部分信息下的递归效用最大化

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收藏 2022-05-25

英文标题：
《Recursive utility maximization under partial information》
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作者：
Shaolin Ji and Xiaomin Shi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
This paper concerns the recursive utility maximization problem under partial information. We first transform our problem under partial information into the one under full information. When the generator of the recursive utility is concave, we adopt the variational formulation of the recursive utility which leads to a stochastic game problem and a characterization of the saddle point of the game is obtained. Then, we study the K-ignorance case and explicit saddle points of several examples are obtained. At last, when the generator of the recursive utility is smooth, we employ the terminal perturbation method to characterize the optimal terminal wealth.
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中文摘要：
本文研究部分信息下的递归效用最大化问题。我们首先将部分信息下的问题转化为完全信息下的问题。当递归效用的生成元是凹的时，我们采用递归效用的变分公式，这将导致一个随机对策问题，并得到对策鞍点的一个特征。然后，我们研究了K-忽略情形，得到了几个例子的显式鞍点。最后，当递归效用的生成元是光滑的时，我们采用终端摄动方法来刻画最优终端财富。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Recursive_utility_maximization_under_partial_information.pdf
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何人来此

2022-5-25 07:27:19

部分信息下的递归效用最大化*史晓敏+摘要。本文研究了部分信息下的递归效用最大化问题。我们首先将部分信息下的问题转换为完全信息下的问题。当递推效用的生成元是凹的时，我们采用递推效用的变分公式，这导致了一个随机对策问题，并得到了对策鞍点的一个特征。然后，我们研究了K-忽略情形，得到了几个例子的显式鞍点。最后，当递归效用的生成元是光滑的时，我们采用终端摄动法来刻画最优终端财富。关键词。递归效用、部分信息、对偶方法、s addle point数学主题分类。93E20，91A30，90C461简介本文研究了一个在金融市场投资的代理人的问题，以使其终端财富X（T）在有限时间间隔[0，T]上的递归效用最大化，而递归效用的特征是以下反向随机微分方程（BSDEfor short）Y（T）=u（X（T））+ZTtf（s，Y（s）的初始值Y（0），Z（s））ds-ZTtZ（s）dcW（s）。（1.1）市场由无风险a资产和d风险资产组成，后者由d维布朗运动驱动。投资者只能了解利率和风险资产价格的历史，而无法直接观察到升值率和驱动布朗运动。也就是说，当投资者选择自己的投资组合时，不能使用布朗运动产生的过滤。这在真正的金融市场中是非常实际的。

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能者818

2022-5-25 07:27:23

所以我们对部分信息下的递归效用最大化问题感兴趣。在完全信息的情况下，在完全或受限的金融市场中，充分理解终端财富预期效用最大化的问题【3】、【1】、【6】。在一个不完全多先验模型中，Quenez[23]研究了资产价格为半鞅的终端财富效用最大化问题。Schied[24]研究了完全市场下的鲁棒效用最大化问题*山东大学金融研究所，济南250100，中国和山东大学数学研究所，济南250100，中国，电子邮件：jsl@sdu.edu.cn.+通讯作者。山东大学金融研究所，济南250100，中国，电子邮件：shixm@mail.sdu.edu.cn.the存在“最不利措施”。至于递归效用优化，El Karoui等人[6]研究了BSDE生成器平滑时递归效用的优化。Epstein和Ji【9】，【10】提出了一个递归效用模型，该模型捕获了决策者对漂移和模糊的模糊性的关注，并研究了G框架下的递归效用优化。但上述所有工作都不包含部分信息。在部分信息情况下，Lakner[17]将鞅方法推广到期望效用最大化问题，另见Pha m[21]。Cvitanic等人[2]最大化了部分信息下的草书使用率。但是，Cvitanic等人[2]中的ge-Nerator f并不依赖于z。Miao[18]研究了部分信息下递归多先验效用最大化问题的一个特例，其中增值率被假定为一个f-可测、不可观测的随机变量，且分布已知。

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何人来此

2022-5-25 07:27:26

实际上，他们是在贝叶斯框架下研究这个问题的，并没有给出明确的解决方案。在本文中，我们首先将部分信息下的投资组合选择问题转化为完全信息下的投资组合选择问题，其中未知的升值率被其滤波估计所取代，布朗运动被创新过程所取代。然后，建立了完全信息下的公共关系问题的向后公式，其中以终端we alth作为控制变量，而不是投资组合过程。该反向公式基于BSDE的存在唯一性定理，并在[6]和[13]中介绍。当（1.1）的生成元f是凹的时，我们采用递归效用的变分公式，这导致了一个随机对策问题。受Cvitanicand Karatzas[4]中发展的凸对偶方法的启发，我们将原始的“sup-inf”问题转化为一组分解因子和等效概率测度上的对偶极小化问题。本文给出了该对策鞍点的一个刻划。此外，还给出了几个经典例子的显式鞍点。当BSDE的生成元f是光滑的时，我们应用Ji和Zhou[12]以及Ji和Peng[1 1]提出的终端概率方法来刻画投资者的最优终端财富。一旦获得了最优终端财富，最优投资组合过程的确定就是一个本文不涉及的马丁·盖勒表示问题。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们建立了部分信息下的递归效用最大化问题，将原问题简化为完全信息下的问题，并给出了反向公式。第3节讨论了非光滑发电机的情况。

