日内电力市场的最优投资组合

2022-6-10 05:57:41

由L’EVY-ORNSTEIN-UHLENBECK过程建模的日内电力市场最优投资组合Marco PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUAbstract。我们研究了一个为在日内电力市场中运行的代理设计的最优投资组合问题。投资者被允许以连续交易的权力为模型进行单一风险资产的交易，目的是最大化其财富的预期终端效用。我们假设一个均值回复加性过程来驱动电价。在对数效用的情况下，我们将完全非线性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程简化为线性抛物积分微分方程，对于该方程，我们在两种建模兴趣的情况下显式展示了经典解。最优策略隐式地作为积分方程的解给出，积分方程既可以用数值方法求解，也可以用解析方法描述。对最优策略的两种不同近似进行了分析。最后，我们通过调整流行的电力现货价格模型的参数进行了数值测试。1、简介全球电力市场放松管制后，这一金融部门正在经历彻底的结构变化。几个有趣的问题引发了人们对能源市场模型的兴趣。严谨的数学方法可能对实践者有用，同时也会促进学术研究的进步。在这项工作中，我们考虑了欧洲电力交易所（EPEX）的市场结构，该交易所监管中欧和西欧的电力现货交易。在许多交易所，短期交易主要在两个市场进行：日前和日内。

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2022-6-10 05:57:44

虽然日前市场为第二天交付的每小时（或一段时间）交易电量，并且是基于拍卖的，但日内市场在日前关闭后开放，为参与者提供了在交付前短时间内持续交易的可能性。对于可再生能源生产商来说，日内市场尤为重要，他们可以根据天气预报的变化调整日前头寸。在这项工作中，我们研究了一个为日内电力交易设计的动态投资组合优化问题。这些市场在电网平衡中发挥着重要作用，因为发电商和消费者都可以优化自己的位置，减少不平衡风险，这需要向系统运营商支付费用。随着可再生能源的不断普及，日内交易建模变得尤为重要，数学上也很有趣。与这个问题相关的文献是最近才发表的：这方面的第一篇论文是[30]，作者研究了风力发电的生产方式日期：2018年7月6日。关键词和短语。日内电力市场、投资组合优化、加法过程、均值回归、部分积分微分方程、近似。作者谨感谢亚历山德罗·巴拉塔、弗雷德·埃斯彭·本思、塞巴斯蒂亚诺·登、乔治·法拉利、保罗·卢兹尼、弗兰克·诺伯特·普罗斯克、沃尔夫冈·J·伦格·加尔迪尔以及2017年1月25日至27日在米兰举行的第十八届量化金融研讨会的所有参与者，感谢他们的有益讨论和建议。

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可人4

2022-6-10 05:57:47

这项工作得到了帕多瓦大学CPDA158845-2015赠款“多维多项式过程及其在数学金融和能源市场新挑战中的应用”的部分支持。2 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUmay通过考虑预测生产误差的风险，从日内市场的交易中获益。[26]研究最优交易执行问题，以补偿风力或光伏发电生产的预测者。[2] 考虑一个生产商，其目标是通过控制其灵活的电力生产（火力发电厂）和其在日内市场的头寸，将其剩余需求（随机）的不平衡成本降至最低。最近的另一篇论文【23】研究了离散时间内的随机多周期投资组合优化问题，特别是针对水力资产管理，推导了一种最优的日内交易策略。作者研究了风力和光伏发电日内更新预测对市场参与者竞价行为的影响，并比较了EPEX日前和日内电力市场的价格驱动因素。此外，[13]研究互联地点之间日内价格的跨境影响，[44]考虑在远期、现货、日内和调整市场交易的风能生产商，并考虑到其预测产量不完善，得出最佳交易政策。我们的研究是作为[20]的自然泛化而出现的，并从s商城代理商的角度出发，有兴趣利用日内价格的类型化特征，以最大化其预期的最终收益。我们提出了一个连续电价的随机模型，并用随机控制的语言描述了预期的利润最大化问题。价格由加性非高斯Ornstein-Uhlenbeck（O U）过程建模。

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2022-6-10 05:57:50

电力现货价格通常由几何[14，27]或加性均值回复过程[7，11，34，35，36]来描述。在日内市场的背景下，我们的模型选择概括了[20]，其中作者通过高斯OU过程对价格进行建模，以及[33]，其中日内价格是AR（1）过程（我们不考虑体制转换），这是OU过程的离散时间版本。此类具有高度灵活性，能够再现观测到的时间序列的均值回复和尖峰行为。由于我们没有像通常那样对价格进行对数转换，因此我们的模型可以复制负价格：这与自在电力组合中引入可再生能源以来最近观察到的情况一致（见[21]）。继默顿（Merton）[37，38]的开创性工作之后，最优投资组合管理已成为数学金融领域最受欢迎的问题之一，并在许多不同的框架中得到了解决。关于一般处理方法，请读者参阅[39]。我们的方法基于d y动态规划方法和相关Hamilton-JacobiBellman（HJB）积分微分方程的研究。一些相关工作包括，例如[8]，价格演化为指数Ornstein-Uhlenbeck过程，称为Schwartz模型，该模型在商品价格建模中非常重要。在[32]中，作者用指数L'evy过程对风险资产进行建模，并将其推广到指数加性过程。当我们介绍一种用于求解HJB方程的变换时，我们受到了[43，46]的启发。

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2022-6-10 05:57:53

此外，[9]还研究了Barndorff-Nielsen-Shephard模型的相同优化问题[5]，其中波动率是由从属函数驱动的非高斯OU过程的超位置。从HJB方程的公式来看，找到值函数的问题并不简单。我们研究了对数效用的情况，以便将取决于财富过程和策略的条件与取决于时间和价格的条件分开。对于某类跳跃扩散过程，[1]也观察到了这种简化。[28]对对数效用情况下的最优投资组合进行了理论研究，并在[29]中进一步推广，其中作者将鞅方法（有关该方法的详细信息，请参见[28，29]及其参考文献）应用于一般半鞅框架。然而，尽管他们的分析提供了最优策略及其唯一性的特征，但对其分析性质的研究并没有明确阐述。我们将完全非线性的HJB方程简化为线性部分积分微分方程（PIDE），方法是在日内电力市场中应用最优投资组合3a对数变换，如【43】所示。尽管最优策略是作为一个积分方程的解隐式给出的，但我们能够证明，为了应用验证理论，它是定义良好且满足正则性的。我们证明了HJB方程在两种情况下的经典解的存在性：具有非退化布朗成分的时间非齐次成分和泊松过程以及（可能）有限变化的加性纯跳跃过程。在第一种情况下，这取决于[42]的结果，而在第二种情况下，这是通过费曼Kaˇc表示完成的。

