权益期权定价中的收益公告会计处理

2022-5-7 07:06:40

股票期权定价中的收益公告会计Tim Leung*Marco Santoli+2018年9月4日摘要我们研究了一个期权定价框架，该框架考虑了收益公告（EA）的价格影响，并分析了事件发生前隐含波动率表面的行为。在公告日，我们加入了股价的随机跳升，以表示收益带来的冲击。我们考虑了计划收益跳跃的不同分布，以及在收益日期前后不同的股价动态。我们的主要贡献包括当标的股票价格在公告日遵循Kou模型以及双指数或高斯EA跳跃时，对公式的分析期权定价。此外，我们还推导了各种模型下E-A前隐含波动率的分析界和符号。校准结果表明，在宣布之前，整个隐含波动率表面都有足够的深度。我们还将EA跳跃的风险中性分布与其历史分布进行比较。最后，我们讨论了前EA美式期权的估值和行使策略，并给出了分析近似和数值结果。关键词：即时公告、股票期权、盈利前公告隐含波动Jel分类：G12、G13、G14内容1简介21.1市场观察。21.2目标和相关研究。42 Black-Scholes模型，EA跳跃52.1隐含波动率。62.2希腊人。

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2022-5-7 07:06:43

63将EA跳转纳入其他模型83.1 Kou模型的扩展。83.2通过特征函数定价。104盈利前公告隐含波动率性质114.1隐含波动率界限。114.2小型和大型Str-IKE渐近性。13*美国纽约哥伦比亚大学工业工程与运营研究部，邮编：NY 10027。电子邮件：leung@ieor。哥伦比亚。埃杜。通讯作者。+美国纽约州纽约哥伦比亚大学工业工程与运营研究部，邮编：10027。电子邮件：ms4164@columbia.edu.5校准和参数E刺激器155.1模型校准。155.2扩展BS模型下的分析估计量。175.3隐含EA跳跃分布和风险溢价。186美式期权196.1美式期权价格和行使边界。196.2分析近似值。20附录221简介上市公司定期发布其运营和业绩摘要，包括损益表、资产负债表和其他报告。这类事件通常被称为收益公告。在sch Eduld宣布后的市场时段，实证研究（例如，见Patell and Wolfson（1984））表明，开盘股价可能会大幅波动。

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2022-5-7 07:06:47

例如，Dubinsky和Johannes（2006）研究了一组股票样本，并报告称，在收益公布日，股票价格回报的方差比其他日期的方差大五倍以上。除了对中间价的影响外，收益发布还可能影响股价在更长时间内的漂移。这种实证观察通常被称为盈利后公告漂移；s ee Ch ordia和Shivakumar（2006）及其参考文献。由于许多上市公司的股票价格上也有期权，这促使我们研究在盈利公告（EA）前公布股票期权的问题。由于期权本质上是前瞻性合同，其价格应考虑到即将公布的收益对股价的不确定性影响。一个自然的问题是，如何从观察到的期权价格中，特别是在宣布前几天，提取有关这种影响的一些信息。由于交易者经常引用或研究每个期权的隐含波动率（IV），在实践中，更好地理解盈利公告前隐含波动率（PEAV）的行为非常重要。1.1市场观察P EAIV的一个主要特征是，在公告日期之前，它往往会大幅上升。在图1中，我们显示了在IBM上写的货币（ATM）看涨期权的前一个月（即最接近到期日）的价格和IV。2013年7月17日公布收益后，期权将于同一周的周五到期。正如我们在右图中所看到的，随着盈利公告的临近，IV从30%快速增长到70%以上，然后在盈利报告发布后显著下降到20%。同时，尽管到期时间很短，ATM呼叫p rice仍保持在远高于零的水平（图1（左））。

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2022-5-7 07:06:51

此外，我们观察到，在收益事件发生之前，IVP达到最大值。让我们简要地讨论一下这些观察结果背后的直觉。首先，在收益公告后到期的期权的市场价格反映了在公告日股价上涨的可能性。由于用于将期权价格转换为IVs的Black-Scholes公式假定基础价格为一个无跳跃的正态模型，因此解释股票价格中确定性时间但随机跳跃的唯一方法是应用更高的波动性参数。此外，由于Black-Scholes公式中的波动性参数与到期时间耦合，因此随着时间的推移，需要更高的波动性参数。因此，尽管股价可能会下跌，但收益报告通常在股市收盘后发布。因此，收益对价格的影响首先在下一个市场时段开始时反映出来。在盈利之前，没有经历更高的（历史）波动或明确的方向性变动，（风险中性）IV往往会增加。然而，一旦收益公告发布，股票价格就会实现跳跃，波动效应也将消失。为了说明PEAV的增加不仅仅是巧合，在图2（左）中，我们绘制了IBM从1996年1月到2013年8月ATM看涨期权IV的时间序列。在同一张图中，我们用红色标记了盈利公告发布日的IV值。正如我们所见，波动性的峰值通常与收益发布日期一致。我们还可以从隐含波动率表面的形状中获得一些见解。在图2（右）中，我们展示了2013年7月15日，即收益发布前两天，IBM的IV表面。

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2022-5-7 07:06:55

同样明显的是，前一个月的期权有1天到期，波动性非常高。长期期权的波动率显著降低，表明即将到来的收益公告的影响不太明显。07/07 07/140123456日期期权价格07/07 07/140.20.30.40.50.60.7DateIV图1:IBM上到期日期为2013年7月18日的前一个月ATM期权的价格（左）和隐含波动率（右）。收益公布日期为2013年7月17日。1996年1998年2000年2002年2006年2010年201200.20.40.60.811.21.4日期100150200040060000.20.40.60.8数字系统隐含波动图2：IBM上的前一个月ATM通话IV的时间序列（左）。红色的圆点表示电子数据上的IV值。IBM的IV sur face（右）在2013年7月15日市场收盘，也就是EA发布前两天。1.2目标和相关研究这些市场观察结果要求建立一个定价框架，明确纳入收益在宣布日实现的跳跃。在本文中，我们分析了一个期权定价框架，该框架考虑了收益公告的价格影响，重点是事件发生前隐含波动率的行为。具体而言，我们将在收益公告日推出一个随机规模的交易，以代表对公司股价的冲击。引入与收益相关的跳跃与之前的实证研究一致（Maheu和McCurdy（2004）；皮亚泽西（2005）；杜宾斯基和约翰（2006）；Lee和Mykland（2008）。我们首先将这一思想应用于Black and Scholes（1973）（BS）模型，在该模型中，我们获得了欧洲期权价格、其IV和各种希腊人的公式。在这个模型中，我们发现IV随着一种特定的模式而增加，即在临近发布日期时。

