大型市场中的效用最大化

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Utility maximization in the large markets》
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作者：
Oleksii Mostovyi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
In the large financial market, which is described by a model with countably many traded assets, we formulate the problem of the expected utility maximization. Assuming that the preferences of an economic agent are modeled with a stochastic utility and that the consumption occurs according to a stochastic clock, we obtain the \"usual\" conclusions of the utility maximization theory. We also give a characterization of the value function in the large market in terms of a sequence of the value functions in the finite-dimensional models.
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中文摘要：
在大型金融市场中，这是由一个具有可数个交易资产的模型描述的，我们建立了预期效用最大化问题。假设经济主体的偏好是用随机效用建模的，消费是按照随机时钟发生的，我们得到效用最大化理论的“通常”结论。我们还根据有限维模型中的一系列值函数，对大市场中的值函数进行了表征。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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Utility_maximization_in_the_large_markets.pdf
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kedemingshi

2022-5-6 01:29:15

德克萨斯大学奥斯汀分校数学系，德克萨斯州奥斯汀78712-0257（大多数）ovyi@math.utexas.edu）2021年8月29日根据一个交易资产数量可观的模型描述的大型金融市场，我们提出了预期效用最大化的问题。假设经济主体的偏好是用随机效用建模的，消费是根据随机时钟发生的，我们得到效用最大化理论的“通常”结论。我们还根据有限维模型中的一系列价值函数对大市场中的价值函数进行了表征。关键词：效用最大化、大市场、不完全市场、凸对偶、最优投资、stoch 1介绍在数学金融文献中，大型证券市场的notio n由[14]引入，作为一系列概率空间，具有相应的时间范围和代表交易的半鞅。作者要感谢Dmitry Kramkov、Mihai S^irbu和Gordan G Zitkovi对本文主题的讨论。这项工作得到了美国国家科学基金会的支持，批准号为DMS-0955614，PI GordanˇZitkovi\'c资产。在[15,17,18,19,20,21]中，对大型市场环境中无套利条件的调查自然引起了研究界和isdone的注意，而[2,3,6,7,27]中考虑了与复杂度相关的问题。与[14,15]相反，[1]假设一个大的市场由一个概率空间组成，但交易资产的数量是可数的，而套利定价理论的其他贡献导致了这样的设置。

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能者818

2022-5-6 01:29:20

请注意，具有可数多资产的模型包含股票价格过程的随机维度（如[26]中所述）。[9] 将[1]中的公式推广到一个由一系列半鞅驱动的模型，建立了终端财富问题效用最大化理论的标准结论，并得到了超可复制索赔的对偶特征。他们的结果基于[8]中关于半鞅序列的随机积分的概念。[11,24]研究了许多交易的零息债券中设置的默顿投资组合问题。[2,3,4,5,7,27]考虑了大型市场模型在固定系膜证券分析中的其他应用。我们考虑一个由一系列半鞅（如[9]）驱动的市场，其中有可数目的交易资产。在这种情况下，我们为理性经济主体公式化了默顿投资组合问题，该经济主体的偏好是通过在正实线上定义的INDA类型的随机效用指定的，其消费遵循随机时钟。在初值函数和对偶值函数不完全的条件下，我们建立了原优化问题和对偶优化问题的标准存在唯一性结果。我们还根据有限维模型中价值函数序列的适当极限来刻画原始值函数和对偶值函数。特别是，我们在[9]中通过添加中间消费和假设代理人偏好的随机性来扩展效用最大化结果。我们的结果的证明取决于命题3.1中给出的可容许消费过程的对偶特征，它允许将当前模型与[23]中的抽象定理联系起来。

