资本利得税下股票的最优卖出时间

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《Optimal Selling Time of a Stock under Capital Gains Taxes》
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作者：
Christoph K\\\"uhn and Budhi Arta Surya and Bj\\\"orn Ulbricht
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
We investigate the impact of capital gains taxes on optimal investment decisions in a quite simple model. Namely, we consider a risk neutral investor who owns one risky stock from which she assumes that it has a lower expected return than the riskless bank account and determine the optimal stopping time at which she sells the stock to invest the proceeds in the bank account up to the maturity date. In the case of linear taxes and a positive riskless interest rate, the problem is nontrivial because at the selling time the investor has to realize book profits which triggers tax payments. We derive a boundary that is continuous and increasing in time and decreasing in the volatility of the stock such that the investor sells the stock at the first time its price is smaller or equal to this boundary.
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中文摘要：
我们在一个非常简单的模型中研究了资本利得税对最优投资决策的影响。也就是说，我们考虑一个风险中性的投资者，她持有一只风险股票，从中她假设其预期回报低于无风险银行账户，并确定她出售股票以将收益投资于银行账户直至到期日的最佳停止时间。在线性税收和正无风险利率的情况下，问题并不重要，因为在出售时，投资者必须实现账面利润，从而触发纳税。我们推导出一个边界，该边界是连续的，时间上是增加的，股票的波动性是减少的，这样投资者在第一次出售股票时，其价格就小于或等于该边界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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Optimal_Selling_Time_of_a_Stock_under_Capital_Gains_Taxes.pdf
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mingdashike22

2022-5-7 07:13:28

CapitalGains Taxes C下股票的最佳卖出时间。K–uhn*B.A.苏里亚+B.乌尔布里希特*2018年10月2日摘要我们在一个非常简单的模型中研究了资本利得税对最优投资决策的影响。也就是说，我们考虑一个风险中性投资者，她持有一只风险股票，并假设该股票的预期收益低于无风险银行账户，并确定她出售股票以在银行账户中投资至到期日的最佳停止时间。在线性税和正无风险利率的情况下，问题并不重要，因为在出售时，投资者必须实现触发纳税的账面利润。我们推导出一个边界，该边界是连续的，时间上是增加的，股票的波动性是减少的，因此投资者在第一次出售股票时，其价格小于或等于该边界。关键词：资本利得税、税收时机选择、最优停止、自由边界问题Jel分类：C61、G11、H201简介在实践中，资本利得税无疑是最相关的市场摩擦之一。在大多数国家，资本利得税的一个重要特征是，资产清算时，即收益变现时，而不是收益实际发生时，对利润征税。因此，即使是在线性化规则的最简单情况下（我们在本文中考虑），通过动态投资创造交易收益和税收负债之间也存在着不平凡的相互关系*德国法兰克福歌德大学数学研究所，德国法兰克福上午D-60054，电子邮件：{ckuehn，ulbricht}@math。法兰克福大学。de+印度尼西亚西爪哇省万隆市万隆理工学院商业与管理学院，电子邮件：budhi。surya@sbm-itb。ac.id.B.A.苏里亚在参观歌德大学时进行了部分工作。

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nandehutu2022

2022-5-7 07:13:32

感谢德国AkademischerAustausch Dienst（DAAD）的财政支持。2 C.K–uhn、B.A.Surya和B.Ulbrichttrategies。投资者可以影响纳税时间，即持有延期选择权。在无风险利率为正的情况下，存在尽可能晚地实现利润的激励，但这可能与为了获得更高的税前回报而进行的投资组合重组不一致。考虑到任意连续时间交易策略的税收，解决投资组合优化问题是一项相当艰巨的任务，尤其是对于所谓的精确税基和先进先出优先规则。也就是说，以相同价格但在不同时间购买的股票通常拥有不同的账面收益，因此，它们的清算会引发不同的纳税。允许投资者选择与税收相关的股票被称为精确计税基础。投资组合中股票的账面价值成为一个有限维状态变量（先进先出规则参见Jouini、Koehl和Touzi[13,14]，确切税基参见[15]）。Dybvig和Koo[11]以及DeMiguel和Uppal[9]对离散时间内的精确税基进行建模，并将投资组合优化问题与非线性规划联系起来。Jouini、Koehl和Touzi[14,13]考虑了具有一个非减损资产价格但具有相当普遍的税法的先进先出原则，并推导了最优消费问题的一阶条件。问题在于将收入流中的现金注入单一资产，并将其提取用于消费。Ben Tahar、Soner和Touzi[4,3]利用比例交易成本和基于过去购买价格平均值的税收解决了默顿问题。

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大多数88

2022-5-7 07:13:35

这种方法的优点是，优化问题是马尔可夫问题，只有一维税基作为附加状态变量。Cadenilas和Pliska[6]以及Buescu、Cadenilas和Pliska[5]在考虑税收和交易成本的模型中，使投资者财富的长期增长率最大化。在这里，在每次投资组合重组后，投资者必须为其总投资组合缴纳资本利得税。实际上，投资者通常对更简单的优化问题感兴趣。因此，我们想分析一个典型的、分析上相当容易处理的投资决策问题，以确定资本收益率对投资决策的影响，并了解模型参数（如股票的波动性）如何进入解决方案。通常情况下，投资者希望在一定时间内通过一种资产与另一种资产交换一次来最大化自己的交易收益。这意味着她必须解决一个最优停车问题。在这种简单的设置中，不同的税基，例如确切的税基、平均税基或先进先出的优先权规则是一致的。为了调查纳税对投资决策的影响，我们考察了一个拥有一项资产的投资者，如果她不纳税，她会立即出售该资产以购买另一项资产。在风险中性下，这只意味着投资者在一开始持有的资产的预期回报低于替代资产。然后，我们调查了她在清算第一项资产时因纳税义务而无法进行该交易的程度。在Black Scholes市场中，资本利得税下股票的第一资产价格等时卖出时间被建模为随机过程，以观察波动性对纳税人持有的递延期权的影响。