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kedemingshi

2022-5-25 07:27:30

在第4节中，我们特别介绍了liz-ein K-无知模型，并给出了几个例子的显式鞍点。在第5节中，我们描述了当生成器f是光滑的时的最优财富。2部分观测下的递归效用最大化问题2。1问题的经典公式我们考虑的金融市场包括无风险资产，为简单起见，假设其价格过程等于1，以及d风险证券（股票），其价格为随机过程Si（t），i=0，1。。。，D由以下SDE管理：dSi（t）=Si（t）ui（t）dt+dXj=1σij（t）dWj（t）, i=1。。。，d、（2.1）式中，W（·）=（W（·）。。。，Wd（·））′是一个标准的d维布朗运动，定义在过滤的完全概率空间上(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）。u′={u′（t）=（u（t），…，ud（t）），t∈ [0，T]}是股票的增值率，它是Ft适应的、有界的，并且d×d矩阵σ（T）=（σij（T））1≤i、 j≤dis库存的分散率。这里和整个pape r′表示转置算子。假设该市场的投资者持续观察资产价格，换言之，投资者可获得的信息用G={Gt}t表示≥0，是价格过程σ（S（u）产生的过滤的P-增强；0≤ U≤ t）。矩阵分散系数σ（t）假设为可逆的，b一致成立，且ε>0，ρ′σ（t）σ′（t）ρ≥ ε| |ρ| |，ρ∈ Rd，t∈ 【0，T】，a.s。。实际上，σ（t）可以从价格过程的二次变化中获得。所以我们假设w.l.o.g.σ（t）是gt适应的。然而，升值率u′（t）：=（u（t）。。。，投资者无法观察到ud（t）。小投资者的行为不会影响市场价格，可以在t时决定∈ [0，T]他的财富中有多少πi（T）投资于第i只股票，i=1。。。，D

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可人4

2022-5-25 07:27:33

当然，他的决定只能基于可用信息{Gt}Tt=0，即过程π′（·）=（π（·）。。。，πd（·））：[0，T]×Ohm → Rdare{Gt}Tt=0渐进可测且满足ERT | |π（t）| | dt<∞.然后是财富过程X（·）≡ Xx，初始财富X>0的自筹投资者的π（·）满足以下随机微分方程：dX（t）=dXi=1πi（t）dSi（t）Si（t）=π′（t）u（t）dt+π′（t）σ（t）dW（t）。（2.2）由于投资者可获得的唯一信息是G，我们无法使用布朗运动W来定义递归效用。如下所示，在过滤可测空间中，P下存在布朗运动cw(Ohm, G）这通常被称为创新过程。

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大多数88

2022-5-25 07:27:36

递归效用过程Y（t）≡ 投资者的Yx，π（t）由以下反向随机微分方程定义：Y（t）=u（X（t））+ZTtf（s，Y（s），Z（s））ds-ZTtZ（s）dcW（s），（2.3），其中f和u ar e函数满足以下假设。假设2.1（A 1）f：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ 对于任何（y，z），R是G-逐步可测量的∈ R×Rd.（A2）存在常数C≥ 0，以便f（t，y，z）- f（t，y，z）≤ C类(Y- Y+Z- Z), （t，ω，y，y，z，z）∈ Ohm ×[0，T]×R×R×Rd×Rd.（A3）f（T，·，·），关于T和ERTf（T，0，0）dt是连续的<+∞.假设2.2 u：R+→ R是连续可微的，满足线性增长条件。备注2.3方程（2.3）不是标准的BSDE，因为一般而言，G严格大于（P，G）-布朗运动cw的增强过滤。我们引入以下空间：L(Ohm, GT，P；R）：=nξ：Ohm → Rξ是GT可测量的，E |ξ|<∞o、 MG（0，T；Rd）：=nφ：[0，T]×Ohm → 研发部（φt）0≤T≤Tis G-进度可测量过程，且| |φ| |=ERT |φ（t）| dt<∞o、 SG（0，T；R）：=nφ：[0，T]×Ohm → R（φt）0≤T≤Tis G-渐进可测量过程，且| |φ| S=E[sup0≤T≤T |φ（T）|]<∞o、为了更加简单，我们通常会编写LGT、MG和SGT，而不是L(Ohm, GT，P；R），MG（0，T；Rd）和SG（0，T；R）。我们将在下一小节中说明，在假设2.1下，对于任何ξ∈ LGT，B SDE（2.3）具有唯一的解决方案（Y（·），Z（·））∈ SG×MG。然后对于每个π∈ MG，X（T）∈ LGT和假设2.2确保变量u（X（T））∈ LGT。

