（这也可能是某种原因。）≥ 0），我们设置Ξdt-1（H），ξ ∈ Ξdt-1:H+Hξ，性病≥ 0 a.s。.我们带上了EΞdt-1成为所有随机向量的类ξ∈ Ξdt-1比如ξ（ω）∈ p-a.e.ω的Dt（ω）。符号Ξdt-1（H）是不言自明的。提议2.3。以下两种说法相当：（i）（NA）成立；（ii）每t∈ {1，…，T}，存在Ft-1-可测量的随机变量βt>0，κt>0a。s、 这样，对于每一个ξ∈eΞdt-1，不等式（hξ，性病≤ -βtkξk | Ft-1) ≥ κt（2.1）持有a.s.证据。这源于Rásonyi和Stettner[18]中的命题3.3和上述备注2.2（另见Rásonyi和Stettner[19]中的命题1.1]）。备注2.4。我们注意到，上述（NA）的“定量”特征仅适用于Ft-1-属于Dta的可测Rd值函数ξ。s、 这将促使以后使用正交投影（参见第4节）。第3页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化2。2投资者的风险偏好由一个（可能是非凹和非可微随机）效用函数描述。定义2.5（非凹随机效用）。随机效用（在非负半直线上）是任意函数u：（0+∞) × Ohm → R验证以下两个属性（i）每x∈ (0, +∞), 函数u（x，·）：Ohm → R是F-可测量的，（ii）对于a。e、 ω∈ Ohm, 函数u（·ω）：（0+∞) → R是非递减且连续的。对于每个ω∈ Ohm 对于（ii）成立，我们设置u（0，ω），limx↓0u（x，ω），我们定义为（0，ω），否则为0。不知道u（0，ω）可以取这个值-∞.备注2.6。在本文中，我们将财富限制为非负，我们考虑的是仅在非负实数线上定义的效用。连续性和单调性是标准假设。

此外，由于u将用于评估投资者的未来财富，它很可能取决于经济变量，因此它可能是随机的，见示例2。下文第9段。最后，与大多数研究不同的是，我们不假设u的凹性或光滑性。对u的一个可能的扩展是上半连续的，这将是未来研究的主题。我们注意到，由于u（·ω）是a.e.ω的单调函数∈ Ohm, 限制你(+∞, ·) , 利克斯→+∞u（x，·）存在a.s.（尽管它可能不确定），我们定义(+∞, ω) , + ∞ 否则。我们将要求如下。假设2.7。u在0处的负部分有明确的预期，即EPU-(0, ·)< +∞. （2.2）备注2.8。如果u是确定性的，那么上述假设相当于u（0）>-∞.这是公认的限制，因为它排除了u（x）像ln（x）或-xα（α<0）在0附近。然而，它仍然允许大量的实用程序。目前，我们不能放弃这一假设，因为它对于证明动态程序保持下面的增长条件（2.6）至关重要（见定理3.3第5节证明中的第（v\'）。还要注意的是，当效用函数的域等于整个实线时，这个假设是假设2.9中的（10）的附属项。本着累积前景理论的精神，我们以随机效用函数的一个重要例子继续这一小节。示例2.9（参考点）。在CPT fra mework中，假设每个投资者都有一个财富参考点（在文献中也被称为基准或现状，参见Bernard和Ghossoub[2]、He和Zhou[9]、Carassus和Rásonyi[6]），根据该参考点来评估T结束时的支付。

因此，投资者的决策不是基于财富的最终水平（正如冯·诺依曼和Morge nstern[24]的预期效用理论所假设的那样），而是基于财富水平与参考点的偏差。请注意，与CPT不同，我们的设置不包括概率失真（权重函数）。从数学上讲，一个参考点是任何固定的sc alar值和F-可测量的随机变量B≥ 因此，假设在终端时间T和场景ω的情况下∈ Ohm,如果与参考水平的偏差为三次正（分别为严格负），即X（ω）>B（ω）（分别为X（ω）<B（ω）），则称逆变器产生增益（分别为损耗）。注意，例如，B可以被视为非负常数（这是酪蛋白Berkelaar、Kouwenberg和Post[1]；Ber nard和Ghos soub[2]；Carassus和Pham[4]）。这里是x+，max{x，0}和x-, - 每x的最小值{x，0}∈ R.此外，为了减少旋转的重量，给定任何函数f:X→ R、 从今以后，我们将为所有的x写f±（x），[f（x）]∈ X.第4页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化参考点c也可以是随机的（例如，为了反映投资者将其表现与在可能不同的市场中行事的其他投资者的表现进行比较的事实）。在这种情况下，投资者有一个随机m效用定义的asu（x，ω），eu（x- B（ω）），x>0，ω∈ Ohm, （2.3）欧盟：(-是的+∞) → 满足eu的ra（确定性）非减连续函数(-ess sup B）>-∞ （我们把欧盟放在哪里(-ess sup B），limx↓- ess sup Beu（x），asbefo re）。显然，EP[u]-(0, ·)] < +∞, 假设2.7对u是正确的。我们将对函数u的增长做出以下假设。假设2.10。存在常数γ>0和x≥ 0，以及一个随机变量C≥ 0 a.s。

