日内电力市场中的最优交易问题

2022-5-7 08:38:05

日内电力市场中的最优交易问题*RenéA"id+Pierre GruetHuy"in Pham§2015年1月20日摘要我们考虑了日内电力市场环境下发电商的最优交易问题。其目的是最大限度地减少电力随机剩余需求所导致的不平衡成本，即客户的消费与可再生能源的生产。对于一个简单的线性价格影响模型和水旱准则，我们明确地获得了日内市场和火力发电的近似最优策略，并展示了交易率的一些显著性质。此外，我们还研究了需求预测和日内价格出现跳跃的情况，通常是由于风力发电预测的错误。最后，我们解决了火电生产中考虑延迟约束的问题。JEL分类：G11、Q02、Q40MSC分类：35Q93、49J20、60H30、91G80。关键词：最优交易，发电厂，日内电力市场，可再生能源，市场影响，线性二次控制问题，跳跃，延迟。*这项研究得到了FiME（能源市场金融研究中心）和“金融etDédevelopment耐用-量化方法”EDF-CACIB主席的支持。作者感谢EDF研发部门主管Marc Ringeisen对交易和日内市场的深入讨论。+EDF能源市场研究中心研发和财务部www.fime-lab.org，rene。edf的援助。frLPMA巴黎迪德罗大学数学系。巴黎迪德罗大学。fr§LPMA，巴黎迪德罗大学和CREST-ENSAE大学，pham at math。巴黎迪德罗大学。fr1简介作为对全球气候变化的响应，欧洲可再生能源的发展导致了日内电力市场的交易增加。

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2022-5-7 08:38:09

例如，欧洲能源交易所（EEX）对德国的交换量已从2008年的2太瓦时增长到2013年的25太瓦时。这一增长主要是由于风力发电的预测误差水平，这导致拥有大量风力发电份额的发电商比以往任何时候都更多地转向盘中市场，以调整其头寸，避免因失衡而受到惩罚。风能和太阳能可再生能源发电量的预测精度可能会因农业水平（本地预测与区域预测）和时间范围的不同而有很大差异。对于这个问题的全面调查，读者可以咨询Giebel等人[5]，并可能记住，六小时内风电场生产的误差预测均方根误差（RMSE）可以达到其装机容量的20%。许多不同的日内市场都经过了设计，并受到不同的监管。但是，在所有情况下，日内市场都会让发电商有可能在未来（比如）9到32小时内购买或出售电力（例如Epexpot的Frenchelicity市场）。这些交易可以在日前市场收盘后进行，也可以在日前市场的清算阶段进行。为了达到平衡目的，日内电力市场中的交易管理问题已经引起了文献的关注。Henriot[6]研究了日内市场如何帮助发电商在程式化离散时间模型中处理风力发电误差预测的问题。在他的模型中，发电商是一个风电生产商，她试图在日内市场上最小化采购成本，同时在预测产量和销售额之间保持平衡。

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2022-5-7 08:38:14

Henriot的模型考虑了风力发电商对日内价格的影响，采用了确定性逆需求函数，且日内价格不是风险因素。唯一风险因素来自风力发电的误差预测及其自相关性。Garnier和Madlener[4]在离散时间决策模型中研究了现在在日内市场达成交易和推迟交易之间的权衡，其中日内价格遵循几何布朗模型，风力发电误差预测遵循算术布朗运动。在他们的框架下，发电商应该不会对日内价格产生影响。流动性风险被视为在下一个交易窗口无法找到交易对手的可能性。在本文中，我们考虑一个发电商拥有一些可再生能源（如风能和太阳能）和热电厂（如煤炭、天然气、石油和核能），并且可以在日内市场上买卖能源。她的目的是最大限度地降低不平衡成本，即客户的需求与生产和交易的电力之间的差异，加上生产和交易成本所产生的成本。与发电量可以控制的火力发电厂相比，可再生能源发电受到不可控的影响或风险（风速、天气预报），然后被视为与需求一样的随机因素。然后我们将剩余需求称为需求减去可再生能源产生的能量。

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2022-5-7 08:38:18

因此，发电商的问题是，通过依靠其自身可控的热资产和日内市场，将剩余需求产生的不平衡成本降至最低。如[4]中所述，我们假设发电商可以获得在终端日期T满足的剩余需求的持续更新预测，并且该预测是随机演变的。此外，T时刻的日内交货价格也会随机变化，并与剩余需求预测相关。然而，与[4]相比，日内市场可用于优化目的。我们开发了一个模型，可以研究发电商如何利用剩余需求预测动态和日内价格动态之间的相互作用。正如Almgren和Chriss[2]在开创性论文中介绍的那样，我们的模型与最优订单执行问题有一些联系，然后在最近的文献中进行了大量研究，如调查论文[9]。在我们的背景下，与本文献相关的原始特征是考虑了随机需求目标和代理人使用其热电生产的可能性。这种与最优执行的联系是卓有成效的，因为它允许我们考虑到日内市场的几个特征，同时保持模型的可处理性足够高，以允许分析解决方案。因此，我们在日内市场交易时，通过对发电商产生的电价产生永久性和临时性的市场影响来考虑流动性风险。与最优执行问题一样，这种影响总是朝着相反的方向：当生产者出售时，价格下降，当她购买时，价格上升。

