电力市场中凸壳价格的计算

nandehutu2022

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收藏 2022-04-28

英文标题：
《Computation of Convex Hull Prices in Electricity Markets with
  Non-Convexities using Dantzig-Wolfe Decomposition》
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作者：
Panagiotis Andrianesis, Dimitris Bertsimas, Michael C. Caramanis, and
  William W. Hogan
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  The presence of non-convexities in electricity markets has been an active research area for about two decades. The -- inevitable under current marginal cost pricing -- problem of guaranteeing that no market participant incurs losses in the day-ahead market is addressed in current practice through make-whole payments a.k.a. uplift. Alternative pricing rules have been studied to deal with this problem. Among them, Convex Hull (CH) prices associated with minimum uplift have attracted significant attention. Several US Independent System Operators (ISOs) have considered CH prices but resorted to approximations, mainly because determining exact CH prices is computationally challenging, while providing little intuition about the price formation rationale. In this paper, we describe the CH price estimation problem by relying on Dantzig-Wolfe decomposition and Column Generation, as a tractable, highly paralellizable, and exact method -- i.e., yielding exact, not approximate, CH prices -- with guaranteed finite convergence. Moreover, the approach provides intuition on the underlying price formation rationale. A test bed of stylized examples provide an exposition of the intuition in the CH price formation. In addition, a realistic ISO dataset is used to support scalability and validate the proof-of-concept.
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中文摘要：
近二十年来，电力市场中非凸性的存在一直是一个活跃的研究领域。在当前的边际成本定价下，保证没有市场参与者在日前市场中遭受损失是不可避免的问题，在当前的实践中，这一问题通过“全额支付”即“提价”来解决。为了解决这个问题，人们研究了其他定价规则。其中，与最低升力相关的凸面船体（CH）价格引起了人们的极大关注。几家美国独立系统运营商（ISOs）考虑了CH价格，但采用了近似值，主要是因为确定确切的CH价格在计算上具有挑战性，同时对价格形成原理几乎没有提供直觉。在本文中，我们将依赖Dantzig-Wolfe分解和列生成的CH价格估计问题描述为一种易于处理、高度并行和精确的方法，即产生精确而非近似的CH价格，并保证有限收敛。此外，该方法提供了有关基本价格形成原理的直觉。一个程式化例子的试验台提供了对CH价格形成中直觉的阐述。此外，还使用了一个真实的ISO数据集来支持可伸缩性并验证概念验证。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Computer Science 计算机科学
二级分类：Systems and Control 系统与控制
分类描述：cs.SY is an alias for eess.SY. This section includes theoretical and experimental research covering all facets of automatic control systems. The section is focused on methods of control system analysis and design using tools of modeling, simulation and optimization. Specific areas of research include nonlinear, distributed, adaptive, stochastic and robust control in addition to hybrid and discrete event systems. Application areas include automotive and aerospace control systems, network control, biological systems, multiagent and cooperative control, robotics, reinforcement learning, sensor networks, control of cyber-physical and energy-related systems, and control of computing systems.
cs.sy是eess.sy的别名。本部分包括理论和实验研究，涵盖了自动控制系统的各个方面。本节主要介绍利用建模、仿真和优化工具进行控制系统分析和设计的方法。具体研究领域包括非线性、分布式、自适应、随机和鲁棒控制，以及混合和离散事件系统。应用领域包括汽车和航空航天控制系统、网络控制、生物系统、多智能体和协作控制、机器人学、强化学习、传感器网络、信息物理和能源相关系统的控制以及计算系统的控制。
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一级分类：Economics 经济学
二级分类：General Economics 一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Electrical Engineering and Systems Science 电气工程与系统科学
二级分类：Systems and Control 系统与控制
分类描述：This section includes theoretical and experimental research covering all facets of automatic control systems. The section is focused on methods of control system analysis and design using tools of modeling, simulation and optimization. Specific areas of research include nonlinear, distributed, adaptive, stochastic and robust control in addition to hybrid and discrete event systems. Application areas include automotive and aerospace control systems, network control, biological systems, multiagent and cooperative control, robotics, reinforcement learning, sensor networks, control of cyber-physical and energy-related systems, and control of computing systems.
本部分包括理论和实验研究，涵盖了自动控制系统的各个方面。本节主要介绍利用建模、仿真和优化工具进行控制系统分析和设计的方法。具体研究领域包括非线性、分布式、自适应、随机和鲁棒控制，以及混合和离散事件系统。应用领域包括汽车和航空航天控制系统、网络控制、生物系统、多智能体和协作控制、机器人学、强化学习、传感器网络、信息物理和能源相关系统的控制以及计算系统的控制。
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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nandehutu2022

2022-4-28 14:31:10

使用Dantzig Wolfe分解Panagiotis Andrianesis，IEEE成员，Dimitris Bertsimas，IEEE高级成员Michael C.Caramanis和William W.Hogan计算非凸性电力市场中的凸壳价格大约20年来，电力市场中的非凸性一直是一个活跃的研究领域。在当前的边际成本定价下，保证没有市场参与者在日前市场中遭受损失是不可避免的问题，在当前的实践中，这一问题是通过整体支付（也称为提价）来解决的。为了解决这个问题，人们研究了其他定价规则。其中，与最低升幅相关的ConvexHull（CH）价格吸引了大量关注。几家美国独立系统运营商（ISOs）考虑了CH价格，但采用了近似值，主要是因为确定确切的CH价格在计算上是一个挑战，而对价格形成的基本原理几乎没有什么直觉。在本文中，我们将依赖Dantzig-Wolfe分解和列生成的CH价格估计问题描述为一种易于处理、高度并行化且精确的方法，即产生精确而非近似的CH价格，并保证有限收敛。此外，该方法提供了有关潜在价格形成原理的直觉。一系列程式化的例子展示了CH价格形成的直觉。此外，一个现实的ISO datasetis用于支持可伸缩性和验证概念验证。指数项凸壳定价，Dantzig-Wolfe分解，列生成，非凸电力市场。I.简介基于凸度假设下现货定价的边际成本定价[1]，[2]已成为有组织电力市场的标准做法。

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kedemingshi

2022-4-28 14:31:17

然而，在存在非凸性的情况下（主要是由于机组组合成本和技术约束，例如最低产量要求），来自受限凸子问题的边际成本定价不能保证解决方案的支持，因为市场参与者将其投标作为生产成本。对于经济高效的解决方案，可能没有市场结算价格。这个问题通常是通过向市场参与者提供“提升”附加付款来解决的，以使他们完整。在过去二十年中，主要受电力市场范式的推动，非凸性市场的定价吸引了大量关注。方法的范围从带有回收机制的标准边际成本定价（如[3]–[5]）到“最小化”、内部化，有时甚至消除提升的机制设计（如[6]–[9]）。美联社。安德里亚内斯和M.C.卡拉马尼斯在马萨诸塞州波士顿的波士顿大学工作：panosa@bu.edu, mcaraman@bu.edu.D.Bertsimas在麻省理工学院剑桥分校工作：dbertsim@mit.edu.W·W·霍根来自哈佛大学，马萨诸塞州剑桥，威廉hogan@hks.harvard.edu.部分由NSF AitF 1733827支持的研究。[9]对非凸成本市场中采用的定价规则进行了批判性审查。最近，联邦能源监管委员会（FERC）发起了一场关于价格形成的讨论[10]，几家独立系统运营商（ISOs）探讨了ConvexHull（CH）价格——首次在[7]中提出——及其近似值，通常称为扩展位置边际价格（ELMP）[10]–[14]。[7]中引入了CH定价，作为总成本函数的CH，即最接近于从下方逼近总成本函数的凸函数。

