此外，根据^q（λ）s+λπ2γs的鞅性质，0≤ s≤ T，我们有：E[^q（λ）s]=^q（λ）（T，d）- x、 y）-λπ2γs为0≤ s≤ T固定d，x，y，然后让我们用‘s（λ）：=2γλπ^q（λ）（T，d）表示- x、 y），明确表示为：\'\'s（λ）=T+λπr（η，β）u+λ（r（η，β）δ-π)T+r（η，β）（d）- 十）- y1+（r（η，β）+ν）T2γ我们有以下情况：o\'s（λ）≤ 0和π>0：这可能出现在大的y，或d<<x，或r（η，β）δ<<π/2时。在这种极端情况下，dE[^X0，x，y，ds]ds=E[^q（λ）s]≤ 0换0≤ s≤ T，即e[^X0，x，y，ds]的轨迹，0≤ s≤ T在下降，这意味着代理人将“始终”销售电股，因为她利用高价格，以减少库存以接近需求，并且因为平均而言，需求的跳跃幅度远低于价格的正跳跃幅度\'s（λ）≤ 0和π<0：这可能出现在小y，或d>>x，或r（η，β）δ>>π/2时。在这种极端情况下，dE[^X0，x，y，ds]ds=E[^q（λ）s]≥ 0换0≤ s≤ T，即e[^X0，x，y，ds]的轨迹，0≤ s≤ T在增加，这意味着代理人将“始终”购买电力共享，因为她利用低价，以增加库存以接近需求，因为平均而言，价格的跳跃幅度远小于需求的跳跃幅度\'s（λ）≥ T和π>0：这可能出现在r（η，β）δ>>π/2，d>>x或小y的情况下。在另一个极端情况下，E[^X0，x，y，ds]的轨迹为0≤ s≤ T正在增加，这意味着代理人将“始终”以低价购买电力股份，以便在最终时间接近剩余需求\'s（λ）≥ T和π<0：对于r（η，β）δ<<π/2，d<<x或大y，可能会出现这种情况。

E[^X0，x，y，ds]的曲率，0≤ s≤ T在下降，这意味着代理人将“始终”以高价出售电力股份，以便最终接近剩余需求0<s（λ）<T：在这种常规情况下，对这两个子类进行评论是很有趣的：–如果π>0，则s 7的轨迹→ 对于s，E[^X0，x，y，ds]在增加≤ \'s（λ），然后随着\'s（λ）<s而减小≤ T这意味着代理人首先购买电力股份，以获得正价格上涨的好处（p+π+p时，其影响大于负价格上涨）-π-> 0），然后转售股份，以实现平衡关系（4.7）。-如果π<0，即负跳跃的影响大于正跳跃的影响：代理人开始出售电力股份，然后购买股份。4.2近似解我们回到初始最优执行问题，最终产量具有非负性约束，如第3.2节所述，我们使用近似策略，考虑（4.4）中导出的交易率^q（λ），以及截断的非负最终产量：~ξ（λ），*T:=^ξ（λ）T^ξ（λ）T≥0=^ξ+（Dt，Dt-^Xt，x，y，dT），其中^ξ（λ）t位于（4.5）中。

我们测量这一策略的相关性（^q（λ），^ξ（λ），*（T）∈ A×L+（FT）通过估计诱导误差：E（λ）（t，x，y，d）：=J（λ）（t，x，y，d；^q（λ），ξ（λ），*（T）- v（λ）（t，x，y，d），对于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，并测量值函数上的近似误差：E（λ）（T，x，y，d）：=v（λ）（T，x，y，d）- v（λ）（t，x，y，d）。命题4.2适用于所有人（t、x、y、d）∈ [0，T]×R×R×R，我们有0≤ E（λ）i（t，x，y，d）≤ηr（η，β）2βV（T- t） Ehψm（λ）（T）- t、 d- x、 y）+∑-,tTpV（T- （t）i（4.9）表示i=1，2，其中ψ，m，V在命题3.2中定义，m（λ）（t，d，y）=mt、 d，y+λπ- r（η，β）δT（4.10）+λr（η，β）δ- πr（η，β）+νht-2γr（η，β）+νln1+r（η，β）+ν2γti、 和∑-,tT=ZTtδ-（ν（T）- s） +2γ）+π-（T）- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN-s≤ 0，a.s.证明。根据与命题3.2相同的论点，我们得到了0≤ E（λ）i（t，x，y，d）≤ E（λ）（t，x，y，d）：=J（λ）（t，x，y，d；^q（λ），～ξ（λ），*（T）- J（λ）（t，x，y，d；^q（λ），^ξ（λ）t），对于i=1，2，and（λ）（t，x，y，d）=ηr（η，β）2βEhDt，Dt-^Xt，x，y，dTDt，Dt-^Xt，x，y，dT<0i，（4.11）对于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R。现在，回想一下（4.8）中的：d^q（λ）s=-λhπ2γ+r（η，β）δ- π（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γids+r（η，β）σd（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdBs-σ（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdWs+r（η，β）δ+- π+（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN+s+r（η，β）δ-- π-（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN-s、 我们直接用泊松过程N±来描述动力学。通过积分，我们推导出^q（λ）s，t的（路径依赖）表达式≤ s≤ T:^q（λ）s=^q（λ）T-λπ2γ（s）- t） +λr（η，β）δ- πr（η，β）+νln（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γ（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ+Zstr（η，β）σd（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdBu-Zstσ（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdWu+Zstr（η，β）δ+- π+（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdN+u+Zstr（η，β）δ-- π-（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdN-u、 其中^q（λ）t=^q（λ）（t- t、 d- x、 y）。

