱动因素g诱导的动态风险度量。为了确保ρg的单调性，即相对于财务状况的单调性，这是风险度量自然需要的，从现在起，我们假设驾驶员g满足以下假设（参见（Quenez和Sulem，2013，第4.2条，结合第3.2条）和其中的参考文献）。假设2.1假设dP 每个（y，z，l, l) ∈ R×（Lν），g（t，y，z，l) - g（t，y，z，l) ≥ hθy，z，l,lt，l- liν，其中映射θ：[0，T]×Ohm ×R×（Lν）→ Lν；（ω，t，y，z，l, l) 7.→ θy，z，l,lt（ω，·）是PB（R） B（（Lν））-可测量且满足dP dt公司 dν（e）-a.e.，对于每个（y，z，l, l)∈ R×（Lν），θy，z，l,lt（e）≥ -1.（4）此外，假设θ是一致有界的，在这个意义上，dP dt-a.e。

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nandehutu2022

2022-5-31 12:28:14

，对于每个（y，z，l, l), kθy，z，l,ltkν≤ K、其中K是一个正常数。3离散时间集（ξt）t中g-期望的最优停止∈[0，T]是一个给定的F-适应平方可积过程，用于模拟代理人的动态财务状况。仅允许代理在给定时间0=t<t<…<tn=T，其中n∈ N、代理人的风险通过BSDE使用给定的Lipschitz驱动程序g引入的动态风险度量ρg进行评估；动态风险度量ρg与g-条件期望族相对应（最多为负号）。代理人在time0的目标是选择自己的策略，使其在“time0视角”下的位置风险最小化。时间0的最小风险由v（0）：=infτ定义∈Td0，Tρg0，τ（ξτ）=- supτ∈Td0，TEg0，τ（ξτ）。（5）我们有V（0）=-五、式中V：=supτ∈Td0，TEg0，τ（ξτ）。（6）因此，我们面临着一个具有g-期望的离散时间最优停止问题。本节的目的是计算或刻画最小风险测度V（0）（或等价地，V），并研究最优停止时间的存在性问题。为了简化表示法，我们假设从现在开始，终端时间T为Nand，tk=k，对于所有k=1，n、在这种情况下，集合Tdtk，T与s et Tdk，Tof停止时间相关，其值几乎肯定在集合{k，k+1，…，T}中。我们将使用符号FD表示过滤（Fk）k∈{0,1，…，T}。3.1离散时间g-（超级）鞅我们引入了离散时间g-（超级）鞅的概念，这将与Eg超鞅（连续时间）的定义进行比较，分别是Eg鞅（不连续时间）。定义3.1 Let（φk）k∈{0,1，…，T}是平方可积随机变量序列，适用于（Fk）k∈{0,1，…，T}。

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2022-5-31 12:28:17

如果φk，则序列（φk）是离散时间的g-上鞅（分别是g-鞅）≥ Egk，k+1（φk+1），对于所有k∈ {0，1，…，T- 1} 。备注3.1我们注意到，如果（φt）t∈[0，T]是关于过滤F的Eg鞅（连续时间），然后是（φk）k∈{0,1，…，T}是定义3意义下离散时间的g-鞅。1、注释3.2，如果g≡ 0（对应于经典期望），if（φk）k∈{0,1，…，T}是关于（Fk）k的离散时间鞅∈{0,1，…，T}，然后（φk）k∈{0,1，…，T}可以通过设置φT：=φk，对于所有T，扩展为关于F的连续时间鞅（时间参数tin[0，T]）∈ （k，k+1），对于所有k∈ {0，…，T-1} 。对于一般驱动因素g，该陈述不一定成立。备注3.3让（φt）为s平方可积适应过程。我们还记得，通过定义gt，s（φs）=φs，对于所有T≥ t型≥ s≥ 如果φ是Ft可测的，那么Egtt，T（φT）=Egt，T（φT）=φT。定理3.1 Let（φk）k∈{0,1，…，T}是离散时间中的g-超鞅（分别是g-鞅）。Letτ∈ Td0，T。然后，停止的过程（φk∧τ） k级∈{0,1，…，T}是离散时间的gτ-上鞅（分别是gτ-鞅）。证明：让k∈ {0，1，…，T- 1} 。自Egτk，k+1（φ（k+1）∧τ） =Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ），则有必要证明以下内容：Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）≤ φk∧τ。（7）我们写了gk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =I{τ≤k} Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） +I{τ≥k+1}Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）。（8）由于以停止时间为终点的标准BSDE的解的定义，我们有{τ≤k} Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =I{τ≤k} φ（k+1）∧τ=I{τ≤k} φτ。（9）对于方程（8）右侧的第二项，我们有i{τ≥k+1}Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）≤ I{τ≥k+1}φk∧τ。

