风险和信息下的效用最大化与无差异价值

2022-5-26 21:05:03

具有变化点的市场在风险和信息约束下的效用最大化和无差异价值Oliver JANKEAbstract。在本文中，我们考虑金融市场中连续时间交易的预期效用最大化的优化问题。该交易受到基准f或基于公用事业的空头风险度量的限制。市场由一项资产组成，其价格过程由几何布朗运动建模，其中市场参数在随机时间变化。信息流由最初和逐步扩大的过滤来表示，这些过滤代表了关于价格过程、布朗运动和随机时间的知识。我们通过使用相应过滤的鞅表示结果来解决最大化问题，并根据这些不同的过滤给出一般效用函数的最优终端财富。此外，对于一个特殊的效用函数和风险度量，我们计算效用差异值，该值衡量投资者获得更多信息的收益。1、导言处理效用最大化问题通常有两种方法：动态规划方法和Kramkov&Schachermayer[28]，besidesothers，在一般不完全半鞅模型中使用的对偶或鞅方法。我们在这里使用的鞅方法的主要思想是通过将其表示为so me等效测度下的一个鞅来获得最优终端财富，并找到相应的最优值过程。Bielecki和Rutkowski【6】、Callegaro等人【7】、Jeanblanc和Song【24】等人讨论了此类表示定理，另见其中的参考文献。Fontana等人的最新作品。

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2022-5-26 21:05:07

[15] 已建立的鞅表示导致了一类一般的连续资产价格模型，其中漂移、波动率以及驱动B-rownian运动在随机时间发生变化，而不一定是s-Toping时间。受该模型的启发，本文考虑了在连续时间Black-Scholes市场中，由一个布朗运动驱动的只有一个风险资产的不完全信息下，在短期风险约束下的效用最大化问题。因此，与其他作者相比，我们处理的是漂移以及波动过程在随机时间变化的情况，并使用几种过滤来模拟投资者的信息缺口：他们表示到目前为止的价格过程或基本布朗运动的知识，以及随机变化点发生时间的知识。因此，本文还对最初扩大的过滤进行了建模。[15] 建立了这些滤波器的鞅表示结果，我们将使用这些结果来解决优化问题。我们使用价格过程的典型Lipschitz条件，并考虑正半轴上定义的一般效用函数，该函数满足INDA条件，以及凸损失函数建模的基于效用的风险度量。假设存在布朗运动和最小等价局部鞅测度w.r.t。给定的过滤首先表示必须服从的最优或有权益。

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2022-5-26 21:05:12

根据基础过滤，市场是完整的，即任何意外目标都可以通过自我融资交易策略进行对冲，或者不完整的，即相应的交易策略不再是自我融资，而是意味着自我融资和风险最小化。此外，我们还比较了投资者获得额外信息的收益：我们计算了较小和较大过滤之间的效用差异值，即投资者愿意为额外信息支付的较大价格，以便在两种信息流下其最终产出相同。对于初始放大过滤，该值被[3]考虑为幂、对数和指数效用函数。投资组合优化是现代金融数学的一个中心领域。从默顿（Merton）[33]解决了终端财富对幂、对数和指数效用函数的效用最大化问题开始，许多作者在不同数学模型中考虑了类似的问题：2016年10月27日。2010年数学学科分类。初级91G10、94A17；辅助60G40、60G44、91B25、91B70。关键词和短语。效用最大化、风险约束、不完全信息、随机时间、变化点、鞅方法、过滤放大、信息价值。作者感谢乌尔里希·霍斯特（UlrichHorst）、李庆华（QinghuaLi）和安娜·玛丽亚·哈姆（AnnaMariaH-amm）提出的有益意见和建议。2 OLIVER JANKE金融市场。Artzner等人[4]创立了一个新的研究分支，从数学上定义了风险度量，然后由F¨ollmer&Schied等[12]进一步发展。有了这一金融产品的新指标，风险约束下的投资组合优化问题成为一个活跃的研究课题。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:05:15

过去的金融危机使人们对投资组合策略带来的风险更加警惕。许多作者广泛研究了一种特殊的风险度量，即短缺风险，例如Leibowitz和Henriksson【31】、Rockafellar和Uryasev【36】、Acerbi和Tasche【1】、Bertsimas等人【5】和Goldberg等人【18】，仅举其中一些作者的例子。Janke&Li[22]和其他作者最近在General l semimar tingale框架中解决了shortfallrisk约束下的效用最大化问题。他们表明，在效用函数和损失函数的温和假设下，拉格朗日函数是一个通常的效用函数，其渐近弹性小于1。然后，可以通过Kramkov和Schachermayer引入的对偶方法求解效用为Lagrange函数的无约束最大化问题[28]。近年来，在不完全信息的附加主题下考虑了投资组合优化。与以前的工作不同，这意味着投资组合经理不能完全访问金融市场的所有信息，例如，他只观察股票价格，但不确切知道漂移和波动性参数，这似乎是一种更现实的方法。从数学上讲，这是由代表代理人信息流的价格过程等产生的不同过滤建模的。他所选择的财富过程必须适应给定的过滤，该过滤通常小于基本布朗运动产生的过滤。Lakner【29】解决了Black-Scholes金融市场中消费以及终端财富次部分信息的效用最大化问题。在这里，投资者不知道潜在的布朗运动和漂移过程，他们的交易决策必须适应价格过程的自然过滤。

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2022-5-26 21:05:18

后来在【30】中，他用高斯过程对漂移进行建模，并推导出了这种情况下的最优交易策略。其他作者也考虑了类似的模型：Hahn等人[20]考虑了Hobson-Roge的波动性模型。因此，投资者只有在了解股票价格的情况下才能最大化其预期效用。通过Malliavin演算，他们导出了最优交易策略的显式公式，并将其结果应用于市场数据。Frey等人【16】以及Nagai和Rungga-ldie r【34】解决了对数和电力公用事业的效用最大化问题，并基于非标准化和标准化滤波器值确定了该部分可观测问题的完整观测问题。通过动态规划方法，他们得到了一个非线性偏微分方程，并导出了一个唯一的vis-costity解，该解通常可以通过蒙特卡罗模拟计算。按照sa me方法，Capponi等人[8]使用了由一张股票、一张可违约债券和一个银行账户组成的投资组合。将部分观测问题化为完全观测的ris k-敏感控制问题。将该问题分解为两个子问题，得到了两个耦合的最优值函数DHJB方程。Mania和Santacro c e【32】以及Covello和Santacroce【9】提出了一个幂函数和指数效用函数的优化问题，其中投资者只有关于价格过程的信息。将相关值过程表示为可观测过程，然后将其描述为唯一半鞅倒向随机微分解。阿蒙丁格（Amendinger）[2]和阿蒙丁格（Amendinger）等人[3]考虑了效用最大化问题，但投资者在时间零点已经有了额外的信息，这是由最初扩大的过滤建模的。

