设A（t，S；u）表示美式期权价格，如（6.1）所示，Te=u。然后，wehaveA（t，S；l）≤ A（t，S；u），l≥ u>t.（6.6）因此，随着EA日期的临近，美式期权价格单调下降。因此，A（t，S；t）和A（t，S；t）分别成为美式期权价格A（t，S；u），t的上界和下界≤ U≤ T作为一个有趣的比较，欧洲期权价格完全独立于确切的EA日期，只要是在到期日或之前。在图9（右上方）中，我们展示了美式看跌期权的时间价值，包括不同的公告时间段内的行权、到期日和现货价格。与P-Proposition 6.1一致，Americanput的时间值在Te中确实是单调递减的。为了解决问题（6.3）-（6.4），我们使用了Jackson等人（2008）提出的基于傅里叶变换的方法。除非Te=T或Te=0+，否则我们在（6.3）中向后求解D，执行数值积分，并将其作为问题（6.4）的最终条件，问题（6.4）也在时间上向后求解。图9（左）显示了在具有DEEA跳跃的Kou模型下，不同TEUN值的练习范围，以及其他常见参数。当然，预定的公告会在执行边界中引入一个中断。我们用三个十字架标记EA日期。正如所料，在最长的日期之后，三条边界重合。有趣的是，行权边界在Te附近的一段时间内迅速减小，这意味着期权持有人更有可能等到收益公告，而不是立即行权。这也可以从期权的时间价值上看出来。

在图9（右图和下图）中，我们说明了美国看跌期权的时间价值随着时间接近EA日期而增加，无论是履约价格还是现货价格都是固定的。6.2分析近似Barone Adesi和Whaley（1987）提出的一种分析近似美式期权价格的主要方法是用欧式期权价格加上修正项来表示美式期权价格。修正项被确定为BlackScholes方程的近似解，加上基本边界条件。Kou和Wang（2004）在Kou模型下给出了美式期权价格的解析近似。在这里，我们采用巴龙-阿德西近似，并将其应用于扩展的寇模型。当Te=T时，近似值实际上与原始值相同。让PE（t，S）表示欧洲的pu t pr ice（如命题3.1所示）。美式看跌期权的近似价格类似于Kou和Wang（2004）的价格，由A（t，S）=（PE（t，S）+γS给出-β+γS-β、 如果S>α（t），（K- S） +，如果是≤ α（t），（6.7）美式看跌期权的时间价值定义为- （K）- S） +其中A是卖出价，S是现货价，K是履约价。在现货价格固定的情况下，不平等性（6.6）也适用于相应的时间值。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.3565707580859095100时间点价格0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.1600.020.040.060.08时间点-值0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.32.9833.023.04 t时间-数值图9：左图：当茶水消耗不同数值时，美国人会将运动边界设定为Te=1、2、3个月。右图：当技术发生变化时，带点击的看跌期权（顶部）的时间值设定为99.79美元，当Te=2个月且时间t发生变化时，带点击的看跌期权（底部）的时间值设定为100美元，带点击的看跌期权（底部）的时间值设定为87.33美元。

参数s:r=0.02，T=4个月，σ=0.1，κ=252，p=0.5，λ=300，λ=300，u=0.5，η=30，η=30，正常数γ≡αββ- ββK- （1+β）（α+PE（t，α））+Ke-r（T）-t） q（α（t））, (6.8)γ≡αββ- ββK- （1+β）（α+PE（t，α））+Ke-r（T）-t） q（α（t））, （6.9）其中q（s）≡ Q{ST≤ K | St=s}，和β1,2,0<β<λ<β<∞, 这是方程式的两个正解- E-r（T）-t） =βmκ-σ- R+σβ+ κpλ+β+（1）- p） λ- β- 1.. （6.10）同样，α（t）∈ [0，K]是方程K的解- c（α（t）+PE（t，α（t））=（c- c） 柯-r（T）-t） q（α（t）），（6.11），其中c=ββ（1+λ）和c=λ（1+β）（1+β）。PE（t，S）和q（S）的解析表达式可直接从命题3.1中获得。与Kou和Wang（2004）中给出的公式（见公式（7））不同，PE（s，t）、q（α（t））、γ1,2和α的计算解释了EA跳跃r.v.Ze（见附录A.6）。当t≤ Te<T，我们可以使用与推导上述近似值相同的方法，将美式期权写成A（T，S）=Ene-r（Te）-t） ~A（Te，STe）|St=So+（t，S）。的函数形式是相同的，（t，S）=γS-β+γS-β、 因为它来自同一个PIDE（见Ap pendixA.6）。在相应地调整时间参数后，常数β和β实际上是方程（6.10）的解。如果EA跳转即将发生（Te=t+），我们需要评估预期enAt+，SeZeo、 wher e S是时间t时的库存p大米。

