利用半静态交易进行套利、套期保值和效用最大化

2022-5-7 16:06:33

值得注意的是，大多数与半静态策略相关的文献仅将欧式期权视为流动期权，只有少数文献将美式期权纳入静态交易。特别是，[8]研究了市场的完整性（在某些Lsense中），其中所有执行价格的美式看跌期权都可用于半静态交易，[11]研究了欧洲和美国看跌期权价格函数的无套利条件。在本文中，我们考虑一个离散时间的金融市场，包括股票，（路径依赖）欧洲期权和（路径依赖）美国期权（我们也将其称为对冲期权），其中股票是动态交易的，欧洲和美国期权是按时交易的。我们假设美式期权是完全可分的（也就是说，我们可以把每个日期都分解为：2018年8月15日。关键词和短语。资产定价的基本定理，对冲对偶性，效用最大化，半静态交易策略，美式期权。这项研究部分得到了国家科学基金会的支持，授权DMS-0955463。将美式期权分成若干部分，并分别行使每一部分），我们只能购买但不能出售美式期权。在本文的第一部分，我们考虑了没有模型模糊性的市场。在严格无套利的概念下，我们得到了资产定价的基本定理（FTAP），它比通常意义上的无套利略强。然后通过FTAP结果，我们进一步得到了欧式和美式期权的次级套期保值价格的二重性。利用对偶结果，我们研究了效用最大化问题，得到了价值函数的对偶性。在论文的第二部分中，我们在模型不确定性的框架下工作。

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2022-5-7 16:06:37

我们利用极大极小定理证明了欧式和美式期权的次套期保值结果。从次级套期保值的二重性，我们进一步得到了FTAP的结果。由于鞅测度集的非支配性，或美式期权支付的不连续性，我们不能在证明的某些步骤中直接应用极大极小定理。为了克服这些技术难题，我们首先对路径空间进行离散化，然后在离散化空间中应用极大极小定理，最后取一个极限。这部分的一个关键假设是具有分布约束的鞅测度集的弱紧性。如果我们考虑紧空间上的所有物理测度，或者如果流动的欧式期权可以压缩鞅测度集（参见[1,6]），那么这个假设就满足了。与股票和欧洲期权一样，假设美式期权具有无限可分性是至关重要的。从财务角度来看，通常情况下，如果我们将一个单位的美式期权分成几部分，并分别行使每一部分，我们可以做得更好。在第2节中，我们提供了一个激励性的例子，在没有美式期权的可分性假设的情况下，无套利条件成立，但没有等价鞅测度（EMM）来正确定价对冲期权。此外，我们在这个例子中看到，欧式期权的超边际价格不等于所有正确定价对冲期权的EMM预期的上限。

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2022-5-7 16:06:40

在数学上，有限可分性导致一些相关随机变量集的凸性和封闭性，这使我们能够应用分离超平面参数，在没有模型模糊的情况下，获得正确定价期权的EMM的存在性，或者在模型不确定的情况下，应用极小极大定理，获得次套期保值对偶性。论文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将提供一个激励示例。在第3节中，我们将介绍在没有模型模糊性的情况下，FTAP、次级套期保值和效用最大化对偶的设置和主要结果。我们在第4节给出了这些结果的证明。在第5节中，我们陈述了当市场允许非支配模型不确定性时的FTAP和次级套期保值结果。最后，在第6节中，我们展示了FTAP和次级套期保值结果的模型不确定性版本的证明。2.一个激励性的例子在本节中，我们将看一个使用股票期权和美式期权的欧式期权超级套期保值的例子。这个例子将促使我们考虑美国选项的可分割性。图1图2考虑上图1给出的一个简单模型。股票价格S=（St）t=0,1,2，美国期权h=（ht）t=0,1,2的支付，以及欧洲期权ψ的支付分别由圆圈中的数字、带直角的正方形和带圆角的正方形表示。让(Ohm, B(Ohm)) 是图1所示的路径空间，让（Ft）t=0,1,2是由s生成的过滤。设P是一个概率测度，在Ohm. 因此，任何EMM都可以用图1所示的0<p，q<1/2的配对（p，q）来表征。我们假设美式期权h只能在t=0时购买，价格为“h=0”。

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2022-5-7 16:06:44

为了避免涉及股票S和美国期权h的套利，我们预计setQ：=Q是EMM:supτ∈TEQhτ≤ 0不为空，其中T表示停止时间集。同样地，为了避免套利，setA：=（p，q）∈0,×0,:[（3p）∨ 1] +[（10q）- 3) ∨ (-2)]∨ (-1) ≤ 0应该是非空的。在上面的图2中，A由阴影区域表示，这表明A 6=.现在考虑使用半静态交易策略的欧式期权ψ的超级套期保值价格π（ψ）。也就是说，π（ψ）：=inf{x:（H，c，τ）∈ H×R+×T，s.T.x+H·s+chτ≥ ψ、 P- a、其中H是适应过程的集合，H·s=Pt=0Ht（St+1）- 圣彼得堡）。我们可以预期，超级对冲对偶性将由‘（ψ）=supQ给出∈QEQψ。通过计算，supQ∈QEQψ=sup（p，q）∈A.p+5q-=p+5q-(,)= 0.另一方面，可以证明¨π（ψ）=infτ∈Tinfc∈R+inf{x:H∈ H、 s.t.x+H·s≥ ψ - chτ}=infτ∈Tinfc∈R+supQ∈MEQ[ψ- chτ]=，其中M是EMM的集合。在这里，我们对第二行使用超级套期保值的经典结果，第三行的值可以用蛮力计算，因为我们只有五个停止时间。因此，超级套期保值价格严格大于超级套期保值价格∈ Q、也就是说，π（ψ）>supQ∈QEQψ。因此，如果我们将ψ加入市场，并假设我们只能以t=0的价格出售ψ，价格ψ=1/16（>0=supQ）∈QEQψ），那么市场将不允许套利，但不存在Q∈ Q、使得EQ[ψ]≥ ψ.然而，观察ψ=（hτ+h），其中τ=（1，S=6,2，S=2。这表明，如果我们假设h是可整除的，也就是说，我们可以将一个单位的h分成几部分，并分别行使每一部分，那么我们可以证明ψ的超级套期保值价格为pq∈QEQψ=0。现在，如果我们在市场中加入ψ，销售价格ψ<0，那么我们可以找到q∈ Q、使得等式ψ>ψ3。