与EP[c]<+∞, 对于a.e.ω∈ Ohm,u（λx，ω）≤ λγu（x，ω）+λγc（ω）（2.4）对所有λ同时保持不变≥ 1和所有x≥x、 此外，EP[u+（x，·）]<+∞.备注2.11。对于u确定性、严格凹性和连续可微性，我们重新定义了llthatAE+（u），lim supx→+∞xu′（x）u（x）表示u的渐近弹性+∞ （参见Kramkov和Schachermayer[15，p.943]），我们总是有AE+（u）≤ 1（理由是指Kramkov和Schachermayer[15，引理6.1]）。通过Kramkov和Schachermayer[15]中的引理6.3，我们知道AE+（u）等于所有实数γ>0的范围内，其中存在一些x>0，因此，对于所有λ≥ 1和所有x≥ x、 u（λx）≤ λγu（x）（2.5）成立。从Kramkov和Schachermayer[15]引理6.3的证明可以清楚地看出，如果u不是凹的（但c是连续可微的），那么AE+（u）的这种特征也成立。由于后一个公式（2.5）对于可能的非微分和非共模u以及任意γ>0也是有意义的，我们遵循Carassus和Rásonyi[5]，定义了+∞ uASAE+（u），inf{γ>0：十、≥ a.e.ω，u（λx，ω）的0 s.t≤ λγu（x，ω），λ ≥ 1.十、≥ x} 按照通常的惯例，空集的上限是+∞.因此，使用渐近弹性的这个广义概念，我们可以看到，如果AE+（u）<+∞, 或者u在某个可积随机常数的上面有界≥ 0 a.s.和假设2。7点。事实上，在第一种情况下，这是微不足道的，因为（2.4）由AE+（u）<γ表示。在第二种情况下，取x，0，我们得到每x的值≥ 每λx和≥ 1，u（λx，ω）≤ C（ω）≤ λγC（ω）=λγu（x，ω）+λγ[C（ω）- u（x，ω）]≤ λγu（x，ω）+λγ[C（ω）- u（0，ω）]，它允许我们定义c（ω），[c（ω）- u（0，ω）]+。作为c（ω）≤ C（ω）+u-（0，ω），2。7表明EP[c]<+∞.

注意，在这种情况下，EP[u+（x，·）]=EP[u+（0，·）]≤ EP[C]<+∞我们注意到，如果u是确定的，凹的，并且在上面有界，那么AE+（u）≤ 0（againby Kramkov和Schachermayer[15，引理6.1]），但这在非凹的情况下失败。精确地说，在所引用的引理中，在（2.5）中有严格的不等式，并且要求它只适用于λ>1。显而易见，它也适用于我们的版本。第5页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化我们将在示例6中看到。假设2.10成立，但渐近弹性等于+∞. 这表明，尽管有足够的弹性，但具有有限的渐近弹性并不是函数验证假设2的必要条件。10.我们立即得到AE+（u）<+∞ （因此假设2.10成立）假设u是确定性的，连续可微分的，并且存在一些p>0，使得0<lim infx→+∞u′（x）xp≤ lim supx→+∞u′（x）xp<+∞.事实上，如果上述条件对u是真的，那么一方面，可以找到存在一些x>0的m>0，使得所有x的u′（x）>m xp≥ x、 但这意味着，对于所有x≥ x、 u（x）- u（x）=Zxxu′（y）dy≥ mxp+1- xp+1p+1。另一方面，我们可以找到有xM>0的M>0，使得所有x的u′（x）<xpm≥ xM。定义ˇx，max{x，xM}>0，注意我们可以假设u（x）>0而不丧失普遍性，并结合前面的不等式最终得出x u′（x）u（x）≤Mxp+1mp+1（xp+1- xp+1）+u（x）代表所有x≥ ˇx，thereforelim supx→+∞xu′（x）u（x）<+∞.特别地，如果u′（x）渐近等价于幂函数（即u′（x）/xp）→ 1，作为x→ +∞) 那么假设2。10次等待。

许多分段凹函数或“S形”函数（不仅仅是分段幂函数）可以通过这种方式调节，例如Berkelaar、Kouwenberg和Post[1]中考虑的Theone函数；金和周[11]。最后，假设u是示例2.9的效用。如果满足以下条件：（i）ess sup B<+∞;（ii）存在实数γ>0，ex>0和C≥ 因此，对于所有λ≥ 1和所有x≥ ex，eu（λx）≤ λγeu（x）+λγC；（iii）函数eu在其域上是连续可微的，对于所有x，实数k>0和bx>0≥ bx，eu′（x）≤ K然后是完整的假设2。10.实际上，设置x，max{ex，bx}+ess sup B>0 yieldsu（λx，ω）=euλ十、-B（ω）λ≤ λγeu十、-B（ω）λ+ λγC≤ λγeu（x）- B（ω））+λγkb（ω）1.-λ+ λγc对于a.e.ω，同时对于所有λ≥ 1和x≥x、 注意u+（x，·）≤ ~u+（x）和latteris阻止了ministic。因此，choosing c，K ess sup B+c（它是常数，因此可微积）给出了所声称的结果。我们最后指出，对于足够大的x，任何函数eu为凹函数，都满足上述条件（ii）、（iii）。现在我们可以推导出以下辅助结果，它为allx提供了一个估计值≥ 0，而不仅仅是x≥ x、 第6/23页离散时间曲线2.12中正实轴上的非凹效用最大化。在屁股底下。10有一个随机变量C≥ 0 a.s.使EP[C]<+∞ 对于a.e.ω，u+（λx，ω）≤ λγu+（x，ω）+λγC（ω）（2.6）同时适用于所有λ≥ 1和所有x≥ 0.证明。见附录6。3主要结果最优投资组合问题在于选择给定资产中的“最佳”投资：使终端财富的预期效用最大化的投资。定义3.1。让假设2.7成为可能。

给定任何x≥ 0，具有初始财富xon a fine horizon T的非凹投资组合问题为φ*∈ ψ（x）使v*（x） ，苏普尼弗φT（·）·i:φ∈ ψ（x）o=EPhuΠφ*T（·）·i、 （3.1）我们称之为φ*最佳策略。备注3.2。（i） 注意，由于假设2。7，伊芙-φT（·）·我≤ EPU-(0, ·)< +∞,上述（3.1）中的预期是存在的（尽管它们可能是有限的）。还需要立即检查一下策略≡ 0表示所有x的ψ（x）≥ 0，因此Supremum将接管一个非空集。特别是，v*（十）≥ EP[u（x，·）]>-∞, 低估。7.（ii）人们可能会问为什么存在最优φ*当ε-最优策略φε（即在所有策略中ε-接近上确界的策略）的存在是自动的时，对于所有ε>0，这一点很重要。首先，最优策略φ的不存在性*通常意味着一个乐观主义者序列φ1/n；N∈ N显示了一种实际上不可行且违反直觉的行为（参见Rásonyi和Stettner[18]的示例7.3）。第二，φ的存在*通常与一些紧性性质结合在一起，这是构造最终数值格式以找到最优解所需的。下面是这篇论文的主要结果。它说优化问题（3.1）有一个解决方案。定理3.3。让我们假设一下。1、2.7和2.10是正确的。进一步假设，对于everyx∈ [0, +∞) ,五、*（x） <+∞. （3.2）然后，对于每个x∈ [0, +∞) , 这里有一个策略*∈ ψ（x）令人满意Πφ*T（·）·i=v*（x） 。（3.3）证据。在适当准备之后，将在第5节中给出证据。我们在这里简要介绍一下。将采用动态编程技术。这将使我们能够把原来的问题分解成几个子问题，这些子问题涉及时间T的随机效用函数。