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mingdashike22

2022-5-25 07:27:39

因此，在假设2.1和2.2下，与该终值相关的递归效用过程得到了很好的定义。在满足假设2.2和初始禀赋x的效用函数下，具有破产禁令的递归效用最大化问题被表述为：投资者选择一个组合策略，使Yx，π（0），s.t最大化。X（t）≥ 0，t∈ [0，T]，a.s.，π（·）∈ MG，（X（·），π（·））满足式（2.2），（Y（·），Z（·））满足式（2.3），（2.4），其中X（t）≥ 0表示无需破产。定义2.4如果π（·），则称投资组合π（·）是可接受的∈ MG和相应的财富流程esX（t）≥ 0，t∈ 【0，T】，a.s。。假设初始财富x>0，用a（x）表示投资者可行的投资组合策略集，that isA（x）=nπ：π∈ MG，Xx，π（t）≥ 0，dP dt a.s.o.2.2全信息下问题的简化定义风险溢价过程η（t）=σ（t）-1u（t）。因为我们已经计算了过程u（·），σ（·）是一致有界的，所以过程l（t）：=exp(-Ztη′（s）dW（s）-Zt |η（s）| ds）是一个（P，F）鞅。因此，概率度量由ep（a）=E[L（T）IA]定义，A.∈ FT，当redePdP=L（T）时。eP在金融市场中通常被称为风险中性概率。过程fw（t）：=W（t）+Ztη（s）ds，0≤ T≤ 这是Girsanov定理下的布朗运动。然后我们可以重写股票价格过程（2.1）asdSi（t）=Si（t）dXj=1σij（t）dfWj（t）, i=1。。。，d、注意，σ（t）被假定为有界的、可逆的和Gt自适应的。因此，过滤G与参考文献[22]中orem V.3.7增加的水自然过滤相一致。设η（t）：=E[η（t）| Gt]是ηw.r.t的条件期望的可测量版本。过滤G.设置u：u（t）=E[u（t）| Gt]。然后^u（t）=σ（t）^η（t），因为σ是G适应的。我们介绍了processcW（t）：=fW（t）-Zt^η（s）ds=W（t）+Zt（η（s）- ^η（s））ds，t≥ 0

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何人来此

2022-5-25 07:27:42

（2.5）根据Kallianpur【14】中的定理8.1.3和备注8.1.1，{cW（t），t≥ 0}是（G，P）-布朗运动，这就是所谓的创新过程。然后，我们可以在一个全观测模型中描述股票价格过程和财富过程的动力学：dSi（t）=Si（t）ui（t）dt+dXj=1σij（t）dcWj（t）, i=1。。。，d、 dX（t）=π′（t）u（t）dt+π′（t）σ（t）dcW（t）。现在，我们模型中的所有系数都是可见的。所以我们在一个完全观测模型中，我们的问题（2.4）可以重新表述为最大Yx，π（0），s.t。X（t）≥ 0T∈ [0，T]a.s.，π（·）∈ MG、（X（·）、π（·））满足式（2.2），（Y（·）、Z（·））满足式（2.3）。（2.6）2.3问题的反向公式在本小节中，我们首先表明BSDE（2.3）在一些温和的条件下具有唯一的解决方案，然后给出了问题（2.6）的等效反向公式。引理2.5在假设2.1下，对于ξ∈ LG，存在唯一的解决方案（Y，Z）∈ SG×MG至BSDE（2.3）。由于一般而言，G严格大于（P，G）-布朗运动cw的强化过滤，方程（2.3）不是标准的BSDE。幸运的是，根据[14]中的定理8.3.1，每个平方可积Gt鞅M（t）可以表示为asM（t）=M（0）+ZtZ′（s）dcW（s），其中Z（·）∈ 毫克。因此，应用类似于[19]的分析，很容易证明这个引理。设q（·）：=σ（·）′π（·）。由于σ（·）是可逆的，因此可以将q（·）视为控制变量，而不是fπ（·）。根据BSDE（2.3）的存在唯一性结果，选择q（·）等价于选择终端财富X（T）。

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mingdashike22

2022-5-25 07:27:45

如果我们将终端财富作为控制变量，财富方程和回收效用过程可以写成：-dX（t）=-q′-1（t）u（t）dt- q′（t）dcW（t），X（t）=ξ，-dY（t）=f（t，Y（t），Z（t））dt- Z′（t）dcW（t），Y（t）=u（ξ），（2.7），其中“控制”是从以下集合中选择的终端财富ξ：={ξξ∈ LGT，ξ≥ 0}。从现在起，我们用（Xξ（·）、qξ（·）、Yξ（·）、Zξ（·））表示（2.7）的解。我们还用Xξ和Yξ分别表示Xξ（0）和安迪ξ（0）。正如BSDE（2.3）对物权的比较所暗示的，非负终端财富，（ξ=X（T）≥ 0）保持财富过程始终为非负。这就产生了以下优化问题：最大化J（ξ）：=Yξ，s.t。ξ∈ U、 Xξ=X，（Xξ（·），qξ（·）），（Yξ（·），Zξ（·））满足等式（2.7）。（2.8）定义2.6随机变量ξ∈ 当且仅当xξ（0）=x时，U称为初始财富x的可行ξ。我们将用A（x）表示初始财富x的所有可行ξ的集合。很明显，原始问题（2.4）和（2.6）等同于辅助问题（2.8）。因此，在此之后，我们专注于解决（2.8）。无te，ξ成为控制变量。这种方法的优点是，（2.4）中的状态约束变成了（2.8）中的控制约束，而控制理论中众所周知，控制约束比状态约束更容易处理。这种方法的cos t是原始初始条件Xξ（0）=X现在成为约束。可行ξ*∈ 如果A（x）在A（x）上达到J（ξ）的最大值，则称A（x）为最优。