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2022-6-10 05:57:56

在后一种方法中，我们遵循[9]中的id ea，并将其推广到时间不均匀过程，我们不假设其具有[9]中所述的有限变化。尤其是Danskin定理[18]允许我们证明HJB方程的强迫项（定义为不可微分函数的组合）实际上是可微分的。部分积分微分方程（PIDE）本身就很有趣，并且出现在数学的不同领域。在本文中，我们考虑通过概率表示获得的经典解，部分是作为各种早期工作的扩展或补充贡献。这类问题的经典参考文献是[6]，其中一些存在性结果是在关于方程系数的强正则性假设下得出的。在证明具有非退化布朗分量的有限L'evy测度的正则解的存在性时，我们得到了[42]的一个结果。然而，该方法基于线性二阶微分方程（参见[25]）的PDE理论的经典平滑度结果，需要跳跃测度的细节。因此，对于m个更一般的跳跃过程，我们改为如下[9]，其中Feynman Kaˇc公式产生了一个候选者，这被证明是一个非常类似于我们的IDE的经典解。不幸的是，这种方法只适用于一阶情况，即没有布朗成分。然而，正如【17】所观察到的，为了生成真实的价格轨迹，有必要考虑金融模型，这些模型要么是结合了差异部分的有限活动跳跃过程，要么是有限活动纯跳跃模型，因为当频繁发生小跳时，后者表现为“差异”方式。然后，我们研究了基于一阶条件泰勒展开式的最优策略近似，这是一个数值积分方程。

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mingdashike22

2022-6-10 05:58:00

对于复合泊松过程，选择多项式的中心作为平均跳跃大小。我们将其与经典的默顿比（37）进行了比较，后者对应于零附近的泰勒展开式。[3、12、40、41]中也对带有跳跃的随机波动价格模型的这种近似进行了研究。然而，在他们的方法中，作者首先直接近似HJB方程，而我们在一阶条件下工作。我们得出了近似误差的一些估计值，并对电力现货价格模型进行了数值测试，特别是[10]中的因子模型。我们在这里的主要发现是，默顿的per比率与我们基于跳跃的近似值很难比较，这表明，电动汽车市场的最佳交易并不能很好地用这一具有经济意义的数量来描述，至少对于加性均值回复率的特定情况而言。本文的结构如下。在第二节中，我们介绍了日内价格动态，并设置了随机控制问题。在第3节中，我们描述了最优策略的性质，并研究了对数效用的简化HJB方程。特别地，给出了PIDE经典解的两个存在性结果。我们通过应用验证定理来结束本节。最优策略的近似研究包含在第4节中，而第5节给出了策略近似的示例性数值测试。附录A包括关于Firstorder案例中PIDE解决方案存在性的辅助命题，而在附录B中，我们收集了一些最具技术性的证据。4马可·皮奇里利和蒂齐亚诺·瓦吉奥卢2。最优投资组合问题我们遵循动态规划策略来解决随机最优控制问题（例如，参见[24]）。

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2022-6-10 05:58:03

目的是最大化我们的投资组合在一组交易策略上的预期效用，即研究数量supπE[U（X（T）），（2.1），其中U:R→ R是代表投资者风险的效用函数，X=Xπ表示与策略π相关的投资组合价值，T是交易结束时间。让我们介绍一下驱动市场的随机动力学。用L表示在完整的过滤概率空间中定义的实值相加过程（有关详细信息，请参见[16，第14.1节]）(Ohm, F、（Fu）u≥0，P）bydL（u）=b（u）du+σ（u）dW（u）+ψ（u）ZRyN（dy，du），u∈ （0，T），（2.2）式中σ，b，ψ：[0，T]→ R是连续可微函数，如0≤ ψ≤ ψ（u）≤ψ表示任何u∈ [0，T]和σ（u）以及ψ（u）不会同时消失。过程W是标准布朗运动，N（dy，du）：=N（dy，du）-ν（dy）du是与L'evy测度ν相关联的补偿泊松随机测度，即R \\{0}上的Radon测度，使得rr（1∧ y） ν（dy）<∞. 特别地，如果b，σ和dψ是常数，则ψ≡ 1，那么L是一个L'evyprocess。为了处理具有有限秒矩的过程，我们进一步假设ν满足以下可积条件：Z | y|≥1yν（dy）<∞. （2.3）观察到L可以分解为确定性漂移部分、具有时变波动性的Brown-ian运动和平方可积纯跳跃鞅分量。我们还介绍了以下公约。备注2.1（跳跃测量支持）。它认为suppν 【m，m】用于-∞ ≤ m级≤ M≤ +∞.我们将m=m=0的情况正式解释为唯一情况，即当L没有跳线组件时。例如，如果m=-∞, 我们的意思是[m，m]：=(-∞, M）。我们所处的市场只有一项资产（即。

