倒向随机微分方程的多级逼近

2022-5-7 05:56:31

多层蒙特卡罗（MLMC）是一个活跃的研究领域，在许多方向上不断发展；例如，[13]研究了X是L′evy-diven随机微分方程的解的情况，[4]发展了一种用于最优停止问题的多层次方法，其中期望E[Φ（Xτ）]在一系列停止时间τ上最大化。本文提出了一种求解倒向随机微分方程的新的多级近似算法，该算法可以看作是线性期望微分的概率费曼卡表示的非线性推广，在最优控制和控制中有许多应用*作者感谢德国Schience基金会DFG、柏林数学学校和Matheon+通讯作者：turkedjiev@cmap.polytechnique.fr.由风险基金会主席金融风险、FiME实验室和主席金融与可持续发展支持的研究，由UIS Bachelier Finance and Sustainable Growth Laboratory赞助，这是一项与Ecole Polytechnique联合发起的倡议。2018年7月3日14:28 1数学财务，参见示例[14]。为此，我们考虑了形式为yt=Φ（XT）+ZTtf（s，Xs，Ys，Zs）ds的倒向随机微分方程（BSDE）-ZTtZsdWs+Nt，T，T∈ [0，T]，（1）在过滤概率空间上(Ohm, FT，（FT）t∈[0，T]，P），满足有限水平的通常条件∞ 以及q维布朗运动W。终端条件Φ是一个满足某些标准条件的确定函数（见第2节），而X是一个外生给定的马尔可夫过程，初始值X=X，且（Nt，T）为0≤T≤这是一个与W正交的鞅。（1）的一个解是R×（Rq）>值过程的（Y，Z）对。通常，BSDE无法显式求解，只能使用离散时间近似。修正时间网格π：={0=t。

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可人4

2022-5-7 05:56:34

，tN=T}，设（Xi）0≤我≤（Xt）0的合适离散时间近似≤T≤吨π。我们将基于[24]onso中的分析，称为多步前向动态规划（MDP）方程yi:=E[Φ（XN）+N-1Xj=ifj（Xj，Yj+1，Zj）（tj+1- tj）|Fti]和（2）（ti+1- ti）×Zi:=E[（Wti+1- Wti）>（Φ（XN）+N-1Xj=i+1fj（Xj，Yj+1，Zj）（tj+1- |Fti]；这个过程（Yi，Zi）（i=N，…，0）被称为离散BSDE解。此外，我们利用aknown分裂技术将离散BSDE分解为Yi给出的两个（离散）BSDE系统的a组分之和（Y，Z）=（Y+\'Y，Z+\'Z）：=E[Φ（XN）|Fti]和（ti+1）- ti）×zi:=E[（Wti+1- Wti）>Φ（XN）|Fti]（3）表示i=N，0，同样地，\'yi:=EN-1Xj=ifj（Xj，yj+1+\'yj+1，zj+\'zj）（tj+1- （tj）Fti和（4）（ti+1）- ti）×zj:=E（Wti+1）- Wti）>N-1Xj=ifj（Xj，yj+1+\'yj+1，zj+\'zj）（tj+1- （tj）Fti.我们称系统（3-4）为（y，z）和（\'y，\'z）分裂方案。通过将方程（3）和（4）相加，可以恢复原始离散BSDE（2）。为了求解系统（3-4），必须首先求解（y，z），然后使用该解求解（\'y，\'z）。一般来说，我们必须近似条件期望算子以获得完全可实现的算法，为此，我们将使用蒙特卡罗最小二乘回归，这是一种在BSDE contextby[21]中提出的方法。我们的方法是开发一种新的多重网格算法，我们称之为多级算法，以便有效地近似（y，z），然后使用所谓的最小二乘多步动态规划算法（LSMDP）[24]来近似（\'y，\'z）。在本文中，我们关注（3-4）的解与我们完全可实现方案之间的误差；这符合[32][24]的精神。

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能者818

2022-5-7 05:56:38

本文不考虑将2018年7月3日14:28时的时间离散化模式（如（2））近似为（1）的误差；对于这种错误的分析，可以参考广泛的研究[40,9,8,20,22,29,36,28,11,16,39,33,12]。由于改进的正则性，LSMDP算法可以更有效地求解（4）而不是（2），尤其是在高维情况下。我们在第5节中指出，通常，使用LSMDP解析（4）会产生O（ε）的复杂性-4.-d/2ln（ε）-1+1）d），而使用LSMDP求解（2）会产生O（ε）的复杂性-4.-dln（ε）-1+1）d），其中ε是精度，d是X的维数。多级算法在二进时间网格{π（k）：k的重新定义序列上顺序建立（y，z）的近似值≥ 并采用自适应鞅控制变量算法的形式：假设我们已经在时间网格π（k）上构造了（3）的解-1）：={0=t（k）-1), . . . , t（k）-1） k-1=T}，我们表示（y（k-1），z（k）-1），我们用它来构造π（k）上的解：={0=t（k），…t（k）-1） k=T}如下所示：y（k）i:=E[Φ（X（k）k）-K-1.-1Xj=α（i）+1z（k）-1） j（Wt（k）-1） j+1- Wt（k）-1） j）| Ft（k）i]，（5）（t（k）i+1- t（k）i）×z（k）i:=E[（Wt（k）i+1- Wt（k）i）>Φ（X（k）k）-y（k）i-K-1.-1Xj=α（i）+1z（k）-1） j（Wt（k）-1） j+1- Wt（k）-1） j）|Ft（k）i]，对于α（i）：=max{0≤ J≤ 2k-1:t（k）-1） j≤ t（k）i}和i∈ {0，…，2k- 1}. 为了解（5），必须先解y（k）i，然后解z（k）i，然后对i进行迭代- 1.一旦解出y（k）和z（k），就可以进入时间网格π（k+1）。注意，在条件期望算子下，只要π=π（k），多级方案（5）就会匹配离散BSDE（3）。然而，当用蒙特卡罗最小二乘算子代替条件期望时，多级公式的方差比LSMDP公式小得多。

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2022-5-7 05:56:42

事实上，我们在第3.3节中证明了多级算法的复杂度通常为O（ε）-2.-dln（ε）-（3）的LSMDP算法的复杂度为O（ε-3.-d） )；这里，ε是精度，d是X的维数。我们看到，通过使用多级算法，我们有一个一阶改进（最多对数项），这是实质性的。使用多级分裂方案逼近（3-4）isO（ε）的总体复杂性-2.-dln（ε）-1+1））+O（ε-4.-d/2ln（ε）-1+1）d），这应该与LSMDP方案的复杂性O（ε）进行比较-4.-dln（ε）-1+1）d）对于（2），我们看到算法的复杂度有了很大的提高。复杂性的降低很大程度上是因为需要生成更少的过程X模拟。这有第二个影响，即减少了运行算法所需的内存。因为我们通常处理高维问题（例如d≥ 5），内存使用率通常非常高，因此降低内存使用率对于实际实现非常重要。为了结束引言，我们总结了我们的研究结果的新颖性，并将其与现有文献进行了比较。本文的大部分内容致力于分析多级方案，据我们所知，这是第一个用于BSDE近似中方差缩减的自适应多重网格算法。我们努力使我们的结果具有高度的通用性，并举例说明我们的假设有效的许多感兴趣的情况，参见第2节——包括不连续或路径依赖的马尔可夫过程X的一些实例。2018年7月3日14:28 3我们的结果的适用性并不局限于我们给出的例子。我们提到，分裂方案（3-4）在过去的文献中已经被研究过。

