指数效用最大化与无差异估值

2022-6-1 01:56:47

指数效用最大化和无边界支付的差异估值*Ying Hu+Gechun LiangShanjian Tang§Abstracts我们通过具有无界终端数据的二次倒向随机微分方程理论，解决了一般投资组合约束下具有无界支付的指数效用最大化问题。这将Hu等人（2005）[Ann.Appl.Probab.，15，1691–1712]之前的工作从有界框架推广到无界框架。此外，我们还研究了具有无界支付的金融衍生品的效用差异估值，并推导了价格的新凸对偶表示。特别是，当风险规避参数趋于零或不完整时，我们获得了新的渐近行为。关键词：指数效用最大化、效用差异估值、无界支付、无界二次BSDE、有限熵条件、渐近行为。数学学科分类（2010）：91G40 91G80 60H30。*这项工作在英国爱丁堡举办的BSDE、SPDE及其应用研讨会上以及在复旦大学、牛津大学和雷恩大学举办的研讨会上进行了介绍。作者感谢观众的宝贵意见和建议。+法国雷恩塞德克斯35042号，雷恩大学一期，伊尔玛和复旦大学数学科学学院，中国上海200433。部分由Lebesgue数学中心“avenir投资”项目ANR11-LABX-0020-01、ANR CAESARS（批准号15-CE05-0024）和ANR MFG（批准号16-CE40-0015-01）支持。电子邮箱：ying。hu@univ-rennes1.fr华威大学统计系，科文特里，CV4 7AL，英国。部分由皇家学会国际交易所资助（批准号170137）。

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2022-6-1 01:56:50

电子邮件：g。liang@warwick.ac.uk§复旦大学数学科学学院金融与控制科学系，上海200433。部分由国家科学基金会（批准号11631004）和上海市科学技术委员会（批准号14XD1400400）资助。电子邮件：sjtang@fudan.edu.cn1引言本文致力于研究在一般投资组合约束下，具有无界随机捐赠的投资者终端财富的预期指数效用最大化问题。市场通常是不完整的，因为投资组合约束、随机市场系数和非交易资产敞口所产生的风险无法完全对冲。这个效用最大化问题受到了极大的关注。例如，它在不完全市场中的衍生品定价和套期保值中有着广泛的应用，通过所谓的效用差异估值，其中国内收益通常被视为衍生品的收益。如果随机禀赋是有界的，则借助终端数据有界的二次倒向随机微分方程（简称quadraticBSDE）理论，相应的效用最大化问题已在[21]中完全解决。结果表明，价值函数和相关的最优交易策略都可以用终端数据有界的二次BSDE的有界解来描述。关于不同通用性的模型，另请参见【3】、【15】、【19】、【24】和【26】。关于二次BSDE理论，有界解的存在性和唯一性首先在[23]中的布朗环境中建立，并在[5，6]中推广到无界解，然后在[12，13]中使用凸生成器。

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2022-6-1 01:56:54

有界解的相应半鞅情形可以在[26]和[29]中找到，其中，在前者中，扩展了[21]和[23]的主要结果，在后者中，使用了定点参数。关于这种情况下无界解的扩展，另请参见[25]。最近，在[16]中发现了BSD解的一些有用的凸性界，而在[1]中，引入了二次半鞅的概念来研究解的稳定性。关于二次BSDE理论在上述效用最大化问题中的应用，现有的大多数工作仅限于有界随机禀赋——参见[15]、[19]、[21]、[24]和[26]，其中有更多参考文献。结果在很大程度上依赖于终端数据有界的二次BSDE解的BMO鞅性质。这当然排除了许多有趣的案例，例如看涨期权的定价和对冲。尽管人们对无限的随机捐赠很感兴趣，但可获得的结果相对较少。众所周知的一维情况是一个例外。在一个马尔可夫框架中，一个导数写在一个单一的非交易资产上，[18]和[27]使用Cole-Hopf变换将值函数的方程线性化，这使它们能够在特殊情况下处理无界情况。另一方面，在su bspace投资组合约束的情况下，作为凸对偶的最小熵表示已被广泛用于研究原始效用最大化问题（例如，参见[2]、[11]和[17]）。其中，可能的无界随机内禀可以通过概率测度的简单变化来消除。然而，在布朗环境中，这个技巧似乎没有用处。

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2022-6-1 01:56:57

同时，非子空间投资组合约束的存在也会阻碍该方法的进一步发展，因为最小熵表示和原始效用最大化问题之间的对偶性不再成立。本文利用终端数据无界的二次BSD理论中的元素，在一般投资组合约束下，求解了一类具有无界支付的指数效用最大化问题。虽然相应的二次BSDE解的存在性和唯一性来自于【5】、【6】和【13】中提出的论点，但本文的主要难点之一是在实施最优交易策略时验证价值函数过程的鞅性质。如果支付是无界的，就失去了解的bmomartingable性质。为了克服这一困难，我们利用Fenchel不等式探索了二次BSDE和相关最优密度过程之间的对偶性（见引理7）。我们验证了最优密度过程的有限熵条件，从而保证了值函数过程的martin-gale性质。因此，我们只要求支付函数是指数可积的（见定理6）。在[21]中，对投资者财富的指数效用施加了一个技术等级（D）条件。这似乎是不必要的，作为本文的第二个贡献，我们放松了这样一个技术假设，即当支付从下方有界且指数可积时（见定理10）。我们引入了一个等价的最小鞅测度条件，而不是类别（D）条件，这似乎更适合于衍生品的定价和对冲。

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2022-6-1 01:57:00

其思想是通过一系列有界的支付来近似从下方获得原始支付，并构建一系列满足类别（D）条件的交易策略作为近似交易策略。我们的第三个贡献是关于效用差异价格的一个新的凸对偶表示（见定理14），当存在一般投资组合约束时，可以将其视为现有最小熵表示的一般化。该结果的动机是证明了具有无界终端数据的二次BSDE的解的唯一性，首先建立在【13】和【14】中。与定理6类似，我们需要研究对偶BSDE和相应的最优密度过程之间的对偶性。我们验证了最优密度过程的有限熵条件，这将反过来保证对偶优化器的存在（见引理24）。我们的最后一个贡献是系统地研究了当投资组合被约束为圆锥时，风险规避参数效用差异价格的渐近分析。更普遍的情况仍然悬而未决。据我们所知，大多数现有的渐近研究都涉及子空间投资组合约束的有界支付（见[11]、[15]和[24]）。子空间投资组合约束允许他们采用最小entropyrepresentation，这在我们的锥形投资组合约束下不成立。相反，我们通过将效用无差异价格描述为二次BSDE的解来研究原始问题。