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2022-5-7 07:06:58

通过扩展Kou（2002）的双指数跳差模型，将anEA跳变纳入股票价格，我们进一步将额外的随机时间跳变纳入股票价格。具体来说，我们假设对数股价的EA跳跃大小是一个DE或高斯随机变量。在这两种情况下，我们都推导了解析期权定价公式，并将其用于生成I-V。为了更好地理解PEAV的行为，我们在一类具有EA跳跃的一般股票价格模型下，推导了IV的解析边界和渐近性。在这个范围内，我们观察到了对EA跳跃参数的显式依赖性，以及这些模型中的EAIV的常见时间依赖性。此外，我们还对一些模型进行了校准，即扩展的Heston模型和带有EA跳跃的Kou模型，以市场期权定价。我们的结果表明，与使用EA跳跃的这些模型相比，整个P EAIV曲面更充分。此外，我们提取了EA跳跃的风险中性分布，并将其与历史分布进行比较。这两种分布之间的不一致性可以解释为因学习而产生的跳跃风险的风险溢价。最后，我们分析了EA日期前后美式期权的定价。为了实现，我们讨论了一种数值方法，以及基于Barone Adesi和Wh aley（1987）工作的解析近似。在实证金融和会计领域，有大量文献研究了收益公告如何影响股票和期权价格。大多数研究集中在与收益率相关的信息内容、市场反应和价格模式上。对实证研究的系统性评论可在Dub insky和Johannes（2006年）、Barth等人（2011年）、Rogers等人（2009年）和Billings和Jenn ings（2011年）中找到。

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2022-5-7 07:07:01

关于新闻对期货价格的影响，我们参考Chatrah等人（2009）及其参考文献。下面，我们总结了一些相关的研究，这些研究侧重于期权定价或盈利公告。Patell and Wolfson（1981）（PW）的模型是关于收益公告中期权价格的首批实证研究之一。他们以Black和Scholes（1973）以及Merton（1973）的定价模型为基础，假设瞬时波动率是一个确定性的时间常数函数，在两个时间窗口内围绕收益发布两个波动水平，以反映围绕收益影响的不确定性。自从他们的开创性工作以来，其他论文采用了相同的模型或其变体，并进行了实证检验（见Donders和Vorst（1996年）、Isakov和Perignon（2001年）、Barth等人（2011年），等等）。特别是，Barth等人（2011年）通过允许确定性分段恒定波动率在公告日期之前、期间和之后取不同的值，扩展了DPW的模型。在所有这些实证研究中，股价在任何时候都不存在跳跃。此外，在没有随机波动或股票价格跳跃的情况下，IVP不会表现出任何偏差，尽管这在期权市场中常见。在本文中，我们采用了一种不同的方法，将确定性时间随机跳跃纳入股票价格动态。我们考虑了计划收益跳跃的不同分布，以及EA日期前后不同的基本股价动态。我们的研究推广了Dubinsky和Johannes（2006）的研究，该研究侧重于具有高斯EA跳跃的BS模型，并为时间确定性隐含波动率函数提供了一个公式。

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2022-5-7 07:07:05

我们的主要贡献包括当标的股票价格随时间允许双指数跳跃时的分析定价公式（Kou模型），以及在公告日期出现双指数或高斯EA跳跃（见定理3.1）。此外，我们还推导了各种模型下预EA隐含波动率的解析界和渐近性（见命题4.1和4.2）。此外，我们还研究了Kou模型下的预收益美式期权的定价，并通过扩展Barone Adesi和Whaley（1987）的方法讨论了期权价格的解析近似。我们的分析从实证研究和市场观察中汲取了动力，引入了更复杂的模型，帮助准确且易于处理地再现整个隐含波动率表面。对于校准，我们使用了来自整个观察到的IV表面的最新选项数据，而不是Dubinsky和Johannes（2006）中使用的仅ATM选项。利用1994年至2013年的收益数据，我们还将EA跳跃的风险中性分布与其历史分布进行了比较。本文提出的框架和方法可以很容易地推广到其他期权定价模型。它们还可以用于监测PEAV，估计EA跳跃的历史分布和风险中性分布以及相关的风险溢价。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们通过引入股价的EA跳跃来扩展Black Scholes模型，并导出相应的隐含波动率函数。在第3节中，我们讨论了其他模型的扩展，包括Kou和Heston模型。在第4节中，我们研究了各种模型下IV曲面的界和渐近性。在第5节中，我们讨论了扩展BS、Kou和Heston模型的校准结果，并比较了EA跳跃的风险中性分布和历史分布。

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2022-5-7 07:07:08

在第6节中，我们研究了盈利公告前美式期权的估值。附录包含我们分析结果的证明和细节。2带EA跳跃的Black-Scholes模型预定收益公告对股价的影响由价格动态中的确定时间随机大小p rice跳跃建模。当然，这种修改可以应用于虚拟模型，我们从Black and Scholes（1973）模型的扩展开始。让（Wt）t≥0是一个标准的布朗运动，定义在r isk-中立概率空间上(Ohm, F、 Q）。自始至终，我们假设一个恒定的无风险利率r≥ 0.让Tebe为EA日期，我们称之为r.v.Zethe EA jump，即收益公布后原木股价的跳跃大小。我们假设Zeto独立于W。在风险中性措施下，该公司的股票价格（St）t≥0根据STST进行演变-= rdt+σdWt+d{t≥Te}埃兹- 1., （2.1）其中1{·}表示指示函数，r表示正恒定利率，σ表示恒定波动率。鞅条件S=EE-rtSt, 0≤ T≤ T、 e{·}表示Q下的期望，意味着e埃兹= 1.在本节中，我们假设Ze为正态分布。这就产生了价格和IV曲面的封闭形式表达式。鞅条件E埃兹= 1意味着~ N-σe，σe, 因此EA跳跃由σeonly参数化。我们注意到≥ 特，日志STSt~ NR-σ-σe2（T）- （t）（T）- t），σ（t）- t） +σe.