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可人4

2022-5-25 07:27:49

一次ξ*确定后，通过用Xξ求解（2.7）中的第一个方程，获得最优投资组合*（T）=ξ*.3递归效用最大化的对偶方法在本节中，我们施加以下凹性条件：假设3.1函数（y，z）7→ f（ω，t，y，z）对于所有（ω，t）都是凹的∈ Ohm ×[0，T]。我们还需要以下关于u的假设：假设3.2 u：（0，∞) → R是严格递增的，s是三次凹的，连续可微的，并且满足u′（0+）：=limx↓0u′（x）=∞, u′型(∞) := 林克斯→∞u′（x）=0。（3.1）根据假设3.2，假设2.2似乎限制性太强，排除了一些有趣的例子。因此，在下面两节中，对于满足假设3.2的任何给定效用函数u，我们设置u={ξ|ξ∈ LGT，u（ξ）∈ LGTandξ≥ 0}。在本节中，我们假设σ≡ Id，d维单位矩阵。设F（t，β，γ）为F:F（ω，t，β，γ）：=sup（y，z）的FenchelLegendre变换∈R×Rdf（ω，t，y，z）- yβ- z′γ, （β，γ）∈ R×Rd.（3.2）设F的主要效应为DF：={（ω，t，β，γ）∈ Ohm×【0，T】×R×RdF（ω，t，β，γ）<+∞}. 如文献[7]所示，DF的（ω，t）-截面由D（ω，t）Fis表示，包括在有界域B=[-C、 C]d+1 R×Rd，其中C是f的Lipschitz常数。我们通过f，f（ω，t，y，z）=inf（β，γ）的凹度得到了对偶关系∈D（ω，t）FF（ω，t，β，γ）+yβ+z′γ. （3.3）对于每个（ω，t，y，z），该关系中的最大值由一对（β，γ）实现，该对取决于（ω，t）。挫折=（β，γ）（β，γ）是G-逐步可测量的，B-值，EZTF（t，βt，γt）dt<+∞.那么B是一个凸集。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:27:54

对于任何（β，γ）∈ B、 letfβ，γ（t，y，z）=F（t，βt，γt）+yβt+z′γt，用（yβ，γ，zβ，γ）表示线性BSDE（2.3）的唯一解Fβ，γ。通过与[7]中命题3.4类似的分析，我们得到了Xξ（t）andYξ（t）的以下变分公式。引理3.3在假设2.1和3.1下，对于任何ξ∈ U，q的解（Xξ（·），qξ（·）），（Yξ（·），Zξ（·））。（2.7）可表示为asXξ（t）=^L-1（t）E[^L（t）ξ| Gt]，Yξ（t）=E ss infβ，γ∈通过β，γt，t∈ [0，T]，a.s.，其中^L（T）：=e-Rt^u′（s）dcW（s）-Rt |^u（s）| ds，Yβ，γt=EZTtΓβ，γt，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γt，Tu（ξ）| Gt,β，γt，s=eRst（βr-|γr |）dr+Rstγ′rdcW（r）。特别地，我们有Yξ（0）=inf（β，γ）∈是RTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）.注3.4根据[17]中的定理3.1，我们得到了^L（t）=E[L（t）| Gt]，t∈ 【0，T】，a.s。。引理3.3，A（x）={ξ∈ UE[^L（T）ξ]=x}。因此，我们的问题等价于以下问题m：最大化J（ξ）=infβ，γ∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）s、 t.ξ∈ A（x）。（3.4）投资者可以达到的最大-最小递归效用isV（x）：=supξ∈A（x）infβ，γ∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）. （3.5）主要由其“最小-最大”对应物V（x）：=inf（β，γ）∈Bsupξ∈A（x）EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）. （3.6）如果我们能找到（β，γ，ξ）∈ B×A（x）使得v（x）=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）=那么问题（3.4）的最优解是^ξ。让我们引入单调递减函数I（·）作为边际效用函数u′（·）的逆函数，以及凸对偶u（ζ）：=maxx>0[u（x）- ζx]=u（I（ζ））- ζI（ζ），ζ>0。（3.8）然后，ξ∈ A（x），（β，γ）∈ Bζ>0，EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζξL（T）= EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx。

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何人来此

2022-5-25 07:27:58

（3.9）此外，我们在上述s ome^ξ公式中具有等式∈ A（x），（β，γ）∈ B、 ^ζ>0当且仅当条件se[^ξL（T）]=x，（3.10）^ξ=I^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T, a、同时满足s.（3.11）。在这种情况下，我们有ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）= EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx.（3.12）引理3.5在假设2.1、3.1和3.2下，假设存在四重（^ξ、^β、^γ、^ζ）∈ （A（x）×B×（0，∞)) 满足（3.10）、（3.11）和ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）, （β，γ）∈ B、（3.13）那么我们有ξ∈ A（x），（β，γ）∈ B、 E类ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（ξ）≤ EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）. （3.14）即，（ξ，β，γ）是满足（3.7）的鞍点。证明：我们仅证明（3.14）中的Firs t关系。在（3.9）中，设（β，γ）=（β，γ）和ζ=ζ。我们得到了ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（ξ）≤ EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）, ξ∈ A（x），x（3.1 2）。这就完成了证明。让我们介绍一下值函数V（ζ）≡V（ζ；x）：=inf（β，γ）∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T, 0<ζ<∞. （3.15）到（3.9），我们有'V（x）≤ 五、*（x），（3.16），其中*（x）：=infζ>0，（β，γ）∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx= infζ>0[°V（ζ）+ζx]。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:28:02

