最优投资组合中的状态约束微分对策

nandehutu2022

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《A state-constrained differential game arising in optimal portfolio
liquidation》
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作者：
Alexander Schied and Tao Zhang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We consider $n$ risk-averse agents who compete for liquidity in an Almgren--Chriss market impact model. Mathematically, this situation can be described by a Nash equilibrium for a certain linear-quadratic differential game with state constraints. The state constraints enter the problem as terminal boundary conditions for finite and infinite time horizons. We prove existence and uniqueness of Nash equilibria and give closed-form solutions in some special cases. We also analyze qualitative properties of the equilibrium strategies and provide corresponding financial interpretations.
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中文摘要：
我们考虑在Almgren-Chriss市场影响模型中竞争流动性的n美元风险厌恶型代理人。从数学上讲，这种情况可以用一个具有状态约束的线性二次微分对策的纳什均衡来描述。状态约束作为有限和无限时间范围的终端边界条件进入问题。我们证明了纳什均衡的存在唯一性，并在一些特殊情况下给出了闭式解。我们还分析了均衡策略的定性性质，并给出了相应的财务解释。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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A_state-constrained_differential_game_arising_in_optimal_portfolio_liquidation.pdf
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nandehutu2022

2022-5-5 08:24:38

最优投资组合清算中的状态约束微分对策*张涛**第一版：2013年12月27日第一版：2015年7月7日摘要我们考虑在Almgren–Chriss市场影响模型中竞争流动性的n个风险规避代理人。从数学上讲，这种情况可以用带有状态约束的线性二次微分对策的纳什均衡来描述。状态约束作为有限和有限时间范围的终端边界条件进入问题。我们证明了纳什均衡的存在唯一性，并在一些特殊情况下给出了闭式解。我们还分析了均衡策略的定性属性，并提供了相应的财务解释。关键词：最优投资组合清算，最优交易执行，非流动市场，带状态约束的差异博弈1简介本文分析了一个状态约束的差异博弈，该博弈由风险规避代理人产生，目的是在给定的时间T>0清算给定的资产头寸。代理商面临价格影响和波动风险。因此，对于每一个代理人，在缓慢交易和快速清算（鉴于波动风险）之间存在权衡，以降低价格影响带来的交易成本。从Bertsimas&Lo（1998）和Almgren&Chriss（2000）开始，大量论文研究了不同环境下相应的单代理优化问题；最近的综述和更完整的参考文献列表，请参见Lehalle（2013）和Gathereal&Schied（2013）。当考虑到不只是一个，而是n个知道彼此初始位置的代理时，问题变得更加有趣，这种情况在现实中不太可能发生；参见Carlin等人（2007年）和Sch¨oneborn&Schied（2009年）。

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mingdashike22

2022-5-5 08:24:41

与Brunnermeier&Pedersen（2005）一起，这两篇论文是第一篇考虑博弈论方法的论文，但只研究了风险中性机构使用确定性策略的开环纳什均衡。Moallemi等人（2012年）将分析扩展到具有不对称信息的模型。Carmona&Yang（2011）使用数值模拟研究了由两个效用最大化代理的闭环纳什均衡产生的耦合HJBEquation系统。Lachapelle等人（2013年）应用平均场博弈来模拟高频交易者在场时的价格形成过程。Schied&Zhang（2013）分析了具有指数衰减瞬时价格影响的市场影响模型中的两人纳什均衡。*曼海姆大学数学系，A5，6，68131曼海姆，德国，schied@uni-曼海姆。判定元件**曼海姆大学数学系，A5，6，68131曼海姆，德国作者通过研究基金SCHI 500/3-1承认德意志联邦基金会的支持。在这里，我们考虑在连续时间Almgren&Chriss（2000）框架中，代理人最大化均值-方差函数，这是投资组合清算的常见设置。这导致了一个线性二次微分博弈，它有一个有趣的附加特征，即从投资组合的清算约束中分离出终端状态约束。这种状态约束导致了两点边界问题，而不是与无约束微分对策有关的通常初值问题。因此，除了对我们的结果进行财务解释外，本文还提供了一个阶级-国家约束的差异博弈的自然案例研究。我们的主要结果证明了相应的纳什均衡在有限和有限时间范围内的存在性和唯一性。

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mingdashike22

2022-5-5 08:24:45

在一些情况下，我们也可以给出均衡策略的闭式解。这些公式使我们能够讨论灰分平衡的一些定性性质。其中一些属性令人惊讶，因为它们表明，财务文献中讨论的某些单调性属性可能会在某些市场条件下崩溃。关于大型投资者投资组合流动性的大型数据集的讨论和实证分析，请参见Lebedeva et al.（2012）。本文的组织结构如下。在第2.1节中，我们回顾了Almgren–Chriss框架中关于portfolioliquidation的一些背景材料。第2.2节说明了有限时间范围内纳什均衡的存在性、唯一性和表示结果。第2.3节讨论了相应的两人纳什均衡的定性性质。第3节讨论了有限时间范围内的纳什均衡。所有证明见第4.2节“有限时间范围内的纳什均衡2”。1背景考虑一个标准的连续时间Almgren&Chriss（2000）框架，适用于在固定时间段内活跃的投资者[0，T]。投资者可以持有x股的初始头寸，并需要在T时结束该头寸。投资者可获得的信息流由过滤（Ft）t建模≥在给定的概率空间上(Ohm, F，P）。投资者采用的交易策略用X=（X（t））t表示∈[0，T]。

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kedemingshi

2022-5-5 08:24:48

它需要满足以下受理条件：oX满足清算约束X（T）=0X适用于过滤（Ft）t≥0;o X是绝对连续的，因为存在一个逐渐可测量的过程（˙X（t））t∈[0，T]这样对于所有ω∈ Ohm,RT（˙X（t，ω））dt<∞ andX（t，ω）=X（0，ω）+Zt˙X（s，ω）ds，t∈ [0，T]；o存在一个常数c≥ 使得| X（t，ω）|≤ c表示所有的t和ω。在这个意义上是可容许的，并且对于给定的X满足X（0）=X的所有策略的类∈ R将被X（X，T）包围。让我们也介绍x（x，T）中所有策略的子类Xdet（x，T），它们在不依赖于ω的意义上是确定性的。“未受影响的价格过程”描述的是在时间间隔[0，T]内没有其他市场参与者进行大额交易的内幕信息的投资者所感知到的资产价格波动。在阿尔姆格伦-克里斯模型中，通常假设斯福遵循一个单身汉模型。在这里，我们有时也会允许一个额外的漂移来描述当前的价格趋势。因此，S（t）=S+σW（t）+Ztb（S）ds，其中Sis是常数，W是标准布朗运动，σ≥ 0，b是确定的和连续的。当投资者使用策略X时∈ X（X，T），策略X将影响资产交易的价格。在线性Almgren–Chriss框架中，假设得到的价格为beSX（t）：=S（t）+γ（X（t）- X（0））+λ˙X（t），t∈ [0，T]，（1）其中常数γ≥ 0和λ>0描述了永久和临时的价格影响因素。每次∈ [0，T]，即-˙X（t）dt股票以SX（t）的价格出售。

