小时间范围最优投资组合的渐近逼近

2022-5-30 21:47:19

小时间域最优投资组合的渐近逼近*密歇根州底特律市韦恩州立大学数学系48202Hussein Nasralah+密歇根州底特律市韦恩州立大学数学系482022022年3月3日摘要：我们考虑在一个简单的不完全市场和一般效用函数下的投资组合优化问题。通过使用相关的Hamilton-Jacobi-Bellman部分微分方程（HJB PDE），我们获得了一个交易策略的封闭式公式，该公式近似于时间范围较小时的最优交易策略。该策略由值函数的一阶近似值生成。近似值函数是通过构造HJB PDE的经典子解和超解，并使用水平时间幂的形式展开来获得的。鞅不等式用于将真值函数夹在构造的子解和超解之间。对近似公式的精度给出了严格的证明。我们将使用启发式方案将我们的小时间近似公式扩展到有限时间范围内的近似公式。1、导言本文研究了时间范围很小时的投资组合优化问题。为简单起见，我们考虑一个有两种资产的金融市场，一种是有风险的，另一种是无风险的。给定一对（t，x）∈ [0，T]×（0，∞)对于初始时间t和初始财富x，投资者希望以这样一种方式进行投资，以便根据今天的信息，最大限度地提高其在时间t的预期财富利用率。

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2022-5-30 21:47:22

具体地说，如果UT（x）是一个模拟投资者在终端时间T的财富效用的函数，那么投资者希望选择一个投资组合π，其最大化E[UT | Ft]（F是非正式地表示时间T之前信息的西格玛代数）。在风险资产价格过程的马尔可夫假设下，可以通过相关的HJB方程来研究该优化问题，如[7、8、10、15]中所述。默顿（Merton）[8，9]在完整市场中首次在连续时间背景下研究了该投资组合优化问题。效用最大化问题也可以用对偶参数来研究，如[3，5，6，13]所示。投资组合优化也在有限时间范围的假设下进行了研究，例如[8、9、11、12]。在[11，12]中，作者研究了有限时间范围内的最优投资和消费问题，假设模型具有随机利率，风险资产价格是几何布朗运动。Tehranchi[14]在不完全市场的假设下研究了这个问题，市场由两个布朗运动驱动，资产价格不一定是马尔可夫的。由于缺少马尔可夫结构，无法使用动态规划原理。通过证明相关布朗运动泛函的H¨older型不等式，Tehranchi[14]能够研究当效用函数是财富函数和相关布朗运动函数的乘积时的投资组合优化问题*rkumar@math.wayne.edu+侯赛因。nasralah@wayne.edustochastic因素当财富的函数是指数函数、对数函数和幂函数时，在[14]中获得了显式公式。在不完全市场中，文献中关于最优投资组合的显式公式很少，人们试图得到近似公式。

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2022-5-30 21:47:25

我们提到了这方面的一些工作，其中风险资产价格模型是马尔可夫模型，具有相关的随机因素。在[15]中，效用函数被假定为恒定相对风险规避（CRRA）类型，即财富幂函数和取决于随机因素的函数的乘积。在这个假设下，Zariphopoulou在[15]中能够得到线性抛物型偏微分方程解的值函数。[15]中的结果对于计算特定示例的显式公式是有用的。在文献[7]中，Lorig和Sircar考虑了有限期内的投资组合优化问题，假设风险资产的局部随机波动率模型。他们使用模型系数的泰勒级数展开式来获得价值函数和最优投资组合的近似公式。虽然获得了一般效用函数的近似公式，但近似精度仅在电力效用的情况下确定。Fouque等人在[4]中假设了一个具有多尺度随机因素的模型，并通过渐近分析获得了最优投资组合的近似公式。在文献[4，7]中，相关HJB方程的适定性尚未建立，作者的工作假设值函数是具有充分正则度的HJB方程的经典解。在【10】中，以及在我们的论文中，都没有做出这样的假设。在[10]中，Nadtochiy和Zariphopouloustaust指出，他们的模型是对Merton在[8，9]中引入的模型的不完全市场的“最简单和最直接的扩展”。在这个模型中，效用函数只依赖于财富。作者没有直接使用相关的HJB方程，而是使用边际HJB方程，他们认为该方程具有唯一的粘度解（有关粘度解的更多信息，请参见[2]）。

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2022-5-30 21:47:28

在不假设值函数满足HJB方程的情况下，Nadtochiy和Zariphopoulou在[10]中证明了边际HJB方程粘度解的积分确实是值函数。此外，作者推导出了他们称之为“最优投资组合”的近似值-最佳投资组合“[10]。在本文中，我们找到了一个封闭式公式，用于在风险资产价格的随机波动率模型下，在小时间范围内近似最优投资组合。由于关联HJB方程的适定性尚未建立，我们不假设值函数是HJB方程的经典解。此外，我们不假设效用函数的特定形式。我们只假设当财富接近0或∞ 作为对数实用程序或sumof电力实用程序。建立了近似的精度。然后，我们使用小时间近似在更长的时间范围内迭代构建近似。我们的讨论和结果组织如下：我们在第2节陈述了我们的模型假设，以及我们对效用函数及其导数行为的假设。主要定理在第3节中得到了验证。在第4节中，我们构建了接近最优的投资组合，并验证了贴近度。在第5节中，我们通过一个示例以图形方式说明我们的小时间近似。然后，第4节中的结果在第6节中扩展到更长的时间范围，并应用于一个示例。2、模型和假设我们考虑以下简单的不完全市场模型，如【10】中所述，但我们对终端效用函数的假设与【10】中所考虑的不同。考虑一个由一项风险资产（如股票）组成的市场，其价格过程为一项无风险资产（如债券）。