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mingdashike22

2022-5-7 16:06:48

在本节中，我们首先描述了财务模型的设置（无模型不确定性）。特别是，正如上一节中的例子所建议的，我们将假定美国选项是可分割的。然后我们将提供主要结果，包括FTAP的定理3.1，次级套期保值的定理3.2，以及效用最大化的定理3.3。3.1. 设置。让(Ohm, F、（Ft）t=0,1，T、 P）是一个过滤概率空间，其中F被假定为可分离的，T∈ N表示离散时间内的时间范围。设S=（St）t=0，这是一个以代表股票价格过程的RDR值为单位的自适应过程。让fi，gj：Ohm 7.→ Rbe FT可测量，代表欧洲期权的收益，i=1，L和j=1，M.我们假设我们可以在t=0时以价格¨fi购买和出售每个菲亚特，我们只能购买，但不能购买，例如，当τ=（2，S=6,1，S=2，然后infc∈R+supQ∈MEQ[ψ- chτ]=infc≥0sup0<p，q<-Cp+5q-+ C=在t=0时，以“gj”的价格出售每个gj。设hk=（hkt）t=0，t这是一个经过调整的过程，代表美式期权的支付过程，k=1，N.我们假设我们只能在t=0时以“hk”的价格购买但不能出售每个hk。表示f=（f，…，fL）和‘f=（’f，…，’fL），同样表示g、’g、h和‘h。为简单起见，我们假设g和h是有界的。备注3.1。在这里，g可以代表欧洲期权，其交易以买卖价差报价。这不失一般性，因为对于任何具有买入价g和卖出价g的欧式期权g，我们可以将该期权视为两个欧式期权g=-g和g=g，只能按价格购买-分别为g和g。至于美式期权h，我们限制自己只购买h。这是因为如果我们出售美式期权，我们将面临不知道何时行使美式期权的风险。

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大多数88

2022-5-7 16:06:51

此外，如果出售美式期权，我们需要考虑非预期交易策略，问题将变得更加复杂（参见[2,4,5]）。定义3.1。一个适应的过程η=（ηt）t=0，据说这是一种清算策略，如果ηt≥ 对于t=0，T和TXT=1ηT=1，P-a.s。。（3.1）将T表示为所有清算策略的集合。备注3.2。让我们也提到随机停止时间的相关概念，它是扩大概率空间上的arandom变量γ(Ohm ×[0,1]，FB、 P×λ），使得{γ=t}∈英尺对于t=0，T，其中B是[0,1]上的Borel-sigma代数，λ是Lebesgue测度。设t为一组随机停止时间。γ∈ T、其ω-分布ξ=（ξT）T=0，由ξt（·）=λ{v:γ（·，v）=t}，t=0，T、是T中的一个成员。T和T之间有一对一的对应关系（直到递增的重新排列）。我们参考[16]了解这些事实。尽管存在一对一的对应关系，清算策略和随机停止时间的路径却截然不同。随机停止时间是一种策略，它通过抛硬币来决定使用哪种停止时间（因此整个单位只清算一次），而清算策略是一种练习流程（因此整个单位的不同部分在不同时间清算）。由于这种差异，如果我们用随机停止时间取代清算策略，定理3.1（FTAP）、定理3.2（对冲对偶性）和定理3.3（效用最大化对偶性）将不成立。（对于随机停止时间，仍然可以考虑FTAP和大概率空间上的套期保值，结果会有所不同。）例如，在上一节的例子中，与清算策略不同，我们不能仅仅使用h通过任何随机停止时间来超级对冲ψ（在放大概率空间上）。

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大多数88

2022-5-7 16:06:55

有关效用最大化案例的更多解释，请参见备注3.5。每η∈ T和美式期权hk，使用清算策略η表示η（hk）为hk的支付。也就是说，η（hk）=TXt=0hktηt，表示u=（u，…，uN）∈ TN，表示u（h）=（u（h），uN（hN））。设H为代表股票动态交易策略的适应过程集。设（H·S）t:=PT-1t=0Ht（St+1-St），并表示H·S代表（H·S）t或简称。对于半静态交易策略（H、a、b、c、u）∈ H×RL×RM+×RN+×TN，从初始财富0开始的投资组合的终值由Φ’g，’H（H，a，b，c，u）：=H·S+a（f）给出-\'f）+b（g）- \'g）+c（u（h）-其中f-\'f:=（f）-“f，…”，佛罗里达州-\'fL），af代表a和f的内积，与其他相关术语类似。对于（H，a）∈ H×RLwe还应使用符号Φ（H，a）：=H·S+a（f-简而言之。从现在开始，当我们写出（H，a，b，c，u）等五元组时，除非我们特别指出，否则它们默认为H×RL×RM+×RN+×tn，对于（H，a）也是如此。资产定价的基本定理。定义3.2。我们说无套利（NA）持有w.r.t.\'g和\'h，如果有（h，a，b，c，u），Φg，Φh（h，a，b，c，u）≥ 每年0美元==> Φ\'g，\'h（h，a，b，c，u）=0 P-a.s。。如果存在εg，我们说严格无套利（SNA）成立∈ (0, ∞)Mandεh∈ (0, ∞)N（从现在起，我们将使用εg，简称εh>0），这样NA保持w.r.t.\'g- εgand\'h- εh.defineq:={Q是一个EMM:EQf=\'f，EQg<\'g，supτ∈TEQhτ<\'h}，其中T是停止时间的集合，supτ∈TEQhτ：=（supτ）∈TEQhτ，supτ∈TEQhNτ），以及上述的预期和等式/不等式是从组件的角度理解的。定理3.1（FTAP）。SNA<==> 问题6=.3.3. 次级对冲。设ψ：Ohm 7.→ R是可测量的，代表欧洲期权的收益。设φ=（φt）t=0，这是一个适应的过程，代表了美国选择的支付过程。