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2022-5-7 07:07:11

（2.2）因此，具有罢工K和到期日T的欧洲看涨期权的价格由c（T，St）=CBST给出- t、圣路易斯；rσ+σeT- t、 K，r！，0≤ t<Te，（2.3），其中CBS（τ，S；σ，K，r）表示通常的BS公式，其中到期时间τ和现货价格S.2.1隐含波动率价格公式（2.3）允许我们将波动率（IV）表示为确定性函数i（t；K，t）=（qσ+σeT）-t0≤ t<Te，σTe≤ t<t.（2.4）正如我们所看到的，虽然在固定时间t内，IV表面在走向上是弯曲的，但在t中，它的结构是递减的。此外，随着我们接近收益公告，任何特定期权的IV会随着时间的推移而增加。或者，期权价格公式（2.3）可以像股票没有跳跃一样获得，并遵循dynamicStst=rdt+I（t；K，t）dWt。Patell和Wolfson（1981）使用了该模型，假设I（t；K，t）是一个确定性的、分段不变的函数，以反映收益对隐含波动率的影响。在图E3（左）中，我们将（2.4）中固定（K，T）的IV函数与截止日期为2013年7月18日的前一个月ATM IBM期权的IV时间序列进行比较。通过最小二乘回归选择模型参数。我们可以看到，观测到的ATM IV和模型IV以类似的方式增加。在同一张图（右）中，我们还将（2.4）中固定（t，K）的IV函数与2013年7月17日盈利公告前和到期日前一天ATM IBM看涨期权IV的期限结构进行了比较。同样，该模型的参数是通过额外的最小二乘回归获得的，它们不同于通过IV时间序列分析获得的参数。

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2022-5-7 07:07:14

模型期限结构近似于观察到的期限结构，即使IV表面呈现noskew和只允许函数形式的期限结构（2.4）。2.2 Greek为了理解接近收益公告的期权价格的敏感性，我们基于价格函数（2.3）推导并分析了希腊人。对于EA日期Te之后到期日为T的看涨期权或看跌期权，Delta和Gamma是简单的Black-Scholes Delta和Gamma函数，但波动性参数设置为更高的值I（T），fort<Te。另一方面，我们注意到有两个参数与股票价格的波动性有关。因此，除了标准的Black Scholes Vega，我们还介绍了EA VegaVe≡Cσe=√T- tqσ（T）-t） σe+1VBS（t- t、 S；I（t），K，r），其中VBS（τ，S；σ，K，r）=Sφ（d）√τ代表通常的Black-Scholes-Vega函数，带有斑点曲线和成熟时间τ。ATM呼叫和PUT的IVs非常接近，但不完全相同。时间序列的每个点代表两个IVs的平均值。07/01 07/08 07/150.20.30.40.50.60.7DateIV IVModel09/13 01/14 04/14 07/14 10/140.20.30.40.50.60.7饱和IVModel图3：左：EA之前的IV函数（2.4）（实线），σ=0.2538，σe=0.0424，到期日期7/18/2013，与市场观察到的相同到期日期的前一个月IBM ATM选项的IV（圆圈）相比。右图：与2013年7月17日市场观察到的ATM IBM期权的期限结构（圆圈）相比，2013年7月17日，符合（2.4）的IV（实心）的期限结构，σ=0.1912，σe=0.0429。对于调用的θ，我们得到Θ≡Ct=ΘBS（t- t、 S；I（t），K，r）+2I（t）σeT- TVBS（T- t、 S；I（t），K，r），0≤ t<t.（2.5），其中ΘBS（τ，S；σ，K，r）=-Sσ√τφ（d）- rKe-rτΦ（d）是Black-Scholesθ函数。首先，我们注意到ΘBS（T- t、 S；I（t），K，r）≤ Θ ≤ 0

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2022-5-7 07:07:17

等式的左边部分是（2.5）的直接结果，右边部分是期权价格随时间下降的结果。另一方面，一般来说，这不是真的≤ ΘBS（S，K，r，T）- t、 σ）。这意味着，与波动性较低的期权相比，期权可能会在一段时间内迅速贬值。为了说明这一点，wesuppose r=0，Black-Scholes偏微分方程意味着Ct=-σSCS=-σSΓBS（T- t、 S；I（t），K，0）。另一方面，我们也有ΘBS（T）- t、 S；σ、 K，0）=-σSΓBS（T- t、 S；σ、 K，0）。因此CT- ΘBS（T）- t、 S；σ、 K，0）=-σS（ΓBS（T- t、 S；I（t），K，0）- ΓBS（T）- t、 S；σ、 K，0）。对于ATM选项，我们有ΓBS（T- t、 S；σ、 S，0）=√2πσSe-σ（T）-t），其σ在减小。这意味着Ct> ΘBS（t）- t、 S；σ、 S，0）表示σe>0，这意味着期权价值的时间衰减不太快。事实上，对于其他的看跌期权和看涨期权来说也是如此，它们的Γbsa在σ中减少。在图4（左）中，我们将Θ表示为到期日为5天的看涨期权现货价格的函数。为了进行比较，我们根据BSθ绘制了另外两个基准，分别具有不同的挥发性参数值I（0）和σ。正如（2.5）所预期的，看涨期权价格的时间衰减没有ΘBS（T，S；I（0），K，r）严重。此外，对于走向K附近的点p，我们观察到Θ>ΘBS（T，S；σ，S，r）>ΘBS（T，S；I（0），S，r）。图4（右）显示了ATM（S=K=100）呼叫的Θ在盈利前一天的时间变化。同样，我们注意到θ的主导地位相同，但随着时间接近EA日期，它们的差异会增加。