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kedemingshi

2022-4-28 14:31:23

它是通过拉格朗日二元化或CH弛豫等效得出的，即考虑单个分量的CH，如[7]中已经指出的，另见[15]中有趣的讨论。有趣的是，直到21世纪初，机组组合（UC）问题本身传统上是通过拉格朗日松弛（LR）来解决的，首先是通过垂直整合的公用事业公司，然后是在第一次市场化实施中“继承”LR解算器的ISOs（当时可能是唯一的商业选项）。利用Mixed Integer LinearProgramming（MILP）解算器的优势，2005年，PJM用MILP替换DLR，实现每年约5亿美元的成本节约；到2017年，美国所有的ISOs都改用了MILP，预计每年可节省超过20亿美元的成本[16]。目前，日前（DA）市场基于一系列安全约束的经济调度（SCUC）和安全约束的经济调度（SCED），然后在DA市场关闭后，采用等执行可靠性机组组合（RUC）流程。尽管在DA和实时设置（例如，[18]，[19]）中，随机和特殊优化文献[17]取得了进展，但UC问题在实践中仍然作为确定性问题得到解决。DA价格最终是通过在RUC流程之前（如PJM）或之后（如NYISO）通过固定单位承诺的定价运行获得的。SomeISOs通过放松快速启动单元的完整性约束，并使用ELMP作为CH prices的代理[11]，进而开发了ELMP。在[15]中，MILP UC问题的整数松弛（IR）被认为是一种简单的方法，可以产生（等效）拉格朗日对偶（LD）和CH松弛的良好近似（有时甚至是精确的），尽管它被称为“理想解”，但仍然具有计算上的限制性。有几项工作试图通过依赖两种主要方法来克服计算困难。

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kedemingshi

2022-4-28 14:31:29

早期的方法采用了次梯度法[20]–[24]，而alater和方法侧重于通过凸原始公式[25]识别单个发电机的CH，还包括交流最佳潮流设置[26]、扩展公式[27]–[29]、网络重新公式[30]和利用热发电机CH公式的进步的Benders分解[31]。尽管做出了上述努力，但CH价格实施的两个重要障碍仍然存在：（i）计算挑战，以及（ii）其属性的不透明性[13]。关于后者的一项有见地的工作[32]，使用代表性的例子来说明一些可以说是反直觉的价格属性。我们的目标是解决计算挑战，同时为CH价格形成提供直觉。我们的方法受到了解决其他应用领域大规模优化问题的相关经验的启发，尤其是机组调度[33]。运筹学的理论基础可以追溯到60年代，Dantzig和Wolfe[34]在广义线性规划（LP）、a.k.a.Dantzig-Wolfe（D-W）分解器列生成（CG）方面的开创性工作。D-W分解也可以被视为问题表征，使问题适合CG算法。作为LD的一种解决方法，广义DLP的关系也可以追溯到70年代——参见[35]，[36]。大约在同一时间，还提出了aCG过程来近似分段线性经济中的竞争平衡[37]。后来，大约在90年代，[38]关于“分支和价格”的工作——以及其他[39]的工作——将CG定位为巨大整数问题的强大解决方法，有两个常见的示例应用：广义赋值问题和crewscheduling。

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何人来此

2022-4-28 14:31:36

从那时起，CG已经成功地应用于大规模整数规划[40]，并且可能是航空业中唯一一个商业上可用的解决调度问题的选项。我们的分析借鉴了CH price的“第一原则”[7]，我们的主要关注点有两个方面。首先，在不改变任何原始函数或约束的情况下，我们给出了UC问题的DW特征，其LP松弛等价于原始MILPFORMELATION的LD解；然后，我们提出了一个CG算法来求解LPL松弛，并推导了CH价格。第二，我们说明了该方法的适用性：（i）在[32]中提供了对CH价格形成的直觉的程式化示例，（ii）在[29]中提供了一个更详细的斜坡约束示例，以表明我们的方法可以处理在没有重新表述UC问题的情况下无法实际解决的功能，以及（iii）一个具有大约1000个生成器的大规模ISO数据集[41]，从而阐明了潜在的可扩展性。将D-W表征和CG求解算法应用于CH定价问题提供了一个新的方向，这似乎是一个自然的结果，具有若干比较优势。它提出了一种易于处理、高度并行和精确的方法，即一种产生精确而非近似的CH价格的方法，并保证有限收敛。它还对价格形成提出了独特的经济学解释和直觉。这不是巧合；它起源于D-W分解的经济学解释及其与拉格朗日对偶的联系。

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大多数88

2022-4-28 14:31:42

这项工作确定了D-W分解与CHprices推导之间的关系，同时与CH prices的本质及其支持市场解决方案的“最小提升”的特性保持一致值得注意的是，提出的方法摆脱了复杂的扩展公式，可以直接处理单元特性和约束的现有MILP实现。它通过一个简单的“凸性约束”来塑造CH，同时将MILPCONSTRAITED单元的复杂性转移到小的子问题上。直接从D-WC特征的凸性约束推导出凸壳，而无需借助特殊情况下的单元规范公式，这是对迄今为止已知文献的独特贡献。因此，建议的方法是通用的，可以适应单位公式中的任何变化，而无需近似/简化。最后但并非最不重要的是，在大规模数据集中进行的初步计算实验尤其令人鼓舞，具有很高的实际实现潜力。论文的其余部分组织如下。第二部分，我们为一个程式化的UC问题定义了CH价格。在第三节中，我们提出了问题的D-W重新表述，并概述了CG求解算法。在第四节中，我们详细介绍了应用程序的样式化示例。在第五节中，我们讨论了所提出方法的比较优势，并在实际测试用例上演示了计算的可处理性。最后，第六部分总结并提出进一步研究的方向。二、对CH价格的描述为Fix理念，但在不丧失普遍性的情况下，我们假设Xi，t指的是时间段t的功率输出（调度间隔的能量）和Yi，t指的是机组i的离散变量（例如，开/关状态）。