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大多数88

2022-5-5 08:24:52

战略X产生的总收入∈ 因此，X（X，T）由r（X）给出：-ZT˙X（t）SX（t）dt。最优交易执行问题是在X（X，T）中，在所有可容许的策略下，收益的成本风险函数最大化。一种可能性是预期收益的最大化，即E[R（X）]，（2）正如许多关于最优执行的论文所考虑的那样，以及除Carmona&Yang（2011）外，所有其他涉及相应纳什均衡的论文。Bertsimas&Lo（1998）是第一个提出这个问题的人（2）。在实践中，通常通过最大化均值-方差标准：最大化E[R（X）]-αvar（R（X））；（3）这里α是一个非负风险规避参数。在处理问题（3）时，可容许策略通常限于确定性策略的Xdet（x，T）类；参见Almgren&Chriss（2000）和Almgren（2003）。除了Lorenz&Almgren（2011）的研究结果外，对于（3）中使用的一般适应策略知之甚少；据作者所知，到目前为止，甚至连最大化者的存在都尚未确定。主要原因是方差函数缺乏时间一致性，这不适合动态优化环境。另一方面，Schied等人（2010）表明（3）在确定性策略上的最大化∈ Xdet（x，T）相当于收益预期效用的最大化，在x（x，T）中的所有策略中最大化E[uα（R（x）），（4），当uα（x）：=（α（1- E-αx）如果α>0，x如果α=0，（5）是具有绝对风险规避α的CARA效用函数≥ 0

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大多数88

2022-5-5 08:24:55

有关投资组合清算和相关市场微观结构问题的最新综述，请参见Lehalle（2013）和Gathereal&Schied（2013）。2.2纳什均衡现在假设n个投资者在市场中活跃，使用各自的策略X，Xn。如（1）中所述，每种策略XI都会影响价格过程S，从而导致以下价格与总价格影响：SX，。。。，Xn（t）：=S（t）+γnXj=1（Xj（t）- Xj（0））+λnXj=1˙Xj（t），t∈ [0，T]。（6）让我们用X来表示-i:={X，…，Xi-1，Xi+1，Xn}玩家i的所有竞争对手的策略集合。然后，玩家i将获得以下收益，R（Xi | X-i） =-ZT˙Xi（t）SX，。。。，Xn（t）dt，并寻求最大化目标泛函（2）、（3）或（4）之一。一个自然的问题是，在给定竞争对手策略的情况下，是否存在一个纳什均衡，其中所有参与者都将其目标函数最大化。为了最大化预期收益和消失漂移，Carlin等人（2007）在确定性策略中解决了这个问题。后来，Sch¨oneborn&Schied（2009）将其扩展到了参与者具有不同时间范围的情况，Moallemi等人（2012）将其扩展到了信息不对称的情况。Carmona&Yang（2011）通过数值模拟研究了由两个效用最大化代理的闭环纳什均衡产生的耦合HJBEquation系统。在这里，我们将对均值-方差优化（3）和CARA效用最大化（4）的n人开环纳什均衡进行数学分析。定义2.1。假设n∈ N、 x，xn∈ R是初始资产头寸，α，αnarenonnegative风险厌恶系数。（a）均值-方差优化的纳什均衡由集合X组成*, . . . , 十、*nof确定性策略，对于每个i和X*-i={X*, . . . , 十、*我-1，X*i+1。

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何人来此

2022-5-5 08:24:58

十、*n} 战略*我∈ Xdet（xi，T）使均值-方差函数[R（X | X）最大化*-i） ]-αivar（R（X | X*-i））整个X∈ Xdet（xi，T）。（b）卡拉效用最大化的纳什均衡由集合X组成*, . . . , 十、*nof可容许策略，对于每个i，策略X*我∈ X（xi，T）使预期效用e[uαi（R（X | X））最大化*-i））]∈ X（xi，T）。注意平衡策略X*ifor CARA效用最大化允许采用，然而，出于上述原因，均值-方差优化只允许采用确定性策略。我们首先给出均值-方差优化的纳什均衡的一般存在唯一性结果。定理2.2。对于给定的n∈ N、 α，αn≥ 0和x，存在唯一的纳什均衡*, . . . , 十、*均值-方差优化。它是以下二阶微分方程组αiσXi（t）的唯一解- 2λ¨Xi（t）=b（t）+γXj6=i˙Xj（t）+λXj6=i¨Xj（t）（7）具有两点边界条件，对于i=1，2，n、从下面的（23）和（24）中可以清楚地看出，从数学角度来看，上面构造的灰平衡对应于一个具有状态约束的开环线性二次微分对策。状态约束由清算约束Xi（T）=0，i=1，n、它们导致我们无法将标准结果应用于开环线性二次微分对策的存在性和唯一性，并使纳什均衡存在性的证明变得非常复杂，尤其是在第3节研究的有限时间范围的情况下。