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大多数88

2022-5-6 01:29:23

注意，我们对容许消费和交易策略的公式依赖于[8]意义下关于半鞅序列的随机积分的概念。我们相信，我们的结果为分析存在或不存在中间消费的大市场环境中的其他问题提供了一组便利的条件，例如稳健效用最大化、随机捐赠的最优投资、基于效用的定价和均衡的存在。论文的其余部分组织如下。第2节包含模型公式和主要结果，这些公式在定理2.2和引理2.4中给出。第3.2节给出了他们的证明，模型和主要结果考虑了过滤概率空间Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P, 过滤（Ft）在哪里∈[0，T]满足通常的条件，即平凡σ-代数的完成。如[1,9]所述，我们假设存在一个固定市场，它由一个无风险债券和一系列半鞅=（Sn）n组成≥1=（坐）t∈[0，T]∞i=1这描述了种群的演化。债券的价格应该始终等于1。大市场战略的概念依赖于有限维度的计算部分，我们首先指定其定义。为了n∈ N、 N元策略是一个Rn值的、可预测的过程，它与resp-ectto（Si）i可积≤n、基本策略是一种策略，对于某些n.对于x.是n-基本的≥ 当H·S=Pi时，n-初等策略H是x-容许的≤nHi·Si从下方一致有界于常数-x P–a.s。

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mingdashike22

2022-5-6 01:29:27

Lethn表示n-初等策略集，这些策略对于某些x也是x-容许的≥ 0.在当前设置中，可容许财富过程和交易策略的规定基于[8]意义上的半鞅序列的积分。因此，我们回顾了[8]中的几个定义，可容许消耗量的计算是基于这些定义的。熟悉这种结构的读者可能会开始定义x-容许的广义策略。回想一下，RN是所有实数序列的空间。RN上的无界函数al是线性函数F，而域Dom（F）是RN的子空间。简单被积函数是mPi的有界可预测过程的有限和≤nhiei，其中（ei）是RNA的规范基础，hi是一维有界且可预测的过程。如果存在一系列简单被积函数（Hn），例如H=limn，则Rn上具有无界泛函集合中值的过程H是可预测的→∞HnP–a.s.，这意味着x∈ Dom（H）如果序列（Hn）收敛并且limn→∞Hn（x）=H（x）。如果存在一个简单被积函数序列（Hn），则Rn上无界泛函集合中有值的可预测过程H可积于S，从而（Hn）收敛于H，半鞅序列（Hn·S）收敛于半鞅拓扑中的半鞅Y。在这种情况下，我们将随机积分H·S定义为Y。每x≥ 如果H关于半鞅S是可积的，且存在x-容许初等策略的逼近序列（Hn），则过程H是x-容许广义策略，从而（Hn·S）在半鞅拓扑中收敛到H·S。

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nandehutu2022

2022-5-6 01:29:30

请注意，这是[9]中的定义2.5。让我们将投资组合∏定义为三元（x，H，c），其中常数x为初始值，H为可预测且可容许的S-可积过程（在RN上具有无界泛函集合中的值），指定投资组合中持有的每项资产的数量，c=（ct）t∈[0，T]是一个非负且可选的过程，以债券的单位指定消费率。此后，我们将得到一个随机时钟κ=（κt）t∈[0，T]，这是一个非递减的c`adl`ag适应过程，使得（2.1）κ=0，P[κT>0]>0和κT≤ A对于某个固定常数A.随机时钟代表消费发生的时间概念。注意，鉴于下面定义的效用最大化问题（2.3），我们将只考虑相对于dκ绝对连续的消耗过程，即C·κ形式，因为其他消耗是次优的。我们将使用以下符号：对于任意常数x和y以及过程x和y，（x+yXY）表示过程（x+yXtYt）t∈[0，T]。对于aportfolio（x，H，c），我们定义了财富过程asX=x+H·S- c·κ。注意，半鞅拓扑中财富过程集的闭包在[9,16]中进行了研究（与这里的定义不同的是，对阿沃尔特过程的相应定义）。为了x≥ 0，我们定义了x-容许消耗集asA（x），{c≥ 0:c是可选的，存在x-容许的广义策略H，s.t.x+H·s- c·κ≥ 0} .因此，一个恒定的严格正消耗c*t、 x/A，t∈ [0，T]，每x>0就属于A（x）。为了n≥ 1，设Zn表示n-初等策略等价鞅测度的c`adl`ag密度集，即Zn，{Z>0:Z是c`adl`ag鞅，s.t.Z=1，（1+H·s）Z是每H的局部鞅∈ H是1- 不可接受}。注：t Zn+1 锌，氮≥ 1.