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2022-5-7 07:07:20

有趣的是，与其他两个Bθ相比，Θ的值似乎更为恒定。Θ代表了theEA ju mp。80 90 100 110 120-50-40-30-20-100现货价格ΘΘBS（I）ΘBS（σ）0.005 0.01 0.015 0.02-150-100-500到期时间ΘΘBS（I）ΘBS（σ）图4：Θ和Θb的形状改变了现货价格（t=）和到期时间（K=100）。在这两个面板中，我们看到ATM选项的Θ比普通BSθΘBS的负性更小。常见参数：r=0.02，σ=0.1，σe=0.04.3将EA跳转纳入其他模型中。尽管扩展的BS模型（2.1）能够显示一个在盈利公告中的IV应用程序，但IV没有偏差，其期限结构只允许特定的两个参数函数形式Qσ+σeT-t、另一方面，除了计划的跳跃外，股价还可能经历随机时间的跳跃，这无法通过差异充分捕捉。这促使许多模型将各种分布的跳跃纳入股票价格动态，其中著名的例子有默顿（1976）、寇（2002）、方差伽马（Madan et al.（1998））、CGMY（Carr et al.（2002））模型。在本节中，我们提出了在Kou（2002）跳差模型的扩展下欧洲期权定价的分析公式，并使用转换方法讨论了收益公告前的期权定价。3.1 Kou模型的扩展我们考虑了Kou模型的一个扩展，并推导了具有EA跳跃的欧式期权价格的解析公式。在这个模型下，风险中性的终端股票价格如下所示STS= -σT+σWT-mκT+NTXi=1Ji+1{T≥Te}泽- 日志E埃兹, （3.1）每个ju mp Ji~ DE（p，λ，λ）是双指数分布的，p.d.f.fJi（x）={x≥0}pλe-λx+1{x≤0}(1 - p） λeλx.随机时间跳跃的数量由NT建模~Poi（κT）。

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2022-5-7 07:07:23

为了确保鞅条件成立，我们设置m=pλ-1+(1-p） λ+1-1.我们将分别考虑EA对数跳跃大小Ze的两种分布：（i）双指数Ze~ DE（u，η，η）和（ii）高斯分布~ N0，σe.设C（S）=EE-rT（圣- K） +|S=S当现货价格为S时，t=0时的欧式看涨期权价格。我们现在给出了当EA为双指数随机变量时的价格公式。提议3.1。假设终端股价如下（3.1），带有Ze~ DE（u，η，η）和η6=λ，η6=λ。然后，欧式看涨期权价格由C（S）=e给出-αSΥS、 K，r+σ，T，σ，^κ，^p，^λ，^λ，^u，^w，^η，^η- 柯-rTΥ（S，K，r，T，σ，κ，p，λ，λ，u，w，η，η），（3.2），其中函数Υ在附录A.1中给出，常数为^η=η- 1, ^η= η+ 1,^λ= λ- 1，^λ=λ+1，^u=uηη- 1，w=1- u、 ^w=wηη+1，^κ=（m+1）κ，^p=λ- 1pm+1，α=对数uηη- 1+wη+1.当EA和随机时间跳跃的跳跃大小参数相同时，即η=λ或η=λ，也可以推导分析定价公式，但此处省略。实际上，参数λ、λ通常比η和η大一个数量级，我们将从第5节的校准中观察到这一点。或者，如果EA跳跃是正态分布的，即Ze~ N0，σe, 然后可以直接调整Kou（2002）的结果来解释EA跳跃。具体而言，EA跳跃参数σeca可以包含在布朗运动WT:log的波动系数中STSd=-σ+σeT- mκ！T+rσ+σeTWT+NTXi=1Ji。由此，我们可以看出，在没有EA跳跃的情况下，重新计算的解析公式实际上与原始公式相同，只是σ被qσ+σeT所取代。解析公式（3.2）允许快速计算价格，同时计算其增量， = E-αΥ（·），其中Υ（·）是（3.2）中RHS的第一项。

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2022-5-7 07:07:27

在表3.1中，我们应用（3.2）计算期权价格，并报告相应的隐含波动率。正如我们所看到的，IV d会加快到期时间的增加，这是盈利公告前IV的典型情况。此外，随着cr的成熟度降低，IV倾斜变得更严重。在图5中，我们绘制了以下情况下ATM操作的IV：基本操作（3.1）带有高斯跳变或DE EA跳变。为了进行比较，我们选择了跳跃参数，以便高斯跳跃和DE EA跳跃的方差一致。我们注意到，有神论者对时间也有类似的依赖性。比较图3和图5，我们很自然地会想知道，在扩展的Black-Scholes和Kou模型中，以及在其他模型中，他们的免疫指数是否以类似的方式在时间上增加。这促使我们在第4节的不同模型下探索IV的特性。4.7.9 9.9.9 9.9.9.9.9.9.9.9.7.7.7.7.7.0.7 7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.0 0.3.0 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.3.4.6.7.7.7.7.7.7.7 7 7 7 7 7.0.0 0 0 0 0.7.7 7 7 0.7 0.7 0 0.7 7 7 7 0 0.7 0.7 7 0.7 0.7 7 7 0.7 7 0.7 7 7 0.7 7 7 7 0.7 7 0.7 7 7 7 7 0.7 7 7 7 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0.7 7 7 7 7 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4.942 0.292 9.284 0.2392.047 0.704 2.651 0.396 3.979 0.2928.240 0.238107.51.475 0.719 1.968 0.399 3.173 0.292 7.292 0.2381.069 0.738 1.455 0.403 2.509 0.293 6.434 0.238表1：模型（3.1）下的期权价格和IVs。通过公式（3.2）计算价格。参数：r=2%，S=100，κ=10，p=0.6，λ=60，λ=50，u=0.55，η=15，η=12，σ=20%。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.40.50.60.70.80.9时间（天）IV高斯EA JumpDE EA Jumpt图5：当EA和到期日期分别在第10天和第11天时，扩展的Kou模型（3.1）下ATM选项IV的时间序列。

