具有随机捐赠和交易的效用最大化问题

2022-5-11 14:08:56

具有随机禀赋和交易成本的效用最大化问题：当财富可能为负时林毅清和杨俊坚摘要。本文研究了具有比例交易费用和随机捐赠的终端财富的期望效用最大化问题。在一致价格系统存在的背景下，我们考虑了原始效用最大化问题和对偶效用最大化问题之间的对偶性，对偶效用最大化问题建立在完全可加测度域上。特别地，我们证明了效用函数支持可能负值的对偶结果。此外，我们利用对偶最优过程构造了影子市场，并考虑了基于效用的随机捐赠定价。1.引言数学金融中的一个经典问题是经济代理人如何通过在金融市场交易，从终端财富中最大化其预期效用。特别是，为了将这个问题与马尔可夫资产价格之外的一般市场模型结合起来考虑，自20世纪90年代以来，人们发展了一种称为“对偶方法”或“鞅方法”的现代方法。这种方法基于“鞅测度”集合提供的投资组合的对偶特征。其主要思想是解决一个对偶变分问题，然后通过凸对偶找到原效用最大化问题的解。在[33]中，Kramkov和Schachermayer在一般半鞅框架中讨论了这个问题，他们为L的双极子集上的原问题和对偶问题建立了一个抽象对偶理论。特别是，作者考虑了一个具有确定性初始财富的代理，其参考由只支持正财富的效用函数建模。Schachermayer在[38]中考虑了当股票价格过程是局部有界半鞅时，支持可能负财富的效用函数的情况。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:08:59

之后，Biagini和Frittelli[4]通过去除局部边界假设，推广了[38]的结果。[33]中讨论的模型随后在Cvitani\'c等人[10]中通过允许有界随机禀赋而非确定性禀赋进行了改进。在那篇论文中，效用函数与[33]中的相同。然而，双重问题是在完全可加性测度的扩大范围内定义的。然后，当市场由局部有界半鞅驱动时，Owen[35]处理了[38]中关于经济主体的新设置的效用最大化问题。最近，[10]和[35]的结果显示日期：2018年9月19日。2010年数学学科分类。91B16，91G10。关键词和短语。效用最大化，随机禀赋，二元方法，影子价格，基于效用的定价。作者衷心感谢奥地利科学基金（FWF）在25815号拨款下和欧洲研究理事会（ERC）在321111号拨款下提供的财政支持。这项工作的部分完成是因为杨俊杰访问了CMAP，即“Ecole Polytechnique”，对此非常感谢。2林毅清和杨俊建在几个方向上进行了扩展，例如，在随机禀赋或股票价格过程中，对有界性假设进行了推导，参见[28,36,5]。在本文中，我们将考虑具有交易成本的效用最大化问题，它本质上与无摩擦问题一样古老。Cvitani\'c和Karatzas是第一个将对偶方法引入该领域的人。在[9]中，问题是用正半直线上的效用函数来建立的，市场是用债券和股票通过It^o过程来建模的。此外，代理人在交易时面临固定比例的交易成本，并被要求在交易结束时将其投资组合变现为债券。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:02

[9]的作者通过先验地假设对偶优化器在适当的域中存在，证明了效用最大化问题解的存在性，而Cvitani\'c和Wang[11]最终给出了一个没有这种假设的完整结果。之后，Bouchard通过考虑在整条实线上定义的效用函数，并在[6]中添加有界随机禀赋，扩展了这个结果。在无摩擦的情况下，我们通常假设这是一个单一的消费资产，它被用作一个数字。从数学上讲，代理人是否对其持有的股份进行液化，在无风险的市场上没有区别，但与交易成本问题无关。因此，允许代理访问多个消费资产是很自然的，这就引出了财务模型的新公式。这种新模型描述了一个多货币市场，由卡巴诺夫[30]根据偿付能力锥的概念首次引入。基于该模型，Deelstra等人[17]、Campiand Owen[7]以及Benedetti和Campi[2]研究了具有多元效用函数的效用最大化问题，他们没有随机禀赋，也没有随机禀赋。他们以不同的方式提供静态数据结果。与多货币模型相比，本文采用了一个由一般股价过程驱动的基于连续时间序列的市场模型。请注意，这个过程不一定是semimartin gale，这在无摩擦的情况下是必要的，以确保没有套利。在这个框架下，Czichowsky和Schachermayer在[13,14]中研究了一致价格系统存在下的效用最大化问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:05

准确地说，一致性价格体系由两个过程组成：一个有效的股票价格过程，它位于买入和卖出之间；这一实际价格过程的（局部）鞅密度。例如[29,39,24]引入的这个创造性概念在无摩擦情况下用作等价鞅测度。在这种假设下，Gu asoniet al.[25]和Schacherm ayer[41]证明了一个类似于经典的su perreplication定理，因此[13,14]中考虑的主域和对偶域具有与[33,38]中类似的函数结构。因此，从[33,38]中导出的抽象定理可以在这个新的背景下用于解决上述两种效用函数的效用最大化问题。本文的目的之一是通过引入有界随机禀赋来推广[14]的结果。为了实现这一点，我们首先得到了正半直线上问题的中间结果，这可以通过处理[10]中的论点来证明。这个中间对偶结果与[2]类似，但是它更直接，并且适合于基于num’eraire的设置，这是后续近似所必需的。对于整条实线上的问题，我们首先通过适当的截断构造辅助主函数和对偶函数，以便回到中间结果的情况。然后，我们展示了与[35]类似的程序，通过近似优化器和期望值函数来完成证明。效用最大化、随机捐赠、交易成本3如上所述，每个一致的价格体系都模拟了一个活跃的市场。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:09

按比例交易成本的投资组合优化理论中的一个重要问题是，是否存在所谓的影子价格过程，即最不利的无摩擦市场扩张，从而导致相同的最优策略和效用。如果答案是肯定的，那么给定经济主体的行为可以通过一个合适的无摩擦影子市场来解释。从[31]开始，sh ad ow价格已被证明有助于解决具体的效用最大化问题，例如[19,20,26]。此外，Kallsen和Muhle Karbe[32]指出，在有限概率空间中，效用最大化问题总是存在影子价格。对于正半线上的一般效用函数，Cvitani\'c和Karatzas[9]在It^o框架内工作，每当对偶解是鞅测度时，就构造一个影子市场。根据[9]，Czichowsky等人[16]表明，如果股票价格过程是连续的，并且满足“无无界利润和有界风险”的条件（NUP BR），则相应对偶问题的优化器总是局部鞅，因此影子价格存在。此外，一旦某个约束被约束到代理身上，就会获得有效的结果。例如，Loewens tein[34]证实，只要排除空头，持续的买卖过程中就存在影子价格。Benedetti等人[3]最近用Kabanov的一般多货币市场模型推广了这一结果，Gu等人[23]用正随机假设推广了这一结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-11 14:09:12