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可人4

2022-5-6 01:29:33

我们还定义了\\n≥1Zn，以及（2.2）Z 6=,这与[9]中的无套利条件一致。经济主体的偏好通过随机效用u:[0，T]×来建模Ohm × [0, ∞) → R∪ {-∞} 满足以下条件。假设2.1。每（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 函数x→ U（t，ω，x）在（0，∞) 满足Inada条件：limx↓0U′（t，ω，x）=+∞ 还有limx→∞U′（t，ω，x），0，其中U′表示关于第三个参数的偏导数。在x=0时，我们通过连续性假设U（t，ω，0）=limx↓0U（t，ω，x），t这个值可能是-∞. 每x≥ 0随机过程U（·，·，x）是可选的。U上的条件与[23]中的条件一致（在有限的时间范围内）。为了简化非负可选过程c的符号，带有t个向量（U（t，ω，ct（ω））t的过程∈[0，T]，（U′（T，ω，ct（ω）））T∈[0，T]和（U-（t，ω，ct（ω）））t∈[0，T]（其中U-表示U）的负部分将由U（c）、U′（c）和U组成-（c）分别。对于给定的初始资本x>0，代理人的目标是最大化其预期效用。这个问题的值函数用（2.3）u（x），supc表示∈A（x）E[U（c）·κT]，x>0。我们使用约定（2.4）E[U（c）·κT]，-∞ 如果EU-（c） ·κT= +∞.为了研究（2.3），我们采用了[22]和[28]中的标准对偶参数，并定义了共轭随机场V到U asV（t，ω，y），supx>0（U（t，ω，x）- xy），（t，ω，y）∈ [0，T]×Ohm × [0, ∞).众所周知-V满足假设2.1。为了你≥ 0，我们也表示y（y），cl{y:y是c`adl`ag，0≤ Y≤ yZ（dκ×P）a.e.对于某些Z∈ Z}，其中闭包是在有限值光学过程空间上的测度收敛拓扑y（dκ×P）中进行的。

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能者818

2022-5-6 01:29:36

为了简洁，我们将这个空间表示为l（dκ×P）或lf。与U与c的合成类似，对于非负可选过程，随机过程的实现是（V（t，ω，Yt（ω）））t∈[0，T]和（V+（T，ω，Yt（ω））T∈[0，T]（其中V+是V的正功率），将分别由V（Y）和V+（Y）表示。在这些准备工作之后，我们将对偶优化问题的值函数定义为（2.5）v（y），infY∈Y（Y）E[V（Y）·κT]，Y>0，这里我们使用约定：（2.6）E[V（Y）·κT]+∞ 如果EV+（Y）·κT= +∞.以下定理构成了本文的主要贡献。定理2.2。假设条件（2.1）和（2.2）以及假设2.1成立，假设v（y）<∞ f或所有y>0和u（x）>-∞ f或所有x>0。然后我们有：1。u（x）<∞ 对于所有x>0，v（y）>-∞ 总的来说，y>0。函数u和v是共轭的，即v（y）=supx>0（u（x）- y>0，u（x）=infy>0（v（y）+xy），x>0。函数u和-v在（0，∞), 严格递增，严格凹，满足Inada条件：u′（0），limx↓0u′（x）=+∞, -v′（0），石灰↓0-v′（y）=+∞,u′(∞) , 利克斯→∞u′（x）=0，-v′(∞) , 酸橙→∞-v′（y）=0.2。对于每一个x>0和y>0，最优解^c（x）到（2.3）和^y（y）到（2.5）存在并且是唯一的。此外，如果y=u′（x），我们有d ualrelations^y（y）=u′（c（x）），（dκ×P）a.e.andEh（^c（x）^Y（Y））·κTi=xy。3.我们有，v（y）=infZ∈ZE[V（yZ）·κT]，y>0,2.1大型市场作为一系列有限维市场的极限，受流动性问题的驱动，我们讨论了随着可用交易证券数量的增加，价值函数的收敛。为此，我们需要以下定义。