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2022-5-26 21:05:21

他们使用鞅表示定理来解决优化问题。Gabih【17】和Rudloff等人【37】考虑了不完全信息风险约束下的相关效用最大化问题。两者都使用了基于效用的短缺风险a s风险度量，并对应于[29，30]，假设了一个未知的布朗运动和漂移过程，该过程由有限状态马尔可夫链建模。他们用Malliavin演算解决了这个问题并得出了最优交易策略。与关于这一主题的现有工作相比，我们考虑了风险约束和不同信息台下的效用最大化问题，据我们所知，文献中尚未涉及这些问题。因此，我们填补了之前关于效用最大化的工作之间的差距——在没有（如[29]）或最初扩大过滤（如[3]）的不完整信息下，以及在有风险约束（如[22]）的情况下，-在风险约束和未知漂移参数（如[37]）和效用差异定价的情况下，对于初始扩大的具有共同效用函数的过滤（如[3]），风险和不完全约束条件下的效用最大化和无差异值3和鞅表示结果，其中只有价格过程已知，且市场参数变化为随机时间（例如[15]）。本文的其余部分如下：在第2节中，我们介绍了金融市场、考虑过的过滤，并给出了无套利的最重要定义、效用函数以及r isk度量。

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2022-5-26 21:05:25

接下来，在主要章节3中，我们首先制定一般约束优化问题，并推导出无约束辅助问题（第3.1小节），然后针对不同的过滤解决该问题，首先针对最初扩大的过滤（第3.2小节），然后针对逐步扩大的过滤（第3.3小节），最后针对价格过程过滤（第3.4小节）。然后，我们计算一个特殊效用和lo-ss函数的效用差异值，以测量投资者额外信息的增益（第3.5小节）。我们在第4.2节中总结了本文。modelLet(Ohm, A、 P）是一个给定的概率空间，让T∈ （0+∞) 成为固定的时间范围。让我们假设本文中介绍的所有随机变量和随机过程都是度量值。r、 t.σ-代数br作为A和A B（[0，T]）。Le t A=（A（t））t∈[0，T]进行过滤(Ohm, A、 P）假设为正确连续且P-c完整，稍后指定。让我们介绍一下市场中的随机变化点，即在0和T之间的随机时间，市场参数将发生变化。它由随机时间τ表示：Ohm → R+，这是一个A-可测量的随机变量，不一定是A-停止时间，参见[15]及其模型。此外，设W=（Wt）t∈[0，T]是上的一维布朗运动(Ohm, A、 P）。现在让我们考虑一个有一个债券（无风险）和一个股票（有风险）的金融市场。由于简单，只设置了两种股票。我们假设利率r=0，股票的（贴现）价格过程遵循几何布朗运动，由s=SE（~s）给出，其中E（~s）=exp（~s-h~S，~Si/2）de注意到了随机指数。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:05:28

进程▄S=（▄St）t∈[0，T]由以下公式得出：（1）（dSt={t≤τ}u（t，~S（t））+1{t>τ}u（t，~S（t））dt公司+{t≤τ}σ（t，~S（t））+1{t>τ}σ（t，~S（t））dWt，~S=0。让我们首先陈述一些关于漂移和挥发过程的Lipschitz条件的技术假设。假设2.1。对于i=1，2，函数ui：[0，T]×R→ R*σi:[0，T]×R→ （0+∞) areBorel可测函数和满足：（a）存在一个常数K>0，使得：|ui（t，x）- ui（t，y）|≤ K | x- y |，|σi（t，x）- σi（t，y）|≤ K | x- y |，对于所有t∈ [0，T]，对于所有x，y∈ R、 i=1，2。（b）函数（t，x）7→ σi（t，x）在（t，x）中联合连续∈ [0，T]×R，对于i=1，2。A=（At）t∈[0，T]描述了(Ohm, A、其中，过程S是半鞅。此外，让我们定义一下本文：σt：=1{t≤τ}σ（t，~St）+1{t>τ}σ（t，~St），0≤ t型≤ T、（2）定义2.2。满足（i）Q的概率测度Q~ P，即P（A）=0当且仅当Q（A）=0（P<< Q<< P）对于任何可测集A，（ii）价格过程S是Qis下的局部鞅，称为等价局部鞅测度。所有等价的局部鞅测度集用Qe表示。为了处理金融市场的不完整信息，我们可以在本文中考虑不同的过滤。它们代表了布朗运动W或价格过程S到预定时间的知识以及随机时间τ的知识。在几个小节中对其进行了严格定义。让我们用FW=（FWt）t表示∈[0，T]和FS=（FSt）T∈[0，T]由Wand S分别生成的过滤，即FWt：=σ（W（S）：S≤ t）重新呈现布朗运动的知识，fst：=σ（S（S）：S≤ t）表示时间t之前的价格过程知识。

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2022-5-26 21:05:32

此外，对于一般问题，我们使用过滤F=（Ft）t∈[0，T]这是所考虑的过滤集合中的一个元素。此外，设L（S，F）表示所有S-可积F-可预测过程的集合。所有F-local4 OLIVER JANKEmartingales家族由Mloc（F）表示。金融市场中的交易通常与无套利假设有关，这一假设直观地说明了投资者在没有风险的情况下无法确保盈利。无障碍地产有不同的定义。在本文中，我们将重点讨论其中的两个。定义2.3（无套利）。（参见[27，10]）（a）如果P（ζ>0）>0，并且如果对于任何x∈ （0+∞) 存在元素hx∈ L（S，F）使x+RhxdS≥ 0、P-a.s.和x+RThxtdSt≥ ζ、 P-a.s.如果不存在这样一个随机变量，我们说第一类无套利（NA1）条件适用于F.（b）a序列（hn）n∈N L（S，F）满足RHnds是P-a.S.有界的，从下面开始，对于所有n∈ N、如果t存在ε>0且非负序列（δN）N增加，则可以得到F中风险为零的免费午餐∈NTNTDST>-1+δn，P-a.s.和P（RThntdSt>ε）≥ ε、福尔n∈ N、如果不存在这样的后果，我们说与瓦尼斯·辛格里斯克（Vanis hingRisk）共进午餐不免费（NFLVR）的条件适用于F。现在，让我们考虑一下，投资者通过一个外生的时间和状态独立的效用函数来评估他的偏好。直观地说，效用函数U比较了不同现金金额给投资者带来的满意度。严格来说，效用函数U定义如下。定义2.4（效用函数）。