（3.17）引理3.6在引理3.5的假设下，以下情况成立：（i）（^β，^γ）达到（3.15）中的最大值，ζ=^ζ。（ii）三重（^ζ、^β、^γ）达到（3.17）中的第一个上限。（iii）ber^ζ数∈ （0，∞) 年达到第二名（3.17）。（iv）（3.16）中不存在“二元性缺口”；也就是说，V*（x） =(R)V（x）=V（x）=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）.证明：（i）根据（3.12）和（3.13），EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T= EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）-^ζx≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）-^ζx≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu^ζL（T）Γβ，γ0，T, （β，γ）∈ B、其中最后一个不平等是由于（3.9）。（ii）到（3.12）和（3.13），我们已经ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx，（β，γ）∈ Bζ∈ （0，∞)其中，最后一个不等式是（3.9）对ξ=^ξ的应用。（iii）通过（i），（3.12）和（3.13），~V（^ζ）+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx，（β，γ）∈ Bζ∈ （0，∞).所以我们得到了V（^ζ）+^ζx≤ inf（β，γ）∈是RTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx=~V（ζ）+ζx，ζ∈ （0，∞).（iv）根据（ii）和（3.12），V*（x） =EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）=(R)V（x）=V（x）。这就完成了证明。在下面，我们证明了引理3.5中假设的四倍体（^ξ，^β，^γ，^ζ）的存在性。请注意，函数x 7→ x▄u（x）是凸的。

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kedemingshi

2022-5-25 07:28:06

通过与[5]附录B类似的分析，以下引理成立。引理3.7在假设2.1、3.1和3.2下，对于任何给定的ζ>0，存在一对（^β，^γ）=（^βζ，^γζ）∈B达到（3.15）中的最大值。引理3.8在s消费2.1、3.1和3.2下，假设ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T< ∞, ζ>0，（β，γ）∈ B、然后，对于任何给定的x>0，存在一个数^ζ=^ζx∈ （0，∞) 达到V*（x） =infζ>0[°V（ζ）+ζx]。证明：第1步：通过▄u和引理3.7的凸性，▄V（·）是凸的。固定ζ>0，表示（^β，^γ）=（^βζ，^γζ），如引理3.7所示。对于任何δ>0的情况，我们有▄V（ζ+δ）-V（ζ）δ≤EΓ^β，^γ0，Tu（ζ+δ）^L（T）Γ^β，^γ0，T- Γ^β，^γ0，Tuζ^L（T）Γ^β，^γ0，Tδ≤ E^L（T）~u′（ζ+δ）^L（T）Γ^β，^γ0，T= -E^L（T）I（ζ+δ）^L（T）Γ^β，^γ0，T.然后，通过Levi引理，limδ→0+~V（ζ+δ）-V（ζ）δ≤ -E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T（3.18）和Limδ→0±V（ζ）-V（ζ- δ） δ≥ -E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T. （3.19）由于▄V（·）是凸的，我们得到▄V（·）在（0，∞) 和▄V′（ζ）=-E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T.步骤2：因为u（·）是有界的，所以对于任何ζ∈ （0，∞),^L（T）Γ^β，^γ0，T<+∞, A.s然后，V′(+∞) := limζ→+∞~V′（ζ）=- limζ→∞E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T= 0，~V′（0）：=limζ→0+~V′（ζ）=- limζ→0+E^L（T）Iζ^L（T）Γ^β，^γ0，T= -∞.因此，存在一个达到V的数^ζ*（x）和▄V′（^ζ）=-十、∈ (-∞, 0）。这就完成了证明。引理3.9在假设2.1、3.1和3.2下，V*（x） =ERTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+引理3.8中的^ζx与引理3.7中的（^β，^γ）=（^β，^γ）=（^β，^γζ）。证据：我们有ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T+^ζx=~V（^ζ）+^ζx≤V（ζ）+ζx≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tuζ^L（T）Γβ，γ0，T+ ζx, （β，γ）∈ Bζ∈ （0，∞), x>0。这就完成了证明。

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何人来此

2022-5-25 07:28:09

我们的主要结果是以下定理。定理3.10在假设2.1、3.1和3.2下，设（^ζ、^β、^γ）为引理3.9，定义^ξ=I^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，Ta、 s。。If^ξ∈ U、然后（^ζ、^β、^γ、^ξ）满足引理3.5中的所有条件，即（3.10）、（3.11）和（3.13）。证明：请注意，V（^ζ）=inf（β，γ）∈是ZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu^ζL（T）Γβ，γ0，T= EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T.应用彭[20]中的极大值原理，我们得到了（^β，^γ）的一个必要条件：F（t，βt，γt）+ptβt+qtγt≥ F（t，βt，γt）+ptβt+qtγt，（β，γ）∈ B、（3.20）其中（pt，qt）是伴随方程的解-dpt公司=F（t，^βt，^γt）+pt^βt+q′t^γtdt公司- q′tdcW（t），pT=uI（^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T）.（3.21）（β，γ）∈ B、设（yt，zt）和（▄yt，▄zt）分别为以下两个线性BSDE的唯一解，yt=u（^ξ）+ZTtys^βs+z′s^γs+F（s，^βs，^γs）ds公司-ZTtz′sdcW（s），（3.22）~yt=u（ξ）+ZTt~ysβs+~z′sγs+F（s，βs，γs）ds公司-ZTtz′sdcW（s）。（3.23）通过（3.20）和BSDE的比较定理，我们得到了yt≤ ~yt，t∈ [0，T]，a.s.，尤其是y≤ y.求解上述线性BSDE givesy=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）和▄y=EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）.国有企业ZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu（^ξ）≤ EZTΓβ，γ0，sF（s，βs，γs）ds+Γβ，γ0，Tu（^ξ）, （β，γ）∈ B、这正是等式（3.13）。引理3.8，V′（^ζ）=-x、引理3.7，V（^ζ）=EZTΓ^β，^γ0，sF（s，^βs，^γs）ds+Γ^β，^γ0，Tu^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T. （3.24）将（3.24）的两侧区分为^ζ的函数，我们得到^ζ^L（T）Γ^β，^γ0，T^L（T）]=x.（3.25）这就完成了证明。备注3.11值得指出的是，上述理论证明中的伴随过程ptin与等式（3.22）中的最优效用过程ytin一致。4 K-忽略在本节中，我们研究了Chen和Epstein[1]称为K-忽略的一种特殊情况。

