（7.34）同样，再次使用（1.6）并使用（1.8）η=gt∈ 对于任意的eω∈ OhmTZτ（eω）∧stgt，ωr（eω）dr≤Zstgt，ωr（eω）博士≤Zstgt，ωt（eω）+gt，ωr（eω）-gt，ωt（eω）博士≤Zst|gt（ω）|+ρ（s）-t） +supr∈[t，s]Btr（eω）-Btt（eω）dr.（7.35）也（3.4）表明，对于任何eω∈OhmTVns（ω）-（Vns）t，ω（eω）=Vns（ω）-Vn（s，ω）teω）≤ρkω-ω teωk0，s=ρ苏普∈[t，s]ω（r）-ω（t）-eω（r）≤ρ苏普∈[t，s]ω（r）- ω（t）+ 苏普∈[t，s]eω（r）≤ ρδt，s+supr∈[t，（t+δt，s）∧[T]Btr（eω）-Btt（eω）. （7.36）由于kωk0，t≤ kωk0，T<α，我们可以从（7.34），（7.35），（3.3），（3.6）和（7.36）推导出{τ<s}Lt，ωτ+1{τ≥s} （Vns）t，ω- Vns（ω）+Zτ∧stgt，ωrdr-（s）-t） |gt（ω）|≤EP{τ<s}Lt，ωs+1{τ≥s} （Vns）t，ω-Vns（ω）+ρ（s）-t） +supr∈[τ，（τ+s-（t）∧[T]Btr-Btτ+（s）-t） ρ（s）-t） +supr∈[t，s]Btr-Btt≤EP（Vns）t，ω-Vns（ω）+（1+s）-t） ρα（s-（t）≤（2+s）-t） ρα（δt，s）。τ上的鲁棒Dynkin对策∈ Tt（n）在左边，我们从（7.33）得到（7.32）。1b）接下来，我们证明了对于v，不等式（7.32）可以加强为Vs（ω）-Vt（ω）≤ （s）-t） 苏普∈[0，T]| gr（ω）|+（2+s）-t） ρα（δt，s）。（7.37）固定ε>0。我们可以找到一个P=P（ε）∈P（t，ω）使得vt（ω）+ε/2≥ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）. 由（7.27）可知，存在一些bγ=bγ（ε）∈t就这样{τ ∧bγ<s}Rt，ω（τ，bγ）+1{τ∧bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）+ ε/2, τ ∈Tt。特别是，在左手边取τ=s，得到tVt（ω）+ε≥EP{bγ<s}Rt，ω（s，bγ）+1{bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr=EPZbγ∧stgt，ωrdr+1{bγ<s}Ut，ωbγ+1{bγ≥s} Vt，ωs.

（7.38）与（7.34）和（7.35）的类比表明：Ut，ωbγ（eω）-Ut，ωs（eω）≤ ρ（s）-t） +supr∈[bγ（eω），[bγ（eω）+s-（t）∧[T]Btr（eω）-Btbγ（eω）,  eω∈ {bγ<s}和Zbγ（eω）∧stgt，ωr（eω）dr≤ （s）-（t）|gt（ω）|+ρ（s）-t） +supr∈[t，s]Btr（eω）-Btt（eω）,  eω∈ Ohmt、 作为kωk0，t≤kωk0，T<α，将其重新插入（7.38）并使用n施加（7.36）=∞, 我们可以从（3.6）和（3.3）推导出vt（ω）-Vs（ω）+ε+（s）-t） |gt（ω）|≥EPh{bγ<s}Ut，ωs+1{bγ≥s} Vt，ωs-Vs（ω）i-（1+s）-t） ρα（s-（t）≥EPVt，ωs-Vs（ω）-（1+s）-t） ρα（s- （t）≥-（2+s）-t） ρα（δt，s）。让ε→ 0，取（7.32），n=∞ 收益率（7.37）。自limts以来↓ δt，s=limst↓ δt，s=0，我们可以从m（7.32）和（7.37）中推导出vn的每条路径都是左上半连续和右下半连续的，特别是v的每条路径都是连续的。2） 给定（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 注3.2，命题1.1（4）和第1部分表明Vt，ω是Ft-适应所有连续路径的过程。任何P∈P（t，ω），（3.3）和（2.6）意味着EPhVt，ω*我≤EPψt，ω*<∞. SoVt，ω∈S（英尺，P）。7.3第4节（4.1）中结果的证明：固定n∈N∪{∞} 和τ∈T我们让（t，ω）∈[0，T]×Ohm 和P∈P（t，ω）。自Vnτ∈ FTandRτgrdr∈ 根据备注3.2，第1.1（1）条说明了这两种情况Vnτt、 ω和Rτgrdrt、 ω属于FtT。1） Ifbt:=τ（ω）≤ t、 命题1.1（3）表明τ（ω）TOhm（t）≡bt.将（1.8）应用于η=Vnbt∈ Fbt Ftand toη=Rbtgrdr∈Fbt对于任意的eω∈OhmTVnτt、 ω（eω）=Vnτ(ωteω），ωteω=越南bt，ωteω=越南bt，ω, （7.39）和Rτgrdrt、 ω（eω）=Rτ（ω）teω）gr（ω）teω）dr=Rbtgr（ωteω）dr=Rbtgr（ω）dr。两者仅依赖于ω。2）Nex t，假设τ>t。命题1.1（3）也表示τ（ω）teω）>t， eω∈ Ohmζ：=τt，ωisa Tt-停车时间。因此Vnτt、 ω（eω）=Vnτ(ω teω），ωteω= 越南τt，ω（eω），ωteω= （Vn）t，ωζ（eω），eω,eω∈OhmT

根据第一个等式（7.4），我们也有Rτgrdrt、 ω（eω）=Rτ（ω）teω）gr（ω）teω）dr=Rtgr（ω）dr+Rζ（eω）tgt，ωR（eω）dr。那么（3.3）和（2.6）意味着（Vnτ）t，ω+Zτgrdrt、 ω≤EP（Vn）t，ωζ+Zζtgt，ωr博士+Zt | gr（ω）|dr≤EPψt，ω*+ZTtgt，ωr博士+Zt | gr（ω）|dr<∞.7.4命题的证明5.1 19定理4.1的证明：定义t:=Vt+Rtgrdr，t∈ [0，T]如引理A.1。给定（t，ω）∈[0，T]×Ohm 和n∈N、 由于注释3.2，命题1.1（4）和命题3.4表明（Vn）t，ω-ω是Ft-具有左上半连续路径和thatVt，ω的自适应过程-ω是Ft-对于所有连续路径的自适应过程，我们可以从（3.2）中推导出τn，δ（t，ω）：=infs∈[t，t]：（Vn）t，ωs<Lt，ωs+δ, δ>0都是英尺-可选时间和τ*（t，ω）：=infs∈[t，t]：Vt，ωs=Lt，ωs=infs∈[t，t]：Vt，ωs≤Lt，ωs这是英国《金融时报》-停车时间。1） Let（t，ω）∈[0，T]×Ohm γ∈Tt。自γ（πt）∈Ttby（1.3），在引理A的（A.1）o中取t′=t和ζ=γ（πt）。表明vt（ω）+Ztgr（ω）dr=Υt（ω）≤ infP∈P（t，ω）EPΥτ*（t，ω）（πt）∧γ（πt）∨Tt、 ω. （7.40）对于任何eω∈ Ohmt、 （3.3）和（7.4）中的第一个等式意味着Υτ*（t，ω）（πt）∧γ（πt）∨Tt、 ω（eω）=Υτ*（t，ω）πt（ω）teω）∧γπt（ω）teω）∨t、 ωteω=Υτ*（t，ω）（eω）∧γ（eω），ωteω=Vt，ωτ*（t，ω）（eω）∧γ（eω），eω+Zτ*（t，ω）（eω）∧γ（eω）gr（ω）teω）dr≤ 1{τ*（t，ω）（eω）≤γ（eω）}Lt，ωτ*（t，ω）（eω），eω+1{γ（eω）<τ*（t，ω）（eω）}Ut，ωγ（eω），eω+Ztgr（ω）dr+Zτ*（t，ω）（eω）∧γ（eω）tgt，ωr（eω）dr=Rt，ω（τ）*（t，ω），γ）（eω）+Ztgr（ω）dr.将其插入（7.40）得到vt（ω）≤ infP∈P（t，ω）EPhRt，ωτ*（t，ω），γi、 接受γ的影响∈ t等于vt（ω）≤ γ干扰素∈ TtinfP∈P（t，ω）EPRt，ωτ*（t，ω），γ≤ supτ∈Ttinfγ∈ TtinfP∈P（t，ω）EPRt，ω（τ，γ）=Vt（ω）≤Vt（ω），证明（4.3）。2）让ζ∈T和（T，ω）∈[0，T]×Ohm. Ifbt:=τ*(ω)∧ζ(ω) ≤t、 与（7.39）相似，我们可以从命题1.1（3）中推导出F-注释3.2和（1.8）对Υ的适应性Υτ*∧ζt、 ω（eω）=Υbt，ω,  eω∈OhmT

