批发电力市场中的关联和聚类

2022-6-1 15:41:35

批发电力市场中的相关性和聚类Stianyu CuiScience&Technology on Integrated Information System Laboratory，Institute of Software，中科院，北京100190，ChinaFrancesco Caravellit理论部门和非线性研究中心，Los Alamos国家实验室，Los Alamos，New Mexico 87545，USACozmin UdudecInvenia实验室，27 Parkside Place，Parkside，英国剑桥CB1 1HQ摘要我们研究日前和实时批发电力市场中的位置边际价格结构。特别是，我们考虑了两个北美市场的情况，并表明价格相关性包含有关电网位置结构的信息。我们研究了各种聚类方法，并针对尖峰时间序列引入了一种基于事件同步的相关函数，以及另一种基于市场提供的位置名称的字符串相关性的相关函数。这使我们能够重建网格位置结构的各个方面。关键词：相关测度-聚类-电价1。简介电力与其他商品至少在三个重要方面有所不同：它目前无法有效储存，根据电磁定律，它流经电网，而不是直接从生产者流向消费者，而且在任何时候，供需必须几乎完全匹配，以避免停电或其他问题。传输网络的容量也限制了可注入的电量，预印本于2017年11月23日提交给Physica A或在某些位置提取。因此，为了使电网安全高效地运行，在做出消费和生产决策时，必须考虑电网的配置和物理限制以及发电和消费的位置。

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2022-6-1 15:41:38

为此，世界各地的许多电网运营商都采用了一种时空定价机制，称为区位边际定价（LMP）[1]。这种机制在整个电网的数百或数千个重要位置（节点）设定了潜在的不同价格。这些价格是最优潮流（OPF）问题解决方案的一部分[2]，并表示由于特定时间某个位置的耗电量略有增加，优化后的总系统成本有所增加。在本文中，我们研究了北美两个批发电力市场中LMP的性质：宾夕法尼亚州、新泽西州、马里兰州（PJM）[3]，以及中大陆独立系统运营商（MISO）[4]。特别是，在这两个市场中，有两种类型的LMP：日前（远期）LMP和实时（即期）LMP【5】。日前价格是系统运营商可以将其视为计划活动的输出，其中OPF问题每天都会在下一个小时（targetday）运行。然后，实时LMP是实时解决的OPF问题的输出（通常每5或15分钟一次），以调整前一天运行的schedulesoutput。我们的主要目标是了解从日前和实时LMP中可以推断出哪些信息。具体而言，我们感兴趣的是，是否可以从价格之间的相关性推断出任何基础结构。如上所述，LMP是一个高度结构化和约束优化问题[6]的结果，该问题导致价格之间存在非局部相关性。因此，了解价格如何根据各种度量进行关联，节点集群如何出现，以及这些是否可以根据网格中节点的空间分布来理解，是很有意思的。我们将结合使用机器学习和统计物理文献中介绍的方法。

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kedemingshi

2022-6-1 15:41:41

一种有趣的方法是首先从协方差和相关矩阵中过滤相关信息。这种方法主要用于财务文献中，以消除可能的噪音，并仅关注最重要的结构。我们必须引入一些注意事项和差异，这是由于电网的基本物理结构造成的【7、8、9】。鉴于时间序列的特殊尖峰性质，作为皮尔逊相关性的替代方法，我们还引入了一种神经网络常用的方法，即事件同步，以测量不同位置尖峰之间的同步。我们还将测试机器学习中引入的另一个相关性度量：图形套索方法。然后，这将用于对时间序列进行聚类。为此，我们使用了最小生成树方法、平面最大过滤图算法方法和谱聚类。然后将结果与基于节点名称的聚类进行比较，作为节点位置的代理。2、数据结构我们将分析的数据集由Invenia TCC收集。【9】中使用了数据的子集，其中还提供了数据的描述【10】。我们考虑的时间序列适用于PJM和MISO网格中的每个节点，时间为3年（2012年1月1日至2015年12月31日），每小时分辨率为。我们重点关注PJM中1287个节点和MISO中2568个节点（这些节点是虚拟参与者可以进行交易的节点）的子集。节点n和时间t的完整（日前或实时）电价由以下公式给出：LMP（n，t）=MEC（t）+MCC（n，t）+MLC（n，t），（1）其中MEC表示边际能源成本，MCC表示边际阻塞成本，MLC表示边际损耗成本。