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2022-6-10 05:58:06

连续交易的日内电价，以欧元/兆瓦时表示，其市场价值S=St，根据托卡斯蒂克微分方程（u）=-λS（u）dt+dL（u），u∈ （t，t），（2.4）对于某些t，给定初始条件St，s（t）=s∈ [0，T）和s∈ R、常数λ为正，表示S的平均回复率。特别是，对于任何加法过程L，都存在唯一的e（强）解S，因此对于某些u，通常P（S（u）<0）>0≥ t、即价格可能为负值。然而，如果L只能有正跳跃，并且没有布朗分量，即它是一个时间非齐次的从属项（参见例[16]），则非负初始条件s≥ 0自然意味着S（u）对于每个u都是a.S.非负的≥ t、因此，根据建模偏好，可以考虑同时采用正值和负值的相加过程。（2.4）的唯一解，在起始条件St，s（t）=s的情况下，可以显式地写成asSt，s（u）=se-λ（u-t） +Zute-λ（u-v） dL（v）。（2.5）由于L在（2.3）之前有有限的秒力矩，S也有有限的秒力矩。日内电力市场中的最优投资组合5Ifπ（u）表示代理在时间u拥有的股票数量（即以MWh为单位的能量），相关的自我融资投资组合动力学X=Xt，s，X；π表示为dx（u）=π（u）dS（u），u∈ （t，t），（2.6）X（t）=X，（2.7），其中S=St，砂X>0。我们还假设π（T）=0，因此，试剂在终端时间T清算沉淀；换言之，我们处于纯交易环境中（见[20，备注3.1]）。然后，我们定义了可接受的交易策略集和价值函数。定义2.2（容许控制）。

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2022-6-10 05:58:09

我们将A（[t，t]）称为容许控制集，它被定义为[t，t]上的实值可预测过程π（根据[31，定义3.3]），因此以下条件成立：（1）方程（2.4）和（2.6）允许每个初始条件s（t）=s，X（t）=X，具有t的唯一强解（s，X）=（St，s，X，Xt，s，X；π）∈ [0，T）和（s，x）∈ R×R+。（2）相关财富过程为正，即Xt、s、x；π（u）>0，每个u的P-a.s∈ （t，t），最终净头寸为零：π（t）=0。定义2.3（价值函数）。如果（St，s，x，Xt，s，x；π）表示受控马尔可夫过程，从时间t的（s，x）开始，并按照（2.4）和d（2.6）进行演化，我们定义值函数v（t，s，x）=supπ∈A（[t，t]）J（t，s，x；π），其中J是目标函数：J（t，s，x；π）=E[U（Xt，s，x；π（t））]。函数U:R+→ R代表投资者的效用，是凹的、递增的，并且从下方有界。根据动态规划原理，与该优化问题相关的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程为tH（t，s，x）+supπAπH（t，s，x）=0，（t，s，x）∈ [0，T）×R×R+，（2.8）H（T，s，x）=U（x），（s，x）∈ R×R+。（2.9）根据（2.4）和（2.6），受控过程（St，s，x，Xt，s，x；π）的内部生成器Aπ作用于充分正则函数H（t，s，x），如下所示AπH（t，s，x）=（b（t）- λs）（πHx（t，s，x）+Hs（t，s，x））+πσ（t）Hxx（t，s，x）+πσ（t）Hsx（t，s，x）+σ（t）Hss（t，s，x）+ZR[H（t，s+y，x+πψ（t）y]- H（t、s、x）- （πHx（t，s，x）ψ（t）y+Hs（t，s，x）ψ（t）y）]￠νt（dydy），其中￠ν是与二维过程（s，x）相关的j ump测量。

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2022-6-10 05:58:12

由于这是一个奇异的二维测度，与线性y=y上的一维跳跃测度6 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUν（dy）重合，我们可以重写积分项asAπH（t，s，x）=（b（t）- λs）（πHx（t，s，x）+Hs（t，s，x））+πσ（t）Hxx（t，s，x）+πσ（t）Hsx（t，s，x）+σ（t）Hss（t，s，x）+ZR[H（t，s+ψ（t）y，x+πψ（t）y）- H（t、s、x）- （πHx（t，s，x）+Hs（t，s，x））ψ（t）y]ν（dy）。为了将HJB方程与控制问题联系起来，我们在[24，定理III.8.1]的基础上建立了一个验证定理。基本工具是众所周知的达因公式（见[24，p.122]），这里它适用于受控过程（S，Xπ）：Et，S，X[f（T，S（T），Xπ（T））]- f（t，s，x）=Et，s，xZTtAπ（u）f（u，S（u），Xπ（u））du,（2.10）式中，Et，s，xdenotes给定的条件期望s（t）=s，Xπ（t）=X和f：[0，t]×R×R+→ R是任何一个有意义的动作。定理2.4（验证定理）。定义集合D={f∈ C1,2（[0，T）×R×R+），因此（2.10）对每个π保持不变∈ A（[t，t]）}。让H∈ D是（2.8）的经典解，它符合终端条件（2.9）。然后itholds，for each（t，s，x）∈ [0，T]×R×R+，（1）H（T，s，x）≥ 每个容许控制π的J（t，s，x；π）∈ A[t，t]；（2）如果存在容许控制π*∈ A[t，t]使得π*（u）∈ arg maxπAπH（u，S（u），Xπ（u））P-A.S.表示u∈ 然后H（t，s，x）=J（t，s，x；π*) = V（t，s，x），即π*是一种最佳策略。证据证明是经典的，直接遵循（2.10）中的Dynkin公式。3、对数效用的最优控制和值函数在本节中，我们解决了对数效用情况下的优化问题，即（2.1）中的效用函数为u（x）=log（x）。具体而言，我们通过对数变换找到HJB方程的显式解。

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mingdashike22

2022-6-10 05:58:15

首先，我们将完全非线性的HJBequation简化为一个线性抛物型积分微分方程，在一定的假设下，可以证明其正则解的存在性。通过应用上一节的验证定理，我们证明它等于原始最大化问题的值函数（定理3.13）。我们还说明了一个最优策略的存在性并给出了它的一个表示，它被证明可以解一个积分方程。3.1. 最佳策略。利用对数效用的性质，认为如果一个最优策略π*存在，其形式为π*（u） =(R)π*（u） X（u-), （3.1）其中'π*是一个可预测的过程，可以根据St、s的s Emimatin-Gale特征（即价格过程的局部行为）进行隐含定义（见[28，定理3.1]）。这意味着我们可以明确地描述财富过程积极的策略。事实上，对于容许策略π（u）：=(R)π（u）X（u- ) 我们可以重写（2.6）asdX（u）=X（u-) π（u）dS（u）。（3.2）日内电力市场中的最优投资组合7这使得我们可以得到f或一般‘∏X的显式公式，因为它采用了一个离散指数的形式（参见[16，第8.4节]）。根据It^o公式，X（u）=X·e'π（u）s（u）-车辙σ（v）(R)π（v）dvYt<v≤u（1+(R)π（v）S（v））e-S（v），P-a.S.提案3.1（投资组合价值的积极性）。如果π（u）=π（u）X（u-), 它容纳Xt、s、x；π（u）>0，P-a.s。，u∈ [t，t]，当且仅当‘（u）ψ（u）y>-1 P-a.s.，ν-a.e.年∈ R、适用于所有u∈ [t，t]。证据从（2.6）中，如果S的时间t处的跳跃度量被视为一个加法过程，由νSt决定，则它认为suppνSt=suppν。然后，{π（u）S（u）>-1 P-a.s。，u≤ T}当且仅当{π（u）L（u）>-1 P-a.s。，u≤ T} ，相当于{π（u）ψ（u）y>-1P-a.s.，ν-a.e.y∈ Ru≤ T}。