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2022-5-26 21:05:35

函数U：（0+∞) → R∪ {-∞}, x 7→ 如果U（x）是严格递增的、严格凹的、连续可微的且满足以下条件，则称为效用函数：U′(+∞) := 林克斯→∞U′（x）=0和U′（0）：=limx0U′（x）=+∞.表示法：U的一阶导数的反函数用I表示：=（U′）-引理2.5。（参见[29，（5.15）]）对于任何x，y∈ （0+∞) 下列不等式成立：（3）U（I（y））≥ U（x）+y·I（y）- xy。另一方面，让我们考虑一下，投资者的交易受到风险度量的限制。一般来说，一个好的风险度量应该量化货币规模上的风险，检测极端损失事件的风险，鼓励投资组合选择的多样化，正如F¨ollmer&Schied[12]指出的那样。在本文中，我们指的是通过损失函数定义的特殊风险度量。定义2。6（损失函数）。A函数L：(-∞, 0）→ 如果R是严格递增、严格凸、连续可微且满足极限，则称为损失函数→0L′（x）>-∞ 和limx→-∞L′（x）=0。因此，我们可以定义一个基于效用的短缺风险度量，作为最小资本金额m∈ R必须加到位置X上，使得其预期损失函数保持在某个给定值ε以下。定义2。7（基于公用事业的短期风险）。（参见[12]，第8-9页）如果存在根据定义2.6定义的损失函数，则风险度量ρ称为基于效用的空降风险，因此ρ可以用ρ（X）=inf{m的形式表示∈ R:E[L(-十、- m） | F]≤ ε} 。基于效用的风险度量的一个典型示例是熵风险，定义为aseγ（X）：=γ（ln E[exp{-γX}| F]- lnε），其中γ>0表示投资者的风险厌恶。3、不同信息下优化问题的求解3.1。一般优化问题。让x∈ L（P，F）表示投资者的正初始资本和外源初始资本。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:05:38

在特定小节中严格定义的可接受投资过程集用X（F，X）表示。效用函数U和损失函数L以及基准ε∈ 给出了L（P，F）。本文旨在解决基于效用的短缺风险约束下的投资组合优化问题。问题3.1。找到一个最优的投资过程X，在过滤F所模拟的信息状态下达到最大的预期效用：=（Ft）t∈[0，T]（4）u（x）：=ess supX∈A（F，x）E[U（x（T））| F]，风险和不完全约束下的效用最大化和无差异值5，其中（F，x）：=十、∈ X（F，X）：E[L(-X（T））| F]≤ ε、 E类U-（X（T））F< +∞, P-a.s。是满足基于效用的短缺风险约束的可容许投资过程集。函数u（·）被称为该优化问题的“值函数”。为了排除琐碎的情况，我们在本文中假设∈X（F，X）E[U（X（T））| F]<+∞, 对于某些x>0；ess infX∈X（F，X）E[升(-X（T））| F]>-∞, 对于所有x>0。（5）对于llε，可能不会有此优化问题的解决方案。一方面，约束可能太强，没有满足风险约束的投资流程。另一方面，限制也可能太弱，以至于风险约束没有约束力。

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2022-5-26 21:05:41

更准确地说，让我们定义εmin：=ess infX∈X（F，X）{E[L(-X（T））| F]}和（6）εmax：=ess supX∈X（F，X）{E[L(-X（T））| F]：E[U（X（T））| F]≥ E[U（X*（T））| F]对于任何X*∈ X（F，X）}。（7）从现在开始，对于给定的初始资本x>0，效用和损失函数U，l和过滤F，我们假设这些值存在并且是有限的，我们选择ε，使得εmin≤ ε≤ εmax，P-a.s。根据Janke&Li[22]关于约束优化问题的结果，我们通过引入拉格朗日乘子λ来重新表述pr问题≥ 0.让我们定义这个新函数Uλ：（0+∞) →R∪ {-∞} by（8）~Uλ（X）：=U（X）- λL(-十），λ>0。根据U和L的定义，我们得出▄Uλ具有通常效用函数的sa me属性，定义2.4中定义：▄Uλ在（0+∞).此外，Uλ满足INDA条件，参见[22，命题2.11]。U的一阶导数的反函数Iλ存在，并由（9）~Iλ定义：=（~U′λ）-1.3.2。最初扩大的过滤。我们介绍了两种过滤方法，其中改变点在轧棉时已知：oeGW=（eGWt）t≥0，其中EGWT：=Ts>t（FWs∨ σ（τ））表示截至时间t的布朗运动w的知识加上时间t=0时已有的随机时间τ的知识，oeGS=（eGSt）t≥0，其中EGST：=Ts>t（FSs∨σ（τ））r表示对截至时间t的天空资产价格过程S的了解，加上对时间t=0时r和om时间τa l的了解。这些过滤是由投资者掌握内幕信息的金融市场重新推动的，例如：。

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2022-5-26 21:05:45

他知道利率变动的时间。因为它支持EGSEGW当然是EGW=eGS，这两种过滤的结果非常相似。为了解决问题3.1中定义的优化问题，我们需要以下假设。假设3.2。（a）存在aeGW可预测过程|θ=（|θt）t∈[0，T]和aeGW布朗运动fw=（fWt）T∈[0，T]这样，对于所有T，wt=fWt+Zt|θudu∈ [0，T]。此外，让我们确定GW的可预测过程|uW：=（|uWt）t∈[0，T]乘以|uWt：=1{T≤τ}u（t，~St）+σ（t，~St）~θt+ 1{t>τ}u（t，~St）+σ（t，~St）~θt.（10）（b）EveryeGW局部鞅elw=（eLWt）t∈[0，T]承认代表性ELWT：=eLW+ZteДWudfW（τ）u，0≤ t型≤ T、对于某些可预测的过程，eДW=（eДWt）T∈[0，T]满足RT（eДWt）dt<+∞, P-a.s.6 OLIVER JANKE（c）其持有（NFLVR）的公司和流程ZW=（eZWt）t∈[0，T]由Ezwt定义：=E（R|uWσdfW）是真鞅。此外，还有一个唯一的等效概率测度ww~ P使得DEPWDP=eZWT，这相当于市场完整性。为了更好地理解这些假设，让我们给出一些进一步的解释。备注3.3。（a）如果密度假设成立，则陈述（a）和（b）成立，即FWt随机时间条件定律τ允许密度w.r.t符合τ的无条件定律，对于所有t∈ [0，T]，参见[21]。这等价于概率测度的存在~ P使GWTandeGWare依赖于。这意味着存在唯一的鞅保持概率测度，参见[3，第2章]。虽然如果τ是过滤fw的停止时间w.r.t，则密度假设无效，但可以使用[38，第12章]和[23，假设3]的结果来满足st at ement（a）。（b）如果（NFLVR）成立，则根据【15，第5.2款】，它认为Rt（|θu）<+∞, P-a.s.，相当于侵权（|uWu/σu）du<+∞, P-a.s。