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2022-6-1 15:41:45

MCC（n，t）部分是由于输电阻塞而产生的价格，即，考虑到电网的输电限制，它是在某个位置供应下一增量负荷的边际成本。这可以是正的，也可以是负的，通常为0。例如，当某个位置的电源线达到其承载功率的极限时，该位置的负载必须通过另一条线路进行维护，这可能会更加昂贵。MLC（n，t）是电网输电损耗引起的价格。与MEC相比，这通常较小。MEC（t）大致可以被认为是任何给定节点的电价，前提是该节点没有阻塞和损耗。MEC组件独立于节点，因此代表整个市场的价格变化。MLCand和MCC组件取决于时间和节点，但我们观察到，通常MCC MLC。因此，在本论文中，我们研究了日前市场价格的MCC部分，它直接解决了输电效率问题，是LMP时间序列波动的主要来源。对于许多市场参与者和电网运营商来说，一个重要的数量是日前价格和实时价格之间的差异：（n，t）=DA（n，t）- RT（n，t）。（2）这是我们将重点关注的时间序列。对于我们的分析来说，一个重要的细节是，每个节点价格都有一个与之关联的字符串，其形式为“节点名称代码”。文本“NODENAME”可以与节点的位置松散关联。事实上，我们可以运行基于名称的聚类算法，并与仅基于价格相关性的结果进行比较。这将使我们能够比较从独立方法获得的相关矩阵，并确定对节点和关联集群的最佳价格相关技术。3.

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2022-6-1 15:41:48

相关性、同步度量和过滤过程我们首先介绍几个时间序列之间相互依赖的度量，这些度量将与我们的分析相关。3.1. 皮尔逊相关性皮尔逊相关性是最常用和最简单的测量方法之一。它假设时间序列之间具有平稳性和线性关系。相关矩阵定义为：Cij=Corr[Xi，Xj]=Cov[Xi，Xj]pV ar[Xi]V ar[Xj]，（3）其中Cov[Xi，Xj]=hXiXji-hXiihXji，（4）和V ar[Xi]=σi=hXii- hXii。平均值定义为暂时性的，例如hXii=T-1PTt=1xi（t）。皮尔逊相关性的局限性是众所周知的，但我们仍将其作为以下内容的基准。图1第一行显示了MISO（左）和PJM（右）的皮尔逊相关矩阵。图1:MISO（左）和PJM（右）市场的Pearson相关性、指数平滑Pearson和事件同步。3.2. 皮尔逊相关指数平滑将相同的权重分配给每个时间点（标准皮尔逊相关）假设最近的事件和遥远的过去事件具有相同的重要性，这对于许多目的来说通常不是一个现实的假设[11，12]。为了考虑这一想法，我们需要为不同的时间点分配不同的权重，权重应满足以下三个要求：（i）w≥ 0，（二）u>v，wu>wv，和（iii）PTt=1wt=1。然后，加权皮尔逊相关性被定义为%wij=σwijσwiσwj，（5），其中σwk=qPTt=1wt（Xkt-^Xk），σwij=PTt=1wt（Xit-^Xi）（Xjt-^Xj）和^Xk=PTt=1wtXkt。构造权重向量的一种常见方法是使用指数函数，该函数可产生指数平滑的皮尔逊相关性，其中wt=wexpt型- Tθ, （6）其中t∈ 1, 2, 3, . . . , T和θ>0是权重衰减因子。我们可以通过改变θ来控制权重的平滑度。

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2022-6-1 15:41:52

如果θ→ 0，只有最新数据点相关，如果θ→ ∞, 平滑后的相关性收敛到皮尔逊相关性。θ=3的实验结果如图1第二行所示，分别是MISO（左）和PJM（右）。3.3. 事件同步鉴于电价的尖峰性质，我们考虑时间序列之间的另一种距离，它是事件同步的一种变化，这是对尖峰时间序列的其他研究所激发的，如脑电图时间序列[13]。MCC时间序列中的峰值可以直观地与电网中的调度失效和阻塞相关联（价格与施加在系统上的约束的AGrange乘数有关[14]）。我们引入了数量cτ（x | y），它是事件出现在y中后不久出现在x中的次数，cτ（x | y）=XiXjJτij，（7）图2：事件同步的说明。（顶部）根据其正中值和负中值过滤具有极端尖峰行为的MCC时间序列。（底部）通过阈值化获得的过滤时间序列。式中，如果峰值出现在间隔τ内，即0<| txi，则Jτij=1- 类型|≤ τ、如果txi=Tyi，则Jij=1/2，否则为零。然后我们确定Qτ=cτ（y | x）+cτ（x | y）√mxmy是基于上述计数的对称化矩阵。Qτ还不是相关性的度量，因为它必须被归一化。进一步注意，该度量没有考虑两个峰值可以反相关的事实。在这里，我们首先引入“事件”的概念来概括上述内容。给定一个值可以为正值或负值的时间序列x（t），我们引入正阈值和负阈值mpxa作为正值的中值，mnxa分别作为x的负值的中值，在长度为t的时间窗口中计算。