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大多数88

2022-5-7 16:06:58

为了简单起见，我们假设ψ和φ是有界的。定义ψπeu（ψ）的次级套期保值价格：=sup{x:（H，a，b，c，u），s.t.Φ\'g，\'H（H，a，b，c，u）+ψ≥ x} ，以及φπam（φ）：=sup{x:（H，a，b，c，u）和η∈ T、 s.T.Φ\'g，\'h（h，a，b，c，u）+η（φ）≥ x} 。定理3.2（次级对冲）。让SNA坚持住。那么πeu（ψ）=infQ∈QEQψ，（3.2）和πam（φ）=infQ∈Qsupτ∈TEQφτ。（3.3）此外，存在（H*, A.*, B*, C*, u*) 使得Φg，h（h*, A.*, B*, C*, u*) + ψ ≥ πeu（ψ），并且存在（H）**, A.**, B**, C**, u**) 和η**∈ T使得Φg，h（h**, A.**, B**, C**, u**) + η**(φ) ≥ πam（φ）。（3.4）备注3.3。事实上，从定理3.2的证明中，我们得到了πam（φ）=supη∈TinfQ∈QEQ[η（φ）]=infQ∈Qsupη∈TEQ[η（φ）]=infQ∈Qsupτ∈TEQφτ。然而，二元性（3.3）中“sup”和“inf”的顺序不能互换。也就是说，有可能∈Qsupτ∈TEQφτ>supτ∈TinfQ∈QEQφτ。我们参考[2，示例2.1]了解此类示例。事实上，如果φ是不可除的，并且只有S和f用于套期保值，则上面右边是φ的分边价格（即使存在模型不确定性）。关于这一点，我们参考[2，定理2.1]。3.4. 效用最大化。让我们：（0，∞) 7.→ R是一个效用函数，它是严格递增的，严格凹的，连续可微的，并且满足Inada条件极限→0+U（x）=∞ 还有limx→∞U（x）=0。考虑效用最大化问题u（x）：=sup（H，a，b，c，u）∈A（x）EP[U（Φg，\'h（h，A，b，c，u））]，x>0，其中（x）：={（h，A，b，c，u）：x+Φg，\'h（h，A，b，c，u）>0，P-A.s.，x>0。备注3.4。[18] 还研究了效用最大化问题，该问题涉及给定数量的可完全分割美式期权的清算。与[18]中的问题不同，这里我们还将股票和欧洲期权合并，我们需要决定在t=0时需要购买多少美国期权。

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2022-5-7 16:07:01

另一个不同点是[18]关注的是效用最大化的主要问题，而我们将主要发现价值函数u的二元性。让我们定义（y）：=supx>0[u（x）- xy]，y>0，I:=-V=（U）-1，对于x，y>0，x（x）：={x自适应：x=x，XT=x+Φg，\'h（h，a，b，c，u）≥ 0表示某些（H、a、b、c、u）}，Y（Y）：={Y≥ 0适应：Y=Y，（（1+（H·S）t）Yt=0，这是一个P-超级马丁格尔为任何H∈ H满足1+H·S≥ 0，EPXTYT≤ xy表示任何X∈ X（X）}C（X）：={p∈ L+：p≤ 来点X∈ X（X）}，（3.5）D（y）：={q∈ L+：q≤ 来点吃的∈ Y（Y）}，（3.6），其中L+是非负P-a.s.的随机变量集。。然后我们得到了u（x）=supp∈C（x）EP[U（p）]，x>0。让我们也定义一下（y）：=infq∈D（y）EP[V（q）]，y>0。下面是效用最大化的主要结果。定理3.3（效用最大化对偶）。让SNA坚持住。然后我们有以下内容。i） u（x）<∞ 对于任何x>0，存在y>0，使得v（y）<∞ 对于任何y>y。此外，u和v是共轭的：v（y）=supx>0[u（x）- xy]，y>0和u（x）=infy>0[v（y）+xy]，x>0。此外，u在（0，∞), v在{v<∞}, 安德利姆→0+u（x）=∞ 还有limy→∞v（y）=0。ii）如果v（y）<∞, 然后存在唯一的^q（y）∈ D（y）对v（y）是最优的。iii）如果U的渐近弹性严格小于1，即AE（U）：=lim supx→∞xU（x）U（x）<1，那么我们有以下内容。a） v（y）<∞ 对于任何y>0，v在（0，∞). UAN和VAR急剧下降，且满足Mx→∞u（x）=0和limy→0+v（y）=-∞.此外| AE（u）|≤ |AE（U）|<1。b）存在唯一的^p（x）∈ C（x）对u（x）是最优的。如果^q（y）∈ D（y）是v（y）的最佳值，其中y=u（x），然后^p（x）=I（^q（y）），和p[^p（x）^q（y）]=xy。c）我们有u（x）=EP^p（x）U（^p（x））xv（y）=EP^q（y）V（^q（y））y.备注3.5。

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2022-5-7 16:07:05

我们不能用随机停止时间代替清算策略，因为这两种策略产生了非常不同的优化问题：EPU（η（φ））=EP“UTXt=0φtηt！#，如果η是清算策略，EP×λU（φγ）=EP“TXt=0U（φt）ηt#，如果η是γ的ω分布∈ T.4。定理3.1-3.3的证明定理3.1的证明。“<==”: 让Q∈ Q.然后存在εg，εh>0，这样eqg<g- εgand supτ∈TEQhτ<\'h- εh，由于T和T之间的一一对应，我们得到了任意Q的对应关系∈ Q、 supη∈TEQ[η（hi）]=supτ∈TEQhiτ，i=1，N、参见例如[16，提案1.5]。那么很容易看出NAW.r.t.\'g- εg，h- εhholds，thusSNA成立。“==>”: 我们将分三步进行。第一步。定义：={Φ（H，a）- W：对于一些（H，a）和W∈ L+}∩ L∞,我在哪里∞是有界随机变量的集合。在这一步中，我们将证明I在弱星拓扑下是序列闭的。Let（Xn）∞n=1 I使得xn=Φ（Hn，an）- 西尼罗河*-→ 十、∈ L∞,符号“w”在哪里*-→” 表示弱星型拓扑下的收敛性。然后存在（Ym）∞m=1是（Xn）n的凸组合，因此→ X a.s.（参见[21]第35页定义3.1下关于从弱星收敛到几乎确定收敛的论证）。因为我是凸的，（Ym）m I.根据[7，定理2.2]，I在P-a.s.收敛下是闭合的。这意味着X∈ I.第2步。根据SNA，存在εg，εh>0，因此NA持有w.r.t.\'g- εgand\'h- εh.那么Na也持有w.r.t.\'g- εg/2和¨h- εh/2。定义：=nΦ？g-εg，h-εh（h，a，b，c，u）- W：对于一些（H、a、b、c、u）和W∈ L+o∩ L∞.我们将证明J在弱星拓扑下是顺序闭合的。Let（Xn）∞n=1 J使得xn=Φ*g-εg，h-εh（Hn，an，bn，cn，un）- 西尼罗河*-→ 十、∈ L∞.我们考虑以下两种情况：lim infn→∞||（bn，cn）| |<∞ 和林英芬→∞||（bn，cn）| |=∞,其中| |·| |代表sup标准。案例（一）林信息→∞||（bn，cn）|∞.