然而，有几个反例表明，在没有进一步假设的情况下，经典意义上的影子价格可能不存在，见[37,12,3,13,16]。在一般的c`adl`ag框架中，Czichowsky和Schachermayer在[13]中引入了一个新的概念，这使得人们可以将对偶优化器解释为影子价格，但在一般意义上，无论对偶优化器是否是局部鞅。这种广义影子价格过程是通过一对“三明治”组合定义的，由一个可预测和一个可选的强超级定价组成，适用于所有在交易成本下仍处于破产状态的策略。这一概念后来由Bayraktar和Yu扩展到[1]中随机捐赠的案例。受Hugonnier和Kramkov[28]的启发，[1]的作者考虑了一个效用最大化问题，该问题具有交易成本，另外还有由最大交易策略和非if或可集成性条件定义的无约束随机捐赠。他们构造了广义影子价格，只要对偶结果成立，并且假定对偶优化器上有一个有效条件。与[13,1]相反，如果我们考虑效用函数定义在整条实线上的效用最大化问题，情况会发生变化。在[14]中，Czichowsky和Schachermayercon证实，具有“有限熵”的严格一致价格系统（定义见[39,8]）的存在保证了经典影子价格的存在。我们将在本文中发现，有界随机禀赋的存在不会改变这个结果，这是基于对偶优化器与严格正鞅密度相关的事实。对于[13,1]中正半线的情况，这个属性不一定成立。然而，类似于[1]的无限随机禀赋的情况留待未来研究。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:15

此外，我们提供了影子价格的一个更广义的定义，即我们只要求影子价格市场产生相同的最优效用，那么这种影子价格总是可以从对偶优化器中构造出来。本文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将介绍b ASIC设置并阐述问题。在第三节和第四节中，我们分别研究了正实线和全实线上的效用最大化问题，并分别给出了林一清和杨俊建的对偶结果。我们在第5节中讨论了影子价格的存在性，并以指数效用函数为应用，讨论了基于效用的定价。2.金融市场。在本节中，我们简要回顾了一个基于连续时间的市场模型的初步内容，该模型具有比例交易成本。对该框架的更多细节感兴趣的读者可以参考[40,41,13,14,16]。我们考虑一个由一个无风险资产和一个风险资产组成的金融市场，其中无风险资产的价格是恒定的，且标准化为1。此外，允许在有限的时间间隔[0，T]内进行交易。用S=（St）0表示≤T≤t基于过滤概率空间的股价过程(Ohm, F、（英尺）0≤T≤T、 P）满足右连续性和饱和性的一般假设，其中假设Fis是微不足道的。假设2.1。进程S=（S）0≤T≤它适应于（英尺）0≤T≤T、具有严格的正向和c\'adl\'ag路径。我们引入股票交易的比例交易成本λ>0。两个过程（（1）- λ）圣，圣）0≤T≤t对股票的买入和卖出价格进行建模，这意味着代理人在购买股票时必须支付较高的卖出价格，但只能收到较低的买入价格（1- λ）卖的时候。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:18

出于明显的经济原因，我们假设λ<1。考虑一下这个市场上的一个代理人，他拥有初始财富x∈ R、在时间T时，谁获得了更多的外源性捐赠，这是FT可测量的，并且满足ρ：=keTk∞< ∞.代理人的交易策略由R值的、可预测的过程φ=（φt，φt）0建模≤T≤定义变动，其中在时间t重新平衡投资组合后，以无风险和风险资产为单位的持有量分别为和。我们注意到，每个有限变动的过程都是l`adl`ag，可以分解为两个非减损过程↑以及↓两者均为零，即φt=φ+φ↑T- φ↓t、然后，由Vart（~n）=↑t+~n↓t、我们用φcits表示连续部分φct:=φt-Xs<t+~ns-Xs≤T~ns，在哪里+~ns:=~ns+- ~n沙子~ns:=~ns- ~ns-分别是它的右跳和左跳。定义2.2（自我定义）。交易策略=（t，t）0≤T≤如果（2.1）Ztsd~nu，则称为交易成本下的自我融资λ≤ -ZtsSudа1，↑u+Zts（1- λ）南欧1号，↓u、 0≤ s≤ T≤ T、其中，积分是通过SSSUD~n1定义的，↑u:=ZtsSudа1，↑,cu+Xs<u≤tSu-φ1,↑u+X≤u<tSu+φ1,↑u、 ZtsSudа1，↓u:=ZtsSudа1，↓,cu+Xs<u≤tSu-φ1,↓u+X≤u<tSu+φ1,↓u、效用最大化、随机捐赠、交易成本5在无风险状态下，购买和出售风险资产的自我融资状态（2.1）为0≤ s<t≤ T，Ztsdа0，cu≤ -ZtsSudа1，↑,cu+Zts（1- λ）南欧1号，↓,铜，~nt≤ -圣-φ1,↑t+（1）- λ）圣-φ1,↓T+~nt≤ -圣+φ1,↑t+（1）- λ）圣+φ1,↓t、定义2.3（清算价值）。我们通过Vliqt（ν）确定时间t的清算价值：=Фt+（νt）+（1- λ）圣- （ηt）-St.备注2.4。以下公式可通过分段积分推导得出：Vliqt（魟）=魟+魟S+Zt魟udSu- λZtSud~n1，↓U- λSt（νt）+。定义2.5（可采性）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:21