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2022-5-31 12:28:20

（10）事实上，在注意到I{τ≥k+1}是Fk可测的，我们应用命题A。1至获得{τ≥k+1}Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =I{τ≥k+1}Eg（k+1）∧τk，T（φ（k+1）∧τ） =Eg（k+1）∧τI{τ≥k+1}k，T（I{τ≥k+1}φk+1）。（11）利用g（k+1）这一事实∧τI{τ≥k+1}=gk+1I{τ≥k+1}通过应用命题A.1again，我们得到EG（k+1）∧τI{τ≥k+1}k，T（I{τ≥k+1}φk+1）=Egk+1I{τ≥k+1}k，T（I{τ≥k+1}φk+1）=I{τ≥k+1}Egk+1k，T（φk+1）=I{τ≥k+1}Egk，k+1（φk+1）。（12）由于φ是离散时间的g-超鞅，我们有I{τ≥k+1}Egk，k+1（φk+1）≤ I{τ≥k+1}φk=I{τ≥k+1}φk∧τ、这证明了不等式（10）。从（9）和（10）我们得到期望的不等式（7）。从而证明了该定理。备注3.4我们知道，离散时间内的“经典”（超）鞅，在停止时间τ停止，同样是（超）鞅。离散时间中的g-（超）鞅，在停止时间τ处停止∈ Td0，T通常不是g-（超）鞅，而是gτ（超）鞅（根据前面的定理3.1）。以下示例对此进行了说明。设g是不依赖于y、z和l （即g（ω，t，y，l) ≡g（ω，t））。回想一下，在这种情况下，对于所有t∈ [0，T]。（13）假设g为正。设φ为离散时间的g鞅，取τ≡ k、其中k∈ {0，…，T- 1} 。通过应用（13），ξ：=φk，我们得到Egk，T（φ（k+1）∧k） =Egk，T（φk）=E（ZTkg（s）ds+φk | Fk）=E（ZTkg（s）ds | Fk）+φk>φk，不等式是由于g的正性。因此，在k处停止的φ不是离散时间内的g鞅。我们现在为g-supermartingales（分别为gmartingales）建立了一个“可选采样”结果。这个结果可以作为前面定理的推论。推论3.1 Let（φk）k∈{0,1，…，T}是离散时间中的g-超鞅（分别是g-鞅）。

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2022-5-31 12:28:24

然后，对于σ，τ，在Td0中，t求出σ≤ τa.s.，我们有egσ，τ（φτ）≤ φσ（resp=φσ）a.s.证明：我们证明了g-超鞅情形的结果；g-鞅的情况可以类似地处理。设σ，τ为Td0，Tbe，因此σ≤ τa.s.我们注意到，必须证明以下性质：Egk∧τ、 τ（φτ）≤ φk∧τ、对于所有k∈ {0，1，…，T}。（14）事实上，这个性质已经证明，我们将得到Egσ，τ（φτ）=Egσ∧τ、 τ（φτ）=TXk=0I{σ=k}Egk∧τ、 τ（φτ）≤TXk=0I{σ=k}φk∧τ=φσ∧τ=φσ，这将结束证明。现在让我们证明性质（14）。我们沿着后方向前进。到最后，我们有∧τ、 τ（φτ）=Egτ，τ（φτ）=φτ=φT∧τ。我们假设性质（14）对k+1成立。然后，利用这个归纳假设，g-条件期望的时间一致性和单调性（后者的性质在假设2.1下成立），我们得到了EGK∧τ、 τ（φτ）=Egk∧τ、（k+1）∧τ（Eg（k+1）∧τ、 τ（φτ））≤ Egk公司∧τ、（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）。为了得出结论，还有待验证gk∧τ、（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）≤ φk∧τ。（15）我们有{τ≥k} Egk公司∧τ、（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =I{τ≥k} Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）≤ I{τ≥k} φk∧τ、（16）其中，我们使用定理3.1来获得不等式。根据命题A.1，我们有i{τ<k}Egk∧τ、（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =Eg（k+1）∧τI{τ<k}τ，T（φτI{τ<k}）。（17）根据备注A.2中给出的约定，“驱动因素”g（k+1）∧τ（s，y，z，l)I{τ<k}等于g（k+1）∧τ（s，y，z，l)I{τ<k}I]τ，T]（s），等于零。因此，我们有EG（k+1）∧τI{τ<k}τ，T（φτI{τ<k}）=Eτ，T（φτI{τ<k}）=φτI{τ<k}。其中，最后一个等式是由于φτI{τ<k}的Fτ-可测性。我们从方程式（16）和（17）推导出（15）。从而证明了这一命题。3.2离散时间g-Snell包络线和最佳停车时间我们现在转向路段起点的最佳停车问题。

