因此，gα（u，H∞u（F），Zu（0））≤ 0，由此得出Cαt（F）≤ C∞t（F）。3.3子空间投资组合约束的一个特例我们表明，如果交易策略位于一个非一般集合的子空间中，则本文的结果涵盖了现有的差异估值文献（[11]、[15]和[24]）。为了便于讨论，我们只考虑单个交易资产的示例。更一般的情况遵循类似的论点。考虑一个单一股票的市场，其系数取决于一个由二维布朗运动驱动的单一随机因素，即m=2，d=1，dst=b（Vt）Stdt+σ（Vt）StdB1，t，dVt=η（Vt）dt+κdBt+κdB2，t。h的支付形式为F=F（V·），这可能取决于随机因素过程V的整个病理过程。我们假设两个正常数κ，κ满足|κ|+|κ|=1，函数b（·）、σ（·）和η（·）一致有界，σ（·）>0。然后，财富方程变成dXπt=πtσ（Vt）（θ（Vt）dt+dB1，t），其中θ（Vt）=b（Vt）σ（Vt）。我们还选择C=R。在这种情况下，对于z=（z，z），驱动程序f（t，z）（9）减少了tof（t，（z，z））=-θ（v）z-2α|θ（v）|+α| z |，（57）及其凸对偶f（t，q），q=（q，q）in（27）becomesf（t，（q，q））=1{q+θ（v）=0}| q |+|θ（v）| 2α+1{q+θ（v）6=0}×(+∞). （58）根据定理14，Y在（30）中的凸对偶表示变成了Y=ess supq∈A.[t，t]q1，·=-θ（V·）EQqF-ZTt | q2，s |+|θ（Vs）| 2αds英尺.请注意，密度过程q的第一个组成部分Qo必须是负风险溢价-θ（Vs），s∈ [0，T]。因此，在Qq下，股价过程S遵循dst=σ（Vt）StdBq1，t，（59），其中bq1，t：=B1，t-Ztq1，sds=B1，t+Ztθ（Vs）ds，t∈ [0，T]是Qq下的一维布朗运动，因此Qq是MLMM。我们还注意到EDQQDPLNDQDPP= EQqZT | q2，s |+| q1，s | ds.

（60）因此，我们可以将Y的凸对偶r表示重写为以下最小熵表示Y=supq∈A.[0，T]q1，·=-θ（V·）EQq【F】-αEDQQDPLNDQDPP. （61）因此，C（F）=supq∈A.[0，T]q1，·=-θ（V·）EQq【F】-αEDQQDPLNDQDPP- 谱仪半定量分析∈A.[0，T]q1，·=-θ（V·）-αEDQQDPLNDQDPP, （62）这正是【11】、【15】和【24】中获得的效用差异价格的最小熵表示。接下来，我们研究本例中效用差异价格的渐近行为。当然，人们可以研究（62）以获得[15]和[24]中的交感结果。然而，我们都直接应用第3.2节中获得的渐近结果，尤其是（40）和（49），并将其与[15]和[24]中建立的渐近结果进行比较。我们遵循第3.2节中的注释。我们首先表明，当α→0，在（39）中引入的概率测度QZintroduced是最小entr opymartingale测度。用q表示最佳密度过程= （q）, q), i、 环境质量是yα（0）=supq的最大化子∈A.[0，T]q1，·=-θ（V·）-αEDQQDPLNDQDPP= EQq“ZT | q2，s |+|θ（Vs）|-2αds#，其中我们在第二个等式中使用（60）。与定理14的证明类似，鞅表示定理隐含了dyαt（0）=q2，t |+|θ（Vt）| 2αdt+Zq公司1、tdBq1，t+Zq2、tdBq2，t, （63）对于某些R值可预测过程Zq= （Zq, Zq公司) ∈ L[0，T]，其中bq1，t：=B1，t-Ztq公司1，sds=B1，t+Ztθ（Vs）ds；Bq公司2，t：=B2，t-Ztq公司2，sds，t∈ [0，T]是Qq下的二维布朗运动.另一方面，根据原始BSDE（0，f）和（57）中给出的d riverf，我们还可以计算αt（0）=θ（Vt）Zα1，t（0）-α| Zα2，t（0）|+|θ（Vt）| 2αdt公司+Zα1，t（0）dB1，t+Zα2，t（0）dB2，t=2αZα2，t（0）q2，t- |αZα2，t（0）|+|θ（Vt）| 2αdt+Zα1，t（0）dBq1，t+Zα2，t（0）dBq2，t.