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何人来此

2022-5-7 07:13:38

我们证明了一个似是而非的假设，即对波动性较大的资产的持有人来说，确定纳税时间的可能性更值得，因此，风险资产会在以后出售（见第2.4节）。我们假设第二项资产在portfolioup中保存至到期。因此，将其建模为无风险银行账户没有必要的限制。与康斯坦丁尼德斯[7]的经典模型不同，我们不认为投资者可以通过在卖空合同市场交易（见[7]第4.1小节）同时推迟纳税并从其投资组合中剥离股票。在我们看来，主要是一个有趣的Gedanken实验，缩短股票，而不是出售股票，以推迟纳税，但根据现实世界的税收立法，私人投资者没有选择。通过假设存在这样一个卖空合约市场，康斯坦丁尼德斯可以通过无套利论证，在不解决自由边界问题的情况下，为布莱克-斯科尔斯模型中的定时期权定价。与[7]的另一个本质区别是，我们有一个确定的有限时间范围，而在[7]中，清算是在独立的泊松时间强制进行的。因此，在后一篇文章中，正如在有限时间范围内的问题中一样，我们去掉了“时间”作为状态变量。在本文中，使用了一些来自最优停止理论的标准技术，尤其是一种将终端支付问题转化为运行支付问题的方法，参见Peskir和Shiryaev[16]。目标函数比Shiryaev、Xu和Zhou[18]等最近关于阿斯托克无税最佳销售时间的其他论文要简单得多，其中股票在停站时间出售，停站时间最大化了股票价格与其在整个时间范围内的最大值之间的预期比率。

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kedemingshi

2022-5-7 07:13:41

杜托伊特（Du Toit）和佩斯基尔（Peskir）[10]通过确定一个使最终最大值与当前股价的预期比率最小化的停止时间来补充这一点。戴和钟[8]考虑了一个类似的问题，其中以平均股价为参考。除了上述销售问题，Baurdoux等人[2]在最近的工作中讨论了“低买高卖”问题，即布朗桥模型股票钉扎的顺序最优停止问题。这是一种现象，即股票价格在接近到期时倾向于接近其期权的行使，详细解释见[1]。论文的结构如下。在第二节中，我们建立了最优停止问题并给出了它的解（定理2.2），这是本文的主要结果，与命题2.4相伴而生。之后，结果与文献中的其他贡献相关，并对纳税时间选择进行了评估（备注2.5）。第3节介绍了解决问题的应用方法，并准备了第4.4节C–uhn、B.A.Surya和B.Ulbricht2中给出的关于停止问题和主要结果的证明(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]，P），T∈ 由一维标准布朗运动（Bt）t生成的R+∈[0，T]。投资机会包括连续复合固定利率r>0的银行账户和价格过程（Xt）为t的股票∈[0，T]求解SDEdXt=uXtdt+σXtdBt，T≥ 0，（2.1），X=X>0，u∈ R和σ>0。在时间0时，投资者持有一只riskystock。它是在过去某个时候以P>0的价格购买的。这意味着在时间0时，该股票已经拥有账面价值X-P.经济利益案例是X- P> 0，但这不需要假设。投资者可以在时间范围T结束前的任何时间出售股票。

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mingdashike22

2022-5-7 07:13:44

在出售时间t，投资者必须支付资本利得税α（Xt）-P），α在哪里∈ [0，1）是给定的税率，即如果Xt<P，投资者获得税收抵免。然后，剩余财富Xt- α（Xt）- P） =（1）- α） Xt+αPI投资于无风险银行账户。在到期日T时，投资组合无论如何都会被清算。当银行账户支付持续的复合利率时，我们假设税收也会持续向账户收取费用。这相当于对连续股息流征税，并导致税后利率（1-α） r.因此，投资者在t时间出售股票时的到期财富∈ [0，T]atprice ex isG（T，ex）=(1 - α） ex+αP呃(1)-α）（T）-t），（t，ex）∈ [0，T]×R+。（2.2）最大化投资者在到期时的预期财富会导致最优停止问题v（x）：=supτ∈T[0，T]E[G（τ，Xτ）]，（2.3），其中X=X，通过T[0，T]我们表示（Fs）s的集合∈[0，T]-正在停止[0，T]中的计时值。假设第二个投资机会是无风险的银行账户，而不是另一种风险资产，这使得支付功能更容易处理，而且考虑到投资者是风险中性的，在T之前不能再次改变立场，这一假设不是很严格。由于（Xt）t的强马尔可夫性∈[0，T]，我们定义了与问题（2.3）byV（T，x）相关的值函数：=supτ∈T[0，T]-t] EG（t+τ，Xt，Xt+τ）, （2.4）其中（Xt，xs）s∈[t，t]是（2.1）的唯一解，初始条件为Xt，Xt=x，t[0，t]-t] 表示（Ft+s）的集合∈[0，T-[t]-根据资本利得税5[0，T]的规定，停止时间取股票的非正常销售时间的价值-t] 。注意，V（x）=V（0，x）为X0，x=x，x=x。通过设置τ=0in（2.4），很明显V（t，x）≥ G（t，x）表示（t，x）∈ [0，T]×R+。（2.5）此外，对于x，我们有v（T，x）=G（T，x）∈ R+。