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2022-5-7 16:07:09

在不丧失一般性的情况下，假设（bn，cn）→ （b、c）∈RM×RN。因为F是可分的，所以Lis也是可分的。然后，根据顺序Banach-Alaoglu定理，存在u=（u，…，uT）∈ TN，从而使高达一个子序列untw*-→ ut对于t=0，T因为h是有界的，所以un（h）w*-→ u（h）。那我们就有了G-\'g-εg+cnun（h）-\'h-εhW*-→ BG-\'g-εg+Cu（h）-\'h-εh.因此，Φ（Hn，an）- 西尼罗河*-→ 十、- BG-\'g-εg- Cu（h）-\'h-εh∈ L∞.然后在步骤1中，存在（H，a）和W∈ L+使得Φ（H，a）- W=X- BG-\'g-εg- Cu（h）-\'h-εh.因此，X=Φ¨g-εg，h-εh（h，a，b，c，u）- W∈ J.案例（二）林信息→∞||（bn，cn）| |=∞. 在不丧失一般性的情况下，假设任意n的dn:=|| |（bn，cn）| |>0。我们得到了xndn=Φ¨g-εg，h-εhHndn，andn，bndn，cndn，un-Wndnw*-→ 0.那么在情况（i）中，存在（H、a、b、c、u）和W∈ L+，使得Φ¨g-εg，h-εh（h，a，b，c，u）- W=0。此外，b，c≥ （b，c）的至少一个分量等于1。因此Φ’g-εg，h-εh（h，a，b，c，u）>0，P-a.s.，这与NA w.r.t.\'g相矛盾- εgand\'h- εh.步骤3。因为J是凸的，在弱星拓扑下是顺序闭合的，所以它是由[10，推论5.12.7]封闭的弱星。此外，因为NA持有w.r.t.\'g- εg/2和¨h- εh/2，J∩ L∞+= {0}. 然后根据[21]中定理1.1的抽象版本，如下所述：。1在同一篇论文中，存在q∈ q是绝对正的，EP[qX]≤ 任何X的0∈ J.现在通过氡-尼科德姆导数dQ/dP:=Q/EP[Q]确定测量值Q。然后可以看出，Q是一个EMM，满足Eqf=\'f，EQg≤ \'g- εg和supτ∈TEQhτ≤\'h- εh.尤其是q6=. 定理3.2的证明。我们将只证明φ的结果。ψ的情况类似，实际上更简单。让我们首先证明（3.3）。

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2022-5-7 16:07:12

可以看出πam（φ）≤ supη∈TinfQ∈QEQ[η（φ）]≤ infQ∈Qsupη∈TEQ[η（φ）]=infQ∈Qsupτ∈TEQφτ。如果πam（φ）<infQ∈Qsupτ∈TEQφτ，然后取φ∈ 使得πam（φ）<φ<infQ∈Qsupτ∈TEQφτ。（4.1）现在我们在市场中加入φ，并且我们假设φ只能在t=0时以价格“φ”购买。然后，由于φ>πam（φ），当涉及φ时（即，当市场由动态交易的s和静态交易的f、g、h、φ组成时），SNA也成立。因此，存在Q∈ Q这样的supτ∈定理3.1规定的TEQφτ<φ，这与（4.1）相矛盾。因此，我们认为（3.3）成立。类似地，我们可以证明（3.2）成立。接下来，我们证明φ的最优次套期保值策略的存在性。可以看出πam（φ）=supb∈RM+，c∈RN+supu∈TN，η∈Tsup{x:（H，a），s.t.Φ‘g，’H（H，a，b，c，u）+η（φ）≥ x} =supb∈RM+，c∈RN+supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b（g- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]，其中qf:={Q是一个EMM:EQf=\'f}，我们将[7]第828页上的超边缘定理应用于第二行。我们将分三步来证明（H）的存在**, A.**, B**, C**, u**) 和η**对于（3.4）。第一步。考虑图F:RM+×RN+7→ R、 F（b，c）：=supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b（g- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]。对于（b，c），（b，c）∈ RM+×RN+，|F（b，c）- F（b，c）|≤ supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b（g- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]- infQ∈QfEQ[b（g- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]≤ supu∈TN，η∈TsupQ∈资历架构等式[b（g]- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]- 等式[b（g]- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]≤ supu∈TN，η∈TsupQ∈QfEQ[|b- b | | g- \'g |+| c- c | |u（h）-“\'h |]≤ K（M+N）| |（b，c）- （b，c）| |，其中| b-b |：=（|b）-b ||bM-bM |）和类似的其他相关术语，K>0是常数，因此| | g（·）- \'g | | | | ht（·）-\'h | | |φt（·）|≤ K（t，ω）∈ {0，…，T}Ohm.因此F是连续的。第二步。现在以Q为例∈ Q Qf。