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大多数88

2022-5-25 07:28:13

在这种情况下，发电机f指定为asf（t，y，z）=-K | z |，K≥ Chen和Epstein将术语K | z |解释为建模模糊性厌恶而非风险厌恶。f（z）=-K | z |是不可区分的。但它是凹的，f（z）=inf |γ|≤K（γz）。那么，我们在上述部分中的结果仍然适用。在本节中，我们假设d=1，σ≡ 1、财富方程与递归效用的推导-dX（t）=-q′（t）u（t）dt- q′（t）dcW（t），X（t）=ξ，-dY（t）=-K | Z（t）| dt- Z′（t）dcW（t），Y（t）=u（ξ）。（4.1）我们的问题公式为：最大化J（ξ）：=Yξ，s.t。ξ∈ U、 X（0）=X，（X（·），q（·）），（Y（·），Z（·））满足等式（4.1）。（4.2）现在引理3.3可以简化为以下引理。ξ引理4.1∈ U、式（4.1）的解（X（·）、q（·））和（Y（·）、Z（·））可表示为X（t）=L-1（t）E[^L（t）ξ| Gt]，Y（t）=ess infγ∈B（Γ0，γ0，t）-1（t）E[Γ0，γ0，Tu（ξ）| Gt]，其中^L（t）=E-Rt^u（s）dcW（s）-Rt |u（s）| ds，Γ0，γ0，t=eRtγsdcW（s）-Rt |γs | ds，B={γ={γt}t≥0 |γtis G-逐步可测量，|γt |≤ K、 t型∈ [0，T]，a.s.}。对于nyγ∈ B、 Γ0，γ0，tis（G，P）-马丁酒。然后，在GTbydPγdP=Γ0，γ0，TandcWγ（t）=cW（t）上定义一个新的概率测量Pγ-Rtγsds是Pγ下的布朗运动。因此，Y（0）=infγ∈BEγ[u（ξ）]，其中Eγ[·]是关于Pγ的期望算符。我们的问题（4.2）等价于以下问题：最大化J（ξ）=infγ∈BEγu（ξ）s.t.ξ∈ A（x）。（4.3）（3.15）中的辅助对偶问题变为￠V（ζ）≡V（ζ；x）：=infγ∈BEγИu（ζZγ（T）），0<ζ<∞, （4.4）式中Zγ（t）：=^L（t）Γ0，γ0，t，t∈ [0，T]，a.s.和V*（x）：=infζ>0，γ∈B[Eγ▄u（ζZγ（T））+ζx]=infζ>0[▄V（ζ）+ζx]。（4.5）应用上述步骤，我们可以找到鞍点。

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何人来此

2022-5-25 07:28:17

因此，除了引理4.2给出了新的证明外，我们列出了没有证明的结果。引理4.2在假设3.2下，对于任何给定的ζ>0，存在唯一的^γ=^γζ∈ B达到（4.4）中的最大值。证明：集合B′={0，γ0，T |γ∈ B} ，M={Mγ（T）：=Γ0，γ0，T^L（T）|γ∈ B} g（x）=xu（ζx）f或x>0。然后问题（4.4）变为▄V（ζ）=infMγ（T）∈M▄E[Mγ（T）▄u（ζMγ（T））]=infMγ（T）∈ME[g（Mγ（T））]（4.6），其中E[·]是预期操作人员w.r.T。风险中性测量P。根据文献[1]中的定理2.1，我们知道B′在L中是范数闭的(Ohm). 所以B在a.s.收敛下是闭合的，因为B是一致可积的。作为a序列，M在a.s.收敛下是闭合的。考虑一个最小化序列e{Mγn（T）}n≥1对于（4.6），这是→∞~E[g（Mγn（T））]=~V（ζ）。根据Komlos定理，存在一个序列Mγn（T）∈ conv（Mγn（T），Mγn+1（T），…），i、 e.Mγn（T）=PTnk=nλkMγk（T），λk∈ [0，1]和ptnk=nλk=1，使得序列{Mγn（T）}n≥1将a.s.收敛为随机变量M。通过a.s.闭合度M，我们得到了M∈ M、那就是^γ∈ B、 s.t.M=M^γ（t）。注意，g是一个严格凸连续函数，我们有▄E[g（M）]=▄E[limn→∞g（(R)Mγn（T））]≤ lim信息→∞~E[g（\'Mγn（T））]≤ lim信息→∞λkTnXk=nE[g（Mγk（T））]=lim infn→∞~E[g（Mγn（T））]=~V（ζ）。唯一性来自于g的严格凸性。这就完成了证明。