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何人来此

2022-5-7 07:13:47

（2.6）延续区域由c:={（t，x）定义∈ [0，T）×R+|V（T，x）>G（T，x）}和停止区byS:={（T，x）∈ [0，T）×R+|V（T，x）=G（T，x）}.命题2.1（T，x）7→ V（t，x）在[0，t]×R+上是连续的。此外，对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+，停止时间τT，x:=inf{s∈ [0，T-t） |（t+s，Xt，Xt+s）∈ S}∧ （T）- t）（2.7）最大化（2.4）。当然，证明或多或少直接遵循标准理论。因此，第4节仅简要概述了这一点。以下定理陈述了本文的主要结果，并在第4节中得到了证明。定理2.2考虑带停止区域S的问题（2.4）≥ 0和α∈ [0，1）。然后，（a）存在一个连续的，递增的边界b:[0，T）→ R+使得停止区域由s给出=[0，T）×R+ifu≤ (1 - α） r{（t，x）∈ [0，T）×R+|x≤ b（t）}如果u>（1- α） r，（2.8）其中所有t∈ [0，T），等价性α>0<=> b（t）>0保持。边界满足终端条件限制↑Tb（t）=rαPu- r（1）- α） =：f.（b）如果α>0且u>1- α） r，值函数满足边界处的光滑条件，即：。，xV（t，x）=xG（t，x）=（1）- α）呃(1)-α）（T）-t）在x=b（t）时。（2.9）6 C.K–uhn、B.A.Surya和B.UlbrichtFigure 1：时间范围T=3年的优化问题（2.3）的停止边界图。其他参数为α=0.3、u=0.026、r=0.03、σ=0.25、P=100和x=180。边界远高于购买价格P，即股票以正账面价值出售。备注2.3我们主要关注u<r，即无需纳税的投资者将立即出售股票的情况。然后，定理2.2告诉我们，如果μ∈ ((1 - α） r，r）。

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大多数88

2022-5-7 07:13:50

选择u区间的中点和σ、T和α的合理值，数值计算表明边界远高于采购价格P，见图1。这意味着投资者总是以正账面利润出售股票。然后，很明显，没有动机在以后任何时候回购股票并重复游戏（即，重新投资从零账面利润开始）。这就将决策问题建模为一个简单的最优停止问题。另一方面，如果股票是以负账面利润出售的，当禁止洗牌出售时，建模是合理的，例如在美国，这在一定程度上意味着投资者可以出售股票以实现交易损失，但不允许她回购股票，并且必须利用其他投资机会。根据禁止洗车销售的规定，即使在这种情况下，投资者也可以转到银行账户≥ r、只是为了过早地实现损失，这导致了停止问题的非平凡解（见定理2.2）。命题2.4（i）价值函数在股票的波动性中增加，即Vσ（t，x）≤ Vσ（t，x）对于所有0≤ σ≤ σ、 t∈ [0，T]和x∈ R+。资本利得税下股票的最优卖出时间，bσ（t）≤ 所有u>（1）的bσ（t）- α） r.（ii）对于σ=0，运动边界readsb（t）=αP呃(1)-α）（T）-（t）- 1.(1 - α）（eu（T）-（t）- 呃(1)-α）（T）-t））和（2.10），最佳停车时间（2.7）由τt，x给出=如果x为0≤ b（t）t- 如果x>b（t）。第4节中证明的命题2.4从经济角度来看是有意义的。对于波动性更大的资产来说，选择纳税时间对投资者来说更有价值。这意味着资本利得税甚至可以激励投资者承担更多风险。

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nandehutu2022

2022-5-7 07:13:54

当然，这种影响的程度取决于无风险利率r，当r=0时消失。Seifried[17]解决了R=0时终端财富的效用最大化问题（即，可以假设税款在到期时支付），但存在notax信用。在[17]的模型中，可能会出现两种相反的效果。粗略地说，如果股票的波动很小，税收可能会阻止投资者购买高风险股票，因为在没有负亏损税的情况下，预期的税后收益会变为负（字面上，这只适用于股票的买入和持有策略）。另一方面，如果预期回报足够高，投资者可能会购买比相同情况下更高风险的股票。为了使后一种说法可信，考虑股票的一个周期二元模型和一个效用函数，该函数与初始财富成线性关系，并且在更高的财富水平上是可满足的。对于最优股票头寸，如果股价上涨，投资者的最终财富与饱和点重合。这意味着，就税收而言，投资者购买更多的风险股票，以支付她必须支付给ZF的部分收益。[17] 推导出，对于具有CRRA投资者和实际税率的Black-Scholes模型，税收的总体战略影响可以忽略不计（见图8）。备注2.5（纳税时间选择权的价值）假设在我们的模型中，账面利润- 当Pis对股票征税时，股票立即征税。因此，我们假设通过减少股票头寸来支付税款，而退税则被重新投资于股票。然后，股票财富满足SDEdXt=（1）- α） Xt（udt+σdBt），t≥ 0和X=（1）- α） x+α和E[XT]=[（1- α） x+αP]eu（1-α） T。