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2022-6-10 05:58:18

因此，对于π（u）=π（u）X（u）形式的每种策略，投资组合都是正的-) 这样的‘∏在适当选择的集合中取值。以下是容许控制的特征。定义3.2。设∏=∏ν，ψ是一个紧集，使得∏ν，ψb∏ν，ψ：={π∈ R s.t.’πψy>-每个y 1个∈ [m，m]和ψ∈ [ψ, ψ]}.可预测的过程'π：[t，t]→ 如果存在容许策略π，则∏称为归一化容许策略∈ A（[t，t]），使得π（u）=π（u）X（u-)适用于所有u∈ 【t，t】，P-a.s.备注3.3。根据测度ν的支持度，setb∏：=b∏ν，ψ由情况A：b∏=(-Mψ，-mψ）如果m<0且m>0（正负j umps），情况B：B∏=(-Mψ+∞) 如果0≤ m级≤ M和M 6=0（仅正跳跃），情况C：b∏=(-∞, -mψ）如果m≤ M≤ 0和m 6=0（仅为负跳跃），情况D：如果m=m=0（无跳跃），则b∏=R，一致解释其中n必要：例如，如果m=+∞, (-Mψ+∞) :=[0, +∞). 请注意，在所有情况下，我们都有0∈b∏。如果m=-∞ 和M=∞, 然后b∏={0}，这使得问题变得微不足道。因此，为了摆脱这种情况，我们可以假设从现在起，m和m之间至少有一个是有限的。备注3.4。setb∏=b∏ν，ψ是根据过程L的跳跃特征定义的（参见[29，第2节]中中性约束的类似概念）。

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2022-6-10 05:58:21

另一方面，我们对∏的定义有一定的自由，因为我们只要求它是b∏的一个紧子集。直觉上，我们限制了可能的交易策略的范围，以便即时投资组合的价值不能跳到（或低于）零，因为任何允许的（标准化的）头寸∏。为了找到HJB方程的解，我们采用以下方法：H（t，s，x）=U（x eg（t，s））=log（x）+g（t，s）。【20】中针对高斯过程的具体情况引入的这种变换与【43】中采用的变换类似，主要区别在于我们的现货价格动态的算术性质。我们从静态最大化问题开始，即策略π的所有可能值上的广义哈密顿量的最大化。与往常一样，在8 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUthis方法中（参见[24]中的讨论），一个候选最优策略π∈ A[t，t]可以通过计算π得到*（t，s，x）=arg maxπAπH（t，s，x）和定义π*（t）：=π*（t，S（t-), X（t-)). 通常指的是确定性函数π*（t，s，x）作为最优马尔可夫控制策略。因为我们是对数效用（参见（3.1）），所以我们可以写π*（t，s，x）=π*（t，s）·x.简单计算yieldAπH（t，s，x）=（b（t）- λs）πx+gs（t，s）-σ（t）πx+σ（t）gss（t，s）（3.3）+ZRhlog（x+πψ（t）y）+g（t，s+y）- 日志（x）- g（t，s）-πψ（t）x+gs（t，s）yiν（dy）。忽略不依赖于π的项，我们得到arg maxπAπH（t，s，x）=arg maxπ（b（t）- λs）πx-σ（t）πx+ZR日志1+πψ（t）xy-πψ（t）xyν（dy）=x·arg max'π∈πf（(R)π；t，s），其中函数f：π×[0，t]×R→ R定义为asf（(R)π；t，s）：=（b（t）- λs）’π-σ（t）’π+ZR[对数（1+’πψ（t）y）- πψ（t）y]ν（dy）。

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2022-6-10 05:58:24

（3.4）变量∏的最大化表达式为三项之和：线性项、严格凹函数和严格凹函数的积分。因此，我们在紧集∏上最大化一个整体严格凹函数。这确保了存在唯一的最大化器‘∏*= π*（t，s）：=arg max'π∈πf（(R)π；t，s）。（3.5）备注3.5。通过采用这个符号，我们提前揭示了π处的th*对应于非最优策略，但我们尚未给出证明。该候选人的最优性将在定理3.13中通过应用上一节的验证定理进行验证。回顾π*（t，s，x）=π*（t，s）·x，我们可以用简化形式写出HJB方程tH（t，s，x）+Aπ*（t，s，x）H（t，s，x）=0，也就是说，与我们的猜测一致，H（t，s，x）=log（x）+g（t，s），gt（t，s）+（b（t）- λs）（(R)π*（t，s）+gs（t，s））-σ（t）’π*（t，s）+σ（t）gss（t，s）+ZRhlog（1+(R)π）*（t，s）ψ（t）y）- π*（t，s）ψ（t）y+g（t，s+ψ（t）y）- g（t，s）- gs（t，s）ψ（t）yiν（dy）=0，在收集了带有g的项后，方程读数为sgt（t，s）+（b（t）- λs）gs（t，s）+σ（t）gss（t，s）+ZR[g（t，s+ψ（t）y）- g（t，s）- gs（t，s）ψ（t）y]ν（dy）=- f*（t，s），（3.6），终端条件g（t，s）=0，其中我们定义f*: [0，T]×R→ R byf*（t，s）：=f（(R)π）*（t，s）；t、 s）。（3.7）如果我们将（3.6）解释为唯一未知g中的一个方程，则其形式为线性抛物线部分积分微分方程（PIDE）。此类方程的分析通常是一项微妙的任务，据我们所知，对于此类问题的常规解，日内电力市场9中的最优投资组合的存在结果并不多（见[6、17、19、42]和其中的参考文献）。在某些假设下，我们能够证明存在性和概率表示公式：我们将在命题3.11和3.12中这样做。