ThenEtΥτ*∧ζ（ω） =infP∈P（t，ω）EPhΥτ*∧ζt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPΥ（bt，ω）= Υbt，ω= Υτ*(ω) ∧ ζ(ω) ∧ t、 ω. （7.41）另一方面，如果τ*(ω) ∧ζ（ω）>t，应用命题1.1（3）再次表明ωTOhmT{τ*∧ζ>t}。所以它适用于任何eω∈Ohmt那Υτ*∧ζt、 ω（eω）=Υτ*∧ζωteω=Υ(τ*∧ζ)∨Tωteω=Υ(τ*∧ζ)∨Tt、 ω（eω）。Asτ*=τ*(0,0)=τ*（0，ω），在（A.1）中取t′=0得到Υτ*∧ζ∧t（ω）=Υt（ω）≤ infP∈P（t，ω）EPhΥ(τ*∧ζ)∨Tt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPhΥτ*∧ζt、 ωi=EtΥτ*∧ζ（ω） ，再加上（7.41）证明（4.4）。7.4命题5.1关于任何αδ的证明∈(0, ∞), 我们定义Φ（α，δ）：=(δ+δ1/4)+κ(1+2-1δ)φ(α)δ1/4+κ2-1φ+1(α)δ/2+1/4.1）我们首先证明了概率类{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满意度（P1）和（P2）。Let（t，ω）∈[0，T]×Ohm 和u∈美国犹他州。我们设定（P，P，X）：=Pt，ω，u，Pt，ω，u，Xt，ω，u. 给定eω∈Ohmt、 （2.4）表明ψt，0r（X（eω））-ψr（0）=ψr（0）tX（eω）-ψr（0）≤k0tX（eω）k0，r≤κ1+kX（eω）kt、 r, R∈[t，t]。（7.42）健壮的Dynkin游戏20因此ψt，0*（X（eω））=supr∈[t，t]ψt，0r（X（eω））≤ κ1+kX（eω）kt、 t+ Mψ，其中Mψ：=supr∈[t，t]ψr（0）< ∞ 通过路径ψ·（0）的连续性。因为ψt，0是一英尺-根据1.1（4）的建议调整工艺，施用（5.3）可产生thatEPψt，0*=Epψt，0*=Etψt，0*（十）≤κ1+EtkXkt、 t+Mψ≤κ1+φkωk0，tT/2.+Mψ<∞.也就是说，ψt，0∈ S（英尺，P）。与（7.42）相似，从m（1.6）可以推断gt，0r（X（eω））-gr（0）≤κ1+kX（eω）kt、 rforany r∈[t，t]。然后Fubini定理和（5.3）暗示EpZTt | gt，0r | dr=EpZTt | gt，0r | dr=EtZTt | gt，0r（X）|dr≤ κZTt1+Et[kXkt、 [t]dr+ZTt | gr（0）| dr≤κT1+φkωk0，tT/2.+ZTt|gr（0）| dr<∞. 因此P∈bPt。（7.43）对于任何t∈ [0，T]和ω，ω∈ Ohm 对于ω|[0，t]=ω|[0，t]，因为对于给定的路径ω，SDE（5.1）只依赖于ω|[0，t]∈ Ohm, 我们看到Xt，ω，u=Xt，ω，u，因此对于任何u，Pt，ω，u=Pt，ω，u∈ 美国犹他州。因此P（t，ω）=P（t，ω）。因此，假设（P1）是满足的。

[5]的命题6.3已经证明了概率类{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满足性（p2）。2）验证概率类{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满意度（P3）相对较长。我们把它分成几部分。2a）让我们首先引用[5]中关于Xt，ω，u的逆映射的一些知识，它已经验证了{P（t，ω）}（t，ω）的（P3）（i），（ii）∈[0，T]×Ohm.给定（t，ω）∈[0，T]×Ohm 和u∈Ut，根据[5]（参见其中（7.62）和（7.63）的c上下文），存在一个Ft-逐步测量过程Wt，ω，u，使得对于所有的eω∈ Ohmt接受治疗-空集Nt，ω，uBts（eω）=Wt，ω，usXt，ω，u（eω）, s∈ [t，t]，并且pt，ω，u集的概率为，ω，u：={eω′∈Ohmt:Nct，ω，u∩（Xt，ω，u）-1（eω′）6=} 是1，即Act，ω，u∈Npt，ω，u：=A.∈GXt，ω，uT:pt，ω，u（A）=0. 对任何人来说∈[5]的[t，t]，（5.4）和引理A.3（2）表明Ft，ω，ur:=σFtr∪Npt，ω，uGXt，ω，ur。我们从（7.67）周围的上下文中看到-[5]的（7.69）thatfWt，ω，ur（eω）：=1{eω∈At，ω，u}Wt，ω，ur（eω），（r，eω）∈[t，t]×Ohmtisan{Ft，ω，ur}r∈[t，t]-调整流程，使其所有路径都属于Ohmt、 即ω=Bt（eω）=Wt，ω，uXt，ω，u（eω）=fWt，ω，uXt，ω，u（eω）,  eω∈ Nct，ω，u，（7.44）以及fWt，ω，u-1（A′）∈ Ft，ω，ur，A′∈Ftr，R∈ [t，t]。（7.45）修正0≤t<s≤T，ω∈Ohm 和u∈Ut，δ∈Q+和λ∈N.我们考虑Fts-分区{Aj}λj=0ofOhm对于j=1，··，λ，Aj某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪{δ} 和eωj∈Ohmt、 设{uj}λj=1我们我们将简单地设置（P，P，X，W，F·）：=Pt，ω，u，Pt，ω，u，Xt，ω，u，fWt，ω，u，Ft，ω，u·. （7.46）给定j=1，··，λ，（5.4）表明AXj:=X-1（Aj）∈Fts。所以存在一个Aj∈比如AXj Aj∈Nt（参见[36]中的问题2.7.3）。