从（6.7）开始，这相当于计算^+∞-∞PE（t+，Sez）+γe-βzS-β+γe-βzS-β{Sez>α}+（K-经济特区）1{Sez≤α}fZe（z）dz（6.12）K\\TeT-2D 1.5M 3D T 0-T-1.10.10 0 0 0.10 0 0 0.10 0 0 0.10 0 0 0.10 10 0 0 0.10 10 10 0 0 0.10 10 0 0 0.10 0 0 0.10 0 0 0 0.10 0 0 0 0 0.10 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.60 2.63 2.54 2.62 2.537.35 7.39 7.40 7.36 7.38 7.32 5.68 5.815.91 5.70 5.91 5.6611.07 11.11 11.14 11.06 11.11 10.98 10.01 10.10 10.10.28 10.03 10.30 9.8715.36 15.40 15.45 15.35 15.42 15.20 15.00 15.00 15.00 15.08 15.00 15.10 14.5720.07 20.14 20.04 20.13 19.77 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.01 20.00 20.04 19.45表4：扩展Kou模型下的美式看跌期权价格与DE EA跳跃。“FST”列显示了通过傅里叶变换方法计算出的三种不同TEA值的价格，有效期T=3个月。扩展巴龙-阿德西近似值（6.7）和（6.12）在“BAL”和“BAU”列下给出。“EU”列显示了相应的欧式卖出价格（见（3.2））。前6列用模型参数计算：S=100，r=0.02，σ=0.2，κ=2 52，p=0.5，λ=300，λ=300，u=0.5，η=30，η=30。最后6根柱的S=100，r=0.02，σ=0.07，κ=200，p=0.5，λ=350，λ=350，u=0.5，η=25，η=25。式中，α、γ1,2和β1,2由（6.8）-（6.11）确定。请注意，在时间t处，没有自A（t，S）起的行权边界≥ （K）- S） +由于詹森的不平等。在具有双指数E A跳跃的扩展Kou模型中，可以在类似于命题3.1的情况下获得半闭公式。在表4中，我们给出了在扩展Kou模型下，不同行使次数和到期日的美式看跌期权价格的数值结果。

我们将从四个ier变换方法计算的价格与分析近似值（6.7）和（6.12）进行比较。对于模型参数、罢工和到期日的不同选择，当~ t还是Te~ T对于第二个s etof参数（最后6列），EA跳跃对期权价格的影响更大，因为跳跃的尾部更胖，而动态的其他部分的波动性更低。在这种情况下，不同TEI值的“真实”价格之间的差异会增加，两种近似值之间的差异也会增加，当TEI不接近t或t时，这两种近似值可能不适合近似货币期权的期权值。附录在这个附录中，我们提供了一些详细的证明和公式。A.1公式（3.2）的细节在本节中，我们在（3.2）中明确地写出了函数Υ的表达式。为了便于记法，我们将作为Υ输入的参数称为向量Θ≡ (θ, ..., θ). 此外，设Θ是向量Θ的一个置换，其中只有第8和第9个分量（随机定时跳转的参数）被切换。

函数Υ由Υ（Θ）给出=∞Xn=0（θ）ne-θn！Zn（Θ），（A.1），其中Zn（Θ）=θnXl=0（Pn，lT1，n（k，Θ）+Qn，lT2，n（k，Θ））+θnXl=0（Pn，lT3，n（k，Θ）+Qn，lT4，n（k，Θ）），k=logθθ-θ-θ- mκθ- α、 m=pλ- 1+qλ+1- 1，T1，n+1（s，Θ）=θ-θT1，n（s，Θ）- θe（θ）θ√2πθpθ宁s-θ, -θ√θ, -θpθ,T2，n+1（s，Θ）=θ+θT2，n（s，Θ）+θe（θ）θ√2πθpθ宁sθ,θ√θ, -θpθ,T3，n+1（s，Θ）=1- T2，n+1-s、 Θ, T4，n+1（s，Θ）=1- T1，n+1-s、 Θ,T1,0（s，Θ）=T2,0（s，Θ）=θe（θ）θ/2√2πIs-θ, -θ√θ, -θpθ,T1,1（s，Θ）=θ-θe（θ）θ√2πIs-θ,-1θ√θ, -θpθ-e（θ）θ√2πIs-θ,-1θ√θ, -θpθ,T2,1（s，Θ）=θ-θe（θ）θ√2πIs-θ,-1θ√θ, -θpθ-e（θ）θ√2πIs-θ,-1θ√θ, -θpθ,Pn，m=n-1Xi=mN- M- 1i- M镍θθ+ θ我-Mθθ+ θN-iθi（1）- θ） n-i、 Qn，m=n-1Xi=mN- M- 1i- M镍θθ+ θN-我θθ+ θ我-mθn-i（1）- θ） i，Pn，n=θn，Qn，n=（1）- θ） n，P0,0=1，Q0,0=0，Hhn（x）=n（Hhn-2（x）- xHhn公司-1（x）），Hh（x）=^-十、-∞E-t/2dt，In（k；α，β，δ）=-eαkαHhn（βk- δ） +βα-1.我-1（k；α，β，δ）=√2πβeαΔβ+α2βΦ-βk+δ+αβ如果β>0α6=0，-Φβk- δ -αβ如果β<0α<0。正如这些定义所表明的，公式的实施涉及函数的连续计算，然后是（a.1）中必须截断的求和。为了控制错误或错误，我们通知≤ 2和误差界Υ（Θ）-MXn=0（θ）ne-θn！锌（Θ）≤ 2.∞Xn=M+1（θ）ne-θn！=2.- 2MXn=0（θ）ne-θn！≡ （θ，M）。这可以直接从A.2中提出的命题3.1的证明中得到验证。因此，如果我们在第m项截断（3.2）中的总和，则会给出上边界f或误差-αS（（m+1）κT，m）+e-rTK（κT，M）。这可以快速计算，并用于将误差限制在预先需要的小数点位。例如，取S=K=100，T=1，误差容限为0.01。