因此，我们得到了需求和库存之间最终价差的表达式：Dt，Dt-^Xt，x，y，dT=d- x+u（T）- t） +ZTtσddBs+ZTtδ+dN+s+ZTtδ-dN-s-ZTt^q（λ）sds=m（λ）（T- t、 d- x、 y）+ZTtσd（ν（T）- s） +2γ）（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdBs+ZTtσ（T- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdWs+ZTtδ+（ν（T- s） +2γ）+π+（T- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN+s+ZTtδ-（ν（T）- s） +2γ）+π-（T）- s） （r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdN-s、 （4.12）根据Fubini定理，其中m（λ）（t，d，y）：=d+ut- t^q（λ）（t，d，y）+λπ2γZtsds-λr（η，β）δ- πr（η，β）+νZtln（r（η，β）+ν）s+2γ（r（η，β）+ν）t+2γ在经过一些简单的计算后，ds显式地写成（4.10）中的形式。表示t、 x，y，Dt是Dt，Dt的连续部分-^Xt，x，y，dt包含在（4.12）的rhs中的三个第一项中，并通过∑+，tT，∑-,t由（4.12）的最后两项组成的跳跃部分，因此dT，dT-^Xt，x，y，dT=t、 x，y，dT+∑+，tT+∑-,我们注意到t、 x，y，dt遵循均值为m（λ）（t）的正态分布规律- t、 d- x、 y）方差V（T）- t） ，独立于∑±，tT。然后，条件是∑±，tT，Dt，Dt-^Xt，x，y，dTfollowsa平均值为m（λ）（T）的正态分布律- t、 d- x、 y）+∑+，tT+∑-,tT和方差v（T- t） ，这意味着从（4.11）可知：E（λ）（t，x，y，d）=ηr（η，β）2βV（t- t） Ehψm（λ）（T）- t、 d- x、 y）+∑+，tT+∑-,tTpV（T- （t）我≤ηr（η，β）2βV（T- t） Ehψm（λ）（T）- t、 d- x、 y）+∑-,tTpV（T- （t）i、 因为∑+，tT≥ 0a.s.和ψ是非递增的。关于近似误差的评论。让我们讨论一下（4.9）中上界的精度：\'E（λ）（T）- t、 d- x、 y）：=ηr（η，β）2βV（T- t） Ehψm（λ）（T）- t、 d- x、 y）+∑-,tTpV（T- （t）i、 首先，注意m（λ）（T- t、 d- x、 y）+∑-,tT~ m（T）- t、 d- x、 y）限制制度中的a.s.，其中- t归零，d- x或y进入单位。因此，根据支配收敛定理，\'E（λ）（T- t、 d- x、 y）在这些极限状态下收敛到零，就像在无跳跃情况下一样。

然而，我们不能像命题3.3的无跳跃情形那样导出渐近极限，除非∑-,tT=0，即δ-= π-= 我们得到了相同的渐近极限。实际上，在需求出现负跳跃的情况下，直觉上很明显，我们的近似值应该不如无跳跃情况下的准确，因为剩余需求保持在最终库存之上的概率正在降低。总之，显式策略（^q（λ），^ξ（λ），*T） 至少在这些限制条件下，仍能提供非常精确的最优策略近似值，如下一段所示。4.3数值结果我们绘制了一些相关量的轨迹，我们使用与第3.3.2段中相同的参数集模拟这些量：σ=1/60 e·（MW）-1·s-1/2，σd=1000/60 MW·s-1/2，β=0.002 e·（MW）-η=200E·（MW）-2，u=0 MW·s-1, ρ = 0.8, ν = 4.00 · 10-5e·（兆瓦）-2，γ=2.22e·s·（MW）-2，T=24小时，X=0，D=50000兆瓦，Y=50兆瓦-1.此外，我们确定了正跳跃的概率，p+=1（那么所有跳跃都是正的：p-= 0），以及跳跃分量的以下值：λ=1.5/（3600·24）s-1，π+=10e·（MW）-1，δ+=1500MW。对于这些参数值，我们观察到价格需求轨迹上出现两次跳跃。此外，概率P[^XT>DT]的上限为2.92×10-16，误差E（λ）（0，D- 十、 Y）以2.66×10为界-5e，和∧v（λ）（0，X，Y，D）=2020950e。执行策略（^q（λ），^ξ（λ），*T） 然后可以认为非常接近最优策略。这必须与前一节中在无跳跃情况下获得的数值结果进行比较，在这种情况下，我们获得了较低的预期总成本：~v（0，X，Y，D）=1916700e。图4表示交易率（^q（λ）t）t的演变∈[0，T]，我们看到它与命题4.1中的超鞅性质一致递减。