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2022-6-1 01:57:03

利用BSDE的稳定性理论，我们证明了当风险平均参数为零时，效用差异价格一方面收敛于某个等价概率测度（不一定是最小熵鞅测度）下的预期收益，另一方面，当风险规避p参数趋于完整时，超复制价格（不一定在鞅测度下）。我们的渐近结果（见定理17和定理20）似乎涵盖了所有现有的结果，我们的方法似乎是新的。本文的组织结构如下。在第二节中，我们引入了效用最大化问题，并利用具有无界终端数据的二次BSDE理论中的元素来解决它。在第3节中，我们将第2节的结果应用于具有无界支付的衍生品的效用差异定价，并提供了价格的凸对偶表示及其风险规避参数的渐近分析。第4节收集了一些技术性建议，第5节总结了本文。2效用最大化，无限制的支付为非负实数T>0。设B=（Bt）t≥0be是在某个完全概率空间上定义的标准m维布朗运动(Ohm, F、 P）和{Ft}t≥0是B的强化自然过滤，满足通常条件。在本文中，我们将始终使用这种过滤。[0，T]×的可预测子集的西格玛场Ohm 用P表示，如果根据P.2.1最优投资模型的公式可以测量，则随机过程称为可预测。考虑一个由一个利率为零和d的风险债券组成的金融市场≤ m库存。在d<m的情况下，我们面临一个不完全市场。股票的价格过程i根据方程dsitsit=bitdt+σitdBt，i=1，d、（1）其中bi（分别为σi）是R值（分别为。

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mingdashike22

2022-6-1 01:57:06

Rm值）可预测有界随机过程。波动率矩阵σt=（σt，…，σdt）tr具有满秩，即σtσtrtis可逆，P-a.s.，对于t∈ [0，T]。将风险溢价定义为实值可预测过程θt=σtrt（σtσtrt）-1吨，吨∈ [0，T]，并假设θ也是有界的。自始至终，我们将使用Atrtodenote矩阵A的转置。因此，风险价格θ解出风险方程σtθt=bt，t的市场价格∈ [0，T]。在这种市场环境下，投资者在无风险债券和风险资产之间进行动态交易。对于1≤ 我≤ d、让πIt表示在时间t时投资于股票i的金额，因此股票的数量是πItIt。一个rdvalue可预测过程π=（πt）0≤t型≤这被称为自我融资交易策略，例如RT |πtrtσt | dt<∞, P-a.s.和相应的财富P过程Xπ，初始资本X满足方程Xπt=X+dXi=1ZtπiuSiudSiu=X+Ztπtruσu（dBu+θudu）。（2）投资者对其最终财富XπT具有指数效用。我们记得，对于α>0，指数效用函数定义为asU（X）=- 经验值(-αx），x∈ R、除了他/她的最终财富XπT外，投资者还可以在到期时支付或接受可计量的随机捐赠/支付。如果F≥ 0表示付款；如果F≤ 0，表示收入。投资者的目标是选择可接受的自我融资交易策略π为了最大化他/她对到期净财富的预期效用，T:V（0，x）：=sup{πu，u∈[0，T]}可受理人- 经验值-αx+ZTπtrtdStSt- F, （3）其中，V（0，·）在初始时间0时被称为值函数。为了解（3），我们需要进一步选择一个可容许的集合，从中我们选择最优交易策略π.

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2022-6-1 01:57:09

不同的容许集和对支付的不同假设可能导致不同的解决方案。在[21]中，借助于具有有界终端数据的二次BS-DE理论，作者在假设F有界的情况下解决了上述优化问题（3），π取以下容许集的值。定义1。[带约束的容许策略1]设C是RD0和0中的闭凸集∈ C、可容许交易策略集由所有Rd值的可预测过程π组成∈L[0，T]，它们是自融资的，并且满足πT∈ C、 P-a.s.，用于t∈ [0，T]。此外，以下类（D）条件成立：{exp(-αXπτ）：τ是一个停时值，在[0，T]}是一个一致可积族。一方面，排他性报酬的边界假设有许多有趣的情况，如看涨期权。另一方面，可容许集合中的类（D）条件是技术性的，而且似乎是不必要的（至少对于从下到下的F是指数可积的）。我们在本节中的目的是通过使用带u边界终端数据的二次BSDE理论中的元素来放松上述两个假设，这两个假设对[21]中的证明至关重要。2.2无限支付和相关的可接受策略我们注意到，支付的最小条件应确保（3）中的期望值为πt≡ 0，即E[EαF]<+∞.直觉上，投资者在将所有资金投入无风险债券时，应该有明确的预期效用，因此F不会太坏，什么都不做会导致潜在的惩罚。此外，要求Q[| F |]<+∞在不同的等效概率度量Q下，即预期收益（在不同的等效概率度量下）应该是有限的，因此F不太可能是真的。

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mingdashike22

2022-6-1 01:57:12

上述讨论促使我们对F施加以下假设，这将贯穿整篇文章。假设1。支付满足指数可积条件[epαF+]<+∞; E[EεF-] < +∞ （4）对于某些整数p>1且正数ε>0，其中F+=max{F，0}和F-= 最大值{-F、 0}。备注2。我们要求F+上有更多的指数可积性。这是为了保证Lπ和T（见Le mma 7）和LqT（见引理24），它将分别用于验证定理6和14中的类（D）条件。另一方面，H¨older不等式可能表明F-beingLp可积足以保证F-在不同的等价概率测度下是可积的。然而，该断言依赖于Lpp-相应Radon-Nikodym密度过程的可积性，但并不总是成立（例如密度过程Lqin定理14）。因此，我们需要F的指数可积性-. 然后，我们只需要具有有限熵的密度过程。[13]和[17]中也出现了终端数据F上类似类型的非对称指数可积条件。尽管如此，通过调整[14]中使用的参数，可能会放宽F+上p>1的假设。这样的扩展留待将来研究。由于Payoff仅满足指数可积条件（4），我们需要进一步加强可容许集ADin中的类（D）条件，以解决优化问题（3）。对于任何给定的自定价交易策略（πu）u∈[0，T]，我们定义t、 Xπt；（πu）u∈[t，t]:= E- 经验值-αXπt+ZTtπudSuSu- F|英尺,（5）对于t∈ [0，T]，以及相关的值函数过程asV（T，XπT）：=ess sup{πu，u∈[t，t]}可受理Vt、 Xπt；（πu）u∈[t，t]. （6）注意，当t=0时，值函数过程包括（3）中的值函数作为特例。