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2022-5-7 08:38:21

我们的设置是一个连续时间决策问题，代表了制作人在任何时候都可以达成交易的可能性，而不仅仅是在预先指定的窗口。此外，它足够一般，因为它允许我们研究纯零售商（无生产函数）、纯交易者（无需求承诺）和综合参与者（同时拥有客户和发电的参与者）的极限情况，无论大小。本文的主要目的是推导分析结果，为（近似）最优控制提供明确的解，从而对最优交易策略给出启发性的经济解释。为了实现这种分析的可处理性，我们必须对价格过程和剩余需求预测的动态以及成本函数做出一些简化假设，假设成本函数为二次型，即边际生产成本相对于生产水平的简单线性增长。我们首先考虑一个简单的模型，用于线性冲击的连续价格过程，以及由算术布朗运动驱动的需求预测，并在第一步中忽略使用火力发电厂时的生产延迟。然后，我们通过在生成层上放松非负性约束来研究辅助控制问题，我们能够得到显式解。分析了这种松弛约束引起的近似误差。在接下来的步骤中，我们将考虑更现实的情况，并研究两个扩展：（i）一方面，我们将剩余需求预测受到突然变化的影响，与风力或太阳能发电的预测误差有关，这可能非常重要，因为估计风速和预测天气的困难，请参见[3]。这一点通过需求过程的动态变化以及价格过程的变化形式化。

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2022-5-7 08:38:24

同样，我们能够得到明确的解决方案。实际上，推导所有这些分析结果的关键工具是对随机控制问题的线性二次结构的适当处理。（ii）另一方面，我们在生产过程中引入了自然延迟约束，并展示了如何通过适当地减少到一个没有延迟的问题来显式地解决最优决策问题。我们的（近似）最优交易策略呈现出一些显著的特性。当日内价格过程是鞅过程时，最优交易率继承了鞅性质，这特别意味着电力股的净头寸平均具有恒定增长率。此外，最优策略包括在每一时刻使预测边际成本等于预测日内价格。这种属性遵循了盘中交易者的普遍感觉。因此，如果生产商在前一天进行了销售或采购，使其预测的边际成本等于前一天的价格，并且如果日内价格的初始条件是前一天的价格，则平均而言，生产商的预期交易率为零。当需求预测和价格跟随跳跃过程时，这一事实不再成立。在这种情况下，最优交易率是一个上鞅还是一个下鞅，取决于价格过程中正、负交易的相对概率和大小。因此，与无跳跃的情况相反，发电商可能需要一个非零的初始交易率，即使她在前一天进行了销售或购买，这样她的预测边际成本等于前一天的价格，并且如果日内价格的初始条件是前一天的价格。我们还明确量化了生产延迟对交易策略的影响。

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2022-5-7 08:38:28

当价格过程是鞅时，电力份额中的净库存平均呈线性增长，在生产决策时斜率（较小）发生变化。论文的大纲安排如下。我们在第二节中讨论了最优交易问题。在第三节中，我们研究了无延迟的最优交易问题。我们首先明确地解决辅助最优执行问题，然后通过特别关注误差渐近性，研究原始问题的近似解。我们用一些数值试验和模拟来说明我们的结果。我们在第4节将结果扩展到需求预测可能出现跳跃的情况。在第5节中，我们展示了如何将生产延迟的最优交易问题转化为一个没有延迟的问题，然后得到显式解。最后，附录收集了我们的解的显式推导，这些推导由验证定理证明。2问题公式我们考虑在日内能源市场上的代理人，该代理人必须保证给定时间T内的供需平衡：她必须通过在时间T的日内市场上购买/出售能源以及通过其火力发电来满足客户的需求。我们用XT表示t时的电力销售/购买净头寸≤ 对于终端时间T的交付，假设由时间T之前的绝对连续轨迹描述，并且由qt=˙Xt表示交易率：qt>0表示瞬时购电，而qt<0表示在时间T:Xt=X+Ztqsds，0时的瞬时售电≤ T≤ T

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2022-5-7 08:38:31

（2.1）考虑到交易率，交易发生时会对市场价格产生影响：Pt（q）=^Pt+Ztg（qs）ds+f（qt）。这里，（^Pt）是过滤概率空间上未受影响的日内电价过程(Ohm, F、 F=（英尺）t∈[0，T]，P），带有市场的部分随机性，遵循阿尔姆格伦和克里斯[2]的开创性论文中的术语，术语f（qt）指的是暂时的价格影响，而术语tg（qs）ds描述的是永久的价格影响。价格（^Pt）T可以被视为一个远期价格，实时变化，在时间T交货。然后，让我们用Y表示受代理人过去交易率q影响的日内电价，定义为：Yt:=^Pt+Ztg（qs）ds。我们假设Ytis是可观察和报价的，这意味着该代理实际上是一家大型发电商，其行为直接影响日内电价。代理人是小生产者的情况也可以通过简单考虑零永久冲击函数g来处理≡ 0.请注意，交易价格等于报价Y和临时价格影响的总和：Pt（q）=Yt+f（qt）。（2.2）剩余需求Dt是代理人客户的消费量减去终端日期T时可再生能源的产量，我们假设代理人可以获得持续更新的剩余需求预测（Dt）。为了尽可能接近目标需求DT，代理商可以以成本c（ξ）使用其热功率生产量ξ。在实践中，发电不能瞬间获得，需要延迟才能达到所需的生产水平。因此，应在时间T做出产生量ξ的决定- h、 h在哪里∈ [0，T]是延迟。