然后，用κ≈ 100，m，α<0.001，我们得到m=143。A.2命题的证明3.1为了给欧式看涨期权定价，我们需要评估术语Q{ST>K}和EeST{ST>K}.我们首先陈述一些有用的事实（参见Kou（2002）的证据）。引理A.1。定义两个i.i.d.指数r.v.，即J+i~ Exp（λ），J-我~ Exp（λ）。为了埃弗林≥ 1，我们有nxi=1Jid=（Pmi=1J+i，w.p.Pn，m，Pmi=1J）-i、 w.p.Qn，m，其中pn，m=n-1Xi=mN- M- 1i- M镍λλ+ λ我-Mλλ+ λN-ipiqn-i、 Qn，m=n-1Xi=mN- M- 1i- M镍λλ+ λN-我λλ+ λ我-mpn-像质计，Pn，n=Pn，Qn，n=Qn，P0,0=1，Q0,0=0，q=1- p、 接下来，每n≥ 0，我们定义了函数shhn（x）=^∞xHhn公司-1（y）dy=n！^∞x（t）- x） 东北-tdt，Hh-1（x）=e-x/2，Hh（x）=^∞xe-tdt=√2πΦ (-x） 式中，Φ（x）表示标准的正常c.d.f.此外，f或n≥ 0，定义积分（k，α，β，δ）=^∞keαxHn（βx- δ） dx。引理A.2。（i） 如果β>0且α6=0，则对于所有n≥ -1，我们有（k，α，β，δ）=-eαkαnXi=0βαN-iHhi（βk- δ) +βαn+1√2πβeαΔβ+α2βΦ-βk+δ+αβ.Hh函数可以使用以下任一事实进行计算：Hhn=2-N√πe-十、Fn+1,x√2Γ1+n - xFn+1,xΓn+1,nHhn（x）=Hhn-2（x）- xHhn公司-1（x），n≥ 1，其中f表示反超几何函数，Γ表示伽马函数。（ii）如果β<0和α<0，则对于所有n≥ -1，我们有（k，α，β，δ）=-eαkαnXi=0βαN-iHhi（βk- δ) -βαn+1√2πβeαΔβ+α2βΦβk- δ -αβ.特别是，我-1（k；α，β，δ）=√2πβeαΔβ+α2βΦ-βk+δ+αβ如果β>0，α6=0，-Φβk- δ -αβ如果β<0，α<0。此外，在上述参数α和β的假设（i）或（ii）下，函数（In）满足递归关系（k；α，β，δ）=-eαkαHhn（βk- δ） +βα-1（k；α，β，δ）。在扩展的Kou模型中，我们需要了解随机时间和EA跳跃的双指数分布和的分布。因此，我们考虑相关的p.d.fs、 引理A.3。让Z+e，Z-艾比身份证。

指数r.v.，Z+e，~ Exp（η），Z-E~ Exp（η）。此外，letJ+i，J-i、 Z+e，Z-埃比独立。那么，我们有fPnj+i+Z+e（t）=λ-η!N安（t）e-λt+Bn（t）e-ηt, t>0，λ6=η，（A.2）f-PnJ-i+Z+e（t）=λ+η！nCn（t）eλmin（0，t）-ηmax（0，t），t∈ R、 λ6=η（A.3），其中fy表示Y的p.d.f，bn（t）=- η-（n）-1） ，An（t）=1+n-1Xiη-（一）-1)λ-ηN-iλn-i（t）n-i（n）- i） ！，t>0，Cn（t）=Cn-1（t）λ+λn-1（最大（0，t）- t） n-1（n）- 1)!, T∈ R.此外，它们满足以下递归关系：fPn+1J+i+Z+e（t）=λ（λ- η)fPnJ+i+Z+e（t）- λn（t）nn！ηe-λt, （A.4）f-Pn+1J-i+Z+e（t）=λ+ηF-PnJ-i+Z+e（t）+λn（max（0，t）- t） nn！ηeλte-（λ+η）最大值（0，t）. （A.5）证据。我们首先注意到，正r.v.，J+i+Z+e，具有p.d.f.^tλe-λ（t）-x） ηe-ηxdx=λ-ηE-λt- E-ηt≡λ-η!A（t）e-λt+B（t）e-ηt, t>0，λ6=η。现在假设一个固定的n≥ 1，fPnJ+i+Z+e（t）=λ-ηN安（t）e-λt+Bn（t）e-ηt, 我们得到了fpnj+i+Z+e（t）=^tλn（t）- x） n-1（n）- 1)!E-λ（t）-x） ηe-ηxdx=λn（t）nn！ηe-λt+（λ- η） λfPn+1J+i+Z+e（t）==> fPn+1J+i+Z+e（t）=λ（λ）- η)fPnJ+i+Z+e（t）- λn（t）nn！ηe-λt=λ-η!n+1An+1（t）e-λt+Bn+1（t）e-ηt,其中，满足系数Bn+1=ηBn，An+1=η- Cn+1，Cn+1=λ-ηnλn（t）nn！，Bn=- η-（n）-1） ，An=1+n-1Xiη-（一）-1)λ-ηN-iλn-i（t）n-i（n）- i） ！，这就产生了（A.2）。接下来，我们注意到实值r.v。-J-i+Z+ehas p.d.f.^∞max（0，t）λeλ（t-x） ηe-ηxdx=eλmin（0，t）-ηmax（0，t）λ+η，t∈ R、 λ6=η。对于固定的n≥ 1，假设在f-PnJ-i+Z+e（t）=λ+ηnCn（t）eλmin（0，t）-ηmax（0，t），那么我们得到f-PnJ-i+Z+e（t）=^∞最大（0，t）λn(-t+x）n-1（n）- 1)!eλ（t）-x） ηe-ηxdx=-λn（最大值（0，t）- t） nn！ηeλte-（λ+η）max（0，t）+（λ+η）λf-Pn+1J-i+Z+e（t）==> F-Pn+1J-i+Z+e（t）=λ+ηF-PnJ-i+Z+e（t）+λn（max（0，t）- t） nn！ηeλte-（λ+η）最大值（0，t）≡λ+η!n+1Cn+1（t）eλmin（0，t）-ηmax（0，t）。匹配项产生Cn+1（t）=Cn（t）λ+λn（max（0，t）-t） nn！。我们现在计算正态r.v.和双指数之和的分布。提议A.4。Le t W~ N0，σ.