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nandehutu2022

2022-6-1 15:41:56

我们将积极事件视为x（t）高于阈值mpx的特定时间，将消极事件视为x（t）低于mnx的特定时间。当时间序列介于MPX和MNX之间时，滤波信号设置为零。这将导致转换的时间序列x（t）∈ {-1, 0, 1}. 该过滤如图2所示。然后我们可以如下构造矩阵Jτij：Jτij=Xtxi（t）Xt，| t-t型|≤τxj（t）。（8）然后，我们考虑矩阵Dij=δijpjj，并对同步进行归一化。图3：MISO（左）和PJM（右）的标准Pearson相关性和修改事件同步之间差异的绝对值。nization矩阵Jτij，获得备选相关矩阵：C=√D-1J√D-1，（9）结构对称。图1最后一行显示了MISO（左）和PJM（右）的τ=3 h的测量值。图3显示了事件同步相关性和皮尔逊相关性之间的差异。请注意，这两种方法如何获得MISO（左）和PJM（右）的不同结果，并且这种差异在PJM的情况下尤其明显。请注意，根据皮尔逊相关性，两个时间序列可以正相关，但峰值之间存在负相关。3.4. 使用随机矩阵理论过滤相关性在本节中，我们讨论并应用了一种基于随机矩阵理论（RMT）的技术，该技术广泛用于识别经验皮尔逊相关矩阵的非随机成分【15】。基于持续时间为T的N个完全随机时间序列的相关矩阵的特征值遵循马琴科Pastur（或Sengupta Mitra）分布：ρ（λ）=ρp（λ+- λ)(λ - λ-)2πλ，（10）和λ±=（1±√ρ），（11）式中ρ=TN，且1<TN<∞, 当N→ ∞ 和T→ ∞.通常，相关矩阵可以分解为两部分，C=Cr+Cs，其中Cris是“随机”分量，CSI是包含信息的矩阵。

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2022-6-1 15:41:59

由于时间序列中包含的信息，经验相关矩阵谱的分布不同于相应的Marchenko Pastur分布。这表明，通过去除RMT给出的随机分量，可以有效地过滤高斯噪声。例如，在图4中，我们显示了为MISO和PJM获得的经验相关矩阵的特征值密度。在插图中，我们给出了具有相同值N和T的马尔琴科牧场分布。许多研究表明，经验相关矩阵谱的一个典型特征是，观察到的最大特征值M（图4中表示PJM和MISO的市场模式）比所有其他特征值都大得多。相应的特征向量具有所有正元素，因此可以将相关矩阵的该特征分量识别为所谓的市场模式【16，25】，这是所有时间序列中的公共因素。如果我们也考虑市场成分，我们就得到了拆分C=Cr+Cg+Cm。（12）其中，Cg表示时间序列子组水平上的相关性，通常称为“组”模式【25】，Cm表示“市场”成分。过滤程序的结果如图5所示。在MISO中，我们观察到上部和下部块之间的大部分反相关性消失，下部块相关性更加明显。对于PJM，我们观察到大多数信息确实已过滤，只留下少数强相关块。3.5. 图形套索我们考虑的下一个相关性度量是图形套索，它已在统计学习中引入【17】。与标准的皮尔逊相关相比，该度量有几个优点，尤其是对于生活在相对较小维子空间中的高维时间序列。