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何人来此

2022-5-25 07:28:20

引理4.3在假设3.2下，如果▄E【I（ζZγ（T））】<∞, ζ>0，γ∈ B、然后，对于任何给定的x>0，都存在一个数^ζ=^ζx∈ （0，∞) 达到V的极限*（x） =infζ>0[°V（ζ）+ζx]。引理4.4在假设3.2下，V*（x） =引理4.3中的E^γИu（^ζZ^γ（T））+具有^ζ=^ζxas的^ζx，以及引理4.2中的^γ=^γ^ζ。定理4.5在假设3.2下，let（^ζ，^γ）与引理4.4中的相同，那么问题（4.3）的最优终端财富是^ξ=I（^ζZ^γ（T）），如果^ξ属于U，则a.s。下面，我们给出一些例子来说明我们的上述分析。示例4.6（恒定绝对风险规避）。假设u（x）=1- E-αx，x∈ R、 α>0，投资者的财富可能为负。该效用函数u不满足假设3.2。但它满足了以下假设：假设4.7 u严格递增，严格凹进，连续可微，和u′(-∞) := 林克斯↓-∞u′（x）=∞, u′型(∞) := 林克斯→∞u′（x）=0。（4.7）注意，根据假设4.7，本节中的结果仍然成立。对于本例，I（ζ）=-αlnζα，ζ>0，且▄u（ζ）=1-ζα+ζαlnζα，ζ>0。那么辅助对偶问题（4.4）的值函数isEγИu（ζZγ（T））=1-ζα+ζαlnζα+ζαИE[ln Zγ（T）]=1-ζα+ζαlnζα+ζ2αИEZT（u（t）+γt）dt，ζ>0。显然，达到问题（4.4）的最小值的^γt（最佳γt）与ζ无关。很容易看出^γt=(-K）∨ (-^u（t））∧ K、 t型∈ 【0，T】，a.s。。问题（4.4）的最优值为▄V（ζ）=1-ζα+ζαlnζα+ζ2αEZT（^u（t）+^γt）dt，引理4.3中的拉格朗日乘数为^ζ≡^ζx=αe-ERT（u（t）+γt）dt-αx=arg minζ>0[￠V（ζ）+ζx]。因此，定理4.5中的最优终端财富为^ξ=-αln^ζZ^γ（T）α。此外，很容易检查（Y（t），Z（t））：=1.-^ζαZ^γ（t），^ζα（u（t）+^γt）Z^γ（t）, T∈ 当ξ=^ξ时，[0，T]唯一地解方程（4.1）中的效用方程。示例4.8（对数效用函数）假设u（x）=ln x，x>0。

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何人来此

2022-5-25 07:28:23

在这种情况下，I（ζ）=ζ，且▄u（ζ）=- lnζ- 1，ζ>0。然后，辅助对偶问题（4.4）的值函数isEγОu（ζZγ（t））=Eγ[- ln（ζZγ（T））- 1] =Eγ[- ln Zγ（T）]- lnζ- 1=EγZT（μu（t）+γt）dt- lnζ- 1，ζ>0。因此，最优^γ与ζ无关。考虑以下BSDEyγ（t）=Eγ[ZTt（u（s）+γs）dsGt]=ZTt[（μu（s）+γs）+γszγ（s）]ds-ZTtzγ（s）dcW（s）。Setf（t，zt）=infγ∈B[（u（t）+γt）+γtzt]=K- 2K^u（t）- Kzt+^u（t），如果- 2^u（t）+2K<zt；-zt公司- ^u（t）zt，如果- 2^u（t）- 2公里≤ zt公司≤ -2^u（t）+2K；K+2K^u（t）+Kzt+^u（t），如果zt<-2^u（t）- 2K，t∈ 【0，T】，a.s。。很容易证明f（t，zt）是一致Lipschitz，因此下面的BSDE有一个唯一的解，westill用（yt，zt）表示。yt=ZTtf（s，zs）ds-ZTtzsdcW（s）。（4.8）然后在^γt=arg infγ时获得问题（4.4）的上限∈B[（u（t）+γt）+γtzt]=-KI公司{-2μu（t）+2K<zt}+(-^u（t）-zt）I{-2^u（t）-2公里≤zt公司≤-2μu（t）+2K}+KI{zt<-2^u（t）-2K}，t∈ 【0，T】，a.s。。引理4.3中的拉格朗日乘子为^ζ≡^ζx=x=arg minζ>0[￠V（ζ）+ζx]。定理4.5中的最优终端财富为^ξ=xZ^γ（T）。示例4.9假设升值率u（t）是t的有界确定性函数。在这种情况下，Gt=Ft，t≥ 0，我们声称^γt=(-K）∨ (-u（t））∧ K、 t型∈ [0，T]。（4.9）证明：我们证明上述定义的γ达到（4.4）的上限。表示V（t，x）≡ v（t，x；ζ）：=~E[g（xM^γ（t）M^γ（t））]。那么v（t，x）是偏微分方程的解五、t型+五、xx（ut+^γt）=0。γ∈ B、将It^o公式应用于v（t，Mγ（t）），我们得到了dv（t，Mγ（t））=[五、t型+五、x（Mγ（t））（u（t）+γt）]dt+五、xMγ（t）（u（t）+γt）dfW（t）=五、x（Mγ（t））[（u（t）+γt）- （u（t）+^γt）]dt+五、xMγ（t）（u（t）+γt）dfW（t）。根据^γt（4.9）的定义，我们有（u（t）+γt）- （u（t）+^γt）≥ 0，t∈ [0，T]。v（t，·）的凸性保证了v（t，Mγ（t））是一个子鞅。