如果存在M>0，则自融资交易策略被称为可接受策略，即对于每个[0，T]值的停止时间τ，Vliqτ（ν）≥ -M、 a.s.代表x∈ R、我们用λadm（x）表示交易成本λ下的所有自融资和可接受交易策略的集合，从（ν，ν）=（x，0）和cλ（x）：=nVliqT（ν）φ = (φ, φ) ∈ λadm（x）o.定义2.6（λ-一致价格体系）。固定0<λ<1，股票价格过程s=（St）0≤T≤T.λ-一致价格系统是一个二维严格正过程z=（Zt，Zt）0≤T≤Twith Z=1，由一个鞅Zan和一个（局部）鞅P组成，因此存在一个适应过程过程：=（eS）t∈[0，T]满足于0≤ T≤ T，（2.2）东部时间∈ [(1 - λ） St，St]和Zt=ZteS，a.s.所有λ一致价格体系的集合用Zλe（s）表示。此外，我们用Zλa（S）表示除严格正性外满足上述所有条件的所有非负过程Z的集合。对于0<λ<1，我们说价格过程S=（St）0≤T≤Tsatis fies（CP Sλ），如果存在λ一致的价格体系。备注2.7。交易费用的存在使我们能够以无套利的方式考虑超越半鞅模型的优化问题。在这个新的背景下，λ-相容价格系统在无摩擦情况下起到了等价鞅测度的作用。每小时∈ Zλe（S），这对夫妇建立了一个具有股票价格过程的活跃市场模型，该过程满足风险为零的无风险（NF LVR）。根据Schachermayer[41]，可以在以下假设下建立重要的超复制定理。假设2.8。所有产品的满意度（CP Su）∈ （0,1）.6林毅清和杨俊坚定理2.9（超复制定理[41，定理1.4]）。让我们满足假设2.1和假设2.8。固定0<λ<1。让g∈ L(Ohm, F、 P）是一个从下到下的随机变量，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:24

G≥ -M、 a.s.，对于一些M>0。然后，g∈ Cλ（x），当且仅当E[ZTg]≤ x、 f奥利奇Z∈ Zλe（S）。正实数不等式上的效用最大化问题在这一部分中，我们假设代理人对终端财富的偏好由优度函数U：（0，∞) → R、它是严格递增的，严格凹的，连续可微分的，并且满足不满足的条件：U′（0）：=limx→0U′（x）=∞ 还有你(∞) := 利克斯→∞U′（x）=0。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设(∞) > 0以简化分析。定义alsoU（x）=-∞ 每当x≤ 0.假设3.1。效用函数U满足合理的渐近弹性，即AE（U）：=lim supx→∞许′（x）U（x）<1。我们请读者参考[33]了解财务解释和关于先前假设的更多结果。对于效用最大化问题，我们将注意力限制在终端清算财富上，当x>0时，原始p问题是[U（x+VliqT（φ）+eT）]→ 最大值！，φ := (φ, φ) ∈ Aλadm（0）。（3.1）我们表示Cλ：=Cλ（0）。在不丧失一般性的情况下，我们可以用（3.2）Cλ=n k T重写Cλφ = (φ, φ) ∈ Aλadm（0），νT=0o。然后问题（3.1）的值函数定义如下（3.3）u（x）：=supg∈eCλE[U（x+g+eT）]，其中seteCλ由上述预期明确的Cλ元素组成。最后，为了排除琐碎的情况，我们有以下假设，即u（x）<∞ 由于u.假设3.2的凹陷性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:28

对于某些x>ρ，值函数u（x）的值是确定的。让我们表示V:R+→ R由v（y）定义的U（x）的凸联合函数：=supx>0{U（x）- xy}，y>0。很明显，V（y）是严格递减的、严格凸的、连续可微且满足的V（0）=U(∞), 五(∞) = U（0）。我们还定义了一：（0，∞) → (0, ∞) U′在（0，∞), 这是严格下降的，并且满足I（0）=∞, 我(∞) = 0和I=-V′。效用最大化，随机捐赠，交易成本7考虑对偶问题到（3.3），通常的对偶空间isMλa:=nZT∈ L（Z，Z）∈ Zλa（S）o，是L的子集。根据[10]，该子集相对较小，以保持问题的对偶优化器的连续定义。因此，我们通过在大空间ba=（L）上完成来扩展它∞)*, L的对偶空间∞, 定义以下ba子集，其配备弱星拓扑σ（ba，L∞),Dλ：=Q∈ ba+kQk=1和hQ，gi≤ 0，为所有g∈ Cλ∩ L∞,和Dλ，r：=Dλ∩ 五十、其中r代表常规。我们注意到Dλ是明显凸的，并且σ（ba，L）也是凸的∞)-由阿洛格鲁定理压缩。自从-L∞+ Cλ，我们看到Dλ ba+。每个Q∈ ba+，它允许一个独特的吉田-休伊特分解，形式为Q=Qr+Qs，其中正则部分Qr是可数可加部分，Qs是纯可加部分。此外，我们定义了X∈ 五十、从下面开始，Q∈ ba+，总部，Xi：=limn→∞总部，X∧ 镍∈ [0，∞].然后，我们观察到，对于每个g∈ Cλ，hQ，gi≤ 0，为所有g∈ Cλ和Q∈ Dλ。现在我们用（3.4）v（y）：=infQ来定义对偶优化问题∈DλE五、ydQrdP+ yhQ，eTi.以下定理是[10，定理3.1]在无摩擦情况下的对应定理。正如[13]所述，交易成本的存在不会改变primaland双域的功能结构。定理3.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:31

在假设2.1、2.8、3.1、3.2下，我们有（1）u（x）<∞ 为了所有的x∈ R和v（y）<∞ 对于所有y>0。（2）原始值函数u在（x，∞) u（x）=-∞对于所有x<x，其中x:=-v′(∞) = supQ∈DλhQ，-埃蒂。双值函数在（0，∞).（3）函数u和v在v（y）=supx>x{u（x）的意义上是共轭的- xy}，y>0，u（x）=infy>0{v（y）+xy}，x>x.（4）对于所有y>0，存在一个解bxy∈ Dλ到对偶问题，这是唯一的单部分。对于所有x>x，bg:=IbydbQr^ydP- 十、- Eti是主问题的解，其中by=u′（x），它达到了{v（y）+xy}的最大值。证据这个定理的证明应以与[10]相同的方式进行，因此我们省略了细节，但强调交易成本的新结果是否适用。对详细讨论感兴趣的读者请参考[21]。首先，我们通过回顾对偶问题[13]的性质和随机禀赋的有界性，观察到v是有限值。然后，拿起一个最小序列8林一清和杨俊坚（Qn）n∈关于问题（3.4）。由于Dλ是凸的弱星紧的，我们可以用[10，引理A.1]通过（eQn）n的簇点构造bq∈N、（Qn）N的凸组合的一个子序列∈N、使dbqrydp=f=limn→∞德克兰德潘·赫克恩-→ hbQ，eTi。多亏了[33，引理3.2]，sequencenV的负部分ydeQrndP在…上∈Nis一致可积，因此Fatou引理适用于证明BQ的最优性。很明显，由于V的凸性，值函数是凸的，而且，对偶运算timizerbQ不等于奇异部分。值函数v的可微性及其定量性质可以通过[10，引理4.2，引理4.3]来推导。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:34