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2022-5-7 08:38:35

因此，对于受控交易率q=（qt）t∈ A、满足某些可积条件的实值F-适应过程集，其可积条件将在以后被精确化，生成量ξ∈ L+（英尺-h），非负FT集-h-可测随机变量，总成本为：ZTqtPt（q）dt+C（dt- XT，ξ）：=ZTqtPt（q）dt+c（ξ）+η（dt）- XT- ξ). （2.3）（2.3）中的第一项表示在初始电力市场交易中产生的总运行成本，最后一项，其中η>0，表示当终端日期T的电力销售/购买净头寸XT+ξ（包括成本c（ξ）下的生产量ξ）不满足有效需求DT时的二次惩罚。然后，代理的目标是最小化超过q和ξ预期总成本：最小化超过q∈ A、 ξ∈ L+（英尺-h） EhZTqtPt（q）dt+C（dt）- XT，ξ）i.（2.4）备注2.1 1）上述目标函数中的惩罚项是实际电力市场中有效惩罚过程的简化。例如，对法国电力市场失衡的惩罚既取决于电力系统失衡的迹象，也取决于失衡的价格（见[1，第2章，第2.2.1节]）。然而，正系数η抓住了活化过程的主要目标。代理人没有太长或太短的动机。2）在实际市场上，交易在交付日期前一段时间结束，在该时间，代理商需要确保均衡（例如，在法国电力市场上，延迟45分钟）。为了清晰起见，我们认为延迟是空的，因此我们的框架中没有包含这一实际事实。

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2022-5-7 08:38:37

没有数学上的推论：只要记住交付和生产并不是真的在T发生，而是在T加上一些延迟就足够了。3） η越大，代理人尽可能接近均衡供需的动机就越强。在极限情况下，当η变为单位时，代理人正式受限于有限的供给和需求。然而，当η=∞ 由于这种完美的平衡约束通常是不可能实现的，所以在数学上不是适定的。事实上，终端日期T的需求是随机的，通常通过阿加西噪声建模，具有有限变化的库存X可能会超过或低于终端日期T的需求DTP。因此，在XT>DT的情况下，由于生产量ξ本质上是非负的，即使没有延迟，也不可能实现平衡XT+ξ=DT。在续集中，我们定义η>0（可能很大，但有限），并研究随机控制问题（2.4）。4）优化问题（2.4）与阿尔姆格伦和克里斯[2]的开创性论文中研究的极限订单书中的最优执行问题有一些相似之处，并在文献中得到了许多作者的扩展，如调查论文[9]。主要区别在于，在股票的执行问题中，目标是购买或出售一定数量的股票，即导致Xt达到固定常数（正式意义是η变为单位），而在我们的日内电力市场环境中，目标是实现与随机需求DT的平衡，最终借助于生产杠杆ξ。然而，与恒定目标的情况相反，在存在随机目标的情况下，不可能完全实现平衡，这就需要引入上述惩罚因子η。

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2022-5-7 08:38:41

本文的主要目的是为优化问题（2.4）提供显式（或至少近似显式）解决方案，该解决方案易于从经济学角度进行解释，并允许测量模型各种参数的影响。为了实现这一目标，我们将使我们的建模尽可能接近随机控制的线性二次框架，并做出以下假设：能量生产成本函数为二次型：c（x）=βx，对于某些β>0。二次成本函数虽然简单，但表示边际生产成本随生产水平的增加而增加。备注2.2（纯零售商）在极限情况下，当β变为不确定时，意味着不确定的生产成本，这对应于代理从不使用生产杠杆，只通过解决最优执行问题在日内市场交易的框架：最小化超过q∈ A EhZTqtPt（q）dt+C（dt）- XT，0）i.（2.5）与Almgren和Chriss一样，我们假设价格影响（包括永久性和临时性）是线性形式，即对于某些常数ν，g（q）=νq，f（q）=γq≥ 0和γ>0。未受影响的日内电价被视为Abachier模型：^Pt=^P+σWt，（2.6），其中W是标准布朗运动，σ>0是正常数。这种假设乍一看似乎是一个缺点，因为它允许未受影响价格的负值。然而，在实践中，对于我们在几个小时内的日内执行问题，负面价格的发生概率微乎其微。鞅假设在市场影响文献中也是标准的，因为由于短线交易区间，漂移效应通常可以忽略。报价Y，受过去交易率q的影响∈ A、然后由动力学控制：dYt=νqtdt+σdWt。

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2022-5-7 08:38:44

（2.7）剩余需求预测的动态由ddt=udt+σddBt给出，（2.8），其中u，σd>0，B是与W相关的布朗运动：d<W，B>t=ρdt，ρ∈ [-1, 1].从（2.2）中，我们可以通过：v（t，x，y，d）：=infq定义与最优执行问题（2.4）的动态版本相关的值函数∈至少，ξ∈L+（英尺-h） J（t，x，y，d；q，ξ）（2.9）与J（t，x，y，d；q，ξ）：=EhZTtqs（Yt，ys+γqs）ds+C（Dt，Dt- Xt，Xt，ξ）i，（2.10）表示（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，其中At表示实值过程集q=（qs）T≤s≤Ts.t.qsis Fs和ERTtqsds]<∞, Dt，dis（2.8）的解从t处的d开始，并给出一个控制q∈ At，Yt，yde注意到（2.7）从yat时间t开始的解，Xt，xis是（2.1）从x时间t开始的解。在第一步中，我们将考虑生产中没有延迟的情况，然后在本文的最后一节中展示如何将延迟问题简化为节点延迟问题。我们还将研究剩余需求预测出现跳跃的情况。3生产中无延迟的最佳执行在本节中，我们考虑生产中无延迟的情况，即h=0。在这种情况下，我们注意到（2.4）中q和ξ的优化是分开进行的。实际上，生产量ξ∈ L+（FT）是在最终日期T，在决定交易率过程（qt）T之后选择的∈[0，T]达到（导致库存XT）。通过优化a.s.在终端成本C（DT）的T处确定- XT，ξ），因此通过ξ形成反馈形式*T=^ξ+（DT- XT）式中^ξ+（d）：=arg minξ≥0C（d，ξ）=arg minξ≥0βξ+η（d）- ξ)=ηη+βd1d≥0.（3.1）然后，问题（2.9）的值函数可以被重写为asv（t，x，y，d）=infq∈AtEhZTtqs（Yt，ys+γqs）ds+C+（Dt，Dt- 其中C+（d）：=C（d，^ξ+（d））=ηβη+βdd≥0+ηdd<0。