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mingdashike22

2022-5-25 07:28:26

因此γ∈ B、 Eγ[~u（ζZγ（T））]=~E[g（Mγ（T））]=~Ev（T，Mγ（T））≥~Ev（0，Mγ（0））=~E[g（M^γ（T））]=E^γ[~u（ζZ^γ（T））]。这就完成了证明。示例4.10假设|u（·）|≤ K、 a.e.，a.s。。那么我们有^γt=-^u（t），t∈ 【0，T】，a.s。。（4.10）注意，当|u（·）|时，u属于B≤ K、 a.e.a.s。。由于g的凸性，我们得到γ∈ B、 ~E[g（Mγ（t））]≥ g（~E（Mγ（T）））=g（1）≡ g（M^γ（T））≡~E[g（M^γ（T））]。在这种情况下，P^γ与GT上的风险中性概率EP一致，从而得出最优的最终财富^ξ=x。这意味着投资者根本不会投资风险资产。5终端摄动法当递归效用（2.3）的生成器是非凹的时，对偶方法不适用。在这种情况下，我们应用终端摄动方法来获得最优终端财富的特征。我们需要以下平滑假设：假设5.1 f在（y，z）中连续可微。Letξ*是（2.8）的最佳终端财富，即Yξ*（0）=supξ∈A（x）Yξ（0）和（x*（·），q*（·），Y*（·），Z*（·））是（2.7）中相应的状态过程。设置“”Ohm := {ω∈ Ohm|ξ*（ω） =0}。通过【11】和【12】中的终端摄动方法，我们得到了以下随机极大值原理。定理5.2在假设2.1、2.2和5.1下，如果ξ*是问题2.8的最优财富，则存在h∈ R、 h类≥ 0和| h |+h=1，使得hm（T）+hu′（ξ*)n（T）≥ 0，a.s.开‘Ohm;hm（T）+hu′（ξ）*)n（T）=0，a.s.开‘Ohmc、在哪里dm（t）=-^u′（t）σ′-1（t）m（t）dcW（t），m（0）=1；dn（t）=f*Y（t）n（t）dt+f*′Z（t）n（t）dcW（t），n（0）=1，和f*Y（t）：=fY（t，Y*（t），Z*（t）），f*Z（t）：=fZ（t，Y*（t），Z*（t））。备注5.3注意，在上述定理中，我们不需要u的凹度性质。参考文献【1】Z.Chen，L.Epstein，《连续时间内的模糊性、风险和资产回报》，计量经济学，70（2 002），第1403-1443页。[2] J.Cvitanic，A.Lazarak，M.Quenez，F。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:28:30

Za patero，《递归偏好的不完全信息》，国际理论与应用金融杂志，4（2 001），第245-261页。[3] J.Cvitanic，I.Karatzas。const-rained portfolio optimization中的凸对偶，《应用可能性年鉴》，2（1992），第767-818页。[4] J.Cvitanic，I.Karatzas，《通过凸对偶的广义Neyman-Pearson引理》，Bernoulli，7（2001），第79-97页。[5] D.Cuoco，J.Cvitanic，《大型投资者的最佳消费选择》，《经济动态与控制杂志》，22（1998），第401-436页。[6] N.El Karoui，S.Peng，M.Quenez，《约束条件下递归效用优化的动态最大原理》，《应用概率年鉴》，11（2001），第664-693页。[7] N.El Karoui，S.Peng，M.Quenez，《金融中的倒向随机微分方程》，MathematicalFinance，7（1997），第1-71页。[8] I.Ekeland，《变分原理》，数学分析与应用杂志，47（1974），第324-353页。[9] L.Eps tein，S.Ji，《连续时间内的模糊波动性和资产定价》，《金融研究评论》，26（2013），第1740-1786页。[10] L.Epstein，S.Ji，《连续时间内的模糊波动性、可能性和效用》，《数学经济学杂志》，50（2014），第269-282页。[11] Ji S.Ji，S.Peng，连续时间均值方差投资组合选择反向方法的终端扰动法，随机过程及其应用，1 18（2008），952-967。[12] S.Ji，X.Zhou，g-概率的广义内曼-皮尔逊引理，概率理论和相关领域，148（2010），第64 5-669页。[13] S.Ji，X.Zhou，《终端状态约束下随机最优控制的最大值原理及其应用》，特刊泰龙·邓肯在65岁生日之际发表，信息与系统通信，6（2006），第321-338页。[14] G。

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nandehutu2022

2022-5-25 07:28:33

Kallianpur，《随机过滤理论》，Springer Verlag，纽约，198 0。[15] I.Karatza s，J.Lehocz ky，s.Shreve，G.Xu，《不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法》，暹罗控制与优化杂志，29（1991），第702-730页。[16] I.Karatzas，J.Lehoczky，S.Shreve，《有限视野下“小投资者”的最优投资组合和消费决策》，暹罗控制与优化杂志，25（1987），第1557-1586页。[17] P.Lakner，《投资者的最优交易策略：部分信息、随机过程及其应用》，76（1998），pp.77-97。[18] J.Miao，《不完全信息下的模糊性、风险和投资组合选择》，《经济与金融年鉴》，10（2009），第257-2页79。[19] E.Pardoux，S.Peng，《反向随机微分方程的自适应解》，《系统与控制信函》，14（1990），第55-61页。[20] S.Peng，《反向随机微分方程及其在最优控制中的应用》，应用数学与优化，27（1993），第125-144页。【21】H.Pham，《部分观察下的投资组合优化：理论和数值方面》，《非线性过滤手册》，牛津大学出版社，（2011）。【22】普罗特。随机积分和微分方程，Springer，New York，（1990）。【23】M.Quenez，《多重先验模型中的最优投资组合》，随机分析、随机场和应用研讨会IV.B irkhauser Basel，（2004），第291-321页。【24】A.Schied，《完整市场模型中稳健效用函数的最优投资》，Mathematicsof Operations Research，30（2005），第750-764页。

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