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2022-5-26 21:05:49

此外，它适用于processeZW=（eZWt）t∈[0，T]thateZWS∈ Mloc（eGW）或等效的eZW∈ Mloc（eGW）。如果|uW/σ是一致有界的，则nezwis实际上是一个t r ue鞅，参见[29，p.250]。（c）如果没有声明（c），我们就无法指望这种过滤有一个完整的市场。由于σ代数并不平凡，因此无法找到唯一的度量值~ P带S∈ Mloc（eP、eGW），因为在光纤GW上选择eP没有条件。在假设2.1和3.2（a）下，过程▄S=（▄St）t∈[0，T]具有以下表示形式。过滤egw：（11）~St=ZtuWudu+ZtσudfWu，对于所有T∈ [0，T]。现在让我们考虑价格过程表示以及鞅表示w.r.t.filtrationegs。引理3.4。（参见[15，引理5.5，命题5.8]）假设假设假设2.1和3.2（a）、（c）成立。（i）进程▄S=（▄St）t∈[0，T]具有以下表示形式。过滤egs：（12）~St=ZtuSudu+ZtσudfWSu，对于所有T∈ [0，T]，其中EGS可预测过程|uS：=（|uSt）T∈[0，T]定义为|uSt：=1{T≤τ}u（t，~St）+σ（t，~St）p▄θt+ 1{t>τ}u（t，~St）+σ（t，~St）pθt,（13）其中p|θ表示g|θ的可预测投影，过程fws=（fWSt）t∈[0，T]是aeGWBrownian运动，与τ无关，σ定义如（2）所示。注意，μS=pμW.（ii）EveryeGS局部鞅=（eLSt）t∈[0，T]的格式为ELST：=eLS+Zte^1SudfWSu，0≤ t型≤ T、对于某些EGS，可预测的过程eДS=（eДSt）T∈[0，T]满足RT（eSt）dt<+∞, P-a.s.根据假设3.2（c），（NFLVR）也适用于较小的过滤器EGS，因此EGS采用了流程eZSt=（eZSt）t∈[0，T]由Ezst=E（R|uSσdfWS）定义，这是一个真正的鞅，我们可以定义~ P作为可能性度量，使得depsdp=eZST。从现在开始，如果我们陈述两次过滤的结果，我们只需写o∈ {W，S}，所以例如：例如：foreGWandeGSoreGoTforegwandegst，t∈ 分别为[0，T]。

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2022-5-26 21:05:53

注意，thatfWW：=fW。此外，byeEo我们表示期望w.r.t.ePo。现在，让我们定义本小节的投资组合流程。我们假设它是自我融资的，即不会有像信贷或消费这样的外源性现金流。投资组合流程表示风险资产中持有的金额。关于σ-代数的定义，请参见第3.3小节。关于确切的定义和属性，请读者参考（参见[35，第358页]）。风险和不完全约束下的效用最大化和无差异价值7定义3.5。A过程π=（πt）t∈[0，T]∈ L（如o，S）满足RT（πuσu）du<+∞, P-a.s.被称为交易策略，相应的投资过程由（14）Xπ（t）=X+ZtπudSu=X+Ztπuuoudu+ZtπuσudfWou表示，0≤ t型≤ T、其中首字母大写x∈ 假设L（P，例如o）大于零。如果相应的财富过程Xπ（t）对所有t都是非负的，则称π为可容许的∈ [0，T]，P-a.s.可接受的交易策略集和相应的投资过程集分别用∏（如o，x）和x（如o，x）表示。评论根据（NFLVR）的假设，方程式（14）得到了很好的定义，因为通过Cauchy-Schwarz不等式，方程式（14）成立：ZTπttdt=ZTπtσttσtdt≤ZT（πtσt）dt·ZT公司uotσtdt！<+∞, P-a.s.确定流程Bo=（eBot）t∈[0，T]byeBoT=fWoT+Ztuouσudu，0≤ t型≤ T、这是一个在深度下的布朗运动。因此，对于所有t∈ [0，T]，对于π∈ π（如o，x）财富过程xπ允许代表xπ（t）=x+ZtπuσudeBou，对于所有t∈ [0，T]。结果如下：定理3.6。假设假设2.1和3.2成立。此外，设E[eZoT·Iλ（yeZoT）| eGo]<+∞ 对于断言o-可测量y∈ （0+∞), P-a.s。

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2022-5-26 21:05:56

然后，问题3.1的最优终端财富^R由^R=~Iλ给出*^yeZoT,式中，theeGo-可测随机变量^y∈ （0+∞) 和λ*≥ 0表示（15）EheZoT·￠Iλ*（yeZoT）例如，i=x，P-a.s.，EhL(-Iλ*（yeZoT））（例如，i=ε，P-a.s。。唯一最优交易策略^π∈ π（如o，x）和相应的投资过程x^π满意度x^π（t）=x+Zt^πuσudeBou=eEoh^ReGoti，0≤ t型≤ T、为了证明这个定理，我们首先给出了一个鞅表示定理。引理3.7。假设假设2.1和3.2成立。每个局部鞅fMo=（fMot）t∈[0，T]在EPow.r.T.下，过滤EGo的形式为（16）fMoT=fMo+ZtπuσudeBou，0≤ t型≤ T、对于某些可预测过程π=（πT）T∈[0，T]满足RT（πuσu）du<+∞, P-a.s.证明。首先，让我们展示过程zofMo=（eZotfMot）t∈[0，T]是局部P鞅。由于m是一个单侧o-鞅，因此存在一个递增的停止时间序列（Tn）n∈不合格Tn→ +∞.现在它适用于任何0≤ s≤ t型≤ T和n∈ N根据Bayes公式：EheZot∧TnfMot∧Tn | eGosi=eZos∧TneEohfMot∧Tn | eGosi=eZos∧TnfMos∧Tn.根据Martingale表示性质（假设3.2（b）和引理3.4（b）），过程o：=eZofMo具有以下形式：t=eLo+ZteДoudfWou，0≤ t型≤ T、 8 OLIVER JANKEfor Somego-可预测的过程eДo=（eДoT）T∈[0，T]满足RT（eхoT）dt<+∞, P-a.s。