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nandehutu2022

2022-5-7 05:56:45

在连续时间设置中，[22][39]使用它来确定过滤（Ft）t时BSDE（1）的规律性属性≥0由布朗运动W生成。[7]在离散时间设置中使用它来设计基于鞅基技术的数值格式，在[24]中使用它来设计BSDEs的代理格式。这两种技术的共同想法是，如果可行，有效地利用一些先验知识，将解（y，z）很好地近似到离散BSDE（3），例如适当的鞅基或近似PDE解的分析知识。相比之下，多级方案不需要这样的先验知识。我们证明了（y，z）的近似是在没有多级结构的情况下近似分裂方案最昂贵的部分；这解释了通过（y，z）的（通用）多级近似可以获得的总体效率增益。我们给出了算法的显式误差估计，并以定量的方式证明我们能够获得显著的复杂性改进；我们还提供了一些数字例子来证实这些说法。在本文的后半部分，我们确定了用于近似（3-4）解的多级分裂格式的显式估计；用多级方案计算（y，z）后，用LSMDP方案近似（\'y，\'z\'）。与（2）中的（y，z）相比，我们还使用了（4）中（\'y，\'z）的改进正则性[39]的结果，以证明可以获得更好的复杂性，因为可以选择较低维度的回归基础。论文的组织：第1.1节提供了论文中使用的一些符号。在第2节中，我们陈述了整篇文章中要使用的假设，并给出了几个例子来说明这些假设允许我们的算法在高度通用性的情况下应用。

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2022-5-7 05:56:49

在第3节中，我们给出了多级方案，并计算了完全可实现方案的显式误差估计。然后，使用这些误差估计值进行复杂性分析，结果表明，与LSMDP方案相比，多级方案在理论上提高了效率。在第4节中，我们对用于近似（\'y，\'z）（4）的LSMDP方案进行了误差分析，因为（y，z）（3）是使用多级方案计算的。最后，在第5节中，我们对多级分裂方案进行了复杂性分析，并将其与有无分裂的LSMDP方案进行了比较，以证明效率的提高。通过数值例子，证明了完全可实现的多级算法在实际计算中的改进效率。1.1给定概率空间的符号和约定(Ohm, F、 P）和次σ-代数G，我们写了G可测平方可积随机变量空间的L（G）。常数总是被理解为有限且非负的。连续时间的过滤被用来满足正确的连续性和完整性的通常条件。连续时间内的马尔可夫过程和半鞅被认为具有Cadlagpath。随机变量之间的不等式（cadlag过程）被理解为几乎适用于P（Pdt）。对于任何向量或矩阵V，我们用V>表示其转置。某些Rn（或Rm×n）上的usualEuclidian范数用|·|表示。对于任何函数f:Rk→ Rn，上范数用| f（·）表示|∞:= 好的∈Rk | f（x）|。为了我≥ 0和l∈ N、我们定义了截断函数tl:Rl→ Rlby TL（x）：=(-L∨ 十、∧ L-L∨ xl码∧ 五十）多层次方法是沿着时间网格序列和在这些网格上演化的近似过程序列工作的。为此，我们引入以下符号。每k≥ 0，我们用π（k）表示：={t（k）。

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2022-5-7 05:56:53

，t（k）k}a时间2018年7月3日14时28分4格，2个时点，（k） i:=t（k）i+1-第（k+1）次时间增量和W（k）i:=Wt（k）i+1-Wt（k）为第k级（i+1）布朗增量。为了处理多个时间网格π（k）之间时间标记的引用，我们定义了函数α：{0，…，2k}→ {0，…，2k-1} 由α（i）：=α（k）（i）：=max{j∈ {0，…，2k-1} ：t（k-1） j≤ t（k）i}（6）为了简化记法，只要从上下文中清楚了k级，我们就简单地为α（k）写α。对于σ-代数F（k）i:=Ft（k）i（i=0，…，2k），我们用eki[·]：=E[·| F（k）i]表示各自的条件期望。一个随机过程X=（Xt）t∈[0，T]是分段常数，节点在π（k）的时间点，我们称之为离散，并写X（k）i:=Xt（k）i。简单地说，任何（F（k）i）自适应过程都可以被视为连续时间的cadlag过程。我们说X是（F（k）i-适应的，如果XiisF（k）i-可测量每个i∈ {0，…，2k}，如果它是过滤（F（k）i）中的鞅，则称之为（F（k）i）-鞅。最后，π（k）-马尔可夫链是一个离散过程，即（F（k）i）-马尔可夫链。2假设在本节中，我们陈述了本文中关于马尔可夫过程/链X、时间网格π（k）、终端函数Φ和驱动程序f的条件。正如[24]中所述，我们致力于获得高水平的概括性，在这种概括性下，后续分析是有效的，以使结果适用于尽可能广泛的一类问题。这包括但不应限于相关实际问题的具体例子，这些例子在第2.4节中详细说明，以解释和说明我们的一般假设，这些假设乍一看可能过于抽象。第2.2节推导了代表性的基本结果和先验估计，这些结果将在下文中有用。

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2022-5-7 05:56:56

第4节和第5节中的分析所需的一些附加假设将在第2.3.2.1节“一般假设”中详细说明。以下条件将贯穿全文。（AΦ）函数Φ：Rd→ R是可测的，且一致有界于CΦ。（AX）有一类（Ft）-马尔可夫过程{（X（t，X）s）∈[t，t]：（t，x）∈ [0，T]×Rd}共享相同的（可能是时间不均匀的）马尔可夫动力学，在这个意义上，对于相同的收缩算子半群Pt，s（T≤ s）作用于有界可测函数h:Rd→ 它保持spt，sh（x）=E[h（x（t，x）s）]和Pt，sh（x（u，x）t）=E[h（x（u，x）s | Ft]为0≤ U≤ T≤ s≤ T（7）我们让X（t，X）s=X表示s∈ [0，t]。该族满足以下性质：（i）马尔可夫过程X在该族中，且满足X=X（0，X）；（ii）存在一个常数cx，对于所有x，x∈ RDS和RDS∈ [t，t]，E[|Φ（X（t，X）t）-Φ（X（t，X）t）|]≤ CX | x-x |和E[|x（t，x）s）- x |]≤ CX（t-s） )；2018年7月3日14:28 5（iii）存在确定性函数u:[0，T]×Rd→ R和v:[0，T]×Rd→ （Rq）>，可测，对于[0，t]×Rd中的任何（t，x），平方可积（有界）鞅（t，x）s=E[Φ（x（t，x）t）| Fs]（s）∈ [0，T]），以及来自It^o鞅表示（T，x）s=Φ（x（T，x）T）的可预测被积函数z（T，x）-ZTsz（t，x）rdWr，s∈ [0，T]，（8）承认y（T，x）s=u（s，x（T，x）s）和z（T，x）s=v（s，x（T，x）s）。（iv）存在常数θ∈ （0,1]和CX≥ 因此，尽管如此∈ [0，T）和x∈ Rd，| v（t，x）|以CX/（t）为界- t）（1）-θ)/2.