然后，我们得到了p.d.f.：fW+Pn+1i=1J+i+Z+e（t）=λλ- ηnηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση+ （A.6）-nXi=1λλ- ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλiE-λtHhi-tσ+σλ, t>0，λ6=η，fW-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）=λλ+ ηnηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση+ （A.7）+nXi=1λλ+ ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλieλtHhitσ+σλ, T∈ R、 λ6=η。此外，它们承认递归关系：fW+Pn+1i=1J+i+Z+e（t）=λ- ηfW+Pni=1J+i+Z+e（t）- ηe（σλ）√2π（σnλn）e-λtHhn-tσ+σλ, （A.8）fW-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）=λ+ηfW-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）+ηe（σλ）√2π（σnλn）eλtHhntσ+σλ. （A.9）证据。我们从p.d.f.f或W+Z+e开始：fW+Z+e（t）=ηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση.使用（A.4），我们还写了efw+Pn+1i=1J+i+Z+e（t）=^t-∞fPn+1J+i+Z+e（t- x） e-x2σ√2πσdx=λ- ηfW+Pni=1J+i+Z+e（t）- ηe（σλ）√2π（σnλn）e-λtHhn-tσ+σλ,这直接导致了tofW+Pn+1i=1J+i+Z+e（t）=λλ- ηnηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση+-nXi=1λλ- ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλiE-λtHhi-tσ+σλ.为了证明（A.7），我们应用（A.5）得到递归表达式fw-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）=^Rf-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）- x） e-x2σ√2πσdx=λ+ηfW-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）+ηe（σλ）√2π（σnλn）eλtHhntσ+σλ,可以明确地写为fw-Pn+1i=1J-i+Z+e（t）=λλ+ ηnηe（ση）√2πe-ηtHh-tσ+ση++nXi=1λλ+ ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλieλtHhitσ+σλ.我们现在可以计算尾部概率，从而为看涨期权定价。提案A.5。Le t FX（z）≡ Q{X≤ z} 。那么，FW+Pn+1i=1J+i+Z+e（Z）=λλ-ηnηe（ση）√2πIZ-η, -σ, -ησ+ （A.10）-nXi=1λλ- ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλi二、Z-λ, -σ, -λσ, z>0，λ6=η，FW-Pn+1i=1J-i+Z+e（Z）=λλ+ ηnηe（ση）√2πIZ-η, -σ, -ση+ （A.11）+nXi=1λλ+ ηN-i+1ηe（σλ）√2πσiλi在里面z、 λ，σ，-σλ, Z∈ R、 λ6=η，此外，这些c.d.f.允许以下递归关系：FW+Pn+1i=1J+i+Z+e（Z）=λ（λ- η)FW+Pni=1J+i+Z+e（Z）- ηe（σλ）√2π（σnλn）InZ-λ, -σ, -λσ,（A.12）FW-Pn+1i=1J-i+Z+e（Z）=λ+ηFW-Pn+1i=1J-i+Z+e（Z）+ηe（σλ）√2π（σnλn）Inz、 λ，σ，-σλ. （A.13）证据。

通过积分（A.6）、（A.7）、（A.8）、（A.9）中给出的相应密度，并考虑Hh和I函数的定义，可以得出上述表达式。我们注意到，尽管我们没有提供尾概率公式FσWT+Pmi=1^J+i-^Z-eandFσWT-Pmi=1^J-我-^Z-ewe指出，它们可以通过对称性来推导。例如，我们有fσWT+Pmi=1^J+i-^Z-e（s）=1- FσWT-Pmi=1^J+i+Z-e(-s） 。事实上，这些c.d.f.在定价公式中显示为第A.1节中定义的函数Ti，j。我们现在给出了看涨期权价格的公式。回想一下，买入价可以写为asC=SEe(-σ-αT-κζ）T+σWT+PNTi=1Ji+Ze{ST>K}|S=S- E-rTKQ{ST>K|S=S}。（A.14）利用上述结果，我们可以写出eq{ST>K|S=S}（A.15）=∞Xn=1Q{NT=n}Q（σWT+nXiJi+Ze>logKS-R-σ-αT- κζ（T）=∞Xn=1κne-κn！unXm=1Pn，mQ（σWT+mXiJ+i+Z+e>k）+Qn，mQ（σWT-mXiJ-i+Z+e>k）++wnXm=1Pn，mQ（σWT+mXiJ+i- Z-e> k）+Qn，mQ（σWT）-mXiJ-我- Z-e> k）！=∞Xn=1κne-κn！“unXm=1（Pn，mT1，n（k，Θ）+Qn，mT2，n（k，Θ））+wnXm=1（Pn，mT3，n（k，Θ）+Qn，mT4，n（k，Θ）），其中k≡ 日志KS-R-σ-κζT- α.仍然需要计算σWT+PNTi=1Ji+Ze{ST>K}|S=So（A.16）=∞Xn=1（κT）ne-κTn！unXm=1Pn，mEneσWT+Pmi=1J+i+Z+e{σWT+Pmi=1J+i+Z+e>k}o+（A.17）+unXk=1Qn，kEneσWT-Pmi=1J-i+Z+e{σWT-Pmi=1J-i+Z+e>k}o+（A.18）+wnXk=1Pn，kEneσWT+Pmi=1J+i-Z-e{σWT+Pmi=1J+i-Z-e> k}o+（A.19）+wnXk=1Qn，kEneσWT-Pmi=1J-我-Z-e{σWT-Pmi=1J-我-Z-e} o. （A.20）为了计算（A.17）中的期望值，我们使用了Prop中的p.d.f。A.4写出σWT+Pmi=1J+i+Z+e{σWT+Pmi=1J+i+Z+e>k}o==^∞k^Ret-xe-（t）-x） 2σT√2πσT^Rex-yfPmi=1J+i（x- y） eyfZ+e（y）dydxdt=^∞k^ReσTe-（t）-十、-σT）2σT√2πσT^Rλλ- 1.mfPmi=1^J+i（x- y） ηη-1f^Z+e（y）dydxdt=eσTλλ- 1.mηη- 1QσWT+mXi=1^J+i+^Z+e>k- σT！=eσTλλ- 1.mηη- 1FσWT+Pmi=1^J+i+^Z+eK- σT, （A.21）其中^J+i~ Exp（λ）- 1） 和^Z+e~ Exp（η）- 1). 对于术语（A.18）、（A.19）和（A.20），可以找到类似于（A.21）的E x压力。