（64）比较（63）和（64）得出（Zq1，t，Zq2，t）=（Zα1，t（0），Zα2，t（0）），此外，q2，t=αZα2，t（0）=Z2，t（0），t∈ [0，T]，通过缩放特性（34）。因此，最佳密度过程为（q1，t，q2，t）=(-θ（Vt），Z2，t（0）），t∈ [0，T]。注意，上述密度只不过是概率测量QZin（39）的密度：dQZdP=ET（Z·-θ（Vt）dB1，t+Z2，t（0）dB2，t），这意味着QZis是最小熵鞅测度。为了总结本文，我们介绍了C∞（F）in（49）是本例中MLMM下F的超复制p rice。为此，观察势垒锥Γt减小到Γt={v∈ R： 五≡ 0}，以及支持函数δσtrtCc≡ 因此，（49）成为∞（F）=supv∈A.Cc[0，T]EQv[F]，其中dqvdp=ET（Z·-θ（Vt）dB1，t+v2，tdB2，t），因此股价S遵循（59），Qvis是MLMM，即C∞（F）是MLMM Qv下F的超级复制价格。4定理5和144的证明。1定理5的证明建立toBSDE（8）解的存在性和唯一性的主要思想来自[5]、[6]和[13]。为此，我们将终端数据F表示为fn，k=F+∧ n- F-∧ k、 对于整数n，k>0。然后，得出| Fn，k |≤ 最大{n，k}，和-F-≤ Fn，k+1≤ Fn，k≤ Fn+1，k≤ F+。此外，limn，k→∞Fn，k=F。我们首先考虑以下截断的BSDE（Fn，k，f）Yn，kt=Fn，k+ZTtf（s，Zn，ks）ds-ZTt（Zn，ks）trdBs，t∈ [0，T]，（65）允许一种独特的溶液（Yn，k，Zn，k）∈ S∞×M（例如，参见[23]的定理2.3进行证明）。此外，我们注意到-ztrθt-2α|θt|≤f（t，z）≤α| z |，对于（t，z）∈ [0，T]×Rm。第二个不等式接πt≡ 0英寸（9）。

反过来，具有有界终端数据的二次BSD的比较定理（参见[23]中的T heorem 2.6）将≤ Yn，k+1t≤ Yn，kt≤ Yn+1，kt≤Yt，（66）其中Ysolves BSDE(-F-, -ztrθ-2α|θ|），即Yt=-F-+ZTt公司(-Ztrsθs-2α|θs |）ds-ZTtZtrsdBs，t∈ [0，T]，（67）andY求解BSDE（F+，α| z |），即Yt=F++ZTtα| Zs | ds-ZTtZtrsdBs，t∈ [0，T]。（68）例行检查Y和Y是否都有明确的表达式yt=-公式θF-+ZTt2α|θs | ds | Ft;Yt=αln E[EαF+| Ft]，其中Qθ是（17）中给出的MLMM。接下来，我们传递到（65）中的极限。由于解Yn，kis仅为locallybounded，我们需要应用[5]中介绍的本地化方法（另请参见[6]）。对于整数j≥ 1，我们引入以下停止时间τj=inft型∈ [0，T]：最大{Yt，-Yt}>j∧ T、 然后（Yn，kj（T），Zn，kj（T））：=（Yn，kt∧τj，Zn，kt{t≤τj}），t∈ [0，T]，satis fiesyn，kj（T）=Fn，kj+ZTt{s≤τj}f（s，Zn，kj（s））ds-ZTt公司Zn，kj（s）trdBs，（69）其中Fn，kj=Yn，kj（T）=Yn，kτj。对于固定j，Yn，kj（·）在n中不减，在k中不减，而它仍以j为界。因此，设置Yj（T）=infksupnYn，kj（T），根据终端数据有界的二次BSDE的稳定性（见[5]中的引理3或[6]中的引理2]），存在Zj（·）∈ 姆苏契林克→∞画→∞Zn，kj（·）=Zj（·），单位为M，且（Yj（·），Zj（·））满足度Yj（t）=Fj+Zτjtf（s，Zj（s））ds-Zτjt（Zj（s））trdBs，（70），其中Fj=Yj（T）=infksupnYn，kτj。我们现在发送j→ ∞ in（70）。遵循与[5]第4节相同的论点（另见[6]第2节），我们推断出存在（Y，Z），因此Y是一个连续的过程，Z∈ L[0，T]和Limj→∞支持∈[0，T]| Yj（T）- Yt |=0，limj→∞ZT | Zj（t）- Zt | dt=0，P- a、 此外，（Y，Z）满足BSDE（F，F）（参见（8））。为了完成存在性的证明，还需要证明解（Y，Z）保持在适当的空间中。引理23。