根据[5]中命题6.3的证明中使用的类似论点，我们可以证明（u1）seteAj:=Aj∪j′<jAj′∈安盛富时酒店eAj∈新界见[5]中的（7.70）.（u2）粘贴的控制bur（eω）：=1{r∈[t，s）}ur（eω）+1{r∈[s，T]}{eω∈eA}ur（eω）+Pλj=1{eω∈eAj}ujr（πts）eω）, （r，eω）∈[t，t]×Ohm特贝隆至Ut，其中EA：=λ∪j=1eAjC∈ Fts见[5]中的（7.71）. 设置bP，bP，bX，cW，bF·，bN:=Pt，ω，bu，Pt，ω，bu，Xt，ω，bu，fWt，ω，bu，Ft，ω，bu·，Nt，ω，bu.（u3）存在一个Pt-null seteNjsuch对于任何eω∈eAj∩eNcj，Neω：=bω∈Ohms:bXr（eω）sbω）6=X（eω）sXs，ωtX（eω），uj（bω）（r） 为了一些人∈[t，t]属于我的见[5]中的（7.78）.7.4命题5.1 21（u4）的证明∈ Fts，X-1（A）bX-1（A）∈ 新界见[5]中的（7.74）.同样，类似于[5，命题6.3]的第（2b）部分，我们可以使用受控SDE（5.1）的唯一性来证明等式bu=u[t，s]×OhmT∪[s，T]×eA意味着等式bx=X[t，s]×OhmT∪[s，T]×eA,因此，BP的满意度（P3）（i）、（ii）。2b）为了表明BP的满意度（2.8），我们首先进行了一些技术设置和准备。命题1.1（4）表明Yr:=gt，ωr，Yr:=Lt，ωrand Yr:=Ut，ωr，r∈ [t，t]是三英尺-适应了所有连续路径的流程。对于l = 1,2,3，（5.4）表示YlbX是anFt吗-适应所有连续路径的过程。用[5]中的引理A.2（3）和（P，X）=（Pt，Bt）表示YlbX有一个（英尺，磅）-版本Yl. 更确切地说，是Yl’s是Ft-逐步可测量的过程，例如：=∪l=1.eω∈Ohmt:Ylr（eω）6=YlRbX（eω）为了一些人∈[t，t]∈新界。（7.47）根据艾玛1.2，它适用于所有的eω∈Ohmtexcept on aneNR∈不是吗NR∪bNs、 eω∈纳什。从命题1.1（4）可以看出，随机变量ξm:=supt′∈[t，t]Z（t′+2）-m）∧Tt′gt，ωr博士M∈N（7.48）为FtT-可测量的

从林姆开始→∞↓ ξm=0，（2.6）且收敛定理表明→∞↓ EbP[ξm]=0。所以有m∈N使得EbP[ξm]≤δ/2和Φkωk0，t，2-M≤δ/2. 设置a:=2-m、 现在，fix n∈N∪{∞}, ∈t设j=1，··，λ。我们设定（Pj，Pj，Xj，Wj，Fj·，NXj）：=Ps，ωteωj，uj，ps，ωteωj，uj，Xs，ωteωj，uj，fWs，ωteωj，uj，Fs，ωteωj，uj·，Ns，ωteωj，uj以及定义j:=（Xj）∈Ts，νj：=j（πts）∈Tts，bγj:=νjcW, （7.49*）其中bγjis abF-以[s，T]为单位取值的停止时间。给定i=0，··，2m，我们设置si:=s∨（i2）-mT）和Di:={si-1<bγj≤si}∈BFSIS-1:=-1.例如[36]中的问题2.7.3，存在neDi∈FTSISOUCH电子数据交换∈Nbp。定义Di:=eDi∪i′<ieDi′∈FtsiandD:=m∪i=0Di=m∪i=0eDi∈FtT。那么γ′j:=Pmi=0Disiis abF-γj:=Pmi=0Disi+1DcT定义Tts时的停止时间-停车时间。显然，γ′jcoincides与γjoverm∪i=1Di∩Di, 谁的补语∪i=1Di\\Di属于NbpbecauseDi\\Di=Di∩H电子数据交换C∪∪i′<ieDi′我=Di\\eDi∪∪i′<i电子数据交换∩DiDi电子数据交换∪∪i′<i电子数据交换∩Dci\' ∪我≤我Di′电子数据交换∈Nbp。对于i=1，2m。也就是说，我们有γ′j=γj，bp- a、 现在，Fix a∈ Fts，τ∈ Tts（n）和集bτ：=τbX. 我们给出了一个辅助不等式：λXj=1EbPA.∩AjRt，ωτ、 γj≤λXj=1EtbX-1（A）∩Aj）Ξj+δ、 （7.51）式中Ξj:=Rbτ∧νjtYrdr+1{bτ≤νj}Ybτ+1{νj<bτ}Yνj∈ [s，T]，与（A.19）的类比表明{bτ≤r} =bX-1.{τ ≤ r}∈Ftr，So bτ∈Tts。根据[5]的ArXiv版本中的引理2.5（3），它适用于所有的eω∈OhmNτ上的t接受∈ntbτs，eω∈t.对于j=1，·，λ，从Y开始l’s阿雷夫特-逐步可测量的过程和自νjis aTts-停止时间，我们看到Ξjis是FtT-可测量的随机变量。鲁棒Dynkin对策22设j=1，··，λ。到（7.50），EbPA.∩AjRt，ωτ、 γj=EbpA.∩AjRt，ωτ、 γj=EbpA.∩AjRt，ωτ、 γ′j=EthbX-1（A）∩Aj）Rt，ωτ、 γ′jbX我

（7.52）给定eω∈Ohmt、 从0开始≤γ′j（eω）-bγj（eω）<a，（1.6）意味着rt，ωτ、 γ′j（eω）-Rt，ωτ、 bγj（eω）=Zτ（eω）∧γ′j（eω）τ（eω）∧bγj（eω）gt，ωr（eω）dr+1{bγj（eω）<τ（eω）≤γ′j（eω）}Lt，ω（τ（eω），eω）-Ut，ω（bγj（eω），eω）+1{γ′j（eω）<τ（eω）}Ut，ω（γ′j（eω），eω）-Ut，ω（bγj（eω），eω）≤ξm（eω）+1{bγj（eω）<τ（eω）≤γ′j（eω）}（τ（eω）-bγj（eω））+supr∈[0，T](ωteω）R∧τ（eω）-(ωteω）R∧bγj（eω）+1{γ′j（eω）<τ（eω）}（γ′j（eω）-bγj（eω））+supr∈[0，T](ωteω）R∧γ′j（eω）-(ωteω）R∧bγj（eω）≤ξm（eω）+1{bγj（eω）<τ（eω）≤γ′j（eω）}a+supr∈[bγj（eω），τ（eω）]eω（r）-eω（bγj（eω））+1{γ′j（eω）<τ（eω）}a+supr∈[bγj（eω），γ′j（eω）]eω（r）-eω（bγj（eω））≤ξm（eω）+a+supr∈νjcW（eω）,νjcW（eω）+A.∧Teω（r）- eωνjcW（eω）.取eω=bX（eω′），我们可以从（7.44）中推导出Pt-a、 s.eω′∈Ohmt、 Rt，ωτ、 γ′jbX（eω′）-Rt，ωτ、 bγjbX（eω′）≤ξmbX（eω′）+a+supr∈[νj（eω′）（νj（eω′）+a）∧[T]bXr（eω′）-bXνj（eω′）. （7.53）同时，（7.44）和（7.47）表明，对于任何eω′∈NR∪bNcRt，ωτ、 bγjbX（eω′）=Zbτ（eω′）∧νj（eω′）tYrbX（eω′）dr+1{bτ（eω′）≤νj（eω′）Ybτ（eω′），bX（eω′）+1{νj（eω′）<bτ（eω′）Yνj（eω′），bX（eω′）=Zbτ（eω′）∧νj（eω′）tYr（eω′）dr+1{bτ（eω′）≤νj（eω′）Ybτ（eω′），eω′+1{νj（eω′）<bτ（eω′）Yνj（eω′），eω′=Ξj（eω′）。（7.54）自-1（A）∩ （Aj）∈Fts，j=0，··，λ乘以（5.4）和自νj的areTts-停止时间，ν：=1bX-1（A）T+Pλj=1bX-1（Aj）νjis也是Tts-停车时间。设置η：=supr∈[ν，（ν+a）∧[T]bXr-bXν. 使用不等式（a+b）≤-1（a）+B), a、 b>0，可以从（7.54）、（7.53）和（5.3）中推断λXj=1EthbX-1（A）∩（Aj）Rt，ωτ、 γ′jbX-Ξj我≤λXj=1EtbX-1（A）∩（Aj）ξmbX+a+supr∈[νj，（νj+a）∧[T]bXr-bXνj=λXj=1EthbX-1（A）∩（Aj）ξmbX+a+η我≤EthξmbX+a+η我≤ Ebp[ξm]+Et{η≤a}（a+a）+κ1{η>a}1+（a+η）≤EbP[ξm]+（a+a）+κa-1/4Eth（1+2-1a)η+2-1η+1i≤δ/2+（a+a）+κ（1+2）-1a)ν（kωk0，t）a+κ2-1φ+1（kωk0，t）a/2+1/4=δ/2+Φkωk0，t，2-M≤δ.