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2022-5-31 12:28:28

与通常的非正时控制一样，我们将上述优化问题（6）嵌入到一类更大的问题中，考虑vk：=ess supτ∈Tdk，TEgk，τ（ξτ），对于k∈ {0，1，…，T}。（18）以下定义类似于给定流程在离散时间内的斯奈尔包络定义，我们用g-期望取代了经典设置的数学期望。我们定义了流程（英国）k∈{0,1，…，T}由后向归纳得出如下：（UT=ξT，Uk=maxξk；Egk，k+1（英国+1）, 对于k∈ {0，1，…，T- 1} 。（19）从（19）中，我们通过反向归纳发现（Uk）是一个定义良好的（Fk）适应平方可积随机变量序列。序列（Uk）将被称为离散时间（ξk）的g-Snell包络。我们现在给出了（ξk）离散时间下g-Snell包络的一个特征。命题3.1序列（英国）k∈方程（19）中定义的{0,1，…，T}是离散时间内支配序列（ξk）k的最小G超鞅∈{0,1，…，T}。上述命题的证明类似于经典预期的证明，为方便读者，附录中给出了上述命题的证明。让k∈ 给定{0，1，…，T}。我们定义了以下停止时间：νk：=inf{l∈ {k，…，T}：Ul=ξl}。（20）以下命题成立。提议3.2让k∈ {0，1，…，T- 1} 。设νkbe（20）中定义的停止时间。序列（Ul∧νk）l∈{k，…，T}是离散时间的gνk-鞅。证明：让l∈ {k，…，T- 1} 。我们证明Ul∧νk=Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）我们写的是gl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）=I{νk≤l} Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）+I{νk≥l+1}Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）。（21）在定理3.1的证明中，我们通过定义BSDE的解，将突变时间作为终点时间，I{νk≤l} Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）=I{νk≤l} U（l+1）∧νk=I{νk≤l} 联邦制药∧νk。

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2022-5-31 12:28:30

（22）对于方程（21）右侧的第二项，我们再次使用与定理3.1证明相同的论证（参见方程（11）和（12））来显示{νk≥l+1}Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）=I{νk≥l+1}Egl，l+1（Ul+1）。从νkwe的定义可以看出，Ul>ξlon集合{νk≥ l+1}。将这一观察结果与U的定义相结合，得出集合{νk上的Ul=Egl，l+1（Ul+1≥ l+1}。因此，I{νk≥l+1}Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）=I{νk≥l+1}Ul=I{νk≥l+1}Ul∧νk.（23）在（21）中插入（22）和（23）可获得所需的结果。在下面的命题中，我们证明了（20）中定义的停止时间νkde对于优化问题（18）在时间k是最优的，并且问题的值函数Vkof等于Uk（离散时间（ξk）中的g-Snell包络）。k的定理3.2∈ {0，1，…，T}，Uk=Egk，νk（ξνk）=ess supν∈Tk，TEgk，ν（ξν），（24），其中νk：=inf{l∈ {k，…，T}：Ul=ξl}。证明：在k=T的情况下，结果非常正确。假设k∈ {0，1，…，T- 1} 。通过使用命题3.2和推论3.1（应用σ=k和τ=T），以及Uνk=ξνk这一事实，我们得到了Uk=Uk∧νk=Egνkk，T（UT∧νk）=Egk，νk（Uνk）=Egk，νk（ξνk）。（25）让ν∈ Tk，T.通过使用第3.1项和推论3.1（应用σ=k和τ=ν），以及函数Eg0，ν（·）的单调性，我们得到≥ Egk，ν（Uν）≥ Egk，ν（ξν）。（26）结合方程式（25）和（26）得出所需的结论。备注3.5非线性算子族{Et（·）：t∈ [0，T]}在关于非线性函数最优停止的文献中，有几篇论文考虑了由单指数（而不是双指数族）索引的（参见Kr"atschmer和Schoenmakers（2010）以及Bayraktar和Yao（2011））。我们注意到，我们在这里使用双指数算子族{Egt，t′（·）：t，t′∈ [0，T]}。