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2022-5-30 21:47:31

风险资产的价格过程满足度t=u（Yt）Stdt+σ（Yt）StdWt，（2.1），其中yti是一个随机因素，其演变为dyt=b（Yt）dt+a（Yt）（ρdWt+p1-ρdWt）。（2.2）向量Wt=（Wt，Wt）是一种二维标准布朗运动，适用于自然过滤（Ft）t∈[0，T]由Ft=σ（Ws：0）给出≤ s≤ t），和ρsaties-1<ρ<1。我们还定义了夏普比λ（Yt）：=u（Yt）-rσ（Yt），其中r是无风险利率。假设2.1（模型假设）。表示为C（R）连续函数的空间f:R→ R、 Ck（R）是k次连续可微函数的空间g:R→ R（用于k≥ 1，k∈ N）。随机微分方程（SDE）（2.1）和（2.2）中的系数以及λ满足以下条件（如【10】中的假设1】）：1。u，σ∈ σ为严格正的C（R）。2、b∈ C（R）和λ，a∈ C（R）具有严格的正。3、存在一个常数c>0，使得| a |+| a |+|+| a |+| b |+| b |+|λ|+|λ|+|λ|≤ c、假设2.2（效用假设）。我们用UT（x）表示投资者的终端效用函数。Weassume UT（x）是一个严格递增的凹函数，属于C（R）。此外，我们对效用函数的渐近增长作出以下假设：UT（x）是这样的，即在情况1中：条件（2.3）-（2.6）对M（x）成立：=log（x）；或案例2：条件（2.3）-（2.6）保持M（x）：=x1-α1-α+x1-β1-β、 α，β6=1，阳性。渐近增长条件：0<infx>0UT（x）M（x）≤ supx>0UT（x）M（x）< ∞ （2.3）0<infx>0UT（x）M（x）≤ supx>0UT（x）M（x）< ∞ （2.4）0<infx>0U（3）T（x）M（3）（x）！≤ supx>0U（3）T（x）M（3）（x）！<∞ （2.5）0<infx>0U（4）T（x）M（4）（x）！≤ supx>0U（4）T（x）M（4）（x）！<∞. （2.6）备注2.1。这些假设允许C（R）中任何严格递增的凹效用函数，其表现为对数函数或不同的幂函数，随着财富接近0和∞.

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2022-5-30 21:47:34

这类效用函数的三个例子是：1。电源实用程序：UT（x）=x1-γ1-γ、对于某些正γ6=1.2。混合电力设施：UT（x）=cx1-α1-α+cx1-β1-β、对于c，c>0，对于正α，β6=1.3。日志实用程序：UT（x）=日志（x）。备注2.2。虽然假设2.2中的效用假设与[10]中的效用假设相似，但这些假设适用于对数效用函数以及由幂函数混合描述的效用函数；文献[10]中的结果没有涵盖这两个例子。由于投资者将投资于一项风险资产和一项无风险资产，πtwill表示在时间t时投资于风险资产的财富的贴现金额。我们希望只考虑自我融资交易策略，因此，通过πt表示投资于无风险资产的财富的贴现金额，选择πt必然意味着πt的价值。因此，如[10]所示，我们将用风险资产中的πt金额确定每个交易策略。由此我们可以定义贴现财富过程Xπt：=πt+πt。该过程按照以下方式发展：dxπt=σ（Yt）πt（λ（Yt）dt+dWt∈ [0，T]。（2.7）此后，我们将用σ表示σ（Ys），用λs表示λ（Ys）。定义2.1（可接受的交易策略）。唯一考虑的策略是可接受的策略，意思是：1。π是相对于二维布朗运动的自然过滤逐渐可测量的。2、ETZσsπsds<∞.3、初始财富x∈ （0，∞), 贴现财富过程（2.7）对allt严格为正∈ [0，T]。4.E“TR（Xπs）-2γσsπsds#<∞, 其中，假设2.2的情况1下γ=1，假设2.2的情况2下γ：=max{α，β}>1。将可接受的交易策略集表示为A，我们定义了价值函数J（t，x，y），asJ（t，x，y）：=ess supπ∈AE[UT（XπT）| XπT=X，Yt=y]。