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2022-5-7 07:07:30

参数：Te=14天，T=15天，r=2%，S=100，κ=10，p=0.5，λ=50，λ=50，u=0.5，η=25，η=25，σ=20%。3.2通过特征函数定价通常，让我们将终端库存价格写为ST=SeXT+Ze。如果Xt和Ze是独立的，并且它们都允许解析特征函数，那么我们得到了对数价格ψ（ω）：=E的特征公式eiωlogSTS= e^ψ（ω）+ψe（ω），其中^ψ（ω）：=logEneiωlog（XT）o, ψe（ω）：=logEneiωlog（Ze）o.这样就可以利用现有的方法为香草和异国情调的选择定价。例如，Carr和Madan（1999）、Duffeeand Singleton（2000）、Lee（2004）、and Raible（2000）等方法可用于为欧盟罗佩期权定价。或者，阿克森等人（2008年）或洛德等人（2008年）开发的方法可以适用于在包含跳跃的模型中为欧洲和美国期权定价。在以下章节中，我们还将考虑对Heston模型的扩展，其中dynamicStst=rdt+σtdWt+d{t≥Te}埃兹- 1.,dσt=νθ - σtdt+ζσtd＠Wt，（3.3），其中W和＠W是标准布朗运动，E{dWtd＠Wt}=ρdt，Zeis与W和W无关。写出期权价格asC（0，S）=^∞-∞埃洛格（S+x）- K+f（x）dx=（e）·- （K）+* f(-·) （对数），其中f表示对数（STS）的p.d.f.和* 表示卷积运算符。用F（g（x））表示≡\'Re-iωxg（x）dx作用于函数g的傅里叶算子，我们可以写出欧式方程asC（0，S）=eγlog（S）F的价格-1.FE-γx（性- （K）+Ψ (ω - i（γ）. （3.4）如果引入阻尼系数e-γxis是必要的，因为payoff是不可积的。Lord等人（2008年）也进行了同样的观察，其中（3.4）是作为新定价算法的一部分实施的。Jacks on等人（2008年）也通过分析傅里叶空间中的关联定价PIDE推导出了相同的公式。

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2022-5-7 07:07:33

然后可以根据（3.4）对价格应用快速傅里叶变换（FFT）算法。此外，这些方法可以适用于美式期权的定价，正如我们将在第6.4节“盈利公告前隐含波动性”中所做的那样。图1-3中的市场观察促使我们分析盈利公告前隐含波动性的一些特征。在第4.1节中，我们提供了模型类别的上限和下限。在第4.2节中，我们研究了一些IV渐近性，重点是小打击和大打击。4.1隐含波动率界限为了分析欧式期权的IV界限，我们考虑了一个一般框架，其中终端交易价格以St=SteXt，T+Ze，（4.1）的形式书写，St为T<Te时的股价。S上的鞅条件是（Xt，T）0≤T≤Tsatis fiese分机= 呃(T)-t）。r.v.是高斯r.v.和p.d.f.的连续混合。fZe（y）=R+φY-^σ, ^σG（d^σ），其中φ（·；a，b）表示p.d.f。对于均值为a，方差为b的高斯r.v，而G（·）是空间r+上的一个测度，G[0，∞) = 1.请注意，我们尚未指定Xt，T的分布，因此基本模型可能非常通用。对于IV波动率函数，我们有以下下限。提议4.1。假设最终股价如下（4.1）。然后，隐含波动率I（t；K，t）允许下限（t；K，t）≥^σmin√T- t、 t<Te，（4.2）式中^σmin:=inf{∈ R+：G[0，^σ]>0}。此外，ifxt，Tis也以高斯混合分布，fXt，T（y）=R+φYr（T）- （t）-~σ, ~σH（dσ），则下界改进了toI（t；K，t）≥s~σmin+^σminT- t、 t<Te，式中∧σmin:=inf{∈ R+：H[0，∑]>0}。我们注意到≥ 因此，只有当σmin>0时，界（4.2）才是非平凡的。这意味着被测量在方差小于^σmin>0的高斯r.v.上的权重为零。

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2022-5-7 07:07:36

例如，高斯r.v.的任何有限混合物都满足该条件。此外，我们还获得了隐含波动率的上界。提议4.2。假设终端股票价格遵循（4.1），并假设Xt和Ze都是连续的高斯混合分布，fZe（y）=^R+φY-^σ, ^σG（d^σ），fXt，T（y）=^R+φYr（T）- （t）-~σ, ~σH（dσ）。（4.3）然后，欧洲ATM远期看涨期权的隐含波动率的上限，K=er（T-t）圣霍尔德：我T呃(T)-t）圣彼得堡≤s^R+~σT- tH（dσ）+^R+^σT- tG（d^σ），t<Te。（4.4）满足条件（4.3）的模型的显著例子包括扩展的Merton和Heston（当ρ=0）m模型。然而，我们注意到高斯混合也可以近似于其他分布。此外，我们的边界可以作为不同模型下IV的分析基准。作为一个例子，我们推导了赫斯顿模型下边界（4.4）的显式表达式。根据命题4.1和命题4.2，随着时间接近收益公告，不同模型下的IV界s表现出相似的行为。将边界与（2.4）中的IV函数I进行比较，简单的扩展BS模型能够随着时间的推移拟合观察到的ATM IV，这并不奇怪（见图3）。例4.3。假设S遵循赫斯顿动力学（3.3）。在ρ=0的情况下，已知，以（σu）t的路径为条件≤U≤T、 \'TtσudWu~ N0, ~σ, 其中∑≡\'Ttσudu。由此我们观察到Xt，T≡R-■σ2（T）-（t）（T）-t） +Ttσudwu满足（4.3）的第二部分。反过来，直接计算会产生'R+¨σT-tH（d∑）=θ+σt-θν（T）-（t）1.- E-ν（T）-（t）. 因此，例如，在GaussianEA ju mp的情况下，术语‘R+σT-等于σd-tand绑定（4.4）readsIT呃(T)-t）圣彼得堡≤sθ+σt- θν（T）- （t）1.- E-ν（T）-（t）+σeT- T