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2022-6-1 15:42:02

这些数据的皮尔逊相关性的统计不确定性非常高。这种方法也可以被认为是学习成对高斯图4：皮尔逊相关矩阵谱分布及其对应的马尔琴科Pastur分布（插图），用于MISO（左）和PJM（右）。马尔可夫随机场（GMRF）[18]，其中每个顶点代表一个变量，如果相应变量相关，则每个边都存在。对于理论数据，GMRF应该是一个完全连通的图，因为两个时间序列不太可能有零经验相关性。目标是通过消除“弱”边，从经验数据中揭示固有的稀疏图结构。解决上述问题的一种直观方法是最小化Pearson相关性和所需相关性之间的重建误差，并将不显著相关性缩小到零。这可以通过引入一个Lpenalty来实现，并最小化函数：∑=arg min∑|∑- ∑n | F+ρ∑|，（13）其中∑nis为经验相关矩阵，|··················································。Ying【19】提出了一种有效解决该优化问题的方法，相关算法可在参考文献中找到。在图6中，我们可以看到，图形套索的结构与图1所示的皮尔逊相关性相似。然而，在某种意义上，这种相关性矩阵比Pearson更重要（尤其是MISO的较低块），因为它去除了许多可忽略的元素。图5:MISO（左）和PJM（右）使用RMT评估的过滤相关性。3.6. 字符串相关性接下来，我们介绍一种基于LMP时间序列名称的相关性度量。我们将使用此作为一种独立的方法来测试上述相关性度量的有效性。

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2022-6-1 15:42:05

在我们正在研究的两个电网中，每个LMP时间序列都分配了一个标识符，该标识符以“地名代码”的形式给出。这使得我们可以使用stringkernel[22，23]方法来计算识别字符串之间的相似性。在统计学习社区中，有几种用于估计各种类型数据集之间关系的核心方法。例如，可以构造核来估计图像和句子之间的相关性【20、21、22】。直觉上，较高的字符串核相似性表明，这两个时间序列位置更有可能在地理上相互受益。4、聚类方法4.1。光谱聚类推断高维时间序列数据结构的标准方法是对数据进行聚类[8]。作为第一个示例，考虑GirvanNewman算法【24】，该算法通过逐步移除原始图形的边来推断结构（根据图6：使用图形lasso优化forMISO（左）和PJM（右）评估的稀疏相关性推断）。例如，时间序列），最后剩余的连接组件表示数据中的“社区”。Girvan-Newmanalgorithm的一个缺点是它对大型图的效率很低，这是因为需要在每次迭代时计算相应图Laplacian的特征向量。此外，如【25】所述，Girvan-Newman算法不太适合相关矩阵，需要稍加修改。在下文中，我们将使用基于与Girvan-Newman算法相同直觉的谱聚类[26]，但我们只需要找到原始图Laplacian的谱，然后使用kmeans算法找到底层社区。在图中。

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2022-6-1 15:42:08

7我们在一小组ISO节点的情况下显示原始聚类结果的选定样本。已连接低于中值相关的矩阵元素。原始结果中总共使用了200个聚类（有关进一步讨论，请参见第5节）。4.2. 社区检测算法另一种聚类方法是使用社区检测算法。为了提高这些算法的效率并过滤掉可能存在的任何噪声，我们将在聚类之前使用各种过滤算法。过滤经验相关矩阵的第一种方法是基于最小生成树（MST），这是一种仅包含最大相关性的树结构图[8、25、27、28]。对于具有N个元素的系统，只有N个元素的树结构图-1链接由MST过滤算法保留。这种方法与单链接层次聚类算法密切相关【32】，该算法自动生成一个凝聚算法，最终生成一个树状图，将元素从原始相关矩阵排列成层次结构【25，32】。之前的研究[25]还表明，当首次使用强相关性确定分类树的低层次结构时，MST更可靠，而当使用弱相关性确定高层次分类树时，MST的可靠性逐渐降低。MST的一种推广称为平面最大过滤图（PMFG），它释放拓扑约束以包含更多的链接。这保留了MST以及额外链接的数量，前提是生成的图仍然是平面图[25]。

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2022-6-1 15:42:11

由于MST与层次聚类算法相关，PMFG已被证明与包含更多信息的有向气泡层次树（DBHT）相关[32]。与MST一样，该方法的目标是找到假定的近似结构，而不是搜索内部相关性比彼此相关性更大的时间序列组。因此，我们还需要一种图社区检测方法，所以我们将使用模块化最大化算法来检测图社区。分区的模块性是-1和1测量社区内部链接密度，并与社区之间的链接进行比较【30】。对于加权网络（加权网络是指在其链路上具有权重的网络），定义为q=mXi，j[Ai，j-kikj2m]δ（ci，cj），（14），其中Ai，jr表示i和j之间的边的权重，ki=PjAi，jis表示连接到顶点i的边的权重之和，ci是指定给顶点i的社区。我们使用了[31]中提出的算法，该算法快速且稳定。关于基于MST方法的聚类结果的一小组节点，请参见图8；关于PMFG，请参见图9。在我们的玩具示例中，根据位置，我们有两个组，CIN和AMMO。对于AMMO，我们有3个子组：MERAMEC、KEOKUK和RCCKETG，分别包含4、8和3个元素。对于CIN，可以在没有任何链接交叉的平面上绘制图形图7：MISO的一小组节点的网络重建。图中显示了每个节点的位置字符串。相同颜色的节点属于同一簇，这是通过光谱聚类计算得到的。黑色节点是那些与位置代理分区相关的错误分类。图8：使用MST滤波对一小组MISO节点进行网络重建。图中显示了每个节点的位置字符串。