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kedemingshi

2022-5-6 01:29:39

每n≥ 1，我们设为（x），{c可选≥ 0:存在H∈ Hns。t、 x+H·ST- c·κT≥ 每年0英镑。s、 }，（2.7）un（x），supc∈An（x）E[U（c）·κT]，x>0，Yn（y），cl{y:y是c`adl`ag适应的，0≤ Y≤ yZ（dκ×P）a.e.对于某些Z∈ Zn}，其中闭包取L，（2.8）vn（y），infY∈Yn（y）E[V（y）·κT]，y>0，并假设约定（2.4）和（2.6）。注意，对于每一个z>0，b oth（un（z））和（vn（z））是递增序列。我们假设（2.9）A（1- ε) 氯[n]≥1安（1）！每ε∈ （0，1]，其中闭包取L。设1E表示集合E的指示函数。备注2.3。它源自下面的3.1和Fatou引理thatcl锡≥1An（1） A（1）。假设（2.9）给出了反向包含的较弱版本。请注意，如果以下任一条件有效，则（2.9）适用。1.κt=1T（t），t∈ [0，T]，即如果（2.3）定义了终端财富的最优投资问题。然后（2.9）来自[9]中的引理3.4。过程是（组件）连续的。这是下面Lemma 3.7的主题。引理2.4。假设存在n∈ N、使（2.10）un（x）>-∞ 每x>0，v（y）<+∞ 对于每一个y>0。然后，在假设2.1的条件（2.1）、（2.2）和（2.9）下，我们得到（2.11）u（x）=limn→∞un（x），x>0，v（y）=limn→∞vn（y），y>0。备注2.5。（2.10）暗示v的真实性，-u、 vn，以及-联合国≥ 1.它们也是凸面的。[12]中的定理3.1.4确保（2.11）中的收敛在（0）的紧致子集上是一致的，∞). 此外，[25]中的定理25.7断言导数（vn′）和（un′，n≥ 1，在（0，∞) 分别到v′和u′。引理2.4表明，在拥有可数资产的市场中，价值函数是有限维模型的价值函数的极限。

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mingdashike22

2022-5-6 01:29:42

下面的例子表明，一般而言，在拥有大量交易资产的市场中，最优投资组合不是有限维市场中最优投资组合的极限。本例构建过程中的重要技术特征是，在每个有限维市场中，最后一只股票h作为最大的预期收益。例2.6。我们考虑一个单期模型，其中有一个无风险的带S的债券≡ 1和一个股票序列（Si），使得everyi的Si=1和（Si）是独立的随机变量，取{，2}中的值，概率为1- Pian和Pir分别，其中（pi）是一个递增序列。因此，我们有Maxk∈{1，…，n}ESk= E[Sn]，n≥ 1，即每个有限维市场的最后一只股票的预期回报率最高。注意（2.2）适用。我们假设一个经济主体的偏好是由定义在正实线上的丰富效用函数所指定的，正实线是严格递增的、严格凹的、连续可差的，并且满足非条件。让随机时钟κ对应于终端财富的效用最大化问题。然后（2.9）适用于备注2.3的第一项，而U的有界性意味着（2.10）。因此，引理2.4的断言成立。我们还施加以下技术假设（2.12）p>U（1）- UU（2）- U∨,这特别意味着t（2.13）U（1）=E美国< E美国.为了简单起见，我们假设代理的初始值等于1。设hNibe为市场中第i项资产的最佳股数，其中N只股票可供交易，N≥ 1.受理条件意味着≥ 0，即无风险资产的股份数必须为非负。

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大多数88

2022-5-6 01:29:45

（pi）的单调性导致以下不等式（2.14）hN≤ 嗯≤ · · · ≤ hNN，N≥ 1.根据U的凸性和单调性以及（2.12）hNi≥ 0（如果相矛盾，hNi<0，则无风险资产的第i个股票和hNi+hNi单位为0的投资组合是允许的，它对应于相同的初始财富，并给出了更高的预期效用值）。hNi和（2.14）g iveshNi的非负性≤N- i+1，i=1，N、 N≥ 1，这意味着（2.15）limN→∞hNi=0，i≥ 1.因此，在股票数量众多的市场中，作为最优有限维投资组合（即满意度（2.15））极限的投资组合只能在无风险资产中进行非平凡的配置。这给出了预期效用U（1）的值。鉴于（2.13），这样的投资组合是次优的。3证明定理2.2证明的核心是以下结果。提议3.1。让条件（2.1）和（2.2）保持不变。那么一个非负选择过程c属于a（1）当且仅当（3.1）supZ∈ZE[（（cZ）·κ）T]≤ 1.命题3.1的证明将通过几个引理给出。引理3.2。设H是1-可容许的广义被积函数。在命题3.1的条件下，X，1+H·S是非负的P-a.S，对于everyZ∈ Z，ZX是一个超级艺术家。引理3.2的证明很简单，因此被跳过。请注意，关于引理第二个断言的讨论见[9]的第2011页。引理3.3。设H为1-容许广义策略，c为非负可选过程。在命题3.1的条件下，所有的陈述都是等价的（i）c·κT≤ 1+H·ST，P-a.s.，（ii）c·κ≤ 1+H·S，P–a.S.（即c·κt）≤ 每t 1+H·stt∈ [0，T]，P–a.s.）。证据让我们假设（i）保持并fix Z∈ Z由引理3.2可知，Z（1+H·S）是一个超鞅。