实际上，我们观察到（4.6）中的确定性部分，在时间上是线性的，支配着随机性部分。对该策略的解释如下：由于预期价格会出现正跳，代理人购买了大量电力股份，并希望由于可能出现正跳，之后以更高的价格出售。在图5所示的价格跳跃时间，我们注意到控制^q（λ）的反应是交易率的降低。对第二次跳跃的反应比对第一次跳跃的反应更为合理，因为它发生在最终水平T之前的很短时间内，目标也是实现价格和边际成本之间的平衡关系（4.7）。最后，我们在图6中清楚地观察到最优库存过程（^Xt）t轨迹的凹度∈[0，T），如备注4.1所述。这强调了代理人的双重目标：一方面，购买电力股份以获取正价格跳跃的利润，另一方面，转售电力股份以实现终端日期价格和边际成本之间的平衡关系。

我们还在图6上绘制了最终时间T的生产^ξ，并在无跳跃的情况下观察到平衡成本DT-^XT-^ξ为阳性。Cont r ol-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.00 10.00 00 20.00 300 300 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 600 00 700 00 800 00 00 90 00图4：交易率控制的演变受影响的价格4550556657575758000 000 000 300000 000 50000 50000 6 0000 7 0000 8 0000 90000图5：报价受影响价格和未受影响价格的模拟或y和最终产品对于ecast r esi双dem an D010000200000000000005000060000040000 50000 6 0000 7 0000 80000 90000图6：库存^X和预测剩余需求DNext的演变，我们用相同的参数集绘制轨迹，但p+=0.3（即p-= 0.7), π-= -10E·（兆瓦）-1, δ-= -1500兆瓦。平均来说，有更多的消极和积极的跳跃。现在，v（λ）（0，X，Y，D）=1756330e。图7显示交易率（^q（λ）t）t∈[0，T]在增加，这与命题4.1中的次鞅性质一致：（4.6）中的确定性部分支配随机部分。由于负跃迁比负跃迁更容易被预期，因此代理人首先出售大量电力股份，并希望稍后以较低的价格购买，因为可能发生跃迁，这主要是负跃迁。在这里，控制通过增加交易率来应对负价格上涨。最后，在图9中，我们观察到最优库存（^Xt）t轨迹的凸性∈[0，T）过程，如备注4.1所示。

我们还绘制了最终时间t的生产图。Cont r ol-0.50.00.51.01.52.00 10 00 00 200 000 000 3 000 000 4 000 000 5 00 00 00 0 6 00 0 7 00 00 0 8 000 0 900 00图7：受影响的交易率控制的演变图7：受影响的交易率控制的演变图30354045505 600 10000 30000 40000 50000 6 0000 7 0000 8 0000 90000图8：受影响的报价和未受影响的价格的模拟产品1对于ecast r esi d ual dem和-10000100002000030000400005000600000020000000200000002000000020000000200000002000000020000000200000002000000020000000200000002000000020000000200000002000000020000000200000002000000000020000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000∈ [0，T]，我们用v=vh表示关联的最优执行问题的值函数，如（2.9）中所定义，其中我们强调延迟h中的依赖性。我们的目的是展示如何在没有延迟的情况下将延迟问题简化为合适的问题，然后显式解决它。

我们将在不考虑需求预测和价格跳跃的情况下考虑这个问题，但同样的论点也适用于跳跃的情况。5.1带延迟的显式解决方案为了表示的简单性，在不丧失通用性的情况下，我们将重点讨论初始时间t=0和固定时间（x，y，d）的值函数vh（t，x，y，d）的推导∈ R×R×R.给定控制交易率q∈ A、 从动力学解的路径唯一性（2.1），（2.7），（2.8），我们观察到对于任何ξ∈ L（英尺）-h） :X0，xT+ξ=xT-h、 X0，xT-h+ξTa。s、 Y0，yT=yT-h、 Y0，yT-hT，D0，dT=dT-h、 D0，dT-hTa。s、 （5.1）为了减少符号，我们将省略固定初始条件（x，y，d）中的依赖性，并简单地写下x=X0，Xs，Ys=Y0，Ys，Ds=D0，Ds代表s≥ 对于（2.10）中的成本函数，vh=vh（0，x，y，d），J（0；q，ξ）=J（0，x，y，d；q，ξ）。根据条件期望和（5.1）中的塔特性，可以编写所有q的成本函数∈ A、 ξ∈ L（英尺）-h） ，as:J（0；q，ξ）=EhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+J（T）- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-Hq、 0）i（5.2）≥ EhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） i，通过定义（3.8）无生产最优执行问题的价值函数vnp，即纯零售商问题。由于q在A中是任意的，这表明：∈AJ（0；q，ξ）（5.3）≥ infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） 我，无论如何∈ L（英尺）-h） 。现在，考虑到q∈ A、 ξ∈ L（英尺）-h） ，让我们考虑交易率^qNP，ξin AT-纯零售商问题的解决方案：vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） ，因此从时间T开始- h来自库存XT-h+ξ。