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nandehutu2022

2022-6-1 15:42:15

相同颜色的节点属于同一簇，这是通过模块化最大化平均值计算的。Blacknodes是那些与位置代理分区相关的错误分类。图9：使用PMFG滤波对MISO的一小组节点进行网络重建。图中显示了每个节点的位置字符串。相同颜色的节点属于同一个簇，这是通过模块化最大化计算得到的。黑色节点是那些与位置代理分区相关的错误分类节点。有3个子组包含1个以上的元素，分别是MIAMWEB（5个元素）、VERMN（5个元素）和SUCRKGT（2个元素），5个子组只包含1个元素（我们称之为“单元素”）：GIBSON、WR1CT、HE、CONNERV和NOBLEVL。理想情况下，一个好的分区应该将来自相同子组的元素聚集在一起，如果一个元素是单个的，则应该将其分配给类似的子组。因此，我们的位置代理提供了一个很好的基准（最后一幅图见图7-9）。通过计算黑色节点，我们发现几乎所有的方法都可以正确地检测到大型子群（如AMMO KEOKUK和CIN VERMN），而在涉及小型子群时往往会出错。在我们的例子中，RMT滤波相关和稀疏相关的性能优于其他相关。我们认为这是因为这些方法对较小的亚组更敏感，而我们发现其他方法提供的结果不太准确。至于聚类，我们发现MST和PMFG明显优于光谱聚类，因为它们学习的是稀疏网络结构，其中包含尽可能多的信息，同时过滤噪音。5、光谱聚类分析在应用光谱聚类方法时，必须选择聚类数。我们将使用差异（异质性度量）和调整后的兰德指数（相似性度量）。5.1.

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2022-6-1 15:42:18

聚类异质性度量：disparityDisparity用于度量集群大小的异质性。一些聚类方法可能更喜欢大小平衡的多个聚类，而othersmight则提供了细分为几个非常大的聚类和许多小的聚类[32]。为了用一个数量来描述集群大小的分布，我们可以使用差异度量[32]：d=σS（15），其中σ是标准偏差σS=sNc- 1Xa（Sa-秒）。（16）归一化因子S是平均值S=NcXaSa，（17），其中sai是簇a的基数，nci是簇的数目。d=0的情况对应于所有大小相同的集群，而较大的数据意味着集群大小更加异构。5.2. 聚类相似性度量：调整后的兰德指数调整后的兰德指数（RARI）通常用于度量两种聚类方法的结果之间的相似性。在我们掌握了数据分区的基本事实的情况下，我们可以使用RARIas作为聚类算法的精度度量。如果我们假设位置为LMP数据提供了一个良好的分区，那么我们可以使用RARI与根据stringkernel相关性计算的位置代理来比较聚类结果。该方法计算两个分区中位于同一集群中的对象对的数量，然后将其与独立分区假设下的预期数量进行比较【32】。RARItakes中的值[-1，1]，其中1对应于相同簇的情况，0对应于两个完全不相关的簇【32】。负值表示两个分区之间的反相关，这意味着这两个分区的重叠对数小于两个随机分区之间的预期重叠数[32]。我们计算两个分区Y和Y之间的“列联表”M，系数为[32]：mij=| Yi∩ Yj |。

