此外，在不丧失普遍性的情况下，我们可以并将假定存在一些ε∈ （0，1]使得H>ε。（b）另一方面，我们将看到G（H（ω），ω）≤G（H（ω），ω）对P-a.e.ω成立∈ Ohm, 矛盾的（6.6）。首先，fix一个任意的n∈ N.如本证明第（ii）部分所述，可以构造一些ζN∈ Ξd（H）使得，对于P-a.e.ω∈ Ohm,EP[V（H（·）+Hζn（·），Y（·）i，·）|G]（ω）≥ G（H（ω），ω）-n、 （6.7）接下来，每米设置一次∈ N（回想一下H>ε），fmn（ω），VH（ω）-εm+H（ω）- ε/mH（ω）hζn（ω），Y（ω）i，ω, ω ∈ Ohm,连续性（见假设4.3）使{fmn；m∈ N} 将a.s.收敛到V（H（·）+HζN（·），Y（·）i，·）为m→ +∞. 因此，法头引理给出了一个很小的infm→+∞EPh[fmn]+Gi≥ EPV+（H（·）+Hζn（·），Y（·）i，·）Ga、 其次，我们注意到∈ N、 随机向量ζN（H）- ε/m）/Hbelongs至Ξd（H）- ε/m），因为-εm+H- ε/mHζn，Y=H- ε/mH（H+Hζn，yi）≥ 0 a.s.（回想H>ε和ζn∈ Ξd（H））。因此，假设4。5.事实上∈ N、 不平等[fmn]-≤ 五、-（0，·）是真的，我们可以将limsup-Fatou引理应用于o-bta-inlim-supm→+∞EPh[fmn]-Gi≤ EP五、-（H（·）+Hζn（·），Y（·）i，·）Ga、 美国将这两种不平等结合起来→+∞EP【fmn | G】≥ EP[V（H（·）+Hζn（·）、Y（·）i、·）|G]a.s.和fr om（6.7）我们得到了→+∞EP[fmn | G]≥ G（H（·），·）-娜娜。s、 （6.8）此外，每米∈ N我们有一个∈Ξd（H）-ε/m）EPhVH（·）-εm+hξ（·），Y（·）i·Gi≥ EP[fmn | G]a.s.和solim infm→+∞ess supξ∈Ξd（H）-ε/m）EPhVH（·）-εm+hξ（·），Y（·）i·Gi≥ lim infm→+∞EP[fmn | G]a.s.第21页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化另一方面，让m∈ N不要武断，但要固定。然后我们通过后退的步骤知道∈Ξd（H）-ε/m）EPhVH（·）-εm+hξ（·），Y（·）i·Gi（ω）=GH（ω）-εm，ω对于P-null集合外的每一个ω。使用（6.8），我们得到了LIM infm→+∞GH（·）-εm·≥ G（H（·），·）-娜娜。s

（6.9）接下来，选择qm（ω）∈ Q、 qm（ω）>0使得H（ω）- ε/m≤ qm（ω）<H（ω），它紧随着G的定义（回想一下H>ε>0）和G的单调性（参见本证明的第一部分），即G（H（ω），ω）=supq∈Qq<H（ω）G（q，ω）≥ G（qm（ω），ω）≥ G（H（ω）- ε/m，ω）≥ infk≥mG（H（ω）- ε/k，ω），因此G（H（·），·）≥ 卸荷点法∈笨蛋≥mG（H（·）- ε/k，·）=lim infm→+∞G（H（·）- ε/m，·）a.s.So，fr om（6.9），每n∈ N、 G（H（·），·）≥ G（H（·），·）- 1/n a.s.，亨塞格（H（·），·）≥ 林尚→+∞G（H（·），·）-N= G（H（·），·）a.s.，如所述。命题4.10的证明。如前一证明的（ii）所示，可以证明存在序列ξn（·）∈ Ξd（H）达到（4.7）中的本质上确界。我们可以假设ξn（·）∈ D（·）a.s.，因此每n∈ 我们通过引理4.7得到kξN（·）k≤H（·）/β（·）a.s.其次，Kabanov和Stricker[13]的引理2暗示了G可测随机子序列{ξnk；k的存在∈ N} 真是太棒了→+∞ξnk（·）（·）=ξ（·）对于某些ξ（·）∈ Ξd（H）。勒玛塔4号。8和4.9允许使用（有条件的）Fatou引理，因此我们得到了ξ（H）（·），ξ（·）如所述。参考文献[1]Berkelaar，A.B。；库文伯格，R。；波斯特（2004）。损失储蓄下的最优投资组合选择。牧师。经济。统计学家。86，第4号，第973-987页。[2] 伯纳德，C。；戈索布，M.（2010年）。累积预期理论下的静态投资组合选择。数学财务部。经济部。2，第4号，第277-306页。[3] 坎皮，L.，德尔维尼亚，M.（2012）。内幕交易和行为融资薄弱。西亚姆。金融数学。，3，第1号，第242-279页。[4] Carassus，L。；Pham，H.（2009）。非凸准则函数的投资组合优化。RIMS K^okyuroku系列，ed.Shigeyoshi Ogawa，1620年，第81-111页，2009年。[5] Carassus，L。；Rásonyi，M.（2014）。时间金融市场模型中非凹效用函数的最大化。即将到来的数学课。奥普。物件。。

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