在每个时间步，我们将根据引理4提供的自然相容性，找到一个一步最优解。7以下和第7/23页的

该设置将应用于G=Ft的多步情况（见下一节）-1和Y=每一个固定的t∈ {1，…，T}。按照上一节的符号o，我们用Ξd表示所有G-可测函数ξ的族：Ohm → 另外，让PY | G:B研发部× Ohm → [0，1]是给定Y的唯一（最多一组度量值）正则条件分布。通过在P-null集上修改它，我们可以并且将假设PY | G（·ω）是每个ω的概率。现在，对于每个ω∈ Ohm, letsuppPY | G（·ω）表示PY | G（·，ω）（存在且非空）的支撑，并让D（ω）表示支撑的有效外壳PY | G（·ω）, 也就是D（ω），a off晚餐PY | G（·ω）.我们还将假设如下。假设4.1。对于a.e.ω∈ Ohm, D（ω）是Rd的线性子空间。此外，对于每个G-可测r和om变量H：Ohm → R和H≥ 上午0点。（对于任何常数x也是如此。）≥ 0），定义集合Ξd（H），ξ ∈ Ξd:H+Hξ，yi≥ 0 a.s。.最后，请注意所有函数的族ξ∈ Ξd如ξ（ω）∈ D（ω）表示a.e.ω。符号Ξd（H）是不言自明的。我们还应考虑以下条件，可将其视为一步无套利（参见第2.3条）。第8/23页离散时间假设4.2中正实轴上的非凹效用最大化。存在G-可测的随机变量β，κ>0a.s.这样p（hξ，yi≤ -βkξk | G）≥ κa.s.（4.1）对于所有ξ∈eΞd.我们可能也将假设β≤ 1.假设4.3。让函数V:[0+∞) × Ohm → R满足以下两个性质：（i）对于任何固定x∈ [0, +∞) , 函数V（x，·）：Ohm → R是相对于toF可测量的；（ii）对于a.e.ω∈ Ohm, 函数V（·，ω）：[0+∞) → R是连续的，不递减的。我们还需要下列可积条件。假设4.4。

每x∈ [0, +∞),ess supξ∈Ξd（x）EPV+（x+hξ（·），Y（·）i，·）G< +∞ a、 s.（4.2）假设4.5。V的条件期望-(0, ·) : Ohm → [0, +∞) 关于toG is FINITE a.s.，即EP五、-(0, ·)G< +∞ a、 最后，我们对V施加以下生长条件。假设4.6。存在一个常数γ>0和一个随机变量C≥ 0 a.s.这样的EP\'C< +∞ 对于a.e.ω，V+（λx，ω）≤ λγV+（x，ω）+λγ′C（ω）（4.4）同时适用于所有λ≥ 1和所有x≥ 接下来，我们注意到，对于某些ξ，用^ξ（ω）表示ξ（ω）在D（ω）上的正交投影∈ Ξd，我们有^ξ∈ Ξdand h^ξ，yi=hξ，yi a.s.，读者可向Carassus andRásonyi[5，备注8]了解更多细节。这意味着任何投资组合c都可以用其对D的预测来代替，而不改变其价值或对投资者的期望。现在我们回想一下，D中所有可容许策略的集合是有界的。引理4.7。假设这个假设。2是正确的。给定任何x≥ 0，存在可测的实值随机变量Kx，x/β≥ x如此，每x∈ [0，x]和每ξ∈Ξd（x），我们有kξk≤ Kxa。s、 （4.5）证据。这是Rásonyi和Stettner[19]中的引理2.1。至于下一个引理，它将允许我们将Fato-u引理应用于一系列倾向于下面（4.7）中基本上确界的条件期望。引理4.8。假设这是一种消费。1,4.2,4.3,4.4,4.5和4.6正确。给定anyx≥ 0，有一个非负随机变量L′：Ohm → R使得E[L′|G]<+∞ a、 每ξ∈Ξd（x）不等式v+（x+hξ（·），Y（·）i，·）≤ Lx（·）（4.6）适用于所有带有Lx的x，xγ+1L′，在固定的P-空集之外。证据见第6节。现在，基本上确界的一个常规版本被证明是存在的。第9/23页离散时间曲线4.9中正实轴上的非凹效用最大化。假设这个假设。1,4.2,4.3,4.4,4.5和4.6正确。

存在一个函数G:[0+∞) × Ohm → R满足以下两个性质：（i）函数G（x，·）是ess supξ的一个版本∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]对于每个hx∈ [0, +∞);（ii）对于P-a.e.ω∈ Ohm, 函数G（·，ω）：[0+∞) → R在[0]上是非递减且连续的+∞).此外，给定任意G-可测随机变量H≥ 0A.s.，G（H（·），·）=ess supξ∈Ξd（H）EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）|G]a.s.（4.7）证明。见附录6。提议4。10.假设假设4.1、4.2、4.3、4.4、4.5和4.6是正确的。Forevery G-可测随机变量H≥ 0a.s.，存在ξ（H）（·）∈Ξd（H）与g（H（·），·）=EPhVH+Deξ（H）（·），Y（·）E·吉娅。s、 （4.8）证据。见第6节。5.多步骤案例在本节中，我们将遵循Carassus和Rásonyi[5]；Rásonyi和Stettner[18,19]提出了一种动态规划方法，在不同的交易日将原始优化问题分解为若干子问题。我们的目标是调用递减部分的结果，从而使我们能够在每个阶段获得最佳解决方案。以适当的方式将它们结合起来将产生一个全局最优的投资策略。理论证明3。3.我们必须证明，第4节中的一些重要假设在每个时间步都得到了保留。让我们从定义ut（x，ω），u（x，ω），x开始≥ 0, ω ∈ Ohm.我们希望将第4节的结果应用于Y，圣彼得堡-1和V，UT。（i） 因为假设2。1根据假设，Jacod和Shiryaev[10]中的定理3暗示了a ffine空间DT（ω）是Rda的线性子空间。s、 因此，假设。1得到验证。根据2.3提案，假设4.2也成立。（ii）我们进一步注意到这一假设。3对于随机m效用函数的定义也是如此。（iii）我们现在声称该假设4。4是令人满意的。为了证明这一点，我们将≥ 0