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2022-5-7 05:56:59

此外，函数u（t，·）和v（t，·）与Lipschitz常数CX/（t）是Lipschitz连续的- t）（1）-θ） /2和CX/（T）- t）一,-θ/2。（Aπ）时间网格集{π（k）：k≥ 0}满足度（i）π（k+1）是π（k）的对应；（ii）存在一个常数Cx0≤我≤2k-1.（k）我≤ CX-K（iii）存在一个常数cx，使得min0≤我≤2k-1.（k）我≥ cX-K（iv）回顾（y（t，x），z（t，x））求解（8）的过程，有一个常数cx，对于所有k≥ 0，t（k）i∈ π（k）和x∈ Rd，k-1Xj=0E[Zt（k）j+1t（k）j | z（t（k）i，x）t- ~z（k，i，x）j|dt]≤ CX-k、式中，z（k，i，x）j：=（k） iEki[Zt（k）j+1t（k）jz（t（k）i，x）tdt]。（AX）有一类Rd值π（k）-马尔可夫链{X（k，i，X）：X∈ Rd，0≤ 我≤ 2k，X（k，i，X）j=X J≤ i} 满足以下性质：（i）从（AX）（iv）中调用参数θ，有一个常数cx，对于所有x∈ Rd，k≥ 0和我∈ {0，…，2k}，E[|Φ（X（t（k）i，X）t）-Φ（X（k，i，X）k）|]≤ CX-kand E[|Φ（X（k，2k-1，x）k）-Φ（x）|]≤ CX-2θk；（ii）所有k≥ 0和j∈ {0，…，2k}和l∈ {j，…，2k}，存在一个G（k）j B（Rd）-可测函数V（k）j，l：OhmX路→ 用σ-代数G（k）j 含σ的Ftjand的FTindependent(W（k）r:r≥ j），使得X（k，i，X）l=V（k）j，l（X（k，i，X）j）；（iii）存在一个常数Cx，对于所有x∈ Rd，k≥ 1.我∈ {0，…，2k}，和j∈{i，…，2k}E[|X（k，i，X）j- X（k）-1，α（i），x）α（j）|]≤ CX-k、为了简洁起见，我们将过程（X（k，0，X）i）表示为0≤我≤2kby（X（k）i）0≤我≤2k。2.2从假设中导出的离散BSDE的性质本节收集了直接从第2节一般条件得出的一些基本结果。1和在第3-5节中有用。回想一下（AX）中的马尔可夫过程族。2018年7月3日14:28∈ {0, . . .

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可人4

2022-5-7 05:57:03

，2k}和x∈ 渡边坤田分解保证了平方可积、π（k）适应过程和平方可积（F（k）鞅L（k）的apair（~y（k），~z（k））=（~y（k，i，x），~z（k，i，x））的唯一存在性，使得~y（k）L=Φ（x（t（k）i，x）t）-K-1Xj=l~z（k）jW（k）j-K-1Xj=lL（k）j，L≥ i、（9）在哪里L（k）i:=L（k）i+1- L（k）i，L（k）=0，L（k）与W（k）是（强）正交的W（k）jL（k）j0≤J≤nisan（F（k）i）-鞅，即Ekj[W（k）j对于所有j，L（k）j]=0。我们将根据（AX）（iii）的连续时间BSDE（y（t（k）i，x），z（t（k）i，x））的解和下一个引理中的条件期望Ekl[·]来确定（~y（k），~z（k），L（k））的显式表示。这使得我们可以通过推论2.3建立关于过程z（k）lby的重要先验界。引理2.1。对于任何时间，网格π（k），k≥ 0，我∈ {0，…，2k}，l≥ i、还有x∈ Rdholdsy（k）l=Ekl[Φ（X（t（k）i，X）t）]和（k） l~z（k）l=Ekl[(W（k）l）>Φ（X（t（k）i，X）t）]，（10）L（k）L=Zt（k）L+1t（k）L（z（t（k）i，x）s- ~z（k）l）dWs（11）（k） lz（k）l=Ekl[Zt（k）l+1t（k）lz（t（k）i，x）tdt]。（12）证据。（10）中的等式是众所周知的，并且很容易通过（9）本身或（9）的乘积的条件期望得到(W（k）l）>。等式y（t（k）i，x）t（k）l=Ekl[Φ（x（t（k）i，x）t）]意味着y（k）l=y（t（k）i，x）t（k）l=Φ（x（t（k）i，x）t）-K-1Xj=l~z（k）jW（k）j-K-1Xj=lZt（k）j+1t（k）j（z（t（k）i，x）s- ~z（k）j）dwsL（k）j=Rt（k）j+1t（k）j（z（t（k）i，x）s- ~z（k）j）dWs。平等很容易实现。事实上(W（k）i）>取条件期望Ekl[·]得到0=（k） l~z（k）l-Ekl[Rt（k）l+1t（k）lz（t（k）i，x）tdt]。Φ（X）t=0（k，l）(W（k）l）>]-埃克尔[(W（k）i）>Zt（k）l+1t（k）lz（t（k）i，x）tdWt]=（k） l~z（k）l- Ekl[Zt（k）l+1t（k）lz（t（k）i，x）tdt]。这证明了（12）。自然地，我们得到了离散BSDE（3-4）解的马尔可夫表示。引理2.2。尽管如此，k≥ 0和j∈ {0, . . .