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2022-5-26 21:06:00

然后，我们有Fmo=eLo（eZo）-1，其中（eZo）的动力学-1根据It^o规则isd（eZo）-1t=-（eZo）-1td-Zt￠uouσudfWou-Zt公司uouσu杜+（eZo）-1吨uotσtdt=￠uotσt（eZo）-1tdfWot+uotσt（eZo）-1tdt。使用It^o的乘积规则，动态OFM由以下公式给出：dfMot=deLo（eZo）-1.t=eLotd（eZo）-1t+（eZo）-1tdeLot+dheLo（eZo）-1it=eZotfMot·uotσt（eZo）-1tdfWot+uotσt（eZo）-1tdt！+（eZo）-1teИotdfWot+（eZo）-1teИotuotσtdt=eZotfMotuotσt（eZo）-1tdfWot+eZotfMot·uotσt（eZo）-1tdt+（eZo）-1teИotdfWot+（eZo）-1teхotuotσtdt=fMotuotσt+（eZo）-1te^1otdfWot+～uotσtdt=fMotuotσt+（eZo）-1te^1otdeBot.Set▄φot：=fMot▄uotσt+（eZo）-1teхot，thenfMo的形式为fMot=fMo+Zt|φoudeBou，0≤ t型≤ T、式中▄φo=（▄φ·T）T∈[0，T]是aeGo-可预测的过程满意度RT（|φ·T）dt<+∞, P-a.s.，遵循fr omRemark 3.3（b）和Fzoand Fm的路径连续性，参见【26】。对于某些可预测的过程π，设置▄φo=πσ，因此声明如下。根据这个结果，我们现在可以给出主要结果的证明。定理3.6的证明。^y的存在∈ （0+∞) 和λ*≥ 0使得方程（15）在附录A中得到证明。接下来，我们证明存在一个交易策略^π∈ π（如o，x），对于相应的财富过程x^π，它保持：x^π（t）=eEoh^R例如，ti。定义Mo（t）=eEoh^R |例如oti，0≤ t型≤ T因为对于0≤ s≤ 它保持：eEohMo（t）eGosi=eEoheEoh^ReGotieGosi=eEoh^R例如osi=Mo（s），Mo是aePo-鞅w.r.t。过滤例如o。通过引理3.7，我们得到了Mo（t）=Mo（0）+Zt^πuσudeBou，0≤ t型≤ T、 Mo（0）=eEo[R | eGo]=x表示某些o-可预测过程^π满足（^πuσu）du<+∞, 因此，它认为X^π（t）=Mo（t）=eEo[R | eGot]≥ 0，因为^R是非负的。因此，^π确实在∏中（例如o，x）。现在，让我们展示一下-（X^π（T））|例如o]<+∞. 通过不等式（3），我们有-（X^π（T））≤ U-（K）- ^yeZotk对于某些K>0，使U-（K） <+∞.

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2022-5-26 21:06:04

通过取期望值和E[eZoT | eGo]=1，断言如下，X^π确实在A（eGo，X）中。对于X^π的最优性，让我们考虑另一个π∈ π（如o，x）。它认为eeo[Xπ（T）| eGo]≤ x、自o∈ qe和Xπ是非负的。我们考虑无约束优化问题maxx∈X（例如o，X）EhUλ*（X（T））例如，i，风险和不完全约束下的效用最大化和无差异值9，其中Uλ*是（8）中定义的综合效用和损失函数，通过应用不等式（3），我们得到：~Uλ*（^R）=Uλ*I（^yeZoT）=Uλ*X^π（T）≥Uλ*（Xπ（T））+^yesoT·R- ^yeZoT·Xπ（T）。考虑到双方的条件期望，结果如下：EhUλ*（X^π（T））eGoi≥ EhUλ*（Xπ（T））+^yesoT·R- ^yeZoT·Xπ（T）eGoi=EhUλ*（Xπ（T））例如：i+yEheZ·T·ReGoi- EheZoT·Xπ（T）| eGoi= EhUλ*（Xπ（T））例如：i+yeEoh^R例如：i{z}=x-eEohXπ（T）例如：i{z}≤ x个≥ EhUλ*（Xπ（T））例如：i.由于X^π满足风险约束以及E[U-（X^π）| eGo]它位于A（eGo，X）中，因此是问题3.1的最优解。最后，我们将展示^π的唯一性。这将分为几个步骤：首先，让我们证明最优投资过程X^π是唯一的：为此，让我们假设存在eπ，π∈ π（例如o，x），使得xπ，xπ对于Pr问题3.1是最优的。然后我们定义π，使得Xπ=（Xπ+Xπ）。通过损失函数L和函数U的凸性-我们有Xπ∈ X（例如o，X）。但另一方面，由于U的凹度，它成立，即EhU（Xπ（T））；eGoi=EhU（1/2（Xπ（T）+Xπ（T）））；eGoi≥EhU（Xπ（T））+U（Xπ（T）））| eGoi=EhU（Xπ（T））| eGoi，其中，由于Xπ和Xπ的光学性，我们在第二行中相等。因此，我们必须得到Xπ（T）=Xπ（T），P-a.s。接下来，我们证明了最优投资过程必须满足（15）。让我们从eo[X^π（T）| eGo]=X，P-a.s.开始。