替换这些表达式并重新排列术语，我们得到e(-σ-αT-κζ）T+σWT+PNi=1Ji+Ze{ST>K}|S=S= E-α∞Xn=1（^κT）ne-^κTn！^unXk=1^Pn，kT1，n（k，Θ）+^Qn，kT2，n（k，Θ）+ ^wnXk=1^Pn，kT3，n^k，Θ+^Qn，kT4，n^k，Θ!,式中，^Pn，k，^Qn，kare计算为Pn，k，Qn，kbut，参数^η1,2，^λ1,2代替η1,2和λ1,2。此外，泊松强度参数也被转化为^κ≡ （m+1）κ，其中m=pλ-1+qλ+1-1.最后，将（A.15）和（A.16）的表达式替换为（A.14）得出结论。A.3命题4.1和命题4.2的证明命题4.1的第一部分遵循fr om Jensen不等式，即C（t，s）≥ 埃尼-rτSerτ+Ze- K+o=^R+CBSτ、 S；^σ√τ、 K，rG（d^σ）≥ 哥伦比亚广播公司τ、 S；^σmin√τ、 K，r, （A.22）式中τ≡ T- t、 在（A.22）中，等式来自条件期望的tower性质，最后一个不等式来自CBSw的单调性。r、 t.波动率参数σ。命题的第二部分也以类似的方式得到了证明。为了证明命题4.2，我们首先观察到C（t，S）=^R+×R+CBSτ，S；r~σ+^στ，K，r！H（dσ）G（dσ）。对于ATM远期期权，即K=erτS，我们注意到Black-Scholes价格在其波动性参数σ中是凹的。因此，通过Jensen不等式，我们得到了上界C（t，s）≤ CBSτ，S；s^R+^∑τH（d∑）+^R+^∑τG（d^σ），K，R！。A.4命题4.4和命题4.5的证明命题4.4和命题4.5是Benaim和Friz（2008）提出的更一般结果的应用。用M（ω）表示≡ EeωXr.v.X的m.g.f.以及第4节中提到的f及其c.d.f.，如果r*≡ inf{ωs.t.M（ω）<∞} 比lim supx更明确→∞-日志（1）-F（x））x=r*.

反过来，如果Fis表现良好，lim sup可以由lim和尾部渐近线代替-日志（1）-F（x））x~ R*x、 伴随着条件r*> 1足以提供隐含挥发性i（t；K，t）（t）的渐近性- t） 日志KSt~ ξ（p*), 作为K→ ∞;参见Benaim and d Friz（2008）的定理9和10，了解该结果和相关技术条件。一个对称的论点适用于F和波动率的负尾。因此，考虑到扩展的Kou和Heston模型下的原木股价允许一个m.g.f，仍需证明-日志（1）-F（x））x~ R*x、 Benaim和Friz（2008）中的定理7和定理8为允许m.g.f.的模型提供了充分的条件，以确保此类条件成立。这个人是个骗子。g、 X的f.M≡ 日志STSt在扩展的赫斯顿模型（3.3）下，给定σt=σ，满足度m（ω）=C+ωD-νθζ2log1- 通用电气-d（T）-t） 一,- g！+d（T）- t） !+ν - ρζω - dζ1- E-d（T）-t） 一,- 通用电气-d（T）-t） σ+ψe（ω），其中g=ν- ρζω - dν- ρζω+d，d=q（ν）- ρζω)+ ζ(ω - ω） ，ψe（ω）=loguηη- ω+wηη+ω,其中C和D是常数。很明显，我们有r*= min{p，η}，当ep是1的最小正解时- 通用电气-d（T）-t） |ω=p=0。反过来，最后一个等式等于ν- ρζp+q（ν）- ρζp）+ζ（p- p） 科思（T）- t） q（ν）- ρζp）+ζ（p- p）= 注意，当r*= p、 ω的支配项→ p是ν-ρζωi-dζ1-E-d（T）-t） 一,-通用电气-d（T）-t） σ。使用l\'Hopital\'srule，它遵循- ω1 - 通用电气-d（T）-（t）→ 常数，如ω→ P-.这意味着-ρζω-dζ1-E-d（T）-t） 一,-通用电气-d（T）-t） σ是指数1作为p的函数有规律地变化-满足Benaim和Fr iz（2008）中定理8的ω和判据*= η、 我们拥有（η）-z）~ uηz-1as z→ 0+，因此满足Benaim和Friz（2008）中定理7的标准I。负尾也有类似的论点。现在考虑一下m.g.f。