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2022-6-1 01:57:15

此外，取πu≡ 0表示u∈ [t，t]，我们得到了值函数过程的下界，V（t，x）≥ e-αxE[-eαF | Ft]>-∞, P-a.s.，用于t∈ [0，T]，因此值函数过程始终是有限的。为了解（6），我们寻找V（·，·），使得V（t，Xπt），t∈ [0，T]是任何可容许π的asuper鞅，并且存在一个可容许π使得V（t，Xπt），t∈ [0，T]是鞅。因此，在容许集中对V（·，Xπ·）施加可积性条件是自然的。定义3。[带约束的可容许策略2]可容许交易策略集A′与ADin定义1相同，除了类（D）条件被以下条件{V（τ，Xπτ）所取代：τ是[0，T]中的停止时间取值}是一致可积族。容许集A′d依赖于值函数process V（·，Xπ·）的可积性，因此，在某种意义上，容许集A′Dalso构成待解的一部分。然而，这并不意味着这里存在循环。事实上，通过定义V（t，Xπt），可以立即检查V（t，Xπt）=exp(-αXπt）V（t，0）。在定理6的证明中，我们将证明V（t，0）=-eαYT和Y solvingan即将发布的BSDE（8）。因此，A′Dis等于e-αXπ·eαY·属于（D）类，这在前面与优化问题（3）无关。另一方面，如果F有界，则容许集A′D=AD，这与值函数过程无关。实际上，如果F是有界的，那么Y也是有界的，V（t，0）和V（t，0）也是有界的（其证明见[21]的定理7）。在这种情况下，价值过程V（·，Xπ·）上的类（D）条件等价于财富e的指数效用上的类（D）条件-αXπ·，因此，A′d包含AD。备注4。

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可人4

2022-6-1 01:57:18

另一种选择是选择小于A′D的容许集，方法是将定义3中的类（D）条件替换为以下条件{Vτ、 Xπτ；（πu）u∈[τ，T]: τ是在[0，T]}中取v值的停止时间，是一致可积族。由于最优交易策略π也留在里面。要看到这个，如果π∈ A′不理想，然后Vτ、 Xπτ是一致可积的。注意，对于最佳π*,按（6），Vτ、 Xπτ= 五、τ、 Xπτ; (πu） u型∈[τ，T], 所以后者也是唯一可积的，π保持在这个较小的容许集中。然而，当F有界时，这个较小的容许集将与adf不一致。因此，我们的效用最大化问题的公式如下：在满足假设1和定义3.2.3中的容许集A′Das的条件下求解优化问题（3）。终端数据无界的二次BSDE。我们首先给出终端数据满足指数可积条件（4）的二次BSDE的存在性和唯一性定理。它将随后用于解决优化问题（3）。具有终端条件F和生成器F的BSDE是以下类型的方程式Yt=F+ZTtf（s，Zs）ds-ZTtZtrsdBs，t∈ [0，T]，（7），通常用BSDE（F，F）表示。回想一下，生成器是rand omfunction f：[0，T]×Ohm ×Rm→ R、这是可以衡量的B（Rm），终端条件是实值FT可测随机变量F。对于BSDE（F，F）的解，我们指的是一对可预测过程（Y，Z）=（Yt，Zt）t∈[0，T]，在P-a.s.，T 7时的值以R×rm表示→ Ytiscontinuous，t 7→ Zt属于L[0，T]，即RT | Zt | dt<+∞, t 7→ f（t，Zt）属于L[0，t]，且（Y，Z）满足（7）。让我们∞是实值、自适应和c\'adl\'ag有界过程的空间。

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可人4

2022-6-1 01:57:21

对于p≥ 1，Spdenotes实值、自适应和c\'adl\'agprocesses（Yt）t的空间∈[0，T]这样| | Y | | Sp：=E“supt∈[0，T]| Yt | p#1/p<+∞,Mp表示Rm值可预测过程（Zt）t的（等价类）空间∈[0，T]这样| | Z | | Mp：=EhZT | Zs | dsp/2i1/p<+∞.定理5。假设假设1成立。然后BSDE（F，F）Yt=F+ZTtf（s，Zs）ds-ZTtZtrsdBs，t∈ [0，T]，（8），其中f（T，z）=αminπT∈Cσtrtπt- （z+αθt）- ztrθt-2α|θt |，（9）允许唯一解（Y，Z），其中eαY+∈ Sp，eεY-∈ S、和Z∈ M、即，即epαY++ eεY-+ZT | Zs | ds< +∞,其中Y= 支持∈[0，T]| Yt |是随机过程Y的运行最大值。此外，如果E[ep′F |]<+∞ 对于任何p′≥ 1，然后是eαY∈ Sp′，和Z∈Mp′，即“ep′αY”+ZT | Zs | dsp′/2#<+∞.证据参见第4.2.4节主要结果我们现在准备提供其中一个主要结果，即假设1下优化问题（3）的值函数特征和相应的最优交易策略。定理6。假设假设1成立。设（Y，Z）为BSDE（F，F）的唯一解（参见（8））。然后，由v（0，x）=- 经验值(-α（x- Y）），（10）存在最优交易策略π*∈ 带π的A′d*t型∈ argminπt∈Cσtrtπt- （Zt+αθt）, t型∈ [0，T]，P-a.s.（11）证明。按照[21]中的类似参数，证明值函数过程的形式为V（t，Xπt）=- e-α（Xπt-Yt），t∈[0，T]，这是任何π的上鞅∈ 是π的鞅*在（11）中给出，带π∈ A′D。