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mingdashike22

2022-5-7 07:13:57

最优停止问题退化：例如：≤ r、最好是在时间0出售股票，价格为u≥ r、有人可能会这样解释，在T.8 C.K–uhn、B.A.Surya和B.Ulbrichtthuths时期出售是非常合适的-r（1）-α） TV（0，x）-[(1 -α） x+αP]e（1）-α）最大（u，r）T作为股东时间选择权的时间0价值，即投资者影响纳税时间的权利价值。根据命题2.4，该值在股票的波动性中增加。这与康斯坦丁尼德斯[7]的结果一致，在一个完整的市场模型中，包括卖空合同市场，时间选择权的价格，当然有不同的定义（见其中的等式（21）），也在增加股票的波动性（见表III）。3解决问题的方法（2.4），我们使用最优停止理论中的标准方法，例如，参见Peskir和Shiryaev[16]，其中终端支付转化为运行支付。也就是说，由于payo-off函数G的光滑性，我们可以应用它的^o公式来获得payo-off过程（G（t+s，Xt，Xt+s））的以下分解≥0:Gt+s，Xt，Xt+s= G（t，x）+ZsFt+u，Xt，Xt+udu+Ms，（3.1），其中Ms=σRsXt，xt+uxG（t+u，Xt，Xt+u）dBuis是平方可积（Ft+s）s∈[0，T-[t]-零期望鞅，F（t，x）由F（t，x）=er（t）给出-t）（1）-α)(1 - α)-rαP+xu - r（1）- α).（3.2）由（3.1）可知，（2.4）中的V可以写成V（t，x）=G（t，x）+supτ∈T[0，T]-t] EZτF（t+u，Xt，Xt+u）du. （3.3）我们在集合{（t，x）上有that>（<）0∈ [0，T]×R+|x>（<）f}，（3.4）带f:=RαPu- r（1）- α).

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mingdashike22

2022-5-7 07:14:01

（3.5）这意味着F（t，x）的符号不依赖于t。注释3.1对于x>F的（t，x），停止时间τ：=infs∈ [0，T-t] |Xt，Xt+s≤ F∧ （T）- t）严格来说是正的，我们从（3.3）得出结论，v（t，x）≥ G（t，x）+ERτF（t+u，Xt，Xt+u）du> G（t，x），因此（t，x）∈ C.资本利得税下股票的最佳卖出时间9F≥ 0和u>（1）- α） r==> xF（t，x）=er（t-t）（1）-α)(1 - α)u - r（1）- α)> 0（3.6）表示所有（t，x）∈ [0，T]×R+。此外tF（t，x）=-r（1）- α）呃(T)-t）（1）-α)-rαP+xu - r（1）- α)> x<f时为0（3.7），且tF（t，x）<0表示x>f（3.8）4个证明。1命题证明2.1适用于所有x≤ y、一个有0≤ V（t，y）- V（t，x）≤ supτ∈T[0，T]-t] 东北Gt+τ，Xt，yt+τ- EGt+τ，Xt，Xt+τo≤ (1 - α） e（u+r）TEsup0≤s≤T-特克斯σBs-σs（y）- 十）≤ C（y）- x）（4.1）对于某些常数C∈ 不依赖于t，x，y的R+。因此，为了在（t，x）中建立关节连续性，仍然需要证明t7→ V（t，x）是连续的。让≤ t、一个hasV（t，x）-V（s，x）≤ supτ∈T[0，T]-t] EG（t+τ，Xt，Xt+τ）- G（s+τ，Xt，Xt+τ）≤ 0，其中对于第一个不等式，我们使用过程（Xt，Xt+u）u∈[0，T-t] 和（Xs，Xs+u）u∈[0，T-t] 分布一致。要获得另一个方向的估计值，还必须找到支付过程u 7增量的上限→ G（u，Xs，xu）在s+T之间-因为从T开始的问题，剩余的成熟时间更小，由x7的单调性开始→ F（u，x），一个hasV（s，x）-V（t，x）≤ supτ∈T[0，T]-t] E[G（s+τ，Xs，xt+τ）- G（t+τ，Xs，xt+τ）]+E“ZTT-（t）-s）傅，谢谢∈[s，T]Xs，xv！∨ 0 du#10 C.K–uhn、B.A.Surya和B.Ulbrichth第一项可以通过E-r（1）-α） s- E-r（1）-α） t呃(1)-α） \"(一)- α） e |u| Tsupv∈[0，T]x expσBv-σv+ αP#和第二项- （s）C+CEsup0≤五、≤Tx expσBv-σv对于某些常数C，C∈ R+。

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mingdashike22

2022-5-7 07:14:04

总之，t 7→ V（t，x）对于任何固定的x都是连续的∈ R+。然后，根据[16]中的定理2.4，（2.7）使（2.4）最大化。2.2我们区分定理的三种证明。前两种情况是无关紧要的，而第三种情况是有趣的，我们展示了一个连续的、不断增加的正边界的存在，使得股票在第一时间出售，其价格小于或等于该边界。案例1：u≤ (1 - α）从（3.2）中，我们可以看到F≤ 0.然后，从（3.3）可以得出τt，x=0表示所有（t，x）×0，t]×R+，即投资者立即出售股票，并将股票投资到银行账户。案例2：u>（1）- α）当r和α=0时，所有（t，x）的F（t，x）>0∈ [0，T]×R+\\{0}。然后，再次从（3.3）得出，τt，x=t- t代表所有人（t，x）∈ [0，T]×R+\\{0}，即投资者从不过早出售股票，因此S=[0，T）×0}。案例3：u>（1）- α） r和α>0步骤1：让我们展示每一个t∈ [0，T]，x，y∈ R+和x≤ y、含义v（t，y）=G（t，y）==> V（t，x）=G（t，x）（4.2）保持不变。加上停止区域的封闭性，（4.2）意味着S是（2.8）中给出的形式，边界b（t）：=inf{x∈ R+|V（t，x）>G（t，x）}。通过（3.3），对于任何t∈ [0，T）和x≤ y、有一个V（t，y）- G（t，y）-V（t，x）-G（t，x）≥EZτt，xF（t+u，Xt，yt+u）du- EZτt，xF（t+u，Xt，Xt+u）du（4.3）资本利得税下股票的最佳卖出时间11=EZτt，xFt+u，yxXt，xt+u- Ft+u，Xt，Xt+u杜≥0，其中最后一个不等式为（3.6）。由V≥ G、这意味着（4.2）。第2步：现在让我们展示T7→ b（t）在增加。