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何人来此

2022-5-5 08:25:01

（7）、（8）解的存在性的证明依赖于纳什均衡的唯一性，这一点可能也很有趣，纳什均衡将在下面的引理4.1中建立。我们的下一个结果表明，均值-方差优化的唯一纳什均衡也是卡拉效用最大化的阿纳什均衡。然而，卡拉效用最大化是否存在不止一个纳什均衡是一个悬而未决的问题。推论2.3。对于给定的n∈ N、 α，αn≥ 0和x，xn，定理2.2中构造的均值方差优化的纳什均衡也是卡拉效用最大化的纳什均衡。让（fFt）t≥0可能是（Ft）t的任何子过滤≥根据推论2.3的证明，定理2.2中构造的均值-方差优化的纳什均衡也是适用于（fFt）t的所有策略类中CARA效用最大化的纳什均衡≥0.特别是，它是确定性策略类中卡拉效用最大化的纳什均衡。现在让我们仔细看看这个系统（7）。当所有代理人都有相同的风险规避时，这就简单了。推论2.4。在定理2.2的设置中，假设α=···=αn=α≥ 0.那么∑（t）：=nXi=1X*i（t）是下列一维两点边值问题的唯一解，α∑∑（t）- （n）- 1） γ∑（t）- （n+1）λ¨∑（t）=nb（t），∑（0）=nXi=1xi，∑（t）=0。（9）给定∑，每个均衡策略X*iis等于以下一维两点边值问题的唯一解，ασXi（t）+γ˙Xi（t）- λ¨Xi（t）=b（t）+γ˙∑（t）+λ¨∑（t），Xi（0）=Xi，Xi（t）=0。（10）可以得到（9）和（10）的闭式解，但相应的表达式相当复杂。当漂移b完全消失时，情况就简单了。定理2.5。

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能者818

2022-5-5 08:25:05

在推论2.4的设置中，假设b=0，α>0。对于bθ=pγ+4ασλ2λ和bρ=p（n- 1） γ+4（n+1）ασλ2（n+1）λ，（11）我们定义θ±=γ2λ±bθ和ρ±=-（n）- 1） γ2（n+1）λ±bρ。（12）然后是均衡策略X*表单的iis*i（t）=ci（θ）+eθ+t+ci（θ）-)eθ-t+c（ρ+eρ+t+c（ρ-)eρ-t、（13）式中，对于xn:=nPnj=1xj，ci（θ+）=xn- xiebθT- 1，ci（θ）-) =-（xn）- xi）1- E-2bθT，c（ρ+）=-xne2bρT- 1，c（ρ）-) =xn1- E-2bρT.（14）此外，解∑（T）=Pni=1X*两点边值问题（9）的i（t）由∑（t）=nxn2 sinh（bρt）给出ebρTeρ-T- E-bρTeρ+t. （15）定理2.5中的公式可以在两人环境中进一步简化：推论2.6。在定理2.5的设置中，另外假设n=2。然后*（t）=∑（t）+（t）还有X*（t）=∑（t）- （t）, （16）式中，∑（t）=（x+x）e-γt6λsinh（T）-（t）√γ+12αλσ6λ信义T√γ+12αλσ6λ, (17)（t） =（x）- x） eγt2λsinh（T）-（t）√γ+4αλσ2λ信义T√γ+4αλσ2λ. （18）通过将n发送至OREM 2.5中的单位，可直接获得以下平均场限值。推论2.7。在定理2.5的设置中，假设limn↑∞nPnj=1xj=x∈ R.那么，asn↑ ∞, agent i的均衡策略收敛于tox- xiebθT- 1eθ+t-十、- xi1- E-2bθTeθ-t+x1- E-γTλe-γtλ-xeγTλ- 1，其中θ+，θ-, 和bθ如（12）和（11）所示。请注意，上述推论中的平均场限值不必对应于有限的油藏平衡。例如，如果所有i的xi=1，则推论2.7的条件是满足的，但所有参与者的综合价格影响将是有限的，因此不存在有限玩家限制中的价格过程。关于市场影响博弈的最终参与者均衡的讨论将留给未来的研究。2.3通过本节对两人纳什均衡进行定性讨论（X*, 十、*) 将表示推论2.6中构造的两人纳什均衡。

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nandehutu2022

2022-5-5 08:25:08

比较X的策略很有趣*正如阿尔姆格伦（Almgren，2003）所观察到的那样，我采用的是单一代理商的最优策略，而不是竞争对手*（t） =xsinh（κ（t- t） sinh（κt），其中xis为初始资产头寸，κ=pασ/2λ。这个公式也可以通过在（15）中取n=1得到。研究策略X的行为*, 十、*, 十、*, 我们需要以下基本事实，其证据留给读者。对于0<ν<1，函数x7-→sinh（νx）sinh（x）在[0]上严格递减，∞). （19）从这个事实出发，X*（t）是ασ的严格递减函数，如果x>0和0<t<t。从经济角度来说，这意味着当感知到的波动性风险增加时，代理人将更快地清算初始资产头寸，因为var（R（X*)) 根据下面的（23）和（24）与ασ成正比。所以第一个猜测是均衡策略X*当x>0时，也应该是ασ的递增函数。Lebedevaet等人（2012年）对大型内部人士执行区块的大型数据集进行了实证分析和测试。然而，在我们的均衡模型中，应用（19）到（16）得到的只是以下部分结果。提议2.8。如果x≥ 十、≥ 0，然后是X*（t）是0<t<t的ασ的严格递减函数。事实上，ασ的单调性可能会在条件x的两人纳什均衡中被打破≥ x和x≥ 命题2.8中的0并不都令人满意；参见图1和图2。图3给出了单调性失效的直观解释。接下来，X*（t）与γ无关，而两人均衡策略都是γ的非平凡函数。

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mingdashike22

2022-5-5 08:25:11

这种依赖性的直观原因是，一个代理的清算策略产生的永久价格影响被另一个代理视为额外的价格趋势。此外，X*（t）是λ乘以（19）的递增函数。λ中的单调性具有明确的经济直觉，即增加临时价格影响的交易成本会降低早期清算的收益，从而推动最优策略向线性清算策略转变，在风险中性情况下，线性清算策略在α=0时是最优的。Lebedeva等人（2012）对清算策略作为λ函数的单调性进行了实证检验和分析。在我们的平衡模型中，X的单调依赖性*（t）通过应用（19）到（16）可以得到关于γ和λ，但只有当x=x时，我们才能得到以下结果。提议2.9。如果x=x≥ 0然后X*（t） =X*（t）是γ的严格递减函数，对于0<t<t，是λ的严格递增函数。如图4和图5所示，如果命题2.9中的条件X=X不满足，则对γ或λ的单调依赖性可能会失效。对这些影响的直观解释类似于对ασ单调性失效的一种解释。例如，当λ在纳什均衡中增加且0<x时 x、这两个代理都受到了降低策略弯曲度的激励，即在交易区间的第一部分以较慢的速度卖出，在第二部分以较快的速度卖出。因此，代理人2在[0，T]的第一部分产生的价格影响较小，在第二部分产生的价格影响较大。在均衡状态下，一个交易者产生的这种价格影响变化也为另一个交易者创造了第二种竞争激励，即在[0，T]的第一部分增加交易速度，并在第二部分竞争对手产生的不利价格影响增加时降低交易速度。