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能者818

2022-5-6 01:29:48

因此，使用c·κ的单调性≤ 我们有ZT（c·κT）=E[ZT（c·κT）|Ft]≤ E[ZT（c·κT）|Ft]≤ E[ZT（1+H·ST）|英尺]≤ Zt（1+H·St），这意味着（ii）鉴于Z的严格正性，以及（1+H·S）和（c·κ）的右连续性，后者从命题i开始。3.5英寸[13]。命题3.1的证明。让c∈ A（1）。修正Z∈ Z和T>0。然后存在一个1-容许的广义策略H，使得1+H·ST≥ c·κT.将both边乘以Z并取期望值，我们得到（3.2）E[ZT（1+h·ST）]≥ E[ZT（c·κT）]，其中右手侧（通过c·κ的单调性和[13]中的REM I.4.49的应用）可以重写为（3.3）E[ZT（c·κT）]=E[（Zc）·κT]。通过定义H，存在一个1-容许基本策略序列（Hn），例如（Hn·S）n≥1在半鞅拓扑中收敛到H·S。因此，（Hn·ST）收敛到H·STin概率，因此存在一个子序列，我们仍然将其表示为（Hn·S），这样（Hn·ST）收敛到H·STP–a.S。因此，对于每个Z∈ Z我们从1-可容许性的定义和Fatou的引理1中获得≥ 林恩芬→∞E[ZT（1+Hn·ST）]≥ E[ZT（1+H·ST）]。结合（3.2）和（3.3），我们得出结论1≥ E[（（Zc）·κ）T]，它保持f或每个Z∈ Z相反，让（3.1）保持不变。使用与（3.3）中相同的参数，我们从（3.1）中获得≥ 苏普兹∈ZE[ZT（c·κ）T]。因此，随机变量c·κt证明了[9]中定理3.1的假设（i），x=1。因此，我们从这个定理得到，存在一个1-容许的广义策略H，使得c·κT≤ 引理3.3，这意味着c∈ A（1）。这就结束了这一主张的证明。设L+表示L的正对数。

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大多数88

2022-5-6 01:29:51

我们记得L+的一个子集a被称为固体，如果f∈ A、 g∈ L+，a和g≤ f意味着g∈ A、 A子集BL+是A的极性，如果B=H∈ L+：E[（（hf）·κ）T]≤ 1，每f∈ A.,在这种情况下，我们表示B=Ao。引理3.4。在命题3.1的条件下，我们有（i）集合A（1）和Y（1）是L的凸、实和闭子集（ii）A（1）和Y（1）满足bipo L A r关系∈ A（1）<=> E[（（cY）·κ）T]≤ 1.每过一天∈ Y（1），Y∈ Y（1）<=> E[（（cY）·κ）T]≤ 1.每过一天∈ A（1）。（iii）A（1）和Y（1）都包含严格的正元素。证据第（iii）项的断言分别来自条件（2.1）和（2.2）。现在，鉴于命题3.1，剩余项的证明与[23]中命题4.4的证明一致。因此这里省略了它。引理3.5。在命题3.1的条件下，我们有e（i）supZ∈ZE[（（cZ）·κ）T]=supY∈Y（1）E[（（cY）·κ）T]对于每一个c∈ A（1），（ii）setz在可数凸组合下是封闭的，即Z中的每一个序列ce（Zm）和一个正数序列am（pm）≥1am=1，过程Z，Pm≥1AMZ属于Z。证据每n≥ 1和H∈ 考虑到X的正性，X+Hn·S（对于适当的X≥ τk，inf{t>0:Xt>k}∧ T、 k≥ 1，是每个XZ的XZ定位序列∈ Z这意味着（ii），而（i）是法图引理和集合Z和Y（1）定义的结果。f.2定理的证明。通过引理3.4，集合A（1）和Y（1）满足[23]中定理3.2的假设，这意味着定理2.2的断言（i）和（ii）。[23]中引理3.5和引理3.3的第（iii）项的结论。这就完成了定理2.2的证明。为了证明引理2.4，我们需要以下技术结果。引理3.6。在引理2的条件下。4，每ε∈ （0，1）我们有\\n≥1Yn（1） Y1.- ε.证据