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2022-6-1 01:57:24

注意，A′Dis中的类（D）条件等价于表示值函数处理-e-α（Xπ·-Y·）包括类别（D）。首先，对于π∈ A′D，It^o公式在-e-α（Xπt-Yt）给予-e-α（Xπt-Yt）=-e-α（x-Y） AπtLπt，其中πt=expαZtα|σtruπu- （Zu+θuα）|- Ztruθu-|θu | 2α- f（u，Zu）杜邦,andLπt=EtαZ·（Ztru- πtruσu）dBu.自Aπt≥ 1，并且Aπ·Lπ·属于（D）类（根据可采性的定义），因此-e-α（Xπt-Yt），t∈ [0，T]是s SuperMartin gale。证明的鞅性质-e-α（Xπt型-Yt），t∈ [0，T]，我们观察到如果π是（11）中的极小值，然后是πt=1，此外，σtrtπt=项目σtrtCZt+θtα, t型∈ [0，T]，P-a.s.（12），其中ProjσtrtC（·）是闭凸集σtrtC上的投影算子。因此，证明π在（12）中给出了最优密度过程Lπ在类（D）中，这将进一步暗示Lπ是auniformly可积鞅，且-e-α（Xπ·-Y·）也在（D）班。我们通过证明Lπ来完成证明在下面的引理中是有限熵。引理7。最优密度过程Lπ这是有限熵。因此，byDe la Vall'ee Poussin定理，Lπ在类（D）中，因此它是一个统一可积鞅。证据对于整数j≥ 1，我们引入了后续停止时间τj=inft型∈ [0，T]：最大值经验值αZt | Zu- σtruπu | du,Zt |祖|杜≥ j∧T、所以Lπ·∧τjandR·∧τjZtrudBuare鞅。应用Fenchel不等式xy=（xp）（py）≤x ln xp-x ln pp+epy，用于（x，y）∈ （0，∞) ×R，（13）至Lπτj（αYτj）给出τjαYτj]≤E[Lπτjln Lπτj]p-E[Lπτj]ln pp+E[epαY+] （14） p>1，如（4）所示。此外，我们定义了一个概率度量Qπ关于FτjbydQπdP：=Lπτj，并在Qπ下重写BSDE（8）asYτj=Y-Zτjf（u，Zu）du+ZτjZtru（dBπu+α（Zu- σtruπu） du），其中Bπt:=Bt-Rtα（Zu- σtruπu） du，t∈ [0，τj]是Qπ下的m维辛亚尔布朗运动.

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2022-6-1 01:57:27

反过来，E[LπτjαYτj]=等式π[αYτj]（15）=等式παY-Zτjαf（u，Zu）- αZtru（Zu- σtruπu）杜邦.从f在（9）中的表达式，我们推导出f（u，Zu）≤α| Zu- σtruπu型|- θtruσtruπu、将上述不等式代入（15），我们进一步得到[LπτjαYτj]≥ αY+等式πZτjα| Zu- σtruπu | du- αEQπZτj | Zu- σtruπu型|-θtruασtruπu- Ztru（Zu- σtruπu）杜邦= αY+等式πZτjα| Zu- σtruπu | du- αEQπZτj(πu） trσu- （Ztru+θtruα）σtruπudu.自σtruπuis是闭集和凸集σtruC（cf.（12））上Zu+θuα的投影算子，并且，0∈ σtruC，如下所示(πu） trσu- （Ztru+θtruα）σtruπu型=项目σtrc（Zu+θuα）- （Zu+θuα）tr公司项目σtrc（Zu+θuα）- 0≤ 0，因此，E[LπτjαYτj]≥ αY+等式πZτjα| Zu- σtruπu型|. （16）最后，组合（14）和（16），并观察gE[Lπτjln Lπτj]=等式π“Zτjα| Zu- σtruπu | du#，我们得到（1-p） E[Lπτjln Lπτj]≤ -αY-ln-pp+E[epαY+] < +∞.然后通过发送j得出结论→ ∞ 在上述不等式中，并使用Fatou引理。2.5从下面的结果可以看出，当F满足比假设1更强的条件时，下一个结果是关于放宽可容许集ADD中的（D）类条件。假设2。支付满意度E[epαF+]<+∞ 对于一些大于1的积分，存在一个常数k>0，使得F-≤ k、备注8。从下到F的有界性意味着，如果随机禀赋F为负，那么在随机禀赋F可能损失的金额上有一个统一的下界。通常情况下，F建模为一个payoff，因此它甚至是非负的。文献[11]中也对F进行了类似的假设，其中作者将最小熵表示作为子空间投资组合约束下效用最大化问题（3）的对偶。由于θ是有界的，我们可以在FTbydQθdP上定义一个等价的最小局部鞅测度（MLMM）Qθ：=LθT=ET(-Z·θtrtdBt），（17），其中ET（·）表示随机指数。同样，我们定义QθdP | Ft：=Lθt，对于t∈ [0，T]。

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2022-6-1 01:57:30

然后，在Qθ下，财富过程Xπ遵循Xπt=X+ZtπtruσudBθu，（18），其中Bθt：=Bt+Rtθudu，t∈ [0，T]是MLMM Qθ下的m维布朗运动。接下来，我们用等价的最小鞅测度（MMM）条件替换可容许集中的类（D）条件，并在假设2下求解优化问题（3）。定义9。[约束条件下的容许策略3]定义1中给出C。可容许交易策略集包含所有Rd值可预测过程π∈ L[0，T]，它们是自融资的，并且满足πT∈ C、 P-a.s.，用于t∈ [0，T]。此外，（Xπt）t≥0是Qθ下的阿马丁格尔，即Qθ是MMM。我们现在可以在本节中介绍最后一个主要结果。特别地，当F有界时，我们的结果也将通过将其容许集从Ad扩大到A来推广[21]中的定理7。定理10。假设假设2成立。设（Y，Z）为BSDE（8）的唯一解。然后，具有容许集A的优化问题（3）的值函数V（0，x）和相关的最优交易策略π*∈ A分别是giv en，如（10）和（11）所示。当终端条件F满足假设2时，我们首先确定解（Y，Z）到二次BSDE（F，F）的空间。引理11。假设假设2成立。然后BSDE（F，F）（cf.（8））允许唯一解（Y，Z），其中eαY+∈ Sp，Y-∈ S∞, 和Z∈ M、证明。我们显示Y-∈ S∞. 事实上，从定理5的证明中，我们得到了≥ Yt=-公式θF-+ZTt2α|θs | ds | Ft≥ -k- 公式θZT2α|θs | ds.其余断言已在Lemm a 23中得到证明。定理10的证明。对于整数n>0，我们截断payoff F asFn：=F∧ n，所以- k≤ Fn公司≤ n