通过考虑过程q∈定义：0的qs=qs≤ s<T- h、 对于T，qs=qNP，ξs- H≤ s≤ 然后我们从（5.2）中得到：J（0；q，ξ）=EhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） i，（5.4）与（5.3）等式一起证明：infq∈AJ（0；q，ξ）（5.5）=infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） 我，无论如何∈ L（英尺）-h） 。因此，vh=infq∈A、 ξ∈L+（英尺-h） J（0；q，ξ）可以写成：vh=infq∈A、 ξ∈L+（英尺-h） EhZT-总部Ys+γqs）ds+c（ξ）+vNP（T- h、 XT-h+ξ，YT-h、 DT-h） i.（5.6）换句话说，生产中存在延迟的原始问题被描述为一个没有延迟的最优执行问题，即具有最终地平线T- h、 终端代价函数：Ch（x，y，d，ξ）：=c（ξ）+vNP（T- h、 x+ξ，y，d）。从vNPin注释3.1的显式表达式中可以注意到，该代价函数chdoe不依赖于T，其形式为：Ch（x，y，d，ξ）=Ch（0，y，d）- 十、- ξ、 0）=c（ξ）+vNP（T- h、 0，y，d- 十、- ξ).（5.6）中q和ξ的优化分别进行：生产ξ∈ L+（英尺-h） 在时间T确定- h、 选择0的交易率（qs）后≤ s≤ T- h（引导至库存XT）-h） ，并根据T.处的优化a.s.最佳确定- hof终端成本Ch（XT）-h、 YT-h、 DT-h、 ξ）。然后由ξ以反馈形式给出*T-h=^ξh，+（DT）-H- XT-h、 YT-h） 式中，^ξh，+（d，y）：=arg minξ≥0Ch（0，y，d）- ξ、 0）=arg minξ≥0c（ξ）+vNP（T）- h、 0，y，d- ξ),因此，从vNPin注释3.1的表达式中明确给出：^ξh，+（d，y）=^ξh（d，y）1^ξh（d，y）≥0，^ξh（d，y）：=ηη+βh（νh+2γ）（uh+d）+hy（r（η，β）+ν）h+2γi.（5.7）然后将问题（5.6）重写为vh=infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+C+h（DT-H- XT-h、 YT-h） i，（5.8），其中c+h（d，y）：=Ch（0，y，d-^ξh，+（d），0）。注意，当h=0时，我们检索无延迟情况下的表达式：^ξ0、+=^ξ+in（3.1）、C+=C+in（3.3）和v=v in（3.2）。

与无延迟情况一样，与随机控制问题（5.8）相关的HJB方程没有明确的解决方案。然后我们考虑近似控制问题，其中我们放松了生产的非负性约束，即vh=infq∈A、 ξ∈L（英尺）-h） J（0；q，ξ）。因此，通过遵循上述相同的条件，相应的值函数被写为：~vh=infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+~Ch（DT-H- XT-h、 YT-h） i，（5.9）式中，Ch（d，y）：=Ch（0，y，d）-^ξh（d），0）。从^ξhin（5.7）和vNPin备注3.1的显式表达式来看，经过一些繁琐但简单的计算后，辅助终端成本函数chs可简化为：Ch（d，y）=v（T- h、 0，y，d）+Kh，其中，对于定理3.1中明确获得的无延迟辅助值函数，Kh是一个常数，仅取决于延迟h和模型参数，下一步给出Kh=ησ+σdν+2ρσdν（η+β）（η+ν）（r（η，β）+ν）h+γσ+σdη- 2ρσdη（η+ν）ln1+（η+ν）h2γ- γσ+σdr（η，β）- 2ρσdr（η，β）（r（η，β）+ν）ln1+（r（η，β）+ν）h2γ.我们可以很容易地检查h=0时的Kh=0，并且Kh随着h的增加而增加（实际上Khw.r.t.h的导数是正的），因此特别是Kh是非负的。插入到（5.9）中，wethen getvh=infq∈AEhZT-总部Ys+γqs）ds+~v（T- h、 XT-h、 YT-h、 DT-h） i+Kh。（5.10）因此，通过使用（3.4）中控制问题的动态规划原理，我们得到了这个显著的关系，即vh=~v+Kh，（5.11），它明确地将（近似）值函数与延迟和不延迟联系起来。正如从vh的定义中所预期的那样，这种关系意味着vh- ~vis非阴性，h值呈上升趋势。