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2022-5-7 07:07:39

（4.5）如果我们假设跳跃分布为对称双指数，则Ze~ 判定元件, η, η,然后我们使用Zed=qηZ的事实，其中~ Exp（1）和Z~ N（0，1）是独立的。实际上，在这种情况下，G（x）=ηxe-ηx，\'R+σT-tG（d^σ）=η（T-t），以及绑定（4.4）readsIT呃(T)-t）圣彼得堡≤sθ+σt- θν（T）- （t）1.- E-ν（T）-（t）+η（T）- t）。（4.6）在图6中，我们绘制了示例4.3中的显式边界（4.5）和（4.6）。正如我们所见，上界相对接近模型IV曲线，并且具有非常相似的时间依赖性。特别是，当EA跳跃为高斯（图6，左）时，边界几乎与modelIV无法区分。看到这一点→ T，上下限（（4.2）和（4.5））共享一个共同的前导项σeT-t、在本例中的实际情况中，术语'R+¨σt-tH（dσ）≈ σ通常至少比σe/（T）小一个数量级- t）自从t- t非常小，且σe和σ皮重的阶数相同。此外，在图6中，我们观察到ρ为非零的m模型IV仍然具有类似的时间行为，并且在ρ=0的情况下，其边界（4.5）和（4.6）非常接近。奇怪的是，（4.6）中的主导项的系数η为t→ T，就是Zeze的方差~ DE（，η，η），与（4.5）中前导项的系数σe是高斯方差的方式相同。因此，一个有趣的问题是，至少当ap接近EA日期时，IV的变化率是否与EA跳跃的标准偏差近似成比例（见图5）。最后，我们回顾命题4.1和命题4.2也为我们提供了关于IV的期限结构的信息。事实上，对于动力学为时间齐次的模型，我们观察到以下关系：I（t；K，t）t=-I（t；K，t）T

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2022-5-7 07:07:43

这意味着在EA日期之前，期权的期限结构应该会减少。01.2.3.4.5.7.9 100.30.40.50.60.7次（天）IV Mod e l IV，ρ=0 Mod e l IV，ρ=-0.54次/次I V0 1.2 3.4 5 6.8 9 100.30.350.40.450.50.550.6次（天）IV Mod e l IV，ρ=0 Mod e l IV，ρ=-0.54 up p er B ound I VFigure 6：模型IV分别以高斯EA跳跃（左）和去EA跳跃（右）在扩展的Heston模型的（4.5）和（4.6）中的上边界绘制。参数：ν=4.04，θ=0.05，σ=1.01，ρ∈ {0, -0.54}，ζ=0.03，σe=0.0473，u=0.5，η=η=40.4.2小型和大型撞击渐近我们现在分析扩展的Hestonand-Kou模型的IV表面小型和大型撞击的渐近性。我们的渐近线来自Benaim和Friz（2008）的结果（另见Benaim等人（2012））。我们在此陈述结果，并在附录A.4中提供证据。提案4.4。让我们满足扩展的Heston动力学（3.3），其中Ze为：情况1：正态分布，Ze~ N0，σe; orCase 2：双指数分布，Ze~ DE（u，η，η）。然后，对于任何固定的t<Te，隐含波动率I（t；K，t）满足I（t；K，t）（t- t）日志KSt~ ξ（q）*), 作为K→ 0，（4.7）I（t；K，t）（t- t）日志KSt~ ξ（r）*- 1），作为K→ ∞, （4.8）其中ξ（x）由ξ（x）定义≡ 2.- 4.√x+x- 十、安迪克*=（p-案例1，min{p-, η} 案例2，r*=（p+情况1，min{p+，η}情况2，和p±分别是ν的最小正解 ρζp±+q（ν） ρζp±）+ζ（±p±- （p±）科思（T）- t） q（ν） ρζp±）+ζ（±p- （p±）= 0.提案4.5。

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2022-5-7 07:07:46

让我们遵循扩展的Kou动力学（3.1），其中Ze为：情况1：正态分布，Ze~ N0，σe; orCase 2：双指数分布，Ze~ DE（u，η，η）。然后，对于任何固定的t<Te，隐含波动率I（t；K，t）满足I（t；K，t）（t- t）日志KSt~ ξ（q）*), 作为K→ 0，（4.9）I（t；K，t）（t- t）日志KSt~ ξ（r）*- 1），作为K→ ∞, （4.10）式中ξ（x）≡ 2.- 4.√x+x- 十、安迪克*=（λ情况1，最小{λ，η}情况2，r*=（λ情况1，min{λ，η}情况2。首先，我们观察到，如果EA跳跃是高斯的，那么它在罢工的IV渐近中没有作用（见（4.7）和（4.9））。因此，在Heston或Kou模型中，有无EA跳跃的大/小打击渐近实际上是相同的。另一方面，如果EA跳跃的尾部比基础模型的尾部更宽，则IV渐近性由EA跳跃参数确定。在这种情况下，当THEA跳跃方差占主导地位时，观察到具有短期到期的较不极端罢工的渐近性。然而，对于更长的到期日，渐近性适用于更多的极值。一个直观的解释是，随着成熟时间的增加，EA跳跃方差相对较低，尾部行为仅在极端值下表现出来。在图7中，我们展示了扩展的Kou（左）和Heston（右）模型下的IV渐近性，与通过傅里叶变换计算的期权价格的BS公式反演得到的IV相比较（见第3.2节）。我们绘制了固定（t，t）的渐近波动函数I（t；K，t）=c+plog（K/St）ξ（ω），其中c是一个选择的常数，以使渐近曲线和模型IVs在考虑的最接近点重合。在每种特定情况下，ω是一个常数集，根据（4.9）-（4.10）（适用于扩展的K-ou模型）和（4.7）-（4.8）（适用于扩展的Heston模型）。