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2022-5-26 21:06:08

首先假设存在一个子集∑ Ohm 满足P（∑）>0，使得对于所有ω，eeo[X^π（T）| eGo]（ω）=0∈ ∑。显然我们有X^π（T）≡ 0开∑，自^π起∈ π（Go（τ），x）。让我们考虑一下贸易策略▄π≡ 它认为X∏（t）=X，t∈ [0，T]。特别是我们有X|π（T）>X|π（T），P-a.s.，以及U的凹性和L与U的凸性-它认为X|π∈ X（如o，X）andEhU（Xπ（T））| eGoi>EhU（X^π（T））| eGoi，P-a.s.，这与X^π的最优性相矛盾。现在，假设还有另一个子集∑* Ohm 带P（∑）*) > 0，使得对于所有ω，eeo[X^π（T）| eGo]（ω）=aω<X（ω）∈ ∑*. 选择交易策略π*这样Xπ*（ω） =x（ω）aωx^π（ω）。它认为eeo[Xπ*（T）| eGo（ω）=x（ω）和xπ*（ω） >X^π（ω）。通过U，L和U的单调性-我们有Xπ*∈ X（例如o，X）和E[U（Xπ*（T）| eGo]>E[U（X^π（T））| eGo]，P-a.s。；与X^π最优性的矛盾。最后，条件(-X^π（T））| eGo]=ε，P-a.s.，然后假设ε∈ [εmin，εmax]，定义见（6）和（7）。这意味着风险约束必须具有约束力。总之，它认为最优投资过程X^π是唯一的，并且必须满足（15）。接下来，让我们证明最优交易策略^π是唯一的：假设存在π，π∈ 满足xπi（t）=eEo[R | eGot]，i=1，2的∏（eGo，x）。我们定义过程Ni=（Nit）t∈[0，T]，i=1，2，by:Nit=ZtπiuσudeBou，0≤ t型≤ T、 N，NareePo-鞅w.r.T.过滤，所以差异N- Nis也是aePo-鞅。ByXπ（T）=^R=Xπ（T），因此NT-NT=0，根据其鞅性质：N-N≡ 所以，对于它的二次变化，它成立：hN- NiT公司=Z·πuσudeB·u-Z·πuσudeB·uT=ZTπu- πuσudu=0。因此，它必须保持：π≡ π≡ ^π。备注3.8。

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2022-5-26 21:06:14

如果我们只在filtrationeg中假设（NA1），优化问题甚至有一个解决方案，因为鞅表示定理在假设3.2（b）下成立，在较弱的无套利假设下成立（参见[15，proposition 5.8]）。因此，过程Z可能不是10 OLIVER JANKEa tru e鞅，我们无法将其定义为概率度量，过程B只是一个漂移的P-布朗运动。然而，我们得到了与定理3.6相似的结果：唯一最优交易策略^π∈ π（如o，x）和相应的财富过程x^π满意度x^π（t）=x+Zt^πuσudeBou=（eZo）-1t·EheZ·T^R例如，ti。让我们在本节结束时给出一个特殊效用函数和损失函数的示例。示例3.9。设U（k）=ln k，L（k）=-kbe已给出。然后定义2.4和2.6的所有性质都得到满足。然后我们得到了Uλ（k）=ln k-3λkandIλ（k）=1+√1+12λk2k。现在，问题3.1的最佳终端值由^R=1+q1+12λ给出*^yeZoT2^yeZoT，其中^y和λ*对于最优财富过程X^π，它认为X^π（t）=X+Zt^πudsu=X+Zt^πuσudeBou=E1+q1+12λ*^yeZoT2^yeZoTeGot.投资者的产出由U（例如o，x）=E[U（R）| eGo]=E给出ln公司1+q1+12λ*^yeZoT2^yeZoT例如：.此外，我们现在假设ui和σi，i=1，2，仅取决于时间和|θ≡ 0（即fW≡ W）。然后，最优财富过程由x^π（t）=2^yeZot给出1个+√2πZ∞-∞（e）-x+12λ*^yeZote-（十）-b/2）+a+b/4）dx,其中a：=-RTt公司||θs||ds，b：=-qRTt（| |θs | |）ds。此外，^y和λ*满足（1-5）中的方程式。相应的交易策略由^πt=uo（t）σ（t）给出·X^π（t）+6λ*^y√2πea+b/4Z∞-∞（e）-x+12λ*^yeZote-（十）-b/2）+a+b/4）e-（十）-b/2）dx.（17）证明。由于变化点τ在时间零点已知，漂移和波动过程是时间的确定函数。

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2022-5-26 21:06:18

所以我们有：|uo（t）=1{t≤τ}u（t）+1{t>τ}u（t），σ（t）：=1{t≤τ}σ（t）+1{t>τ}σ（t）。定义函数∧：【0，T】→ R乘以∧o（t）=uo（t）σ（t），t∈ [0，T]。假设（3.2）（c）中给出的等价鞅测度的密度EZ可以用EZoT=exp表示(-ZT∧sdWs-ZT（λ·s）ds）=eZ·t·exp(-ZTt∧sdWs-ZTt（λos）ds）=eZot·exp（a+bη），其中a：=-RTt（λo（t）ds，b：=-qRTt（λo）（t）ds和η是一个标准的高斯随机变量，与got无关。过程X^π是一个与P相关的鞅，因此我们有eZotX^πt=E[eZotX^πt | eGot]<=> X^πt=E“eZoTeZotIλ*（^yeZoT）eGot#=EeZoTeZot1+q1+12λ*^yeZoT2^yeZoTeGot.在[17]之后，我们可以在风险和不完全约束条件下使用代表eZotE[g（eZot，η）| eGot]=ceZotψ（eZot）效用最大化和无差异值11，其中ψ（z）=E[g（z，η）]表示z∈ （0+∞), 其中g是可测函数，c∈ R是一个常数，用X^πt=2^yeZot的方式导出过程Xπ·1+Eq1+12λ*^yeZoTeGot.选择g（z，x）=（1+12λ*用它我们计算ψ（z）=E[g（z，η）]=√2πZ∞-∞（1+12λ*^yzea+bx）e-xdx公司=√2πZ∞-∞（e）-x+12λ*^yze-（十）-b/2）+a+b/4）dx。现在，设置X^π（t）=2^yeZot（1+ψ（eZot））=F（eZot，t），其中F（z，t）：=2^yz1个+√2πZ∞-∞（e）-x+12λ*^yze-（十）-b/2）+a+b/4）dx,根据it^o公式，dx^π（t）=Ft（eZot，t）dt+Fz（eZot，t）deZot+Fzz（eZot，t）deZotdeZot=Ft（eZot，t）+Fzz（eZot，t）（eZot）∧（t）dt公司- Fz（eZot，t）eZot∧（t）dWt，（18）其中Fz，Fzzand fts表示F（z，t）相对于z和t的偏导数。比较dWtin（14）和（18）前面的系数，我们得到t^πtσ（t）=-Fz（eZot，t）eZot∧（t）<==> ^πt=-（σ（t））-1∧o（t）eZotFz（eZot，t）。让我们共同计算F（z，t）w.r.t.z的一阶导数：Fz（z，t）=-zF（z，t）+6λ*^y√2πea+b/4Z∞-∞（e）-x+12λ*^yze-（十）-b/2）+a+b/4）e-（十）-b/2）dx.这样我们就得到了（17）中的表达式。3.3。逐步扩大的过滤。