这与我们的直觉是一致的，即在提前做出生产选择时，我们没有考虑价格和剩余需求的未来变动，因此，这将导致成本的平均正修正。更准确地说，关系式（5.11）通过Kh（不依赖于状态变量x、y、d）在各种模型参数的函数中给出了延迟影响的明确量化。

此外，还讨论了随机控制问题（5.10）在[0，T]上的最优控制- h） 由最优控制（^qs）0显式给出≤s≤T-hof问题在定理3.1中没有延迟。现在，让我们考虑以下策略（^qh，+，)ξh，*T-h）∈ A×L+（英尺）-h） 对于带有延迟的原始问题：o在T之前- h、 遵循交易策略^qh，+s=^qs，s<T- h、 对应于毫不延迟地解决辅助问题，就好像在时间t做出了生产选择，并导致库存^XT-h、 以及受影响的价格^YT-h、 o时间T- h、 选择生产数量：ξh，*T-h:=^ξh，+（DT）-H-^XT-h、 ^YT-h） .o在时间T之间-h和T，遵循交易策略^qh，+s=^qNP，^ξh，*T-hs，T-H≤ s≤ T，对应于没有生产的问题的解决方案，从T开始-H从清单^XT-h+~ξh，*T-h、 为了估计关于最优交易问题vh的这个近似策略的质量，用eh测量：=J（0；^qh，+，^ξh，*T-h）- vh，我们将其与以下策略（^qh，^ξhT）进行比较-h）∈ A×L（英尺）-h） ：o在T之前- h、 遵循交易策略^qhs=^qs，s<T- h、 对应于毫不延迟地解决辅助问题，就好像在时间t做出了生产选择，并导致库存^XT-h、 以及受影响的价格^YT-h、 o时间T- h、 选择“生产”数量（可以是负数）：^ξhT-h=^ξh（DT）-H-^XT-h、 ^YT-h） .o在时间T之间- h和T，遵循交易策略^qhs=^qNP，^ξhT-hs，T- H≤ s≤ T，对应于没有生产的问题的解决方案，从T开始-H从清单^XT-h+^ξhT-h、 然后，通过构造并遵循引申出vh表达式（5.11）的论点（具体见（5.4），（5.9），（5.10）），我们看到（qh，ξhT-h） 是vh的最优解，即vh=J（0；^qh，^ξhT）-h） 。

另一方面，因为≤ vh≤ J（0；^qh，+，^ξh，*T-h） ，我们推断出麦克斯（vh- ■vh，Eh）≤\'Eh:=J（0；^qh，+，^ξh，*T-h）- J（0；^qh，^ξhT）-h） 。现在，从J的表达式（5.4）和命题3.2的证明（见关系式（3.15）的推导）中相同的论点，我们得到了¨Eh=EhC+h（DT-H-^XT-h、 ^YT-h）-~Ch（DT）-H-^XT-h、 ^YT-h） i=EhvNP（T- h、 0，^YT-h、 DT-H-^XT-H-ξh，*T-h） +c（ξh），*T-h）- vNP（T）- h、 0，^YT-h、 DT-H-^XT-H-^ξhT-h）- c（^ξhT）-h） i=ηr（η，β）2β（r（η，β）+ν）h+2γ（η+ν）h+2γVh（T）ψm（T，d）- x、 y）pVh（T）式中，m和ψ的定义如（3.12）所示，vh（T）=ZThσs+σd（νs+2γ）+2ρσds（νs+2γ）（r（η，β）+ν）s+2γds。当h=0时，我们恢复了命题3.2中关于无延迟情况下错误的表达式，并注意到“eh”随着延迟的增加而减少：事实上，错误来自于在决定生产多少之前的交易过程，这是由辅助问题决定的，其中最终的“生产”可以是负数。T之后- h、 接下来的控制是最优的，因为在以后的某个日期仍然没有生产决策。生产决策前的时间越短，误差越小。让我们最后讨论（近似）最优交易策略^qh+的一些性质。回顾命题3.1，在nodelay情形下，最优交易率是鞅，我们通过构造（^qh，+s）0看到≤s≤T这是[0，T]上的鞅- h） [T]上的anda鞅- h、 [T]。