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2022-6-1 01:57:33

我们首先表明，对于任何π∈ A、我想是这样的-e-α（XπT-Fn）i≤ -e-α（x-Yn），（19），其中Yn是对应截断二次BSDE（Fn，f）的有界解（的第一个成分）。注意，如果Ee-αXπT= +∞, 然后由于Fn的有界性，E-e-α（XπT-Fn）= -∞. 因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设e-αXπT< +∞.根据[21]的定理7，很明显不等式（19）适用于π∈ 公元 A、因此，为了证明（19），必须证明存在πj∈ 广告，例如e-α（XπjT-Fn）→ Ehe公司-α（XπT-Fn）i，作为j→ ∞. （20）为此，我们定义πjt=πt{t≤τj}，对于t∈ [0，T]和整数j≥ 1，其中τjis是定义为τj=inf{t的停止时间∈ [0，T]：XπT≤ -j}∧ T、通过定义τj，Xπ·∧τjis从下方起界，因此e-αXπ·∧τjis有界，因此在类（D）中，表示πj∈ AD.仍需说明（20）中的收敛性。注意，对于上述πjde finedas，e-αXπjT=e-αXπτj→ e-αXπT，P-a.s.，所以我们只需要建立e的一致可积性-αXπτjunder P.我们回忆起，从通常的截断参数来看，对于任何ξ∈ L（P），等式θ[ξ| Fτj]收敛于L（P）中的ξ，其中Qθ是（17）中给出的MLMM，L（P）表示P下平方可积随机变量的空间。通过我们对π，E[E]的假设-αXπT]<+∞, so等式θ[e-αXπT | Fτj]收敛到e-αXπtinl（P）。因此，公式θ[e-αXπT | Fτj]在P下是统一积分的。另一方面，根据Jen-sen不等式和Xπ在Qθ下是阿马丁格尔的事实（根据可容许性的定义），我们得到了-αXπτj=eEQθ[-αXπT | Fτj]≤ EQθhe-αXπT | Fτji。因此，e-αXπτjis在P下可统一积，不等式（19）成立。自Fn起≤ F，从（19）可以看出-e-α（XπT-F）i≤ -e-α（x-Yn）。此外，s ince Yn→ Y（见定理8的证明），发送n→ ∞在上述不等式中，yieldsEh-e-α（XπT-F）i≤ -e-α（x-Y）。

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2022-6-1 01:57:35

（21）为了证明等式，请注意最优交易策略的选择π在（12）中，确保e-α（Xπt型-Yt），t∈ [0，T]是一个正的局部鞅，因此是一个超鞅，这意味着-e-α（XπT-F）i≥ -e-α（x-Y）。（22）最后，由于|σtrtπt |≤ |Zt |+|θt |α和Z∈ M、我们有σtrπ∈ M、然后，B-D-G不等式意味着eqθ“supt∈[0，T]Zt（σtrtπt） trdBθt#≤ CEQθZT |σtrtπt | dt≤ CEh（LθT）iEZT |σtrtπt | dt< +∞.因此，Xπ是Qθ和π下的鞅∈ A、结合（21）和（22），我们得出-e-α（XπT-F）i=-e-α（x-Y）。（23）3效用差异估价的应用在本节中，我们将第2节中获得的结果应用于具有无限支付的衍生工具的效用差异定价。效用差异估价的概念在【20】中提出，并在【9】中进一步发展。有关效用差异定价和相关主题的概述，请参阅[7]和其中的更多参考文献。为了确定有报酬的衍生工具的效用差异价格，我们还需要考虑投资者在不出售（或购买）衍生工具的情况下的优化问题。这涉及投资者只投资无风险债券和风险资产本身，相应的最优交易策略表示为π(0). 强调π的依赖性在F上，我们也把它写成π（F）。定义12。[效用差异估值和对冲]假设假设假设1成立。然后，带有payoff F的衍生工具的效用差异价格c（F）由上π的解定义∈A′DE-e-αXx+C（F）T（π）-F= supπ∈AEh公司-e-αXxT（π）i，（24），其中A′和A分别在定义3和9中给出。衍生工具的套期保值策略由两种最佳交易策略π的差异决定（F）- π（0）。备注13。

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2022-6-1 01:57:38

由于payoff F是无界的，我们为（24）中的两个优化问题选择了不同的容许集，因为它们的性质不同。如果F≥ 0，则C（F）被解释为F的售价。由于在这种情况下，F从下自动有界，根据定理10，我们可以将容许se t从A′dt扩大到A。因此，（24）中的两个优化问题在相同的容许集A下求解。另一方面，如果F≤ 0，那么-C类(-F）可解释为-F根据定理6和10，我们得到-e-α（x+C（F）-Y（F））=-e-α（x-Y（0）），其中Y（F）是BSDE（F，F）的唯一溶液（第一组分）（参见（8））。在此，我们使用Y（F）来强调解Y（F）对其终端数据F的依赖性。因此，我们获得了该衍生工具的效用差异价格，支付F asC（F）=Y（F）- Y（0）。（25）相关hed老化策略满足σtrtπt（F）- σtrtπt（0）（26）=项目σtrtCcZt（F）+θtα- 项目σtrtCcZt（0）+θtα, t型∈ 【0，T】，P-a.s.3.1效用差异价格的凸对偶表示受【13】的启发，我们在本节中提供了解决方案（F）的凸对偶表示，一方面完成了定理5的证明，另一方面，给出了效用差异价格C（F）的凸对偶表示。对于第3.3节中考虑的特定示例，凸对偶表示将简化为众所周知的效用差别价格的最小entr opy表示（见[11]、[15]和[24]，其中有更多参考）。首先，我们观察到，由于C是凸的，因此（9）中定义的生成器f（t，z）在z是凸的。因此，我们可以引入f（t，z），f的凸度（t，q）：=supz∈Rmztrq公司- f（t，z）, （27）对于（t，q）∈ [0，T]×Rm。

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2022-6-1 01:57:41

请注意，f以R表示值∪ {+∞}.然后，Fenchel-Moreau定理得出f（t，z）=supq∈Rm（ztrq- f（t，q）），（28）表示（t，z）∈ [0，T]×Rm。此外，q∈ fz（t，z），它是z 7的次微分→ f（t，z）在z处∈ Rm，达到（28）中的最大值，f（t，z）=ztrq- f（t，q). （29）接下来介绍凸对偶问题的容许集。对于anRm值可预测流程q∈ L[0，T]，我们将其随机指数定义为Lq：=E（R·qtrudBu）。如果LqTln具有有限熵，即[LqTln LqT]<+∞,然后，德拉瓦利-普桑定理暗示LQI在类（D）中，因此是一致可积鞅。然后，我们可以定义概率度量qon ftbydqdp：=LqT，并引入容许集aF【0，T】=q∈ L[0，T]：LqT=ET（Z·qtrudBu）具有有限熵，EQq|F |+ZT | F*（s，qs）| ds< +∞, 其中dqqdp=LqT.定理14。假设假设1成立。然后，解Y-toBSDE（F，F）（cf.（8））允许以下凸对偶表示yt=ess supq∈A.F[t，t]EQqF-ZTtf公司（s、qs）ds英尺, （30）其中f: [0，T]×Ohm ×Rm→ R∪ {+∞} 是f在（27）中的凸对偶。此外，存在一个最优密度过程q∈ A.F[t，t]使得yt=EQqF-ZTtf公司（s、qs） ds公司英尺. （31）证明。见第4节。作为定理14的直接结果，我们得到了效用微分priceC（F）=supq的凸对偶表示∈A.*F[0，T]EQqF-ZTf公司*（s、qs）ds- 谱仪半定量分析∈A.*[0，T]EQq-ZTf公司*（s、qs）ds.（32）注意，通常，由于非子空间组合约束的出现，上述凸对偶表示可能不是最小熵表示（例如，参见[11]、[15]和[24]）。