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mingdashike22

2022-5-7 05:57:06

，2k- 1} 存在确定性函数y（k）j:Rd→ 兰德z（k）j:Rd→ （Rq）>使得ekj[Φ（X（k，i，X）k）]=y（k）j（X（k，i，X）j）和（k）杰基[(W（k）j）>Φ（X（k，i，X）k）]=z（k）j（X（k，i，X）j）2018年7月3日14:28∈ {0，…，2k}和x∈ 此外，还存在确定性函数y（k）j:Rd→ R和z（k）j:Rd→ （Rq）>，其中y（k）k（·）=0表示j∈ {0，…，2k- 1} Ekj[N]-1Xl=jfl（X（k，i，X）l，y（k）l+1（X（k，i，X）l+1（X（k，i，X）k+1），z（k）l（X（k，i，X）l）+z（k）k（X（k，i，X）l）（k） l]=`y（k）j（X（k，i，X）j）和Ekj[(W（k）j）>（k） jN-1Xl=j+1fl（X（k，i，X）l，y（k）l+1（X（k，i，X）l+1（X（k，i，X）l+1（X（k，i，X）l+1），z（k）l（X（k，i，X）l）+z（k）l（X（k，i，X）l））（k） l]= \'-zj（X（k，i，X）j）代表所有i∈ {0，…，2k}和x∈ 这直接来自于（AX）（ii）通过测量理论的常规条件论证，如[24，引理4.1]。最后，我们给出了函数y（k）i（x）和z（k）i（x）在x中一致的几乎确定绝对界。此类界限对于第3节至关重要，并在第3节中反复使用。推论2.3。存在一个常数cxk，对于所有k≥ 0，我∈ {0，…，2k}，l≥ i、还有x∈ Rd，|z（k）l |=|z（k，i，x）l |有界（a.s.）byCz，k，l:=CX（T- t（k）l）（1-θ） /2（13）这意味着≥ 函数z（k）i（·）绝对有界于Cz，k，i。此外，存在一个与k和i无关的常数Cy，使得| y（k）i（·）|有界于Cy（a.s.）。证据回想一下（AX）（iii）中z（t（k）i，X）t的v（t，X（t（k）i，X）t）版本，以及函数X的绝对界→ v（t，x）来自（AX）（iv）。

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2022-5-7 05:57:09

使用表示法（12），可以得出|z（k）i |=（k）我Eki[Zt（k）i+1t（k）iv（t，X（t（k）i，X）t）dt]≤CX（k） iZt（k）i+1t（k）idt（T）- t）（1）-θ） /2=2CX（T- t（k）i）（k） i（1+θ）（T）- t（k）i）（1-θ)/2-2CX（T）- t（k）i+1）（k） i（1+θ）（T）- t（k）i+1）（1）-θ)/2≤2CX（k）我（k） i（1+θ）（T）- t（k）i）（1-θ)/2.为了获得z（k）i（x）的界，我们额外使用条件（AX）（i）来获得| z（k）i（x）|≤ |z（k）i（x）- ~z（k）i |+|z（k）i |≤s（k） iE[|Φ（X（k，i，X）k）-Φ（X（t（k）i，X）t）|]+|z（k）i |≤ CX+|z（k）i |我们通过声明| z（k）i（x）|轻度滥用符号≤ CX（T-t（k）i）-(1-θ） /2简化符号。有界ony（k）是（AΦ）中Φ（·）的有界的直接结果。2.3第4节和第5节的附加假设和性质第4节和第5节使用了以下条件。2018年7月3日14:28 8（Af）每周一次∈ {0，…，2k}，驱动程序fi:Rd×R×（Rq）>→ R是B（Rd） B（R） B（（Rq）>）可测量并满足以下特性：（i）对于所有x∈ Rd，（y，z）7→ fi（x，y，z）是Lipschitz连续的，依赖于t（k）i的Lipschitz常数：存在常数Lf>0 finite和θL∈ （0，1）对于所有（y，z），（y，z）∈R×（Rq）>，|fi（x，y，z）- fi（x，y，z）|≤Lf{|y- y |+| z- z |}（T）- t（k）i）（1-θL）/2；（ii）|fi（x，0，0）|，一致有界于常数Cf:|fi（x，0，0）|≤ CFX适用于所有人；（iii）回顾函数u和v，以及参数θ，从（AX）（iii）中，有确定性函数u:[0，T]×Rd→ R和V:[0，T]×Rd→ （Rq）>使得BSDE（1）的解的（Y，Z）存在一个令人满意的版本- u（t，Xt）=u（t，Xt），Zt- v（t，Xt）=v（t，Xt）代表所有t（a.s.）。

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2022-5-7 05:57:12

此外，存在一个常数CX，使得| U（t，x）|以CX（t）为界-t） θ+θL，U（t，·）与Lipschitz常数CX（t）是Lipschitz连续的-（t）-(1-θL-θ） /2，andV（t，·）是Lipschitz连续的，且Lipschitz常数为CX（t）-（t）-{1-t处的（θL+θ）/2}∈ [0，T）。（AX）调用函数“y（k）j:Rd”→ R和z（k）j:Rd→ （Rq）>引理2.2，函数su:[0，T]×Rd→ R和V:[0，T]×Rd→ （Rq）>来自（Af）（iii）。为了所有的x∈ rdt和t（k）j∈ π（k），存在一个常数cx，使得maxj≤我≤2k-1Ekj[|y（k）i（X（k，j，X）i）-U（t（k）i，X（t（k）j，X）t（k）i）|]≤ CX-k、安德克-1Xi=0E[| | z（k）i（X（k）i）-V（t（k）i，Xt（k）i）|]（k）我≤ CX-k、（Aπ）回忆参数θLfrom（Af）（i），时间网格π（k）：={0=t<…<t（k）k=t}，k≥ 是这样的，即cπ（k）：=supi<2k（k） i（T）- t（k）i）1-θL-→ 0作为k→ +∞, （14）林素福呢→∞Rπ（k）<+∞, 其中Rπ（k）：=sup0≤我≤2k-2.（k）我（k） i+1。（15）我们现在用（AX）证明引理2.2中函数y（k）j（x）和函数z（k）j（x）的先验界，从而证明过程y（k）jand¨z（k）j的先验界，类似于推论2.3。这些界限对于构造算法和获得第4节中的误差估计至关重要。引理2.4。存在一个常数cxk，对于所有k≥ 0，我∈ {0，…，2k-1} ，x∈ 我们有| y（k）i（x）|≤ Cy，i:=CX（T）- t（k）i）（θL+θ）/2，| z（k）i（x）|≤ Cz，i:=CX（T）- t（k）i）（1-{θL∨θ+θ})/2.2018年7月3日14:28。从假设（Af）中调用函数U（t，x）。|y（k）i（x）上的界由平凡分解| | | | y（k）i（x））|=| | | y（k）i（x）得到-U（t（k）i，x）|+|U（t（k）i，x）|。然后，使用（Af）（iii）和（AX）（ii）（j=i）的边界，得出| | y（k）i（x）的结果。通过对符号的轻微滥用，我们用CX代替CX（T+Tθ+θL）来简化符号。对于| z（k）i（x）|的界，我们记得（k） i\'z（k）i（x）=Eki[\'y（k）i+1（x（k，i，x）i+1）W（k）i]并治疗病例i=2k-1和i<2k-1.分开。