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2022-5-30 21:47:38

（2.8）值函数J是汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的形式解，由Ut+最大πσ（y）πUxx+π（σ（y）λ（y）Ux+ρσ（y）a（y）Uxy）+a（y）Uyy+b（y）Uy=0，对于（t，x，y）∈ （0，T）×（0，∞) ×R，U（T，x，y）=UT（x），对于（x，y）∈ （0，∞) ×R.（2.9）很容易看出，（2.9）中最大化的表达式在π（t，x，y）给出的组合中达到最大值=-λ（y）Ux（t，x，y）- ρa（y）Uxy（t，x，y）σ（y）Uxx（t，x，y）。（2.10）因此，对于t，最优策略为πt：=π（t，Xπt，Yt）∈ [0，T]。替换最大化投资组合（2.10）不等式（2.9）givesUt-（λ（y）Ux+ρa（y）Uxy）Uxx+a（y）Uyy+b（y）Uy=0。（2.11）3。主要理论在本节中，我们介绍了本文的主要结果，即（2.8）中定义的值函数可以近似，从而产生以时间到地平线的方式测量的误差。这一结果是通过构造HJB方程（2.11）的经典子解和超解来实现的，HJB方程（2.11）的形式为T的幂次二阶展开- t、到了地平线的时候了。子解和超解将与一阶项重合，这将用作值函数近似。子解和超解展开中的二阶项将产生误差。使用鞅不等式的概率论证将表明值函数位于构造的子解和超解之间。定理3.1。设J（t，x，y）为（2.8）中定义的值函数，UT（x）为终端效用函数。定义^U（t，x，y）：=UT（x）-（T- t） λ（y）UT（x）UT（x）。

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2022-5-30 21:47:41

（3.1）假设假设假设2.1和2.2成立。然后存在常数c>0和0<δ<min{1，T}，这样J（t，x，y）-^U（t，x，y）≤ c（T- t） h（x），对于（t，x，y）∈ （T- δ、 T）×（0，∞) ×R，（3.2），其中h（x）≡ 1在假设2.2的情况1下，h（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下的β；常数candδ与t、x和y无关。我们从两个方面证明了这一结果：首先，我们将分别构造HJB方程的经典亚解和超解U（t，x，y）和U（t，x，y）。一旦建立，我们将显示值函数位于子解和超解之间，即U（t，x，y）≤ J（t，x，y）≤ U（t，x，y）。我们首先构造U和U。考虑（2.11）中给出的HJB方程：（Ut+H（U）=0，对于（t，x，y）∈ （0，T）×（0，∞) ×R，U（T，x，y）=UT（x），对于（x，y）∈ （0，∞) ×R，（3.3），其中H（U）：=H（y，U，Ux，Uy，Uxx，Uxy，Uyy）：=-（λ（y）Ux+ρa（y）Uxy）Uxx+a（y）Uyy+b（y）Uy。我们认为子解和超解在T的幂方面具有以下扩展- t： U（t，x，y）：=U（0）（x，y）+（t- t） U（1）（x，y）+（t- t） U（2）（x，y）。因此，我们的一阶近似值与终端时间T的值函数一致，我们选择终端条件（3.3）作为U（0）的值，即U（0）（x，y）：=UT（x）作为所有（x，y）∈ （0，∞) ×R。我们现在将U替换为（3.3），以获得：- U（1）- 2（T-t） U（2）-λ（y）（U（0）x+（T-t） U（1）x+（t-t） U（2）x）+ρa（y）（U（0）xy+（t-t） U（1）xy+（t-t） U（2）xy）U（0）xx+（T-t） U（1）xx+（t-t） U（2）xx+a（y）U（0）yy+（T-t） U（1）yy+（t-t） U（2）yy+ b（y）U（0）y+（T-t） U（1）y+（t-t） U（2）y= 0。（3.4）我们选择U（1），使得方程（3.4）左侧的O（1）阶项消失。为此，我们清除分数并收集O（1）阶项。

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2022-5-30 21:47:44

将这些与零相等，然后删除任何与零相等的项（即，变量t和y中包含U（0）偏导数的项），得到U（1）的以下公式：U（1）（x，y）=-λ（y）UT（x）UT（x）对于所有（x，y）∈ （0，∞) ×R.最后，我们为U（2）选择两个不同的函数，以获得子解和超解。这是通过分析U（2）的公式来实现的，U（2）是由T的系数相等而得到的- （3.4）中的t项，清除分数后，为零。删除因子为零的任何项，如前所述，yieldsU（2）（x，y）=UT（x）UT（x）λ（y）-b（y）λ（y）λ（y）+ρa（y）λ（y）λ（y）-a（y）（λ（y））-a（y）λ（y）λ（y）-UT（x）UT（x）ρa（y）λ（y）λ（y）U（3）T（x）+λ（y）UT（x）（U（3）T（x））（UT（x））-λ（y）UT（x）U（4）T（x）UT（x）！。（3.5）我们通过扩展（3.5）右侧的术语并将结果术语列举为a，…，来缩写此表达式，a、给出（3.5）asU（2）（x，y）=Xi=1ai（x，y）。我们注意到ai~ h（x），其中h（x）≡ 1如果M（x）=log（x）（即假设2.2的情况1），则h（x）=x1-α+x1-β，如果M（x）=x1-α1-α+x1-β1-β（即假设2.2的情况2中的if）和有界于y的1≤ 我≤ 8、国家经贸委：=8最大值1≤我≤8supx>0y∈R | ai | h（x）+ 1和定义u：=ch（x）和u：=-u、然后替换u：=u（0）+（T-t） U（1）+（t-t） u（3.6）（和类似的u：=u（0）+（t-t） U（1）+（t-t） u）（3.7）在方程式（3.3）和清除分数的左侧，O（1）的项消失，而组成系数的项- t为严格正（分别为严格负）。我们现在观察到以下不等式成立：Uxx | Ut+H（U）|≤ c（T- t） h（x），（3.8），其中▄h（x）=x-4在假设2.2的情况1下，h（x）=（x1-α+x1-β）（十）-2.-2α+x-2.-2β）在假设2.2的情况2下。我们使用假设2.2来验证（3.8），我们注意到（3.8）支持U而不是U。还要注意CX-2.≤ Uxx≤ cx公司-在情况1和C（x）中，2<0-1.-α+x-1.-β）≤ Uxx≤ c（x-1.-α+x-1.-β） <0在假设2.2的情况2中，对于某些c<0。