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2022-5-7 16:07:15

设ε：=min1≤我≤M“gi- EQgi∧ min1≤我≤N“嗨- supτ∈TEQhiτ> 0.然后是SUPB∈RM+，c∈RN+F（b，c）≥ F（0，0）≥ -K>-2K≥ sup | | |（b，c）| |>3KεF（b，c）。因此，supb∈RM+，c∈RN+F（b，c）=sup | |（b，c）||≤3KεF（b，c）。根据步骤1中F的连续性，存在（b**, C**) ∈ RM+×RN+，使得πam（φ）=supb∈RM+，c∈RN+F（b，c）=F（b）**, C**) = supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b**（g）- \'g）+c**（u（h）-\'h）+η（φ）]。第三步。任何问题∈ Qf，映射（u，η）7→ 等式[b]**（g）- \'g）+c**（u（h）-\'h）+η（φ）]=EPdQdPB**（g）- \'g）+c**（u（h）-\'h）+η（φ）在Baxter-Chacon拓扑下是连续的。然后是图（u，η）7→ infQ∈QfEQ[b**（g）- \'g）+c**（u（h）-在Baxter-Chacon拓扑下，\'h）+η（φ）]是上半连续的。根据[16，定理1.1]，集TN×Tis在Baxter-Chacon拓扑下是紧的。因此存在（u）**, η**) ∈ TN×T，使得πam（φ）=supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b**（g）- \'g）+c**（u（h）-\'h）+η（φ）]=infQ∈QfEQ[b**（g）- \'g）+c**(u**（h）-\'h）+η**（φ） ]=sup{x:（H，a），s.t.Φ\'g，\'H（H，a，b）**, C**, u**) + η**(φ) ≥ x} ，我们将[7]中的超边缘定理应用于第三行。根据[7]中的相同定理，存在（H**, A.**) 使得Φg，h（h**, A.**, B**, C**, u**) + η**(φ) ≥ πam（φ）。定理3.3的证明。回忆一下（3.5）中定义的C（x）和（3.6）中定义的D（x），并表示C:=C（1）和D:=D（1）。通过[20]中的定理3.1和3.2，可以证明C和D具有以下性质：1）C（1）和cD（1）在测度收敛的拓扑中是凸的、实的和闭合的。序列{ηn=（ηn，…，ηnT）：n∈ N} 据说T收敛于η∈ Baxter-Chacon拓扑中的T，如果有∈ 五十、林恩→∞EP[Yηnt]=EP[Yηnt]，t=0，也就是说，Baxter-Chacon拓扑是由弱星拓扑诱导的。

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2022-5-7 16:07:20

我们参考[16].2）中的p∈ L+，p∈ C<==> EP[pq]≤ 1个Q∈ D代表q∈ L+，q∈ D<==> EP[pq]≤ 1个P∈ C.3）C的概率有界，且包含恒等式函数1。很容易看出C和D是凸的和实心的，EP[pq]≤ 任何p都是1∈ C和q∈ D、并包含函数1。我们将用三个部分来证明其余的性质。第一部分。我们将证明C在概率上是有界的。以Q为例∈ Q.然后是dQ/dP∈ D、和Supp∈CEPdQdPp= 晚餐∈CEQp≤ 1.因此，我们有这个支持∈CP（p>C）=支持∈人物配对关系dQdPp>dQdPC= 晚餐∈CPdQdPp>dQdPC，dQdP≤√C+ PdQdPp>dQdPC，dQdP>√C≤ PdQdP≤√C+ 晚餐∈人物配对关系dQdPp>√C≤ PdQdP≤√C+√C→ 0，C→ ∞.第二部分。我们将为p展示这一点∈ L+，如果EP[pq]≤ 任何q都是1∈ D、然后p∈ C、作为A序列，C在测度收敛的拓扑下是封闭的。以p为例∈ L+满意EP[pq]≤ 任何q都是1∈ D.对于任何问题，都很容易看出这一点∈ Q、过程（dQdP | Ft）t=0，这是第（1）条。因此，supQ∈QEQp=supQ∈量化宽松政策dQdPp≤ 1.由于定理3.2，存在（H，a，b，c，u）使得1+Φg，\'H（H，a，b，c，u）≥ p、这意味着p∈ C.现在让我们（pn）∞n=1 C使pnP-→ p、在不丧失一般性的情况下，我们假设pn→ 宾夕法尼亚州。。任何问题∈ D、我们有那个EP[pq]≤ 林恩芬→∞EP[pnq]≤ 1.这意味着p∈ C.第三部分。我们将为q展示这一点∈ L+，如果EP[pq]≤ 任何p都是1∈ C、然后q∈ D、作为A序列，D在测度收敛的拓扑下是封闭的。以q为例∈ L+满意EP[pq]≤ 任何p都是1∈ C.辛塞克 {p∈ L+：p≤ 1+H·S，对于某些H∈ H} ，由[20，命题3.1]可知，存在一个非负适应过程Y=（Yt）t=0，T、就这样≤ YT和任何H∈ H与1+H·S≥ 0，（（1+（H·S）t）Yt）t=0，这是一个P-超鞅。现在defineyt=（Yt，t=0，…，t- 1，q，t=t。然后可以证明Y=（Yt）t=0，T∈ Y（1）。因为q=YT，q∈ D

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2022-5-7 16:07:24

与第二部分中的论证类似，我们可以证明D在测度收敛的拓扑下是闭合的。5.模型不确定性下的套利和套期保值在本节中，我们将FTAP和次级套期保值结果扩展到非支配模型不确定性的情况。证明的主要困难在于缺乏一个主要的衡量标准。证明的主要思想是将路径空间离散化，并应用极大极小定理。理论5。1和5.2是模型不确定性情况的主要结果。本节和下一节中的符号将独立于前几节，但在没有混淆的情况下，我们将借用第3节中的一些概念。我们遵循[7]中的设置。允许Ohm 是完全可分度量空间，T∈ N成为时间的地平线。允许Ohmt:=Ohmt=1时的笛卡尔乘积，T（按惯例）Ohm是单身汉）。我们用F表示B的普遍完成(Ohmt）。每个t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、给出了一个非空凸集Pt（ω） P(Ohm) 概率测度。这里，Pt表示第t个周期的可能模型，给定时间t时的状态ω。我们假设，对于每个t，Ptis解析图确保Pt接受一个普遍可测量的选择器，即普遍可测量的核Pt：OhmT→ P(Ohmt）使得Pt（ω）∈ 所有ω的Pt（ω）∈ Ohmt、 LetP:={P . . . PT-1:Pt（·）∈ Pt（·），t=0，T- 1} ，（5.1），其中每个PTI都是普遍可测量的Pt选择器 . . . PT-1（A）=ZOhm. . .ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT）-1.dωT）。