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2022-5-7 05:57:16

对于i=2k-柯西-施瓦兹不等式与（AX）（i）收益率(（k） k-1)\'z（k）k-1（x）=嗯W（k）k-1{Φ（X（k，2k）-1，x）k）-Φ（x）}i≤ CX(（k） k-1） 1+2θ意味着|＠z（k）k-1（x）|≤ CX（T- t（k）k-1)-1+2θ，根据需要。因为我<2k- 1.应用Cauchy-Schwarzyields(（k） i）| z（k）i（x）|=Eki\'y（k）i+1（X（k，i，X）i+1）±U（t（k）i+1，X（t（k）i，X）t（k）i+1）-U（t（k）i+1，x）W（k）i≤ 2.（k）伊基y（k）i+1（X（k，i，X）i+1）-U（t（k）i+1，X（t（k）i，X）t（k）i+1）+ 2.（k）伊基|U（t（k）i+1，X（t（k）i，X）t（k）i+1）-U（t（k）i+1，x）|.对第一项使用假设（AX）（ii），对第二项使用假设（Af）（iii）中U的Lipschitz连续性(（k） i）| z（k）i（x）|≤ 2(（k） i）CX+2(（k） i）CX（T）- t（k）i+1）1-{θL+θ}≤ 2(（k） i）CX+2(（k） i）CX（T）- t（k）i）1-{θL+θ}，其中一个交换（T- t（k）i+1）by（t）- t（k）i）来自（Aπ）。通过对符号的轻微滥用，我们重写了CX:=CX∨p2CX（1+T1）-{θL+θ}）来简化结果。2.4满足一般假设的示例本节详细介绍了过程、时间网格和函数的明确示例，以说明和解释第2.1节中的条件。iAsumption（AX）。性质（ii）是关于初始值X的支付Φ（X（t，X）t的Lipschitz连续性性质。如果（a）Φ是局部Lipschitz连续的，即对于某些常数和∈ [0, ∞) 保持|Φ（x）-Φ（x）|≤ c（|x | l+|x | l）|x-x |代表所有x，x；或者（b）H？older指数大于或等于1/2的H？older连续，在（a）和（b）两种情况下，X（t，X）用Lipschitz连续系数求解SDE（可能有跳跃）。在（b）情况下，较低的H¨older正则性将降低定理3.7、3.9中数值格式的收敛速度，参见备注3.15。性质（iii）是马尔可夫BSDE的经典性质。当X（t，X）在布朗过滤[14，定理4.1]或L’evy过滤[35，命题4]中用确定性（马尔可夫）Lipschitz连续系数函数解SDE时，它是满足的。

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2022-5-7 05:57:19

已知该性质也适用于X（t，X）为（S（t，X）r形式的集合∧sS（t，x）rl∧s、 s（t，x）s），其中s（t，x）是在布朗过滤和t≤ r<…<rl≤ T，参见[34,16]。有两个重要的例子可以证明属性（iv）是有效的。首先，假设X（t，X）解一个具有确定性（马尔可夫）、有界且连续微分系数的SDE，其偏导数是有界且H¨older连续的，且微分系数在2018年7月3日14:28 10一致椭圆。那么v（t，x）=（σ（t，x）xu（t，x））>和抛物型偏微分方程经典梯度界的| v（t，x）| follows的有界性[15]；θ等于Φ的H¨older指数。其次，如果Φ是局部Lipschitz连续的，如果X（t，X）解具有线性增长的确定性（马尔可夫）Lipschitz连续系数的SDE，这个结果在θ=1时成立；路径依赖设置X（t，X）s=（s（t，X）r∧sS（t，x）rl∧s、 s（t，x）s——其中s（t，x）求解具有线性增长的确定性（马尔可夫）Lipschitz连续系数的SDE——在这种情况下也有效。i消耗（Aπ）。条件（i）是确保t（k-1） α（i）+1>t（k）ifor所有k和i；后来，当我们在定理3.7中引入条件（AX）时，这个条件变得至关重要。点t（k）i:=t的时间网格满足要求- T（1）- i/2k）任何β的1/β∈ （0，1），其中包括统一的时间网格。条件（iv）是最复杂的需求，近年来得到了广泛的研究。让我们首先考虑布朗过滤的情况。然后，条件（iv）满足（局部）Lipschitz连续Φ和均匀时间网格，如果X（t（k）i，X）是具有确定性（马尔可夫）的anSDE解，则线性增长的Lipschitz连续系数[40,37]局部Lipschitz连续性的含义如（AX）所述。

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2022-5-7 05:57:22

对于H–older连续（分数平滑）Φ，时间网格满足点t（k）i:=t- T（1）- i/2k）1/β如果β小于Φ的H¨older（分数平滑度）指数，且X（t（k）i，X）求解一个连续SDE，其漂移系数b（t，X）为确定性（马尔可夫）、有界且两次连续可微，波动率系数σ（t，X）为有界且H¨older连续，且σ一致椭圆[22]；请注意，时间网格也满足属性（i）-（iii），参见[39，引理5.3]以证明（ii）。我们注意到，这种收敛速度可能不是最优的，参见[20][31]。路径相关设置x（t（k）i，x）s=（s（t（k）i，x）r∧sS（t（k）i，x）rl∧s、 s（t（k）i，x）s）是Φ分数光滑的，s（t，x）是具有有界、二次可微系数的SDE的解，其偏导数是有界且H¨older连续的，如果使用合适的时间网格，也满足条件；参考[16]。在一个由L’evy过程生成的过滤中，[8]表明，如果终端条件为Φ（XT），对于X（t（k）i，X）求解线性增长的Lipschitz连续系数的SDE，且Φ是Lipschitz连续的，则均匀时间网格足以具有这种性质。iAsumption（AX）。条件（i）是马尔可夫链对马尔可夫过程的“良好逼近”准则。如果Φ是（局部）Lipschitz连续的，且X（t（k）i，X）解一个系数为确定性（马尔可夫）、Lipschitz连续且具有线性增长的SDE（带跳跃），则满足；X（k，i，X）可以是时间网格π（k）上X（t（k）i，X）的欧拉格式近似。然而，如果终端条件具有较低的正则性，欧拉格式可能不满足该条件；例如，在Φ只有有界变化的情况下，参见[1，定理5.4]。