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kedemingshi

2022-5-6 01:29:54

根据[23]中的命题4.4，f或每n≥ 1，setsAn（1）和Yn（1）满足双极关系，同样通过引理3.4，我们有A（1）o=Y（1）。修正ε∈ (0, 1 ) . 从（2.9）使用法图的外稃（1- ε） o[n]≥1安（1）！o、因此我们得出结论1.- ε= A（1）- ε） o[n]≥1安（1）！o=\\n≥1An（1）o=\\n≥1Yn（1）。这就是引理的证明。引理2.4的证明。在不丧失一般性的情况下，我们假设u（x）>-∞, x>0。我们将只展示第二个断言，因为对Firstone的证明是完全相似的。此外，为了便于注释，我们将假设y=1。设zn为对偶问题（2.8）的极小值，n≥ 1，其中（2.8）解的存在性来自于[23]中的定理2.3。由（2.1）可知，集Zis在L（dκ×P）中有界。这尤其意味着Y（1）在L（dκ×P）中有界。因此，拜莱玛A1。[10]中有一个SequenceZN∈ conv（锌，锌+1，…），N≥ 1和一个元素Z∈ L（dκ×P），使得（eZn）收敛到Z（dκ×P）-a。e、我们也有→∞eZn∈\\N≥1Yn（1） Y1.- ε每ε∈ （0，1），其中后一个包含来自引理3.6。通过V的凸性，我们得到（3.4）lim supn→∞EhV（eZn）·κTi≤ 画→∞vn（1）。请注意（eZn） Y（1）。因此，使用[23]中的引理3.5，我们得出五、-eZn在一致可积（这里是V-表示随机场V的负par）。因此，我们从法头引理和（3.4）推导出1.- ε≤ E[V（Z）·κT]≤ 林恩芬→∞EhV（eZn）·κTi≤ 画→∞vn（1）对于每个ε∈ (0, 1). 取极限为ε↓ 利用v的连续性（通过凸性，见定理2.2），我们得到v（1）≤ 画→∞vn（1）。同样，由于Y（1） Yn（1）每n≥ 1.我们有v（1）≥ 画→∞vn（1）。因此，v（1）=limn→∞vn（1）。引理的证明现在已经完成。引理3.7。设S为满足（2.2）的连续过程S（即S的每个分量都是连续的）。