X的≡ 日志STSt在扩展的Kou模型下：logM（ω）=μω+σω+κpλ- ω+ (1 - p） λ+ω- 1.+ 日志uηη-ω+ (1 - u） η+ω,其中μ是一个常数。该m.g.f.通过r*= min{λ，η}，和（logM（λ- z）~ κpλz-1as z→ 0+如果λ≤ η、 M（η）-z）~ uηz-1as z→ 如果λ>η，则为0+。因此，满足Benaim和Friz（2008）中定理7和8的标准I或II（取决于wλ>η与否）。对于负尾也有类似的观点。A.5命题证明6.1设定A（t，S；u）为收益公告预定时间Te=u，t<u时的美国卖出价≤ T我们的目标是展示A（t，S；u）≥ A（t，S；l），表示t<u≤ l、 W.l.o.g.，设t=0并写入a（S；l）≡ A（0，S；l）。设Xs=log（Ss/S）-1{s≥Te}Zebe不包括EA跳跃的原木股价，用（Fus）0表示≤s≤T（分别为Fls）0≤s≤T） 由Te=u（分别为Te=l）的S生成的过滤。关于Heston m.g.f.的推导，请参见，例如del Bano Rollin等人（2009年）。对于s<u或s，Fls=fus≥ l、 和Fls 福斯，为了你≤ s<l。因此，停止时间的集合w.r。To Fu和Fl分别由Tuan和Tl表示，满足Tl Tu.因此，对于任何停止时间τ的候选人∈ Tl，我们到了-rτK- 性τ+1{τ≥u} 泽+|Fll-o（A.23）=En{τ<l}e-rτK- 性τ+1{τ≥u} 泽+|Fll-o+En{τ≥l} e-rτK- 性τ+1{τ≥u} 泽+|Fll-o（A.24）≥ En{τ<l}e-rτK- 性τ+|Fll-o+En{τ≥l} e-rτK- 性τ+1{τ≥l} 泽+|Fll-o（A.25）=Ene-rτK- 性τ+1{τ≥l} 泽+|Fll-o、 （A.26）这种不平等现象如下。在（A.24）的第一个术语中，鉴于Fll中的信息-在{τ<l}上，已知τ和Xτ的值，我们应用Jens-en不等式得到（A.25）中的第一项。此外，由于τ≥ l意味着τ≥ u、 （A.24）和（A.25）的第二项相等。

最后一个等式来自以下事实：1{τ≥l} 在{τ<l}上=0。反过来，考虑（A.23）和（A.26）中的期望，并最大化双方对Tl的期望，我们得到A（S；u）≥ supτ∈特琳-rτK- 性τ+1{τ≥u} 泽+o≥ A（S；l），其中，收益率不平等性源自包含Tl Tu.A.6 Barone Adesi近似这里我们给出了近似公式（6.7）的推导简图。这些论点改编自Barone Adesi和Whaley（1987）以及Kou和Wang（2004）。我们首先写a（t，S）=PE（t，S）+（t，S），其中，PE是带有EA跳跃的欧洲看跌期权，是一个修正项。注意，使用命题3.1中的结果计算Pe。在延拓域中，必须满足与PEand A，namelyr（t，S）相同的PI-DEas- t（t，S）- L（t，S）=0，（A.27），其中运算符L在（6.5）中定义。Barone Adesi and Whaley（1987）中的近似概念是删除tin（A.27）。这包括让（t，S）≡ g（z，S）z，带z≡ 1.-E-r（T）-t） ，在上述PIDE中替换，并忽略术语（1- z） 广州。这导致了OIDErz（t，S）- L（t，S）=0。（A.28）虽然（A.28）在延续区域中成立，但在行使原因中，我们有（t，S）=K-s-体育（t，S）。继Kou和Wang（2004）之后，我们考虑ansatz（t，S）=（γ（t）S-β+γ（t）S-β、 S>α（t），K- s- 体育（t，S），S≤ α（t），其中α（t）是时间t的边界。如果β1,2是6.10的两个正解，且ifKλ，则可以直接验证ansatz解出了OID（A.28）-α（t）1+λ-^-∞PE（t，αey）eλydy=γ（t）α-βλ- β+γ（t）α-βλ- β、 （A.29）反过来，我们施加连续且平滑的粘贴条件。第一个条件得到（6.11），第二个条件连同（A.29）得到（6.8）和（6.9）中的常数γ和γ。参考文献Andersen，L.和Andreasen，J.（2000）。跳跃扩散模型：波动率微笑拟合和定价的数值方法。