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能者818

2022-4-28 14:31:48

让我表示发电单元的集合，T={1，2，…，T}表示时间段的集合，其中T是优化范围的长度。在下面的内容中，为了简单起见，我们将t称为一小时。为了简洁起见，有时也会滥用符号，我们使用xi，yi来表示单位i的向量，包括各自的变量xi，t，yi，t，T∈ T在更抽象的层面上，我们使用x和y作为向量，分别压缩变量xi，tand yi，t，我∈ 一、及T∈ T也可以用dt表示t小时的能量需求。一个基本的UC问题如下：minx，yf（x，y）=Xi∈Ifi（xi，yi），（1a）受以下约束：xi∈Ixi，t=Dt，T∈ T，（1b）（xi，yi）∈ 子，我∈ I.（1c）目标函数（1a）最小化所有机组的总投入和调度成本，fi（xi，yi）表示整个优化范围内机组I的各自成本，通常使用混合整数线性表示。约束（1b）表示所有小时的功率平衡；它们可以直接扩展到包括所有系统约束（例如，功率平衡、备用需求等，这些可以扩展到包含传输约束的线性表示。）约束（1c）表示实际市场实施中存在的所有适用机组特定约束（容量、坡道等），通常使用混合整数线性表示，以及y变量的完整约束，其中Z表示整个范围内机组i的约束集。我们用Zito来解释，原因很快就会显现出来。在这方面，约束（1c）为uniti确定了一个可行的时间表。这一点可能并不明显，但最后一句话无疑是我们分析的最重要和关键。

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何人来此

2022-4-28 14:32:02

等价地，在LD问题之后，CH价格可以被称为LD价格。需要注意的是，CH（或相当于LD）价格解决了LD问题，即定价问题，这与UC MILP问题不同（存在双重问题）。在定价问题中（这是在实际市场的定价过程中解决的，正如我们在介绍中提到的），我们只对获得价格（即λ）感兴趣，而不是数量（即x和y）感兴趣。后者（即数量）通过UC MILP问题的解获得。CH（或LD）价格指的是LD问题的解决方法（2）。如果它们精确地解决了LD问题，那么它们是精确的，这也意味着它们精确地识别了可行集的CH。如果他们近似地解决了LD问题，这也意味着他们近似地识别了可行集的CH。ELMP的当前实现并不是完全相同的价格。它们通常被认为是CH近似，但实际上它们是有限的IR实现。CH价格通常也被称为“最低升幅”价格。除了[32]中所述的“产品收入短缺”（PRS）之外，这种描述本质上是指将总机会损失成本（LOC）降至最低。为简洁起见，我们将讨论的重点放在LOC上，请读者参阅[32]了解PRS。值得注意的是，“提升最小化”与UC MILP问题（1）和LD问题（2）之间的对偶差距直接相关。补偿LOC，即使是因UC解决方案而导致的机组故障，也是一种防止自我调度不足的方法。更具体地说，给定价格λ，让我们用φi（xi，yi；λ）表示单位i的价格，其中：φi（xi，yi；λ）=Xt∈Tλtxi，T- fi（xi，yi）。（3）根据（1）的解，假设市场计划（xMi，yMi）和价格λ，单位i将获得φi（xMi，yMi；λ）。

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大多数88

2022-4-28 14:32:15

类似地，单元i的约束集由混合整数线性约束表示。这个问题可以通过商用的Milpsolver解决，它允许计算的可处理性。对单位进行特征化，对单位不做任何假设，对单位不做任何改变。我们不需要对特定类型的约束（如斜坡）进行任何特殊处理。我们使用的公式与当前在artUC实施状态下实施的公式完全相同。我们的分析基于这些事实（即，假设目标函数和约束的商业化最先进的混合整数线性表示），并要求集合是有界的，这适用于allunits。考虑UC问题（1）的一个等效公式，尽管可以说是“不寻常的”，在整个优化范围内，使用变量zito-Describe表示机组i的可行时间表，即zi:=（xi，yi）∈ 子。让我来∈ Nibe：一号机组可行计划的索引，包含在SET Ni中。考虑到UC公式（1），每个变量z[ni]i对应于一个特定的可行计划，用（^x[ni]i，^y[ni]i）表示，成本用^c[ni]i=fi（^x[ni]i，^y[ni]i）表示。同样地，可行的时间表也由^x[ni]i和^c[ni]i确定。我们将互换使用这两种表示法，以便于说明。根据上述内容，UC问题可以表示为：minzXi∈一、倪∈Nifi（^x[ni]i，^y[ni]i）z[ni]i，（6a）受制于：Xi∈一、倪∈Ni^x[Ni]i，tz[Ni]i=Dt，T∈ T，（6b）Xni∈Niz[ni]i=1，我∈ 一、（6c）z[ni]I∈ {0, 1}, 我∈ 一、倪∈ 镍。（6d）解决（6），考虑所有可行的计划，等同于解决（1）。目标函数（6a）等价于（1a）。约束（6b）表示权力平衡，与（1b）等价。

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nandehutu2022

2022-4-28 14:32:21

值得注意的是，fi（^x[ni]i，^y[ni]i）和^x[ni]i是皮重参数，因此，目标函数和约束在z[ni]i中都是线性的。约束（6c）要求选择一个由二元变量z[ni]i表示的精确可行计划。因为UC问题（1）的最优解，比如（^x）*i、 ^y*（一）∈ Zi本身就是候选可行解之一——用z表示*i、然后z*IOP临时解决问题（6），且（6a）的最佳目标函数值将等于（1a）的相应值。等价地，问题（6）可以被视为一个集合划分问题。乍一看，暴力解决（6）的努力似乎毫无希望，因为它不仅需要识别所有可行的计划，而且还需要解决一个巨大的整数问题—（6）是一个整数线性规划问题。我们澄清，我们不需要假设时间表的数量是有限的。证明可行集是有界的[36]。也就是说，我们自然地将（6）与D-W分解和CG联系起来——例如，参见[38]。然而，用CG解决一个大的UC问题似乎还没有希望——例如，见最近的研究[46]。幸运的是，我们提醒读者，我们的目标不是解决这个整数问题，而是LD（2）。考虑到这一点，我们回顾了一个可以追溯到70年代[35]的结果，即（6）的LP松弛解LD（2）；在[36]中也明确指出，广义LP——也称为DW分解——解决了对偶问题。换句话说，问题（6）的Lp松弛是UC问题的D-W表征——等价地表示为（1）或（6）——并解决UC问题的LD，其定价（双重化）系统约束。