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nandehutu2022

2022-5-31 12:28:35

这个算子族化简为{Egt，T（·）：T族∈ [0，T]}，由单个索引索引，在附加假设Egt，T′（η）=Egt，T（η），0≤ t型≤ t′，对于所有t′∈ [0，T]，对于所有η∈ L（Ft′）。通过使用g-条件期望的一致性，可以证明，对于所有t∈ [0，T]，对于所有η∈L（英尺）。4离散时间相关托里斯克极小化中的非零和Dynkin对策我们现在考虑一个比导言稍微更一般的对策问题。我们有两名代理人A和A，他们的支付/财务头寸通过四个F适应序列X、X、Y、Y确定。我们做出以下假设：（A1）X≤ Yand X公司≤ Y（即Xk≤ YK和Xk≤ Yk，k∈ {0，…，T}）（A2）XT=YT和XT=YT。（A3）过程Y、Y、X、X满足E（maxk∈{0，…，T}| Yk |）<∞, E（最大值∈{0，…，T}| Yk |）<∞, E（最大值∈{0，…，T}| Xk |）<∞, E（最大值∈{0，…，T}| Xk |）<∞.每个代理在时间0时的策略集是Td0，T。我们强调，两个代理都使用离散的停止时间作为策略。如果第一个代理的策略是τ∈ Td0，tand第二个代理的策略是τ∈ Td0，T，第一（分别为第二）代理人在时间τ的支付∧ τ的计算公式为：XτI{τ≤τ} +YτI{τ<τ}（分别为XτI{τ<τ}+YτI{τ≤τ} ，我们采用了以下惯例：当τ=τ时，第一个负责停止游戏的玩家。代理a和a以（可能的）不同的方式评估各自支付的风险。更准确地说，我们现在得到了两个标准的Lipschitz驱动因素fand f。第一个代理的动态风险度量等于ρf=-E且第二个代理的dynamicrisk度量等于ρf=-Ef。如果第一个代理的策略是τ∈ Td0，Tand第二个代理的策略是τ∈ Td0、T、第一代理人（分别为。

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2022-5-31 12:28:38

因此，第二个代理在时间0的风险由-J（τ，τ）（分别为。-J（τ，τ）），其中J（τ，τ）：=Ef0，τ∧τ（XτI{τ≤τ} +YτI{τ<τ}）（分别为J（τ，τ）：=Ef0，τ∧τ（XτI{τ<τ}+YτI{τ≤τ} ））。这两个代理的目标是将其支付风险降至最低。导言中所述的游戏选项问题可以被视为上述游戏的一个特定案例，第一个代理对应于游戏选项的买方，第二个代理对应于卖方，X=-Y=X和Y=-X=Y。让我们强调，即使在这两个代理人的报酬等于负号的特殊情况下，由于动态风险度量的非线性，博弈也是非零和类型。在引言中也出现了期权的卖方和/或买方对其净收益应用风险度量的情况，也进入了上述一般框架。

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2022-5-31 12:28:41

例如，如果期权的卖方考虑其净收益，而买方只考虑期权的支付，我们设置：X=X，Y=Y，Y=-X+X，X=-Y+x，其中x>0是期权的初始价格。在本节中，我们研究上述一般博弈的纳什均衡点的存在性问题。定义4.1（纳什均衡点）一对停止时间（τ*, τ*) ∈ 对于上述非零和Dynkin对策，如果J（τ*, τ*) ≥J（τ，τ*) 和J（τ*, τ*) ≥ J（τ*, τ），对于Td0，T×Td0，T中的任何一对（τ，τ）停止时间。换句话说，如果其中一个代理（另一个代理的策略保持不变）对该策略的任何单方面偏差没有降低其风险，那么一对策略就是博弈的纳什均衡。4.1初步结果我们从一个初步命题开始，在这个命题中，我们认为交换Payoff过程表达式中的严格和大型不等式不会改变相应的值函数。这一结果将用于构建下一小节中的纳什均衡点。命题4.1设（Xk）和（Yk）为平方可积随机变量的两个Fd适应序列，使得Xk≤ Yk，所有k∈ {0，…，T}，XT=y和E（最大值∈{0，…，T}| Xk |）<∞. 设g为标准驱动器，u∈ 每k的Td0，T∈ {0，1，…，T}，设'ξk：=XkI{k≤ u}+YuI{u<k}和ξk：=XkI{k<u}+YuI{u≤k} 。对于每个k∈ {0，1，…，T}，设'Uk：=ess supτ∈Tdk，TEgk，τ∧u（(R)ξτ）和Uk：=ess supτ∈Tdk，TEgk，τ∧u（ξτ），分别对应于（ξk）和（ξk）离散时间内的gu-斯内尔包络。然后，以下属性成立：（i）(R)Uk=Yu=Uka。s、在{u≤ k- 1} 。（ii）“英国=英国。s、对于所有k∈ {0。