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2022-5-7 05:57:25

对于小于1的H¨older指数θ，可能需要更高阶的近似方案。条件（ii）对马尔可夫链的要求略高于基本定义；SDE的大多数近似方案（包括Euler方案）都满足这一要求。条件（iii）是SDE的多级蒙特卡罗型近似方案中要求的典型估计，参见[18,19,17]和其中的参考文献。例如，对于具有确定性（马尔可夫）、利普希茨连续线性增长系数的SDE，它是一种欧拉模式所满足的性质。如果马尔可夫链的收敛速度较低，则多层格式的收敛速度较低；见备注3.16。i消费（Af）。Lipschitz连续驱动器的条件（Af）（i）在文献[32,6,8,10]中是θL=1的标准条件，最近被扩展到θL<1的设置[24,23,39]。θL<1可以治疗某些二次型BSDE[24]。2018年7月3日14:28 11可从[39，推论4.3]获得V（t，·）条件（Af）（iii）的Lipschitz连续性。该结果适用于布朗过滤，其中X（t，X）求解具有确定性（马尔可夫）、有界、二次可微分系数的SDE，其偏导数有界且H¨oldercontinuous，且其波动矩阵一致为椭圆。函数v（t，·）的Lipschitz连续性等于limε→0φ（t，ε，θL，θ）=CX/（t- t）一,-（θL）-θ） /2对于所有t∈ [0，T）；注意，在这项工作中，θ表示为θΦ。收敛需要θL+θ的条件≥ 1.Lipschitz常数U（t，·）的估计来自标准结果，即存在一个独立于（t，x）的常数|徐（t，x）|≤ C | V（t，x）|代表所有人（t，x），以及|V（t，·）|∞≤ CX/（T）- t）（1）-θL-θ） /2[39，推论2.13]。类似地，U（t，x）上的几乎确定界在[39，eq]中可用。

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2022-5-7 05:57:28

(3.12)].iAsumption（AX）。该条件是离散化性质；例如，[22，第3节][39，第3节]在相当一般的条件下证明了这一点。这两个参考文献都处理了X，它用确定性（马尔可夫）、有界、二次微分系数求解anSDE，其偏导数是有界且H¨older连续的，且其波动矩阵是一致椭圆的；终端条件可能非常平滑。i消耗（Aπ）。需要时间网格（Af）（iv）上的附加条件来获得离散环境中的先验估计；见[24，3.2号提案]。虽然这些条件看起来很抽象，但事实上，它们被（Aπ）中给出的时间网格所满足；参见[39，Lem.B.1]。3多级最小二乘蒙特卡罗模式在本节中，我们为多级算法的每个级别k和网格π（k）的每个时间点i构造引理2.2中函数y（k）i（x）（和z（k）i（x））的近似。近似函数用y（k，M）i:Rd表示→ R、分别是z（k，M）i:Rd→ （Rq）>。（16）多级算法使用蒙特卡罗最小二乘回归来近似条件期望，将在第3.2节中描述。我们使用普通最小二乘回归，如[24]中所述，我们在第3.1节中回顾了其术语。与[24]相比，我们必须特别注意算法的新颖多级结构。在第3.3节中，综合误差分析给出了全局误差max0的上限≤我≤2k-1E[|y（k）i（X（k）i）-y（k，M）i（X（k）i）|]+k-1Xi=0E[|z（k）i（X（k）i）-z（k，M）i（X（k）i）|]（k），并显示了它如何依赖于数值参数（蒙特卡罗模拟的数量、基函数的选择）和k级的全局误差-算法的第1部分。

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2022-5-7 05:57:31

在第3.3节中，误差分析使我们能够校准多级算法的数值参数，并将其复杂性与替代算法进行比较。3.1初步介绍本节介绍了普通最小二乘回归（OLS）来近似多级方案中的条件期望算子。我们将在通用但通用的定义3.1 forOLS的基础上，简洁地表达我们的算法。OLS承认一个基本理论（见命题3.11），该理论支持第3.3节中的一般（无分布）但严密的误差分析。2018年7月3日14:28 12定义3.1（普通最小二乘回归）。为了我，我≥ 1和概率空间（~Ohm,~F，~P）和（Rl，B（Rl），ν），设为a~FB（Rl）-可测的Rl值函数，使得S（ω，·）在L（B（Rl），ν）中表示＠P-a.e.ω∈~Ohm, K是L（B（Rl），ν）的线性子空间，由一些（有限或可数）确定的Rl值函数集{pk（.）：K≥ 1}. 在（闭包Kof）空间K中，S关于ν的最小二乘近似是（~P×ν-a.e.）唯一的，~FB（Rl）-可测函数？（ω，·）：=arg infφ∈KZ |φ（x）-S（ω，x）|ν（dx）=arg minφ∈\'KZ|φ（x）-S（ω，x）|ν（dx）。（18）我们这么说是吗？求解OLS（S，K，ν）。另一方面，假设νM=M-1PMm=1δX（m）是（Rl，B（Rl））上的离散概率测度，其中δxis是X和X（1）上的狄拉克测度，X（M）：~Ohm → 这是i.i.d.随机变量。为了一个FB（Rl）-可测的Rl值函数sω、 X（m）（ω）< ∞ 对于anym和∧P-a.e.ω∈~Ohm, 空间K中S关于v的最小二乘逼近（~P-a.e.）唯一，~FB（Rl）-可测量的功能？（ω，·）：=arg infφ∈KMMXm=1 |φX（m）（ω）- sω、 X（m）（ω）|.

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能者818

2022-5-7 05:57:34

（19）我们这么说是吗？求解OLS（S，K，νM）。为了解释要解决的计算障碍，让我们首先使用定义3.1，将（AX）（ii）中给出的马尔科夫函数表示为涉及OLS的算法。算法1。通过设置y（0）（·）：=Φ（·），y（0）（·）：=E[Φ（X（0））]和Tz（0）（·）：=E[重量Φ（X（0））]进行初始化。递归地求k≥ 1，假设（y（k）-1）（·），z（k）-1）（·））已经计算过，设置y（k）k（·）=Φ（·），对于任何i∈ {0，…，2k-1} ，设kl为空间L（B（Rd），Po（X（k）i）-1.（Rl）>）代表l∈ andy（k）i（·）解OLS（S（k）Y，i（x，\'x，w），k，νk）for（k）Y，i（x，\'x，w）：=Φ（xk）-主键-1.-1j=α（i）+1z（k）-1） j（\'xj）（w2j+w2j+1），z（k）i（·）为（k）z，i（x，\'x，w）求解OLS（S（k）z，i（x，\'x，w），Kq，νk）：=wi（k）我S（k）Y，i（x，\'x，w）- y（k）i（xi）,（20）对于x=（x，…，xk）∈ R（2k+1）×d，\'x=（\'x，…，\'xk）-1) ∈ R（2k）-1+1）×d，w=（w，…，wk-1) ∈ Rk×q，和作为（X（k）定律的νkb，X（k）k，X（k）-1), . . . , X（k）-1） k-1.W（k），W（k）k-1).定义的直觉3.1。在上面的算法1中，我们使用的是关于（理论）定律的定义3.1，而不是经验度量（如算法2）。这里，l=（2k+1）×d+2k×q和l=1（分别为q）。函数S（·）由S（k）Y，i（·）（分别为S（k）Z，i（·））给出，这是确定性的，因此不需要概率空间（~Ohm,这里。最后，度量ν是马尔可夫链X（k）的伸缩律和布朗增量W（k），即ν=νk。这种形式的算法1实际上是不可实现的，但说明了两个计算问题，2018年7月3日14:28 13我们将用下面第3.2节中的经验最小二乘回归算法来克服这两个问题：首先，线性空间k（分别为。