（7.55）然后我们从m（7.52）中看到λXj=1EbPA.∩AjRt，ωτ、 γj=λXj=1EthbX-1（A）∩Aj）Rt，ωτ、 γ′jbX我≤λXj=1EtbX-1（A）∩Aj）Ξj+δ、 证明（7.51）。2d）我们已经准备好使用（2.1）和估计（5.2）来验证（2.8）BP。再次设j=1，··，λ。AsbP∈bPtby（7.43），（7.54），（2.5）和（2.6）暗示了这一点|Ξj|≤ EtZTtgt，ωrbXdr+ψt，ω*bX= EbpZTtgt，ωrdr+ψt，ω*= EbPZTtgt，ωrdr+ψt，ω*< ∞.7.4命题5.1 23的证明-1（A）∩ （Aj）∈ Fts，应用[5]的引理A.2（1）和（P，X，ξ）=Pt，Bt，Ξj, 将（u4）与A=A一起使用∩ 在[5]的ArXiv版本中应用命题2.3，使用（P，ξ）=Pt，Ξj, 我们可以从命题1.2（1）和（u1）推导出bX-1（A）∩Aj）Ξj= EthbX-1（A）∩Aj）EtΞjFtsi=EthbX-1（A）∩Aj）EtΞjFtsi=EthX-1（A）∩Aj）EtΞjFtsi=Eth{eω∈十、-1（A）∩AXj}EsΞs，eωji=Eth{eω∈十、-1（A）∩AXj∩eAj}EsΞs，eωji、 （7.56）设eω∈AXj∩eAj∩eNcj∩eNcR∩Ncτ。作为bτs，eω∈类似于bγj=νj（cW），ζeω：=bτs，eω（Wj）是Fj-停车时间。

设bω∈Ohm假设bω不在Ps中-空集NR∪bNs、 eω∪NXj∪Neω和定义Xjeω（bω）：=Xs，ωtX（eω），uj（bω）-Xj（bω）s、 T.取eω′=eωsbω∈NR∪bNcin（7.54），我们从（2.3），（7.44），（u3），（2.1）以及（7.4）的第二等式的类比中看到，Ξs，eωj（bω）=Rt，ωτ、 bγjbX（eω）sbω）= Rt、 τbX（eω）sbω）, bγjbX（eω）sbω）, ω TbX（eω）sbω）= Rt、 bτ（eω）sbω），νj（eω）sbω），ωTbX（eω）sbω）= Rt、 bτs，eω（bω），j（bω），ωTbX（eω）sbω）= Rt、 ζeωXj（bω）, Xj（bω）, ω TX（eω）sXs，ωtX（eω），uj（bω）≤Rt、 ζeωXj（bω）, Xj（bω）,ω tX（eω）s（Xj（bω）+（1+T）Xjeω（bω）= Rs、 ζeωXj（bω）, Xj（bω）,ωtX（eω）s（Xj（bω）+Zstgr(ωtX（eω）s（Xj（bω））dr+（1+T）Xjeω（bω）=Rs，ωtX（eω）（ζeω，)Xj（bω）+Zstgrω tX（eω）dr+（1+T）Xjeω（bω）.自从Xjeω（bω）≤ 1.Xjeω（bω）≤δ1/2δ1/2+1.Xjeω（bω）>δ1/2κδ-1/2Xjeω（bω）+Xjeω（bω）+1., （5.2）表明Ξs，eωj≤ 埃什Rs，ωtX（eω）（ζeω，)（Xj）i+Zstgt，ωrX（eω）dr+（1+T）δ1/2+（1+T）κδ-1/2CT kωtX（eω）-ωteωjk0，s+C+1T+1kΩtX（eω）-ωteωjk+10，s. （7.57）b组（δ） ：=δ+（1+T）δ1/2+（1+T）κCTδ1/2+C+1T+1δ+1/2. 作为eω∈AXj=X-1（Aj），即X（eω）∈AjOsδj（eωj），一个有kωtX（eω）-ωteωjk0，s=kX（eω）-eωjkt，s<δj≤δ. 它允许从m（7.57）开始Ξs，eωj≤ EpjhRs，ωtX（eω）（ζeω，)i+Zstgt，ωrX（eω）dr+b(δ) - δ≤ sup∈Ts（n）EPjhRs，ωtX（eω）（），)i+Zstgt，ωrX（eω）dr+b(δ) - δ. （7.58*）将其插入（7.56），我们看到fr om（7.51）和（u1）λXj=1EbPA.∩AjRt，ωτ、 γj≤λXj=1Eth{eω∈十、-1（A）∩十、-1（Aj）}sup∈Ts（n）EPjhRs，ωtX（eω）（），)i+Zstgt，ωrX（eω）dr+b(δ)-δi+δ=λXj=1Eph{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjhRs，ωteω（），)i+Zstgt，ωr（eω）dr+b(δ)-δi+δ=λXj=1EPh{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjhRs，ωteω（），)i+Zstgt，ωr（eω）dri+P（A）∩Ac）（b）(δ)-δ)+δ.在上一个等式中，我们使用了映射eω→ sup∈Ts（n）EPjhRs，ωteω（），)iis在无rmk kt和FtT的情况下连续运行-可通过备注2.2（2）进行测量。

因此，（2.8）对于在这部分中，我们仍然使用（2.1）和估计（5.2）来表示{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满足假设3.1。健壮的Dynkin Games 24Fix n∈ N∪{∞}, T∈ [0，T]，ω，ω′∈ Ohm, u ∈ Utand集δ：=kω′-ωk0，t。我们仍然使用符号（7.46）和集合（P′，P′，X′，W′，F′·）：=Pt，ω′，u，Pt，ω′，u，Xt，ω′，u，fWt，ω′，u，Ft，ω′，u·.固定ε>0。我们仍然定义了（7.48）中的ξm，并且可以找到k∈N使得EP′[ξk]≤ε/2和Φkω′k0，t，2-K≤ε/2.此外，fixγ∈t和τ∈Tt（n）。类似于bτ=τbX在第2c）部分中，τ（X′）属于toTt；与bγj=νj类似cW,（7.45）表示eτ：=τX′（W）是F-停车时间。总的来说，γ（X）属于eγ：=γX（W′）定义一个F′-停车时间。设置ti:=t∨（i2）-kT），i=0，··，2k。那么eγ′k:=Pki=0{ti-1<eγ≤ti}tide定义了一个F′-停车时间，在哪里-1:=-1.通过与（7.50）类似的论点，我们可以构造一个Tt-在{ti}ki=0中取值的停止时间eγk，使得eγ′k=eγk，p′-a、 与（7.53）类似，我们可以推导出Pt-a、 s.eω∈Ohmt、 Rt，ωτ、 eγ′kX′（eω）-Rt，ωτ、 eγX′（eω）≤ξkX′（eω）+-k+η′（eω）,式中η′：=supr∈[γ（X），（γ（X）+2-（k）∧[T]X′r-X′γ（X）. 与（7.55）相似，（5.3）表示EP′Rt，ωτ、 eγk-Rt，ωτ、 eγ= Ep′Rt，ωτ、 eγ′k-Rt，ωτ、 eγ=EtRt，ωτ、 eγ′k（X′）-Rt，ωτ、 eγ（X′）≤ Etξk（X′）+-k+η′≤ EP′[ξk]+Φkω′k0，t，2-K≤ ε. （7.59）因为（7.44）表明τX′（eω）= τX′W（X（eω））= eτX（eω）eγ（X′（eω））=γ十、W′（X′（eω））= γX（eω）等待Pt-a、 s.eω∈ Ohmt、 我们从（2.3）和（2.1）中看到，对于Pt-a、 美国。