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2022-5-31 12:28:44

，T}。备注4.1在Lepeltier和Maingueneau（1984）（引理5）的结果框架中，该结果可以被视为一个类似的结果，该结果显示在一个具有正确连续支付和经典期望的连续时间框架中。证明：让我们证明（i）。我们采用反向归纳法。直接计算给出{u上的sut=ξT=Yu和'UT='ξT=Yu≤ T- 1} 。我们现在假设“Uk+1=Yu=Uk+1a”。s、在{u≤ k} 。我们证明了“Uk=Yu=Uka”。s、在{u≤ k- 1} 。通过使用Uk的定义，我们拥有UKI{u≤k-1} =最大值ξkI{u≤k-1} ；I{u≤k-1} 例如uk，k+1（英国+1）. （27）现在，通过ξk的定义，我们得到ξkI{u≤k-1} =YuI{u≤k-1} （28）此外，通过命题A.1和归纳假设，我们得到{u≤k-1} Eguk，k+1（Uk+1）=EguI{u≤k-1} k，k+1（Uk+1I{u≤k-1} ）=例如uI{u≤k-1} k，k+1（YuI{u≤k-1} ）现在，“驱动器”gu（ω，s，y，z）I{u（ω）≤k-1} 等于g（ω，s，y，z）I{s≤u（ω）≤k-1} I]k，T]（s）（根据第A.1款中使用的约定），等于零。此外，YuI{u≤k-1} Fk是否可测量。因此，例如uI{u≤k-1} k，k+1（YuI{u≤k-1} ）=YuI{u≤k-1} a.s.通过将该观察结果与方程（27）和（28）相结合，我们得到{u上的Uk=Yua.s≤ k- 1} 。通过类似的参数，我们表明{u上的'Uk=Yua.s≤ k- 1} （为了获得这一权利要求，有必要将方程式（27）中的U替换为“U”，ξ替换为“ξ”）。因此证明了性质（i）。让我们证明性质（二）。我们再次进行反向归纳。最后，T我们有UT=ξT=(R)ξT=(R)UT（由于假设XT=YT）。假设“Uk+1=Uk+1”。让我们证明“Uk=Uk”。我们注意到，ξk=？ξkon在集合{u=k}c上。这一观察、诱导假设和Uk和'Uk的定义导致了集合{u=k}c上的等式Uk=？Uk。它仍然表明，等式在集合{u=k}上也是成立的。

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2022-5-31 12:28:47

通过使用Uk的定义，ξkan命题A.1的定义，我们得到Uki{u=k}=maxξkI{u=k}；I{u=k}例如uk，k+1（Uk+1）= 最大值YkI{u=k}；例如uI{u=k}k，k+1（Uk+1I{u=k}）.（29）现在，根据我们刚才证明的性质（i），我们有Egui{u=k}k，k+1（Uk+1I{u=k}）=Egui{u=k}k，k+1（YkI{u=k}）。由于“驱动因素”guI{u=k}等于0且YkI{u=k}是Fk可测量的，例如uI{u=k}k，k+1（YkI{u=k}）=Ek，k+1（YkI{u=k}）=YkI{u=k}。从前面的三个表达式中，我们得到UkI{u=k}=YkI{u=k}。类似地，通过使用“Uk”的定义、“ξk”的定义、命题A.1和性质（i），我们得到了“UkI{u=k}=max”ξkI{u=k}；I{u=k}例如uk，k+1（(R)Uk+1）= 最大值XkI{u=k}；例如uI{u=k}k，k+1（\'Uk+1I{u=k}）= 最大值XkI{u=k}；例如uI{u=k}k，k+1（YkI{u=k}）,此外，例如uI{u=k}k，k+1（YkI{u=k}）=Ek，k+1（YkI{u=k}）=YkI{u=k}。因此，\'UkI{u=k}=max（Xk；Yk）I{u=k}。同于Xk≤ 通过假设，我们得到了'UkI{u=k}=YkI{u=k}。因此，等式UkI{u=k}=UkI{u=k}成立，从而得出证明结论。4.2纳什均衡点的构建遵循Hamadène和Zhang（2010）以及Hamadène和Hassani（2014）的思想，我们通过递归程序构建了上述博弈的纳什均衡点。我们还依赖上一小节（第4.1款）的初步结果和第3节的结果。定理4.1我们的离散时间g-期望非零和博弈允许纳什均衡点。为了证明这个定理，我们构造了一对（τ2n+1，τ2n+2）n∈对于停止时间的非递增序列，我们证明了极限（如n→ ∞) 是第2节定义的游戏NEP。我们设置τ：=T和τ：=T。我们假设停止时间τ2n-1和τ2已定义。我们定义f2n+1（ω，t，·，·，·：）=fτ2n（ω，t，·，·，·：）：=f（ω，t，·，·，·，·，·）I{t≤τ2n（ω）}。我们注意到F2N+1是标准Lipschitz驱动程序，而fis是标准Lipschitz驱动程序。我们准备好了∈ {0。