特别是，对于y>0，（3.5）v′（y）=-*Bkry，IydbQrydP！++hbQy，eTi。然后，对于每个x>x:=-v′(∞), 存在唯一的by>0，使得v′（by）+x=0，by达到{v（y）+xy}的最大值。为了简单起见，表示bq:=bQby。让我们考虑一下bg:=IbydbQrdP！- 十、- 从（3.5）可知（3.6）-x=v′（by）=-*bQr，IbydbQrdP++DbQ，eTE=-DbQr，x+bgE+DbQs，等等。与[10，引理4.4]类似，我们可以证明UPQ∈Dλ{hQr，x+bgi- hQs，eTi}=hbQr，x+bgi- hbQs，eTi=x，这意味着hQ，x+bgi≤ x、 bgi总部≤ 0，对于每个Q∈ 特别是博士，我们得到了E[ZTg]≤ 0，作为{ZT|Z∈ Zλe（S）} 显然，bg是从下方有界的，然后通过定理2.9我们得到bg∈ Cλ。由于I（·）的严格正性，我们知道x+bg+eT>0，thushbQ，eTi+x=hbQr，x+bg+eTi≤ hbQ，x+bg+eTi≤ hbQ，eTi+hbQ，xi≤ hbQ，eTi+x。然后，从U和V之间的共轭性质和bg的定义，我们得到了U（x）≥ E[U（x+bg+eT）]=E“VbydbQrdP！+bydbQrdP（x+bg+eT）#=E”VbydbQrdP！#+byhbQ，eTi+xby=v（by）+xby≥ u（x）、效用最大化、随机捐赠、交易成本9，其中最后一个不等式可由交易成本下的超级复制定理（theorem 2.9）加以验证。证据是完整的。4.最优投资当财富可能为负时，在本节中，我们考虑效用函数U:R的问题→ R、在实线上的任何地方都有明确的价值。我们通常假设U是连续可微的、严格递增的、严格凹的，并且满足以下条件：U′(-∞) := 利克斯→-∞U′（x）=∞ 还有你(∞) := 利克斯→∞U′（x）=0。我们还假设函数U具有[38]中定义的合理渐近弹性。假设4.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:37

函数U:R→ 满足合理的渐近弹性，即AE-∞（U）：=lim infx→-∞xU′（x）U（x）>1和AE+∞（U）：=lim su px→∞许′（x）U（x）<1。（4.1）本节的目的是研究优化问题（4.2）E[U（x+g+eT）]→ 最大值！，G∈ Cλ，其中Cλ在上一节中定义为所有可容许清算价值的集合（见定义2.5和（3.2））。然后，相应的值函数g由u（x）：=supg给出∈CλE[U（x+g+eT）]。正如[14]中指出的，一旦效用函数支持负财富，即使没有随机禀赋，也可能无法在Cλ中获得（4.2）的最优值（与无摩擦情况下的[38,35]相比）。因此，与[14,6]类似，我们考虑了扩大集Cλ上的优化问题（4.2），定义如下：CλU:=（g∈ L（P；R）∪ {∞}){gn}n∈N Cλs.t.U（x+gn+eT）∈ L（P）和u（x+gn+eT）L（P）----→ U（x+g+eT））。显然，原始域的扩大不会改变最优值，即（4.3）E[U（x+g+eT）]→ 最大值！，G∈ CλU，yieldsu（x）=supg∈CλE[U（x+g+eT）]=supg∈CλUE[U（x+g+eT）]。特别是，U（x+gn+eT）L（P）----→ U（x+g+eT）意味着gn→ g在P中，因为u严格地在增加。为了排除不重要的情况，我们将做出以下假设，即u（x）的值是确定的。假设4.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:40

值函数满足u（x）<u(∞), 为了一些x∈ R.10林一清和杨俊建为了建立（4.2）的对偶问题，我们引入了U（x）：V（y）：=supx的共轭函数∈RU（x）- xy, y>0，这是一个连续可微的严格凸函数，满足V（0）=U(∞), 五(∞) = ∞, V′（0）=-∞, V′(∞) = ∞.我们还有公式v（y）=UI（y）- yI（y），其中I是反函数（U′）-1，等于-V′。在不丧失普遍性的情况下，我们假设在U（0）处的th>0，然后可能向U添加一个常数。这意味着V（y）的严格正性，这确保了结果[38，推论4.2]。现在，我们可以确定双重问题。（4.4）v（y）：=inf（Z，Z）∈Zλa（S）EV（yZT）+yZTeT= infZT∈MλaEV（yZT）+yZTeT.备注4.3。尽管如此，g∈ Cλ，y>0和（Z，Z）∈ Zλa（S），根据超复制理论下的交易成本（定理2.9），我们有[U（x+g+eT）]≤ EV（yZT）+yZT（x+g+eT）,因此（x）≤ infy>0{v（y）+xy}。下面是本文的主要结果：定理4.4。在假设2.1、2.8、4.1和4.2下，并且S是局部有界的，我们有（1）值函数u（分别为v）是整值函数，严格凹（分别为凸），连续可微分函数定义在R（分别为R+）上。函数u和v是共轭的且满足于‘(-∞) = ∞, u′(∞) = 0，v′（0）=-∞, v′(∞) = ∞.此外，函数u具有合理的渐近弹性。（2）当y>0时，最优解bzt（y）∈ 对偶问题（4.4）存在且唯一。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:45