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kedemingshi

2022-4-28 14:32:28

事实上，我们知道D-W分解器CG本质上是一种应用于LD的割平面方法[47]，我们发现它对我们的问题设置特别有指导意义，希望能增强对CH价格形成的直觉。为了清楚起见，让我们提供下面问题（6）的LP松弛。minzg（z）=Xi∈一、倪∈Nifi（^x[ni]i，^y[ni]i）z[ni]i，（7a）受制于：Xi∈一、倪∈Ni^x[Ni]i，tz[Ni]i=Dt，T∈ T，（7b）Xni∈Niz[ni]i=1，我∈ 一、（7c）z[ni]I≥ 0, 我∈ 一、倪∈ 镍。（7d）注意，将上限限制为z[ni]i≤ 1由（7c）执行。在[36]之后，问题（7）等价于LDP问题（2）；（7）的解也解（2）。CH定价的许多方法涉及对目标函数[15]形式的限制，或对UCP问题的重新表述，如动态规划特征[48]，[49]。D-W方法从一个自然公式开始，它不需要改变UC功能或约束。这使得UC问题的解决具有很大的灵活性。这种表示法允许我们描述完整的CH[50]。本质上，相同的公式适用于增量调度问题[38]。如果我们必须处理所有可行点的完整列表，计算问题将是压倒性的。

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kedemingshi

2022-4-28 14:32:34

但D-W方法提供了一种自然的CG技术，该技术使用子问题来产生实际中相对较少的可行点，并等同于描述CH弛豫的解决方案。直觉是，同样的方法也适用于UC问题，不需要对UC模型进行任何重新表述，但在相关的大型机组调度问题中观察到了计算可行性。LP问题（7）的解，即问题（6）的LP松弛，采用CG算法，进行如下操作。首先，考虑每个单元的可行计划子集，比如N（k）i Ni，其中k是一个迭代计数器，即N（k）i包含在迭代k处可获得的机组i的所有可行计划。使用这些计划，迭代k处的受限主问题（RMP），RMP（k）被公式化如下：RMP（k）：minzg（k）（z）=Xi∈一、倪∈N（k）i^c[ni]iz[ni]i，（8a）受制于：Xi∈一、倪∈N（k）i^x[ni]i，tz[ni]i=Dt，T∈ T→ λ（k）t，（8b）Xni∈N（k）iz[ni]i=1，我∈ 我→ π（k）i，（8c）与z[ni]i≥ 0, 我∈ 一、倪∈ N（k）i和λ（k）t，π（k）i，分别是对偶约束（8b），（8c）。我们澄清了问题（8）被称为“受限”是因为和“主问题”相比，它只包含一个子集的时间表，就像通常被封装的问题（7）一样。（8）中初始RMP的公式假设是可行的。事实上，这可以通过使用UC可行解填充初始RMP来轻松实现，例如，如果（1）的解在当时可用，则使用由该解导出的可行时间表。或者，我们可以在初始RMP中为每个单元填充一个简单可行的时间表，例如，考虑到该单元具有灵活性。

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nandehutu2022

2022-4-28 14:32:41

为了确保问题（8）存在可行的解决方案，我们可以在约束中引入松弛变量，并进行适当的惩罚，就像我们在UC MILP公式中使用松弛变量一样。CG在实践中也是标准的。然后，CG“生成”新的列（可行的时间表），并将它们添加到RMP，只要它们具有负的降低成本。可行计划（xi，yi）的降低成本rc（·）由以下公式给出：rc（k）i（xi，yi）=fi（xi，yi）-Xt∈Tλ（k）txi，T- π（k）i.（9）因此，在迭代k时，对于每个单元i，通过求解以下子问题，可以获得具有潜在负成本的可行计划：子（k）i:minxi，yih（k）i（xi，yi）=fi（xi，yi）-Xt∈Tλ（k）txi，T，（10a）受制于：（xi，yi）∈ Zi，（10b）我们去掉了常数项-π（k）If来自Objective函数。如果通过（10）的解得到的进度计划具有负的降低成本，则使用（9）计算——基本上是通过加回该项-π（k）为目标函数值h（k）i，然后将一个新列添加到与此计划对应的RMP中。再次求解RMP，当无法找到成本为负的新可行计划时，算法终止。值得注意的是，RMP中已经存在的进度计划不能有负的降低成本，因此，RMP中不能重复添加任何可行的进度计划。显然，我们并不总是能够在所有单元的每次迭代中找到负的降低成本计划；这就是我们没有使用上标（k）而不是[ni]作为可行时间表的原因。由于混合整数的存在，CG算法的有限收敛性得到了保证。关于初始化和松弛变量的使用，请参阅以下章节中的示例。目标函数fi（·）和约束集Zi的线性表示。

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nandehutu2022

2022-4-28 14:32:53

（8）中LP问题的标准对偶表示对偶的值-π（k）i表示机组i的代表性收益，通过RMP中的最优时间表选择计算，从而得出价格λ（k）。给定这些价格λ（k），如果机组可以通过自调度做得更好，那么我们有：φi（xSi，ySi；λ（k））>-π（k）i。因此，在这种情况下，自调度会导致负成本降低——参见（13）。当利润最大化问题（10）等价地（11）产生一个在所有机组的RMP中已经存在的可行计划时，该算法终止，这意味着对于CH价格，总地点最小化，并且达到LD的最优解。因此，在终止时，我们得出确切的CH价格，即确切解决LD问题的价格。我们请感兴趣的读者参考[36]，以获得该方法在更一般的情况下的收敛证明，而不是解决定价问题所需的收敛证明。四、关于程式化示例的说明本节使用[32]中的程式化示例作为有用的练习，其目的是（i）说明CG算法，以及（ii）通过D-W分解的镜头提供关于CH价格形成的直觉。我们请读者参考[32]，以详细讨论每个示例所示的CH priceproperties。A.示例1：两台发电机，1小时[32，示例1]G1和G2，在一个周期内为35 MW负载供电。G1在线，技术最低和最高分别为10兆瓦和50兆瓦，能源价格为50美元/兆瓦时。G2可以在线或在线，并以10美元/兆瓦时的价格提交50MW的整体报价。MILP配方如下：MILP:minx，x，yf=50x+10x，（14a）受制于：x+x=35，（14b）10≤ 十、≤ 50，（14c）x=50y，y∈ {0, 1}. （14d）本例只有一个可行解，G1提供35 MW，MILP目标函数值f*= $1750