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2022-5-26 21:06:21

我们引入了两种过滤，即变化点τ为停止时间w.r.t。这些过滤：oGW：=（GWt）t∈[0，T]，其中我们GWt：=Ts>T（FWs∨σ（s∧τ））表示直到时间t的布朗运动W的知识加上随机时间τ的知识，如果它发生在时间t之前，oGS：=（GSt）t∈[0，T]，其中GSt：=Ts>T（FSs∨σ（s∧τ））表示对时间t之前的价格过程支持的知识加上对随机时间τ的知识（如果它发生在时间t之前）。这些是包含过滤FW和FS的最小过滤，这样tτ分别是GW和GS停止时间。他们的动机是金融市场，投资者拥有内幕信息，例如，他知道如果股价达到某个基准，市场参数就会改变。因为它认为GS GW，这两种过滤的结果非常相似。在这种情况下，两个初始σ-代数都是平凡的。我们从GW开始，确保FW布朗运动仍然是GW半鞅。假设3.10。（a）存在一个GW可预测过程θ=（θt）t∈[0，T]和GW布朗运动W*= （W）*t） t型∈[0，T]这样：Wt=W*t+Ztθudu，对于所有t∈ [0，T]。此外，我们定义了GW可预测过程uW：=（uWt）t∈[0，T]乘以uWt：=1{T≤τ}u（t，~St）+σ（t，~St）θt+ 1{t>τ}u（t，~St）+σ（t，~St）θt,（19）（b）鞅表示性质成立：设AWbe过程（1{τ）的GW可预测补偿器≤t} ）t∈[0，T]且设NW·：=1{τ≤·}-AW·be对应的补偿鞅w.r.t.过滤GW。

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2022-5-26 21:06:25

然后每个GW局部鞅LW=（LWt）t∈[0，T]接受表示（20）LWt：=LW+ZtИWudW*u+ZtψWudNWu，0≤ t型≤ T、 12 OLIVER Janke对于某些GW可预测过程，μW=（μWt）T∈[0，T]满足RT（ДWt）dt<+∞, P-a.s.，ψW=（ψWt）t∈[0，T]满足RT |ψWt | | dAWt |<+∞, P-a.s.（c）在过滤GWA中持有（NFLVR），流程ZW=（ZWt）t∈[0，T]，由ZWt定义：=E(-RuW/σdW*+RИWdNW）t对于某些GW可预测过程，γW=（γWt）t∈[0，T]满足νW西北>-1和RT |ДWt | | dAWt |<+∞, P-a.s.是一个真正的P-鞅w.r.t.GW。此外，确定PW~ P作为概率度量，使得dpwdp=ZWT。让我们对这些假设做一个简短的解释。备注3.11。（a）如果FW布朗运动W和随机时间τ是独立的，则该假设的（a）部分基本满足。在这种情况下，我们有θ≡ 如果τ满足密度假设，参见[11，命题5.9]，或者如果τ是通过正则构造获得的，参见[6]，则也（但并非微不足道）满足。在这种情况下，FW布朗运动W仍然是布朗运动W.r.t。过滤gw，因此θ≡ 此外，如果τ是一个诚实的时间，也可以满足，参见【25，第五章】。（b）第二种假设成立的条件见【24】。（c）假设的（c）部分是满足的，如果它认为e[ZWT]=1。此外，我们还有RT（uWu/σu）du<+∞, P-a.s.，参见[15，提案3.3]。现在，让我们重复一下（参见[15，提案3.1]）在假设2.1和3.10（a）下，存在唯一连续的GW半鞅▄S=（▄St）t∈[0，T]这是上SDE（1）的解决方案(Ohm, A、 GW，P）。~S具有以下表示形式：过滤GW：（21）~St=Ztuudu+ZtσudW*u、对于所有t∈ [0，T]。现在让我们考虑价格过程和局部鞅w.r.t.的表示。引理3.12。（参见。

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2022-5-26 21:06:29

[15，引理3.6，命题3.10]）假设假设2.1和3.10成立。（i）进程▄S=（▄St）t∈[0，T]具有以下表示形式w.r.T.过滤GS：（22）~St=ZtuSudu+ZtσudWSu，对于所有T∈ [0，T]，其中GS可预测过程uS：=（uSt）T∈[0，T]定义为uSt：=1{T≤τ}u（t，~St）+σ（t，~St）pθt+ 1{t>τ}u（t，~St）+σ（t，~St）pθt,（23）其中pθ表示θ的GS可预测投影，过程WS=（WSt）t∈[0，T]是GS布朗运动，σ=（σT）T∈（2）中给出了[0，T]。我们得到uS=puW.（ii）设ASbe为过程的GS可预测补偿器（1{τ≤t} ）t∈[0，T]并设NSbe为相应的补偿鞅w.r.T。过滤GS。每个GS局部鞅LS=（LSt）t∈[0，T]的形式为lst：=LS+ZtИSudWSu+ZtψSudNSu，0≤ t型≤ T、对于某些GS可预测流程，ДS=（ДSt）T∈[0，T]满足RT（ДSt）dt<+∞, P-a.s.，ψs=（ψSt）t∈[0，T]满足RT |ψSt | | dASt |<+∞, P-a.s.By Assumption 3.10（c），（NFLVR）也适用于较小的过滤GS，因此GS适应了流程zs=（ZSt）t∈[0，T]由ZSt=E（RuSσdWS+RνSdNS）T定义，对于某些GS可预测过程νS=（νSt）T∈[0，T]满足νSNS>-1和RT |νSt | | dASt |<+∞, P-a.s.是一个真正的鞅，我们可以定义PS~ P作为概率度量，使得dpsdp=ZST。从现在开始，如果我们陈述两次过滤的结果，我们只需写o∈ {W，S}，所以例如go对于GWand GSor got对于GWtand GSt，t∈ 分别为[0，T]。注意，WW：=W*.此外，E表示期望值w.r.t.P。现在让我们定义本小节的投资组合流程。目前，它将不再是自我融资，我们将在定义后直接对此进行解释。定义NWt：=NWt- 西北地区-对于所有t∈ [0，T]。如果每t存在一个Ft可测的随机变量σtsuch，τ=σton{τ<t}，cf，则称为诚实随机时间τ。