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何人来此

2022-5-7 07:14:07

为了x∈ R+和s≤ t、一个hasV（t，x）-G（t，x）=e-r（1）-α）（t）-s） supτ∈T[0，T]-t] EZτF（s+u，Xt，Xt+u）du=E-r（1）-α）（t）-s） supτEu，τs+xsu(4.4)≤E-r（1）-α）（t）-s） supτ∈T[0，T]-s] EZτF（s+u，Xs，Xs+u）du,=E-r（1）-α）（t）-s）（V（s，x）-G（s，x）），其中第二个上确界接管了所有（Fs+u）u∈[0，T-t] –停止[0，t]中的计时值- t] 。自从V- G≥ 0，（4.4）产生关联v（s，x）-G（s，x）=0=> V（t，x）- G（t，x）=0，（4.5），这导致t7→ b（t）在增加。第3步：让我们证明所有t的b（t）>0∈ [0，T）。首先，假设存在T*∈ （0，T）使得b（T）*) = 0（即t*6= 0). As t 7→ b（t）在增加，对于所有的u，b（u）=0∈ [0，t*]. 当X0，xcannot达到0时，我们有τ0，x≥ T*对于所有x>0，哪个屈服Zτ0，xF（u，X0，xu）du≤ EZt*Fu、徐{X0，徐≤f/2}du+ EZT0∨ Fu、徐{X0，xu>f/2}du≤ T*Psup0≤U≤X0，xu≤ f/2F（T，F/2）+T erT[u- r（1）- α） ]Esup0≤U≤X0，xu.对于第一个不等式，我们使用F（u，ex）<0表示ex≤ f/2。对于第二个，我们使用F在x和x中增加≤ f、随着t的增加，我们得到f（t，f/2）<0。此外，Psup0≤U≤X0，xu≤ f/2→ 1安第斯山脉sup0≤U≤X0，xu→ 0代表x→ 这就产生了Zτ0，xF（u，X0，xu）du< 0表示足够小的x，12 C·K¨uhn，B·A·Surya和B·Ulbrichth，这与τ0，x的最优性相矛盾*) > 0代表所有t*∈ （0，T）。b（0）>0类似地通过将问题（2.4）扩展到区间来实现[-1，T]。因此，除了光滑条件、运动边界及其终端条件的连续性之外，该定理现在已经被证明。这些断言需要以下引理提供更多准备。4.2.1最优停止时间的连续性下列两个引理表明，对于在状态和时间的邻域内开始的股票价格过程，最优停止时间非常接近。引理4.1设τt，xbe定义如（2.7）所示。修正a>0。

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mingdashike22

2022-5-7 07:14:11

然后，对于所有ε>0，存在δ>0，使得supx∈[a，∞)P（{τt，x+δ）- τt，x>ε}）<ε表示所有δ∈ （0，eδ）。所有ε，δ>0，一个hasP（{τt，x+δ）的证明- τt，x>ε}=P（{τt，x+δ）- τt，x>ε}∩ {τt，x≤ T-T- ε}) .为了比较不同状态变量的最佳停止时间，我们使用thatXt，y=yXt，1表示所有y∈ R+。让（不）你≥成为一个标准的P-布朗运动。一个getsP（{τt，x+δ）- τt，x>ε}∩ {τt，x≤ T-T- ε})≤P分钟∈[0，ε]Xt，x+δt+τt，x+u>b（t+τt，x）∩ {τt，x≤ T-T- ε}≤P分钟∈[0，ε]（x+δ）Xt，1t+τt，x+u>xXt，1t+τt，x∩ {τt，x≤ T-T- ε}≤P分钟∈[0,ε]经验u -σu+σBu>xx+δ≤Φ-自然对数aa+δ+ (u - σ/2)εσ√ε!- e2（u）-σ/2）ln（aa+δ）σ-2Φlnaa+δ+ (u - σ/2)εσ√ε!十、∈ [a，∞), （4.6）第一个不平等是因为t7→ b（t）在增加，第二个保持xXt，1t+τt，x≤ b（t+τt，x），第三个紧随其后的是Xt，1的强马尔科夫性质。对于ε>0固定，对于δ，（4.6）的右侧收敛为0↓ 0引理4.2设τt，xbe定义如（2.7）所示。固定a、b∈ R+与0<a<b。然后，对于所有ε>0，存在δ>0，使得supx∈[a，b]P（{τt，x- τt，x |>ε}）<≤ t<t≤ T和T- t<δ。资本利得税下股票的最优卖出时间13Proof类似于引理4.1的证明，对于所有t∈ （0，T]，ε>0，andu∈ （0，ε），一个搭扣（{τt-u、 x- τt，x>ε}）=P（{τt-u、 x- τt，x>ε}∩ {τt，x≤ T-t+u- ε}) .为了比较最佳停止时间，我们写下进程的Xt，xin项，即通过构造，一个hasXt，Xt+u=xXt，Xt+uXt，Xt，u≥ 0，（4.7）其中t≥ t、另外，下面的论点使用了一个事实≈ xfor t- tsmall。因此，在第一次Xt，xH是边界，过程Xt，xis并不遥远，人们可以像引理4.1那样进行论证。让（不）你≥成为一个标准的P-布朗运动。