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mingdashike22

2022-5-5 08:25:14

当代理1的位置小于代理2的位置时，第二个激励可以在数量上主导第一个激励，从而触发X的减少*（1）在图4中观察到λ<0.05.0.51.01.52.02.53.00.3100.3150.3200.3250.3300.335图1:X*（1）作为x=1.12、x=2.06、T=2和λ=γ=1的ασ的函数-0.020-0.015-0.010-0.0050.0050.010图2:X*（1）作为x=0.7的ασ的函数，x=-图3：平衡策略X*i（t）（稳定）和交易利率˙X*i（t）（虚线）表示i=1（黑色）和i=2（灰色）作为t的函数∈ [0，T]表示ασ=0（左），ασ=0.8（中），ασ=3（右）；其余参数如图1所示。当ασ从0增加到0.8时，代理人2的波动风险增加相对较高，因此在[0，T]的上半年加快清算速度，而在下半年放缓。代理人1的波动性风险也会增加，但其增加幅度小于代理人2，并且只会导致清算速度的小幅度初始增加-˙X*（t）。另一方面，由于代理人2的临时影响而增加的价格压力导致代理人1在[0，T]的上半年出现不利的资产价格，而后者的影响可能在一定程度上超过增加的波动风险。因此，对于代理商1来说，延迟时间间隔[0，T]的中心部分的销售是有益的，并通过加快接近终点的策略进行补偿。

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大多数88

2022-5-5 08:25:18

这种影响导致中间资产头寸X的增加*（1）如图1所示。当ασ进一步增加时，波动性风险的增加占主导地位，因此X*（1）开始再次下降。0.10.20.30.40.50.6-0.10-0.050.050.10图4:X*（1）作为λ的函数，x=0.2，x=4，T=2，ασ=1，γ=0.3.0.51.01.52.02.53.00.3380.3400.3420.3440.346图5:x*（1）作为x=0.86、x=0.28、T=2、ασ=1和λ=1.3纳什均衡在有限时间范围内的函数，我们考虑有限时间范围内的均值-方差优化和CARA效用最大化[0，∞). 从财务上讲，这个问题对应的情况是，没有一个代理面临实质性的时间限制。为了简化讨论，我们从一开始就假设漂移b（·）完全消失。然后，未受影响的价格过程由t的S（t）=S+σW（t）给出≥ 这里，我们需要假设σ6=0。如果只有一个代理是活跃的，那么我们就处于Schied&Sch¨oneborn（2009）的情况，其中讨论了在有限的时间范围内最大化收入的预期效用的问题。正如这里所讨论的，一个策略（X（t））t≥0应满足以下可接受条件，以便为单个代理明确效用最大化问题：oX适用于过滤（Ft）t≥0;o X是绝对连续的，在这个意义上X（t）=X（0）+Rt˙X（s）ds对于某些渐进可测量过程（˙X（t））t≥0为什么∞（˙X（t））dt<∞ P-a.s。；（20） oX有界且满足Hz∞X（t）dti<∞ 和极限↑∞（X（t））t log t=0 P-a.s.（21）在这个意义上是可容许的，并且对于给定的X满足X（0）=X的所有策略的类别∈ R将被X（X，∞). 和前面一样，我们用Xdet（x，∞) 所有确定性策略的子类在X（X，∞).

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nandehutu2022

2022-5-5 08:25:21

当使用容许策略X时，受影响的价格过程为X（t）=S（t）+γ（X（t）- X（0））+λ˙X（t）。Schied&Sch¨oneborn（2009年，第3.1节）显示，X∈ X（X，∞) areP-a.s.被定义为限制器（X）：=- 极限↑∞ZT˙X（t）SX（t）dt=xS-γx+σZ∞X（t）dW（t）-λZ∞（˙X（t））dt（另见下面的引理4.5）。此外，对于（5）中的α>0和uα，唯一的策略是在X上最大化期望效用E[uα（R（X））]∈ X（X，∞) 是byX给的*（t） =x exp- trασ2λ, T≥ 0;参见Schied&Sch¨oneborn（2009）中的推论4.4。因为R（X）是X的高斯随机变量∈Xdet（x，∞), 我们可以看到e[uα（R（X））]=a1.- E-αE[R（X）]+αvar（R（X））, 十、∈ Xdet（x，∞),所以X*也使均值-方差函数E[R（X）]-X上的αvar（R（X））∈ Xdet（x，∞).当n个投资者采用可接受的策略X，X，Xn，受影响的价格SX，。。。，Xn（t）是（6）给出的增益，如有限时间范围的情况。从下面引理4.5可知，X，X，…，的可容许性，XNguarante表示，P-a.s.存在以下限制：R（Xi | X-i）：=- 极限↑∞ZT˙Xi（t）SX，。。。，Xn（t）dt。均值-方差优化和CARA效用最大化的纳什均衡现在可以通过取T=∞ 定义2.1。这是我们关于纳什均衡存在唯一性的结果。定理3.1。假设以下两个条件之一成立：（a）n∈ N是任意的，α=··=αN=α>0；（b） n=2，α和α是不同的且严格正的。那么，对于所有的x，xn∈ R、存在唯一的纳什均衡（X*, . . . , 十、*n）对于有限时间范围内的平均方差优化。此外*, . . .