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2022-5-31 12:28:51

，T}，ξ2n+1k：=XkI{k<τ2n}+Yτ2nI{τ2n≤k} W2n+1k：=ess supτ∈Tdk，TEf2n+1k，τ（ξ2n+1τ）～τ2n+1：=inf{k∈ {0，…，T}：W2n+1k=ξ2n+1k}τ2n+1：=（￠τ2n+1∧ τ2n-1） I{τ2n+1∧τ2n-1<τ2n}+τ2n-1I{τ2n+1∧τ2n-1.≥τ2n}。（30）根据定理3.2，对于上述优化问题（30），在时间0时，停止时间|τ2n+1是最优的：更精确地说，我们有W2n+1=supτ∈Td0，TEf2n+10，τ（ξ2n+1τ）=Ef2n+10，|τ2n+1（ξ2n+1|τ2n+1）。此外，由于命题4.1应用了u：=τ2n和g：=f，我们得到了w2n+1=supτ∈Td0，TJ（τ，τ2n）。（31）我们在以下注释4.2和命题4.2中收集了关于上述对象的更多观察结果。备注4.2（i）适用于所有n∈ N、 τ2n+1是一个停止时间（该观察结果直接源自τ2n+1的定义）。（ii）对于所有n∈ N、对于所有τ∈ Td0，T，ξ2n+1τ=ξ2n+1τ∧τ2n。此外，我们还有以下建议。命题4.2（i）W2n+1kI{τ2n≤k} =Yτ2nI{τ2n≤k} 。（ii）对于所有n∈ N、 τ2n+1=inf{k∈ {0，…，T}：W2n+1k=Xk}∧ τ2n。尤其是|τ2n+1≤ τ2n，f或全部n∈ N、证明：让我们证明（i）。根据ξ2n+1的定义，我们得到了ξ2n+1τI{τ2n≤k} =Yτ2nI{τ2n≤k} ，对于所有τ∈ Tdk，T.（32）由于以停止时间为终点的标准BSDE的解的定义，我们有{τ2n≤k} Ef2n+1k，τ∧τ2n（ξ2n+1τ）=I{τ2n≤k} ξ2n+1τ，对于所有τ∈ Tdk，T.（33）因此，I{τ2n≤k} W2n+1k=I{τ2n≤k} ess supτ∈Tdk，TEf2n+1k，τ∧τ2n（ξ2n+1τ）=ess supτ∈Tdk，TI{τ2n≤k} Ef2n+1k，τ∧τ2n（ξ2n+1τ）=I{τ2n≤k} ξ2n+1τ=I{τ2n≤k} Yτ2n，其中我们使用方程（33）来获得倒数第二个等式，使用方程（32）来获得倒数第二个等式。让我们证明（ii）。通过使用|τ2n+1和ξ2n+1的定义，我们得到|τ2n+1=inf{k∈ {0，…，T}：W2n+1kI{k<τ2n}+W2n+1kI{τ2n}≤k} =XkI{k<τ2n}+Yτ2nI{τ2n≤k} }。由于这一观察结果和之前的性质（i），我们得到了|τ2n+1=inf{k∈ {0，…，T}：W2n+1kI{k<τ2n}=XkI{k<τ2n}}=inf{k∈ {0。

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2022-5-31 12:28:54

，T}：W2n+1k=Xk}∧ τ2n。我们定义f2n+2（ω，t，·，·，·：）=fτ2n+1（ω，t，·，·，·：）：=f（ω，t，·，·，·，·，·）I{t≤τ2n+1（ω）}。与（30）的定义类似，我们设置ξ2n+2k：=XkI{k<τ2n+1}+Yτ2n+1I{τ2n+1≤k} W2n+2k：=ess supτ∈Tdk，TEf2n+2k，τ（ξ2n+2τ）～τ2n+2：=inf{k∈ {0，…，T}：W2n+2k=ξ2n+2k}τ2n+2：=（￠τ2n+2∧ τ2n）I{τ2n+2∧τ2n<τ2n+1}+τ2nI{τ2n+2∧τ2n≥τ2n+1}。（34）我们注意到，前面等式（34）中定义的对象满足类似于备注4.2和命题4.2的性质。提案4.3适用于所有m≥ 1，|τm+2≤ τmP-a.s。。证明：通过矛盾的方式，我们假设存在m≥ 1使得P（τm<τm+2）>0，我们设置n：=min{m≥ 1:P（τm<τm+2）>0}。我们有n个≥ 3、n的定义意味着|τn+1≤ τn-1、这一观察结果，结合τn+1的定义和命题4.2第（ii）部分的不等式，得出τn+1=△τn+1{△τn+1<τn}+τn-1I{τn+1=τn}。（35）出于类似的原因，我们得出τn=～τnI{～τn<τn-1} +τn-2I{τn=τn-1} 。（36）为了便于演示，我们设置了Γ：={τn<τn+2}。在片场上，我们有：1。τn<τn+2≤ τn+1（最后一个不等式也是由于Prop的性质（ii）。4.2）。2、τn+1=τn-1、这一观察结果是由于1，加上等式（35）。ξn+2=ξn。这是2以及ξn+2和ξn.4定义的直接结果。τn=τn。我们证明{τn=τn-1}∩Γ= 它与表达式（36）一起给出了所需的语句。根据（36），我们得到{τn=τn-1} ={τn=τn-1}∩ {τn=τn-2} 。因此，{τn=τn-1}∩ Γ={τn=τn-1，τn=τn-2<τn+2}。现在，我们有了τn≤ τn-2（由于n的定义）。因此，{τn=τn-1}∩ Γ={τn=τn-1.≤ τn=τn-2<τn+2}=, 最后一个等式是由|τn+2引起的≤ τn-1、我们注意到，将属性1和4结合起来，得到了|τn<τn+2onΓ。我们将获得该物业的交易权。为此，让我们证明IΓWn+2Γτn=IΓξn+2Γτn。（37）通过Γτn的定义，我们得到了WnΓn=ξnΓn。