eω∈ OhmTRt，ω′（τ，eγ）X′（eω）-Rt，ω（eτ，γ）X（eω）=Rt、 τ（X′（eω）），eγ（X′（eω）），ω′tX′（eω）-Rt、 eτ（X（eω）），γ（X（eω）），ωtX（eω）=Rt、 eτ（X（eω）），γ（X（eω）），ω′tX′（eω）-Rt、 eτ（X（eω）），γ（X（eω）），ωtX（eω）≤ （1+T）kω′tX′（eω）-ωtX（eω）k0，T≤（1+T）kω′-ωk0，t+kX′（eω）-X（eω）kt，T=（1+T）δ+X（eω）≤1{X（eω）≤δ1/2}（1+T）δ+δ1/2+1{X（eω）>δ1/2}κ（1+T）δ-1/2(1+2-1δ)X（eω）+2-1(X（eω））+1.,具有X（eω）：=kX′（eω）-X（eω）kt，T。然后（7.59）和（5.2）显示出tEP′Rt，ωτ、 eγk= Ep′Rt，ωτ、 eγk≤ Ep′Rt，ω′（τ，eγ）+ε=EtRt，ω′（τ，eγ）（X′）+ε≤ EtRt，ω（eτ，γ）（十）+（δ） +ε=EpRt，ω（eτ，γ）+（δ） +ε，（7.60）式中（δ） ：=（1+T）（δ+δ1/2）+κ（1+T）(1+2-1δ)CTδ1/2+2-1C+1T+1δ+1/2≥(δ).与（7.58）相似，我们可以推断EpRt，ω（eτ，γ）≤ sup∈Tt（n）EPRt，ω（，γ）. 因此，从（7.60）可知Rt，ω′（τ，eγk）≤ sup∈Tt（n）EPRt，ω（，γ）+(δ)+ε.取τ的上确界∈ 左边的Tt（n）产生infζ∈Ttsupτ∈Tt（n）EP′Rt，ω′（τ，ζ）≤ supτ∈Tt（n）EP′Rt，ω′（τ，eγk）≤ sup∈Tt（n）EPRt，ω（，γ）+(δ)+ε.然后对γ进行估算∈ t在右边，我们得到∈Ttsupτ∈Tt（n）EPt，ω′，uRt，ω′（τ，ζ）≤ γ干扰素∈ Ttsup∈Tt（n）EPt，ω，uRt，ω（，γ）+(δ)+ε.让ε→ 0，且取整数超过u∈ U两边都会导致vnt（ω′）=infu∈Utinfζ∈Ttsupτ∈Tt（n）EPt，ω′，uRt，ω′（τ，ζ）≤ infu∈Utinfγ∈ Ttsup∈Tt（n）EPt，ω，uRt，ω（，γ）+kω′-ωk0，t=Vnt（ω）+kω′-ωk0，t.交换ω′和ω的角色表明{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满足（3.4）。4）验证{P（t，ω）}（t，ω）的假设3.2∈[0，T]×Ohm, we fixα>0和δ∈7.5定理6.1的证明∈[0，T），ω∈Otα（0），u∈Utandζ∈Tt。我们再次使用符号（7.46）。类似于bτ=τbX在第2c部分中，eζ：=ζ（X）是aTt-停车时间。设置eη：=supr∈eζ（eζ+δ）∧TXr-Xeζ.

与（7.55）类似，我们可以从（5.3）中推断出δ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr-Btζ=Epδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr-Btζ=Etδ+supr∈eζ（eζ+δ）∧TXr-Xeζ=Et（δ+eη）≤(δ+δ1/4)+κ(1+2-1δ)ν（kωk0，t）δ1/4+κ2-1φ+1（kωk0，t）δ/2+1/4≤ α（δ），其中α(δ) := (δ+δ1/4)+κ(1+2-1δ)φ(α)δ1/4+κ2-1φ+1(α)δ/2+1/4. 取ζ的上确界∈t然后取上确界∈Utandω∈Otα（0）产率（3.6）。7.5定理6.1的证明如果V=L，则τ*= 因此，它适用于任何（P，γ）∈ P×T表示EP[R（τ*, γ） 下一步，让我们假设V>L.定理4.1（1），命题3.4（1），（A′）和注释3.1的证明，意味着过程Xt:=Vt- 中尉，t∈ [0，T]具有所有连续路径和满足| Xt（ω）- Xt（ω′）|≤ |Vt（ω）- Vt（ω′）|+|Lt（ω）- Lt（ω′）|≤ 2ρkω- ω′k0，t, T∈ [0，T]，ω, ω′∈ Ohm.然后将[7]中的定理3.1应用于支付过程L:=-U、 U:=-L和随机成熟度τ=inf{t∈[0，T]：Xt≤0}∧T=inf{T∈[0，T]：Vt=Lt}=τ*表明（特别是，（H4）通过其中的注释3.1（3）暗示了（P4）o f[7]），对于一些（P*, γ*)∈P×T，sup（P，γ）∈P×TEP{γ<τ*}Lγ+1{τ*≤γ} Uτ*= EP*{γ*<τ*}γ*+ 1{τ*≤γ*}Uτ*. 倍增-从（4.3）中，我们可以看到，V=inf（P，γ）∈P×TEP[R（τ）*, γ） ]=EP*R（τ）*, γ*). 附录。A技术问题A.1。定义Υt:=Vt+Rtgrdr，t∈ [0，T]给定ζ∈T，它适用于任何（T，ω）∈[0，T]×Ohm 和t′∈[0，t]即Υt（ω）≤ infP∈P（t，ω）EPΥτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨Tt、 ω. （A.1）Lemm A.1的证明：修正0≤ t′≤ T≤ T，ω∈ Ohm, ζ ∈T和setα：=1+kωk0，T.1）当T=T时，有infP∈P（T，ω）EPΥτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨TT、 ω= infP∈P（T，ω）EPh（ΥT）T，ωi=infP∈P（T，ω）EPhΥT（ω）i=ΥT（ω）。2）接下来，假设T<T和vt（ω）=Lt（ω）。然后τ*（t′，ω）πt′（ω）=infns∈[t′，t]：Vt′，ωsπt′（ω）=Lt′，ωsπt′（ω）o=infs∈[t′，t]：Vs（ω）=Ls（ω）≤ t、 这意味着ω∈πt′-1（A′）与A′：=ω′∈Ohmt′：τ*（t′，ω）（ω′）≤T∈Ft\'t。