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2022-5-30 21:47:47

所以（Uxx）的边界远离0。为了证明U是（3.3）的子解，我们回顾了T的系数- 表达式uxx（Ut+H（U））中的t严格为正（通过选择U）。不等式（3.8）意味着该系数在xon中的增长顺序为h（x），在y中的增长有界。（3.8）也表示o（T-t） Uxx（Ut+H（U））的项在x中的增长顺序为▄H（x），在y中的增长有界。因此，对于t附近的t，t的正系数- t支配o（t- t） x和y中的项一致，表示Ut+H（U）>0，即U是（3.3）的经典子解。这个论点的一面镜子证明了U是（3.3）的经典超解。有待证明的是，（2.8）中给出的值函数J（t，x，y）位于次解和上解之间，即U（t，x，y）≤ J（t，x，y）≤ U（t，x，y）表示所有（t，x，y）∈ [0，T]×（0，∞) ×R。我们将首先显示U（t，x，y）≤ J（t，x，y），然后我们将显示J（t，x，y）≤ U（t，x，y）。至验证（t、x、y）≤ J（t，x，y），我们首先考虑子解U生成的交易策略π（t，xπt，Yt），其中π（t，x，y）是将U代入（2.10）得到的函数，即π（t，x，y）=-λ（y）Ux（t，x，y）- ρa（y）Uxy（t，x，y）σ（y）Uxx（t，x，y）。将伊藤公式应用于U（t，Xπt，Yt）给出su（t，Xπt，Yt）{z}UT（Xπt）-U（t，Xπt，Yt）=TZtUt+σπλUx+购买+σπUxx+σπaρUxy+aUyyds+TZtσπUx+aρUydWs+TZtap1-ρUydWs |{z}局部鞅。（3.9）由于右侧的随机积分是局部鞅，我们可以找到一个序列{τn}∞n=1停车时间，使得τn∈ [t，t]，τn≤ τn+1a。s、对于所有n和τn→ T a.s.作为n→ ∞.

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2022-5-30 21:47:50

特别是，如果我们用T替换T∧ τn，局部鞅将变成鞅：U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）-U（t，Xπt，Yt）=t∧τnZtUt+σπλUx+购买+σπUxx+σπaρUxy+aUyyds+T∧τnZtσπUx+aρUydWs+T∧τnZtap1-ρUydWs。（3.10）注意，（3.10）右侧第一项的被积函数是HJBequation的左侧，子解U被替换，因此该项为非负项。取方程（3.10）两边的条件期望，我们得到u（t，x，y）≤ E[U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）| Xπt=X，Yt=y]。现在，很明显，U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）→ U（T，XπT，YT）=UT（XπT）a.s.作为n→ ∞. 此外，我们还有| U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）|=UT（XπT∧τn）-（T- T∧ τn）λ（YT∧τn）UT（XπT∧τn）UT（XπT∧τn）- c（T∧ τn- t） h（Xπt∧τn）≤UT（XπT∧τn）+ Tλ（YT∧τn））UT（XπT∧τn）UT（XπT∧τn）+ cT h（XπT∧τn）≤ cG（XπT∧τn），（3.11），对于某些常数c，其中G（x）=log（x）+1，在假设2.2的情况1下，G（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下的β。看到{G（XπT∧τn）}∞n=1由一个可积随机变量控制，我们请读者参考附录中证明的引理7.2。因此，我们可以应用支配收敛定理，它使[U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）| Xπt=X，Yt=y]→ E[UT（XπT）| XπT=X，Yt=y]a.s.as n→ ∞. 这意味着u（t，x，y）≤ E[UT（XπT）| XπT=X，Yt=y]。从π（t，Xπt，Yt）的可容许性（它来自于用于证明引理7.1的类似论证），它立即得出U（t，X，y）≤ J（t，x，y）。我们现在验证J（t，x，y）≤ U（t，x，y）。首先，让∧π成为任何可接受的交易策略。

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2022-5-30 21:47:54

注意，因为eu是HJB方程（2.9）的超解，我们得到了ut+σ（y）~πUxx+~π（σ（y）λ（y）Ux+ρσ（y）a（y）Uxy）+a（y）Uyy+b（y）Uy≤ 因此，将伊藤公式应用于U（t，X∏t，Yt），然后本地化并采用条件期望，wehaveE[U（t∧ τn，X￠πT∧τn，YT∧τn）| X▄πt=X，Yt=y]≤ U（t，x，y）对于每个n.如（3.11）中所示，我们可以显示| U（t∧ τn，X￠πT∧τn，YT∧τn）|≤ cG（X￠πT∧τn），其中G（X|πT∧τn）由一个可积随机变量控制（如引理7.2所示）。然后，支配收敛定理意味着E[UT（XπT）| XπT=X，Yt=y]≤ U（t，x，y）。由于∧π是一个任意可容许的投资组合，这意味着j（t，x，y）≤ U（t，x，y），根据需要。确定值函数位于子解和超解之间，即U（t，x，y）≤J（t，x，y）≤ U（t，x，y），它紧随（3.6）和（3.7）中U和U的定义，即（3.1）中的^U（t，x，y），|J（t，x，y）-^U（t，x，y）|≤ c（T- t） h（x）。4、构建第3节中的近似组合，我们表明（2.8）中给出的值函数J（t，x，y）可以通过时间到地平线t的幂的一阶展开来近似- t、即（3.1）中给出的^U（t，x，y）。此外，我们还表明，J（t，x，y）和^U（t，x，y）之间的误差由时间到地平线的平方（t- t）。在本节中，我们将展示我们的一阶近似值在地平线附近生成了接近最优的交易策略。为了证明这一点，我们首先回顾了公式（2.10），验证定理告诉我们，在HJB方程（2.9）适定的情况下，该公式将代表最佳交易策略。由于我们没有假设HJB方程的经典解，验证定理的结论可能不适用。然而，公式（2.10）在我们的分析中仍然有用。