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2022-5-31 12:28:59

该观察结果与性质3相结合，给出了wn|τn=ξn|τn=ξn+2|τnonΓ。因此，为了显示等式（37），如果n+2是奇数（或偶数），则需要在以下计算中显示IΓWn+2Γτn=IΓWnΓτn.（38），fn+2等于fn+2（或fn+2）；类似地，如果n是奇数（或偶数），则fniis等于fn（或fn）。通过使用附录的性质4和命题A.1，应用A：=Γ，它是Fτn-可测的，我们得到IΓWn+2Γτn=IΓWn+2τn=ess supτ∈Tτn，TIΓEfn+2iτn，τ（ξn+2τ）=ess supτ∈Tτn，TEfn+2iIΓτn，τ（IΓξn+2τ）。现在，通过使用fn+2i和fni的定义以及属性2，我们得到：fn+2i（ω，t，y，z，k）IΓ（ω）=fi（ω，t，y，z，k）I{t≤τn+1（ω）}IΓ（ω）=fi（ω，t，y，z，k）I{t≤τn-1（ω）}IΓ（ω）=fni（ω，t，y，z，k）IΓ（ω）。利用这一观察结果和性质3，我们得到了Efn+2iIΓτn，τ（IΓξn+2τ）=EfniIΓτn，τ（IΓξnτ）。通过再次使用附录中的命题A.1，我们得到了EfniIΓτn，τ（IΓξnτ）=IΓEfniτn，τ（ξnτ）。结合前面的等式，得出IΓWn+2Γτn=ess supτ∈Tτn，TIΓEfniτn，τ（ξnτ）=IΓess supτ∈Tτn，TEfniτn，τ（ξnτ）=IΓWnτn=IΓWnτn，其中我们再次使用属性4来获得最后的等式。等式证明（38），因此等式证明（37）已完成。根据等式（37）和|τn+2的定义，我们推导出|τn+2≤ ΓτnonΓ，与Γτn<Γτn+2onΓ相矛盾。从而证明了这一命题。推论4.1（i）适用于所有n≥ 2，τn+1=△τn+1I{△τn+1<τn}+τn-1I{τn+1=τn}。（ii）对于所有n≥ 2，？τn+1=τn+1∧ τn.证明：断言（i）的证明是τn+1定义的直接结果，结合前面的命题4.3和命题4.2的性质（ii）。让我们证明（ii）。

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2022-5-31 12:29:02

通过使用前面的断言（i），我们得到τn+1∧ τn=（§τn+1∧ τn）I{τn+1<τn}+（τn-1.∧ τn）I{τn+1=τn}={τn+1I{τn+1<τn}+（τn-1.∧ τn+1）I{τn+1=τn}。通过使用前面的命题4.3和命题4.2的性质（ii），我们得出结论：τn+1∧ τn=～τn+1I{～τn+1<τn}+～τn+1I{～τn+1=τn}=～τn+1。关于{τn=τn的引理4.1-1} 我们有τm=T，m级∈ {1，…，n}。证明：该证明类似于Hamadène和Zhang（2010）中引理3.1的证明，是为了方便读者而给出的。我们采用归纳法。对于n=2，结果非常正确。假设结果适用于n- 1，其中n≥ 从前面推论4.1第（i）部分的τnf表达式中，我们可以看到τn=τn-2on{τn=τn-1} 并运用归纳假设得出结论。命题4.4以下不等式成立：J（τ，τ2n）≤ J（τ2n+1，τ2n），对于所有τ∈ Td0，T.J（τ2n+1，τ）≤ J（τ2n+1，τ2n+2），对于所有τ∈ Td0，T。换句话说，当第二个代理的策略固定在τ2n时，策略τ2n+1在时间0时对第一个代理是最优的。当第一个代理的策略固定在τ2n+1时，第二个代理的策略τ2n+2在时间0时是最优的。证明：我们将证明第一个不等式。第二种观点可以用相似的论证来证明。根据方程式（31），我们有j（τ，τ2n）≤ W2n+1。（39）另一方面，J（τ2n+1，τ2n）=Ef2n+10，τ2n+1∧τ2nXτ2n+1I{τ2n+1≤τ2n}+Yτ2nI{τ2n<τ2n+1}= Ef2n+10，τ2n+1∧τ2n（ξ2n+1τ2n+1），其中引理4.1和假设（A2）（即假设XT=YT）已用于获得最后的等式。我们使用备注4.2、推论4.1（第（ii）部分）和▄τ2n+1的最优性来获得f 2n+10，τ2n+1∧τ2n（ξ2n+1τ2n+1）=Ef2n+10，τ2n+1∧τ2n（ξ2n+1τ2n+1∧τ2n）=Ef2n+10，|τ2n+1（ξ2n+1|τ2n+1）=W2n+1。因此，J（τ2n+1，τ2n）=W2n+1，与（39）结合，得到期望的结果。