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2022-6-10 05:58:27

需要注意的是，在对数情况下，我们可以通过解开发现∏的问题，直接求解HJB方程*（t，s）和函数g（t，s）。作者已经证实，这不是一般CARA或CRRA实用程序的情况，这使得解决HJB方程的问题更加困难和有趣（另请参见[1]）。然而，HJBequation的近似值已在[3，40]中针对CR R A效用的类似随机框架中提出。为了解决PIDE，我们首先必须研究（3.5）中隐含的策略属性。支配收敛定理的直接应用和L的二阶矩的不确定性确保f（·；t，s）是可微的f或任何t∈ [0，T]和s∈ R、因此，如果最大化器'π*= π*（t，s）是一个内点，它是一阶条件f′（’π）的唯一解*; t、 s）=b（t）- λs- σ（t）’π*-ZR′π*ψ（t）y1+’π*ψ（t）yν（dy）=0。（3.8）我们注意到，这是第三个条件【28，定理3.1】的明确确定性对应物。在接下来的两个命题中，我们总结了候选（规范化）最优策略和函数f的性质*出现在HJB方程中。提案3.6。假设∏是一个包含0的紧区间。

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可人4

2022-6-10 05:58:30

（3.4）和（3.5）中的静态优化问题允许一个u nique最大化器∏*: [0，T]×R→ 具有以下性质的∏：（1）对于每个t∈ [0，T]，它保持'π*t、 b（t）λ= 0。（2）映射'π*: [0，T]×R→ π是连续的，尤其是可测且有界的。（3）对于每个t∈ [0，T]，存在一个开放区间∑（T），使得限制∏*（t，·）∑（t）严格递减且光滑，其中情况A：∑（t）=（s（t），s（t）），情况B：∑（t）=(-∞, s（t）），情况C：∑（t）=（s（t）+∞),案例D：∑（t）≡ R、此外，对于任何t∈ [0，T]π的导数*（t，·）∑（t）可以扩展到∑（t）。（4）对于每个t∈ [0，T]，映射'π*（t，·）：R→ π在整条实线上递减，尤其是在情况A中：存在s，ssuch，对于任何t∈ [0，T]，我们有-∞ < s≤b（t）λ≤s<∞ 和‘∏*（t，s）≡（最大∏，如果s≤ s、最小∏，如果s≥ s、案例B：存在这样的情况，对于任何t∈ [0，T]，我们有b（T）λ≤ s<∞ 和‘∏*（t，s）≡ s最小∏≥ s、案例C：对于任何t∈ [0，T]，我们有-∞ < s≤b（t）λ和π*（t，s）≡ s最大∏≤ s、案例D：我们可以将最大化子显式地写为‘∏*（t，s）=b（t）- λsσ（t），10 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO Vargiolu，对于每个t和s，上述数量定义明确，属于∏。（5）特别是，对于所有t∈ [0，T]映射'π*（t，·）是Lipschitz连续一致int∈ [0，T]（即Lipschitz常数L独立于T）。证据见附录B。备注3.7。在命题3.6的表示法中，对于案例A、B、C，我们可以更明确地写出ys（t）=lim'π→πs*（t，’π）=λb（t）- σ（t）’π-ZR'πψ（t）y1+'πψ（t）yν（dy）,s（t）=lim'π→πs*（t，’π）=λb（t）- σ（t）’π-ZR'πψ（t）y1+'πψ（t）yν（dy）,ands=薄荷糖∈[0，T]s（T），s=最大值∈[0，T]s（T）。备注3.8。为了解释命题3.6的结果，让我们假设例如案例A中的tobe。

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2022-6-10 05:58:33

回想一下，在这种情况下，我们可以看到价格的上涨和下跌（见备注3.3），并且标准化头寸∏（t，s（t））也可以取负值，因此允许短期抛售。在每个时间t，如果价格s（t）达到（依赖时间的）“均衡”b（t）/λ级，则执行最佳的交易者将获得净零头寸。此外，如果价格高于这个水平，他就会做多，因此，当价格低于这个水平时，他就会做空。随着价格下降，交易分配增加（带符号），反之亦然。此外，s（相对s）由较低（相对较高）的价格阈值组成，在该阈值下，交易者根据∏中规定的交易约束，独立于时间瞬间，采取可能的最长（相对最短）头寸。提案3.9。函数f*: [0，T]×R→ （3.7）中的R是连续可微分的，Lipschitz连续的，带有偏导数tf公司*（t，s）=b′（t）’π*（t，s）- σ（t）σ′（t）’π*（t，s）- ψ（t）ψ′（t）’π*（t，s）ZRy1+’π*（t，s）ψ（t）yν（dy），旧金山*（t，s）=-λπ*（t，s）。此外，它在t中均匀地作为s的线性函数增长，即| f*（t，s）|≤ C（1+| s |），C仅依赖于λ，T，kbk∞, kσk∞, kψk∞.证据回想一下，通过定义f（(R)π；t，s）=（b（t）- λs）’π-σ（t）’π+ZR[对数（1+’πψ（t）y）- πψ（t）y]ν（dy），这是变量（t，s）中任意π的连续可微函数∈ π，因为b、σ和ψ是连续可微的。然后，根据丹斯金定理[18，定理1]，f*（t，s）=最大'π∈πf（(R)π；t，s）可与偏导数区分tf公司*（t，s）=tf（(R)π；t，s）|π=(R)π*（t，s），旧金山*（t，s）=sf（(R)π；t，s）|π=(R)π*（t，s）。日内电力市场中的最优投资组合11由于它们是有界连续函数，因此f*∈ C（[0，T]×R）和Lipschitzcontinuous。线性界是f的定义和π的界的直接结果*（t，s）。3.2.