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2022-5-30 21:47:58

我们将证明，当替换为（2.10）时，我们的平滑近似^U（t，x，y）会产生一个投资组合，该投资组合产生的预期效用损失为最大预期效用，误差以平方时间到地平线（t- t）。这个结果在下面的引理中说明。引理4.1。设J（t，x，y）为（2.8）中定义的价值函数，^U（t，x，y）为（3.1）中定义的价值函数，并设x^π为（2.7）中描述的在投资组合^π（s，x^πs，Ys）下的财富过程，其中^π（s，x，y）为^π（s，x，y）给出的函数：=-λ（y）σ（y）^Ux（s，x，y）^Uxx（s，x，y）-ρa（y）σ（y）^Uxy（s，x，y）^Uxx（s，x，y），s∈ [t，t]，x∈ （0，∞), y∈ R、（4.1）在假设2.1和2.2下，存在常数C>0和0<δ<min{1，T}，使得| J（T，x，y）-E[UT（X^πT）| X^πT=X，Yt=y]|≤ C（T- t） h（x），对于（t，x，y）∈ （T- δ、 T）×（0，∞) ×R此处h（x）≡ 1在假设2.2的情况1下，h（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下的β；常数C和δ与t、x和y无关。我们首先让读者参考引理7.1，引理7.1在附录中得到了证明，并断言策略^π确实可以接受，如定义2.1所示。我们现在证明了^π下终端财富的预期效用接近最大预期效用。为此，我们首先将伊藤公式应用于^U（s，X^πs，Ys）并获得^U（T，X^πT，YT）-^U（t，X^πt，Yt）=TZt^Ut+σ^πλ^Ux+b^Uy+σ^πUxx+σ^πaρUxy+a^Uyyds+TZtσ^π^Ux+aρUydWs+TZtap1-ρUydWs。（4.2）回顾一下，通过定义^U和假设2.2，我们得到|t^U+H（^U）|=O（t-s） O（h（X^πs）），表明漂移项的被积函数是O（T- s） O（h（X^πs））。

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2022-5-30 21:48:01

与定理3.1的证明平行，我们使用停止时间序列{τn}∞n=1本地化（4.2），将局部鞅项转换为鞅。取双方的条件期望，然后屈服于[^U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）| X^πt=X，Yt=y]-^U（t，x，y）=t∧τnZtEO（T- s） O（h（X^πs））| X^πt=X，Yt=yds。利用从引理7.1的证明中得到的h（X^π）的一致界，可以得出| E[^U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）| Xπt=X，Yt=y]-^U（t，x，y）|≤ C（T- t） h（x），（4.3），对于某些常数C>0。现在，与定理3.1的证明平行，我们有^U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）→^U（T，X^πT，YT）=UT（X^πT）a.s.作为n→ ∞. 还有| U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）|≤ cG（X^πT∧τn），其中G（x）=log（x）+1，在假设2.2的情况1下，G（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下的β。通过引理7.2，序列{G（X^πT∧τn）}∞n=1由一个可积函数支配，这意味着优势收敛定理E[^U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）| X^πt=X，Yt=y]→ E[UT（X^πT）| X^πT=X，Yt=y]a.s.作为n→ ∞.因此，（4.3）给出了| E[UT（X^πT）| XπT=X，Yt=y]-^U（t，x，y）|≤ C（T- t） h（x）。（4.4）根据定理3.1和不等式（4.4），得出| E[UT（X^πT）| XπT=X，Yt=y]-J（t，x，y）|≤ |E[UT（X^πT）| XπT=X，Yt=y]-^U（t，x，y）|+| U（t，x，y）-J（t，x，y）|≤ C（T- t） h（x）+c（t- t） h（x）≤ C（T- t） h（x），对于0<t- t<δ。5、示例我们考虑以下随机波动率模型，该模型在[4]中使用，参数估计取自[1]。考虑的时间范围为[0，T]。风险资产满足（2.1），u（y）=ua恒定函数和σ（y）=√y、