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2022-5-7 08:38:48

（3.3）和最优交易率q*通过求解（3.2）得出。由于C+中的指示函数是由生产量的非负性约束引起的，因此不可能得到问题（3.2）的显式解，即显式求解相关的动态规划Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。然后，我们将通过放松生产量上的符号约束来考虑一个辅助执行问题，对于这个问题，我们能够提供显式的解决方案。接下来，我们将看到如何根据这个辅助解析解导出原始问题的近似解，我们将评估误差，并通过数值测试说明这个近似解的质量。3.1辅助最优执行问题我们考虑在生产杠杆的非负约束上具有松弛性的最优执行问题，并由此引入辅助值函数v（t，x，y，d）：=infq∈A、 ξ∈L（FT）J（t，x，y，d；q，ξ），对于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R。通过与（3.2）的推导相同的参数，我们有＠v（T，x，y，d）=infq∈AEhZTtqs（Yt，ys+γqs）ds+~C（Dt，Dt）- Xt，Xt）i，（3.4）式中^ξ（d）：=arg minξ∈RC（d，ξ）=ηη+βd，~C（d）：=C（d，^ξ（d））=ηβη+βd=：r（η，β）d.（3.5）中的函数可以解释为降低成本的函数。

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2022-5-7 08:38:53

因为生产成本函数和惩罚都是二次函数，所以它们可以简化为一个单一的生产函数，其中不平衡由生产者内部化。通过利用随机控制问题（3.4）的线性二次结构，我们可以得到这个辅助问题的显式解。定理3.1（3.4）的值函数显式等于：~v（t，x，y，d）=r（η，β）（ν（t- t） +γ）（r（η，β）+ν）（t）- t） +2γ（d）- x） +2u（T）- t）（d）- 十）+T- t（r（η，β）+ν）（t- t） +2γ-y+r（η，β）u（T- t） y+r（η，β）（T）- t）（r（η，β）+ν）（t）- t） +2γ（d）- x） y+γσ+σdr（η，β）- 2ρσdr（η，β）r（η，β）+ν自然对数1+（r（η，β）+ν）（T）- t） 2γ+σdr（η，β）ν+2ρσdr（η，β）- σr（η，β）+ν（T）- t） +r（η，β）u（t- t）（ν（t）- t） +γ）（r（η，β）+ν）（t）- t） +2γ，用于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，最优交易率以反馈形式给出：^qs=^qT- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds, T≤ s≤ T^q（T，d，y）：=r（η，β）（uT+d）- y（r（η，β）+ν）t+2γ。（3.6）这里（^Xt，x，y，d，^Yt，x，y，d，Dt，d）表示使用反馈控制^q时（2.1）-（2.7）-（2.8）的解，从时间t的（x，y，d）开始。最后，最佳生产杠杆由以下公式给出：^ξt=^ξ（Dt，Dt）-^Xt，x，y，dT）=ηη+βDt，Dt-^Xt，x，y，dT. （3.7）提供证据。我们寻找（3.4）的二次型候选解：~w（t，x，y，d）=a（t- t）（d）- x） +B（T）- t） y+F（t）- t）（d）- x） y+G（T）- t）（d）- x） +H（T）- t） y+K（t）- t），对于一些确定性函数A、B、F、G、H和K。将此ansatz插入与随机控制问题（3.4）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程中，我们发现这些确定性函数应该满足一个可以显式求解的Riccati方程组。然后，通过一个经典的验证参数，我们用HJB方程中的argmax导出的最优反馈控制来检查这个ansatz＠w是否真的等于＠v。

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2022-5-7 08:38:57

证据的细节见附录。备注3.1（纯交易者）通过将β发送到值函数v和最优反馈控制^q表达式中的单位，并观察r（η，β）到η，我们得到了无杠杆生产的最优执行问题（2.5）的解：vNP（t，x，y，d）：=infq∈AEhZTtqs（Yt，ys+γqs）ds+C（Dt，Dt）- Xt，Xt，0）i（3.8）=η（ν（T）- t） +γ）（η+ν）（t- t） +2γ（d）- x） +2u（T）- t）（d）- 十）+T- t（η+ν）（t- t） +2γ-y+ηu（T）- t） y+η（T）- t）（η+ν）（t）- t） +2γ（d）- x） y+γσ+σdη- 2ρσdηη + ν自然对数1+（η+ν）（T）- t） 2γ+σdην+2ρσdη- ση + ν（T）- t） +ηu（t）- t）（ν（t）- t） +γ）（η+ν）（t- t） +2γ，用于（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，最优交易率以反馈形式给出：^qNPs=^qNPT- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds, T≤ s≤ T^qNP（T，d，y）：=η（uT+d）- y（η+ν）t+2γ。解读：1。时间s的最优交易率^qs∈ [t，t]由（3.6）以反馈形式给出，分为两个术语：第一个单数（η，β）（r（η，β）+ν）（t- t） +2γu（T）- s） +Dt，ds-^Xt，x，y，ds与交易率有关，以便跟踪需求趋势，并与剩余需求预测大于当前库存时的投资意愿有关。第二任期-（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ^Yt，x，y，ds代表报价对投资策略的负面影响：价格越高，代理人降低交易率的幅度越大，直到达到负值，这意味着电力股的转售。根据惩罚因子η、边际成本生产因子β、临时和永久性价格影响参数γ、ν和到期时间T，这些影响通过恒定分母项进行加权- t、二,。