地图y 7→bZT（y）在变化范数中是连续的。（3）为了x∈ R、原始问题（4.2）的最优解bg（x）存在于CλU中，它是唯一的，且满足esx+bg（x）+eT=IbybZT（by）,其中by=u′（x）。（4）我们有边际效用的公式：v′（y）=EhbZT（by）V′bybZT（by）+ eT我u′（x）=EU′（x+bg（x）+eT）;xu′（x）=Ex+bg（x）U′（x+bg（x）+eT）.效用最大化、随机禀赋、交易成本11根据[38,35]的规定，证明了该定理由连续逼近组成。我们首先构造一个递增序列（Un）n∈N、这样每N∈ N、 oUn=U on[-N∞);o -∞ < 联合国≤ 继续(-（n+1），-n） Un=-∞ 在(-∞, -（n+1）；oUnis增加，严格凹面，持续变化(-（n+1），∞), 和满足极限→-（n+1）Un（x）=-∞, 利克斯→-（n+1）U′n（x）=∞.为y定义≥ 0，Vn（y）：=supx∈R{Un（x）- xy}=Un（In（y））- yIn（y），其中In:=（U\'n）-1= -V′n.在不丧失一般性的情况下，我们可以选择序列（Un）n∈N、这种依赖于N的常数C同时对V和所有Vnin的估计有效[38，推论4.2]。De fineeun（ex）：=Un前任- （n+1）, 对于ex>0和s atis in a condition在0和+∞, 并给出了合理的渐近弹性条件+∞. 一方面，我们考虑以下效用最大化问题，对于ex>ex，（4.5）eun（ex）：=supg∈CλEheUn（ex+g+eT）i，它有唯一的最优解egn（ex）∈ Cλ。另一方面，（4.5）的对偶问题由（4.6）evn（y）：=infQ表示∈DλEeVnydQrdP+ yhQ，eTi,伊夫是伊恩的共轭体。应用上一节中的定理3.3，我们知道对于y>0，存在唯一解bqn（y）∈ Dλ到问题（4.6），而且，forby=eu′n（ex），egn（ex）=-eV\'nbydbQrn（by）dP！- 前任- 等。表示ex:=x+n+1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:49

通过定义（4.7）un（x）：=supg，我们将效用最大化问题向后转移∈Cλ[Un（x+g+eT）]=eun（ex）。显然，上述问题的唯一解bgn（x）：=egn（ex）和moreoveru′n（x）=eu′n（ex）。然后，u的共轭门由（4.8）vn（y）=infQ给出∈DλEeVnydQrdP+ yhQ，eTi+ （n+1）y.12林毅清和杨俊坚考虑到Vn（y）=eVn（y）+（n+1）y，我们有（4.9）Vn（y）=infQ∈DλE越南ydQrn（y）dP+ y hQn（y），eTi+（n+1）y1.- EdQrn（y）dP.总之，对于by=u′n（x）=eu′n（ex），唯一解bqn（by）解（4.6）也是（4.8）和（4.9）的解。此外，（4.7）的解允许（4.10）x+bgn（x）+eT=-V′nydbQrn（y）dP！。对于固定y>0，vn（y）在n中增加≤ V和Mλa Dλ，我们有（4.11）vn（y）=infQ∈DλE越南ydQrdP+ y总部，eTi+（n+1）y1.- EdQrdP≤ infZT∈MλaE五、yZT+ yZTeT= v（y），这意味着vn由v控制。因此，我们现在可以定义函数v∞（y）：=林→∞vn（y），y>0，它后来被证明是函数v。此外，我们可以通过应用[38，推论4.2]来证明∞被v完全重视和支配，与[35，引理2.2]相同。定理4.4的证明。证明的第一步是考虑vn（yn）的收敛性→五、∞（y），作为n→ ∞, 提供∈n在v域中与y相交∞. 这可以通过回顾[35，引理2.3]来证明。特别是，对于每个yn，用bybQn（yn）表示∈ Dλ对偶问题vn（yn）的对应解。沿着[35，引理3.1]的直线，我们可以证明存在一个度量Q（y），使得（4.12）dbQrn（yn）dPL（P）----→dbQ（y）dp和kdbQ（y）dPkL（P）=1。表（4.12），很明显BQN（yn）ba-→bQ（y）。在下面的内容中，我们将证明存在一个耦合bz（y）：=bZ（y），bZ（y）∈ Zλa（S）使得bzt（y）=dbQ（y）dP。我们认为集合Dλ是σ（ba，L）∞)-Mλa的闭包。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:53

实际上，我们只需要证明λaσ（ba，L∞) Dλ。假设存在一个元素eq∈ Dλ满足eq/∈Mλaσ（ba，L∞).由于Mλa的凸性，它的σ（ba，L∞)-closureMλaσ（ba，L∞)它也是凸的。根据HahnBanach定理，存在f∈ L∞, 这样heQ，fi>α和hq，fi≤ α, Q∈Mλaσ（ba，L∞),效用最大化，随机捐赠，交易成本∈ R.特别是E[ZTf]≤ α代表所有ZT∈ Mλa，由定理2.9f得出∈ Cλ（α），因此f- α ∈ Cλ。通过定义Dλ，我们得到了heq，f- αi=heQ，fi- α ≤ 0，这与heQ，fi>α的事实相矛盾。然后，根据[22，命题A.1]，存在一个序列锌，0T（y）N∈N Mλa，使得zn，0T（y）以概率收敛到bq（y）dPin。像锌，0T（y）L（P）=dbQ（y）dPL（P）=1，遵循舍夫引理，Zn，0T（y）在L（P）中收敛到bq（y）dp。通过下面的引理4.5，我们推导了dbq（y）dP∈ Mλa.因此，我们得到一个耦合bz（y）：=bZ（y），bZ（y）∈ Zλa（S）使得bzt（y）=dbQ（y）dP。根据[35，推论3.2.（i）]的证明，我们可以显示地图y7→bZT（y）在L（P）-正态中是连续的→∞vn（yn）=v（y）=EhVybZT（y）+ ybZT（y）eTi和thusbZT（y）∈ Mλais是对偶问题（4.4）的唯一极小值。对偶值函数v是严格凸的。从现在起，通过遵循[35，定理1.1]的证明，我们可以类似地展示其他断言。引理4.5。关于L（P）-拓扑，集合Mλais是闭合的。证据考虑一下顺序锌，0吨N∈N Mλa，与绝对连续一致价格系统Zn有关：=（Zn，0t，Zn，1t）0≤T≤T∈ Zλa（S）。此外，假设（4.13）Zn，0TL（P）----→ ZT，有些ZT∈ L（P）。我们现在展示ZT∈ 注意，对于每个n，这对过程（Zn，0，Zn，1）是非负的局部鞅，因此是超鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:09:58