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2022-5-30 21:48:06

由于我们不假设模型中的因子是慢因子，因此我们将δ设置为1。我们设定：u=0.0811，m=27.9345，β=1.12；变量y固定为27.9345；T=2；我们的两个布朗运动之间的相关系数为ρ=0.5241；γ=3。在此模型下，我们考虑功率效用函数UT（x）=x（1-γ） 1个-γ=-2倍。请注意，虽然该效用函数满足假设2.2，但并非假设2.1中的所有模型假设都满足（例如λ（y）不是绝对有界的）。尽管如此，我们的结果在本节中显示为该模型下的良好近似值。【4】中的作者通过求解【15】中导出的线性偏微分方程，获得了假设模型下的值函数的显式公式。现在，我们重述[4]中的值函数公式。Iff（r）：=βr+（（1-γ） βuρ-γγ）r+（γ+（1-γ） ρ）（1-γ） u2γ，其中我们替换了我们为f（r）中的变量假设的上述值，然后求解f（r）=0给出了f的一个正根和一个负根，表示a+和a-, 分别地此外，我们将α设为二次多项式f（r）的判别式的平方根。那么，如果我们定义A（t，t）：=（1-e-α（T-t））a-1.-一-a+e-α（T-t）和B（t，t）：=m（T- t） a--β对数1.-一-a+e-α（T-t） 1个-一-a+,值函数由u（t，x，y）=-2xeγγ+（1-γ） ρ（yA（t，t）+B（t，t））。（5.1）回想一下，我们的值函数近似值由^U（t，x，y）=UT（x）给出-（T- t） λ（y）UT（x）UT（x），（5.2）我们现在可以将（5.1）和（5.2）替换为（2.10），以分别获得最优和近似投资组合πUand^π。

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能者818

2022-5-30 21:48:11

对于本节开头假设的参数值，我们获得了以下价值函数及其近似值、最优投资组合及其近似值以及相应误差的公式：表1t T U（T，x，y）^U（T，x，y）|U-^U |πU（t，x，y）^π（t，x，y）|πU- ^π| 1.5 2≈ -0.485022x≈ -0.484689倍≈0.000333x≈ 0.750482x≈ 0.748982倍≈ 0.0015x1.9 2≈ -0.496952倍≈ -0.496938x≈0.000014x≈ 0.754024倍≈ 0.753957x≈ 0.000067xIn图5.1、5.2和5.3，我们将值函数与零阶和一阶近似值进行对比。在图5.4和5.5中，我们将最优投资组合与近似投资组合进行对比。0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6财富2.01.81.61.41.21.00.80.60.40.2效用值函数带修正零阶近似值的近似值图5.1：（t=1.5，t=2）根据零阶近似值UT（x）和带附加修正项的零阶近似值绘制值函数。很难区分值函数和一阶近似值（即。

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2022-5-30 21:48:14

带校正项的近似值）。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.790.780.770.760.750.740.73效用值函数近似值w/校正零阶近似值图5.2：（t=1.5，t=2）当图5.1在较短的财富间隔内缩放时，值函数和近似值之间的差异更加明显。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.7850.7800.7750.7700.7650.7600.755效用值函数近似值w/校正零阶近似值图5.3：（t=1.9，t=2）当时间间隔从0.5缩短到0.1时，校正后的近似值更接近值函数。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.6000.6020.6040.6060.608PortfolioOptimal portfolioApproximating portfolioFig 5.4：（t=1.5，t=2）价值函数生成的投资组合和带修正的近似值在此图中显示为接近。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.6030.6040.6050.6060.6070.6080.6090.6100.611投资组合最佳投资组合近似投资组合IG 5.5：（t=1.9，t=2）当时间间隔从0.5缩短到0.1时，近似投资组合更接近最佳投资组合。有限时间范围内的投资组合优化6.1。近似方案在第3节中，我们对（2.8）中给出的值函数J（t，x，y）进行了近似，以求得时间t接近终点t的值。

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能者818

2022-5-30 21:48:17

然后，我们在第4节中使用此近似值生成交易策略^πt：=^π（t，X^πt，Ys）（函数^π（t，X，y）在（4.1）中给出），当到达地平线的时间t-它很小。在本节中，我们提出了一种启发式方案，以近似某个有限时间范围内所有时间t的值函数[0，t]，然后利用该近似值与（2.10）中的函数π（t，x，y）结合，在[0，t]上生成接近最优的交易策略。首先，我们将区间[0，T]划分为小子区间，由{0=T<T<···<tn-1<tn=T}。该方案由^U（t，x，y）给出：=^U（tk+1，x，y）+（tk+1- t）-（λ（y）^Ux（tk+1，x，y）+ρa（y）^Uxy（tk+1，x，y））^Uxx（tk+1，x，y）+a（y）^Uyy（tk+1，x，y）+b（y）^Uy（tk+1，x，y）,（6.1）对于tk≤ t型≤ tk+1，（x，y）∈ （0，∞) ×R，其中^U（T，x，y）=UT（x）。接近最优的交易策略将由^πt：=^π（t，X^πt，Yt）给出，其中函数^π（t，X，y）是函数^π（t，X，y）：=-λ（y）^Ux（t，x，y）σ（y）^Ux（t，x，y）-ρa（y）^Uxy（t，x，y）σ（y）^Uxx（t，x，y），（6.2）对于tk≤ t<tk+1，（x，y）∈ （0，∞) ×R，其中^U（T，x，y）=UT（x）。这些公式的形式证明如下。近似公式（6.1）是通过严格执行构造第3节HJB方程子解和超解的技术获得的。我们首先将定理3.1中的结果应用于地平线-1，T]。我们提醒读者，近似公式中的零阶项将是区间[tn]上的终端条件UT（x-1，T]。对于较早的时间间隔，例如，[tn-2，tn-1] ，U（tn-1、x、y）和U（tn-1，x，y）将作为区间[tn]上构造的子解和超解的终端条件-2，tn-1] 。注意子区间[tn]上终端条件UT（x）的y独立性-1，T]将公式（6.1）简化为（3.1）。