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能者818

2022-4-28 14:32:59

其价格为每兆瓦时10美元，G1的定位码为1000美元。接下来，我们使用CG解决这个例子。考虑简单的初始计划：z[1]：^x[1]=10，^c[1]=500，以及z[1]：^x[1]=0，^c[1]=0。为了避免RMP不可行，我们在RMP能量平衡约束（8b）中引入松弛（deficit）变量s，并在目标函数（8a）中引入惩罚。假设平均值为1000美元/MWh，初始RMP如下：RMP（1）：minz[1]，z[1]，sg（1）=500z[1]+0z[1]+1000s，（15a）根据：10z[1]+0z[1]+s=35，→ λ（1），（15b）z[1]=1，→ π（1），（15c）z[1]=1，→ π（1），（15d）与z[1]，z[1]，s≥ 0.RMP（1）的解产生对偶λ（1）=1000，π（1）=-9500，π（1）=0。对于这些值，Sub（1）：min10≤十、≤50小时（1）=50倍- 1000x=-950x，收益率x=50，h（1）=-47500，rc（1）=h（1）- π(1)=-38000<0，因此z[2]：^x[2]=50，^c[2]=2500，其中sb（1）：minx=50y，y∈{0,1}h（1）=10x- 1000x=-990x，收益率x=50，y=1，h（1）=-49500，rc（1）=h（1）-π(1)= -49500<0，因此z[2]：^x[2]=50，^c[2]=500。TheRMP，在添加这两个新列后变成：RMP（2）：minz，sg（2）=500z[1]+0z[1]+2500z[2]+500z[2]+1000s，受制于：10z[1]+0z[1]+50z[2]+50z[2]+s=35，→ λ（2），z[1]+z[2]=1，→ π（2），z[1]+z[2]=1，→ π（2），带z[1]，z[1]，z[2]，z[2]，s≥ RMP（2）的解现在得到λ（2）=10，π（2）=400，π（2）=0。对于这些值，Sub（2）得到x=10，其中h（2）=400，rc（2）=h（2）-π（2）=0——注意，RMP中已经存在一个x=10的计划——而对于任何可行的计划，Sub（2）产生h（2）=0，rc（2）=h（2）- π(2)= 0. 由于没有找到负成本降低的可行计划，CG终止。CH价格为λ（2）=10美元/兆瓦时。RMP（2）的解是z[1]=1，z[1]=0.5，z[2]=0.5，目标函数的值是g（2）=g*= $因此，MIP和RMP之间的对偶差距是f*- G*= $1750-$750=1000美元，代表支付给G1的LOC（提升）。

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nandehutu2022

2022-4-28 14:33:07

请注意，在CH价格下，G1的最大利润将由x=10导出，而不是x=35，这是MILP发货数量。值得注意的是，当算法终止时，这个数量是G1子问题的最优解。另一方面，G2没有LOC，因为CH价格等于其成本。B.示例2：示例1有两个节点[32，示例2]该示例将示例1扩展到两个节点的设置。G1与节点1处的35 MW负荷并置，而G2位于节点2处，两个节点之间的输电线路的容量为10 MW。MILP公式如下（14），添加了变速箱约束：-10≤ 十、≤ 10.最佳解决方案保持不变（G1提供35 MW），输电线路沿线没有水流。然而，[32，Ex.2]显示，节点1的CH价格为50美元/MWh，节点2的CH价格为10美元/MWh，拥塞价格为40美元/MWh。考虑到上一个示例的初始计划，在不失去普遍性的情况下，只保留本示例中可能出现的一个方向，即x≤ 10，初始RMP遵循（15）添加传输约束：0z[1]≤ 10, -→ u(1).事实上，我们还应该包括一个松弛变量，类似于（15b），在目标函数中有一个适当的违反约束的代价，但为了简洁起见，我们省略了这个。由于传输约束在RMP（1）中未激活，因此会生成相同的列并将其添加到RMP（2）中，RMP（2）现在包括传输约束：0z[1]+50z[2]≤ 10, -→ u(2).RMP（2）对偶为λ（2）=50，u（2）=-40，π（2）=0，π（2）=0。G1子问题与前一个例子相同，rc（2）=0，而G2子问题的目标函数（现在包括传输约束Dual）由h（2）=10x给出- λ（2）x- u（2）x=10x-50x+40x=0。因此，rc（2）=h（2）- π（2）=0，且cG终止于前述CH价格。

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kedemingshi

2022-4-28 14:33:13

Rmp（2）的解为z[1]=0.625，z[2]=0.375，z[1]=0.8，z[2]=0.2，目标函数的值为g（2）=g*= $1350.因此，二元性缺口为400美元，代表由于10 MW输电线路沿线的阻塞价格而产生的PRS。C.示例3：示例1的启动成本[32，Ex.3]该示例将100美元的启动成本添加到示例1中，即f（x，y）=10x+100y，产生等于12美元/MWh的CH价格，对应于G2的平均成本。然而，唯一可行的解决方案是在35MW时调度G1，MILP目标函数值为f*= $1750.假设初始计划相同，因此RMP（1）对偶相同，我们得到z[2]：^x[2]=50，^c[2]=2500，以及z[2]：^x[2]=50，^c[2]=600。RMP（2）产生对偶λ（2）=12、π（2）=380和π（2）=0，对于这些对偶，找不到负的降低成本计划。RMP（2）（z变量）的解与例1相同，但目标函数的值现在为g（2）=g*= $800.因此，二元差距为950美元，也就是G1 LOC。D.示例4：2发电机，2小时（连接）[32，示例4]该示例考虑了2小时，负载为45和80 MW。G1保持不变，两个小时内都应该在线。G2的最低功率为25兆瓦，最高功率为35兆瓦，每兆瓦时的能量消耗为100美元，并且应在两个小时内在线或在线。

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mingdashike22

2022-4-28 14:33:20

MILP问题的公式如下：MILP:minx，yf=50x1,1+50x1,2+100x2,1+100x2,2，（16a）受制于：x1,1+x2,1=45，x1,2+x2,2=80，（16b）10≤ x1,1≤ 50, 10 ≤ x1,2≤ 50，（16c）25y≤ x2,1≤ 35岁，25岁≤ x2,2≤ （35D）16Y∈ {0,1}，（16e）产生x1,1=20，x1,2=50，x2,1=25，x2,2=30，y=1，MILP目标函数值为f*= $9000.跳过第一个CG步骤，最后一个RMP如下：RMP（3）：minz，sg（3）=1000z[1]+0z[1]+5000z[2]+7000z[2]+3000z[3]+6000z[3]+1000s+1000s，受制于：10z[1]+0z[1]+50z[2]+35z[2]+10z[3]+25z[3]+s=45，→ λ（3），10z[1]+0z[1]+50z[2]+35z[2]+50z[3]+25z[3]+s=80，→ λ（3），z[1]+z[2]+z[3]=1，→ π（3），z[1]+z[2]+z[3]=1，→ π（3），带z[1]，z[1]，z[2]，z[2]，z[3]，z[3]，s，s≥ 0.RMP（3）屈服阶λ（3）=50，λ（3）=135.714，π（3）=4285.714，π（3）=0，CG终止。RMP（3）的解为z[2]=0.339，z[3]=0.661，z[1]=0.143，z[3]=0.857，目标函数的值为g（3）=g*= $8821.429.因此，二元差距为178.571美元，代表G2 LOC。E.示例5：示例4，非链接小时[32，Ex.5]该示例考虑了之前的设置，但将其视为两个单周期问题。同样地，我们可以使用（16）并将（16d）–（16e）替换为：25y2,1来编写milp公式≤ x2,1≤ 35y2,1,25y2,2≤ x2,2≤ 35y2,2和y2,1,2∈ {0, 1}. CG以RMP（3）终止，产生对偶λ（3）=50和λ（3）=100，π（3）=-2500，π（3）=0，目标函数g（3）=g的A值*= $7750.因此，二元性差距为1250美元，代表G2 LOC。我们把这个例子留给感兴趣的读者作为练习。V.讨论和更现实的测试用例在本节中，我们将讨论所提出方法的比较优势，并继续进行更现实的测试用例。在V-A小节中，我们介绍了与其他方法的比较分析。我们用两个有代表性的例子来支持我们的分析。