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2022-5-7 08:39:01

通过引入边际成本函数：c（x）=βx，以及过程^ξs:=ηη+βDt，ds+u（T- （s）-^Xt，x，y，ds- ^qs（T）- （s）, T≤ s≤ T、它被解释为最终时间T的预测产量（最终产量的回忆表达式（3.7）），我们从最优交易价格的表达式中注意到，以下关系成立：^Yt，x，y，ds+νqs（T- s） +2γ^qs=c（^ξs），t≤ s≤ T.（3.9）这种关系意味着，在每一时刻，最佳交易率是使预测交易日价格加上边际暂时影响（左侧），这可以被视为时间T当日市场上的边际电力成本，等于预测边际生产成本。在这里，瞬时影响γ显示为购买或出售的边际成本，时间s的预测假设最优tradingrate^qs在s和T之间保持不变。我们通过指出一个显著的鞅性质来完成对最优交易率的描述。命题3.1最优交易率过程（^qs）t≤s≤锡（3.6）是一个鞅。证据通过将其公式应用于^qs=^q（T- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds），t≤ s≤ 由于^q在d和y中是线性的，我们有：d^qs=- ^qt+（u）- ^q） ^qd+ν^q ^qY（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）ds+ ^qd（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）σddBs+ ^qy（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds）σdWs，从^Xt，x，y，d，Dt，and^Yt，x，y，d的动力学（2.1），（2.8）和（2.7）。现在，从函数^q（t，y，d）的显式表达，我们看到- ^qt+（u）- ^q） ^qd+ν^q ^qy=0，所以：d^qs=r（η，β）σd（r（η，β）+ν）（T- s） +2γdBs-σ（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdWs，（3.10），表示所需的鞅性质。备注3.2回顾一下，在[2]中研究的经典最优执行问题中，最优交易率是恒定的。

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2022-5-7 08:39:04

我们在其框架中检索该结果，该框架对应于σd=0（恒定需求目标），β=∞ （没有生产），η=∞ （导致实现固定目标的限制），见备注2.1.4）。事实上，在这些极限状态下，我们从（3.10）中看到d^qs=0，这意味着{qs，t≤ s≤ T}是恒量。在我们的框架中，这被推广到最优交易率过程的鞅性质，这意味着最优库存{^Xt，x，y，ds，t≤ s≤ T}具有恒定的平均增长率，即dE[^Xt，x，y，ds]ds是常数，等于^q（T）给出的初始交易率- t、 d- x、 y）。由于该鞅性质，如果生产商在日前市场中已经满足关系（3.9），并且如果初始日内价格是日前价格，则日内市场的初始交易率将为零。因此，平均而言，她的tradingrate将为零。交易利率过程的鞅性质实际上与（2.6）中未受影响价格的马尔可夫动力学密切相关。正如我们将在第4节中看到的，我们考虑价格跳跃，使^P成为子鞅或超鞅，最优交易率将继承逆子鞅或超鞅性质。3.2近似解我们回到原始执行问题，生产量受到非负性约束。如上所述，由于终端成本函数C+的形式，在这种情况下没有明确的解决方案。然后，策略是使用显式控制，包括（3.6）中导出的交易率^q，以及截断的非负生产量：△ξ*T:=^ξT^ξT≥0=^ξ+（Dt，Dt-^Xt，x，y，dT），（3.11），并在（3.7）中从辅助问题中定义^ξTde。

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2022-5-7 08:39:07

换句话说，我们遵循从问题中确定的tradingrate策略^q，而不限制最终生产数量，如果最终库存^Xt，x，y，Dt低于终端需求Dt，则在终端日期使用生产杠杆，方法是选择与该分布Dt，Dt成比例的数量-^Xt，x，y，dT。本节的目的是测量这个近似策略（^q，^ξ）的相关性*（T）∈ 关于最优执行问题（2.9），通过估计诱导误差：E（t，x，y，d）：=J（t，x，y，d；^q，~ξ*（T）- v（t，x，y，d），代表（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R。我们还测量了值函数的逼近误差：E（T，x，y，d）：=v（T，x，y，d）- v（t，x，y，d）。注意，如果^ξT≥ 0 a.s.，即Dt，Dt≥^Xt，x，y，dTa。s、（这不是真的），所以*T=^ξT，那么显然（^q，^ξT）就是（2.9）的解，所以E（T，x，y，d）=E（T，x，y，d）=0。实际上，这些误差取决于事件的概率：{Xt，x，y，dT>dT，dT}，我们有以下估计：命题3.2适用于所有（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，我们有0≤ Ei（t，x，y，d）≤ηr（η，β）2βV（T- t） ψm（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）, i=1,2，（3.12），其中ψ（z）：=（z+1）Φ(-z）- zφ（z），z∈ R、 φ=Φ为标准正态分布的密度，m（t，d，y）：=（νt+2γ）（ut+d）+yt（R（η，β）+ν）t+2γ，（3.13）V（t）：=Ztσs+σd（νs+2γ）+2ρσds（νs+2γ）（r（η，β）+ν）s+2γds≥ 0.（3.14）证据。通过定义值函数v和v，回顾（q，ξT）是v的最优控制，以及自（q，ξT）以来*（T）∈ A×L+（FT），我们有：J（t，x，y，d；^q，^ξt）=v（t，x，y，d）≤ v（t，x，y，d）≤ J（t，x，y，d；^q，^ξ）*T），代表所有人（T，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R。这显然意味着误差EAN和Earenonnegative，以及max（E（T，x，y，d），E（T，x，y，d））≤ E（t，x，y，d）：=J（t，x，y，d；^q，~ξ*（T）- J（t，x，y，d；^q，^ξt）。现在我们关注E的上界。