此外，对于任何∈ [T]- h、 T]和T∈ [0，T- h） 我们有^qh，+s|Ft= EE^qNP，ξh，*T-hs |英尺-H|英尺= E^qNP，ξh，*T-hT-高|英尺= Ehη（uh+DT）-H-^XT-H-ξh，*T-h）-^YT-h（η+ν）h+2γFti=Ehη（uh+DT）-H-^XT-H-^ξhT-h）-^YT-h（η+ν）h+2γFti+η（η+ν）h+2γEh^ξhT-H-ξh，*T-HFti=Ehr（η，β）（uh+DT）-H-^XT-h）-^YT-h（r（η，β）+ν）h+2γFti+η（η+ν）h+2γEh^ξhT-H-ξh，*T-HFti=E^qT-高|英尺+η（η+ν）h+2γEh^ξhT-H-ξh，*T-HFti=^qt+η（η+ν）h+2γEh^ξhT-h^ξhT-h<0Fti≤ ^qt=^qh，+t.（5.12），其中我们使用塔式规则来表示条件期望，鞅性质和qNP的明确表达式，^ξh，*T-注释3.1，^ξhT的定义-h、 定理3.1中的鞅性质和^q的显式表达式，以及^ξh，*T-h=^ξhT-h^ξhT-H≥0.这特别显示了^qh，+在整个周期[0，T]内的超马氏性。请注意，与（5.12）的推导相同的参数显示了与辅助问题vh相关的最优交易策略整个[0，T]期间的鞅性质。此外，利用^qh的鞅性质，+on[0，T]- h） ，和关系式（5.12），我们看到（近似）最优库存过程^Xh，+与交易率^qh，+平均有一个增长率[^Xh，+s]ds，它是分段常数，等于：E[^qh，+s]=（^q，对于0）≤ s<T- h^q（h）：=^q+η（η+ν）h+2γE^ξhT-h^ξhT-h<0< ^q代表T- H≤ s≤ T、 ^q=r（η，β））（uT+d-十）-y（r（η，β）+ν）T+2γ和^q（h）=^q-ηr（η，β）β（（η+ν）h+2γ）pVh（T）ψm（T，d）- x、 y）pVh（T）,式中|ψ（z）：=φ（z）- zΦ(-z） ，z∈ Ris是一个非负函数，如（3.17）所述。5.2数值结果我们绘制的图表显示了与第3.3.2节相同参数的相关轨迹。我们增加了一个延迟h=4小时：必须在交易期结束前4小时进行生产选择。

我们得到了vh（0，X，Y，D）=1925460e，这比v（0，X，Y，D）=1916700e的值稍高，没有延迟。在图10中，我们看到时间T- h、 正的生产选择∧ξh，*T-他的价格上涨了，然后我们继续在盘中市场购买股票，以便更接近预期需求，交易率的斜率更小。在图11中，它代表了没有最后一个交易小时的控制过程（因为波动会变得势不可挡），我们看到在日期T之后- h、 由于我们不打算再使用最终生产杠杆，随着我们接近交易时间的结束，近似最优控制过程^qh，+振荡很大。

我们可以与图1进行比较，以定性地断言，无生产问题中的控制比最终生产问题中的控制振荡更大，正如前一个问题一样，日内市场是寻求达到均衡的唯一途径。ecast r esi双需求100002000040000000600000200000000090000图10：库存的演变（在时间t时有生产选择）- h） 以及前庭的双重需求。100.150.200.250.300.350 10 00 0 2 00 00 30 00 0 4 00 00 500 00 6 00 70 000 80 00 90 00 0 0图11：交易利率控制的演变^qh+无最后一个hourA附录A。1定理3.1汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的证明由随机控制问题（3.4）相关的动态规划产生：~vt+infq∈RQ~vx+νq五y+u~vd+σ~vy+σd~vd+ρσd~vYd+q（y+γq）= 0，~v（T，x，y，d）=~C（d- x） =r（η，β）（d）- x） 。HJB中的argmin是为q（t，x，y，d）=-2γ~vx+ν~vy+y,HJB方程改写为：~vt+u~vd+σ~vy+σd~vd+ρσd~vYD-4γ~vx+ν~vy+y= 0，~v（T，x，y，d）=r（η，β）（d- x） 。（A.1）我们寻找HJB的候选解决方案，其形式为w（t，x，y，d）=A（t- t） （d）- x） +B（T）- t） y+F（t）- t） （d）- x） y+G（T）- t） （d）- x） +H（T）- t） y+K（t）- t） ，（A.2）对于一些确定性函数A，B，F，G，H和K。