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kedemingshi

2022-4-28 14:33:27

在第V-B小节中，我们回顾了[29]中提供的一个示例，包括坡道约束，以强调适应功能的便利性，长期以来，这些功能一直被认为是“有问题的”在V-C小节中，我们在一个ISO大小的FERC数据集[41]上测试了24小时的UC公式，其中包含大约1000个生成器，以说明可扩展性。A.D-W特征的比较分析与计算CH价格的两种主要方法（即次梯度法和扩展公式）相比，所提出的方法具有若干优势。第一种方法指的是解决拉格朗日对偶问题的初始尝试（例如[20]、[22]），是基于次梯度方法的，无可否认没有太大成功。可以说，由于众所周知的收敛困难，次梯度方法不太适合CHP定价问题。另一方面，D-W特性结合了许多优点。它保持了小个子问题的复杂性——就像拉格朗日松弛一样——但同时它塑造了CH，并具有收敛性保证。MILP约束可行集（具有多面体）保证有限收敛。第二种方法是指最近的工作（例如，[28]、[29]、[31]），旨在确定每个单元的CH的扩展公式和成本函数的凸斜率，以导出与系统约束相关的LP问题，其中与系统约束相关的参数产生CH价格。早期作品没有捕捉到显著的特征，因此产生了近似的描述。例如，长期以来，rampingconstraints一直被认为是“有问题的”，在这些公式中无法适应。因此，在确定斜坡约束发电机的扩展公式[48]、[49]或应用析取编程[32]以满足更一般的设置方面投入了大量精力。

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可人4

2022-4-28 14:33:33

正如相关著作所确认的，例如[28]，[31]，扩展公式，即使它们能够准确地描述特定类别的单元，它们也会导致LP问题，而这些问题（至少）在实际规模的市场中是无法解决的。为了解决这个问题，这些工作提出了迭代算法，从公式开始，在可能的情况下精确描述每个单元的CHO，并尽可能紧密地逼近剩余的CHO。近似值的严密性及其性能，即解的质量及其速度，都是经验问题，这取决于雇佣的公式、其CH表示的质量等。后一类工作的主要特点是，它们依赖于特殊类别单元的特定特征，以及在个案基础上的广泛重新表述。值得注意的是，实际的市场实施在单元特性和约束的建模和描述中包含了更多的复杂性和细节。因此，如此广泛的重新制定对其在商业产品中的实施造成了巨大的负担。它们还使新单元的修改/增加和/或限制变得复杂，因为它们需要进行重要分析，以评估其对价格的影响。此外，扩展公式似乎无法提供CHprice形成的直觉。提出的D-W特征作为CH定价问题的自然特征，在简单性、通用性和经济解释方面优于扩展公式。它提供了关于价格形成的独特直觉。它不需要任何单位约束或成本函数的重新表述。这些可以按“原样”使用，即按当前最先进的市场管理系统建模。

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可人4

2022-4-28 14:33:39

更重要的是，UCCH公式中的任何变化，例如增加新特征、新单位等，都可以直接整合到我们的CH定价问题公式中，这与迄今为止文献中要求逐案描述和/或近似的建议不同。所提出的方法是可推广的，独立于商业供应商对单位成本/约束的具体实施。这是一个重要的特性和比较优势，极大地促进了监管行动和利益相关者的接受。此外，它是一种易于处理的精确方法，具有有限收敛性。计算性能始终是一个经验问题。基于直觉的运筹学理论认为，该方法非常适合定价问题——事实上，直接的经济解释并非巧合。此外，在ISO规模的大规模数据集上进行的计算实验证实了这一直觉，并提供了令人鼓舞的证据，证明可扩展到实际市场环境。我们进一步强调了所提出方法的一些有趣的计算特性。对于CG算法toproceed，我们需要找到至少一个成本为负的列来更新对偶。也就是说，子问题不需要在中间迭代中求解到最优，而只需要在最后才能保证终止。显然，所有的子问题都可以并行解决，或者我们可以根据可用的计算资源来调整每次迭代中解决的子问题的数量。假设完全并行化，每个迭代的计算时间由RMP的解决定，RMP是一个LP问题，包括系统约束和每个单元的“凸性约束”。单元特定约束的复杂性仅出现在子问题中，而不是RMP中。

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mingdashike22

2022-4-28 14:33:46

使用标准配方，子问题是一个小的MILP，通常很难解决。请注意，CG不需要使用MILP配方来解决最大利润问题；无论采用何种方法，我们只需找到一个负的降低成本可行计划。尽管如此，MILP的制定将极大地促进当前ISOMarket管理体系的实施。B.斜坡约束示例[29，Ex.2]该示例包括2台发电机和一个3小时的发电机，负载分别为95、100和130 MW。G1的最大功率为100兆瓦，能量报价为每兆瓦时10美元。G2的最低功率为20兆瓦，最高功率为35兆瓦，提供的能量为50美元/兆瓦时，启动成本为1000美元，空载成本为30美元，爬坡率为5兆瓦/小时，启动功率为22.5兆瓦/小时，关机率为35兆瓦/小时，最小启动/关闭时间为1小时，最初它是灵活的。下面提供了UC3二元公式[29]。minp，u，v，wf=Xt=1（10p1，t+30u2，t+50p2，t+1000v2，t），（17a）受制于：p1，t+p2，t=Dt，1≤ T≤ 3，（17b）0≤ p1，t≤ 100, 1 ≤ T≤ 3，（17c）20u2，t≤ p2，t≤ 35u2，t，1≤ T≤ 3，（17d）p2，t- p2，t-1.≤ 5u2，t-1+22.5v2，t，1≤ T≤ 3，（17e）p2，t-1.- p2，t≤ 5u2，t+35w2，t，2≤ T≤ 3，（17f）u2，t- u2，t-1=v2，t- w2，t，1≤ T≤ 3，（17g）v2，t≤ u2，t，v2，t≤ 1.- u2，t-1, 1 ≤ T≤ 3，（17h）带p1，t，p2，t≥ 0和u2，t，v2，t，w2，t∈ {0, 1}, t、分别表示状态、启动和关闭变量。最优调度为：p1,1=75，p1,2=75，p1,3=100，p2,1=20，p2,2=25，p2,3=30，带f*= 7340.本例的有趣特征与定价约束有关，这对CH定价的应用是一个挑战。（17）的IR产生了一个价格向量λIR=（10，10，182.701），它偏离了CH价格，我们显示为λCH=（10，10，276）。