BSDE（F，F）的解（Y，Z）构建在满足上述条件的基础上epαY++ eεY-+ZT | Zs | ds< +∞, （71）其中p>1和ε>0在（4）中给出。此外，如果E[ep′F |]<+∞ 对于任何p′≥ 1，则为“ep′αY+ZT | Zs | dsp′/2#<+∞. （72）证明。首先，极限过程（Y，Z）的构造意味着Z∈ L[0，T]，此外，通过不等式（66），它还认为Yt≤年初至今≤年初至今。因此，利用Yt的上界，我们得到了epαY+t≤E[EαF+| Ft]p、 反过来，Doob不等式进一步简化了[epαY+] ≤ E“支持∈[0，T]E[EαF+| Ft]p#≤聚丙烯- 1.pE[epαF+]<+∞, （73）表示eαY+∈ Sp.证明eεY-∈ S、 让我们确定q′>q>1。使用Y-t型≤ -Ytand Jensen\'sinequality我们推导出εq′Y-t型≤ 经验值εq′EQθF-+ZTt2α|θs | ds | Ft≤ 公式θ经验值εq′（F-+ZTt2α|θs | ds）|英尺.然后，H¨older不等式和θ的有界性进一步推广到εq′Y-t型≤ CE经验值εqq′（F-+ZTt2α|θs | ds）|英尺q≤ CE[Eεqq′F-|英尺]q、 反过来，根据Doob不等式，e[eεY-] ≤ CE“支持∈[0，T]E[Eεqq′F-|英尺]q′q#≤ Cq′q′- qq′/qE[eεF-] < +∞. （74）接下来，我们显示Z∈ M、 为此，在[4]（另见[5]和[6]）之后，我们引入uε（x）：=exp（εx）-εx-x为1ε≥ 0，并将It^o-Tanaka公式应用于uε（Y-t） 。接下来是ZT∧τεj{Ys≤0}u′ε（Y-s） | Zs |+u′ε（Y-s） f（s，Zs）ds=uε（Y-t型∧τεj）- uε（Y-) -Zt公司∧τju′ε（Y-s） dLs+Zt∧τεj{Ys≤0}u′ε（Y-s） ZtrsdBs（75），其中L是0级Y的本地时间，τεjis定义为τεj=inft型∈ [0，T]：Zt | u′ε（Y-s） Zs | ds>j∧ T、 自f（s，Zs）≥ -Ztrsθs-2α|θs |和u′ε（Y-s）≥ 0，我们有u′ε（Y-s） f（s，Zs）≥ -u′ε（Y-s） ε| Zs|- u′ε（Y-s）2ε+2α|θs |。通过选择函数uε（·），我们也得到了uε（Y-t型∧τj）≤eεY-t型∧τjε≤eεY-ε, -uε（Y-) ≤ 0，和-Rt公司∧τju′ε（Y-s） dLs公司≤ 因此，（75）f进一步屈服∧τεj{Ys≤0}u′ε（Y-s）- εu′ε（Y-s） | Zs | ds≤eεY-ε+ZT{Ys≤0}u′ε（Y-s） （2ε+2α）|θs | ds+Zt∧τεj{Ys≤0}u′ε（Y-s） ZtrsdBs。注意，u′ε（Y-s）- εu′ε（Y-s） =1和u′ε（Y-s）≤eεY-sε≤eεY-ε.

然后再接着是ZT∧τεj{Ys≤0}| Zs | ds≤ （ε+C）eεY-+Zt公司∧τεj{Ys≤0}u′ε（Y-s） ZtrsdBs，（76），因此，E[RT{Ys≤0}| Zs | ds]<+∞.类似地，将It^o-Tanaka公式应用于uα（Y+t），并使用f（s，Zs）≤α| Zs |，我们得到zt∧ταj{Ys>0}| Zs | ds≤αeαY+-Zt公司∧ταj{Ys>0}u′α（Y+s）ZtrsdBs，（77），反过来，E[RT{Ys>0}| Zs | ds]<+∞.接下来，我们显示eαY∈ Sp′和Z∈ Mp′表示任意p′≥ 1，表示任意阶的指数矩。关于Y的第一部分遵循（73）和（74）中相同的论点，因此我们只证明关于Z的第二部分。