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mingdashike22

2022-5-7 07:14:14

那么，对于t- T∈ （0，ε/2）和δ>0，onegetsP（{τt，x- τt，x>ε}∩ {τt，x≤ T-T- ε})≤P分钟∈[0,ε-（t）-t） ]Xt，Xt+τt，x+u>b（t+τt，x）∩ {τt，x≤ T-T- ε}≤P（分钟）∈[0,ε-（t）-t） ]Xt，Xt+τt，x+uXt，Xt+τt，x>xXt，Xt）∩ {τt，x≤ T-T- ε}!≤P（分钟）∈[0，ε/2]Xt，Xt+τt，x+uXt，Xt+τt，x>xx+δ）∩ {τt，x≤ T-T- ε}!+ PXt，Xt>x+δ≤P分钟∈[0,ε/2]经验u -σu+σBu>aa+δ+ P经验u -σ（t）- t） +σBt-T>b+δb十、∈ [a，b]，（4.8）其中，第一个不平等是因为t7→ b（t）在增加，第二个保持（4.7）和Xt，Xt+τt，x≤ b（t+τt，x），对于第四个，我们使用了Xt，x的强马尔可夫性质。在引理4.1中，我们可以选择δ>0足够小，使得p分钟∈[0,ε/2]经验u -σu+σBu>aa+δ<ε. （4.9）因为英国电信-t随机收敛到t的0- T↓ 存在δ>0这样的p经验u -σ（t）- t） +σBt-T>b+δb<ε（4.10）14 C·K¨uhn，B·A·Surya和B·Ulbrichtfor all t，twith t- t<δ。所以，它仍然是showP（τt，x- τt，x>ε）<ε，对于t≥ 坦特- 太小了。（4.11）为了估计这个概率，我们在t+τt，X处更新X，在这里可以考虑集合{t+τt，X≥ t} 。然后，我们从下面估算Xt，Xt，而不是从上面估算，如（4.8）所示。但是，计算完全类似于P（τt，x）的估计- τt，x>ε），我们完成了。4.2.2平滑条件下一步，我们展示（2.9），即价值函数V在边界处平滑连接支付函数G。对于t∈ [0，T）和x=b（T），一个hasV（T，x+ε）-V（t，x）ε≥G（t，x+ε）- G（t，x）ε=xG（t，x）（4.12）=（1）- α）呃(1)-α）（T）-t）对于所有ε>0。另一方面，一个hasV（t，x+ε）-V（t，x）≤ EGt+τt，x+ε，Xt，x+εt+τt，x+ε- EGt+τt，x+ε，Xt，Xt+τt，x+ε= εEXt，1t+τt，x+εxG（t+τt，x+ε，x）≤ εxG（t，x）EXt，1t+τt，x+ε, （4.13）其中等式由G在x中的线性保持，第二个等式为t7→ xG（t，x）在下降。通过引理4.1和一致可积性，EXt，1t+τt，x+εε收敛到1↓ 0

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能者818

2022-5-7 07:14:17

因此，（4.12）和（4.13）建立了光滑条件（2.9）。4.2.3边界的连续性命题4.3边界t7→ b（t）在[0，t]上是右连续的∈ [0，T）并考虑序列tn↓ t代表n→ ∞. As t 7→ b（t）正在增加，b（t+）：=lims↓存在结核病。自（tn，b（tn））∈ 这是给所有人的≥ 1，并且Vand G是连续的（命题2.1），我们得到V（t，b（t+））=G（t，b（t+），即（t，b（t+）∈ 这会导致b（t+）≤ b（t）。As t 7→ 当b（t）在[0，t]上增加时，证明了这一结论。命题4.4边界t7→ b（t）在（0，t）上是连续的。首先，注意，通过单调性，极限b（t-) := 林斯↑存在tb（s）和B（t-) ≤ b（t）。命题的证明分为三个步骤。在假设边界在某个时间t发生跳跃的情况下，在资本利得税下股票的首个最佳卖出时间内，我们通过两个步骤找到t左邻域时间点V的t导数和x导数的上界，以及b（t）和b（t）之间的价格-) 和b（t）。然后，我们用这些上界与C中V满足的偏微分方程进行论证，以确定Vxx>0的界远离0。粗略地说，VxX对PDE的贡献是以减去Payoff函数的漂移率F为界的（参见证明的第3步）。在浇灌区附近，这个漂移率是严格负的。自{t}×[b（t）]-), b（t）]是停止区域的一部分，其中V=G，如果b（t）>b（t），这与G在x中的线性相矛盾-).这一观点已经应用于各种各样的支付函数，见[16]。证明假设停止边界b在t处有跳跃，即b（t）>b（t）-).步骤1（t的上限）-导数）：让δ∈ （0，t），ε∈ （0，t- δ），和∈ （b（t）- δ），b（t）]。