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2022-6-1 01:57:44

如果是子空间投资组合约束，上述凸对偶表示正是最小熵表示，如第3.3.3.2节风险规避参数的渐近性所示。我们在本节中研究了风险规避参数α的效用差异价格的渐近性。我们对支付做出以下假设。假设3。满意度的支付[ep′F+]<∞ 对于任何p′≥ 存在一个常数k>0，使得F-≤ k、备注15。将渐近解作为风险规避参数α→ +∞, 很明显，我们需要假设F+是任意阶的指数可积的。在假设3下，根据定理5和引理11，BSDE（F，F）（cf.（8））允许唯一解（Y，Z），例如eαY+∈ Sp′，Y-∈ S∞, 和Z∈ Mp′。现有文献（如[11]、[15]和[24]）只讨论了投资组合的子空间约束情况，这使得他们能够处理双重问题，并在效用差异价格的渐近分析中使用相应的最小熵表示。在投资组合约束的更一般情况下，最小entropyrepresentation不包含任何元素，如凸对偶表示（32）所示。我们将通过考虑效用差异价格的BSDE表示（25）来解决主要问题。为了便于我们的子部分讨论，我们进一步对约束集施加以下锥条件。定义16。

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mingdashike22

2022-6-1 01:57:47

[具有约束条件的可容许策略4]可容许交易策略集ACC与定义3中的A相同，只是约束集C被Cc取代，其中CCI是RD0中的闭合凸锥∈ 复写的副本。为了增强对风险规避参数α的依赖性，我们编写BSDE（F，Fα）及其解（Yα（F），Zα（F）），并将相应的效用差异价格和相关套期保值策略写成Cα（F）和πα，（F）- πα,（0）。回想一下（9）中的生成器fα（C由圆锥体Cc代替）的fα（t，z）=α项目σtrtCc（z+αθt）- （z+αθt）- ztrθt-2α|θt |。由于CCI是一个圆锥体，因此αProjσtrtCc（z+αθt）=ProjσtrtCc（αz+θt），因此，αfα（t，z）=f（t，αz）。（33）反过来，如果（Yα（F），Zα（F））是BSDE（F，Fα）的唯一解，则αYαt（F）=αF+ZTtαFα（u，Zαu（F））du-ZTt（αZαu（F））trdBu=αF+ZTtf（u，αZαu（F））du-ZTt（αZαu（F））trdBu，so（αYα（F），αZα（F））求解BSDE（αF，F）。但是，根据第2节中的定理5和引理11，BSDE（αF，F）允许一个唯一的解和擦除3，因此我们必须有（αYα（F），αZα（F））=（Y（αF），Z（αF）），特别是，（αYα（0），αZα（0））=（Y（0），Z（0））。（34）上述标度特性对于效用差异Cα（F）的渐近分析至关重要。接下来，我们定义（Cαt（F），Hαt（F））：=（Yαt（F）- Yαt（0），Zαt（F）- Zαt（0））。（35）然后立即检查cαt（F）=F+ZTt（Fα（u，Hαu（F）+Zαu（0））- fα（u，Zαu（0）））du-ZTt（Hαu（F））trdBu=F+ZTtαf（u，αHαu（f）+Zu（0））- f（u，Zu（0））杜邦-ZTt（Hαu（F））trdBu，t∈ [0，T]，（36），其中我们在最后一个等式中使用了（33）和（34）。此外，我们还引入了generatorgα（t，h，Zt（0））=distσtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- distσtrtc（Zt（0）+θt）2α，其中distσtrtc（·）是σtrtc的距离函数。用生成器gα重写（36）asCαt（F）=F+ZTtgα（u，Hαu（F），Zu（0））du-ZTt（Hαu（F））trθudu-ZTt（Hαu（F））trdBu，t∈ [0，T]。

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2022-6-1 01:57:51

（37）注意，如果F满足假设3，上述BSDE（37）实际上允许唯一解（Cα（F），Hα（F）），其中eαCα（F）+∈ Sp′，Cα（F）-∈S∞, 和Hα（F）∈ Mp′表示任意p′≥ 确实，如果（Cα（F），Hα（F））是（37）的解，那么用（Yα（0），Zα（0））∈ S∞×Mp′作为BSDE（0，fα）的唯一解，很明显（Cα（f）+Yα（0），Hα（f）+Zα（0））解为BSDE（f，fα）。但根据定理5和引理11，BSDE（F，Fα）允许唯一解。因此，（Cα（F），Hα（F））必须是（37）的唯一解。在下文中，我们将通过BSDE（37）研究效用指数Cα（F）的渐近性。3.2.1α的渐近性→ 2017年10月17日。假设假设3成立，可容许集在定义16中为ISACAS。然后，limα→0Cα（F）=C（F），其中C（F）是线性BSDECt（F）=F+ZTt（Hu（F））tr的唯一解（的第一个分量）Zu（0）- 项目σ结构（Zu（0）+θu）杜邦-ZTt（Hu（F））trdBu，t∈ [0，T]。（38）备注18。如果CCI是Rd的一个子空间，我们也有最优交易策略的收敛性。实际上，通过子空间σtrtCc上投影算子的线性，我们得到σtrtπα，t（F）- σtrtπα，t（0）- 项目σtrtCcHt（F）=项目σtrtCcZαt（F）+θtα- 项目σtrtCcZαt（0）+θtα- 项目σtrtCcHt（F）=项目σtrtCcHαt（F）- Ht（F）.自Hα（F）→ H（F）在L[0，T]（见定理17的证明）中，它遵循limα→0ZT |σtrtπα，t（F）- σtrtπα，t（0）- 项目σtrtCcHt（F）|dt=0，P-a.s。根据定理17，我们可以进一步表示在某些等效概率测度下，支付预期值（38）的解。要了解这一点，我们需要定义QZasdQZdP：=ET（Z·Zt（0）- 项目σtrtCc（Zt（0）+θt）trdBt）。（39）由于·（Zt（0））trdbt是一个BMO鞅（见[21]中的引理12），（39）中的托氏指数确实是一个统一可积鞅，因此Qzi定义良好。