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kedemingshi

2022-5-5 08:25:24

十、*n）也是有限时间范围内效用最大化的纳什均衡。在案例（a）中，byX给出了最优策略*i（t）=（xi）- xn）eθ-t+xneρ-t、（22）其中xn=nPnj=1xjandρ-θ-如（12）所示。在情况（b）中，四阶方程τ-2γ3λτ-γ+2λσ（α+α）3λτ+σα3λ=0在(-∞, 0），以及平衡策略X*（t）还有X*（t）是指数函数eτ和eτt的线性组合。一方面，有限时间范围内的平衡策略结构似乎比有限时间情况下的更简单。另一方面，定理3.1的假设比定理2.2的假设更具限制性。需要更严格的假设，因为所有的解X（t），系统（7）的Xn（t）是指数函数的线性组合，我们只能取±∞ 0代表t↑ ∞. 我们必须挑出那些限制为0的。为此，我们不能将标准结果应用于非紧区间边值问题解的存在性，如Cecchi et al.（1980）中的结果，其中要求t=∞ 包括整个空间。相反，我们在这里证明了与某个非对称矩阵M的负特征值相关的特征空间是非常丰富的。对于n>2，我们只能在α=···=αn时理解这些特征空间。在定理3.1第（a）部分的情况下，考虑相应的纳什均衡mx（T），对于定理2.5中构造的有限时间间隔[0，T]。然后，我们从（13）和（14）中得出结论↑∞X（T）i（T）=X*i（t），对于i=1，n和t≥ 0，其中X*如（22）所示。最后，让我们在定理3.1的（a）部分讨论纳什均衡的一些定性性质。卡林等人。

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大多数88

2022-5-5 08:25:28

（2007）和Sch¨oneborn&Schied（2009）研究，除其他事项外，如果代理1清算大量股票都没有初始资本（即，对于I6=1，xi=0），是否会导致其他代理进行掠夺性交易或提供流动性。在这里，掠夺性交易指的是一种策略，在该策略中，资产以最初的高价缩短，然后在代理1的出售策略使资产价格贬值后回购。这种策略是“掠夺性”的，因为它为代理i创造的收入是以代理1为代价的。Liquidity Provision指的是完全相反的策略：代理人i通过首先购买，然后再出售代理人1正在清算的部分股票来获得多头头寸。因此，这可以被视为代表代理人i的合作行为。卡林等人（2007年）和肖尼伯恩与希德（2009年）都认为风险中性代理人需要在最后时间平仓。在Carlin et al.（2007）中，所有代理都面临同一时间约束。在这种情况下，只有通过重复游戏来实施合作，才能观察到流动性供应。Sch¨oneborn&Schied（2009）承认i=2，对于代理人1，他发现这种放松可以为某些参数值提供流动性，而无需重复游戏。我们相应的结果是下面的推论3.3。它指出，在有限的时间范围内，掠夺性交易和流动性提供都可能发生，这取决于模型的参数；另请参见图6中的说明。与备注3.2一起，推论3.3意味着如果所有代理共享同一时间范围，也可以提供流动性，前提是T足够大。这一事实与Carlin等人（2007年）考虑的风险中性情况α=0明显不同。推论3.3。

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能者818

2022-5-5 08:25:33

在定理3.1第（a）部分的情况下，假设Pni=1xi>0。然后，xi=0的代理人参与流动性提供，即X*i（t）>0，当且仅当ασλ>2γ。当ασλ<2γ时，该代理参与掠夺性交易，而对于ασλ=2γ，该代理根本不交易。最后，我们简要地讨论了均衡策略的行为与活跃在市场中的试剂数量的函数关系。Lebedeva等人（2012年）讨论了以下两个假设，并分析了其对大型内部人执行区块的大型数据集的有效性：假设1：“如果多个内部人竞争利用相同的长期信息，交易持续时间会缩短。”假设2：“如果几个内部人出于流动性原因同时在同一方向进行交易，交易持续时间会增加。”在定理3.1第（a）部分的情况下，有效贸易持续时间可以在n中增加或减少，甚至完全没有单调性；参见图7。在这里，有效交易持续时间定义为初始库存的某个较高百分比被清算之前的时间。因此，Lebedeva等人（2012年）的两种假说都与阿尔姆格伦-克里斯环境中的风险规避因子相容。n=2n=10n=20n=30n=40-0.0015-0.0010-0.0005n=2n=10n=20n=30n=400.00020.00040.00060.00080.00100.00120.0014图6：策略X*i（t）对于λ=0.15（左）和λ=0.16（右），对于n和forxi=0、Pnj=1xj=1、γ=0.16和ασ=0.33.4的各种选择。1有限时间范围的证明∈ 给出X（xi，T）并写出X-i:={X，…，Xi-1，Xi+1，Xn}fori=1，N

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大多数88

2022-5-5 08:25:35

为了你∈ X（y，T），我们首先注意到，通过部分积分后，R（y | X-i） =yS-γy+ZTY（t）b（t）+γXj6=i˙Xj（t）dt- λnXj6=iZT˙Y（t）˙Xj（t）dt- λZT˙Y（t）dt+σZTY（t）dW（t）。图7:X的有效清算时间*, 定义为初始库存X的99%被清算之前的时间，绘制为n的函数∈ {1, . . . , 40}. 在左图中，我们看到n的单调性可以通过γ的一个很小的变化来逆转；我们用x=1，Pni=1xi=3.5，λ=0.15，ασ=0.33取γ=0.155（圆圈）和γ=0.16（子弹）。在右边的面板中，我们观察到有效清算时间在n中不必是单调的；这里我们选择了x=5，Pni=1xi=10，λ=2，γ=0.1，ασ=0.33。当所有的xind Y都是确定性的时，e[R（Y | X-i） ]-αivar（R（Y | X-i））=c+ZTLi（t，Y（t），˙Y（t）|X-i） dt，（23）式中c=yS-γ和拉格朗日方程由i（t，q，p | X）给出-i） =qb（t）+γXj6=i˙Xj（t）-αiσq- λpXj6=i˙Xj（t）+p. （24）引理4.1。在定理2.2的背景下，均值方差优化至多存在一个纳什均衡。证据我们通过矛盾的方式假设X，X和X，Xki的两个不同纳什均衡∈ X（xi，T）表示i=1，n和k=0，1。对于β∈ [0,1]，设Xβi:=βXi+（1）-β） xind def（β）：=nXi=1ZTLi（t，Xβi（t），˙Xβi（t）|X-i） +Li（t，X1）-βi（t），˙X1-βi（t）|X-（一）dt。根据假设，策略XKI使功能Y 7最大化→RTLi（t，Y（t），˙Y（t）|Xk-i）对于k=0，1，类Xdet（xi，T）中的dt。因此我们必须有f（β）≤ f（0）表示β>0，这意味着ddββ=0+f（β）≤ 0