因为[5]中的引理A.1表明∏t′是Fr/Ft′r-可测量的映射，R∈[t′，t]，（A.2）我们看到了πt′-1（A′）∈根据引理1.1，ωTOhmTπt′-1（A′）或τ*（t′，ω）πt′（ω）teω）≤ T eω∈ Ohmt、 （A.3）备注3.2和命题3.4（1）表明Υ是F-适应所有连续路径的过程。将（1.8）应用于Υt∈F和我们ing（A.3）得出Υτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨Tt、 ω（eω）=Υτ*（t′，ω）（πt′（ω）teω）∧ζ(ω teω）∨t、 ωteω=Υt（ω）teω）=Υt（ω）， eω∈Ohmt、 健壮的Dynkin对策26因此我们仍然获得（A.1）作为等式。3） 关于t<t和vt（ω）>Lt（ω）的讨论相对较长。我们把它分成几个步骤。辛塞利姆→∞↑ Vnt（ω）=Vt（ω）乘以（3.1）和命题3.3，存在一个整数N=N（t，ω）>logTT-T任何n的vnt（ω）>Lt（ω）≥N固定δ>0和k，n∈N和k≥n>n.对于任何r∈[t′，t]，作为Ar：=eω∈Ohmt′：τn，δ（t′，ω）（eω）<r∈Ft′r，（A.2）表示nω′∈Ohm: τn，δ（t′，ω）（πt′（ω′）<ro=ω′∈Ohm: πt′（ω′）∈应收账= （t′）-1（Ar）∈Fr.Soτn，δ（t′，ω）（πt′）是F-可选的时间值，单位为[t′，t]，它的结果如下：=τn，δ（t′，ω）（πt′）∧ζ∨t是F- 可选时间，以[t，t]为单位。让ik为最大整数，这样ik-kT≤t、 As k>logTT-T, 可以推断出ik<2k-1.设置tik:=tand ti:=i2-kT代表i=ik+1，··，2k。3a）在第一步中，我们从命题3.1推导出一个辅助不等式：Vnti（ω）≤ Lti（ω）∨ EtiVnti+1+Zti+1tigrdr（ω） ，i=ik，··，2k- 1.（A.4）设i=ik，··，2k-1.用（t，s）=（ti，ti+1）施加（3.5），并取γ=ti+1，得到vnti（ω）≤ infP∈P（ti，ω）supτ∈Tti（n）EP“{τ<ti+1}Rti，ω（τ，ti+1）+1{τ”≥ti+1}Vnti+1ti，ω+Zti+1tigti，ωrdr#. （A.5）对于任何τ∈Tti（n），它取{ti}中的值∪ {j2-nT}nj=j，其中jis是最小的整数，使得ti<j-新界。Asn≤k、 一个是ti+1≤J-nT，so{τ<ti+1}={τ=ti}∈Ftiti={, Ohmti}。也就是说，我们有{τ<ti+1}={τ=ti}=Ohmtior{τ≥ti+1}=Ohmti。

由于Rti，ω（ti，ti+1）=Lti，ωti=L（ti，ω）乘以（7.6），我们从（A.5）中看到vnti（ω）≤ infP∈P（ti，ω）Lti（ω）∨EPVnti+1ti，ω+Zti+1tigti，ωrdr=Lti（ω）∨ EtiVnti+1+Zti+1tigrdr（ω） 在下一步中，我们将展示随着时间的推移，网格{ti}kik-适应过程Υnt:=Vnt+Rtgrdr，t∈[0，T]伊桑·E-直到时间νn的子鞅，δk：=Pki=ik+1{ti-1.≤νn，δ<ti}ti+1{νn，δ=T}T，即Υnνn，δk∧ti（ω）≤ EtihΥnνn，δk∧ti+1i（ω），i=ik，·2k- 1.（A.6）对于任何r∈tik+1，T, 设jr为最大整数，这样tjr≤ r、 因为νn，δ是F-可选时间，我们可以推断{νn，δk≤ r} =jr∪i=ik+1{νn，δk=ti}=jr∪i=ik+1{ti-1.≤ νn，δ<ti}={νn，δ<tjr}∈ Ftjr Fr.Soνn，δkis aTt（k）-停车时间。（i） Le t i=首先。我们简单地用s来表示tik+1b，因为Vnt（ω）>Lt（ω），用i=i应用（A.4）得到Vnt（ω）≤EtVns+Zstgrdr(ω). （A.7）Asνn，δk≥tik+1=s>tik=t，（7.4）中的第一个等式表明Υnνn，δk∧st、 ω（eω）=Υnνn，δk（ω）teω）∧s、 ωteω=Υns、 ωteω=越南s、 ωteω+Zstgrωteωdr+Ztgrω博士=Vns+Zstgrdrt、 ω（eω）+Ztgrω博士eω∈Ohmt、 取期望值EP[]，然后取最大值P∈ P（t，ω），我们从（A.7）中看到∧si（ω）=EtVns+Zstgrdr（ω） +Ztgr（ω）dr≥Υnt（ω）=Υnνn，δk∧t（ω），证明i=ik的（A.6）。（ii）接下来，让i=ik+1，·2k-1.给定ω∈{νn，δk≤ti}，用（t，s，τ）应用前位置1.1（3）=0，ti，νn，δk显示νn，δkω钛Ohm钛≡νn，δk（ω）：=bt.AsΥnbt∈FbtFti，使用（1.8）和（t，s，η）=0，ti，Υnbt对于任意的eω∈ Ohm蒂娅。1技术引理27Υnνn，δk∧ti+1ti，ω（eω）=Υnνn，δk（ω）（ω）∧ti+1，ωteω=Υn英国电信∧ti+1，ω铁ω=Υnbt，ω铁ω=Υnbt，ω. 就这样Υnνn，δk∧ti+1（ω） =infP∈P（ti，ω）EPhΥnνn，δk∧ti+1ti，ωi=infP∈P（ti，ω）EPΥn（bt，ω）=Υnbt，ω=Υnνn，δk（ω）∧ti，ω. （A.8）然后我们让ω∈{νn，δk>ti}。命题1.1（3）表明ω钛Ohm钛νn，δk>ti=νn，δk≥ ti+1, （A.9）我们可以推断出νn，δ（ω）≥钛≥tik+1>tik=t。

通过定义νn，δ，我们得到了ti≤νn，δ（ω）=τn，δ（t′，ω）（Δt′（ω））∧ζ(ω)≤τn，δ（t′，ω）πt′（ω）接下来是vn（ti，ω）≥L（ti，ω）+δ。（A.10*）这与（A.4）一起表明Vnti（ω）≤Etihvanti+1+Rti+1tigrdri（ω）。在两侧加上Rtigr（ω）dr，从（A.9）thateithΥnνn，δk得出一个c∧ti+1i（ω）=EtiΥnti+1i（ω）=EtiVnti+1+Zti+1tigrdr（ω） +Ztigr（ω）dr≥ Υnti（ω）=Υnνn，δk∧ti（ω），它和（A.8）一起证明了（A.6）对于i=ik+1，··，2k- 1.3c）作为（a.6）的结果，一个有Υnνn，δk∧tii（ω）≤ EthΥnνn，δk∧ti+1i（ω），i=ik+1，·2k- 1.（A.11）设i=ik+1，·2k-1和P∈P（t，ω）。Asξi:=Υnνn，δk∧tki+1英尺-通过注释3.2可测量，命题1.1（1）表明ηi:=ξt，ωiis FtT-可测量的因为（3.3）和（7.4）中的第一个等式表明∈Ohmt |ηi（eω）|≤Ψνn，δk（ω）teω）∧tki+1，ωteω+ZTgr（ω）teω）博士≤ 苏普∈[t，t]ψr（ω）teω）+Zt | gr（ω）|dr+ZTtgt，ωr（eω）dr，（A.12）与（7.13）和（1.9）的类比意味着对于一个ll eω∈Ohmt接受P-零集Ni，EPti，eωhηti，eωii=EPηiFtti（eω）∈ R.（A.13）通过（P2），存在一个扩展Ohmt、 F′，P′关于(Ohmt、 FtT，P）和Ohm′∈F′与P′的结合Ohm′=1使得Pti，eω∈P（s，ω）对于任意的eω∈Ohm′. 给定eω∈ Ohm′∩ Nci，因为ηti，eωi（bω）=ηi（eωtibω）=ξt，ωi（eωtibω）=ξiω t（eω）tibω）= ξi(ω teω）tibω= ξti，ωteωi（bω）， bω∈ Ohms、 我们可以从（A.6）和（A.13）中推断Υnνn，δk∧钛t、 ω（eω）=Υnνn，δk∧钛(ω teω）≤ EtihΥnνn，δk∧ti+1i（ω）teω）=Eti[ξi]（ω）teω）=infeP∈P（ti，ω）teω）EePhξti，ωteωii≤ EPti，eωhξti，ωteωii=EPti，eωhηti，eωii=EPηi | Ftti（eω）=EPhξt，ωiFttii（eω），这表明Ohm′∩NciA′：=nΥnνn，δk∧钛t、 ω≤EPξt，ωiFttio∈FtT。因此P（A′）=P′（A′）≥P′Ohm′∩Nci=1.因此，Υnνn，δk∧钛t、 ω≤EPhξt，ωiFttii，P-a、 s.取期望值EP[·]得到EPh（Υnνn，δk）∧ti）t，ωi≤EPξt，ωi=伊芙Υnνn，δk∧ti+1t、 ωi。