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2022-5-7 07:07:51

在图7（左图）中，doub-Leeponential的E A跳跃尾巴主导着日常跳跃，因为这在实践中通常是成立的。在图7（右图）中，EA ju mp为高斯分布，因此不影响基本模型的IV渐近性。60 80 100 120 140 160 1800.40.50.60.70.80.911.11.21.3特列克耶夫IV型渐近60 80 100 120 140 160 1800.10.150.20.250.30.350.40.45特列克耶夫IV型渐近图7：（左）在扩展的Kou模型下，根据a型渐近（4.9）-（4.10）从数值期权价格获得的IV，带有对数DE EA跳跃。参数：S=10 0，r=0.02，T=，κ=300，p=0.5，λ=λ=100，u=0.5，η=30，η=25。（右）在对数正态EA跳跃的扩展Hesto n模型下，从数值期权价格获得的IV符合渐近性（4.7）-（4.8）。参数：S=100，r=0.02，T=1，ν=2.7，θ=0.077，σ=0.7075，ρ=-0.54，ζ=0.073，σe=0.04.5校准和参数估计在本节中，我们对扩展的BS、Kou和Heston模型进行校准，以观察到在公告附近期权的市场价格。这使我们能够评估与基础模型相比，modelextensions是否提高了校准的准确性。校准结果也可用于推断EA跳跃分布的信息，在一个简单的例子中，我们将通过校准IBM期权数据获得的估计值与根据其历史分布给出的估计值进行比较。5.1模型校准在我们的校准程序中，我们考虑一组N个普通的看涨期权和看跌期权，其市场价格为^Ci，i=1。。。，N.这些期权具有不同的合同特征，如罢工、到期和期权类型。对于给定的模型，模型参数集由Θ表示。反过来，期权II的模型价格由Ci（Θ）表示。为了校准给定的模型，我们将误差平方和最小化（参见。

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2022-5-7 07:07:55

丹尼斯（1977）；安·德森和安德烈森（2000）；贝茨（1996）；Cont and Tankov（2002））：minΘNXi=1Ci（Θ）-^Ci, （5.1）我们使用最佳出价和最佳询问中间价。此外，我们采用了信赖域反射梯度下降算法（Coleman和Li（1994）；Coleman和Li（1996）），从不同的初始点开始，以确保更好地探索sp ace的参数。虽然我们的数值试验表明所采用的方法会产生有效的校准，但我们注意到，有许多替代的、可能更先进的校准程序可用（参见Cont和Tankov（2002）以及其中的参考文献）。在美国，大多数股票期权都是美国式的。在第6节中，我们将讨论美式期权的定价，但这些方法通常计算量太大，无法与梯度下降法结合使用进行校准，尤其是随着期权和参数数量的增加。相关研究通常通过假设美国选项为欧洲风格来规避这个问题（参见Dubinsky和Johannes（2006）；布罗迪等人（2009年）。相反，我们的程序首先通过Black-Scholes模型下相对快速的美式期权定价器反转美式看跌期权和看涨期权的市场价格。这给了我们观察到的静脉。在tur n中，我们应用了Black Sch-oles欧式看跌/看涨定价公式，波动率参数为观察IV，并推导出了相关的欧式看跌或看涨价格。然后，我们使用生成的价格作为输入，根据模型生成的期权价格进行校准。在我们所有的实验中，我们从OptionMetrics常春藤数据库中获得了截至2013年8月t日的期权价格数据。我们现在给出一个例子，使用扩展的BS、Kou和Heston模型，对EA跳跃进行不同的分布。

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2022-5-7 07:07:59

我们的目标是说明这些模型下校准的IV表面，并将其与经验IV表面进行比较。IBMon，2013年7月15日的经验波动率。这是在IBM于2013年7月17日发布业绩公告的两天前观察到的。最接近的期权到期日是2013年7月19日（星期五）。如前所述，前月IVs显著高于到期日较长的期权。在图8中，我们展示了3个基本模型及其扩展的相关校准IV表面，总共有9个校准模型。表2总结了校准参数。在最初的Black-Scholes模型中，隐含波动率面为FL，取值较高，为28.11%。当我们加入EA跳跃时，在高斯分布和非高斯分布下，股票价格波动率σ的校准值较低。更重要的是，在任何情况下，基础模型都无法在EA之前生成IVB表面的特征形状。在扩展的Heston模型和Kou模型之间，随着成熟度的延长，由Kou模型生成的IV曲面倾向于更加平滑。总的来说，赫斯顿模型似乎能够更准确地再现IV表面，在本例中，与使用DE-EA ju mp相比，使用高斯EA跳跃似乎可以更好地再现IV表面。

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2022-5-7 07:08:02

我们将在第5.3节中进一步比较这两种分布。Black ScholesσeuηBase 28.11%——高斯跳变27.69%7.11%——去跳变21.42%——38.28%23.03 6.3HestonνθζρσeuηBase 3.70 0.05 0.90-0.51 0.05%——高斯跳变4.04 0.05 1.01-0.55 0.03 4.73%——去跳变3.10 0.05 0.05-0.84-0.54 0.03-42.06%34.77 24.95%——λeu pηBaseλeu bηb基高斯跳变变变变4.82%——高斯跳变变变变变变变变变变4.82%跳变0.03%193.6 51.17%998.9 70.0 3.61%--去跳变0.39%85.1 7 9.46%990.3 30.0-98.73%32.9 2.0表2：基于图2中观察到的IV表面的校准参数汇总。图81002030000100200300400500显示了相应的校准IV表面-1.-0.500.511.5隐含波动率1002003001003003004005000.40.50.60.70.8饱和波动率10020030040060000.511.52成熟度冲击波动率1002003001003004005000.10.30.40.5饱和波动率1002003001003004005000.10.20.20.60.6饱和波动率1002003001003004005000.10.20.30.40.50.6饱和波动率10030040060000.20.20.60.8饱和波动率挥发度1002003001003003004005000.180.20.220.240.260.280.3饱和系统简化挥发度10015020002004006000.10.20.30.40.5饱和系统简化挥发度10020030020040060000.20.40.60.81成熟度删除简化挥发度图8：Black Scholes、Heston和Kou模型（分别为第1、第2和第3行）的校准表面，无E跳跃（左列），和高斯（中间）和DE（右）EA跳跃。表2.5.2扩展BS模型下的分析估计器中列出了经校准的模型参数。在扩展BS模型（2.1）中，可以推导模型参数（σ，σe）的分析估计器，如Du binsky和Johannes（2006）所述。我们应用这些估计器来比较通过校准其他模型得到的估计器（见表3）。