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2022-5-7 16:07:27

P（dω），A∈ OhmT.概念S、f、g、h、\'f、\'g、\'h、T、T、h、Φg、\'h（h、a、b、c、u）、Φ（h、a）（和相关符号）与第3节中的概念类似，但此处我们要求S、h和η∈ T to be（B）(Ohmt））t-adapted，fand g to be B(OhmT） -可测量，τ∈ T成为A（B）(Ohmt））t-停止时间，H∈ H是（Ft）t自适应的，并且（3.1）中的总和对每个ω都成立∈ OhmT.我们假设g从下面有界。备注5.1。为了应用[3]中的结果，[3]中的结果基于[7]中的结果，我们要求∈ H为（Ft）t适应，而S、H和η∈ T to be（B）(Ohmt））t-适应，f和G为B(OhmT） -可衡量。在[7]中，由于可测量选择参数，H、S和FB选择了这种不同类型的可测量性。回想一下准绝对意义上（严格的）无套利的定义（参见[3,7]）。定义5.1。我们说NA（P）持有w.r.t.\'g和h，如果有（h，a，b，c，u），如果Φg，h（h，a，b，c，u）≥ 0个P-q.s.，然后Φ\'g，\'h（h，a，b，c，u）=0个P-q.s。。我们说一个属性持有P-q.s.，如果该属性持有任何P的P-a.s∈ P.我们说SNA（P）（w.r.t.\'g和\'h），如果存在εg，εh>0，那么NA（P）持有w.r.t.\'g- εgand\'h- εh.B(OhmT） -可测欧式期权ψ和B(Ohmt） t-调整美式期权φ，让美元确定次级套期保值价格，πeu（ψ）：=sup{x：（H，a，b，c，u），s.t.Φ\'g，\'H（H，a，b，c，u）+ψ≥ x、 P-q.s.}，和πam（φ）：=sup{x:（H，a，b，c，u）和η∈ T、 s.T.Φ\'g，\'h（h，a，b，c，u）+η（φ）≥ x、 P-q.s.}。对于g∈ RMandh∈ RN，定义鞅测度集（MMs）Qg，~h:={Q<< P:Q是一个MM，EQf=\'f，EQg≤ ~g，supτ∈TEQhτ≤~h}。（5.2）我们将做出以下长期假设。假设5.1。（1） setQ\'g:={Q<< P:Q是一个MM，EQf=\'f，EQg≤ \'g}是弱紧的。（2） g从下方有界，ψ有界且连续。（3）对于k=1，N和t=1，T，hktandφtare有界且一致连续。备注5.2。

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2022-5-7 16:07:30

Q’gis的弱紧性在证明次对冲对偶性时使用了两次（见下一节中的（6.4）和（6.5））。特别是，在（6.4）中，为了证明supover Q’和inf在TN+1上的可交换性，我们使用了一个离散化参数，其中弱紧性保证了所需的极限性质（见引理6.1证明中的步骤3）。在[14,15]中也可以发现，相关概率测度集的弱紧性在极限论元中起着关键作用。在（6.5）中，我们直接应用了极大极小定理，该定理要求Q’g的弱紧性。我们想到的是一个树/晶格模型，其中节点的位置未知，但被认为位于一定的间隔内。（这是波动不确定性的离散时间版本。）事实上，在这些树模型中，假设股票价格是有界的，并且具有“有界波动率”的鞅测度集是弱紧的，这是很自然的。总的来说，当S是标准过程时，Q’gis被鞅性质所紧。因此，我们的假设实际上只是弱封闭性。例5.1。如果P是紧集上的概率测度集Ohm RT，S是√上的规范过程Ohm, f是连续的，g是下半连续的，然后Q是弱紧的。在这种情况下，我们采用了独立于模型的设置，参见示例[1]。也就是说，在路径空间内，每种情况都是可能的Ohm. 请注意，本案中的套利概念与[1]中的不同。我们说Q<< P、如果P∈ P、这样Q P例5.2。与[1]类似，具有超线性增长条件的欧式期权（w.r.t.股票）的存在可能会使Q＠g变得更具体，让Ohm 是一个Banach空间，P是该空间的闭子集上的概率测度集OhmT.让g：Ohm 7.→ R为下半连续满足lim inf | |α||→∞g（α）| |α||∈ (0, ∞].

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2022-5-7 16:07:34

（5.3）我们假设其中一个欧式选项g的形式为g，即对于某些t，g（ω）=g（ωt）∈ {1，…，T}。假设l=1，d、 t=1，T，i=1，五十、 j=2，M、 sltandfia是连续的，gjis是下半连续的，lim | |ω||→∞Slt（ω）γ（ω）=lim | |ω||→∞fi（ω）γ（ω）=lim | |ω||→∞gj（ω）-γ（ω）=0，（5.4），其中γ（ω）：=PTt=1g（ωt），和gj-是gj的消极部分。使用一个类似于[1]第9页定理1.3的论点，我们可以证明Q¨gis弱紧。事实上，（5.3）意味着Q’gis紧，因此是预紧的，（5.4）是当| |ω| |时S，f，g的一些有界条件→ ∞, 这使我们能够应用弱收敛性的性质来显示Q’g的封闭性。下面是模型不确定性下次级套期保值和FTAP的主要结果。定理5.1（次级对冲）。假设SNA（P）在只涉及S、f和g时成立。在假设5.1下，我们得到πeu（ψ）=infQ∈Q\'g，\'hEQψ和πam（φ）=infQ∈Q\'g，\'hsupτ∈TEQφτ，（5.5）式中，如果Q\'g，\'h=, 那么πeu（ψ）=πam（φ）=∞. 此外，如果Q’g，’h6=, 还有Qeu，Qam∈Q\'g，\'hsuchπeu（ψ）=EQeuψ和πam（φ）=supτ∈特卡姆φτ。定理5.2（FTAP）。让假设5.1保持不变。那么SNA（P）成立，当且仅当存在g∈ RMandh∈ Rn与 g<\'g和 h<\'h一起，使得对于任何P∈ P、存在Q∈ Qg，~H主导P。备注5.4。如果SNA（P）成立，那么当仅涉及S、f和g时，SNA（P）也成立，且Q’g，’h6= 根据定理5.2.6。定理5.1和5.2的证明。设R是一个凸的、弱紧的概率测度集(OhmT、 B(OhmT））。假设5.1（3）暂停。然后是SUPuk∈Tk=1，NinfR∈RER“NXk=1uk（hk）#=infR∈Rsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#=infR∈Rsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#。（6.1）此外，对于uk，上述第三项中的最大值已达到∈ T、 uk（hk）可能不是（半）连续的。