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可人4

2022-5-6 01:29:57

然后，根据（2.1），（2.9）的规定。证据修正ε∈ （0,1]和c∈ A（1）- ε). 设H为a（1）- ε） -可容许的广义策略，例如C·κ≤ 1.- ε+H·S，P–a.S.设（Hn）为（1）的序列-ε） -容许的初等策略，使得Hn·S在半鞅拓扑中收敛到H·S。让我们将停止时间的顺序定义为τn，inf{t∈ [0，T]：c·κT>1+Hn·St}∧ （T+1）。然后我们有p[τn≤[T]≤ P“supt∈[0，T]（c·κT）- 1 + ε - Hn·St）≥ ε#≤ P“supt∈[0，T]（H·St）- Hn·St）≥ ε#，收敛到0为n→ ∞. 让我们定义一个消费序列（cn），如下Cnt，ct[0，τn）（t），t∈ [0，T]，n≥ 1.然后，通过S的连续性，我们得到cn·κ≤ [0，τn]P–a.S.，n上的1+Hn·S≥ 1.由于Hn[0，τn]是一个1-容许的初等策略，我们推导出cn∈安（1），n≥ 1.我们还可以看到（cn）在L中收敛到c。这是引理的证明。参考文献[1]T.比约克和B.N.阿斯隆。在连续时间内分散投资组合。欧罗巴。F i n.修订版。，1 :361–387, 1998.[2] T·比约克、G·迪·马西、Y·卡巴诺夫和W·伦加尔迪耶。债券市场的一般理论。金融斯托赫。，1:141–174, 1997.[3] T·比约克、Y·卡巴诺夫和W·伦格尔迪耶。债券市场结构中存在的破损点过程。数学财务，7（2）：211-23997。[4] R.Carmona和M.Tehranchi。针对利率或有权益的套期保值组合特征。安。阿普尔。Probab。，1 4(3):1267– 1294,2004.[5] R.Carmona和M.Tehranchi。利息率模型：有限维随机分析视角。斯普林格，2006年。[6] 多诺先生。关于大型金融市场完整性的说明。数学《金融》，14（2）：295–315，2004年。[7] 多诺先生和普拉特利先生。债券市场中度量值策略的使用。金融斯托赫。，8:87–109, 2004.[8] 多诺先生和普拉特利先生。关于半鞅序列的随机积分。

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mingdashike22

2022-5-6 01:30:00

在《纪念保罗·安德烈·迈耶》中，S ` emina i rede Probabilit\'es XXXIX，第119-135页，2006年。[9] 多诺先生、瓜索尼先生和普拉特利先生。大型金融市场的超级复制和效用最大化。随机过程。应用程序。，11 5:2006–2022, 2005.[10] F.Delbaen和W.Scha chermayer。资产定价基本原理的一般版本。数学安。，300:463–520, 1994.[11] I.埃克兰和E.塔弗林。债券投资组合理论。安。阿普尔。Probab。，15(2):1260–1305, 2005.[12] J-B.Hiriar t-Urrut和C.Lemar\'echal。凸分析的基础。斯普林格，2004年4月20日。[13] J.贾科德和A.N.希里亚耶夫。随机过程的极限定理。斯普林格，1980年。[14] Y.卡巴诺夫和K.克拉姆科夫。大型金融市场：渐进性、连续性。Probab。理论应用。，39(1):222–229, 19 94.[15] Y.卡巴诺夫和K.克拉姆科夫。大型金融市场中的渐进套利。金融斯托赫。，2:143–172, 1998.[16] 卡达拉斯。关于半鞅过程集的emery拓扑中的闭包。安。阿普尔。Probab。，23(4):1355–1376 , 2 013.[17] 克莱因。金融市场资产定价的基本理论。数学《金融》，2000年10:443-458。[18] 克莱因。为大型金融市场提供免费午餐，价格持续上涨。安。阿普尔。Probab。，13(4):14 94–1503, 2003.[19] 克莱因。市场免费午餐和大型金融市场。安。阿普尔。Probab。，16(4):2055–2077, 2006.[20] 克莱恩和沙切迈耶。非完全大型金融市场中的渐近套利。特奥里·巴布。应用程序。，41(4):927–934, 1996.[21]I.克莱因和W.沙切迈耶。Halmos-Savage定理的定量和双重版本及其在数学金融中的应用。安。Probab。，24(2):8 67–881, 1996.[22]D.克拉姆科夫和W.沙切迈耶。该模型具有效用函数的辛弹性和不完全市场的最优投资。安。阿普尔。Probab。，9:904–950, 199 9.[23]O.莫斯托夫伊。

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kedemingshi

2022-5-6 01:30:03

中间消费最优投资问题的充分必要条件。arXiv:1107.5852v1[q-fin.PM]，在金融斯托克大学接受。，20 12.[24]N.林格和M.特兰奇。债券市场中的最佳组合选择。《金融史托克h》，10（4）：553-573，20 06。[25]R.T.Rockafellar。凸分析。普林斯顿大学出版社。，1970年[26]W.Str ong。随机维分段半鞅的资产定价基本定理。金融斯托赫。，2013年，出席。第27页。债券市场的完整性和可实现的或有权益。金融斯托赫。，9:429–452, 2005.[28]G.ˇZitkovi\'c.利用随机时钟和无限的随机禀赋实现效用最大化。安。阿普尔。Probab。，15:748–777, 2005.

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