首先我们检查EP[UT（x+hξ（·），圣（·）一·）|英尺-1] 对于任何给定ξ，都有明确的定义和明确的a.s∈ ΞdT-1（x）。显而易见，Rd值流程由φξTξ、 如果t=t，则0为ψ（x）中的投资组合，带epu+πφξT（·）·英尺-1.= EPu+（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.= EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.a、 s.第10页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化特别是，前面的等式和（3.4）意味着EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.= EPu+πφξT（·）·< +∞,所以EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.< +∞ a、 s.（因此，条件预期得到了很好的定义，并根据Remark3.2（i）确定了a.s.）。接下来，可以很容易地证明EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.: ξ ∈ ΞdT-1（x）是向上的，所以我们可以找到一个可数的随机向量序列{ξn；n∈ N}ΞdT-1（x）达到本质上确界，即→+∞EPU+T（x+hξn（·），圣（·）i，·）英尺-1.= ess supξ∈ΞdT-1（x）EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.a、 以非递减的方式。因此，根据单调收敛定理和条件表达式的定义，EP“ess supξ”∈ΞdT-1（x）EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.#= 画→+∞EPEPU+T（x+hξn（·），圣（·）i，·）英尺-1.= 苏普∈棉结U+T（x+hξn（·），圣（·）i，·）= 苏普∈尼福+φnT（·）·我+∞,其中φn，φξ，我们再次调用（3.4）。因此ess supξ∈ΞdT-1（x）EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.< +∞ a、 下一步是展示这种假设。5个也可以。事实上，根据假设2.7，EPEPU-T（0，·）英尺-1.= EPU-T（0，·）= EPU-(0, ·)< +∞,所以EPU-T（0，·）英尺-1.< +∞ A.s、 （v）最后，让常数γ>0和可积随机变量C（·）≥ 0 a.s.根据假设2给出。10和引理2.12。那么，对于a.e。

ω ∈ Ohm,U+T（λx，ω）=U+（λx，ω）≤ λγu+（x，ω）+C（ω）λγ=λγu+T（x，ω）+C（ω）λγ（5.1）同时用于所有λ≥ 1和x≥ 0.现在，由Lemma4。存在一个函数GT-1: [0, +∞) × Ohm → 在P-满测度集中，函数GT-1(·, ω) : [ 0, +∞) → R在[0]上不递减且连续+∞). 而且，每x∈ [ 0, +∞),燃气轮机-1（x，·）=ess supξ∈ΞdT-1（x）EP[UT（x+hξ（·），圣（·）一·）|英尺-1] a.s.第11页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化此外，第4条。10给我们，每小时∈ ΞT-1、英国《金融时报》-1-可测函数ξT（H）（·）：Ohm → RDGT-1（H（·），·）=ess supξ∈ΞdT-1（H）EP[UT（H（·）+Hξ（·），圣（·）一·）|英尺-1] （5.2）=EPhUTH（·）+DeξT（H）（·），圣（·E）·英尺-1ia。s、 现在让我们进入动态规划的下一个阶段。让我们-1: [0, + ∞) ×Ohm → R是UT给出的函数-1（x，ω），GT-1（x，ω）。和之前一样，我们想使用第4节的结果，这次是Y，装货单-1，克，英尺-2和V，UT-1.假设。如前所述，1和4.2都是正确的。接下来，我们证明这个假设。3次。事实上，考虑到任何x≥ 0，函数ut-1（x，·）：Ohm → R是英尺-1-可测量。另一方面，对于a.e.ω，我们有UT的副定义-1那是什么-1（·ω）是[0]上的非退化连续函数+∞).（iii.4）假设我们也有。事实上，让x≥ 0可以是任意的，但固定的，它可以很容易地检查，就像以前一样（手册的构造变得更加复杂，但完全类似于ous），对于每个ξ∈ ΞdT-2（x），条件期望EP[UT-1（x+hξ（·），装货单-1（·）i，·）|英尺-2] 不仅定义明确，而且定义明确。此外，ess supξ∈ΞdT-2（x）EPU+T-1（x+hξ（·），装货单-1（·）i，·）英尺-2.< +∞ a、 如所愿。（iv）我们继续证明假设4。5也经过了验证。

给定任何x≥ 0，很明显-1（x，·）=GT-1（x，·）≥ EP[UT（x，·）|英尺-1] 在美国，不平等是由0造成的∈ ΞdT-1（x）和对基本原则的定义。现在我们可以使用Jensen不等式（对于条件期望）来计算EPU-T-1(0, ·)英尺-2.= EPU-T-1(0, ·)≤ EPEPU-T（0，·）英尺-1.= EPU-T（0，·）= EPU-(0, ·),这反过来意味着（回想2.7节）EPU-T-1(0, ·)英尺-2.< +∞ a、 顺便说一句，我们也证明了这一点U-T-1(0, ·)≤ EPU-(0, ·). （5.3）（v\'）取常数γ>0和可积随机变量C（·）≥ 0 a.s.成为一个s.s.消费者2。10和引理2.12。对于每个λ，我们都有≥ 1和x≥ 0，U+T-1（λx，·）≤ EPhU+Tλx+DeξT（λx）（·），圣（·E）·英尺-1i≤ λγEPhU+Tx+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i+λγEP[C（·）| FT-1] a.s.，第12页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化，其中第一个不等式来自条件Jensen不等式和（5.2），其中H=λx，第二个不等式使用（5.1）。随着时间的推移，很容易看出eξT（λx）（·）/λ∈ΞdT-1（x）我们得到了μ+Tx+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i=EPhUTx+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i+EPhU-Tx+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i≤ 埃弗特x+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i+EPU-T（0，·）英尺-1.≤ 美国犹他州-1（x，·）+EPU-T（0，·）英尺-1.a、 所以我们得出结论，对于每个λ≥ 1和x≥ 0，U+T-1（λx，·）≤ λγU+T-1（x，·）+λγ′C（·）a.s.代表C（·），EP[C（·）| FT-1] +EPU-T（0，·）英尺-1.< +∞ a、 根据假设4。5表示V=UT。此外，EP\'\'C（·）= EP[C（·）]+EP[u-(0, ·)] < +∞ 凭直觉。7.使用UT路径的规则性-1.我们明白了，因为a.e。