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2022-5-30 21:48:20

在早期时间间隔，终端条件对y的依赖性引入了（6.1）的一阶项中的附加项。备注6.1。近似值（6.1）和（6.2）的准确性将在未来的工作中得到严格证明。这可以通过重复第3节中用于验证精度的程序来实现。然而，在固定的、有限的地平线上，这将要求终端条件具有更高程度的规律性。此外，按照（3.8）的精神建立一个不平等将涉及更多内容，超出了本文的范围。6.2。例如，在本节中，我们考虑了第5节中描述的模型和效用函数，并以图形方式分析了我们的方案（6.1）在有限水平[0，T]上的近似精度，其中T=2。在第5节中，在t=1.5和t=1.9的时间计算值函数，这两个时间接近于t=2。然而，按照第6.1节中的近似方案，我们现在可以近似时间t=0时的值函数。为了进行比较，我们还计算了最优投资组合的默顿近似值。Umer（x）：=-e-0.00015696742982x，其中我们将所有t的过程yT固定在值y=27.9345。这是通过求解默顿HJB方程（vt-λ（y）vxvxx=0v（T，x）=-2x，λ（y）=0.0002354511446，y=27.9345。相应的默顿交易策略由πMer（x）=-λ（y）UMerxσ（y）UMerxx，简化为πMer（x）=0.7551626499999x。（6.3）现在，我们在t=0时，将（6.2）给出的最优投资组合的近似值与实际最优投资组合πU（x）进行比较≈ 0.745029x（通过将（5.1）代入（2.10）并评估att=0获得），以及默顿投资组合（6.3）（见图6.3和6.4）。

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2022-5-30 21:48:25

我们还绘制了价值函数（5.1）与（6.1）中给出的价值函数的近似值（见图6.1和6.2）。0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6财富1.81.61.41.21.00.80.60.40.20.0效用值函数近似图6.1：（t=0，t=2，n=4）根据通过（6.1）描述的模式获得的近似值绘制的值函数。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810财富0.6950.6900.6850.6800.6750.670效用值函数近似图6.2：（t=0，t=2，n=4）当图6.1的财富间隔缩短时。0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6Wealth0.40.60.81.01.2PortfolioOptimalPortfolioApproximating PortfolioMeton portfolioFig 6.3：（t=0，t=2，n=4）根据方案（6.1）生成的近似投资组合和默顿投资组合（6.3）得出的最优投资组合。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.5950.6000.6050.610PortfolioOptimalPortfolioApproximating PortfolioMetron portfolioFig 6.4：（t=0，t=2，n=4）当图6.3的富裕区间缩短时，近似值的准确性更为明显。7、附录7.1。^π引理7.1的可容许性。设X^πsbe为SDE（2.7）在投资组合^πt下给出的财富过程：=^π（t，X^πt，Yt）（其中^π（t，X，y）如（4.1）所定义）并假设X^πt=X∈ （0，∞). 在假设2.1和2.2下，策略^π符合定义2.1的规定。证据我们首先注意到^πt的渐进可测量性来自变量t中该函数的连续性。此外，假设2.1和2.2以及（4.1）中^π（t，x，y）的定义意味着σ（y）^π（t，x，y）x≤ C（7.1）对于某些常数C，它与（2.7）一起，立即暗示^πtyields是一个严格正的财富过程。有待证明的是，^πtsatis fies ETZσs^πsds+ ETZ（X^πs）-2γσs^πsds< ∞, γasin定义2.1。

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大多数88

2022-5-30 21:48:28

注意，根据（7.1），我们有|σs^πs |≤ c（X^πs）对于某些常数c，所以足以证明（X^π·）pis是可积的，其中p=2或p=-2γ。我们将伊藤公式应用于log（X^π·）pto getlog（X^πu）p=p log X^πu=log xp+pZut“σ（Ys）λ（Ys）πsX^πs-σ（Ys）^πsX^πs#ds+pZutσ（Ys）πsXπsdWs。设Mu：=pRutσ（Ys）πsXπsdWs，对于t≤ u≤ T从σ（y）^π（t，x，y）xλ（y），可以得出存在c>0这样的对数（X^πu）p≤ 日志xp+c（u-t） +亩≤ 记录xp+cT+Mu。So（X^πu）p≤ ExpectEmu。定义Zu：=eMu-[M] uwhere【M】u=pRutσs^πsX^πsds。由于σ（y）^π（t，x，y）xis是有界函数，Z是平方可积鞅。对于常数c>0，我们可以写出（X^πu）p≤ xpecTZu≤ 预期支持≤u≤慈。（7.2）定义K：=预期支持≤u≤Zi，thenE | K |≤ 预期（1+4EZT）<∞.这表示{（X^πu）p}u∈[t，t]在u上由一个可积随机变量一致有界，从而建立了TZσs^πsds+ ETZ（X^πs）-2γσs^πsds< ∞.7.2。G（XπT）的一致界∧τn）引理7.2。设Xπsbe为SDE（2.7）在任意容许投资组合π（t，Xπt，Yt）下给出的财富过程，并假设Xπt=X。在定理3.1的假设下，{G（Xπt∧τn）}∞n=1由可积随机变量统一绑定，其中在假设2.2的情况1下，G（x）=log（x）+1，G（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下，β为正α，β6=1。证据我们将首先考虑情况1，其中G（x）=x1-α+x1-β。注意，它足以证明{（XπT∧τn）1-γ}∞对于某些正γ6=1，n=1一致有界于一个可积随机变量。如果0<γ<1，则杨氏不等式给出（XπT∧τn）1-γ≤ C1+（XπT∧τn）对于某些常数C，如果weset Mu：=uRtσsπsdWs，则Mu是鞅，（2.7）给出（XπT∧τn）≤ cx+TZσsπsλsdt+supu∈穆！对于某些常数c，特别是通过Doob的最大不等式E，取期望收益率（XπT∧τn）≤ c1+E（公吨）= c1+ETZσsπsds< ∞,对于某些常数c。