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2022-6-1 01:57:54

当α→ 0 aslimα→0Cα（F）=C（F）=EQZ[F]。（40）在第3.3节中，我们将证明，如果投资组合约束是一个空间，那么概率测度Qz将简化为最小熵鞅测度。为了证明定理17，我们首先给出生成元gα的一些估计。引理19。生成元gα（t，h，Zt（0））具有以下性质：（i）gα（t，h，Zt（0））在α中不减量；（ii）对于α∈ （0，1），gα（t，h，Zt（0））具有上界和下界，两者都与α无关，htr（Zt（0）+θt）- 项目σtrtCc（Zt（0）+θt）≤ gα（t，h，Zt（0））≤|h |+htrmt，（41）对于某些可预测过程m满足| mt |≤ |Zt（0）|+|θt |，对于t∈ [0，T]。证据（i）为了证明gα在α中是不变的，我们回忆起σtrtCc是凸的，因此distσtrtCc（·）是凸的。然后得出gα（t，h，Zt（0））=距离σtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- distσtrtCc（Zt（0）+θt）2α在α中不减。（ii）根据（i），我们知道gα（t，h，Zt（0））≥ limα→0gα（t，h，Zt（0））。接下来，我们计算gα的极限，当α→ 0 aslimα→0gα（t，h，Zt（0））=αdistσtrtCc（αh+Zt（0）+θt）|α=0=htr（αh+Zt（0）+θt）- 项目σtrtCc（αh+Zt（0）+θt）|α=0=htr（Zt（0）+θt）- 项目σtrtCc（Zt（0）+θt）. （42）关于二次距离函数导数的计算，请参考[10]。另一方面，使用初等等式a- b=（a- b） +2b（a- b），我们重写生成器gαasgα（t，h，Zt（0））=2α| distσtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- distσtrtCc（Zt（0）+θt）|+distσtrtCc（Zt（0）+θt）距离σtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- 距离σtrtCc（Zt（0）+θt）α.根据距离函数的Lipschitiz连续性，gα由gα（t，h，Zt（0））支配≤α| h |+htrmt≤|h |+htrmt，其中mt：=距离σtrtCc（Zt（0）+θt）距离σtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- 距离σtrtCc（Zt（0）+θt）α| h | h.因此，我们最后指出| mt |≤ |Zt（0）|+|θt |，对于t∈ [0，T]。定理17的证明。

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2022-6-1 01:57:57

我们应用终端数据有界的二次BSDE的稳定性性质来研究当α→ 为此，我们考虑α的BSDE（F，gα）∈ （0，1）（参见（37））：Cαt（F）=F+ZTtgα（u，Hαu（F），Zu（0））du-ZTt（Hαu（F））trθudu-ZTt（Hαu（F））trdBu，t∈ [0，T]。（43）由于生成器gα满足（41）和终端条件F满足假设3，二次BS DE与无界终端数据的比较定理（见[6]第3节）简化了CT≤ Cαt（F）≤ Cα′t（F）≤Ct，对于0<α≤ α′≤ 1，其中Csolves BSDECt=- k+ZTt（Hu）trZu（0）- 项目σ结构（Zu（0）+θu）杜邦-ZTt（Hu）trdBu，t∈ [0，T]，（44）和C解决BSDECt=F++ZTt胡杜邦-ZTt公司胡tr（dBu- mudu），t∈ [0，T]。（45）常规检查两个参数是否都符合显式表达式Ct=-kCt=ln EQmheF+| Fti，其中qm定义为dqmdp：=LmT=ET（R·mtrudBu）。我们声称Ct<+∞. 实际上，sinceR·（Zu（0））trdBuis是一个BMO鞅（见[21]中的引理12），R·mtrudBuis也是一个BMO鞅。然后，从逆H¨older不等式得出，存在一些p>1这样的结果LmTLmtp英尺≤ C对于某些常数C>0。反过来，H¨older不等式意味着ln EQmheF+| Fti=ln ELmTLmteF+|英尺≤印尼国家电力公司LmTLmtp英尺+ （1）-p） ln E[epp-1F+|英尺]<+∞.接下来，我们通过（43）中的极限。但是，由于gα的上界涉及m（cf.（41）），由于Z（0）的无界性，m通常是无界的，并且终端条件F是无界的，因此稳定性属性并不直接适用。

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2022-6-1 01:58:00

为了克服这一困难，我们应用定理5中的局部化参数，并定义停止时间τj=inft型∈ [0，T]：最大{Zt | Zs（0）| ds，Ct}>j∧ T、对于整数j≥ 1、然后（Cαj（t），Hαj（t））：=（Cαt∧τj（F），Hαt（F）1{t≤τj}），t∈ [0，T]，满足αj（T）=Fαj+ZTt{u≤τj}gα（u，Hαj（u），Zu（0））du-ZTt（Hαj（u））trθudu-ZTt（Hαj（u））trdBu，（46），其中Fαj=Cαj（T）=Cατj（F）。对于固定j，我们观察到Cαj（·）是有界的，并且BS DE（46）的生成器满足{u≤τj}gα（u，h，Zu（0））≤ 1{u≤τj}| Zu（0）|+|θu |+| h |，对于u∈ [0，T]，排序{u≤τj}| Zu（0）| du≤ j、此外，根据（42），{u≤τj}gα（u，h，Zu（0））→ 1{u≤τj}htr（Zu（0）+θu）- 项目σ结构（Zu（0）+θu）,asα→ 因此，二次BSDE（46）满足[26]第2.2节中的稳定性条件。因此，设定Cj（t）=在fαCαj（t）中，从具有有界终端数据的二次BSDE的稳定性性质（见文献[26]中的引理3.3]）可以看出，存在Hj（·）∈ M如此limα→0Hαj（·）=Hj（·），单位为M，且Cj（·）、Hj（·）满足度j（t）=Fj+Zτjt（Hj（u））trZu（0）- 项目σ结构（Zu（0）+θu）杜邦-Zτjt（Hj（u））trdBu，（47），其中Fj=Cj（T）=infαCατj（F）。然后，线性BSDE（38）接着是结束j→ ∞ 在（47）中。3.2.2α的渐近性→ ∞通过考虑α的情况，我们完成了Cα（F）的渐近分析→ ∞ 在下一个定理中。定理20。假设假设3成立，可容许集在定义16中为ISACAS。此外，假设以下约束BSDEC∞t（F）=F+ZTtdA∞u（F）-ZTt（H∞u（F））trθudu-ZTt（H∞u（F））trdBu，以H为准∞u（F）∈ σtruCc，适用于a.e.u∈ [0，T]，（48）至少允许一种溶液（C∞（F），H∞（F），A∞（F））∈ S×M×SwithA∞（F）非减损过程。然后，limα→∞Cα（F）=C∞（F），其中（C∞（F），H∞（F），A∞（F））是约束BSDE（48）的最小解。