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mingdashike22

2022-5-7 05:57:38

Kq）通常是有限维的，这对于实际计算是不可行的；第二，积分（18）的一般实际计算通常受到阻碍，因为定律νkma不能以显式形式提供。3.2完全可实现的算法为了避免回归到可能的有限维空间和算法1中的kqa，我们对预先确定的（用户定义的）有限维子空间进行回归，定义为有限组基函数的线性跨度：定义3.2（有限维近似空间）。每k≥ 1和我∈ {0，…，2k- 1} 定义了维数为K（K）Y，i（分别为K（K）Z，i）的有限维函数线性空间KY，k，i:=span{pY，k，i，1，…，pY，k，i，KY，k，i}→ R s.t.E[|pY，k，i，j（X（k）i）|]+∞,KZ，k，i:=span{pZ，k，i，1，…，pZ，k，i，KZ，k，i}→ Rqs。t、 E[|pZ，k，i，j（X（k）i）|]+∞.这些近似空间的最小误差表示为dt（Y，k）1，i:=infφ∈K（K）Y，K，iEh |φ（X（K）i）-y（k）i（X（k）i）|i，T（Z，k）1，i:=infφ∈K（K）Z，K，iEh |φ（Xi）-z（k）i（Xi）|i.为了避免与某些（计算上不可访问的）定律νi有关的积分，如在算法1中，下一个算法2将使用模拟来通过经验度量来近似它。定义3.3（模拟和经验测量）。为了k≥ 0，生成Mk≥ 1个独立副本（模拟）Ck:={(W（k，m），X（k，m），X（k-1，m）：m=1，马氏链轨迹的Mk}和布朗增量(W（k），X（k），X（k）-1)). 用ν（k）M表示Ck模拟的经验概率测量，即ν（k）M=mkxm=1δ（X（k，M），。。。，X（k，m）k，X（k）-1，m），。。。，X（k）-1，m）k-1.W（k，m），。。。，W（k，m）k-1).用X（m）表示马尔可夫链X（k，m），X（k）的轨迹的串联-1，m）和布朗增量W（k，m），即X（m）：=（X（k，m），X（k，m）k，X（k）-1，m），X（k）-1，m）k-1.W（k，m）。

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2022-5-7 05:57:41

, W（k，m）k-1).模拟的符号和假设。每一个都会形成一个模拟云。在不丧失通用性的情况下，我们假设Mk≥ max0≤我≤2k-1K（k）Y，i∨K（K）Z，i.此外，让模拟云（Ck:K≥ 0）可以独立生成。所有云都定义在一个概率空间中(Ohm（M），F（M），P（M））。为了构造支持我们算法分析的概率空间，我们简单地扩展了之前的概率空间支持(W（k），X（k））k≥0，它作为任何单个模拟的通用元素，通过传递到usualproduct空间（“”Ohm,\'F，\'P）=(Ohm, F、 P） (Ohm（M），F（M），P（M））。为了简化记法，我们写P（resp.E）而不是“P（resp.E）”。2018年7月3日14:28 14在续集中，我们将经常使用条件作用，仅针对特定的模拟云进行整合，而不是采取全球预期；下面的σ-代数将用于此。定义3.4。每k≥ 0和我∈ {0，…，2k- 1} 定义σ-代数F(*)k:=σ（Ck，…，C），F（M）k，i:=F(*)K-1.∨ σ（X（k，m）j，X（k）-1，m）α（j）：1≤ M≤ 米，1≤ J≤ i）让E(*)k[·]（分别为E（M）k，i[·]）是关于F的条件期望(*)k（分别为F（M）k，i）。现在，我们可以制定一个完全可实现的算法：算法2。通过设置y（0，M）（·）=Φ（0，M）（·）=MMXm=0Φ（X（0，M））和z（0，M）（·）=MMXm=0Φ（X（0，M））进行初始化k的W（0，m）T递归≥ 1：假设（y（k）-1，M）（·），z（k）-1，M）（·））已经计算过。设置y（k，M）N（·）：=Φ（·），并且，对于每个i∈ {0, . . .

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2022-5-7 05:57:44

，2k- 1} ，首先计算y（k，M）i（·），然后计算z（k，M）i（·），如下所示：y（k，M）i（·）：=TCyψ（k，M）Y，i（·）z（k，M）i（·）=TCz，k，iψ（k，M）Z，i（·）, （21）当边界Cyand Cz，k，i来自推论2.3时，截断函数TC（·）来自第1节。ψ（k，M）Y，i（·）解OLS（S（k，M）Y，i（x，\'x，w），k（k）Y，i，ν（k）M），S（k，M）Y，i（x，\'x，w）：=Φ（xk）-K-1.-1Xj=α（i）+1z（k）-1，M）j（\'xj）（w2j+w2j+1），ψ（k，M）Z，i（·）解OLS（S（k，M）Z，i（x，\'x，w），k（k）Z，i，ν（k）M），S（k，M）Z，i（x，\'x，w）：=wi（k）我S（k，M）Y，i（x，\'x，w）- y（k，M）i（xi）,（22）对于x=（x，…，xk）∈ R（2k+1）×d，\'x=（\'x，…，\'xk）-1) ∈ R（2k）-1+1）×d，w=（w，…，wk-1) ∈ Rk×q.定义的直觉3.1。在上面的算法2中，我们显然处于定义3.1的经验测量设置中。这里l=（2k+1）d×（2k）-1+1）d×2kq，每米∈ {1，…，Mk}，rl值随机变量X（m）是定义3.3中给出的马尔可夫链和布朗增量的轨迹。νMis经验测度ν（k）M.概率空间Ohm,~F，~P）是(Ohm, F（M），P），即空间生成所有样本云{Ck:k≥ 0}. 随机函数S（·）是依赖样本的函数S（k，M）Y，i（·）（分别是S（k，M）Z，i（·）），这显然是F(*)K-1. B（Rl）-可测量。算法2中OLS的实际计算使用数值线性代数[25]。2018年7月3日14时28分153.3误差分析在本节中，我们确定算法2’E（k）：=max0的全局误差的上界≤我≤2k-1’E（Y，k，i）+k-1Xi=0’E（Z，k，i）（k） i（23）在每一个等级k上≥ 0，对于E（Y，k，i）给出的局部误差项：=E[|Y（k）i（X（k）i）- y（k，M）i（X（k）i）|]和‘E（Z，k，i）：=E[| Z（k）i（X（k）i）- z（k，M）i（X（k）i）|]。