衍生品研究综述，4:231–262。Barone-Ades i，G.和Whaley，R.（1987年）。美式期权价值的有效分析近似。《金融杂志》，17（2）：301-320。Barth，M.，Johnson，T.，and So，C.（2011）。收益公告新闻动态：来自期权价格的证据。工作文件。贝茨，D.（1996）。跳跃和随机波动：德国马克期权中隐含的汇率过程。金融研究回顾，9（1）：69-107。Benaim，S.和Friz，P.（2008）。微笑渐近II：具有已知矩母函数的模型。应用概率日志，45（1）：1-291。Benaim，S.，Friz，P.，和Lee，R.（20-12）。在Black-Scholes模型中，极端冲击下的隐含波动性。Cont，R.主编，《定量金融前沿：波动性和信用风险建模》，第19-45页。威利父子公司。Bensoussan，A.和Lions，J.（1984）。脉冲控制与拟变分不等式。高蒂尔·维拉斯。M.比林斯和R.詹宁斯（2011）。期权市场预期收益公告中的信息内容。会计学研究回顾会议版本，16:587–619。布莱克，F.和斯科尔斯，M.（1973）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81:637-654。布罗迪，M.，切尔诺夫，M.，和乔·汉内斯，M.（2009）。了解指数期权的回报。《金融研究回顾》，22（11）：4493-4529。卡尔，P.，杰曼，H.，马丹，D.，和约尔，M.（2002）。资产收益的最终结构：一项实证调查。商业杂志，75（2）：305-332。卡尔，P.和马丹，D.（1999年）。期权定价和快速傅立叶变换。计算金融杂志，2:61-73。A.查特拉、R.克里斯蒂·戴维和K.李（2009）。新闻逆转的威力有多大？：来自未来市场的证据。期货市场杂志，29:42-73。Chordia，T.和Shivakumar，L.（2006年）。收益和价格走势。

《金融经济学杂志》，80（3）：627-656。科尔曼，T.和李，Y.（1994）。关于有界大范围非线性极小化问题的反射牛顿法的收敛性。数学规划，67，2:189-224。科尔曼，T.和李，Y.（1996）。一种有界非线性极小化的内部信赖域方法。暹罗优化杂志，6:418–445。Cont，R.和Tankov，P.（2002年）。跳跃扩散期权定价模型的校准：一种稳健的非参数方法。工作文件。Cont，R.和Voltchkova，E.（2005年）。跳跃微分和指数微分模型中期权定价的有限差分方案。暹罗数值分析杂志，43:1596-1626。德尔巴诺·罗林，S.，费雷·伊罗·卡斯蒂利亚，A.，和乌特泽特，F.（2009）。对赫斯顿特征函数的新认识。预印本。丹尼斯·J.（1977）。非线性最小二乘和方程。Jacobs，D.主编，《数值分析的最新进展》，第269-312页。麦克出版社。Donders，M.和Vorst，T.（1996年）。企业特定新闻对IVs的影响。《银行与金融杂志》，20:1447–14 61。Dubinsky，A.和Jo hannes，M.（2006）。基本面不确定性、盈利公告和股票期权。工作文件。杜菲，D.，J.P.和辛格尔顿，K.（2000）。转换分析和期权定价，实现跳跃式差异。《计量经济学》，68:1343–1376。Isakov，D.和Perignon，C.（2001年）。围绕收益公告的市场不确定性演变。《银行和金融杂志》，25:1769-1788。K.杰克逊、S.杰蒙加尔和V.苏尔科夫（2008年）。用L’evy模型进行期权定价的傅里叶时空步进法。计算金融杂志，12（2）：1-29。Kou，S.（2002）。期权定价的跳差模型。《管理科学》，48:1086-1101。寇、S.G.和王，H.（2004）。双指数跳跃扩散模型下的期权定价。管理科学，50（9）：1178-1192。Lee，R.（2004）。

转换方法下的期权定价：扩展、统一和误差控制。《计算金融杂志》，7:51-86。Lee，S.和Mykland，P.（2008年）。金融市场的跳跃：一种新的非参数检验和跳跃动力学。金融研究综述，21（6）：2535-2563。洛德·R.、方·F.、伯沃伊特·F.、奥斯特勒·e·C·W.（2008）。一种基于FFT的快速精确方法，用于求解L’evy过程下的优先期权。SIA M科学计算杂志，30（4）：1678-1705。Madan，D.，Carr，P.，和Chang，E.（1998年）。方差伽马过程和期权定价。《欧洲金融评论》，2（8）：79-105。Maheu，J.和McCurdy，T.（2004年）。新闻到达、跳跃动态和波动性构成了个人股票收益率。《金融杂志》，59:755-793。梅赫拉，A.，科拉诺维奇，M.，和卡普兰，B.（2014）。收益和期权波动监测。技术报告，摩根大通。默顿，R.（1973）。比率期权定价理论。贝尔经济与管理科学杂志，4:141–183。默顿，R.（1976）。基础股票收益不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》，3:125-144。Oksendal，B.（2003年）。随机微分方程：应用简介。斯普林格。Patell，J.和Wolfson，M.（1981年）。季度收益公告的事前和事后价格影响反映在期权和股票价格中。会计研究杂志，19:434-458。帕特尔，J.和沃尔夫森，M.（1984年）。根据收益和股息公告调整股价的日内速度。《金融经济学杂志》，13:223-252。皮亚泽西，M.（2005年2月）。Bond收益率和Feder al储备。《政治经济学杂志》，113:311–344。雷布尔，S.（2000）。金融中的勒维过程：理论、数字和经验事实。弗莱堡大学博士论文。罗杰斯，J.，斯金纳，D.，和范巴斯柯克，A.（2009）。盈利导向和市场不确定性。