ω不等式U+T-1（λx，ω）≤λγU+T-1（x，ω）+λγ′C（ω）同时适用于llλ≥ 1和x≥ 0，所以假设4.6得到验证。因此，我们可以应用引理4。9和命题4.10获得函数GT-2andeξT-1满足所需的性能。以类似的方式处理t的剩余值∈ {T- 2.1} （注意，对于下一步，（5.3）将允许我们在步骤（v\'）中得出以下结论：U-T-1(0, ·)< +∞), 我们构造了UT函数-2.U、 UandeξT-2.eξ。然后，我们通过归纳法确定*= x、 φ*（·）和φ*t（·），~ξtΠφ*T-1.(·). 证明的剩余部分，显示φ的最优性*, 正如Rásonyi和Stettner[19]中命题3.2的证明一样展开。我们把它搬到这里是为了方便领导。feξ张力的联合可测性φ*是一个关于给定过滤的可预测过程。回想一下，我们已经证明了这一点∈Ξdt-1（x）EPU+t（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.< +∞ a、 因此，以下所有有条件的预期都存在并且是确定的。很容易看出这一点*t（·）∈ Ξt-1.Πφ*T-1., 命题4。10表明，对于t∈{1，…，T}，EPhUtΠφ*t（·）·英尺-1i=EPhUtΠφ*T-1（·）+DSξtΠφ*T-1.(·) , 圣（·E）·英尺-1i=Ut-1.Πφ*T-1(·) , ·a、 s.So EPhUtΠφ*t（·）·Fi=EPhUt-1.Πφ*T-1(·) , ·Fia。s、 我们推断出Πφ*T（·）·Fi=EPhUΠφ*(·) , ·Fi=U（x）a.s.（5.4）现在让φ∈ ψ（x）。显然，φT∈ ΞT-1.φT-1.. 使用命题4。10年后，我们获得了φT-1（·）+hφT（·），圣（·）一·英尺-1i≤ 美国犹他州-1∏T-1（·），·）a.s.第13页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化迭代我们得到的相同参数φT-1（·）+hφT（·），圣（·）一·菲≤ U（x）a.s.（5.5），证明了定理，回顾了（5.4）。定理3.5的证明。对于每一个时间阶段t，证明的展开与定理3.3完全相同，定理3.3是唯一的不同之处∈ {T。

，1}，在假设4的验证中。4对于函数Ut:[0，∞) × Ohm → R，在3的证明中递归定义。3.第3.3项证明的（i）、（ii）、（iv）、（v）、（i’、（ii’、（iv’）和（v’）完全相同，并将使用以下（5.6）证明（iii）和（iii’）（以及假设4.4）。注意，假设v*（x） <∞ 在定理3.3的证明中，仅在（iii）和（iii\'）中使用。我们通过对t的反向归纳证明了存在一些Jt∈ W使得ut（x，ω）≤ Jt（ω）xγ+1（5.6）同时用于ll x≥ 0，对于P-null集外的ω。从t=t开始，我们设置（x，·），u（x，·）。假设2。10表明，在P-null集之外，对于所有x≥ x、 UT（x，·）=u（x，·）≤ （x/x）γ[u+（x，·）+c（·）]，和for 0≤ x<x，UT（x，·）≤ U+T（x，·）=U+（x，·），所以我们可以设置jt（·），max[u+（x，·）+c（·）]/xγ，u+（x，·）,根据我们的假设，后者显然在W中。现在，让我们假设这个语句已经为T，T显示- 1.t+1。使用MMA4。我们可以估计出（x，·），e ss supξ∈eΞdt（x）EP[Ut+1（x+hξ（·），St+1（·）i，·）| Ft]≤ ess supξ∈eΞdt-1（x）EPhJt+1（·）[x+kξ（·）kSt+1（·）k]γ+Jt+1（·）Fti≤ xγEPhJt+1（·）[1+kSt+1（·）k/βt+1（·）]γFti+EP[Jt+1（·）|Ft]a.s.，因此我们可以设置Jt（·），EPhJt+1（·）[1+kSt+1（·）k/βt+1（·）]γFti∈ W对于每一个x，我们得到了这个不等式≥ 0 a。s、 ，但我们利用UT路径的规律性，得到了所有x≥ 在公共P-完整度量集上为0。现在我们展示（5.6）如何暗示假设4.4成立，从而取代定理3.3证明中的（iii）和（iii\'）。参数与上面使用的jt+1相同≥ 0 a。s、 因此U+t（x，ω）≤ Jt（ω）xγ+1为了所有的x≥ 在一个常见的P-完全测量集上为0。Thuses supξ∈eΞdt-1（x）EPU+t（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.≤ ess supξ∈eΞdt（x）EPhJt（·）[x+kξ（·）kkSt（·）k]γ+Jt（·）英尺-1i≤ （xγ+1）Jt-1(·) < +∞ a、 和假设。4是正确的。