然后对P采取行动∈ P（t，ω），我们得到（A.11）。3d）最后，我们将使用（A.11）以及过程v的连续性来达到（A.1），对于t<t且vt（ω）>Lt（ω）的情况。取i=ikin（A.6）表示Υnt（ω）=Υnνn，δk∧t（ω）≤EthΥnνn，δk∧tik+1i（ω），它与（A.11）和（3.1）一起产生Υnt（ω）≤EthΥnνn，δk∧tik+1i（ω）≤EthΥnνn，δk∧tik+2i（ω）≤···≤EthΥnνn，δk∧tki（ω）=EtΥnνn，δk(ω)≤EtΥνn，δk(ω). （A.14）健壮的Dynkin游戏→∞↓ 由命题3.4得出的V的连续性意味着limk→∞Υνn，δk=Υνn，δ。同样，一个类似于（A.12）的公式，对于任何eω∈OhmTΥνn，δkt、 ω（eω）≤ψt，ω*（eω）+Zt | gr（ω）|dr+ZTtgt，ωr（eω）dr.（A.15）那么对于任何P∈P（t，ω），优势收敛定理和（7.13）的类比意味着limk→∞伊芙Υνn，δkt、 ωi=EPhΥνn，δt、 ωi.对P取最小值∈P（t，ω）和k→ ∞ 在（A.14）中，我们得到了Υnt（ω）≤林克→∞infP∈P（t，ω）EPhΥνn，δkt、 ωi≤ infP∈P（t，ω）limk→∞伊芙Υνn，δkt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPhΥνn，δt、 ωi.As kωk0，t≤ kωk0，T<α，我们进一步从（3.7）中看到ΥT（ω）≤Υnt（ω）+ρα（2）-n） +2-N|gt（ω）|+ρα（T）-（t）≤ infP∈P（t，ω）EPhΥνn，δt、 ωi+ρα（2）-n） +2-N|gt（ω）|+ρα（T）-（t）. （A.16）Vnin命题3.4的路径规律性意味着Limδ→0↑ 画→∞↑ τn，δ（t，ω）（eω）=τ*（t，ω）（eω）， eω∈Ohmt、 （A.17*）因此V的连续性表明limδ→0limn→∞Υνn，δ=limδ→0limn→∞Υτn，δ（t′，ω）（πt′）∧ζ∨t=Υτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨t、 还有lettingk→ ∞ 在（A.15）中得出（Υνn，δ）t，ω≤ ψt，ω*+Rt | gr（ω）| dr+RTtgt，ωr然后去纽约看医生∈ P（t，ω），再次应用支配收敛定理m和（7.13）的类比，我们得到了limδ→0limn→∞伊芙Υνn，δt、 ωi=EPΥτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨Tt、 ω. 最终，让n→ ∞ 和δ→ （A.16）中的0表示Υt（ω）≤ limδ→0limn→∞infP∈P（t，ω）EPhΥνn，δt、 ωi≤limδ→0infP∈P（t，ω）limn→∞伊芙Υνn，δt、 ωi≤ infP∈P（t，ω）limδ→0limn→∞伊芙Υνn，δt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPΥτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨Tt、 ω.

A.2第7节星号陈述的证明（7.11）：当n=∞, 用A={τ应用（7.10）∧γ ≥s}∈fts和τ=τ∨s∈tts表明λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）=λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ）∨s（新泽西州）≤EP{τ ∧γ≥s}∩交流电Vt，ωs+Zstgt，ωrdr+ε.另一方面，如果n<∞, 设is为最小的整数-新界≥ s、 早期，τ∨（是-（新界）∈Tts（n）。自{τ∧γ ≥ s} {τ ≥ s} ={τ≥ 是-nT}，应用（7.10）a={τ的增益∧γ ≥s} τ=τ∨（是-nT）得出λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）=λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ）∨（是-新界），（新泽西州）≤EP{τ ∧γ≥s}∩交流电（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+ε.（7.12）的证明：我们设置为：={γ<s}∪{γ ≥s}∩A.∈FTS和Asj:={γ≥s}∩Aj∈Fts。给定r∈[t，t]，{bγλ≤ r}=像∩ {γ ≤ r}∪λ∪j=1Asj∩ {新泽西州≤ r}. （A.18）如果r<s，则自{γ≤r}{γ<s}并且自新泽西州∈Tts，一个有{bγλ≤r} ={γ<s}∩{γ ≤r} ={γ≤r}∈Ftr。否则，如果r≥s、 作为Asj∈Fts对于j=0，1，·，λ，（A.18）也意味着{bγλ≤r}∈Ftr。因此，bγλ∈Tt。A.2第7.29节中星号语句的证明（7.23）：因为ζeω=limk→∞↓ ζkeω，我们看到{ζeω<γeω} Aeω=∪K∈Nζkeω≤ γeω {ζeω≤ γeω}，因此{ζeω≤γeω}\\Aeω{ζeω=γeω}。那么过程的连续性s L意味着R，ωteω（ζeω，γeω）=Zζeω∧γeωsgs，ωteωrdr+1{ζeω≤γeω}Ls，ωteωζeω+1{γeω<ζeω}Us，ωteωeω=Zζeω∧γeωsgs，ωteωrdr+1AeωLs，ωteωζeω+1{ζeω≤γeω}\\AeωLs，ωteωeω+1{γeω<ζeω}Us，ωteωγeω≤Zζeω∧γeωsgs，ωteωrdr+1AeωLs，ωteωζeω+1AceωUs，ωteωeω=limk→∞Zζkeω∧γeωsgs，ωteωrdr+1{ζkeω≤γeω}Ls，ωteωζkeω+1{γeω<ζkeω}Us，ωteωγeω= 林克→∞Rs，ωteω（ζkeω，γeω）。（7.24）的证明：对于任何τ，τ∈ Tts，让A:={EPRt，ω（τ，bγ′）Fts≥ EPRt，ω（τ，bγ′）Fts} ∈ Ftsandτ：=Aτ+1Acτ∈我们可以推断Rt，ω（τ，bγ′）Fts= EPARt，ω（τ，bγ′）+1AcRt，ω（τ，bγ′）Fts= 1AEPRt，ω（τ，bγ′）Fts+ 1除此之外Rt，ω（τ，bγ′）Fts= EPRt，ω（τ，bγ′）Fts∨EPRt，ω（τ，bγ′）Fts.那么家庭内普呢Rt，ω（τ，bγ′）Ftsoτ∈方向朝上。