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可人4

2022-5-7 07:14:20

确定停车时间σ：=infnu≥ 0 | Xt-δ-ε、 xt-δ-ε+u≤ b（t）- δ+u）o∧ （T）- （t）- δ)) ∈ T[0，T]-（t）-δ），（4.14），它对从t开始的问题应用了最佳停止规则- 这个问题始于t-δ -ε. 通过建设，σ、 Xt-δ-ε、 xt-δ-ε+σ拥有与τt-δ、 x，Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x. 因为对于t中开始的问题，σ通常是次优的-δ - ε、一个getsV（t-δ、十）- V（t）- δ - ε、 x）ε≤εEhG（t- δ+τt-δ、 x，Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x）我-εEhG（t- δ - ε+σ，Xt-δ-ε、 xt-δ-ε+σ）i=Eh(1 - α） Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x+αP呃(1)-α）（T）-t+δ-τt-δ、 x）我1.- 呃(1)-α)εε. （4.15）根据抛物型方程的经典理论，如Friedman[12]（第3章）或Shiryaev[19]（第3章定理15），我们知道∈ C1,2在持续区。因此电视（t）-δ、 x）存在于所有x>b（t- δ）和（V（t）-δ、十）- V（t）- δ - ε、 x））/ε→ 电视（t）-δ、 x），ε↓ 0.加上（4.15），这意味着电视（t）-δ、十）≤ -r（1）- α）嗯(1 - α） Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x+αP呃(1)-α）（T）-（t）-δ)-τt-δ、另一方面，（t，x）位于所有x的停止区域≤ 因此τt，x=0。自b（t）-) > 0，可以应用引理4.2和τt-δ、 x→ 概率为0 16 C.K–uhn、B.A.Surya和B.Ulbrichtforδ↓ 0，其中收敛在x中保持一致∈ [b（t-)/2，b（t）]。通过一致可积性，得到一个超薄的supδ↓0supx∈（b（t）-δ），b（t）][电视（t）-δ、十）- tG（t，x）]≤ 好的∈（b（t）-),b（t）]-((1 - α） x+αP）er（1）-α）（T）-t） r（1）- α) - tG（t，x）= 0（4.16）步骤2（x的上限）-导数）：让δ∈ （0，t），x∈ （b（t）-δ），b（t）]，和ε∈ （0，x）-b（t）-δ)). 参数与步骤1相似，但更方便记录，因为τt-δ、 xis已经是（t）中开始的问题的容许停止时间-δ、 x- ε）不需要像（4.14）中那样进行转换。

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nandehutu2022

2022-5-7 07:14:23

一个getsV（t-δ、十）- V（t）- δ、 x- ε)ε≤εhEhGT- δ+τt-δ、 x，Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x我- EhGT- δ+τt-δ、 x，Xt-δ、 x-εt-δ+τt-δ、 xii=（1）- α） EhXt-δ、 1t-δ+τt-δ、 xer（1）-α）（T）-（t）-δ)-τt-δ、 x）i，（4.17）再次，由V∈ C1，2在延拓区域中，我们得到xV（t）-δ、 x）存在所有x>b（t-δ）和（V（t）-δ、十）-V（t）-δ -ε、 x））/ε→ xV（t）-δ、 x）对于ε↓ 0.加上（4.17），一个人得到xV（t）-δ、十）≤ (1 - α） EhXt-δ、 1t-δ+τt-δ、 xer（1）-α）（T）-（t）-δ)-τt-δ、 x）i.同样，通过τt，x=0和b（t-) > 0，引理4.2的一个应用↓0supx∈（b（t）-δ），b（t）]xV（t）-δ、十）≤ (1 - α）呃(1)-α）（T）-t）。（4.18）RHS是不依赖于x的xG（t，x）。第3步（左连续性的结论）：现在，我们要引导假设b（t）>b（t）-) 矛盾。让x*:= （b（t）-) + b（t））/2。根据备注3.1，一个人有b（t）≤ 因此，由（3.4）可知，f（t，x*) < 0.在第1步和第2步中，存在δ>0，这是所有s的结果∈ [t]-δ、 t）和x∈ (二),十*], 其中一个有ux十五（s，x）＋电视（s，x）≤ uxxG（s，x）+tG（s，x）-F（t，x）*)= F（s，x）-F（t，x）*)≤F（t，x）*) -F（t，x）*)=F（t，x）*),资本利得税下股票的最优卖出时间，其中第二个不等式由F的连续性及其单调性inx决定。同样，根据[19]第3章中的定理15，我们知道值函数V求解了偏微分方程tV+uxxV+σx在延拓区域C中，xxV=0。因此，我们有二十五（s，x）≥ -2F（t，x）*)3σx≥ -2F（t，x）*)3σx*=: C>0，s∈ [t]- δ、 t），x∈ (二),十*].由V（s，b（s））=G（s，b（s）），十五（s，b（s））=xG（s，b（s））（平滑条件），xxG=0，牛顿-莱布尼兹公式，它遵循v（s，x*) - G（s，x）*) =Zxb（s）Zub（s）二十五（s，v）- xxG（s，v）dvdu≥C（x）*- b（s））（4.19），因为这适用于所有∈ [t]- δ、 t）和V- G是连续的，我们得出结论v（t，x*) - G（t，x）*) ≥C（x）*- b（t）-))> 这与（t，x）相矛盾*) 位于停车区域。