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2022-6-1 01:58:03

这里，最小解是指如果（C∞（F），H∞（F），A∞（F））是（48）的解，则∞t（F）≤C∞t（F），P-a.s.，用于t∈ [0，T]。备注21。约束BSDE（48）的假设意味着，对于a.e.u∈ [0，T]。请注意，如果F有界，则上述假设确实可以用TakingC来满足∞（F）≡ ||F级||∞, F，H的本质上确界∞（F）≡ 0，安达∞u（F）=1{u=T}（| | F||∞- F）+1{u<T}0。此外，如果F是有界的，且cci是Remark18中Rdas的子空间，则我们还具有最优交易策略的收敛性。要看到这一点，因为σtrtπα，t（F）- σtrtπα，t（0）- H∞t（F）=项目σtrtCc（Hαt（F）- H∞t（F）），和Hα（F）→ H∞（F）弱in M，强in mp对于p<2（参见定理20的顶部），我们得到limα→∞EZT |σtrtπα，t（F）- σtrtπα，t（0）- H∞t（F）| pdt= 让我们回顾一下，根据[8]，最小解C∞（F）实际使用随机控制表示。为了看到这一点，我们引入了容许集Γ[0，T]=∪m级≥0v∈ L[0，T]：| vt |≤ m和vtis的取值单位为Γt，t∈ [0，T].域定义如下：∈ [0，T]，给定闭凸锥σtrtCc，我们定义其支撑函数δσtrtCc（·）作为σtrtCc，δ的特征函数ΔσtrtCc（·）的凸对偶σtrtCc（v）=s upz∈Rmztrv公司- ΔσtrtCc（z）对于（t，v）∈ [0，T]×Rm。那么，δσtrtCc（·）用R表示∪{+∞}, 且有界于势垒锥的紧致子集Γt=nv∈ Rm：δσtrtCc（v）<+∞o、在我们的例子中，由于σtrtcc是一个闭的凸锥，因此Γt={v∈ Rm：ztrv≤ z为0∈ σtrtCc}，和δσtrtCc≡ Γt上的0。然后根据定理5.1和[8]的推论5.1得出（u=-θ） thatlimα→∞Cα（F）=C∞（F）=supv∈A.Γ[0，T]方程F-ZTδσ结构（vu）du= supv公司∈A.Γ[0，T]EQv[F]，（49），其中dqvdp：=ET（Z·（vt- θt）trdBt）。

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2022-6-1 01:58:06

（50）在第3.3节中，我们将∞（F）当投资组合约束为子空间时，仅为MLMM下F的su perreplicationprice。定理20的证明。该证明基于彭的单调极限定理（见[28]）。我们从有界F开始，然后通过近似过程进入一般F。（i） F有界的情况。我们首先重写（37）asCαt（F）=F-ZTdistσ结构Zu（0）+θu2αdu+ZTtdAαu（F）-ZTt（Hαu（F））trθudu-ZTt（Hαu（F））trdBu，（51），其中Cαt（F）：=Cαt（F）-Ztdistσ结构Zu（0）+θu2αdu，（52）和Aα是一个自适应、连续和非减量过程，定义为asAαt（F）：=Zt2αdistσtruCcαHαu（F）+Zu（0）+θudu=αZtdistσtruCcHαu（F）+Zu（0）+θuα杜。（53）我们将（51）视为约束BSDE（48）的惩罚方程，我们将证明（Cα（F），aα（F），Hα（F））→ （C）∞（F），A∞（F），H∞（F）作为α→ ∞.为此，我们注意到，由于F是有界的，而gα在α中是非减量的（见引理19），因此二次BSDE与有界终端数据的比较定理暗示Cα（F）在α中是非减量的。因此，Cα（F）也是n，在α中减少。我们声称，对于任何有界解（C∞（F），H∞（F），A∞（F））到约束的BSDE（48）（有界解是指∞（F）是有界的），它认为cαt（F）≤ C∞t（F），P-a.s.，用于t∈ [0，T]。（54）我们将上述不等式的证明推迟到引理22。

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2022-6-1 01:58:09

那么（54）将进一步计算cαt（F）≤C∞t（F）由（52）中的cα（F）定义，然后是二次距离函数的非负性。因此，存在C∞（F）∈ S∞使得Cα（F）→ C∞（F）在S中∞, andC公司∞t（F）≤C∞t（F），对于t∈ [0，T]。然后从[28]中引理2.5得出SUPα≥1E[| AαT（F）|]≤ Csupα≥1E级ZT | Hαt（F）| dt≤ C、（55）对于某些常数C>0。应用文〔28〕中的彭单调极限定理，我们得到存在（H∞（F），A∞（F））∈ M×S确认A∞（F）在增加，Aα（F）→ A.∞（F）S中较弱，Hα（F）→ H∞（F）M弱，MPP强，p<2，C∞（F），H∞（F），A∞（F））满足（48）中的等式。我们接下来展示H∞u（F）∈ σtruCc，适用于a.e.u∈ [0，T]。事实上，通过（53）中α（F）的定义和（55）中的首次估计，我们已经ZTdistσ结构Hαu（F）+Zu（0）+θuα杜邦=2E[αT（F）]α≤2E[| AαT（F）|]α≤2Cα→ 0，作为α→ ∞,这迫使H∞u（F）∈ σtruCc，适用于a.e.u∈ [0，T]，即（48）中的约束条件成立。（ii）满足假设3的情况。通常，我们通过引入Fn：=F从下面近似F∧ n、然后，根据比较定理和终端数据有界的二次盲源数据交换的稳定性，得出Cα（Fn）在n和limn中是不减的→∞Cα（Fn）=supnCα（Fn）=Cα（F）。另一方面，我们在（i）中也证明了Cα（Fn）在α中是非减量的，并且limα→∞Cα（Fn）=supαCα（Fn）=C∞（Fn）。因此，通过交换上述两个极限程序，我们得到了limα→∞Cα（F）=supαsupnCα（Fn）=supnsupαCα（Fn）=limn→∞C∞（Fn）。根据（49），C∞（Fn）接受随机控制表示C∞（Fn）=supv∈A.Γ[0，T]EQv[Fn]。自Fn起→ 由下可知，通过单调收敛定理，我们得到了→∞C∞（Fn）=supv∈A.Γ[0，T]EQv[F]。再次使用（49），我们知道上述等式的右侧只不过是C的随机控制表示∞（F），即。

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