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kedemingshi

2022-5-5 08:25:39

（25）另一方面，由于我们对可容许策略的假设以及拉格朗日函数的线性二次型，通过互换微分和积分（这是允许的），一个简短的计算表明ddββ=0+f（β）=nXi=1ZTγ（Xi（t）- Xi（t））nXj=1（˙Xj（t）-˙Xj（t））- γ（Xi（t）- Xi（t））（˙Xi（t）-˙Xi（t））+αiσ（Xi（t）- Xi（t））+λ（˙Xi（t）-˙Xi（t））nXj=1（˙Xj（t）-˙Xj（t））+λ（˙Xi（t）-˙Xi（t））dt。接下来我们注意到zt（Xi（t）- Xi（t））（˙Xi（t）-˙Xi（t））dt=（Xi（t）- Xi（T））-（Xi（0）- Xi（0））=0。此外，根据同样的论点，ZT（Xi（t）- Xi（t））（˙Xj（t）-˙Xj（t））dt=-ZT（Xj（t）- Xj（t））（˙Xi（t）-˙Xi（t））dt和hencenXi=1nXj=1ZT（Xi（t）- Xi（t））（˙Xj（t）-˙Xj（t））dt=0。接下来就是ddββ=0+f（β）=ZTαiσnXi=1（Xi（t）- Xi（t））+λnXi=1（˙Xi（t）-˙Xi（t））+λnXi=1（˙Xi（t）-˙Xi（t））dt是严格正的，因为两个纳什均衡X，X和X，Xnare与众不同。但严格的积极性与此相矛盾。引理4.2。对于i=1，n在函数7的Xdet（y，T）中至多存在一个最大化子→RTLi（t，Y（t），˙Y（t）|X-i） dt。此外，如果X，Xn∈ C[0，T]，则存在唯一最大化子Y*∈ Xdet（y，T）∩C[0，T]，作为两点边值问题的唯一解给出αiσY（t）- 2λ¨Y（t）=b（t）+γPj6=i˙Xj（t）+λPj6=i¨Xj（t），Y（0）=Y，Y（t）=0。证据根据拉格朗日函数的严格凹性和集合Xdet（y，T）的凸性，Xdet（y，T）中最多可以有一个最大化子。现在，我们证明了在附加假设X下，最大化子的存在性，Xn∈ C[0，T]。在这个假设下，我们可以建立欧拉-拉格朗日方程Liq（t，Y（t），˙Y（t）|X-i） =ddtLip（t，Y（t），˙Y（t）|X-i）对于我们特定的拉格朗日函数，它变成：αiσY（t）- 2λ¨Y（t）=b（t）+γXj6=i˙Xj（t）+λXj6=i¨Xj（t）。

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何人来此

2022-5-5 08:25:43

（26）用u（t）表示（26）的右边，这个二阶常微分方程的通解是f（t）=ce-κit+ceκit-4λκiZteκi（t-s） u（s）ds+4λκiZte-κi（t-s） u（s）ds，其中c-care常数和κi=pαiσ/2λ。显然，通过施加边界条件Y（0）=Y和Y（T）=0，可以唯一地确定这两个常数c和c。从现在开始，莱蒂*∈ Xdet（y，T）∩C[0，T]表示相应的解。现在我们将验证Y*确实是我们问题的最大化者。为了这个目的，让我来∈ Xdet（y，T）是任意的。首先使用（q，p）7的凹度→ Li（t，q，p | X）-i）然后事实上*解欧拉-拉格朗日方程，我们得到li（t，Y）*（t），˙Y*（t） |X-i） )- Li（t，Y（t），˙Y（t）|X-（一）≥ 液体（t，Y）*（t），˙Y*（t） |X-i））（Y*（t）- Y（t））+Lip（t，Y*（t），˙Y*（t） |X-i））（Y*（t）-˙Y（t））=ddtLip（t，Y*（t），˙Y*（t） |X-（一）（Y）*（t）- Y（t））+Lip（t，Y*（t），˙Y*（t） |X-i））（Y*（t）-˙Y（t））=滴滴涕唇（t，Y）*（t），˙Y*（t） |X-i）（Y）*（t）- Y（t））.因此，ZTLi（t，Y*（t），˙Y*（t） |X-i） dt-ZTLi（t，Y（t），˙Y（t）|X-i） dt≥ZTddt唇（t，Y）*（t），˙Y*（t） |X-i）（Y）*（t）- Y（t））dt=0，在最后一步中，我们使用了Y*（0）=Y（0）和Y*（T）=Y（T）。这证明了引理。定理2.2的证明。根据引理4.1，至多存在一个纳什均衡。现在我们将证明存在一个纳什均衡X*, . . . , 十、*确保每个策略*伊贝隆托克斯代特（xi，T）∩ C[0，T]。根据引理4.2，每个策略X*然后，i必须是二阶微分方程αiσXi（t）的解- 2λ¨Xi（t）=b（t）+γXj6=i˙X*j（t）+λXj6=i¨X*带边界条件的j（t）、（27）Xi（0）=xian（t）=0。（28）我们可以清楚地将n个微分方程（27）组合成向量X的n个耦合二阶线性微分方程组*:= （十）*, . . . , 十、*n） >。根据引理4.2，系统（27）、（28）的每个C-解都是纳什均衡。

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kedemingshi

2022-5-5 08:25:46

因此，如果我们能证明n维两点边值问题（27），（28）的C-解的存在性，那么定理的断言就会成立。通过为导数˙X（t）引入辅助函数Y（t），让b（t）成为所有分量都等于b（t）的向量，并通过定义n×n矩阵A:=σdiag（α，…，αn），身份矩阵I=diag（1，…，1），以及所有条目都等于1的矩阵J，系统（27）可以重写如下：A.-γ（J）- 一） 0我X（t）Y（t）-0λ（J+I）i0˙X（t）˙Y（t）=b（t）. （29）显然，X是（27）的C-解当且仅当X˙X是（29）的C-解。特别是，带有边界条件（28）的（29）的everyC解产生了纳什均衡。现在考虑均匀系统（29），（28），b（t）=0，初始值x=·xn=0。相应的边界条件可以写成（X（0），Y（0），X（T），Y（T））>∈ 五、（30）其中V R4nis是2n维线性空间v=（x，y，x，y）>∈ R4n | x=x=0.很明显XY=这是一个解决方案。事实上，这个平凡的解是唯一的解，因为每个解都必须是纳什均衡，而纳什均衡在引理4.1中是唯一的。因此，根据一般微分方程组线性边值问题的一般理论，两点边值问题（29），（30）对于每个连续的b:[0，T]都有唯一的C-解→ Rn（实际上对于每个连续的R2n值函数b（t）在（29）的右侧；见Kurzweil（1986，（9.22），第189页。利用这个事实，我们让XY当（29）中的b（t）被b（t）=（b（t），…）代替时，是（29），（30）的解，bn（t）forbi（t）=b（t）+t- tTαiσxi+γTXj6=ixj。然后检查一下*i（t）：=Xi（t）+t- tTxi，i=1，n、解（27）、（28），因此是期望的纳什均衡。备注4.3。对于A:=σdiag（α。