根据[15，定理2.7]，存在一个序列（eZn，0，eZn，1）n∈N、它是（Zn，0，Zn，1）N的凸组合的子序列∈N、也就是说，（eZn，0，eZn，1）∈ 卷积和多项式相乘（锌，0，锌，1），（锌+1,0，锌+1,1），··此外，还存在两个非负的可选强超鞅（bZ，bZ）（不一定是c`adl`ag，cf[18，Append ix I]），使得f或每[0，T]值的停止时间σ，我们有（4.14）eZn，IσP-→bZiσ，as n→ ∞, i=0，1。由于集合Zλa（S）在可数凸组合下是闭合的（参见[13，引理a.1]），因此我们对每个n∈ N、（eZn，0，eZn，1）∈ Zλa（S），特别是eZn，0是鞅。从（4.13）开始，eZn，0T收敛于tobZTin L（P）。因此，我们可以用Fatou引理证明bzi是一个鞅，明显地，bZT=ZT。此外，对于每[0，T]值的停止时间τ，序列eZn，0τN∈Nis一致可积。14林一清和杨俊坚是当地人，而且（eZn，1）n∈如果是一个局部鞅序列，可以选择一个停止时间序列（τm）m∈九增加，几乎肯定会收敛到∞, 使得每个停止的过程Sτ有界，对于每个n，eZn，1·∧τmis是鞅。来自（2.2），韦哈韦兹，1≤eZn，0秒。因此，对于每一个m，eZn，1τmN∈Nis一致可积，这意味着Ezn，1τmc收敛于tobZτmin L（P）和Zn，1·∧τmis是鞅。因此，我们得出结论（bZ，bZ）∈ Zλa（S），通过观察（2.2）满足（bZ，bZ）。我们现在考虑的问题是，在交易成本λ下，是否存在一种自我融资的交易策略（bа，bа），以实现解决方案bg（x）到（4.2），即VliqTb~n= bg（x）。如[14]所述，我们对所有可实现的交易策略的λU（x）定义如下。我们只需注意AλUby AλU（0）。定义4.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:10:01

如果交易策略是一种可预测的、有限的变化，我们称之为交易策略，从（ν，ν）=（x，0）开始，满足λ-自我融资条件（2.1），并且存在一个序列（νn，0，νn，1）n∈N Aλadm（x）使UVliqT（νn）+eT∈L（P），UVliqT（νn）+eTL（P）-----→ UVliqT（ν）+eT安德夫~nn，0t，~nn，1t→~nt，~nt, T∈ [0，T]i=1。提案4.7。除了定理4.4的假设之外，我们进一步假设，对于某些λ′∈ （0，λ），存在λ′-一致价格系统Z、 Z∈ Zλ′e（S），如此五、yZT< ∞,对于某些>0的人。那么原始问题（4.3）的解决方案是可以实现的，即存在b~n，b~n∈ 一个λ通常指的是VliqTb~n= bg（x），而对偶优化器（bZ，bZ）属于Zλe（S），即（bZ，bZ）是一个λ一致的价格系统。证据根据定理4.4，存在一个序列（φn，0，φn，1）N∈N Aλadm使得（4.15）Ux+VliqT（νn）+eTL（P）-----→ Ux+bg（x）+eT.然后，forS:=ZZ，过程Zt（x+n，0t+n，1ST+Ant）0≤T≤这是一个非常有趣的故事∈ N、地点：=（λ）- λ′）ZtSud~nn，1，↓u、事实上，通过部件集成，我们可以编写Ex+~nn、0t+~nn、1ST+Ant=x+~nn、0t+Zt~nn、1udSu+ZtSud~nn、1u+Ant。效用最大化、随机捐赠、交易成本（1）- λ）苏≤ 苏≤ 通过λ-自融资条件（2.1），我们得到了φn，0t- ~nn，0s+ZtsSud~nn，1u+Ant- Ans≤ -ZtsSud~nn，1，↑u+Zts（1- λ）南欧，1，↓u+ZtsSud~nn，1u+Zts（λ- λ′）Sud~nn，1，↓u=-中兴通讯苏-苏d~nn，1，↑U-中兴通讯苏- (1 - λ′）Sud~nn，1，↓U≤ 0，为所有人0≤ s<t≤ 因此过程（Bnt）为0≤T≤T:=~nn，0t+RtSud~nn，1u+Ant0≤T≤这是不增加的。它遵循Bayes法则，即在measureQ下的局部martin gale~ P由dqdp定义：=ZT。由于φn，1是有限变化的，因此是局部有界的，所以余弦积分φn，1oS是Q下的局部鞅。因此，x+~nn，1oSt+Bntisa本地超级艺术家。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:10:04

再次使用贝叶斯规则，我们得到Ztx+n、0t+n、1ST+Ant0≤T≤T=Ztx+~nn，1oSt+Bnt0≤T≤这是P.项下的一个局部超级鞅，因为（n，0，n，1）∈ Aλadm，我们有x+n、0t+n、1ST+Ant≥ZtVliqt（νn）≥ -MnZt，对于一些Mn≥ 0.由于zi是一个真正的鞅，过程Ztx+n、0t+n、1ST+Ant0≤T≤这是P下的一个真正的超马尔可夫，它特别暗示了eZTx+n，0T+AnT≤ x、和（4.16）EZTx+n，0T+AnT+eT≤ x+ρ，对于所有n∈ N.利用芬切尔不等式和U的单调性，我们可以估计出x+VliqT（νn）+AnT+eT≥ Ux+VliqT（νn）+eT- 五、yZT.假设我们有VyZT∈ L（P），然后是（4.15）yZTx+VliqT（νn）+AnT+eT-N∈Nis一致可积。与（4.16）一起，我们得到了序列yZTx+VliqT（νn）+AnT+eTN∈nisl（P）有界。它由zt>0和VliqT（~nn）P得出-→ bg（x），该conv{AnT；n∈ N} 在L（P）中有界。因为在Q下是非负的局部马丁盖尔，所以也是非负的超马丁盖尔，我们在0中看到≤U≤TSu≥ inf0≤U≤TSu>016林一清和杨俊建[18，定理VI-17]。这意味着conv{VarT（~nn，1）；n∈ N} 在L（P）中有界，因此conv{VarT（~nN，0）也是如此；N∈ N} 。根据[8，命题3.4]，存在一个序列eаn，0，eаn，1∈ 卷积和多项式相乘~nk，0，~nk，1; K≥ N凸组合与可预测p过程b~n，b~n有限的变化，如pH值e k n，0t，e k n，1t→b k t，b k t, T∈ [0，T]i=1。这意味着（bа，bа）是一种λ-自我融资交易策略，因此VliqTb~n= bg（x），因此（bа，bа）∈ AλU.因为bg（x）=VliqT（b~n）<∞, 我们有bybzt（by）=U′x+bg（x）+eT> 根据我的情况。因此，（bZ，bZ）∈ Zλe（S）。5.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:10:09