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2022-5-7 08:39:11

通过定义J in（2.10），^ξ和^ξ*Tin（3.7）和（3.11），我们有（t，x，y，d）=EhC（Dt，Dt-^Xt，x，y，dT，^ξ*（T）- C（Dt，Dt）-^Xt，x，y，dT，^ξT）i=EhC（dT，dT-^Xt，x，y，dT，^ξ+（dT，dT-^Xt，x，y，dT）- C（Dt，Dt）-^Xt，x，y，dT，^ξ（dT，dT-^Xt，x，y，dT）i=EhC+（dT，dT-^Xt，x，y，dT）-~C（Dt，Dt）-^Xt，x，y，dT）i=ηr（η，β）2βEhDt，Dt-^Xt，x，y，dTDt，Dt-^Xt，x，y，dT<0i，（3.15）来自（2.3），（3.3）和（3.5）中C+和C的定义和表达。现在，从（3.10）开始，通过积分，我们得到了最优tradingrate控制的显式（路径依赖）形式：^qs=^qt+Zstr（η，β）σd（r（η，β）+ν）（T- u） +2γdBu-Zstσ（r（η，β）+ν）（T）- u） +2γdWu，t≤ s≤ T、带^qt=^q（T- t、 d- x、 y）。然后我们得到需求和库存之间的最终价差表达式：Dt，Dt-^Xt，x，y，dT=d- x+u（T）- t） +ZTtσddBs-ZTt^qsds=m（T- t、 d- x、 y）+ZTtσd（ν（T）- s） +2γ）（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdBs+ZTtσ（T- s）（r（η，β）+ν）（T）- s） +2γdWs，根据富比尼定理，m（t，d，y）：=d+ut- t^q（t，d，y），由^q的表达式（3.6）显式写成（3.13）。因此，Dt，Dt-^Xt，x，y，dt遵循均值为m（T）的正态分布规律- t、 d- x、 y）和方差V（T）- t） givenby（3.14），从（3.15）中，我们推导出e（t，x，y，d）=ηr（η，β）2βV（t- t） ψm（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）,而最终库存大于终端需求的概率为：PDt，Dt-^Xt，x，y，dT<0= Φ-m（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）. (3.16)误差渐近性。我们现在研究（3.12）E（T）中上界的准确性- t、 d- x、 y）：=ηr（η，β）2βV（T- t） ψm（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）.众所周知（参见[10]中的第14.8节）(-z）≤ φ（z），Z∈ R、（3.17）从中我们很容易看到ψ是非递增的，凸的，和ψ(∞) = 0.因此，\'E（T-t、 d- x、 y）对于较大的m（T）减小到零- t、 d- 十、y）还是小V（T- t）。

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2022-5-7 08:39:16

我们将研究三种极限情况下的渐近性（i）成熟时间T- t很小，（ii）初始需求差d- x较大，（iii）初始报价y较大。我们证明了误差界E（T- t、 d- x、因此，E（t，x，y，d），E（t，x，y，d）在这些极限状态下至少以指数收敛速度收敛到零：命题3.3（i）适用于所有（x，y，d）∈ R×R×R，当d>x时，我们有足够的支持-T↓0（T- t） ln’E（t）- t、 d- x、 y）≤ -D- xσd. （3.18）（ii）全体（t，y）∈ [0，T）×R，我们有-十、→∞（d）- x） ln’E（T）- t、 d- x、 y）≤ -M∞（T）- t） V（t）- t），（3.19）其中∞（t） =νt+2γr（η，β）+νt+2γ（iii）表示所有（t，x，d）∈ [0，T）×R×R，我们有→∞yln’E（T- t、 d- x、 y）≤ -N∞（T）- t） V（t）- t），（3.20）其中∞（t） =t（r（η，β）+ν）t+2γ。证据从（3.17）开始，我们有：0≤ ψ（z）≤ Z-1φ（z），z>0。注意，在三个渐近区域（i）（带d- x>0），（ii）和（iii），数量（T- t、 d- x、 y）是正的，因此我们有：\'E（T- t、 d- x、 y）≤ηr（η，β）2βV（T- t） m（t）- t、 d- x、 y）φm（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）. （3.21）（i）对于小到期日T- t、我们看到m（t- t、 d- x、 y）收敛到- x>0，而V（T- （t）~ σd（T）- t），即V（t- t） /σd（t）- t）收敛到1。从（3.21）可以看出- t变为零，误差界为E（t- t、 d- x、 y），至少以指数收敛速度收敛到零，即（3.18）给出的收敛速度。（ii）对于较大的需求差d- x、我们看到m（T- t、 d- x、 y）~ M∞（T）- t）（d）- x），即比率m（T- t、 d- x、 y）/m∞（T）- t）（d）- x） d时收敛到1- x进入实体。从（3.21）可以看出- x到单位，即误差界E（T- t、 d- x、 y），至少以指数收敛速度收敛到零，即（3.19）给出的收敛速度。（iii）对于大y，我们看到m（T- t、 d- x、 y）~ N∞（T）- t） y，即。