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2022-6-10 05:58:36

概率表示和正则解的存在性。在研究了redu-ced HJB方程（3.6）强迫项的正则性之后，我们讨论了解的存在性问题。首先，我们澄清了这类积分微分方程经典解的自然概念。通过【15，第17.4节】，我们可以说函数g:[0，T]×R→ R属于集合C1,2ν，ψ=C1,2ν，ψ（[0，T）×R），如果它在第一个自变量中连续可微分，在第二个自变量中连续可微分两次，并且以下可积条件成立：∈ [0，T）和s∈ R、 ZR | g（t，s+ψ（t）y）- g（t，s）- gs（t，s）ψ（t）y |ν（dy）<∞. （3.9）那么，HJB方程的经典解是一个函数g:[0，T]×R→ R属于1,2ν，ψ（[0，T）×R），满足积分微分方程（3.6）.我们现在给出三个结果。首先，我们回顾Feynman Kaˋc定理的一个版本，该定理给出正则解的概率表示。然后，我们陈述了经典解的两个存在性结果：第一个结果适用于无扩散部分的加性过程，第二个结果适用于复合泊松过程和一致非退化布朗分量。定理3.10（Feynman Kaˇc公式）。假设g是C1,2ν，ψ（[0，T）×R）∩ （3.6）的C（[0，T]×R）溶液，满足生长条件：maxt∈[0，T]| g（T，s）|≤ K（1+s），对于s∈ R、此外，如果存在ε>0，则z | y|≥1 | y | 2+εν（dy）<∞,然后我们可以在下面的费曼Kaˇc类型中重新表示g（t，s）=EZTtf公司*（u，St，s（u））du. （3.10）证明。证明是经典的：见[15，定理17.4.10]。在接下来的命题中，我们证明了（3.6）在不存在布朗分量的情况下经典解的存在性。假设1。

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2022-6-10 05:58:39

（2.2）中的偏差分量为零，即σ≡ 我们遵循[9]的思想，这里通过费曼Kaˇc公式构造猜测。让我们注意到，我们通过证明时间非齐次L'evy过程和可能的有限变差平方可积L'evy测度的经典解的存在性，推广了[9]中的结果。更详细地说，我们认为g（t，s）：=EZTtf公司*（u，St，s（u））du（3.11）是一个定义良好的正则函数，用经典公式求解PIDE。我们需要一些初步建议，这些建议收集在附录A.12 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUProposition 3.11（纯跳跃案例）中。在假设1下，函数G（t，s）在t f或所有s中是连续可微的∈ 并求解以下部分积分微分方程：Gt（t，s）+（b（t）- λs）Gs（t，s）+ZR[G（t，s+ψ（t）y）- G（t，s）- Gs（t，s）ψ（t）y]ν（dy）=- f*（t，s），终端条件G（t，s）=0。特别是G∈ C1,1ν，ψ（[0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）。此外，对于所有t∈ [0，T）和s∈ R下列可积条件成立：EZTtZRG（u、St、s（u-) + ψ（u）y）- G（u、St、s（u-))ν（dy）du< ∞.证据修复t∈ [0，T），h>0，并将其^o引理应用于G（T+h，s（·）），从T到T+h。然后，wehaveG（T+h，s（T+h））=G（T+h，s（T））+Zt+ht（b（u）- λS（u））sG（t+h，S（u））du+Zt+htZR[G（t+h，S（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））- sG（t+h，S（u））ψ（u）y]ν（dy）du+Zt+htZR[G（t+h，S（u-) + ψ（u）y）- G（t+h，S（u-))]N（dy，du）。现在，除以h，取期望值Et，s。

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2022-6-10 05:58:42

Fubini定理给出Et，s【G（t+h，s（t+h））】- G（t+h，s）（3.12）=hZt+htEt，s[（b（u））- λS（u））sG（t+h，S（u））]du+hZt+htZREt，S[G（t+h，S（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））- sG（t+h，S（u））ψ（u）y]ν（dy）du+hEt，SZt+htZRG（t+h，S（u-) + ψ（u）y）- G（t+h，S（u-))N（dy，du）.根据中值定理，自映射u 7→ Et，s[（b（u）- λS（u））sG（t+h，S（u））]是连续的，我们有一个∈ [t，t+h]那Zt+htEt，s[（b（u））- λS（u））sG（t+h，S（u））]du= Et，s[（b（uh）- λS（uh））sG（t+h，S（uh））]，（3.13）收敛到（b（t）- 当h接近0时，λs）Gs（t，s）。类似地，对于第二项，它表示hzt+htZREt，s[G（t+h，s（u）+ψ（u）y）- G（t+h，S（u））- sG（t+h，S（u））ψ（u）y]ν（dy）du=ZREt，S[G（t+h，S（uh）+ψ（uh）y）- G（t+h，S（uh））- sG（t+h，S（uh））ψ（uh）y]ν（dy），对于uh∈ [t，t+h]。由于期望中的所有映射都是连续的，当h趋于零时（参见引理A.4），最后一项收敛到Zr[G（t，s+ψ（t）y）- G（t，s）- Gs（t，s）ψ（t）y]ν（dy）。日内电力市场的最优投资组合13此外，Et，sZt+htZRG（t+h，S（u-) + ψ（u）y）- G（t+h，S（u-))N（dy，du）= 最后，左侧的ide可以写为Et，s【G（t+h，s（t+h））】- G（t，s）+h（G（t，s）- G（t+h，s））。根据马尔可夫性质和塔式规则，Et，s[G（t+h，s（t+h））]=EEZTt+hf*（u，St+h，St，s（t+h）（u））du= EEZTt+hf*（u，St，s（u））du英尺+小时= EZTt+hf*（u，St，s（u））du.因此，hEt，s【G（t+h，s（t+h））】- G（t，s）=h类EZTt+hf*（u，St，s（u））du- EZTtf公司*（u，St，s（u））du= -他Zt+htf*（u，St，s（u））du,收敛到-f*（t，s）随着h变为零。然后，我们发现-h（G（t+h，s）-G（t，s））存在并等于（b（t）- λs）Gs（t，s）+ZR[G（t，s+ψ（t）y）- G（t，s）- Gs（t，s）ψ（t）y]ν（dy）+f*（t，s），因此在Gt（t，s）处存在th，并且它是连续的，是右边的连续项。