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2022-5-7 16:07:37

因此，我们不能直接应用（6.1）中第一个等式的极小极大定理。为了克服uk（hk）的不连续性和R的非支配性带来的困难，我们将离散化Ohm先吃，然后吃。为此，对于n=1，2，让我∈N B(Ohm) 是一个可数的分区Ohm, 使每个A的直径小于1/n。取αni∈ 阿尼弗∈ N、并定义映射θN：Ohm 7.→ Ohm,θn（β）=αnjifβ∈ 对于一些j.让ξn：OhmT7→ OhmT、使得ξn（ω）的每个分量由（ξn（ω））T=θn（ωT），T=1，T、 ω=（ω，…，ωT）∈ OhmT.（那么ξnca也可以被视为an（B）(Ohmt））t-适应过程）LetRn:={Ro （ξn）-1:R∈ R} 。我们将分四个步骤来展示（6.1）。第一步。我们展示给大家看→∞超级微克∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#≤ 超级微克∈Tk=1，NinfR∈RER“NXk=1uk（hk）#（6.2）固定ε>0。让（un，…，uNn）∈ 是这样吗∈RnER“NXk=1ukn（香港）#≥ 超级微克∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#- ε.通过（ukn）t=（ukn）t来定义（un，…，uNn）o ξn，对于t=0，T和k=1，N.那么就很容易看出（μuN，…，μNn）∈ 对于任何∈ R、设~Rn:=~Ro （ξn）-1.∈ 注册护士。因此，NXk=1ukn（hk）#=E ~R“NXk=1TXt=0（（ukn）to ξn）（香港电讯o ξn）#=E＠R“NXk=1TXt=0（＠ukn）t（hkto ξn）#。因此E/Rn“NXk=1ukn（hk）#- E~R“NXk=1ukn（hk）#≤ E/R“NXk=1TXt=0（yenukn）t（香港时间）o ξ) - 香港电讯#≤ Nρ（1/N），其中ρ是h的连续模量，即t=1，T和k=1，Nhkt（ω）- hkt（ω）≤ ρmaxs=1，t |ωs- ωs|, ωi=（ωi，…，ωiT）∈ OhmT、 i=1,2。因此，我们有这个supuk∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#- ε ≤ infR∈RnER“NXk=1ukn（香港）#≤ E/Rn“NXk=1ukn（hk）#≤ ER“NXk=1ukn（hk）#+Nρ（1/N）∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#- ε ≤ infR∈RER“NXk=1ukn（hk）#+Nρ（1/N）。在上面两侧取limsup，然后发送ε&0，我们有（6.2）个保持。步骤2.我们显示supuk∈Tk=1，。。。

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2022-5-7 16:07:41

，NinfR∈RnER“NXk=1uk（hk）#=infR∈Rnsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#。由于（ξn）的域是可数的，因此存在一个概率测度R*关于支配Rn的（ξn）的域。然后我们就有了这个supuk∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（hk）#=supuk∈Tk=1，NinfR∈内尔*“博士*NXk=1uk（hk）#=infR∈Rnsupuk∈Tk=1，内尔*“博士*NXk=1uk（hk）#=infR∈Rnsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#，其中我们对第二个等式应用极小极大定理（参见[23，推论2]），并使用T是紧的事实和映射：（u，…，uN）7→ 急诊室*“博士*NXk=1uk（hk）#在Baxter-Chacon拓扑下是连续的（例如，参见[16]）w.r.t.r*.第三步。我们展示了∈Rsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#≤ 林恩芬→∞infR∈Rnsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#（6.3）通过提取下限的子序列，我们在不丧失一般性的情况下，假设序列∈Rnsupτk∈Tk=1，NERhPNk=1hkτki）收敛。固定ε>0。以Rn为例∈ Rn这样的supτk∈Tk=1，NERn“NXk=1hkτk#≤ infR∈Rnsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#+ε.Let)Rn∈ R应使Rn=~Rno（ξn）-1.由于R是弱紧的，所以存在R∈ R使其达到一个子序列Rnw-→~R.然后对于任何有界一致连续函数f∈ B(OhmT） ,，恩夫- 电子射频≤恩夫- E~Rnf+E~Rnf- 电子射频=E~Rn（f）o ξn）- E~Rnf+E~Rnf- 电子射频≤ ERn |（f）o ξn）- f |+E~Rnf- 电子射频≤ ρf（1/n）+E~Rnf- 电子射频→ 0，n→ ∞,式中，ρfis是f的连续模。因此，Rnw-→自mapR 7以来→ supτk∈TERhhkτKi在弱拓扑下是下半连续的（参见[17，定理1.1]），mapR 7→NXk=1supτk∈TERhhkτki=supτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#也是下半连续的→∞infR∈Rnsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#+ε≥ 林恩芬→∞supτk∈Tk=1，NERn“NXk=1hkτk#≥ supτk∈Tk=1，NXk=1hkτk#≥ infR∈Rsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#。让ε&0，我们得到（6.3）保持。步骤4。通过步骤1-3，我们得到了supuk∈Tk=1，。。。