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kedemingshi

2022-6-1 15:42:22

（18）这是簇yi和Yj相交处的对象数。Mis是一个k×l矩阵，其中k和l分别是Y和Y的簇数。让我们将a称为在Y和Y中处于同一簇中的对象对的数量，将b称为在Y和Y中处于两个不同簇中的对象对的数量【33】。然后，将兰德指数定义为a和b的总和，通过对的总数进行归一化[33]：R（Y，Y）=2（a+b）N（N- 1） =kXi=1lXj=1mij公司. （19）然后，我们将广义超几何分布作为与两个独立集群相关的零假设，并将调整后的兰德指数定义为零假设下兰德指数与其平均值之间的差异，通过该差异可达到的最大值进行归一化[32]：RARI=R- tt+t- t、（20）其中t=Pki=1|易|, t=Plj=1|Yj公司|, t=2ttN（N-1).我们将使用这两种方法来调整光谱聚类中的参数。5.3. 聚类数的选择为了在谱聚类中调整聚类数n，我们将聚类结果与每种相关类型的位置代理划分进行比较。位置代理是基于串相关的谱聚类结果，这意味着我们需要确定位置代理的聚类数。这可以通过在n和ns之间构建关系来实现：ns=（144 n≤ 144n n>144，（21），其中144是MISO中不同“名称代码”的数量（见第3.6节）。如果ns=144，我们使用的信息与使用“代码”分区的信息完全相同。如果ns>144，我们会使用比代码提供的信息更多的信息，因为有些代码会被分为几个部分。如果聚类评估需要更多信息，它将随着聚类数n的增加而增加。对于n为1到300的每种类型的相关度量，我们计算相对于位置代理的RARI。

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nandehutu2022

2022-6-1 15:42:25

一个好的聚类数n应该使聚类结果稳定，所以我们要调整聚类数，直到不敏感为止。图10示出了视差和ARI如何相对于簇的数量变化。正如我们所看到的，当簇数增加时，视差和ARI会收敛。我们可以发现，当集群数量大于（大约）200时，所有ARI都会先增加，然后减少，然后收敛。对于RMT过滤的相关性，ARI收敛到0.3左右，而其他的则收敛到0.15。至于差异，这六个相关性随着聚类数量的增加而增加，当聚类数量达到200个左右时会收敛到一个值。基于这些结果，我们使用200作为光谱聚类的聚类数。图10：基于五个相关度量的差异和ARI作为聚类数的函数。在这里，我们使用MISO的最后5000小时LMP数据。6、市场结构的动态分析在本节中，我们分析了市场结构随时间的变化。我们首先分析每个相关矩阵的平均值和最大特征值的行为，然后分析聚类结果如何随时间变化。我们使用的方法已在【12】中介绍，用于估计何时发生结构性变化（例如，跨越整个市场的变化）。6.1. 相关矩阵的动态分析相关矩阵的平均值表示一组时间序列的内部相关强度，邻接矩阵的最大特征值提供关于图的平均度的信息。

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何人来此

2022-6-1 15:42:28

此外，它还提供了每个相关性如何随时间变化的信息。事实上，一般图的邻接矩阵A的最大特征值λao满足以下不等式：max（dav g，√dmax）≤ λA≤ dmax，其中dav是图中节点的平均度，dmaxis是最大度。图11：每周六种不同相关性测量的平均相关性和最大特征值。平均NormPearson 0.5703 905.46平滑Pearson 0.8656 1329.5事件同步0.44 697.04 rmt滤波相关0.12 203.6稀疏相关0.3323 539.84表1：每个相关矩阵的平均值和范数表6.1和图11显示了不同相关矩阵的平均值和最大特征值随时间的变化。RMT滤波相关具有最低的相关强度和最高的稀疏性，同时平滑皮尔逊相关具有最高的强度和最低的稀疏性。我们观察到，平滑Pearson确实会随着时间的推移而突然变化（无论是在平均值还是在最高特征值上），但正如我们将在下面看到的，它是两种方法之一（与事件同步一起），随着时间的推移，提供了相当稳定的ARI。差异ARI基准ARI位置皮尔逊相关3.3031、5.7603（104）0.1633、0.3254（97）0.1303、0.2256（54）平滑皮尔逊3.8523、9.426（73）0.0581、0.1857（76）0.0595、0.2255（108）事件同步2.9588、5.7923（99）0.1379、0.3224（3）0.1203、0.2355（184）RMT过滤相关8.6147、12.2508（118）0.0716、0.3633（69）0.0659，0.386（106）稀疏相关6.866，10.8894（62）0.1161、0.5735（69）0.0411、0.1709（176）表2：每个相关矩阵的谱聚类结果的平均和最大视差、ARI基准和ARI位置。括号中的数字表示达到最大值的一周。6.2.