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2022-5-7 08:39:19

比率m（T- t、 d-x、是）/n∞（T）- t）当y进入单位时，y收敛为1。从（3.21）可以看出- x到单位，即误差界E（T- t、 d- x、 y）至少以指数收敛速度收敛到零，即（3.20）给出的收敛速度。理解回想一下（3.16）那篇文章Dt，Dt<Xt，x，y，Dt= Φ-m（T）- t、 d- x、 y）pV（T）- （t）,因此，遵循与上述证明相同的论点，我们有：（i）lim supT-T↓0（T- t） ln PDt，Dt<Xt，x，y，Dt= -D- xσd, （3.22）适用于所有（x、y、d）∈ R×R×R，d>x。我们观察到，rhs中（3.18）（或（3.22））的速率仅取决于需求波动率σ和初始需求分布- x、而且，它都是越大，σdis越小，d越大- x是。这意味着，一旦我们接近成熟期，终端需求将以非常高的概率高于最终库存，且需求波动性较低，最初大于库存，在这种情况下，明确的策略（^q，~ξ*T）非常精确地逼近最优策略（q*, ξ*T）。（二）林超德-十、→∞（d）- x） ln PDt，Dt<Xt，x，y，Dt= -M∞（T）- t） V（t）- t）（3.23）适用于所有（t，y）∈ [0，T）×R，在rhs中（3.19）（或（3.23））的比率都更大，电价和需求的波动率σ和σ越小。同样，我们的解释与渐近区域（i）中的解释相同，这意味着显式策略（^q，~ξ*T）非常精确地逼近最优策略（q*, ξ*T）在初始需求差较大且波动性较小的限制机制下。（iii）林素佩→∞yln PDt，Dt<Xt，x，y，Dt= -N∞（T）- t） V（t）- t）（3.24）表示所有（t，x，d）∈ [0，T）×R×R。

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2022-5-7 08:39:22

在初始报价较大的限制机制下，代理人有强烈的动机在日内市场上出售能源，这导致最终库存以高概率保持在最终需求之下，并导致非常准确的近似策略（^q，ξ）*T）。与案例（ii）一样，对于电价和需求的小波动率σ和σ，这种精度得到加强。3.3数值结果3。3.1数值测试我们通过一些数值测试，定量测量前一段中得出的误差范围的准确性。让我们确定以下参数值：σ=1/60 e·（MW）-1·s-1/2，σd=1000/60 MW·s-1/2，β=0.002 e·（MW）-η=200E·（MW）-2，u=0 MW·s-1,ν = 10-10e·（兆瓦）-2, γ = 10-10e·s·（兆瓦）-2和ρ=0.8。我们从初始时间t=0开始，零库存X=0，分别改变到期日t、初始需求和初始价格Y。我们计算最终库存超过最终需求P[^XT>DT]的概率、近似值函数v（0，X，Y，D）和误差界E（t，D）- 十、 Y）。当改变T时，结果在表1中报告；当改变Y.T（h）P[^XT>DT]~v（0，X，Y，D）（e）e（T，D）时，结果在表2中报告；当改变Y.T（h）P[^XT>DT]时，结果在表3中报告- 十、 Y）（e）1<10-161.88 × 10< 10-168 < 10-161.88 × 10< 10-1624 < 10-161.89 × 104.16 × 10-1250 7.72 × 10-131.90 × 102.48 × 10-表1:Y=50 e·（MW）-1和D=50000 Mw表1显示，对于小于T=24小时的到期时间，最终投资超过最终需求的概率非常小，因此误差范围可以忽略不计。

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2022-5-7 08:39:25

当时间范围增加时，代理人有可能随着时间的推移分散其交易策略，以减少价格影响，并购买更多能源，在这种情况下，最终库存超过需求的可能性增加。表2显示，最终库存超过最终需求的概率，以及误差范围对初始正需求的变化不太敏感。实际上，主要影响是由初始股价引起的，如表3所示。对于较小的初始电价Y，代理人将在日内市场购买更多的能源，生产更少的电力。

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2022-5-7 08:39:30

因此，库存将以更高的概率超过需求，在这种情况下，从表3中Y=20的误差范围可以看出，近似值函数可能与原始值函数存在显著差异。D（MW）P[^XT>DT]~v（0，X，Y，D）（e）~e（T，D- 十、 Y）（e）500<10-16-5.86 × 104.16 × 10-125000 < 10-16-3.62 × 104.16 × 10-1250000 < 10-161.89 × 104.16 × 10-12500000 < 10-162.44 × 104.16 × 10-12表2:T=24小时，Y=50 e·（MW）-1Y（e·（MW）-1） P[^XT>DT]~v（0，X，Y，D）（e）e（T，D）- 十、 Y）（e）500<10-162.51 × 10< 10-1650 < 10-161.89 × 104.16 × 10-1240 9.51 × 10-151.61 × 103.80 × 10-430 4.57 × 10-101.29 × 101.30 × 10-220 2.23 × 10-59.13×101.26×10表3：T=24小时，D=50000 MW3。3.2模拟我们绘制一些相关量的轨迹，我们用以下参数组模拟：σ=1/60 e·（MW）-1·s-1/2，σd=1000/60 MW·s-1/2，β=0.002 e·（MW）-η=100E·（MW）-2，u=0 MW·s-1, ρ = 0.8, ν = 4.00 × 10-5e·（兆瓦）-2，γ=2.22e·s·（MW）-2，T=24小时，X=0，D=50000兆瓦，Y=50兆瓦-1.对于此类参数值，概率P[^XT>DT]的上限为10-16，错误E（0，D- 十、 Y）以2.82×10为界-10e，和v（0，X，Y，D）=1916700e。执行策略（^q，^ξ）*T）然后可以认为非常接近最优策略。图1显示了交易利率控制（^qt）的演变∈[0，T]在（3.6）中针对给定的价格和需求轨迹得出，这与命题3.1中所示的鞅性质一致。图2模拟了有影响的报价^yt和未受影响的价格^Pt。由于购买策略，即正^q，我们观察到报价^Y大于^P。在图3中，我们绘制了最优库存（^Xt）t的演变∈[0，T），以及预测剩余需求（Dt）T∈[0，T]。