定理3.5的证明结束于定理3.3的证明结束之后。注意，这里我们得到v*（x） <∞ 为了所有的x≥ 0.实际上从（5.5）式中∈ ψ（x）是任意的，我们得到v*（十）≤ EP[U（x，·）]。因此v*（十）≤ （1+xγ）EP[J（·）]<+∞.第14/23页离散时间内正实数轴上的非凹效用最大化6附录我们处于第4节的设置中。例6.1。下面的例子显示，不难找到（非随机）效用，它们在上面有界，但具有非零（实际上是有限的）渐近弹性。下面的构造灵感来自Kramkov和Schachermayer[15]中引理6.5的证明。设f:[0+∞) → R是取值为sf（n）的函数，-n+1=n- 12（n+1），f（n+1/2）- n+an，f（n+1/2+an），f（n+1）- an，与an，1/[4（n+1）（n+2）]相比，每n∈ N、 在定义的点之间是线性的。显然是f(+∞) = 1/2和f（1）=0。我们还注意到f（0）=-1/2 > -∞. 此外，f的分段线性和琐碎计算使f′（x）=f（n+1/2+an）- f（n+1/2）- an）对于任何x，2an=1∈ （n+1/2）- n+1/2+an），特别是f′（n+1/2）等于1。此外，我们还有以下不等式，f（n+1/2）n+1/2≤f（n+1）n+1/2=n（n+2）（2n+1），所以把上述所有的一个结合起来就得到了limn→+∞（n+1/2）f′（n+1/2）/f（n+1/2）=+∞,因此AE+（u）=+∞ 在克拉姆科夫和沙切迈耶的经典意义上[15]。最后，我们注意到，正如Kramkov和Schachermayer[15]中引理6.5的证明一样，f c可以稍加修改，使其变得平滑，我们的结论仍然有效。因此，如备注2.11所述，Kramkov和Schachermayer[15]的引理6.3适用于andlim supx→+∞xf′（x）f（x）=inf{γ>0：十、≥ 0 s.t.a.e。

f（λx，·）≤ λγf（x，·），λ ≥ 1.十、≥ x} 按照通常的惯例，空集的上限是+∞, 而f在两种意义上都有一种独特的表征。然而，选择X=1，我们得到了0≤ f（x）≤1/2代表x≥ x、 假设2.10适用于u（x）=f（x）。引理2.12的证明。考虑一个任意的x∈ [0，x）。然后我们可以利用u是非递减的事实和不等式（2.4）来获得a.e.ω∈ Ohm thatu（λx，ω）≤ u（λx，ω）≤ λγu（x，ω）+λγc（ω）≤ λγu+（x，ω）+λγc（ω）对于任何λ≥ 1.作为c≥ 这意味着u+（λx，ω）≤ λγu+（x，ω）+λγc（ω）。另一方面，对于a.e.ω∈ Ohm 每x≥ x、 由（2.4）可知，u（λx，ω）≤ λγ[u（x，ω）+c（ω）]≤ λγu+（x，ω）+c（ω）总而言之λ≥ 1.再次使用c≥ 我们得到u+（λx，ω）≤ λγ[u+（x，ω）+c（ω）]。因此，选择C（ω），u+（x，ω）+C（ω）≥ 0并结合我们之前得到的关于a.e.ω的不等式∈ Ohmu+（λx，ω）≤ 最大值λγu+（x，ω）+c（ω）, λγu+（x，ω）+c（ω）≤ λγu+（x，ω）+λγC（ω）表示所有λ≥ 1，x≥ 0.最后，请注意EP[C]<+∞ 自EP[u+（x，·）]起+∞ 和EP[c]<+∞根据假设2.10。第15/23页引理4离散时间证明中正实轴上的非凹效用最大化。8.设Θ表示从{1，…，d}到}的函数集{-√D√d} ，并让x>0。然后我们通过引理4.7得到，对于所有的ξ∈eΞd（x），x+hξ，yi≤ x（1+k/β）≤ 十、1+（1/β）最大τ∈Θhτ，Y ia、 s.，henceV+（x+hξ（·），Y（·）i，·）≤ 五+十、1+（1/β（·））最大τ∈Θhτ，Y（·）i, ·≤Xτ∈ΘV+（x[1+hτ/β（·），Y（·）i]，·）a.s.，其中我们定义V+（x，ω），0为x<0。我们从Rásonyi和Stettner[19]的命题4.2得知，存在一个随机集M（1）∈ GB研发部这样ξ∈ M（1）a。s、 当且仅当ξ∈Ξd（1）。用r（1）（ω）表示M（1）（ω）的线性范围，r（1）再次在G中B研发部根据Rásonyi和Stettner的提案4.3[19]。必须在集合{ω上分别证明我们的引理∈ Ohm : dim R（1）（ω）=k}，带k∈ {0, . .

，d}，因为这些集合在G中（参见Rásonyi和Stettner[19]中对命题4.3的证明）。逐字应用Rásonyi和Stettner[19]中引理2.3的论点，可以证明g的存在∈ Ξd（1）和ετ∈ 带ετ的Ξ∈ （0，1）使得egτ，g+ετ（τ/β- g） 属于M（1），因此属于Ξd（1）（用城市引理表示，g=H，g=ρ，Kθi=τ/β，ετ=ψ，i=τ）。因此，对于x≤ 1，V+（x+hξ（·），Y（·）i，·）≤Xτ∈ΘV+（1+hτ/β（·），Y（·）i，·）a.s.，几乎可以肯定，对于x>1，V+（x+hξ（·），Y（·）i，·）≤Xτ∈ΘxγV+（1+hτ/β（·），Y（·）i，·）+C（·）.根据推测4。6.注意，如果τ是这样的，{1+hτ/β（·），Y（·）i<0}具有严格的正概率，那么在这个集合上，前面的不等式成立，因为C≥ 再次应用同样的假设（用同样的注释），我们得到a.s.thatV+1 +τβ（·），Y（·）, ·≤ετ(·)γ五+ετ(·)1 +τβ（·），Y（·）, ·+C（·）≤ετ(·)γ五+ετ（·）[1+hg（·），Y（·）i]+ετ（·）τβ(·)- g（·），Y（·）, ·+C（·）≤ετ(·)γ五+1+hg（·），Y（·）i+ετ（·）τβ(·)- g（·），Y（·）, ·+C（·）=ετ(·)γV+（1+hegτ（·），Y（·）i，·）+C（·）,其中，自1+hg，Y i以来，最后一个不等式成立≥ 0 a.s.现在letL′（·），Xτ∈Θετ(·)γV+（1+hegτ（·），Y（·）i，·）+C（·）+ C（·）！+V+（0，·），其中最后一项被添加，以涵盖x=0的情况。根据假设，EPCG< +∞a、 根据假设4。我们有EP[V+（1+hegτ（·），Y（·）i，·）|G]<+∞ 和EP[V+（0，·）| G]<+∞ a、 因此证明是完整的，因为ετ是G-可测的。第16/23页引理4离散时间证明中正实轴上的非凹效用最大化。9.让我们首先为每个正比例的最终数字q选择ess supξ的一个版本F（q，ω）∈Ξd（q）EP[V（q+hξ（·），Y（·）i，·）|G]。接下来，对于ny对q<qof正有理数，以及任何ξ∈ Ξd（q），有ξ∈ Ξd（q），显然是q+hξ，yi<q+hξ，yi。