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2022-6-1 15:42:32

聚类结果的动态分析在本节中，我们使用谱聚类和最小生成树模块化分析分区的动态特性。我们考虑了5种不同的相关度量。我们使用ARIs来衡量两个聚类结果之间的差异，并使用差异来衡量聚类大小的异质性。我们考虑了两个ARI度量：“ARI location”，它基于相同聚类方法中的位置代理划分，以及“ARI benchmark”，它基于上周（第209周）对应的相关矩阵中的聚类。6.2.1. 谱聚类结果分析对于每种相关方法，我们计算数据中每周的TLMP的相关矩阵，并使用clusternumber等于200的谱聚类。图12显示了基于三种不同相关性度量的光谱聚类结果的时间行为。表6.2.1显示了每个光谱聚类的平均值和最大值。我们可以看到，在RMT滤波相关和稀疏相关方法的情况下，相对于平均值，差异很大（分别约为8.6和6.8）。这意味着RMT过滤相关和稀疏相关方法更喜欢聚类大小的高度异质性和光谱聚类设置中不太稳定的分区。ARI获得的与位置代理、平滑相关、RMT滤波相关和稀疏相关相关相关的值分别包含在内。PMFG不包括在内，因为它类似于MST，但需要更多的计算资源。括号中的数字是度量值达到最大值的一周。图12：5个相关度量的光谱聚类结果的差异和AIR动态。约为0.07，而后者约为0.13。

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2022-6-1 15:42:35

原因是这三种方法去除了原始相关矩阵的重要部分，但两组的ARI都很小：在这种情况下，差异并不显著。RMT过滤的相关性具有最高的最大ARI：这告诉我们，它可能有潜力超越其他相关方法。至于波动，我们看到所有相关度量都具有相似的行为。6.2.2. MST模块化最大化聚类分析与谱聚类分析类似，我们为每个相关矩阵构建一个最小生成树，并基于模块化最大化算法查找聚类。图13显示了基于不同相关性度量的MST模块化最大化的三个度量。表6.2.2显示了每次测量的平均值和最大值。MST聚类的动态视差行为类似于光谱聚类，而RMT滤波相关和稀疏相关度量具有更高的平均值（分别约为1和0.65）和视差波动，其他两个具有类似的平均值（约为0.38）视差ARI基准ARI位置皮尔逊相关0.3598、0.4977（144）0.1114、0.1941（207）0.0885，0.1132（24）平滑相关性0.3758，0.5221（114）0.0672，0.1928（208）0.0697，0.0952（133）事件同步0.4236，0.5736（164）0.1578，0.3437（208）0.1413，0.1847（113）RMT滤波相关性1.0171，2.5354（56）0.0772，0.1223（199）0.2262，0.3526（117）稀疏相关性0.6527，3.5332（36）0.1299，0.3912（207）0.1576，0.2988（131）表3：平均和最大差异，每个相关矩阵的MSTmodularity最大化结果的ARI基准和ARI位置。括号中的数字表示达到最大值的一周。和函数。

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2022-6-1 15:42:38

对于相对于位置代理的ARI，事件同步度量、RMT滤波相关和稀疏相关度量约为0.2，而其他度量约为0.07。可以得出结论，将MST模块化最大化方法应用于这三个相关性，其性能明显优于Pearson和smoothedPearson度量。从图12和图13中，我们进一步看到，MSTis的差异显著低于光谱聚类。相对于位置代理的平均ARI也高于谱聚类。此外，我们发现，基于基准的最大ARI在207周左右达到，与基准（209周）非常接近，但表6.2.1中的光谱聚类结果没有显示出类似的行为。一种可能的解释是，在一个大而密集的网络中，谱聚类方法比MST模块化最大化更难揭示模式。从光谱聚类和MST模块化最大化的ARI随时间变化的标准偏差来看（图14），我们观察到，与光谱聚类相比，MSTis显著稳定。RMT滤波相关和稀疏相关被发现随着时间的推移是不稳定的，而其他相关方法可以被认为是稳定的。这表明RMT和MST模块化最大化所揭示的电力市场结构在时间上频繁变化，因此对于这些市场来说似乎不可靠。当然，这里需要注意一点：这取决于我们的代理度量，即字符串相关方法。一般来说，我们认为这是由于市场本身的特性，以及这些方法所依赖的强非平稳性。然而，基于Pearson和事件同步的方法，尤其是MST，被发现相当稳定。