根据本质界的基本性质（例如[48，命题VI-1-1]），我们可以找到一个序列{τn}n∈（7.24）保持不变。证明（7.25）：对于任何∈[t，s），自τn∈ t自{τ≤ r} {τ<s} {τ ∧ bγ<s}，可以推断{τn≤r} ={τ∧ bγ<s}∩ {τ ≤r} ={τ≤r}∈Ftr。另一方面，对于任何∈[s，T]，{τn≤r}={τ ∧ bγ<s}∩ {τ ≤r}∪{τ ∧ bγ≥s}∩ {τn≤r}∈Ftr。因此，τn∈Tt。（7.49）的证明：给定r∈[s，T]作为Ar：={≤r}∈Fsr（5.4）表明{J≤ r}=bω∈ Ohms:Xj（bω）≤ R= {bω∈ Ohms： Xj（bω）∈ Ar}=（Xj）-1（Ar）∈ Fsr。（A.19）此外，在[5]的ArXiv版本中，引理A.3暗示νj≤R=eω∈ Ohmt∏ts（eω）∈{J≤r}= （πts）-1.{J≤r}∈Ftr，那么我们可以从（7.45）中推断{bγj≤r}=eω∈Ohmt:cW（eω）∈{νj≤r}=cW-1.{νj≤r}∈bFr。因此J∈Ts，νj∈而bγjis abF-以[s，T]为单位取值的停止时间。证明（7.58）：当n<∞, 由τ诱导∈Tts（n），ζeω取{tni}ni=is中的值，其中isbe是s最小的整数-新界≥s、 与（7.50）类似，存在ζ′eω∈Ts（n）使得ζ′eω=ζeω，pj-a、 所以我们有epjhr，ωtX（eω）（ζeω，)i=EpjhRs，ωtX（eω）（ζ′eω），)i=EPjhRs，ωtX（eω）（ζ′eω），)我≤ sup∈Ts（n）EPjhRs，ωtX（eω）（），)i、 假设n=∞ 现在让k∈N和set ski:=s∨（i2）-kT），i=0，··，2k。和sk-1:=-1，ζkeω：=Pki=0{ski-1<ζeω≤滑雪橇-停车时间。通过类似于（7.50）的论点，我们可以构造一个Ts-停止时间keω在{ski}ki=0中取值，使得ζkeω=keω，pj-a、 s.因为ζeω=limk→∞↓ ζkeω，与（7.23）的类比表明rs，ωtX（eω）（ζeω，)≤ 林克→∞Rs，ωtX（eω）（ζkeω，). （A.20）由（2.5）删去，Rs，ωtX（eω）（ζkeω，)≤RTsgs，ωtX（eω）rdr+ψs，ωtX（eω）*, K∈ N

自从Pj∈bPsby（7.43），（2.6）显示了EPJ中兴通讯gs，ωtX（eω）rdr+ψs，ωtX（eω）*= EPj中兴通讯gs，ωtX（eω）rdr+ψs，ωtX（eω）*< ∞.以（A.20）中的期望Epj[]为例，我们可以从支配收敛定理推导出epjhrs，ωtX（eω）（ζeω，)我≤ 林克→∞EpjhRs，ωtX（eω）（ζkeω，)i=limk→∞EpjhRs，ωtX（eω）（keω，)i=limk→∞EPjhRs，ωtX（eω）（keω，)我≤ sup∈TsEPjhRs，ωtX（eω）（），)我（A.10）的鲁棒Dynkin对策证明：如果ti<τn，δ（t′，ω）πt′（ω）, τn，δ（t′，ω）的定义表明（Vn-五十） （ti，ω）=（Vn）t′，ω-Lt′，ωti，πt′（ω）≥δ ≥另一方面，如果ti=τn，δ（t′，ω）πt′（ω）（Vn）t′，ω的左上半连续性-Lt′，ω意味着（Vn-五十） （ti，ω）=（Vn）t′，ω-Lt′，ωti，πt′（ω）≥林斯提（Vn）t′，ω-Lt′，ωs、 πt′（ω）≥δ. （A.17）的证明：固定eω∈Ohmtand集eα：=1+kωteωk0，T。我们让δ>0，n∈N并简单地表示tn，δ：=τN，δ（t，ω）（eω），t*:=τ*（t，ω）（eω）。让我们首先证明（Vn）t，ωtn，δ，eω≤ Lt，ωtn，δ，eω+ δ. （A.21）如果tn，δ=T，（3.2）表明（Vn）T，ωtn，δ，eω=（Vn）t，ω（t，eω）=Lt，ω（t，eω）=Lt，ωtn，δ，eω. （A.22）另一方面，如果tn，δ<T，则设{ti=ti（T，ω，eω，n，δ）}i∈Nbe中的一个序列tn，δ，T这样利米→∞↓ ti=tn，δ和（Vn）t，ω（ti，eω）<Lt，ω（ti，eω）+δ，我∈ N由tn的定义，δ=τN，δ（t，ω）（eω）。路径Vn·（ω）的右下半连续性命题3.4中的teω与路径L·（ω）的连续性teω）则意味着（Vn）t，ωtn，δ，eω=越南tn，δ，ωteω≤ limstn，δVn（s，ω）teω）≤ 里美→∞Vn（ti，ω）teω）≤Ltn，δ，ωteω+δ=Lt，ωtn，δ，eω+δ、 再加上（A.22）证明（A.21）。作为kωteωk0，tn，δ≤ kωteωk0，T<eα，我们从（A.21）和（3.7）中看到vt，ωtn，δ，eω-Lt，ωtn，δ，eω≤五、tn，δ，ωteω-越南tn，δ，ωteω+δ ≤ρeα（2）-n） +2-N苏普∈[0，T]| gr（ω）teω）|+ρeα（T）+δ. （A.23）对于任何∈[t，t]，自Ts（n）Ts（n+1）Ts，与（3.1）的类比表明Vns（ωteω）≤Vn+1s（ω）teω）≤Vs（ω）teω）。因此btδ：=limn→∞↑ tn，δ≤T*.

作为n→∞ 在（A.23）中，路径的连续性vt，ω（eω）-Lt，ω（eω）通过命题3。4产生Vt，ωbtδ，eω-Lt，ωbtδ，eω≤δ、 还有图斯特*≥ 画→∞↑ tn，δ=btδ≥ T*,δ：=infs∈[t，t]：Vt，ωs（eω）≤Lt，ωs（eω）+δ. （A.24）路径的连续性vt，ω（eω）-Lt，ω（eω）也意味着*= limδ→0↑ T*,δ与（A.24）一起导致limδ→0↑ 画→∞↑ tn，δ=t*, i、 e.，limδ→0↑ 画→∞↑ τn，δ（t，ω）（eω）=τ*（t，ω）（eω）。参考文献[1]M.Alario Nazaret，J.-P.Lepeltier和B.Marchal，Dynkin games，《随机微分系统》（BadHonnef，1982），第43卷《控制与通知》课堂讲稿。Sci。，施普林格，柏林，1982年，第23-32页。[2] L.H.R.Alva R ez，一类可解停止对策，应用。数学Optim。，58（2008），第291-314页。[3] E.Bayraktar，I.Karatzas和S.Yao，动态凸风险度量的最佳停止，伊利诺伊州J.Math。，54（2010），第1025-1067页。[4] E.Bayraktar和M.S^irbu，随机Perron方法和使用粘度比较的无光滑性验证：障碍问题和Dynkin博弈，Proc。艾默尔。数学Soc。，142（2014），第1399-1412页。[5] E.Bayraktar和S.Yao，关于鲁棒最优停止问题，SIAM J.Control Optim。，52（2014），第3135-3175页。[6] ，具有可积参数的双反射BSDE和相关的Dynkin对策，随机过程。应用程序。，125（2015），第4489-4542页。[7] ，非线性期望下随机到期的最优停止（2015）。可获得的onhttp://arxiv.org/abs/1505.07533.[8] A.Bensoussan和A.Friedman，非线性变分不等式和带停止的微分对策，J.泛函分析，16（1974），pp。305–352.参考文献31[9]，具有停止时间和自由边界问题的非零和随机微分对策，Trans。艾默尔。数学Soc。，231（1977），第275-327页。[10] J.-M.Bisit，位于德因金河畔，Z.Wahrscheinlichkeitsforerie and Verw。格比特，39（1977），pp。

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