通过对候选函数winto方程（A.1）的分析，我们发现w是HJB方程的解，而以下普通微分方程组（ODE）满足A、B、F、G、H和K：A+4γ(-2A+νF）=0B+4γ（2νB- F+1）=0F+2γ(-2A+νF）（2νB- F+1）=0G- 2uA+2γ(-2A+νF）(-G+νH）=0H- uF+2γ（2νB）- F+1）(-G+νH）=0K- 微克- （σB+σdA+ρσdF）+4γ(-初始条件为A（0）=r（η，β），B（0）=0，F（0）=0，G（0）=0，H（0）=0，K（0）=0。我们首先求解与三元（A，B，F）相关的Riccati系统，并得到：（A（t）=r（η，β）（νt+γ）（r（η，β）+ν）t+2γ，B（t）=-t（r（η，β）+ν）t+2γ，F（t）=r（η，β）t（r（η，β）+ν）t+2γ。（A.3）然后，我们求解一阶线性常微分方程组相对于偶（G，H），从而得到显式解：G（t）=2utA（t），H（t）=-2r（η，β）utB（t）。（A.4）最后，我们明确地从最后一个方程中得到K：K（t）=γσ+σdr（η，β）- 2ρσdr（η，β）r（η，β）+ν自然对数1+（r（η，β）+ν）t2γ+σdr（η，β）ν+2ρσdr（η，β）- σr（η，β）+νt+r（η，β）ut（νt+γ）（r（η，β）+ν）t+2γ。（A.5）通过构造，（A.2）中的w，由（A.3）-（A.4）（A.5）显式给出A、B、F、G、H和K，是HJB方程（A.1）具有二次增长条件的光滑解。此外，HJB方程中的argmin对于＠w是针对＠q（t，x，y，d）=-2γ ~wx+ν ~wy+y=r（η，β）（u（T）- t） +d- 十）- y（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ=：^q（t- t、 d- x、 y）。请注意，q是线性的，Lipschitz在x，y，d中，在时间t中是一致的，因此给定时间t的初始状态（x，y，d），存在唯一的解（Xt，x，y，d，y，d，Yt，x，y，d，Dt，d）t≤s≤有反馈控制的Tto（2.1）（2.7）-（2.8）^qs=^q（T- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds），其中满足：E[supt≤s≤T | Xt，x，y，ds |+| y，x，y，ds |+| Dt，ds |]<∞. 这尤其意味着E[RTt|qs|ds]<∞, 因此^q∈ 在我们现在调用一个经典的验证定理（参见。

[8]中的定理3.5.2，它表明w确实等于值函数v，且^q是最优控制。最后，一旦确定了最优交易率^q，就可以通过对ξ的优化得到最优产量∈ 终端成本的R（Dt，Dt-^Xt，x，y，dT，ξ），由以下公式给出：^ξT=ηη+β（dT，dT-^Xt，x，y，dT）。A.2定理4.1Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）积分微分方程的证明，该积分微分方程由与随机控制问题相关的动态规划产生，该问题在Y和D的动力学中具有跳跃：~v（λ）t+infq∈RQ~v（λ）x+νq~v（λ）y+u~v（λ）d+σ~v（λ）y+σd~v（λ）d+ρσd~v（λ）Yd+q（y+γq）+ λp+~v（λ）（t，x，y+π+，d+δ++p-~v（λ）（t，x，y+π）-, d+δ-) - ~v（λ）（t，x，y，d）= 0~v（λ）（T，x，y，d）=C（d- x） =r（η，β）（d）- x） 。请注意，对于无跳跃情况，HJB方程中还有一个线性积分微分方程（不依赖于控制），并且argmin在无跳跃情况下为＠q（λ）（t，x，y，d）=-2γ~v（λ）x+ν~v（λ）y+y.然后将HJB方程改写为~v（λ）t+u~v（λ）d+σ~v（λ）y+σd~v（λ）d+ρσd~v（λ）YD-4γ~v（λ）x+ν~v（λ）y+y+ λp+~v（λ）（t，x，y+π+，d+δ++p-~v（λ）（t，x，y+π-, d+δ-) - ~v（λ）（t，x，y，d）= 0v（λ）（T，x，y，d）=r（η，β）（d）- x） 。（A.6）我们再次寻找（A.6）的候选解，其形式为w（λ）（t，x，y，d）=Aλ（t）- t） （d）- x） +Bλ（T）- t） y+Fλ（t）- t） （d）- x） y+Gλ（T）- t） （d）- x） +Hλ（T）- t） y+Kλ（t）- t） ，（A.7）对于某些确定性函数Aλ，Bλ，Fλ，Gλ，Hλ和Kλ。