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2022-5-7 05:57:47

为了做到这一点，必须找到误差项SE（Y，k，i）：=E[MkPMkm=1 | Y（k）i（X（k，m）i）的上界-y（k，M）i（X（k，M）i）|]，E（Z，k，i）：=E[MkPMkm=1 | Z（k）i（X（k，M）i）-z（k，M）i（X（k，M）i）|]（24）得益于提案3.5中的关系（类似于[24，提案4.10]）：提案3.5。每k∈ {0，…，κ}和i∈ {0，…，2k- 1} ，我们有E（Y，k，i）≤ 2E（Y，k，i）+2028（k（k）Y，i+1）Cylog（3Mk）Mk，\'E（Z，k，i）≤ 2E（Z，k，i）+2028（k（k）Z，i+1）qCz，k，ilog（3Mk）Mk；我们记得Cy=CΦ和Cz，k，i=CX/（T）- t（k）i）（1-θ） /2来自推论2.3。由于y（k，M）i（·）和z（k，M）i（·）是用样本X（k，M）i来计算的，它们也被用在经验范数中，在E（y，k，i）和E（z，k，i）的期望值内，我们的分析的一个重要目标是找到这些项的上界；命题3.5允许我们从E（Y，k，i）和E（Z，k，i）中计算出E（Y，k，i）和E（Z，k，i）的上限，并根据基函数的数量、模拟的数量、时间网格和几乎确定的边界Cz，k，i进行校正。结果表明，校正项与估计的误差项（Z，k，i）到ln（Mk）项的顺序相同；见定理3.7和3.9。因此，修正项对全局误差收敛速度的影响基本上与E（Y，k，i）和E（Z，k，i）的影响相同。命题3.5的证明类似于[24，命题4.10]的证明，因为后者只涉及几乎确定的边界和可测性的一般集中（[24，命题4.9]）。因此，我们在这里没有提供证据，只是参考了那篇论文。

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2022-5-7 05:57:50

命题3.5中的修正项被解释为由于用于构造（y（k，m）（·）、z（k，m）（·））的云与用于经验范数的样本之间的相互依赖性而产生的误差。在随后的分析中，可以方便地使用以下随机规范符号：；这些表格是随机的，因为它们的值取决于定义3.3中的样本，并且没有采取全球预期。定义3.6。让我们来看一看：Ohm（M） X路→ R或Rqbe F（M） B（Rd）-可测量。每k≥ 2018年7月3日14:28 16∈ {0，…，2k- 1} ，定义随机标准k，i，∞:=ZRd|||Po（X（k）i）-1（dx）和kаkk，i，M:=MiMiXm=1 |а（X（k，M）i）|。标准的k·kk，我，∞利用X（k）i定律，而k·kk，i，m利用样本{X（k，m）i:m=1，…，Mk}的经验测量。实际上，错误项（24）可以写为（Y，k，i）=E[ky（k）i（·）- y（k，M）i（·）kk，i，M]和E（Z，k，i）=E[kz（k）i（·）- z（k，M）i（·）kk，i，M]。此外，根据塔楼定律，\'E（Y，k，i）：=E[ky（k）i（·）-y（k，M）i（·）kk，i，∞] 和¨E（Z，k，i）=E[kz（k）i（·）-z（k，M）i（·）kk，i，∞].我们得到了本文的主要结果，算法2的误差传播。基于不同的假设提出了两个定理。这两个定理的证明非常相似，因为它们基于一种常见的误差分解技术。因此，我们同时证明它们，并解释证明的不同之处；证据很长，并推迟到第3.4节。定理3.7。除一般假设外，还假设任意时间点t的（AX）∈ π（k）∩π（k）属于两个时间网格π（k）和π（k），对于一些k，k，它认为X（k）i=X（k）j≥ 0，我∈ {0, . . .

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2022-5-7 05:57:53

，2k- 1} ，误差项E（Y，k，i）的上界为4×2-kK（k）Y，iδMk3CX+（2+q）+2K（k）Y，iMkk-1.-1Xj=α（i）+1z（k）-1） j（·）-z（k）-1，M）j（·）∞（k）-1） j+T（Y，k）1，i（25），误差项E（Z，k，i）以12δk（k）Z，i（2+5T1）为界-θ） CxMk（T- t（k）i）1-θ+4δ（2+q）K（K）Z，iCXcXMk+2K（K）Z，i（k） iMkny（k）i（·）-y（k，M）i（·）∞+K-1.-1Xj=α（i）+1z（k）-1） j（·）-z（k）-1，M）j（·）∞（k）-1） jo+T（Z，k）1，i（26）备注。如果X（k）可以被视为X的有限维边缘，假设（AX）是非常有效的，前提是这些边缘是封闭形式的，比如（几何）布朗运动。例如，如果使用Euler格式计算X（k），则可以计算一个最大水平，比如说，通过在下一个时间网格π（κ）上运行一次Euler格式，并为每个k只选择与π（k）相关的值，就可以获得X（k）≤ κ. 我们注意到，对于OREM 3.9，该假设是不必要的。备注3.8。上述定理3.7中的误差范围不容易应用，因为它似乎难以量化规范中的术语|∞更明确地说；这些规范比用于量化误差E（·，k，i）的规范更强，我们对它们没有精确的估计。似乎很难在一般情况下替代这种强范数的使用，参见[5]，他们在2018年6月3日14:28 17使用一般基函数时使用相同的范数获得估计。

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nandehutu2022

2022-5-7 05:57:56

然而，我们可以将绝对y和z边界算法2插入（25,26），以获得误差（y，k，i）的粗略上界≤ T（Y，k）1，i+16×2-kK（k）Y，iMk 8（CX）∨ CΦ）TθK（K）Y，iθMk，E（Z，K，i）≤ T（Z，k）1，i+16（2+T1-θ） K（K）Z，icX（T- t（k）i）1-θMk+8（CX∨ CΦ）（1+Tθ-1） K（K）Z，我（k） iMk。这是我们假设的“最坏情况”误差估计y（k）-1） j（·）-y（k）-1，M）j（·）∞和z（k）-1） j（·）-z（k）-1，M）j（·）∞是最大的。我们使用该估计值与通常的最小二乘多步前向动态规划（LSMDP）方案[24]进行了粗略比较，即使用k级修正项的算法2- 1.回忆。每k≥ 0和我∈ {0，…，2k- 1} ，LSMDPalgorithm（当使用相同的时间网格和相同的基函数时）的相应误差估计为EMDP（Y，k，i）≤ T（Y，k）1，i+CΦk（k）Y，iMkand EMDP（Z，k，i）≤ T（Z，k）1，i+CΦk（k）Z，i（k） iMk。（27）我们看到基函数K（K）·，i的数量依赖于时间增量（k）尽管常数可能会有所不同，但多层模式和MDP模式的模拟次数是相同的。在这个设置中，这两种算法对于这些参数中的每一个的行为可能是相同的。然而，我们强调，这是一个相当粗略的“最坏情况”，其中z（k）的近似值-1）就像绝对先验界限所允许的那样糟糕。现在我们转向另一个极端，一个“最佳情况”场景，其中|·|∞-术语可以忽略不计；通过研究（25,26），我们发现这些术语抵消了时间增量的负面影响（k）我。

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