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2022-5-7 08:39:34

我们看到^x在增加，其增长率如备注3.2所述，看起来是恒定的。最后，如果^XT<DT（在我们的模拟中就是这种情况），代理使用她的生产杠杆^ξT，并实现最终库存：^XT+^ξT，由峰值时间T表示。根据^ξT的表达式（3.7），最终的不平衡成本等于toDT-^XT-^ξT=βη+β（DT-^XT），然后为正，如图3所示。cont r ol0。2 50.3 00.3 50.4 00.4 50.5 00.5 50.6 00 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000图1：交易利率控制的演变与it hout im pactPr i ce w it Impact4950515253545657580 10000 300000 60000 70000 80000 90000图2：报价受影响价格和未受影响价格的模拟。当前和最终的库存预测和剩余需求预测。4本节剩余需求预测的跳跃，我们考虑了剩余需求预测受可再生能源生产预测误差引起的预测变化影响的情况，这种预测误差可能更大。我们的目的是研究对上一节中获得的策略的影响，我们还将忽略火力发电厂生产的延迟。需求预测中的突然变化通过复合泊松过程NT=（N+t，N）建模-t） t≥0，强度λ>0，其中N+t是与需求预测的正跳相关的计数过程，其大小δ+>0，发生概率为p+∈[0,1]，而N-这是与需求预测的负跳跃相关的计数过程，其大小为δ-< 0，发生概率为p-= 1.- p+。我们用δ表示：=δ+p++δ-P-需求预测跳跃大小的平均值。

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2022-5-7 08:39:37

预测D的剩余需求的动态由以下公式给出：dDt=udt+σddBt+δ+dN+t+δ-dN-t、（4.1）其中我们针对（2.8）中的模型添加了一个跳跃组件。此外，一旦剩余需求预测出现跳跃，这将影响到日内电价，因为假设主要生产商可以访问整个更新的预测。因此，我们通过以下方式对未受影响的电价进行建模：^Pt=^P+σWt+π+N+t+π-N-t、（4.2）在（2.6）中，我们对Bachelier模型添加了一个大小为π+>0（分别为π）的跳跃分量-< 0）当剩余需求的跳跃为正（或负）时，这意味着更高（或更低）的需求会导致价格的上升（或下降）。Wedenote byπ：=π+p++π-P-日内价格跳跃大小的平均值。给定衰减率q∈ A、然后，报价Y的动态由dyt=νqtdt+σdWt+π+dN+t+π控制-dN-t、（4.3）考虑到泊松过程中突然变化的需求预测的简化模型，我们没有关于上一节中无跳跃情况的额外状态变量。然后，让我们用v=v（λ）（t，x，y，d）表示成本函数J=J（λ）（t，x，y，d，q，ξ）的最优执行问题（2.4）的价值函数，其中我们强调λ的依赖性，以考虑需求预测中的跳跃。上一节推导的无跳跃情况下的值函数表示为v=v（0）。在没有跳跃的情况下，由于对最终生产的非负约束，v（λ）没有显式解：我们将首先研究对最终生产没有符号约束的辅助执行问题，然后提供原始问题的近似解，估计诱导误差近似值，并提供一些数值说明。

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2022-5-7 08:39:41

我们通过关注跳跃分量的影响，将结果与无跳跃情况进行比较。4.1辅助最优执行问题与第3.1小节类似，我们考虑对最终生产没有非负性约束的最优执行问题，表示为v=~v（λ）（t，x，y，d）。在定理3.1中，对于没有跳跃的值函数v（0），我们对这个辅助问题有一个明确的解决方案。定理4.1辅助优化问题的值函数是通过以下方式明确给出的：v（λ）（t，x，y，d）=v（0）（t，x，y，d）+λr（η，β）（t- （t）π（T）- t） +2δ（ν（t）- t） +2γ）r（η，β）+ν（T）- t） +2γ（d）- 十）-λ（T）- （t）π - 2r（η，β）δr（η，β）+ν（T）- t） +2γy+λγp+（π）+- r（η，β）δ++p-(π-- r（η，β）δ-)r（η，β）+ν自然对数1+（r（η，β）+ν）（T）- t） 2γ-λp+（（π+）- r（η，β）δ+（2π++νδ+）+p-((π-)- r（η，β）δ-(2π-+ νδ-))r（η，β）+ν（T）- t） +λr（η，β）2νδ+λ（（p+）δ+（π++νδ+）（p-)δ-(π-+ νδ-))r（η，β）+ν（T）- t） +λγr（η，β）r（η，β）δ+2νp+p-δ+δ-- （（p+）δ+π++（p-)δ-π-)（r（η，β）+ν）（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ（T）- t） +2λγr（η，β）uδ（r（η，β）+ν）（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ（T）- （t）-λπ48γ（T- t） +λp+p-r（η，β）2νδ+δ-+ δ-π++ δ+π-（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ（t）- t） +4r（η，β）μλπ- λπ（r（η，β）+ν）（T）- t） +2γ（t）- t），表示（t，x，y，d）∈ [0，T]×R×R×R，最优交易率以反馈形式给出：^q（λ）s=^q（λ）（T）- s、 Dt，ds-^Xt，x，y，ds，^Yt，x，y，ds），t≤ s≤ T^q（λ）（T，d，y）：=T^q（0）（T，d，y）+λr（η，β）δT+π4γ（r（η，β）+ν）T（r（η，β）+ν）T+2γ=^q（0）（T，d+λδT，y+λπT）+λπ4γT，（4）式中，在需求预测没有跳跃的情况下，^q（0）是（3.6）中给出的最佳交易率。这里（^Xt，x，y，d，^Yt，x，y，d，Dt，d）表示使用反馈控制^q（λ）时（2.1）-（4.3）-（4.1）的解，从时间t的（x，y，d）开始。最后，最佳生产量由以下公式给出：^ξ（λ）t=η+βDt，Dt-^Xt，x，y，dT. （4.5）证据。见附录。理解

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