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何人来此

2022-5-5 08:25:50

，αn），单位矩阵I，和所有中心相等于1的矩阵J，letM：=0λ（J+I）i0-1.A.-γ（J）- 一） 0我.andf（t）：=-0λ（J+I）i0-1.b（t）.有了这个符号和Z（t）：=（X（t），Y（t））>，系统（29）现在可以写成˙Z（t）=mz（t）+f（t）。（31）注意J=nJ，因此（J+I）（I）-n+1J）=I=（I-n+1J）（J+I）。因此0λ（J+I）i0-1=0iλ（I）-n+1J）0,因此我=0iλ（A）-n+1JA）γλ（I）-n+1J）. （32）推论2.3的证明。让X*, . . . , 十、*nbe定理2.2中构造的均值-方差优化的唯一纳什均衡。当X*-i={X*, . . . , 十、*我-1，X*i+1，十、*n} 已确定，IThagentPerceivesx*-i（t）：=S（t）+γXj6=i（Xj（t）- Xj（0））+λXj6=i˙Xj（t），t∈ [0，T]，作为“未受影响”的价格过程。它的形式是*-i（t）=S+σW（t）+Ztbi（S）对于确定性和连续函数bi:[0，t]→ R.作为过程SX*-ihas独立增量和SX*-都是指数矩，也就是eβSX*-信息技术< ∞ 无论如何∈ R和t≥ 在Schied等人2010年提出的定理中∈X（xi，T）E[uαi（R（X | X-i））]=supX∈Xdet（xi，T）E[uαi（R（X | X-i））]。但对于αi>0和X∈ Xdet（xi，T）我们有[uαi（R（X | X-i））]=αi1.- E-αiE[R（X | X-i） ]+αivar（R（X | X-（一）,这表明，CARA效用最大化等价于相应均值-方差函数的最大化。αi=0的相应结果是明显的。推论2.4的证明。让∑（t）：=Pnj=1Xj（t）并重写（7）得到ασXi（t）+γ˙Xi（t）- λ¨Xi（t）=b（t）+γ˙∑（t）+λ¨∑（t），因此为（10）。然后求和意味着（9）。现在我们准备定理2.5的证明。引理4.4。对于α=··=αn=α>0，来自（32）的矩阵M有四个实特征值θ+，θ-, ρ+, ρ-由（12）给出。

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可人4

2022-5-5 08:26:01

有人检查（34）是否暗示-κi（t-s）美国→ 0作为t↑ ∞. 因此，当lettingc:=4λκiZ∞E-κisu（s）ds（37）和c:=y- c、我们可以看到相应的函数Y*答案（35）。接下来，通过（35）、（36）和（37），Y*（t），˙Y*（t），和–Y*（t）是以下函数的线性组合：u（t），e-κit，中兴通讯-κi（t-s） u（s）ds，Z∞teκi（t-s）美国。我们有中兴通讯-κi（t-s） | u（s）| ds dt=κiZT | u（s）| ds-κiZTe-κi（T-s） | u（s）| dsandZTZ∞teκi（t-s） |u（s）|ds dt=κiZ∞（eκi（s）∧T-（s）- 1） |u（s）|ds，由（34）收敛到T的有限极限↑ ∞. 因此，这就是R∞|˙Y*（t） |+|¨Y*（t） |dt<∞.同样地，我们得到了∞|Y*（t） |dt<∞. 加上事实证明*是连续的，并且趋向于零↑ ∞, 我们得到了∞（Y）*（t））dt<∞ 而反过来又是Y*∈ Xdet（y，∞) ∩ C[0，∞). y的最优性*下面是引理4.2证明的第二部分。定理3.1的证明。第一个结果表明，正如引理4.1所示，均值-方差优化最多可以有一个纳什均衡。此外，如推论2.3的证明所示，均值-方差优化的纳什均衡也是CARA效用最大化的纳什均衡。现在，我们来证明给定初值x的纳什均衡的存在性，xn∈ R.设M为备注4.3中定义的2n×2n矩阵。正如引理4.4的证明中所观察到的，具有特征值τ的M的任何特征向量必须为vτv对一些人来说∈ 注册护士。我们将在下面展示，在这两种情况下，（a）和（b），都存在一个基础v，n n和数τ，τn<0（不一定不同），因此vτv, . . . ,vnτnvn是M的特征向量。假设这个事实是给定的，让c，cn∈ R应使cv+··+cnvn=（x，…，xn）>和definez（0）：=cvτv+ ··· + cnvnτnvnZ（t）：=etMZ（0）。我们用X表示*（t） Z（t）的前n个分量。