所以我们假设。3 thatV（q+hξ（ω），Y（ω）i，ω）≤ V（q+hξ（ω），Y（ω）i，ω）表示P-a.e.ω∈ Ohm. 然后，我们从条件期望的单调性和取本质上确界得出结论，F（q，·）≤ F（q，·）a.s.同样地，对于每个正q∈ Q、 F（Q，ω）<+∞ 根据假设。4.这样就可以找到一套∈ 全概率的G，例如，对于每ω∈ A、 q7的映射→ F（q，ω）是非递减的，并且在正有理数集上是有限值。让我们具体说明，对于每个x∈ [ 0, +∞) ω∈ A、 G（x，ω），infq∈Qq>xF（q，ω），如果ω∈ Ohm \\ A.显然，当x≥ 0在Q中，然后是G（x，·）≥ F（x，·）a.s.此外，对于e ach x≥ 我们知道G（x，·）是G-可测的。我们将把剩余的证据分成五部分。（i） 根据上述定义，可以直接检查每个ω∈ Ohm, 函数G（·，ω）是非递减的。同样清楚的是，G（x，ω）<+∞ 为了所有的x≥ 0和ω∈ Ohm.（ii）我们继续向所有x∈ [ 0, +∞),G（x，·）=ess supξ∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]a.s.为了做到这一点，让我们定义一个任意的x∈ [0, +∞). 然后，对于每一个q∈ Q、 Q>x，不等式supξ∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≤ F（q，·）持有a.s.，因此我们得到supξ∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≤ G（x，·）a.s.仍然需要验证逆不等式是否也是真的（除了可能在一组测量零点上）。这将分三步实现。（a） 让我们从严格的递减序列{qn；n；开始∈ N} 满足x<qn<x+1和limn的有理数→+∞qn=x。现在，给定任意n∈ N、 这是家里的事EP[V（qn+hξ（·），Y（·）i，·）|G]；ξ ∈ Ξd（qn）是向上的，因此一个c可以找到ζn∈ Ξd（qn）使得ep[V（qn+hζn（·），Y（·）i，·）|G]≥ F（qn，·）-娜娜。s、 （b）接下来，fix一个任意的n。

在上面观察到ζn∈ Ξd（qn） Ξd（x+1）。因此，假设bζ是它在D上的投影，我们知道Ephvqn+Dbζn（·），Y（·）E·Gi=EP[V（qn+hζn（·），Y（·）i，·）|G]≥ F（qn，·）-娜娜。s、 （6.1）第17页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化，此外，引理4。7允许我们得出结论，kbζnk≤ Kx+1a。s、 因此，我们可以提取随机子序列bζnk；K∈ 没那么笨→+∞bζnk=ζa.s.，对于某些G-可测量的随机变量ζ（见[13]中的L e mma 2]）。但thenx+hζ（ω），Y（ω）i=limk→+∞qnk（ω）+Dbζnk（ω）（ω），Y（ω）E≥ P-a.e.ω的0∈ Ohm, i、 e.ζ∈ Ξd（x），这反过来意味着∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≥ 最后，让我们定义随机变量fk：Ohm → R如下，fk（ω），Vqnk（ω）+Dbζnk（ω）（ω），Y（ω）E，ω, ω ∈ Ohm.通过序列{qn；n的构造∈ N} 以及随机子序列bζnk；K∈ 不，通过V路径的连续性（见假设4.3），可以清楚地看出→+∞fk=V（x+hζ（·），Y（·）i，·）a.s.我们进一步观察到，对于p-a.e.ω∈ Ohm,fk（ω）≤ 五、x+1+Dbζnk（ω）（ω），Y（ω）E，ω≤h（1+x）γ+1iL′（ω），其中第一个不等式来自V的单数性（我们称为假设4.3的增益），第二个不等式是引理4.8的简单推论，结合x+1+Dbζnk（·），Y（·）E的事实≥ qnk（·）+Dbζnk（·）（·），Y（·）E≥ 因此，我们可以应用Fatou引理（对于上极限）得出EP[V（x+hζ（·），Y（·）i，·）|G]≥ 林素福→+∞EP[fk | G]≥ 林因夫→+∞Fqnk（·）·-nk（·）≥ infn∈NF（qn，·）a.s.，来自（6.1）的（6.3）应用于{nk=i}的i≥ k、 将方程（6.2）和（6.3）结合起来，最终得出了预期的不均匀性supξ∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≥ infn∈NF（qn，·）≥ 第三，通过构造，G是右连续的。