《会计和经济学杂志》，48:90-109。参考文献Andersen，L.和Andreasen，J.（2000）。跳跃扩散模型：波动率微笑拟合和定价的数值方法。衍生品研究综述，4:231–262。Barone-Ades i，G.和Whaley，R.（1987年）。美式期权价值的有效分析近似。《金融杂志》，17（2）：301-320。Barth，M.，Johnson，T.，and So，C.（2011）。收益公告新闻动态：来自期权价格的证据。工作文件。贝茨，D.（1996）。跳跃和随机波动：德国马克期权中隐含的汇率过程。金融研究回顾，9（1）：69-107。Benaim，S.和Friz，P.（2008）。微笑渐近II：具有已知矩母函数的模型。应用概率日志，45（1）：1-291。Benaim，S.，Friz，P.，和Lee，R.（20-12）。在Black-Scholes模型中，极端冲击下的隐含波动性。Cont，R.主编，《定量金融前沿：波动性和信用风险建模》，第19-45页。威利父子公司。Bensoussan，A.和Lions，J.（1984）。脉冲控制与拟变分不等式。高蒂尔·维拉斯。M.比林斯和R.詹宁斯（2011）。期权市场预期收益公告中的信息内容。会计学研究回顾会议版本，16:587–619。布莱克，F.和斯科尔斯，M.（1973）。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81:637-654。布罗迪，M.，切尔诺夫，M.，和乔·汉内斯，M.（2009）。了解指数期权的回报。《金融研究回顾》，22（11）：4493-4529。卡尔，P.，杰曼，H.，马丹，D.，和约尔，M.（2002）。资产收益的最终结构：一项实证调查。商业杂志，75（2）：305-332。卡尔，P.和马丹，D.（1999年）。期权定价和快速傅立叶变换。计算金融杂志，2:61-73。A.查特拉、R.克里斯蒂·戴维和K.李（2009）。

新闻逆转的威力有多大？：来自未来市场的证据。期货市场杂志，29:42-73。Chordia，T.和Shivakumar，L.（2006年）。收益和价格走势。《金融经济学杂志》，80（3）：627-656。科尔曼，T.和李，Y.（1994）。关于有界大范围非线性极小化问题的反射牛顿法的收敛性。数学规划，67，2:189-224。科尔曼，T.和李，Y.（1996）。一种有界非线性极小化的内部信赖域方法。暹罗优化杂志，6:418–445。Cont，R.和Tankov，P.（2002年）。跳跃扩散期权定价模型的校准：一种稳健的非参数方法。工作文件。Cont，R.和Voltchkova，E.（2005年）。跳跃微分和指数微分模型中期权定价的有限差分方案。暹罗数值分析杂志，43:1596-1626。德尔巴诺·罗林，S.，费雷·伊罗·卡斯蒂利亚，A.，和乌特泽特，F.（2009）。对赫斯顿特征函数的新认识。预印本。丹尼斯·J.（1977）。非线性最小二乘和方程。Jacobs，D.主编，《数值分析的最新进展》，第269-312页。麦克出版社。Donders，M.和Vorst，T.（1996年）。企业特定新闻对IVs的影响。《银行与金融杂志》，20:1447–14 61。Dubinsky，A.和Jo hannes，M.（2006）。基本面不确定性、盈利公告和股票期权。工作文件。杜菲，D.，J.P.和辛格尔顿，K.（2000）。转换分析和期权定价，实现跳跃式差异。《计量经济学》，68:1343–1376。Isakov，D.和Perignon，C.（2001年）。围绕收益公告的市场不确定性演变。《银行和金融杂志》，25:1769-1788。K.杰克逊、S.杰蒙加尔和V.苏尔科夫（2008年）。用L’evy模型进行期权定价的傅里叶时空步进法。计算金融杂志，12（2）：1-29。Kou，S.（2002）。期权定价的跳差模型。

《管理科学》，48:1086-1101。寇、S.G.和王，H.（2004）。双指数跳跃扩散模型下的期权定价。管理科学，50（9）：1178-1192。Lee，R.（2004）。转换方法下的期权定价：扩展、统一和误差控制。《计算金融杂志》，7:51-86。Lee，S.和Mykland，P.（2008年）。金融市场的跳跃：一种新的非参数检验和跳跃动力学。金融研究综述，21（6）：2535-2563。洛德·R.、方·F.、伯沃伊特·F.、奥斯特勒·e·C·W.（2008）。一种基于FFT的快速精确方法，用于求解L’evy过程下的优先期权。SIA M科学计算杂志，30（4）：1678-1705。Madan，D.，Carr，P.，和Chang，E.（1998年）。方差伽马过程和期权定价。《欧洲金融评论》，2（8）：79-105。Maheu，J.和McCurdy，T.（2004年）。新闻到达、跳跃动态和波动性构成了个人股票收益率。《金融杂志》，59:755-793。梅赫拉，A.，科拉诺维奇，M.，和卡普兰，B.（2014）。收益和期权波动监测。技术报告，摩根大通。默顿，R.（1973）。比率期权定价理论。贝尔经济与管理科学杂志，4:141–183。默顿，R.（1976）。基础股票收益不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》，3:125-144。Oksendal，B.（2003年）。随机微分方程：应用简介。斯普林格。Patell，J.和Wolfson，M.（1981年）。季度收益公告的事前和事后价格影响反映在期权和股票价格中。会计研究杂志，19:434-458。帕特尔，J.和沃尔夫森，M.（1984年）。根据收益和股息公告调整股价的日内速度。《金融经济学杂志》，13:223-252。皮亚泽西，M.（2005年2月）。Bond收益率和Feder al储备。《政治经济学杂志》，113:311–344。雷布尔，S.（2000）。

金融中的勒维过程：理论、数字和经验事实。弗莱堡大学博士论文。罗杰斯，J.，斯金纳，D.，和范巴斯柯克，A.（2009）。盈利导向和市场不确定性。《会计和经济学杂志》，48:90-109。