影子价格对于具有比例交易成本的效用最大化问题，已经观察到，具有交易成本的原始市场有时可以被无摩擦的影子市场所取代，该市场产生相同的最优策略和效用。在本节中，我们将研究上一节中考虑的效用最大化存在这样一个有效市场。特别是，我们首先通过问题的双优化器（4.4）构建经典意义上的影子价格。然后，我们引入了影子价格过程的一个广义定义，并证明了每当效用最大化问题可以通过对偶方法解决时，这种过程总是存在的。首先，我们将经典意义上的影子价格过程定义[14，定义2.2]调整为随机捐赠。定义5.1。半鞅=美国东部时间0≤T≤这被称为影子价格，如果（i）eS在买卖价差中取值[1]- λ） S，S]；（ii）解决方案bh=必和必拓0≤T≤t无摩擦效用最大化问题（5.1）u十、锿:= 嘘∈AU锿EUx+HoeST+eT,存在于[35]的意义上，其中AU锿表示存在序列（Hn）n的所有可积可预测过程的集合∈Nof允许的无交易成本的自我融资交易策略x+（HnoeS）T+eT∈ L（P）andUx+（HnoeS）T+eTL（P）-----→ Ux+（HoeS）T+eT;（iii）针对无摩擦问题（5.1）的最优交易策略与针对效用最大化问题（4.3）的股票持有量一致，交易成本如下：bHoeST=bg（x）=VliqT（b~n）。效用最大化，随机捐赠，交易成本17一般来说，经典影子价格（如果存在）允许我们通过解决无摩擦效用最大化问题（5.1）来获得效用最大化问题（4.3）的最优交易策略。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:10:13

值得注意的是，交易费用产生的预期效用高于交易成本下的交易。因此，影子价格是一个最不利的无摩擦市场，存在于买卖过程中。此外，由于Bh和b的重合，影子市场中问题（5.1）的最优策略bh具有有限的变化。此外，他们都只交易出价或要价的IFB，即。，d b~n>0bS=S和d b~n<0bS=（1）- λ） S.我们请读者参考[13]了解上述概念的详细信息。以下命题为影子价格的存在提供了充分条件，特别是，这是由具有有限V-期望的λ′一致价格系统的存在所保证的，其中0<λ′<λ。提议5.2。在定理4.4的假设下，假设原始问题（4.3）的解bg（x）是可得的，且解bz：=bZ，bZ对偶问题（4.4）属于Zλe（S），即bZ是λ-相容价格系统。然后，bybS:=BZBZI定义的过程在定义5.1的意义上是问题4.3的影子价格。证据通过假设b~n是可实现的，我们知道存在一系列允许的λ-自我融资交易策略~nn，0，~nn，1N∈令人满意的（5.2）Ph值~nn，0t，~nn，1t-→b k t，b k t, T∈ [0，T]i=1和（5.3）Ux+n，0T+eTL（P）-----→ Ux+bg（x）+eT.通过弗雷切尔共轭，以及E[bZTx+bg（x）+eT] < x+ρ，我们可以用类似于命题4.7的方式表示bybZTx+n，0T+eT-N∈Nis一致可积。由于eT的有界性，我们bybZTx+n，0吨-N∈nis也是一致可积的。然后，证明的方式与[14，命题3.3]的相同。特别是，我们有bZt（x+bаt）+bZtbаt0≤T≤这是P下的超鞅，因为它是超鞅序列的极限。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:10:17

由于定理4.4（4），我们得到了moreoverx=EhbZTx+b~nTi、从中我们可以得出结论bZt（x+bаt）+bZtbаt0≤T≤这是第18页林一清和杨俊建的鞅，我们用分部积分得到了那个bztx+b~nt+bZtb~nt=bZtx+b~nt+b~ntbSt=bZtx+b k bT-Zt苏-bSud b k 1，↑U-ZtbSu- (1 - λ）苏d b k 1，↓U=:bZtx+b k bT- 在.正如在[14，命题3.3]的证明中一样，我们可以证明bzx+b~nobS是一个局部鞅，a是递增的，这意味着≡ 0和fur thermored b~n>0bS=S和d b~n<0bS=（1）- λ） S.很明显，美国十、学士学位≤ E[V（yZT）+yZTeT]+xy，对于y>0和ZT∈ Za学士学位. 像bZ，bZ∈ Zλe（S），我们得到bzi是无摩擦过程b的一个等价局部鞅测度的密度过程，因此ehvbybZT+ bybZTeTi+xby=u（x）≤ U十、学士学位≤ 超高压bybZT+ bybZTeTi+xby。根据无摩擦对偶定理[35，定理1.1]，by和bzis是无摩擦对偶问题的优化器，而且，x+（b~nobS）T+eT=x+bg（x）+eT=-V′bybZT是无故障问题（5.1）的最优终端财富。由于b~nobS是dbqdp:=bZT给出的阿马丁格尔低于q，我们得出b~n必须是AU中的最优策略十、学士学位根据[35，T heorem 1.1.（v）]。总之，对于交易成本下的效用最大化问题（4.3），价格过程B是定义5.1意义上的影子价格。如[14]所述，美国(∞) = ∞ 是命题5.2中经典影子价格存在的一个充分条件，这意味着BZ∈ Zλe（S），从而得到命题4的结果。7点。当你(∞) < ∞ , 我们观察到，原始问题（4.3）的解决方案不一定是可以实现的，也就是说，可能不存在最优的λ-自融资交易策略（bа，bа），使得bаT=bg（x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:10:21

然而，对偶问题的解（bZ，bZ）总是局部鞅（绝对连续一致价格系统）。我们可以定义以下广义影子价格，它只会导致与交易成本下相同的最优效用。定义5.3。我们保留定理4.4的所有设置。A半鞅=（eSt）0≤T≤对于优化问题（4.2），如果（i）过程取值i n[（1），则称为广义影子价格- λ） S，S]。（ii）解决方案∈ CU（eS）到相应的无约束效用最大化问题（5.4）u（x；eS）：=supg∈CU（eS）E[U（x+g+eT）]效用最大化、随机捐赠、交易成本19存在并与最优解bg一致∈ CλUto（4.2）在交易成本下，其中cu（eS）：=（g）∈ L（P；R）∪ {∞})gn∈ C（eS）s.t.U（x+gn+eT）∈ L（P）和u（x+gn+eT）L（P）----→ U（x+g+eT）），和c（eS）：={g∈ L | g≤ （HoS）t对于一些可容许的组合H}。备注5.4。在效用最大化p问题的对偶定理中，效用函数定义在正实线上，最优交易策略b的存在性∈ λadmfollows直接来自对偶优化器bg的存在性∈ Cλ。因此，在影子价格的经典定义中，要求无价格影子市场中的最优交易策略也是原始市场中具有交易成本的最优交易策略是很自然的。对于在整条实线上定义效用函数的问题，我们通常没有办法找到最优策略。这就是我们以这种方式定义广义影子价格的动机。定理5.5。由（2.2）定义的与解（bZ，bZ）相关的半鞅∈对偶问题（4.4）的Zλa（S）是由上述定义得到的广义影子价格。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:10:24