将候选函数w（λ）插入方程（A.6）中，我们可以看到，w（λ）是HJB方程的解，以下普通微分方程（ODE）系统由Aλ、Bλ、Fλ、Gλ、Hλ和Kλ满足：Aλ+4γ(-2Aλ+νFλ）=0Bλ+4γ（2νBλ- Fλ+1）=0Fλ+2γ(-2Aλ+νFλ）（2νBλ- Fλ+1）=0Gλ- 2uAλ+2γ(-2Aλ+νFλ）(-Gλ+νHλ）- λ（2δAλ+πFλ）=0Hλ- uFλ+2γ（2νBλ）- Fλ+1）(-Gλ+νHλ）- λ（2πBλ+δFλ）=0Kλ- uGλ- （σBλ+σdAλ+ρσσdFλ）+4γ(-Gλ+νHλ）-λ[（p+（δ+）+p-(δ-))Aλ+（p+（π+）+p-(π-))Bλ+（p+δ+π++p）-δ-π-)Fλ+δGλ+πHλ]=0，初始条件为Aλ（0）=r（η，β），Bλ（0）=0，Fλ（0）=0，Gλ（0）=0，Hλ（0）=0，Kλ（0）=0。我们首先求解与三元组（Aλ，Bλ，Fλ）相关的Riccati系统，这与无跳跃情况下相同，因此得到：Aλ=A，Bλ=B，Fλ=F，如（A.3）所示。然后，我们求解一阶线性常微分方程组相对于这对方程组（Gλ，Hλ），其中包含跳跃参数λ，π和δ，得到：Gλ（t）=G（t）+λr（η，β）t（πt+2δ（νt+2γ））（r（η，β）+νt+2γ，Hλ（t）=H（t）-λ(π - 2r（η，β）δt（r（η，β）+ν）t+2γ，其中G和H来自无跳跃情况（A.4）。最后，经过一些繁琐而直接的计算，我们从最后一个方程显式地得到了Kλ：Kλ（t）=K（t）+λγp+（π）+- r（η，β）δ++p-(π-- r（η，β）δ-)r（η，β）+ν自然对数1+（r（η，β）+ν）t2γ-λp+（（π+）- r（η，β）δ+（2π++νδ+）+p-((π-)- r（η，β）δ-(2π-+ νδ-))r（η，β）+νt+λr（η，β）2νδ+λ（（p+）δ+（π++νδ+）（p-)δ-(π-+ νδ-))r（η，β）+νt+λγr（η，β）r（η，β）δ+2νp+p-δ+δ-- （（p+）δ+π++（p-)δ-π-)（r（η，β）+ν）（r（η，β）+ν）t+2γt+2λγr（η，β）uδ（r（η，β）+ν）（r（η，β）+ν）t+2γT-λπ48γt+λp+p-r（η，β）2νδ+δ-+ δ-π++ δ+π-（r（η，β）+ν）t+2γt+4r（η，β）μλπ- λπ（r（η，β）+ν）t+2γt，K in（A.5）。因此，（A.7）中的函数w（λ）可以重写为（A.2）中的函数w与t，d的另一个函数之和- 是HJB方程（a.6）二次增长条件下的光滑解。

此外，对于q（λ）（t，x，y，d）=-2γ ~w（λ）x+ν ~w（λ）y+y=r（η，β）（u（T）- t） +d- 十）- y（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ+λr（η，β）δ（t- t） +π4γ（r（η，β）+ν）（t）- t） （r（η，β）+ν）（t）- t） +2γ=：^q（λ）（t- t、 d- x、 y）。再次注意，^q（λ）是线性的，并且在x，y，d中，Lipschitz在时间t中是一致的，因此给定时间t的初始状态（x，y，d），存在唯一解（^Xt，x，y，d，^Yt，x，y，d，Dt，d）t≤s≤具有反馈控制的Tto（2.1）-（4.3）-（4.1）^q（λ）s=^q（λ）（T- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds），其满意度为：E[supt≤s≤T | Xt，x，y，ds |+| y，x，y，ds |+| Dt，ds |]<∞, 参见[7]中的定理1.19。这意味着E[RTt|^q（λ）s|ds]<∞, 因此^q（λ）∈ 在现在，我们调用跳变扩散过程随机控制的经典验证理论（参见[7]中的定理3.1），它表明w（λ）确实等于值函数v（λ），而q（λ）是最优控制。最后，一旦确定了最优交易率^q（λ），就可以通过ξ上的优化得到最优产量∈ 终端成本的R（Dt，Dt-^Xt，x，y，dT，ξ），由以下公式给出：^ξ（λ）T=ηη+β（dT，dT-^Xt，x，y，dT）。参考文献[1]R.A"id.电力衍生品。斯普林格简要介绍了量化金融。斯普林格·维拉格，2015年。[2] 阿尔姆格伦和克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3:5-392000。[3] A.本苏桑、P.伯特兰和A.布鲁斯特。风速建模季节方面的通用模型方法。《应用统计学杂志》，41（8）：1694-1707，2014年。[4] E.加尼尔和R.马德勒。平衡连续交易日内市场的预测误差。FCN WP 2/2014，RWTH亚琛大学商学院，2014年。[5] G.Giebel、G.Kariniotakis、R.Brownsword、M.Denhard和C.Draxl。风力发电的最新短期预测。文献综述。第二版。

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