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2022-5-7 07:08:06

首先，我们考虑扩展的BS模型，其中EA跳跃是正态分布的。为了校准该模型，必须使用任何一对不同到期日的期权。设σIV（T），σIV（T）分别代表到期日为T的两种期权的隐含波动率。然后，应用（2.4），模型参数（σ，σe）可以通过σts=S（T）来估计- t） σIV（t）- （T）- t） σIV（t）t- T、 σT Se=sσIV（T）- σIV（T）T-T-T-t、（5.2）上标t S表示IV期结构与这些估计值的相关性。我们称之为中性波动率下的风险估计量。我们强调，一组具有相同到期日的两个期权不允许我们单独估计σ和σe，而只能估计总价值σ+σeT-t、或者，可以利用不同时间的期权价格进行参数估计。事实上，假设隐含波动率σIV，tandσIV，tat乘以tand t，当t<t<Te时，我们应用（2.4）得到以下估计量：σts=s（t- t） σIV，t（t）- （T）- t） σIV，t（t）t- t、 σtse=vUtσIV，t（t）- σIV，t（t）t-T-T-t、（5.3）它们被称为时间序列估计器（另见Dubinsky和Johannes（2006））。我们从（5.2）中观察到，必须要求σIV（T）>σIV（T）才能获得精确的估计量。与σt和σtsein（5.3）类似，它们的定义表明σIV，t>σIV，t必须是旧的。在我们的实证测试中，我们发现，在发布盈利公告之前，σIV（T）>σIV（T）总是存在的，但σIV，T>σIV的条件有时会被违反。discus sedin Dubinsky和Johannes（2006）也进行了类似的观察，他们还使用ATMoptions进行了全面的emp-irial测试。我们强调，这些分析估算基于BS模型的特定扩展。

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2022-5-7 07:08:09

由于市场价格不一定由该模型生成，因此分析估计值和校准参数可能不一致。此外，它们还取决于选项的选择，这些选项的IVs是估算公式的输入。另一方面，这些分析估计器的主要优点是，它们可以立即计算出来，并且也可以用于实践（参见Mehra et al.（2014））和相关的stu dies。5.3隐含EA跳跃分布和风险溢价通过选择定价模型，我们的校准程序提取隐含EA跳跃分布。一个有用的应用是比较EAjump的风险中性分布和历史分布。他们的差异将为EA跳跃相关的风险溢价提供一些线索。作为一个例子，让我们考虑一下IBM股票从1994年开始的经验E A跳跃s。我们假设风险中性分布和历史分布都是高斯分布，这便于比较，因为我们只需要估计一个参数，即EA跳跃波动率。在表3中，我们报告了根据1994年到给定日期的数据，用高斯EA ju mpσQe扩展的Heston模型和经验EA跳跃波动率σpex对EA跳跃波动率的估计。为了进行比较，我们还根据（5.2）列出了EA跳跃波动率估值器。我们可以看到，对于每个给定的日期，σPe/σqe的比率非常接近1。这表明，在扩展的Heston模型下，历史和风险中性度量下的EA分布非常相似。另一方面，在本例中，σPe/σT sei的比值较小且小于1，这表明扩展的BS模型将比经验模型具有更高的EA跳跃波动性。

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2022-5-7 07:08:12

综上所述，由扩展Heston模型校准的波动率σqe小于基于扩展的无随机波动率BS模型的期限结构E A跳跃波动率估计量σT sew。日期σPeσQeσPe/σQeσT SeσPe/σT Se18-Jul-12 4.64%4.68%99.3%5.22%89.0%16-Oct-12 4.62%4.18%110.5%4.70%98.4%22-Jan-13 4.62%4.58%100.9%5.71%81.0%18-Apr-13 4.61%4.68%98.5%5.49%84.1%17-Jul-13 4.63%4.61%100.4.76%80.3表3：IBM EA的隐含波动率和历史波动率。对于表中的每个数据，使用1994年至今的价格数据估算了历史波动率σPe。隐含波动率σqe根据扩展的赫斯顿模型进行校准。6美式期权虽然指数期权通常是欧式的，但大多数美国股票期权是美式的。一般来说，美式期权定价问题不允许封闭式公式，因此我们讨论了计算期权价格和行权边界的数值方法。此外，我们还应用欧洲案例的分析结果，在盈利公告之前，对美式期权价格进行了近似计算。6.1美式期权价格和行使边界我们假设股票价格根据扩展的Kou模型演化，并定义了EA跳跃（3.1）。美式期权的价值由a（t，S）=supt确定≤τ≤特内-r（τ）-t）（K）- Sτ）+St=So，t≤ T、（6.1）其中τ是一个停止时间w.r.T.由S.根据动态规划原理生成的过滤，期权价格可以写成（例如，参见（Oksendal，2003，第10章））a（T，S）=supt≤τ≤蒂恩-r（τ）-（t）{τ<Te}（K）-Sτ）++1{τ=Te}ATe，STe-埃兹|St=是的。（6.2）因此，我们看到，对于t<t，该问题相当于根据Koumodel对美式期权进行定价，但具有“终端”支付A.塞兹|STe-= s在时间上。假设t<Te<t，则p.d。Fg（z）。

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