为此，我们发送j→ ∞ 在（76）和（77）中，加上两个不等式，Zt | Zs | ds≤ （ε+C）eεY-+αeαY++ 支持∈[0，T]Zt公司{Ys≤0}u′ε（Y-s）- 1{Ys>0}u′α（Y+s）ZtrsdBs公司.因此，存在一个常数K>0，使得e“ZT | Zs | dsp′/2#≤ KE[ep′εY-] + E[ep′αY+]+E“支持∈[0，T]Zt公司{Ys≤0}u′ε（Y-s）- 1{Ys>0}u′α（Y+s）ZtrsdBs公司p′/2#！对于任何p′≥ 接下来，我们将B-D-G不等式应用于上述不等式中的最后一项，并得到（常数C在各行之间变化的w）KE“supt∈[0，T]Zt公司{Ys≤0}u′ε（Y-s）- 1{Ys>0}u′α（Y+s）ZtrsdBs公司p′/2#≤ CE“ZT（| u′ε（Y-s） |+| u′α（Y+s）|）| Zs | dsp′/4#≤ CE“ep′εY-+ ep′αY+ZT | Zs | dsp′/4#≤E“ZT | Zs | dsp′/2#+CE[ep′εY-+ ep′αY+].因此，E[（RT | Zs | ds）p′/2]<+∞, 我们总结了证据。最后，将在下面定理14的证明中建立BSDE（8）解的唯一性，作为解Y的凸对偶表示的推论。4.2定理14对任意q的证明∈ A.F[0，T]，我们定义qt：=EQqF-ZTtf公司（s、qs）ds英尺,由于容许集A中的可积性条件，它是有限的F[0，T]。请注意，Yqt-Rtf公司（s，qs）ds，t∈ [0，T]是Qq下的一致可积鞅，类似于[22]第5.8章中的参数，它源自鞅表示定理（在{Ft}T下≥0）thatYqt-Ztf公司（s、qs）ds=F-ZTf公司（s、qs）ds-ZTt（Zqs）trdBqs，（78）对于某些Rm值可预测密度过程Zq∈ L[0，T]，其中Bqt：=Bt-Rtqsds，t∈ [0，T]是一个m维布朗运动。另一方面，我们在QqasYt=F+ZTt下重写BSDE（8）f（s，Zs）- Ztrsqs公司ds公司-ZTtZtrsdBqs，t∈ [0，T]。

（79）对于整数j≥ 1，我们引入以下停止时间τj=inft型∈ [0，T]：最大{Zt | Zu | du，Zt | Zqu | du}>j∧ T、 所以两个人·∧τjZtrsdBqsandR·∧τj（Zqs）trdbqs是Qq下的鞅。将（78）和（79）结合起来，并取关于FtgiveYt的条件期望- Yqt=EQqYτj- Yqτj+Zτjtf（s，Zs）- Ztrsqs+f（s、qs）ds公司英尺.通过（28），我们推导出，对于任何q∈ A.F[0，T]，F（s，Zs）- Ztrsqs+f（s、qs）≥ 0和thusYt- Yqt公司≥ EQqhYτj- YqτjFti。（80）注意Yτj→ F，Yqτj→ F，Qq-a.s.，和Yqis在Qq下是一致可积的，所以我们只需要证明Y在Qqin阶下是一致可积的，从而达到（80）中的极限。为此，我们回顾eαY+∈ SpandeεY-∈ S（参见定理5）。然后，将不等式（13）应用于LqTY+（p替换为pα）和LqTY-（用ε代替p），我们得到qq[Y] ≤ E[L数量+] + E[L数量-]≤E[LqTln LqT]pα-E[LqT]lnpαpα+E[epαY+]+E【LqTln LqT】ε-E[LqT]lnε+E[EεY-] < +∞. （81）因此→ ∞ 在（80）中，我们得出结论Yt≥ 任何q的YQT∈A.F[0，T]。为了证明等式，我们设置qs∈ fz（s，Zs），用于s∈ [0，T]。然后，（29）表示f（s，Zs）- Ztrsq公司s+f（s、q*s） =0，（82），从中我们得到Yt=Yqt、 对于t∈ [0，T]。还有待证明q∈A.F[0，T]，它建立在下面的引理中。引理24。最佳密度过程q∈ A.F[0，T]。证据我们首次展示q∈ L[0，T]。I ndeed，回忆f（t，z）处的th≤α| z |，我们得到了f的下界（t，q），对于（t，q）∈ [0，T]×Rm，f（t，q）≥ ztrq公司- f（t，z）≥ ztrq公司-α| z|≥|q | 2α，（83），取最后一个不等式中的z=q/α。依次，在（82）之后，f（s，Zs）=Ztrsqs- f（s、qs）≤ Ztrsq公司s-|qs | 2α≤|qs | 4α+α| Zs|-|qs | 2α，与f（s，Zs）一起≥ -Ztrsθs-|θs | 2α，我们进一步得到4α| qs|≤ α| Zs |+Ztrsθs+|θs | 2α。然后，断言指出Z∈ M L[0，T]和θ是有界的。接下来，我们展示LqT=ET（R·（qu） trdBu）h为有限熵。