此外，很容易看出g（x，ω）=1A（ω）infn∈N{F（rn，ω）11{rn>x}+(+∞)11{rn≤x} }其中{rn；n∈ N} 是Q的一个枚举（我们通常约定为0×）∞ =0). 回想一下ω→ F（rn，ω）对于每个rn是G-可测的，因此G对于乘积σ-代数B是可测的（[0+∞))  G（iv）现在考虑任意G-可测随机变量H≥ 我们希望展示g（h（·），·）=ess supξ∈Ξd（H）EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）|G]a.s.（6.4）第18页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化我们刚才证明了（6.4）对非负常数H成立。很容易证明它对G-可测可数阶跃函数H也成立。接下来，假设H是任何有界、G-可测、非负（a.s.）随机变量，存在一个常数M>0，使得H≤ 众所周知，我们可以取一个非递增序列{Hn；n∈ N} G-可测阶跃函数收敛到H a.s.，这样，永远y N∈ N、 嗯≤ M.a.s.然后，定义任意ξ∈ Ξd（H），我们每n∈ N等于Hn+hξ，yi≥ H+Hξ，yi≥ 0 a.s.，因此（Hn（·），·）=ess supζ∈Ξd（Hn）EP[V（Hn（·）+hζ（·），Y（·）i，·）|G]≥ EP[V（Hn（·）+hξ（·），Y（·）i，·）| G]a.s.（回想一下，（6.4）对于阶跃函数是正确的），这反过来又会使→+∞G（Hn（·），·）≥ 林恩芬→+∞EP[V（Hn（·）+hξ（·），Y（·）i，·）| G]a.s.一方面，我们通过G的右连续性得到limn→+∞G（Hn（·），·）=G（H（·），·）a.s.另一方面，我们可以应用Fatou引理（关于次极限，请参见假设4.5）得出结论→+∞EP[V（Hn（·）+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≥ EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）| G]a.s.，因此ess supξ∈Ξd（H）EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）|G]≤ G（H（·），·）a.s.（通过ξ的任意性）∈ Ξd（H））。

现在，为了证明这个逆不等式，我们可以构造一个序列{ζn；n∈ N} 这样，每N∈ N、 我们有ζN∈ Ξd（Hn），ζn（ω）∈ D（ω）表示P-a.e.ω∈ Ohm, andG（Hn（·），·）-n=ess supξ∈Ξd（Hn）EP[V（Hn（·）+hξ（·），Y（·）i，·）|G]-N≤ EP[V（Hn（·）+hζn（·），Y（·）i，·）|G]a.s.（6.5）我们进一步指出，每个ζn都长到Ξd（M）（因为M+hζn，Y i≥ Hn+hζn，yi≥ Malema 4.0。7存在一个r和om变量kmk，使得kζnk≤ KMa。s、 因此，我们可以选择一个随机子序列{ζnk；k∈ N} 笨拙的→+∞ζnk=ζa.s.，对于某些G-可测量的ζ。显然，H+Hζ，yi=limk→+∞（Hnk+hζnk，yi）a.s.，且每k∈ N、 Hnk+hζnk，YⅠ=+∞Xi=k（Hi+hζi，yi）11{nk（·）=i}≥ 0 a.s.，因此ζ∈ Ξd（H）。因此，ess supξ∈Ξd（H）EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）|G]≥ EP[V（H（·）+Hζ（·），Y（·）i，·）| G]a.s.，由本质上确界定义。此外，对于everyk，我们有引理4.8∈ N、 五+Hnk（·）（·）+ζnk（·）（·），Y（·）, ·≤ 五+M+ζnk（·）（·），Y（·）, ·≤ LM（·）a.s.第19页/离散时间内正实轴上的非凹效用最大化（注意ζnk∈ Ξd（M）），因此limsup-Fatou引理产生（参见假设4.4）EP[V（H（·）+Hζ（·），Y（·）i，·）|G]≥ 林素福→+∞EP五、Hnk（·）（·）+ζnk（·）（·），Y（·）, ·G≥ 林素福→+∞GHnk（·）（·）·-nk（·）= G（H（·），·）a.s.，其中最后一个不等式来自（6.5）。结合上面的不等式，weestablish（4.7）也适用于任何有界H。最后，我们将上述结果推广到任意G-可测H≥ 0 a.s.自CEH=Pn∈NHn，带ea ch Hn，H11{n-1.≤H<n}G-可测且有界，我们可以从有界情形中得到期望的等式。（v） 最后，我们认为几乎所有的G路径都是连续的。

这将通过构造一些左连续函数来实现ω ∈ Ohm: 十、≥ 0，G（x，ω）=G（x，ω）= 1、我们定义（x，ω），（supq∈Qq<xG（q，ω），如果x>0，则G（0，ω），否则。从（iii）中回想G是B（[0+∞))  G-可测量，所以很明显G是b（[0+∞))  G-也可以测量。此外，对于每一个ω，检查这一点很简单∈Ohm, 函数g（·，ω）在（0+∞). 我们进一步指出，通过构造，G的所有路径在（0+∞).从G的所有样本路径的单调性可以看出，它们的质量是G（x，ω）≥G（x，ω）对每个x同时成立≥ 0，对于每个ω∈ Ohm. 特别是，对于每个ω∈ Ohm 为了所有的x≥ 0，它认为g（x，ω）<+∞. 最后，我们将展示Pω ∈ Ohm: 十、≥ 0，G（x，ω）=G（x，ω）=1.（a）证据是矛盾的。让我们假设Ohm,ω ∈ Ohm : x>0s.t.G（x，ω）>G（x，ω）具有严格的正度量，即P(Ohm) > 0.注意，因为(Ohm, G，P）是一个完整的测度空间，我们可以应用可测投影定理（参见Sainte Beuve[22]中的定理4]）来推导Ohm= 项目OhmG-G-1((0, +∞))属于G。以多功能E为例：Ohm => [ 0 , +∞) 给定byE（ω），x>0:G（x，ω）>G（x，ω）, 如果ω∈ Ohm,{1} 否则。其图形由gph E=(Ohmc×{1}）∪[Ohm× (0, +∞)] ∩HG-G-1((0, +∞))我给定一组E X×Y，我们记得E在X上的投影是projx（E），{X∈ X: Y∈ Y使得（x，Y）∈ E} 。第20页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化，属于B（[0+∞)) G同样地，我们可以应用冯·诺伊玛·纳努曼定理（参见Sainte Beuve[22]中的定理3]）来产生一个g可测量选择器H：Ohm → [ 0, +∞) 当然。特别是，这意味着ω ∈ Ohm: G（H（ω），ω）>G（H（ω），ω）≥ P(Ohm) > 当G（0，ω）=G（0，ω）时，我们得到H>0。