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2022-5-31 12:29:05

备注4.3作为上述证明的副产品，我们得到：W2n+1=Ef2n+10，τ2n+1∧τ2n（ξ2n+1τ2n+1）。我们得出结论，对于优化问题（30），停止时间τ2n+1也是最优的（时间t=0）。我们定义τ*和τ*按τ*:= 画→∞τ2n+1和τ*:= 画→∞τ2n。我们注意到τ*和τ*我们现在证明，我们可以通过前面命题不等式中的极限。命题4.5（i）适用于所有τ∈ Td0、T、limn→∞J（τ，τ2n）=J（τ，τ*) 和limn→∞J（τ2n+1，τ）=J（τ*, τ）。（二）limn→∞J（τ2n+1，τ2n）=J（τ*, τ*) 和limn→∞J（τ2n+1，τ2n+2）=J（τ*, τ*).证明：让我们证明第（i）部分的第一句话。其他断言可以用类似的论据来证明；细节留给读者。为了便于演示，我们设置了ξ2n+1t：=XtI{t≤τ2n}+Yτ2nI{τ2n<t}（当第二个代理的策略为τ2n时，过程ξ2n+1对应于第一个代理的反向过程）。我们还设置了ξτ*t： =XtI{t≤τ*}+ Yτ*I{τ*<t} 。用这个符号，我们得到J（τ，τ2n）=Ef0，τ∧τ2n（(R)ξ2n+1τ）和J（τ，τ*) = Ef0，τ∧τ*（(R)ξτ）*τ）。我们注意到序列（τ∧ τ2n）从上到τ收敛∧ τ*. 假设我们已经显示了ξ2n+1τ-→n→∞\'ξτ*τa.s.和d E（supn（(R)ξ2n+1τ））<+∞. （40）然后，通过BSDE解关于终端时间和终端条件的连续性（见Quenez和Sulem（2013）中的命题A.6），我们得到→∞J（τ，τ2n）=J（τ，τ*), 这是期望的结果。仍需检查（40）。现在，s等式（τ∧ τ2n）收敛于a.s.和τ∧ τ2n在有限集{0，…，T}中取值。因此，对于几乎每个ω，实的序列（τ（ω））∧ τ2n（ω））是平稳的，这意味着序列（(R)ξ2n+1τ（ω））也是平稳的，并收敛到ξτ*τ（ω）。最后，我们检查E（supn（(R)ξ2n+1τ））<+∞, 这是由于不等式ξ2n+1τ|≤ 2 | Xτ|+2 | Yτ2n |，假设（A3）和X的平方可积性。

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2022-5-31 12:29:08

因此，证明是完整的。结论：我们从前两个提案（第4.4和4.5号提案）推断J（τ，τ*) ≤ J（τ*, τ*), 对于所有τ∈ Td0、T和J（τ*, τ）≤ J（τ*, τ*), 对于所有τ∈ Td0，T；换句话说，（τ*, τ*) 是我们Dynkin游戏的一个NEP。备注4.4我们注意到，命题4.5的证明依赖于一个事实，即本文框架中的停止时间是在一个有限集合中进行估值的。提议4.5（更具体地说，声明（ii））似乎难以在连续时间框架内确立。更准确地说，由于[0，T]中的实的收敛序列不是必要的系统论，因此不太清楚是否有可能从命题4.4推导出命题4.5的陈述（ii），这与具体情况相反。5进一步的发展本报告中给出的结果可以推广到在有限的停车时间集合中评估策略的情况。更具体地说，让我们考虑以下设置：let是一个正实数。让K∈ N、设θ，θ。。。，θKbe K+1（不同的）F停止时间，值在[0，T]中，使得0=θ≤ θ≤ . . . ≤ θK=T a.s.我们认为在每种情况下ω∈ Ohm, 只能在时间θ（ω），θ（ω）。。。，θK（ω）。换句话说，停止者可以在停止时间τof the formτ=PKi=0θiAi中选择他/她的策略，其中（Ai）i∈{0，…，K}是Ohm 这样的Ai∈ Fθi，表示alli∈ {0，…，K}。我们用Θ表示这组停止时间。我们还给出了一个F-适应平方可积payoff过程（ξt）t∈[0，T]。在此框架下，第3节的最优停止问题变为：V：=supτ∈ΘEg0，τ（ξτ）。一个类似于第4节的博弈问题，其中停车时间集Td0，t被集合Θ代替，也可以公式化。在特殊情况下，停车时间θ，θ。。。，θKare严格有序（即0=θ<θ<。。。

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