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2022-5-30 21:48:31

因此，{（XπT）∧τn）}∞n=1由可积随机变量ξ一致有界：=c1+x+TZσsπsλsds+supu∈穆！, 暗示（XπT∧τn）1-γ≤ C1+（XπT∧τn）是由一个可积随机变量统一结合在n上的。在γ>1的情况下，我们将伊藤公式应用于（Xπu）1-γ获得（Xπu）1-γ=x1-γ+（1- γ） uZtλsσsπs（Xπs）-γ-（1）-γ） γσsπs（Xπs）-γ-1ds+（1-γ） uZtσsπs（Xπs）-γdWs。因此，让Zu：=uRtσsπs（Xπs）-γdWu是πs可容许的鞅（见定义2.1），我们看到（Xπu）1-γ≤ c1+TZσsπs（Xπs）-2γ+σsπs（Xπs）-2ds+sups∈[0，T]祖！, （7.3）对于某些常数c，取两边的期望值并应用Doob的最大不等式给出[（Xπu）1-γ]≤ c1+ETZσsπs（Xπs）-2γ+σsπs（Xπs）-2秒+ E【ZT】.As E[ZT]=ETZσsπs（Xπs）-2γds< ∞, 上述不平等的右侧是有限的。因此，不等式（7.3）的右侧是（XπT）的统一界∧τn）1-γ>1时为γ。为了证明G（x）=1+log（x）情况下的结果，只需显示{log（xπT∧τn）}∞n=由可积随机变量统一绑定。我们将伊藤公式应用于log（Xπ·）到getlog（Xπu）=log X+Zut“σ（Ys）λ（Ys）πsXπs-σ（Ys）πsXπs#ds+Zutσ（Ys）πsXπsdWs。在幂的情况下，我们让Eu：=Zutσ（Ys）πsXπsdWs。然后，通过πsin定义2.1的可容许性，Eu是鞅，因此我们可以应用Doob的最大不等式，如上所述。特别是，我们有log（Xπu）≤ c1+TZσπ（Xπs）-2ds+sups∈是的！（7.4）对于某些常数c，因此，取期望值给出[log（Xπu）]≤ c1+ETZσπ（Xπs）-2秒+ Esups公司∈是的！,Doob不等式给出，对于常数c，Esups公司∈是的！≤ cE【ET】=cETZtσπ（Xπs）-2秒< ∞,定义2.1中给出了最后一个不平等，然后是可接受性的定义。

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2022-5-30 21:48:34

这就建立了（7.4）的右侧为可积随机变量，它统一限定了{logXπT∧τn}∞n=1。参考文献[1]George Chacko和Luis M.Viceira。不完全市场中随机波动的动态消费与投资组合选择。《金融研究评论》，18（4）：1369–14022005。[2] Michael G.Crandall、Hitoshi Ishii和Pierre Louis Lions。二阶偏微分方程粘度解用户指南。公牛美国。数学Soc。（N.S.），27（1）：1–671992年。[3] Jakˇsa Cvitani\'c和Ioannis Karatzas。约束投资组合优化中的凸对偶。安。应用程序。概率。，2（4）：767–818181992年。[4] Jean-Pierre Fouque、Ronnie Sircar和Thaleia Zariphopoulou。投资组合优化和随机波动渐近。数学金融，2015年。[5] Ioannis Karatzas、John P.Lehoczky、Steven E.Shreve和Gan Lin Xu。不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法。《暹罗控制与优化杂志》，29（3）：702–7301991年。[6] 德米特里·克拉姆科夫和沃尔特·沙切梅耶。不完全市场中效用函数的渐近弹性与最优投资。安。应用程序。概率。，9（3）：904–950，1999年。[7] 马修·洛里和罗尼·瑟卡。局部随机波动下的投资组合优化：系数泰勒级数近似和隐含夏普比率。《暹罗金融数学杂志》，7（1）：418–4472016。[8] 罗伯特·C·默顿。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。《经济学与统计评论》，第247-2571969页。[9] 罗伯特·C·默顿。连续时间模型中的最优消费和投资组合规则。《经济理论杂志》，3（4）：373–4131971年。[10] Sergey Nadtochiy和Thaleia Zariphopoulou。不完全市场中最优投资问题解的近似格式。暹罗J.金融数学。，4（1）：494–5382013年。[11] 陶鹏。

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