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2022-6-1 15:42:42

然而，应该说，即使在图13的情况下：5个相关度量的MST模块化最大化的差异和AIR的动态。金融市场时间序列，之前的发现【16】表明，股票市场中只有少数集群随时间稳定（使用RMT过滤相关性和模块化最大化）。这表明电力市场远比其他金融市场更不稳定。非平稳性的一个可能解释是，电力市场基于一个强烈的非局部优化问题，该问题会在整个电网范围内传播干扰并产生相关性。尽管如此，基于事件同步（只关注罕见和强事件）和（平滑和非）Pearson的方法对波动不太敏感。结论在本文中，我们讨论了各种相关、过滤和聚类方法，旨在分析批发电力市场数据的基本结构。具体而言，我们分析了日前价格和实时价格之间的节点价格差异，这与理解输出日前价格的规划过程中的效率有关。图14：滚动窗口大小等于50时，光谱聚类和MST模块化最大化ARI位置的移动标准偏差。我们发现，MST比光谱聚类提供更稳定的结果。RMT滤波相关和稀疏相关在这两种情况下都是不稳定的。我们还介绍了一种基于事件同步修改的替代相关性度量，该度量侧重于时间序列中更罕见和更强烈的事件（峰值）。我们认为，在我们的数据集中观察到的大多数相关性都是由随机波动引起的，应该对其进行过滤，或者应该使用非线性相关性度量。

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kedemingshi

2022-6-1 15:42:45

除此之外，我们还探索了各种方法来推断MISO的相关结构，识别各种集群。这些方法是稳健的，因为它们只使用最强的相关链接。最后，也是最重要的一点，我们提供了一个使用字符串核相关代理选择和过滤电价数据相关矩阵的框架，我们认为可以使用该代理来测试我们方法的有效性。我们还将我们的结果扩展到了时域，并分析了市场结构是如何每周变化的。该分析为推断非平稳性以及检验聚类方法提供了一种定量方法。我们得出的结论是，MST模块化最大化方法比谱聚类更合适。此外，即使在过滤了多种类型的噪声之后，RMT过滤的相关矩阵的聚类结果在某些情况下也会随着时间的推移而不稳定（相对于代理），尽管它已经实现了最佳性能。在所有方法中，我们发现基于Pearson的方法和事件同步方法是最稳定的超时。总的来说，我们发现事件同步结合MST是最合适的聚类方法，因为它具有稳定性和显著的性能。未来工作的一个有趣途径是尝试使用基于熵最大化的图推理方法重建网络[34]。Acknowlementsfc和TC感谢英维尼亚实验室之前分别提供的资金和支持。我们要感谢LANL的L.Roald对本文早期版本的评论。FC感谢NNSAF根据合同DE-AC52-06NA25396在LANL为美国DoE提供的支持。T获得国家科技创新区（编号17-H863-01-ZT-005-005-01）和国家重点项目研发计划（编号。

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2022-6-1 15:42:48

2016QY03D0505）。参考书目【1】R.E.Bohn、M.C.Caramanis、F.C.Schweppe，《时空上的非电气网络最优定价》，《兰德经济学杂志》，360376（1984）【2】S.Frank、S.Rebennack，《最优潮流导论：理论、公式和示例》，IIE交易，48（12），1172-1197（2016）【3】http://www.pjm.com/[4] https://www.misoenergy.org/Pages/Home.aspx[5] Energy Primer，《能源市场基础手册》，FERC，（2015）[6]R.D.Zimmerman，《统一价格拍卖和最优潮流》，MATPower Technical note 1（2010）[7]M.Potters，J.P.Bouchaud，L.Laloux，《随机矩阵理论的金融应用：旧鞋带和新零件》，附录B，36（9），27672784（2005）[8]T.Aste等人，《金融时间序列的相关性过滤》，期刊参考：D.Abbott，J.-P.Bouchaud，X.Gabaix，J.L.McCauley，Proc。ofSPIE，第5848卷（西澳州贝林厄姆SPIE，2005年）100-109【9】F.Caravelli，J.Requeima，C.Ududec，A.Ashtari，T.Di Matteo，T.Aste，《批发电价的多重标度》，arXiv:1507.06219（2014年）[10】F.Caravelli等人，PJM和MISO电力市场价格数据，Figshare/https://doi.org/10.6084/m9.figshare公司。1412608.v1（2015）[11]F.Pozzi，T.Di Matteo，T.Aste，指数平滑加权相关性，《欧洲物理杂志B》，第85卷，第1–21页（2012）[12]N.Museci，V.Nicosia，T.Aste，T.Di Matteo，V.Latora，《金融市场的多重依赖结构》，arXiv预印本XIV：1606.04872（2016）[13]R.Quian Quiroga，T.Kreuz，P.Grassberger，事件同步：一种简单快速的测量同步性和延时模式的方法。修订版。E 66041904（2002）[14]H.Liu，L.Tesfatsion，A.Chowdhury（2009a）。重组批发电力市场的区位边际定价基础。在电力与能源协会大会上，PES-09。

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