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2022-5-26 21:06:32

[35，定义8.10]。请注意，对于报表（ii），在过滤GS中声明（NA1）而不是（NFLVR）就足够了。风险和不完全约束下的效用最大化和无差异价值13定义3.13。考虑Go-可预测过程π=（πt）t∈[0，T]满足RT（πuσu）du<+∞, P-a.s.，ψ=（ψt）t∈[0，T]满足rt |ψT | dAoT |<+∞, P-a.s.我们将这对ζ=（π，ψ）交易策略称为交易策略，并通过（24）Xζ（t）=X+ZtπudSu+ZtψudNou=X+Ztπuuoudu+ZtπuσudWou+ZtψudNou，0来定义相应的财富过程≤ t型≤ T、其中首字母大写x∈ 假设R大于零。如果对应的过程Xζ（t）对于所有t都是非负的，则称ζ为可容许的∈ [0，T]，P-a.s.初始资本为x的所有可接受交易策略集由∏（Go，x）表示，相应的财富过程集由x（Go，x）表示。备注3.14。（a）根据（NFLVR）的假设，方程式（24）得到了很好的定义，因为根据Cauchy-Schwarz不等式，它认为RTπtuotdt<+∞, P-a.s.（b）过程ηt=RtψudNou，t∈ [0，t]可解释为不可交易资产（参见[32]）或代理人的额外捐赠。因此，在这种情况下，我们考虑不需要自我融资的策略，每个应对冲的或有权益都会带来内部风险。条件rt |ψt | dAot |<+∞, P-a.s.确保交易策略是平均自我融资，即[ηT | GoT]=ηT，T∈ [0，T]，即η是一个鞅w.r.T.Go，也可参见[13]。如果我们定义一个二维股票价格过程，市场就会变得完整*由S*= （S，No），即我们将工艺No添加到市场中，参见【13】。确定流程Bo=（Bot）t∈[0，T]byBoT=BoT+Ztuouσudu，0≤ t型≤ T、这是P·w·r·T下的布朗运动。

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2022-5-26 21:06:35

因此，对于所有t∈ 财富过程Xζ允许代表Xζ（T）=X+ZtπuσudBou+ZtψudNou，对于所有T∈ [0，T]。由于hZo，Noi=0，ZoNo是P-鞅，因此No是Po-鞅。为了获得投资组合的独特解决方案，让我们首先定义风险最小化策略，例如由【14】引入的策略。定义3.15（风险最小化策略）。交易策略ζ*= （π*, ψ*) 被称为风险最小化IFF，对于任何其他交易策略ζ=（π，ψ），它认为Ztψ*udNou#≤ E“ZtψudNou#,i、 e.ζ*最小化随机变量ηT的方差：=RTψudNou。我们给出了该子项的主要结果：定理3.16。假设假设2.1和3.10成立。此外，设E[ZoT·Iλ（yZoT）]<+∞ 对于ally∈ （0+∞). 然后，问题3.1的最优终端财富^R由^R=~Iλ给出*（^yZoT），其中^y∈ （0+∞) 和λ*≥ 0表示（25）EhZoT·￠Iλ*（^yZoT）i=x，EhL(-^R）i=ε。唯一最优风险最小化交易策略^ζ=（^π，^ψ）∈ π（Go，x）和相应的富裕过程x^ζ满足x^ζ（t）=x+Zt^πuσudBou+Zt^ψudNou=Eoh^RGoti。14 OLIVER Jankot为了证明该定理，我们首先陈述了Po（1）下的鞅表示定理。引理3.17。在定理3.16的假设下，每个局部鞅Mo=（Mot）t∈[0，T]在Pow.r.T.下，过滤率Go的形式为（26）MoT=Mo+ZtπuσudBou+Zt′ψoudNou，0≤ t型≤ T、对于某些Go-可预测随机过程π=（πT）T∈[0，T]和\'ψo=（\'ψo）T∈[0，T]满足rt（πuσu）du<+∞, P-a.s.，和RT |ψot | dAot | dt<+∞, P-a.s.证明。首先，让我们展示过程ZoMo=（ZotMot）t∈[0，T]是一个P-局部鞅。

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mingdashike22

2022-5-26 21:06:40

由于Mo是局部Po-鞅，因此存在一个递增的停止时间序列（Tn）n∈不合格Tn→ +∞.现在它适用于任何0≤ s≤ t型≤ T和n∈ N根据Bayes公式：EZot∧TnMot∧Tn | Gos= Zos∧TnEo米o吨∧Tn | Gos= Zos∧TnMos∧Tn.根据Go-鞅表示性质（如（20）所示），过程Lo：=ZoMo的形式为Lot=Lo+ZtДoudWou+ZtψoudNou，0≤ t型≤ T、对于某些GS可预测流程，Дo=（ДoT）T∈[0，T]满足RT（ДoT）dt<+∞, P-a.s.，和ψo=（ψo）t∈[0，T]满足RT |ψoT | dAoT |<+∞, 那么，我们有Mo=Lo（Zo）-1，其中（Zo）的动力学-1byIt^o规则isd（Zo）-1t=-（Zo）-1td-ZtuouσudWou-Zt公司uouσudu+ZtИoudNou+（Zo）-1吨uotσtdt=uotσt（Zo）-1tdWot+uotσt（Zo）-1tdt+Дot（Zo）-1tdNot。使用It^o的乘积规则，Mo的动力学由以下公式给出：dMot=dLo（Zo）-1.t=Lotd（Zo）-1t+（Zo）-1tdLot+dhLo（Zo）-1it=ZotMotouotσt（Zo）-1tdWot+uotσt（Zo）-1tdt+Дot（Zo）-1tdNot！+（Zo）-1t·（ДotdWot+ψtdNot）+（Z·）-1tИotuotσtdt+（Zo）-1tψotuotσtd hWo，Noit{z}=0=MotuotσtdWot+Motuotσtdt+MotДotdNot+（Zo）-1tхotdWot+（Zo）-1tψotdNot+（Zo）-1tИotuotσtdt=Motuotσt+（Zo）-1tхot·dWot+uotσtdt+MotИot+（Zo）-1tψotdNot=Motuotσt+（Zo）-1tхotdBot+MotИot+（Zo）-1tψotdNot.Set(R)Дot：=Motuotσt+（Zo）-1tИot和|ψot：=MotДot+（Zo）-1tψot，则Mo的形式为Mot=Mo+Zt‘？udBou+Zt‘？ψoudNou，0≤ t型≤ T、式中，(R)Дo=（(R)Дo）T∈[0，T]和\'ψo=（\'ψo）T∈[0，T]是Go-可预测过程满足RT（(R)ДoT）dt<+∞, P-a.s.，和RT |(R)ψot | | dAo|<+∞, P-a.s.，根据备注3.11（b）以及Z和M的路径连续性，参见【26】。设置π：=(R)Дo/σ，然后保持rt（πuσu）du<+∞, P-a.s。现在让我们给出主要结果的证明。提奥·雷姆3.16的证据。^y的存在∈ （0，+∞) 和λ*≥ 0，以便方程式（25）在附录A中得到验证。

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