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mingdashike22

2022-5-7 16:07:45

，NinfR∈RER“NXk=1uk（香港）#≤ infR∈Rsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#=infR∈Rsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#≤ 林恩芬→∞infR∈Rnsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#=lim infn→∞infR∈Rnsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#=lim infn→∞超级微克∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#≤ 林尚→∞超级微克∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#≤ 超级微克∈Tk=1，NinfR∈RER“NXk=1uk（hk）#，其中第二个和第四个（in）等式来自[16，命题1.5]。因此，（6.1）如下。最后，由于mapR 7→ supτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#是下半连续的，R是弱紧的，存在R*∈ R达到（6.1）中第三学期的数量。定理5.1的证明。我们只会证明美式期权φ的结论（欧洲期权ψ的情况类似，实际上稍微容易一些）。我们有πam（φ）=supc∈RN+supu∈TN，η∈Tsup{x∈ R:（H，a，b），s.t.Φ\'g，\'H（H，a，b，c，u）+η（φ）≥ x、 P-q.s.}=supc∈RN+supu∈TN，η∈TinfQ∈Q’gEQc（u（h）-\'h）+η（φ）= supc∈RN+infQ∈Q’gsupτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-“hk）+φτ#，（6.4），其中我们将[3，定理2.1（b）]应用于第二等式，引理6.1应用于第三等式。（请注意，这就是我们使用SNA（P）的假设，即当仅涉及S、f和g时，SNA（P）成立。）现在是MAPC7→ supτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-“hk）+φτ#是线性的，mapQ 7→ supτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-“hk）+φτ#，是下半连续的（见引理6.1证明中的步骤3）和凸的。由于Q’g的弱紧性，我们可以将极大极小定理（参见[23，推论2]）应用于（6.4），并得到πam（φ）=infQ∈Q’gsupc∈RN+supτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-“hk）+φτ#（6.5）=infQ∈Q\'g，\'hsupc∈RN+supτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-\'hk）+φτ#=infQ∈Q\'g，\'hsupτ∈TEQ[φτ]。最后，我们得到了Q’g，他的弱紧性，这意味着定理5.1的最后一个陈述。

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2022-5-7 16:07:49

的确，对于（Qn）n∈N Q\'g，\'h 由于假设5.1（1）的弱紧性，存在Q∈ Q’gand（Qni）i∈N （Qn）n∈N、这样Qniw-→ Q.根据假设5.1（3）和。g、 [17，定理1.1]，地图R7→ supτ∈特hkτ对于k=1，…，是下半连续的，N.因此，EQhhkτi≤ 林英菲→∞EQnihhkτi≤香港，k=1，因此，Q∈ Q\'g，\'h。定理5.2的证明。效率。假设存在<<g<\'g和<<h<\'h，这样对于anyP∈ P、存在Q∈ Qg，~H主导P。然后很容易证明NA（P）持有w.r.t.~gand ~h，因此SNA（P）持有。必然性我们将通过对液体美式期权N的归纳来证明这一点。当n=0时，结果来自[3，定理2.1（a）]。现在假设N=N的结果成立-1.∈ 让我们考虑N=N代表k∈ {n- 1，n}表示NAk、SNAk、πk（·）和Qk·，作为（5.2）中定义的关于S、f、g和h的NA、SNA、分边价格和鞅测度集，分别是香港。根据SNAn（P），存在^hn<\'hn，因此NAn（P）持有w.r.t.\'g和（\'h，\'hn）-1，^hn）。因此πn-1（hn）≤^hn，否则，人们会通过支付^hn购买一个单位的hn并获得（πn）来创造套利-1（hn）+^hn）/2通过某种交易策略。正如斯南（P）所说，可以看出斯南-1（P）也适用。因此，通过归纳假设以及定理5.1和注释5.4，我们得到了πn-1（hn）=infQ∈Qn-1克，（\'h，\'hn）-1） supτ∈TEQ[hnτ]≤^hn</hn。（6.6）此外，存在g*∈ 曼纳德·h*∈ 注册护士-1G*< \'g和h*< （\'h，\'hn-1），因此对于任何P∈ P、存在Q∈ Qn-1克*,H*占主导地位的P。根据假设5.1（3），存在C>0，使得|hnt |<C表示t=0，T选择λ∈ （0，1）使得/hn:=λC+（1）- λ） ^hn+\'hn<\'hn。现在让∧g:=λg*+ (1 - λ） \'g，和<<h:=（λh*+ (1 - λ） “h，…”，λhn-1.*+ (1 - λ） “嗯-1、~hn）。让P∈ P.我们将证明存在一些Q∈ Qng，~h主导P。

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2022-5-7 16:07:52

的确，以Q为例*∈ Qn-1克*,~h*占主导地位的P。根据（6.6），存在^Q∈ Qn-1克，（\'h，\'hn）-1），比如supτ∈TE^Q[hnτ]<hn+hn。LetQλ：=λQ*+ (1 - λ） ^Q 显然，Qλ<< P、 Qλ是MM，等式λf=\'f，等式λg≤ ~g和supτ∈TEQλ[hkτ]≤~HKK=1，N- 1.此外，supτ∈TEQλ[hnτ]=supτ∈TλEQ*[hnτ]+（1）- λ） E^Q[hnτ]≤ λC+（1）- λ） supτ∈TE^Q[hnτ]≤嗯。这意味着Qλ∈ Qn~g，~h。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglbock、F.Penkner和W.Schachermayer，资产定价基本原理和超级复制定理的无模型版本（2013年）。出现在数学金融领域。可获得的arXiv:1301.5568。[2] E.Bayraktar，Y.-J.Huang和Z.Zhou，关于模型不确定性下的美国期权套期保值，金融数学杂志，6（2015），第425-447页。[3] E.Bayraktar，Y.Zhang和Z.Zhou，关于模型不确定性下资产定价基本定理的注记，风险，2（2014），第425-433页。[4] E.Bayraktar和Z.Zhou，在连续时间的停止游戏中，出现在theAMS的会议记录中。也可在2014年的ArXiv上获得。[5] E.Bayraktar和Z.Zhou，《关于零和最优停止博弈》（2014）。预印本，arXiv:1408.3692。[6] M.Beiglb¨ock，P.Henry Labord\'ere和F.Penkner，《期权价格的模型独立界限——大众运输方法》，金融与随机，17（2013），第477-501页。[7] B.Bouchard和M.Nutz，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》，人工神经网络。阿普尔。Probab。，25（2015），第823-859页。[8] L.Campi，《关于美国看跌期权市场完整性的说明》，摘自《金融的启发》，湛江斯普林格，2014年，第73-82页。[9] R.Cont，《定量金融百科全书》。4卷。，新泽西州霍博肯：约翰·威利父子公司，2010年。[10] J.B.Conway，函数分析课程，数学研究生教材第96卷，Springer Verlag，纽约，第二版，1990年。[11] A.M.G.考克斯和C。

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