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何人来此

2022-4-28 14:33:52

我们注意到[29]报告了通过扩展公式获得的平均增量价格（AIC），该公式产生λAIC=（10，10，146.333），同时还注意到，使用3二进制公式的数值近似将导致小时3的价格非常高，即（10，10，1161）。显然，在这个例子中，小时3是有意义的，而且显然，IR（其目标函数值为$6464.55）比LD（其值显示为$6975）不那么紧。应用CG，使用松弛变量st，t、罚款1000美元/兆瓦时，我们得到：（1）初始列：z[1]：^p[1]=（0,0,0），^c[1]=0；z[1]：^p[1]=（0,0,0），^c[1]=0；RMP（1）对偶：λ（1）=（100010001000），π（1）=0，π（1）=0。（2）新列：z[2]：^p[2]=（100100100），^c[2]=3000；z[2]：^p[2]=（22.5,27.5,32.5），^c[2]=5215；RMP（2）对偶：λ（2）=(-970, 0, 1000), π(2)= 0, π(2)= -5460.（3）新列：z[3]：^p[3]=（0,01000），^c[3]=1000；z[3]：^p[3]=（0,22.5,27.5），^c[3]=3560；RMP（3）对偶：λ（3）=（45.832，-25.832, 150.589), π(3)= -14060, π(3)= 0. （4）新列：z[4]：^p[4]=（100,01000），^c[4]=2000；z[4]：^p[4]=（0,0,22.5），^c[4]=2155。RMP（4）对偶：λ（4）=（10,10276），π（4）=-26600, π(4)= -4255.CG终止4500美元5000美元5500美元6000美元6500美元7000美元750090101151401651902152402652903153403665390415440465490515555906156406656907157407657908158408658091594096599010151040106510901114016151190双功能（$/MWh）英里/小时：中国： = $6,975; 二元差距=365美元。IR: = $6,464.55; 差距=875.45美元。AIC扩展： = $6,202.25; 差距=1137.75美元。AIC 3-bin： = $4,762.5;差距=2577.5.1161276182.7146.3美元图。1.对于λ=（10,10,λ），q（λ）的计算，90≤ λ≤ 1200.z[2]=0.75，z[3]=0.163，z[4]=0.088，z[2]=0.5，z[3]=0.5；目标函数值：g（4）=g*= $6975.在图。

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大多数88

2022-4-28 14:33:59

1.我们举例说明了对λ=（10，10，λ）的对偶函数Q（λ）的评估，λ（$/MWh）的范围为90（即[29]中报告的边际成本）到1200，从而包括1161的高价。CH二元性缺口为365美元，对应于G2的LOC。值得注意的是，IR缺口为875.45美元，而扩展配方AIC缺口为1137.75美元。最后，我们还实现了一种次梯度方法，它用CG解决相同的子问题，但使用步长更新对偶（价格λ）。毫不奇怪，步长调整不是一项简单的任务。我们试验了几种步长，即1/k，1/√k、 10/k，10/√k、 0.001、0.01、0.02和不同的初始化，例如λ（1）=（10、10、90）（边际成本）和λ（1）=λIR（10、10、182.701）（IR价格）。许多步长都表现出较差的性能。对于步长为10/k的情况，我们得到了最好的结果，但是，即使对于这个小例子，经过10000次迭代后，我们也只能在所有三个小时内达到接近0.1（$/MWh）的价格。为了进行比较，典型的1/k步长（在10000次迭代后）产生的λ价格约为206（$/MWh），即比精确的CH价格低70（$/MWh）。简言之，CG在以下方面明显优于次梯度实现：（i）CG提供精确的LD值，而次梯度方法提供近似的边界；（ii）CG完全收敛，而次梯度法只能在多个数量级的迭代后渐近收敛，（iii）CG提供精确的价格，而无需调整，而次梯度法在适当调整后仅提供近似的价格，正如我们所示，即使是一个小例子，这也不是一项简单的任务。C.FERC数据集示例在本小节中，我们在PJM likeFERC“summer”数据集上测试我们的方法[41]。

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能者818

2022-4-28 14:34:05

UC配方已被深入研究——参见[53]了解MILP配方的概述，在最后一个例子中，我们的目标不是详尽地包括所有功能，而是提供证据证明可扩展到实际大小的问题。事实上，正如已经变得明显的那样，CG的一个主要优势在于它可以方便地适应任何机组模型，以及电力市场中当前存在的所有系统约束。下面提供了所使用的UC MILP配方。除非另有说明，否则我∈ 一、 t∈ T和b∈ {1，…B}，其中B是块提供步数。minp，u，v，w，sf=Xi，thCNLiui，t+CSUivi，t+CSDiwi，t+XbCpi、bpi、t、b+ 克里里，ti+XtMpspt+Mrsrt, （18a）受制于：Xipi，t+spt=Dpt，t、（18b）西日，t+srt≥ Drt，t、（18c）π，t，b≤\"皮,布,特,，i、 t，b，pi，t=Xbpi，t，b，i、 t，（18d）Piui，t≤ 圆周率≤“Piui，t- ri，t，ri，t≤“里，i、 t，（18e）π，t- 圆周率-1.≤ t.瑞伊-1+RSUivi，t，i、 t，（18f）π，t-1.- 圆周率≤ RDiui，t+RSDiwi，t，i、 t，（18g）ui，t- ui，t-1=vi，t- wi，t，i、 t，（18h）tXt=t-MUTi+1vi，t≤ ui，t，i、 t=[MUTi，t]，（18i）tXt=t-MDTi+1wi，t≤ 1.- ui，t，i、 t=[MDTi，t]，（18j）UTiXt=1ui，t=UTi，dtix=1ui，t=0，i、（18k）带π，t，b，π，t，ri，t，spt，srt≥ 0和ui，t，vi，t，wi，t∈ {0, 1},i、 t，b.简言之，（18a）将总承诺成本（空载、CNLi、启动、CSUi和关闭、CSDi）、调度成本（Cpi、bis——区块报价b的成本）加上储备成本（储备报价Cri），再加上与电力/储备设施SLAT spt、srt相关的罚款成本降至最低，系统约束（18b）–（18c）包括功率平衡（需求Dpt）和服务需求（Drt）。单位特定约束集（18d）–（18k）如下所示。（18d）规定了区块报价b的最大值、π、b和定义π，tas——可接受区块数量π、t、b的总和。（18e）规定了功率、π、π和最大储备容量Ri的最小和最大容量限制。