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2022-6-10 05:58:45

此外，我们从这个表达式中得到，它解决了该语句的积分微分方程。对于最后一点，如引理A.4中所述，充分观察到G（u，St，s（u）+ψ（u）y）- G（u、St、s（u））我≤ supz公司∈RGs（u，z）ψ（u）y≤ Ce2λuy，因为G在z上是Lipschitz连续的，在u上是一致的。在最后一个命题中，应用[42]的一个结果证明了二阶算子为统一椭圆且L的跳跃部分为复合泊松过程的存在唯一性。假设2。假设（2.2）中σ（t）>0表示所有t∈ [0，T]和ν是一个有限的L'evy度量。命题3.12（有限L'evy测度）。在假设2下，f函数（t，s）：=EZTtf公司*（u，St，s（u））du14 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUis唯一的C1,2ν，ψ（[0，T）×R）∩ （3.6）的C（[0，T]×R）溶液。此外，以下可积条件成立：EZTtZRG（u、St、s（u-) + ψ（u）y）- G（u、St、s（u-))ν（dy）du< ∞,EZTtσ（u）Gs（u，St，s（u））du< ∞.证据首先，观察到，由于ν是与复合泊松过程相关的L'evy度量，因此空间C1,2ν、ψ（[0，T）×R）和C1,2（[0，T）×R）重合（参见[15，定义17.4.9]）。因此，我们只需验证[42，命题5.3]的假设是否充分。注意，（H6）对应于假设L'evy跳跃分量是一个复合泊松过程。然后，为了应用[42，命题5.3]，仍需证明f*: [0，T]×R→ Ris Lipschitz continuous，源自命题3.9。可积条件可以在引理A.3中证明。最后，我们应用验证定理并陈述本节的主要结果。定理3.13。

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2022-6-10 05:58:48

设g为C1,2ν，ψ（[0，T）×R）∩（3.6）的C（[0，T]×R）解，并假设，对于任何T∈ [0，T）和s∈ R、我们有以下条件ZTtZRg（u、St、s（u-) + ψ（u）y）- g（u、St、s（u-))ν（dy）du< ∞,EZTtσ（u）gs（u，St，s（u））du< ∞,其中S=St，sis为ds（u）=-λS（u）du+dL（u），u∈ （t，t），S（t）=S。然后，函数π*（t，s，x）：=’π*（t，s）·x，带'π*如命题3.6所示，是一个最优马尔可夫控制策略，即它在定义2.2的意义上诱导了一个可接受的策略，并且对于每个∈ [0，T），s∈ R、 x个∈ R+，我们得到J（t，s，x；π*) = V（t，s，x）=对数（x）+g（t，s）。证据见附录C。推论3.14。假设假设1或假设2，负（t，s）=EZTtf公司*（u，St，s（u））du.那么，π*（t，s，x）：=’π*（t，s）·x，如命题3.6所示，是一个最优马尔可夫控制策略，j（t，s，x；π*) = V（t，s，x）=对数（x）+G（t，s）。估计最优策略：默顿比和泰勒近似在证明了最优策略的存在性并描述了最优策略的分析性质之后，我们现在研究通过近似计算它的简单方法。日内电力市场的最优投资组合154.1。定义和直觉。在他关于投资组合选择的开创性工作中[37]，默顿研究了当风险资产遵循几何布朗运动时投资者财富的最优配置：dS（t）=us（t）dt+σs（t）dW（t），t∈ （0，T），并发现对数实用程序的最佳分配为π*M=uσ，由超额收益与原木价格局部方差的比率组成。相反，在我们的框架中，价格动态aredS（t）=（b（t）- λS（t））dt+σ（t）dW（t）+ψ（t）ZRyN（dy，dt），t∈ （0，T）。这里，时间T的局部方差是连续分量σ（T）和跳跃部分σL（T）方差之和：=ψ（T）RRyν（dy）。

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2022-6-10 05:58:51

那么，在这种情况下，确定默顿比率π的类似物是自然而然的*Mas′π*（t，s）：=b（t）- λsσ（t）+σL（t）。（4.1）当对（3.8）应用泰勒近似时，该比率自然出现。回想一下最佳规范化策略‘∏*定义为“π”*（t，s）=arg max'π∈πf（(R)π；t，s），其中f（(R)π；t，s）=（b（t）- λs）’π-σ（t）’π+ZR[对数（1+’πψ（t）y）- πψ（t）y]ν（dy）。如果在内点处达到最大值（参见命题3.6），则'π*满足积分方程b（t）- λs- σ（t）’π-ZR'πψ（t）y1+'πψ（t）yν（dy）=0。（4.2）如果我们用零附近的二阶Tay-lor展开代替被积函数，则积分方程变为B（t）- λs- σ（t）’π- πψ（t）ZRyν（dy）=0，（4.3），其唯一解正是策略“a la Merton”π*我们在（4.1）中定义的（t，s）。【12】中引入的类似泰勒截断h，用于研究L'evy过程的近似值，并在【41】中进行了数值测试。此外，[3，40]得出了一个类似的近似策略，用于带跳跃的仓促波动率模型，但它们首先直接近似HJB。其想法是将小跳跃视为一个额外的布朗成分（非常符合[4]的精神），而忽略较大的跳跃。现在，让我们在有限活动情况下引入更精确的近似值。我们假设ν（[m，m]\\{0}）<∞, i、（2.4）中的跳跃分量实际上是一个复合泊松过程，这通常是应用中最有趣的情况。因此，l'evy度量采用f formν（dy）=ηf（dy），其中η是跳跃强度，f（dy）是跳跃大小分布。根据我们的现有假设，分布F允许单位预期uF和方差σF。