为此，对于整数j≥ 1，我们引入以下停止时间σj=inft型∈ [0，T]：最大值经验值Zt | qs | ds,Zt | Zqs | ds> j∧ T、 所以Lq·∧σjis是P下的一致可积鞅。然后我们可以定义一个概率测度Qq关于FσjbydQqdP：=Lqσj和m维布朗运动Bqt:=Bt-Rtqudu，用于t∈ [0，σj]。根据σjand Bq的定义thatR公司·∧σj（Zqs） trdBq公司sis也是Qq下的amartingale.将不等式（13）应用于Lqσj（αYσj）给定σjαYσj]≤E[Lqσjln Lqσj]p-E[Lqσj]ln pp+E[epαY+] （84）（4）中给出的p>1。此外，使用事实Y=YqQq下的BSDE（78）, 韦奥布丹σjαYσj]=EQq[αYσj]=EQq[αYqσj]=EQqαYq+Zσjαf（u，qu） du+Zσj（Zqu） trdBq公司u≥ αY+EQqZσj | qu | du, （85）其中我们使用了f的下界（参见（83））中的最后一个不等式。最后，结合（84）和（85），观察gE【Lq】σjln Lqσj]=EQqZσj | qu | du,我们获得（1-p） E[Lqσjln Lqσj]≤ -αY-ln-pp+E[epαY+] < +∞.断言之后发送j→ ∞ 在上述不等式中，并使用Fatou引理。我们通过验证f和F在Qq下是集成的. 首先，f的下界in（83）yieldsEQqZTf公司（u，qu） 杜邦≥ EQqZT2α| qu | du≥ 另一方面，它来自Qq下的BSDE（78）事实上Y=Yq那就是QQZσjf（u，qu） 杜邦= EQqhYq公司σj- Yq公司我≤ EQq[是] - Y、 根据不等式（81）（q替换为q), EQq[是] < +∞,因此，我们验证了f的可积性. 同样，将不等式（13）应用于LqσjF得出F在Qq下是可积的:EQq[| F |]=E[LqTF+]+E[LqTF公司-]≤E[LqTln LqT] pα-E[LqT] lnpαpα+E[epαF+]+E[LqTln LqT] ε-E[LqT] lnε+E[EεF-] < +∞,证明是完整的。5结论在一般投资组合约束下，我们解决了具有无界支付的指数效用最大化问题。

这些结果随后被应用于无界支付的效用差异估值。由于非子空间投资组合约束的出现，传统的最小熵表示不再适用。利用具有无界终端数据的二次BSDE工具，我们得到了效用差异价格的一个新的凸对偶表示及其渐近行为。如果使用对应BSDE的另一层近似，则本文的结果也可以扩展到无界系数情况。我们为将来的研究留下了这样一个扩展。参考文献【1】Ba rrieu，P.和El Karoui，N.（2013）。二次半鞅的单调稳定性及其在无界一般二次BSDE中的应用。安。概率。41 1831-1863.[2] Becherer，D.（2003年）。持续绝对风险厌恶下综合风险的理性对冲和估值。保险：数学与经济学33（1）1–28。[3] Becherer，D.（2006年）。后向SDE的有界解，具有效用优化跳跃和差异对冲。安。应用程序。概率。16 2027–2054.[4] Briand，P.、Delyon，B.、Hu，Y.、Pardoux，E.和Stoica，L.（2003）。倒向随机微分方程的LPSolutions。随机过程。应用程序。108109–129.[5] Briand，P.和Hu，Y.（2006年）。具有二次增长和无界终值的BSDE。概率。理论相关领域136 604–618。[6] Briand，P.和Hu，Y.（20 08）。具有凸生成器和无界终端条件的二次BSDE。概率。理论相关领域141 543–567。[7] Carmona，R.（编辑）（2009年）。差异定价：理论与应用。普林斯顿大学出版社。[8] Cvitanic，J.、Ka ratzas，I.和Sone r，H.M.（1998）。具有增益过程约束的倒向随机微分方程。安。概率。261522-1551.[9] Davis，M.H.A.（1997年）。不完全市场中的期权定价。地址：Dempst er，M.A.H。

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