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何人来此

2022-4-28 14:34:18

热类型值用于CSUi，缺失的MUTIM DTI设置为1，U Tiand DTito设置为0，所有机组最初在线调度为Pi。RUi和Rdiqual被减少到一半，Rsui被设置为与Piplus相等，RSDiequal被设置为“Pi”，而“Riequal”被设置为30分钟加速。CG采用C语言建模，并使用CPLEX 12.7在IntelCore i7-5500U 2.4GHz和8GB RAM上求解。在图2中，我们探讨了CG在迭代方面的性能，当从（i）MILP UC解决方案开始时——称为“热启动”，以及（ii）初始列以零价格消费自调度的“平启动”。请注意，currentpractice通常在MILPUC解决方案之后执行定价运行。然而，CH定价可以与MILP UC问题并行运行，因为它实际上不需要解决方案！结果表明，对于这两种情况，CG都会在少量迭代中终止。我们确实在热启动开始时观察到了一个预期的平台，因为CG最初需要一些列来“组合”它们。初始值迅速下降（由于可变惩罚的减少而导致的高值被截断），但需要更多的迭代才能终止。顺序实现中的计算时间由子问题决定；每次迭代耗时约14秒。然而，我们注意到RMP时间小于1秒（通常明显小于1秒），而每个子问题的解决时间为10毫秒。不言而喻，子问题的并行实现将使每次迭代的时间缩短到实际解决RMP的时间，即anLP问题；假设完全并行化，两种情况下的估计时间都远低于1分钟。但是，即使使用一些简单的部分并行化，例如，解决一批十几个子问题，每次迭代的时间也会减少大约10倍。六、

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大多数88

2022-4-28 14:34:24

结论和进一步研究在这项工作中，我们使用D-W分解和CG计算CH价格。我们在叙述和描述理论之间取得了平衡，通过示例增强了读者的直觉，并提供了计算可处理性和可扩展性的指示，以适应实际大小的系统。CG的简单性、对问题“对流”或CHF格式的直观解释，以及使用标准UC和单位特定MILP公式的可并行结构，加强了CG在解释和计算中的使用。虽然这种策略在其他应用中已经成功，但没有使用任何可能提高CG性能的已知方法。正在进行的工作是针对一个大型美国ISO应用程序，使用实际市场数据测试CGC。参考文献[1]M.C.卡拉马尼斯、R.R.博恩、F.C.施韦佩。“最优现货定价：实践与理论”，IEEE Trans。电源应用。系统。，PAS-101卷，第9期，第3234-32451982页。[2] F.C.Schweppe，M.C.Caramanis，R.D.Tabors，R.E.Bohn，“电力的定价”，克劳弗学术出版社，马萨诸塞州波士顿，1988年。[3] R.P.奥尼尔、P.M.索奇维茨、B.F.霍布斯、M.H.罗斯科普夫和W。R.Stewart Jr.“非凸市场中有效的市场清算价格”，欧洲出版社。J.Oper。《自然资源》，第164卷，第1期，第269-285页，2005年。[4] P.Andrianesis、G.Liberopoulos、G.Kozanidis和A.D.Papalexopoulos，“具有非凸性的日前市场中的恢复机制——第一部分：设计和评估方法”，IEEE Trans。电力系统。，2013年第28卷第2期，第960-968页。[5] P.Andrianesis、G.Liberopoulos、G.Kozanidis和A.D.Papalexopoulos，“具有非凸性的日前市场中的恢复机制——第二部分：实施和数值评估”，IEEE Trans。电力系统。，2013年第28卷第2期第969-977页。[6] W·W·霍根和B·J。

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何人来此

2022-4-28 14:34:32

Ring，“关于电力市场的最低提价”，工作文件，哈佛大学约翰·F·肯尼迪政府学院，2003年。[7] P.R.Gribik、W.W.Hogan和S.L.Pope，“市场清算电价和能源提升”，工作文件，哈佛大学肯尼迪政府学院，2007年。[8] R.P.O\'Neill、A.Castillo、B.Eldridge和R.B.Hytowitz，“ISO市场中的双重算法”，IEEE Trans。电力系统。，2017年第32卷第4期第3308-3310页。[9] G.Liberopoulos和P.Andrianesis，“非凸成本市场中定价模式的批判性审查”，Oper。Res.，第64卷，第1期，2016年第17-31页。[10] 联邦能源管理委员会，“有组织批发电力市场的价格形成”，卷宗号AD14-14-000，2014年12月。[11] C.Wang，P.B.Luh，P.Gribik，T.Peng和L.Zhang，“近似扩展位置边际价格下快速启动机组的承诺成本分配”，IEEE Trans。电力系统。，2016年第31卷第6期第4176-4184页。[12] Y.Chen和C.Wang，“扩展位置边际定价的增强——推进实际实施”，中大陆独立系统运营商，2017年11月。[13] PJM，“价格形成教育课程2的重要概念：替代定价框架”，2018年。[14] 中大陆独立系统运营商，“ELMP III白皮书I，关于短期增强的研发报告和设计建议”，2019年1月31日。[15] H.Chao，“非凸市场中有效定价机制的激励”，J.Reg。经济。，2019年第56卷第33-58页。[16] R.P.O\'Neill，“非凸电力拍卖市场：市场效率和定价”，在2020年年度会议上发表。[17] D.Bertsimas，E.Litvinov，X.A.Sun，J.Zhao和T.Zheng，“安全约束机组交付问题的自适应鲁棒优化”，IEEE Trans。电力系统。，2013年第31卷第6期第52-63页。[18] 丁婷，Z。

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可人4

2022-4-28 14:34:38

Wu，J.Lv，Z.Bie和X.Zhang，“考虑实时电力市场中风电不确定性的能源和辅助服务联合调度鲁棒协同优化”，IEEE Trans。维持能源，第7卷，第4期，第1547-1557页，2016年。[19] T.Ding等人，“基于二元性自由分解的数据驱动随机安全约束机组组合”，IEEE Trans。维持能源，第10卷，第一期，第82-932019页。[20] C.Wang，P.B.Luh，P.Gribik，L.Zhang和T.Peng，“计算凸壳市场价格的基于次梯度的割平面方法”，在Proc。2009年7月26日至30日，加拿大首都卡尔加里，IEEE PES GM。[21]C.Wang，T.Peng，P.B.Luh，P.Gribik和L.Zhang，“扩展区位边际价格的次梯度单纯形割平面法”，载于IEEE Trans。电力系统。，第28卷第3期，第2758-27672013页。[22]G.Wang，U.V.Shanbhag，T.Zheng，E.Litvinov和S.Meyn，“能源和储备市场中凸壳定价的极值点次微分法——第一部分：算法结构”，IEEE Trans。动力系统。，2013年第28卷第3期第2111-2120页。[23]G.Wang，U.V.Shanbhag，T.Zheng，E.Litvinov和S.Meyn，“能源和储备市场凸壳定价的极值点次微分法——第二部分：收敛分析和数值性能”，IEEE Trans。电力系统。，第28卷第3期，第2121-21272013页。[24]N.Ito，A.Takeda和T.Namerikawa，“电力市场需求响应的凸壳定价”，在Proc。IEEE SmartGridComm，不列颠哥伦比亚省温哥华，2013年10月21日至24日。[25]B.Hua和R.Baldick，“凸壳定价的凸原始公式”，IEEE Trans。电力系统。，2017年第32卷第5期第3814-3823页。[26]M.Garcia，H.Nagarajan和R.Baldick，“交流最优潮流问题的广义凸壳定价”，IEEE Trans。控制网络。系统。，2020年，第7卷第3期，第1500-1510页。[27]杨志强、郑T、余J和K。

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