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2022-6-10 05:58:54

我们提醒，如果通过与我们的设置一致的方式确定最优政策，我们假设无风险利率r为零，并且在交易期间没有消费。16（4.2）中的MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLU一阶条件。让我们在任意（有限）点y附近写出被积函数的泰勒多项式∈ [m，m]\\{0}。因此，我们设置φ（y）：=’πy1+’πψ（t）并计算其导数。将其展开式减至一阶，我们得到φ（y）=πy1+？πψ（t）y+2？πy+？πyψ（t）（1+？πψ（t）y）（y- y） +o（y- y）。（4.4）然后，（4.2）变成b（t）-λs-σ（t）’π-\'-πψ（t）y1+\'-πψ（t）yν（[m，m]\\{0}）-2‘πψ（t）y+’πψ（t）y（1+’πψ（t）y）ZR（y-y） ν（dy）=0。（4.5）从这个表达式可以清楚地看出，选项y给出了一个重要的简化：=ν（[m，m]\\{0}）ZRyν（dy），因为在这种情况下，一阶项刚好消失。此外，通过编写关于F的L'evy度量，我们看到y对应于跳跃大小的平均值：y=ηRRF（dy）ηZRy F（dy）=uF。（4.6）我们基本上是用被积函数在积分平均值周围的线性近似来代替被积函数，或者，从另一个角度来看，我们是近似ju-mps关于跳跃大小平均值的函数。由于这里我们考虑了跳跃测量特性，因此这与第一近似值“π”略有不同*（泰勒多项式以零为中心）。因此，从（4.5）中，我们得到了以下‘π的近似方程式：-σ（t）ψ（t）uF′π+（uFψ（t）（b（t））- λs）- σ（t）- uFψ（t）η）’π+b（t）- λs=0。（4.7）在σ（t）ψ（t）6=0的情况下，它是变量π中的二阶多项式。因此，对于每个t∈ [0，T]我们有两种（通常）不同的解决方案。然而，只有其中一个是可以接受的，这意味着‘∏*（t，s）∈ 对于s的每个可能值∏。

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mingdashike22

2022-6-10 05:58:57

由于模糊性来自对数的定义域，我们只需要施加条件1+(R)π*ψ（t）uF>0。这会导致‘∏*（t，s）：=p（t，s）+√p（t，s）+4p（t，s）2p（t，s），如果uF>0，p（t，s）-√p（t，s）+4p（t，s）2p（t，s），如果uF<0，其中p（t，s）=uFψ（t）（b（t）- λs）- uFψ（t）η- σ（t），p（t，s）=uF（b（t）- λs）σ（t）ψ（t），p（t，s）=uFψ（t）σ。另一方面，在纯跳跃上下文中（σ（t）≡ 0），我们得到简单的π*（t，s）=-b（t）- λsψ（t）uFb（t）- λs- ηψ（t）uF, （4.8）对于任何uF6=0，对于每个t和s，使得'π*（t，s）定义明确，并将值纳入∏。日内电力市场的最优投资组合174.2。错误界限。为了估计逼近误差，我们计算了最佳归一化策略∏之间的差异*和近似的‘π’*和‘∏*.提案4.1。假设∏包含0和跳跃三阶矩的完整性，即z | y|≥1 | y |ν（dy）<∞,表示σ=min[0，T]σ（T），σν=RRyν（dy）。若我们不是3.3中的情况D（无跳跃），则f或每个t∈ [0，T]它认为|π*（t，·）- π*（t，·）|≤ CZR | y |ν（dy），其中C是一个常数，取决于δ：=dist（π），b∏）、max∏、min∏、m、m、ψ、σ和σν，根据以下不同情况：情况A：C=Cmin{1，ΔψM，-Δψm}如果m 6=-∞, M 6=+∞,Cmin{1，ΔψM}如果M=-∞, M 6=+∞,Cmin{1，-Δψm}如果m 6=-∞, M=+∞.情况B：如果M 6=+∞,到岸价M=+∞.案例C：C=（Cmin{1，-Δψm}如果m 6=-∞,到岸价m=-∞,其中C：=ψσ+ψσνmaxπ∈Ππ.提案4.2。假设我们不在备注3.3的情况D中。此外，我们支持0∈ π，σ（t）和u的值不等于0。

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2022-6-10 05:59:00

然后对于每个t∈ [0，T]我认为|(R)π*（t，·）- π*（t，·）|≤ηψCσFσ+ηψCuF，其中σ=min[0，T]σ（T），σFis是随机跳跃大小方差的平方根，C，关心常数取决于δ：=距离（π，b∏）、max∏、m in∏、m、m、ψ，根据以下不同情况：情况A：C=max{1，（ΔψM），（ΔψM）}+max{1，ΔψM，-Δψm}，如果m 6=-∞, M 6=+∞,max{1，（ΔψM）}+max{1，ΔψM}，i f M=-∞, M 6=+∞,max{1，（Δψm）}+max{1，-Δψm}，如果m 6=-∞, M=+∞.C=（（1+最大∏ψuF）如果uF>0，（1+最小∏ψuF）如果uF<0.18 MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUcase B：C=（最大{1，（ΔψM）}+最大{1，ΔψM}，如果M 6=+∞,如果M=+∞.C=（1+最大∏ψuF）。情况C：C=（max{1，（Δψm）}+max{1，-Δψm}，如果m 6=-∞,如果m=-∞.C=（1+最小∏ψuF）。5、数值示例在本节中，我们用一种最流行的电价模型，即[10]中的因子模型来测试我们的交易策略。在那里，作者在日前市场的背景下，对三种不同的电力现货价格模型进行了关键性的比较。事实上，这是一个典型的拍卖市场，在该市场中，电价在随后的一天固定，因此在一年的时间内，将每日平均价格考虑在内。因此，我们关注不同的市场和价格定义。回想一下，我们采取的是日内市场代理人的观点，这是一个电力交易持续时间为8-27小时（取决于合同）的交易所，通常以季度或每小时远期合同的形式进行交易。然而，我们的目标是利用[10]中的分析，其中模型根据Nord Pool现货市场数据进行校准，主要有两个原因。首先，日内市场的风格化特征与日前价格系列中观察到的特征具有相似的性质，例如尖峰行为、高波动性、瘦肉症（有关更详细的实证研究，请参见[20，33]）。

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