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nandehutu2022

2022-5-7 07:14:27

因此，可以得出结论，b（t-) = 建立了边界的连续性。根据备注3.1，b（T）确定边界的终端条件-) = 极限↑Tb（t）不能超过边界f，超过该边界，支付过程的漂移率为正。仍需排除b（T-) <f、但是，这是用与证明边界的左连续性相同的参数来完成的，使用的是V（T，x）=G（T，x）表示所有x的事实∈ [b（T-), f] .4.3命题2.4（i）的证明≤ σ≤ σ和w.l.o.g.t=0。对于两个独立的标准布朗运动B和B，processXs=x expus+σBs-σs+qσ- σeBs-σ- σs, s≥ 0，与（2.1）中的股票价格具有相同的规律，σ=σ。此外，X是马尔可夫w.r.t.过滤（FB、eBs）s∈[0，T]由B和B生成。这意味着，具有标准偏差σ的（2.3）中的V与问题supτE[G（τ，Xτ）]，（4.20）18 C.K–uhn，B.A.Surya和B.ulbricht的值一致，其中上确界接管了所有（FB，eBs）s∈[0，T]——停止时间τ。现在考虑艺术最优停止问题，其中进入股价的第二个布朗运动b对于最大化者是不可观测的。这与（FBs）的限制相对应∈[0，T]——停止时间。当然，后一个上限至少和前一个一样高。另一方面，对于任何FBs∈[0，T]–停止时间τ，我们有[G（τ，Xτ）]=Eh(1 - α） x经验μτ+σBτ-στ+qσ- σeBτ-(σ- σ)τ+ αP×er（1）-α）（T）-τ） i=（1）- α）埃赫（1）-α）（T）-τ） x经验μτ+σBτ-στ×E经验qσ- σeBτ-σ- στ| FBTi+αPE呃(1)-α）（T）-τ)= E(1 - α）呃(1)-α）（T）-τ） x经验μτ+σBτ-στ+ αPer（1）-α）（T）-τ),其中，条件期望值为1，因为τ是FBT–可测量的，且与FBT无关。因此，问题（4.20）的值仅限于所有（FBs）s∈[0，T]——停车时间与（2.3）中的V一致，标准偏差σ较小。因此，我们有Vσ≤ Vσ。

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mingdashike22

2022-5-7 07:14:30

请注意，我们使用的Payoff函数G的唯一性质是其在Xτ中的有效线性。（ii）对于σ=0，最优停止问题（2.4）readsV（t，x）=supu∈[0，T-t] G（t+u，xeuu）=supu∈[0，T-t] （（1）- α） xeuu+αP）er（1-α）（T）-T-u）。通过简单代数，我们可以计算出d/duG（t+u，xeuu）>0。因此，我们得出了固定x的结论∈ R+，u 7的最大值→ G（t+u，xeuu）在u=0或u=t时达到-t、对于由（2.10）给出的b（t），其中G（t，b（t））=G（t，b（t）eu（t-t）），也就是说，投资者在t和t之间没有区别。这意味着（t，b（t））位于停止区。另一方面xG（t，x）=（1）-α） e（1）-α） r（T）-t） <eu（t-（t）所有x的xG（T，x）∈ R+，一个是（t，x）位于所有x>b（t）的连续区域。这意味着b（t）确实是（2.8）的最佳运动边界。仍然需要证明τt，x=t- t代表所有x>b（t）。作为苏普∈[0，T-t] G（t+u，xeuu）在任何温度下都无法达到∈ （0，T-t），Xt，xcannot击中边界之前，如果它开始在它上面。资本利得税下股票的最佳卖出时间参考文献[1]Avellanda，M.和Lipkin，M.D.（2003）股票钉扎的市场诱导机制。定量金融，3（6），417-425。[2] Baurdoux，E.J.，Chen，N，Surya，B.A.和Yamazaki，K.（2014）。布朗桥的双重最优停止。提交出版，http://arxiv.org/abs/1409.2226.[3] Ben Tahar，I.，Soner，M.，和Touzi，N.（2007）资本利得税下最优投资问题的动态规划方程，暹罗控制与优化杂志，46（5），1779-1801。[4] Ben Tahar，I.B.，Soner，H.M.，和Touzi，N.（2010）《税收的默顿问题：特征化、计算和近似》，暹罗金融数学杂志，1（1），366-395。[5] Buescu，C.，Cadenillas，A.，和Pliska，S.R.（2007）。

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mingdashike22

2022-5-7 07:14:33

关于税收对最优投资影响的说明，数学金融，17（4），477-485。[6] Cadenillas，A.和Pliska，S.R.（1999年）。当存在税收和交易成本、金融和随机性时，证券的最优交易，3（2），137–165。[7] 康斯坦丁尼德斯，G.M.（1983）。《个人所得税与资本市场均衡》，计量经济学，51（3），611-636。[8] 戴，M.和钟，Y.F.（2012）。参考最终平均数的最优股票买卖策略，数学金融，22（1），165-184。[9] 德米格尔，V.和乌帕尔，R.（2005年）。通过非线性规划的精确税基组合投资，管理科学，51（2），277-290。[10] 杜托伊特，J.和佩斯基尔，G.（2009）。以最高价格出售股票。应用概率年鉴，19（3），983-1014。[11] Dybvig，P.和Koo，H.（1996）税收投资。华盛顿大学，密苏里州圣路易斯，工作文件。[12] 弗里德曼，A.（1964年）。抛物线型偏微分方程，普伦蒂斯霍尔，佛罗里达州。[13] Jouini，E.，Koehl，P-F.，和Touzi，N.（2000年）。税收最优投资：一个存在结果。《数理经济学杂志》，33（4），373388.20 C.K¨uhn，B.A.Surya和B.Ulbricht【14】Jouini，E.，Koehl，P.-F.，and Touzi，N.（1999）。含税最优投资：一个具有内生时滞的最优控制问题。非线性分析，37,31–56。[15] K–uhn，C.和Ulbricht，B.（2014），为有限变化的交易策略建模资本利得税。提交出版。http://arxiv.org/abs/1309.7368[16] Peskir，G.和Shiryaev，A.N.（2006）。最优停止和自由边界问题，Birkh–auser。[17] Seifried，F.（2010）《递延资本利得税的最优投资》，运营研究的数学方法，71（1），181-199。[18] Shiryaev，A.N.，Xu，Z.Q.，和Zhou，X.Y.（2008）。你应该购买并持有。定量金融，8（8），765-776。[19] Shiryaev，A.N.（2008）。

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大多数88

2022-5-7 07:14:36

最佳停车规则（第8卷）。斯普林格。

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