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kedemingshi

2022-5-5 08:26:04

如定理2.2和备注4.3的证明所示，X*（t）将求解耦合的Euler–Lagrange方程组（27），该方程组由Emma 4.6提供，在有限的视界环境下，只要组件响应容许策略并满足引理4.6的可积条件，就足以实现最优。但是X的每个组成部分*（t）通过构造递减指数函数seτt，…，的线性组合，eτnt，所以这些条件显然是满足的。现在，我们考虑情况（a）。那么θ-和ρ-（12）中的定义是严格否定的，因此v，VNMA遵循引理4.4。从证明的前一部分可以看出，X的每个分量*（t）可以写成asX*i（t）=ci（θ）-)eθ-t+c（ρ）-)eρ-t、再次∑（t）：=Pnj=1X*j（t）和定理2.5的证明一样，首先得出∑（t）=Pni=1xieρ-然后是C（ρ-) =nnXj=1xjand ci（θ）-) = 十一- c（ρ）-).这建立了（22），并在假设（a）下完成了定理3.1的证明。现在我们转向案例（b）。我们可以假定σ=1，但不失一般性。当n=2时，系统（31）矩阵M的特征多项式为χ（τ）：=τ-2γ3λτ-γ+ 2λ(α+ α)3λτ+αα3λ.它的导数χ有三个不同的根，t，t+，t-, 由t=0，t±=3γ±p33γ+48（α+α）λ12λ给出。首先注意，这是一个严格正的局部最大值，因为χ（t）=αα3λ>0，χ（t）=-2αλ + 2αλ + γ3λ< 0.接下来，t+>0，t-< 0和χ（t-) =864λ- 96λα- αα+ α- 168γλ(α+ α) - 69γλ+16γλ（α+α）p48λ（α+α）+33γλ+11γp48λ（α+α）+33γλ.如果我们能证明χ（t-) < 那么根据中值定理，χ将精确地有两个不同的严格负根。然而，通过直接检查我们前面的公式不容易确定χ（t-) < 0

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何人来此

2022-5-5 08:26:07

但是，我们已经知道，对于α=α，矩阵xm正好有两个严格负（尽管不一定是不同的）特征值ρ-θ-. 所以在这种情况下，两个特征值都必须是严格负的χ根。我们还知道χ（0）>0，limτ↓-∞χ(τ) = +∞, 而那不是-是χ的唯一严格负临界点。因此我们必须有χ（t）-) ≤ 当α=α时为0。现在假设α6=α，让α：=（α+α）。然后α+α=α+α和α- αα+ α- α=(α- α）因此，χ（t-) < χ（t）-), 其中χ表示M的特征多项式，当α和α都被α取代时。作为t的公式-在这个替换下是不变的，我们必须有χ（t-) ≤ 根据前面所说的，我们得出χ（t）-) < 从上一段可以看出，M有两个截然不同的严格负特征值τ和τ。因此，存在相应的形式特征向量vτv和vτv. 但是，我们仍然需要排除vand vare线性依赖的可能性来完成证明。为此，请注意，从（32）可以看出，我们必须有λA.-n+1JAw+τγλ我-n+1Jw=τw（38）表示wτw是M的特征向量，特征值为τ。首先假设w的分量wand wof w加起来不等于零：w+w6=0。然后，取向量方程（38）的内积得到方程αw+αw- τ（τw+w）=γw+λ。τ中的二次方程有两个可能的根τ±=-γ±qγ+12λαw+αww+w6λ，其中一个必须等于τ。Asτ-< 0<τ+由此得出我们τw对于与τ不同且符号与τ相同的任何eτ，不能是mf的特征向量。现在让我们考虑一下w=-w、取方程（38）的内积与向量-1.使用要求w，w6=0得到方程α+α+2τγ=2τλ，它独立于wand w。它有根γ±pγ+4λ（α+α）2λ，它们又有不同的符号。

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mingdashike22

2022-5-5 08:26:10

因此，我们的结论与w+w6=0的情况相同。推论3.3的证明。由（22）可知X*i（t）的符号与ρ相同-- θ-=γ2λ-2nn+1+p1+ξ-RN- 1n+1+ξn+1,式中ξ=4ασλ/γ。右边是ξ的严格递增函数，当ξ=8时，右边为零。参考Almgren，R.（2003），“具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行”，应用数学金融10，1-18。Almgren，R.和Chriss，N.（2000），“投资组合交易的最佳执行”，风险杂志3，5-39。Bertsimas，D.和Lo，A.（1998），“执行成本的最佳控制”，金融市场杂志1，1-50。Brunnermeier，M.K.和Pedersen，L.H.（2005），《掠夺性交易》，金融杂志60（4），1825-1863年。Carlin，B.I.，Lobo，M.S.和Viswanathan，S.（2007），《偶发性流动性危机：合作和掠夺性交易》，金融杂志652235-2274。Carmona，R.A.和Yang，J.（2011），《掠夺性交易：关于波动性和流动性的游戏》，预印本。网址：http://www.princeton.edu/rcarmona/download/fe/PredatoryTradingGameQF。Pdfecchi，M.，Marini，M.和Zezza，P.L.（1980），“非紧区间上常微分方程组的线性边值问题”，Ann。小地毯Pura应用程序。(4) 123, 267?285.Gathereal，J.和Schied，A.（2013），《市场影响的动态模型和订单执行算法》，载于J.-P.Fouque和J.Langsam主编，《系统风险手册》，剑桥大学出版社，第579-602页。Kurzweil，J.（1986），《普通微分方程》，应用力学研究第13卷，爱思唯尔科学出版社，阿姆斯特丹。《实域中普通微分方程理论导论》，由Michal Basch翻译自捷克语。Lachapelle，A.，Lasry，J.-M.，Lehalle，C.-A.&Lions，P.-L。

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大多数88

2022-5-5 08:26:13

（2013），“高频参与者参与下价格形成过程的效率：平均场博弈分析”，arXiv:1305.6323。Lebedeva，O.，Maug，E.和Schneider，C.（2012），《企业内部人士的交易策略》，预印本，可从SSRN 2118110获得。Lehalle，C.-A.（2013），《控制日内交易过程所需的市场微观结构知识》，载于J.-P.Fouque&J.Langsam主编，《系统性风险手册》，剑桥大学出版社，第549-578页。Lorenz，J.和Almgren，R.（2011），“均值-方差最优自适应执行”，应用。数学财务18（5），395-422。莫阿莱米，C.C.，帕克，B.和罗伊，B.V.（2012），“在一个不知情的暴徒面前的战略执行”，金融市场杂志15（4），361-391。Schied，A.和Sch¨oneborn，T.（2009），“非流动性市场中的风险规避和最优交易策略的动态”，Finance Stoch。13, 181–204.Schied，A.，Sch¨oneborn，T.和Tehranchi，M.（2010），“CARA投资者的最优篮子清算是确定性的”，应用数学金融17，471–489。Schied，A.和Zhang，T.（2013），“暂时价格影响下的烫手山芋游戏和交易税的一些影响”，arXiv预印本arXiv:1305.4013。Sch–oneborn，T.和Schied，A.（2009），“逆境中的清算：隐形与阳光交易”，SSRN预印本1007014。网址：http://ssrn.com/abstract=1007014

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三江鸿

2022-5-22 23:15:22

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