从CU（bS）和C（bS）的定义中，我们知道u（x；bS）=supg∈C（bS）E[U（x+g+eT）]。自Cλ C（bS），然后（5.5）u（x）=supg∈CλE[U（x+g+eT）]≤ 苏普格∈C（bS）E[U（x+g+eT）]=U（x；bS）。此外，（5.6）D（bS）：=Q∈ 文学士kQk=1和hQ，gi≤ 0代表所有g∈ C（理学士）∩ L∞Q∈ 文学士kQk=1和hQ，gi≤ 0代表所有g∈ Cλ∩ L∞= Dλ。让我们通过：=u′（x）。现在考虑以下值函数v（by；bS）：=infQ∈文学硕士（bS）E五、bydQdP+ bydQdPeT.根据[22，推论A.2.]，函数v（·）的公式相当于（5.7）v（by；bS）=infQ∈D（理学士）E五、bydQrdP+ byhQ，eTi.然后，我们从（5.6），（5.8）v（by；bS）推导出≥ infQ∈DλE五、bydQrdP+ byhQ，eTi= v（by）。As（bZ，bZ）∈ Zλa（S），我们有一个由dbqdp=bZT定义的测度bQ，它是一个绝对连续的鞅测度，即bQ∈ 文学硕士（理学士）。因此，我们推断bzta fortiori是20 YIQING LIN，而JUNJIAN Yangjin是v（by；bS）的优化器。特别地，v（by）=v（by；bS）。根据定理4.4，芬切尔定理和（5.5），（5.9）u（x）=v（by）+xby=v（by；bS）+xby≥ infy>0nvY学士学位+ xyo≥ u（x；bS）≥ u（x），因此初值函数重合。在无摩擦市场，我们有一个后验概率（x；bS）<U(∞). 通过原解的唯一性和Cλ C（bS）是（5.4）的原优化问题，它是唯一的，并且与优化问题（4.2）的原优化问题一致。备注5.6。在上述定理中，不清楚影子市场B是否存在等价鞅测度，除非e（bZ，bZ）严格为正。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:10:28

Westress表示，在假设Ma（bS）6=:u（x；bS）≤ infy>0nvY学士学位+ xyo。事实上，这源于芬切尔不等式和无摩擦环境下超复制理论的简单部分，可以在较弱的假设Ma（bS）6=.此外，我们观察到不存在二元性缺口，即u十、学士学位= 五、通过学士学位+ xby=infy>0nvY学士学位+ xyo，并且在影子市场中至少存在一个原始优化器（可能无法通过交易策略获得）和一个du-al优化器，这两个优化器与原始市场中具有交易成本的优化器一致。备注5.7。事实是BZT∈ Mλa（或Mλe）是对偶问题的唯一解lem（4.4）并不意味着偶（bZ，bZ）的唯一性∈ Zλa（S）（或Zλe（S））。换句话说，影子价格过程不必是唯一的。相反，下面的结果表明，如果（广义）影子价格bS作为上述价格存在，并且满足我（bS）6=, 它必然来自于一个双极小值。（比较[13，命题3.8]。）提议5.8。如果（广义）影子价格B如上所述，且满足我（bS）6=,然后存在一个P-鞅bZ，这样（bZ，bZbS）∈ Zλa（S）是对偶问题（4.4）的一个解。证据选择Q∈ 文科硕士学士学位用Z表示它的密度过程。很明显，（Z，Z）：=Z、 ZbS∈ Zλa（bS）。此外，马学士学位 Mλa和[38，Th eorem 2.2]，我们有u（x）=v作者（x）+ xby（x）≤ 五、作者（x；bS）+ xby（x；bS）≤ 五、由（x；bS）；学士学位+ xby（x；bS）=u（x；bS）=u（x），这意味着（x）=by（x；bS）和v作者（x）= 五、由（x；bS）；学士学位, 因此bZ，bZ:=bZ，bZbS∈Zλa（S）是摩擦对偶问题（4.4）的解，其中bz∈ 文科硕士学士学位是影子价格过程的无摩擦对应物的解决方案。效用最大化，随机捐赠，交易成本21备注5.9。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-11 14:10:31

假设我（bS）6= 确保我们可以将[38，定理2.2]的结果应用于具有B的无价格市场，特别是我们可以推导出以下等式V由（x；bS）；学士学位+ xby（x；bS）=u（x；bS）。从所谓的“面子提升定理”可知，在交易成本下，从超复制参数获得的操作价格的界限只是微不足道的界限。（例如参见[24]。）因此，在存在交易成本的情况下，su再应用的概念在经济上没有意义。然而，在存在交易成本的情况下，效用差异价格的概念具有良好的经济意义。（例如，参见[27]。）我们现在用ueT（x）代替u（x）来表示价值函数，以强调对eta的依赖，并注意到没有随机禀赋的效用最大化问题的价值函数。效用差异价格是ET的解决方案p（x）十、- p（x）= u（x）。让我们考虑一下指数效用函数u（x）=- 经验(-γx），x∈ R、其中γ>0表示绝对风险规避参数。在这种情况下，使用dualityresult，我们可以得到基于效用的价格的对偶公式。对于指数效用函数U（x），我们有v（y）=yγ日志γ- 1., y>0。引理5.10。对于指数效用函数，我们有thatueT（x）=infZT∈MλaUγEZTlogZT+ EZTeT+ 十、,为了所有的x∈ R.上述引理的证明来自定理4.4，类似于[6，命题11]中的证明，因此我们省略了它。现在，我们将介绍ET5.11提案中基于效用的定价。为了所有的x∈ R、基于效用的eTequalsp（x）=U价格-1.ueT（x）- U-1.u（x）= infZT∈MλaEhZTγ测井曲线ZT+ ZET+xi+supZT∈MλaEh-γ测井ZT- xi证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