此外，第三列显示了关于上确界范数的误差 = kP（n）- P（n）-1） k∞在整个网格上，每一步n=1，2，7.在OU模型下，算法在n=5处停止，在具有共同公差水平的CIR模型下，算法在n=7处停止 = 10-5.OU CIRP（n）（0,2%）P（n）（0,10%） P（n）（0,2%）P（n）（0,10%）n=0.0-0 n=1-0.1326 0.05218 0.9048-0.1130 0.1569 0.3950n=2-0.1526 0.04518 0.0992-0.1131 0.1176 0.0911n=3-0.1515 0.04562 0.0060-0.1130 0.1248 0.0159n=4-0.1516 0.04560 0.0002-0.1130.1238 0.0022n=5-0.1516 0.04560<10-5-0.1130.1239 0.0003n=6----0.1130 0.1239<10-4n=7----0.1130.1239<10-5表4：参考违约率x=2%和x=10%时，OU/CIR模型中CDS的MtM值的收敛性。对于OU模型：θ=3%，σ=3.5%，κ=5%。对于CIR模型：θ=3%，σ=5%，κ=5%。其他常见参数：T=5，T=0，p=100bps，r=2%，ψ=0，ψ=5%，ψ=25%，w=1，w=w=0，λ（1）=5%，λ（2）=25%，r=r=40%，δ=δ=0，\'\' = 10-5，X=20%，X=0，X=0.001，t=1/500.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.0650.070.0750.0850.090.0950.10.1050.11R2CDS预付CRF值无准备金0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20.080.0850.090.0950.10.1050.11λ（2）CDS预付CRF值无准备金图7：交易对手模型下的CDS预付价格在交易对手（CIR）和回收率（CIR）中增加交易对手违约率λ（2）下降（右）。其他参数与表4相同，x=8%。在图7中，我们比较了三个MtM值，即交易对手回收率=1- 获得交易对手违约率λ（2）。CRF值由（A.9）给出，且与Randλ（2）无关，因此它在图7中的x轴上发生变化。

交易对手恢复率的增加或交易对手违约率的降低都会提高MtM值，而CRF值不变。在这两种情况下，无准备金的MtM价值主导有准备金的MtM价值。5.2总回报掉期（TRS）可违约债券的总回报掉期（TRS）在场外交易，其MtM价值受制于交易对手风险。TRS也被称为债券远期（见Sch¨onbucher，2003年，第2.5章）。如果将到期日定为T年，我们将考虑到期日为T的零回收可违约债券的TRS≥ TOU模型的（A.5）和CIR模型的（A.6）中给出了用C表示的可违约债券的价值。假设在掉期到期日T之前没有违约，掉期买方从掉期卖方处收到债券价格C（T，XT；T）和预先指定的履约K=C（0，X；T）之间的差额。如果债券在时间T之前违约，掉期买方向卖方支付履约保证金K。在第一个违约时间τ或到期日T之前，买方继续按照无风险利率加上利差r+p进行支付。对于有交易对手风险准备金的MtM前期价值p（T，x），我们遵循（5.1）的三重利差G（x）=C（T，x；T）- K、 h（t，x）=-K（r+p），l（t，x）=-K.0.0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5参考违约强度预付交易对手-无风险竞价要价0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15参考违约强度TRS预付交易对手-无风险买入价卖出价图8：（左）CIR模型下的CDS买入价卖出价。（右）在CIR模型下，TRS买卖预付款价格。

其他常见参数：x=8%，T=3，T=10，T=0，p=100bps，r=2%，θ=3%，κ=5%，ψ=0，ψ=5%，ψ=25%，w=1，w=0，λ（1）=5%，r=40%，λ（2）=25%，r=40%，δ=0 = 10-8，X=20%，X=0，X=0.001，t=1/500。在图8中，我们获得了CIR模型下的带CDS和TRS准备金的买入-卖出前期价格，以及交易对手无风险的前期价值。由于CDS和TRS都是WAP，MtM值可以是正的，也可以是负的，这取决于参考默认强度。由于购买CDS类似于预期违约风险，CDS的前期价值在参考违约强度（左）中增加。另一方面，由于TRS买方做空违约风险，TRSUPPORT价值随着参考资产违约强度λ（0）的增加而降低（右）。6结论总之，我们讨论了一个评估框架，以分析研究和数值计算受参考和交易对手违约风险影响的双边抵押金融合同。除了本文中使用的基本价格动态，我们的定点方法和相应的迭代数值算法可能适用于其他模型中具有交易对手风险的衍生产品的定价。挑战在于高效准确地解决一系列非均匀PDE问题。我们的模型还揭示了交易对手和抵押品在买卖价差形成中所起的作用。还有几个有趣且实际重要的问题有待于未来的研究。例如，利用多个交易对手进行场外交易的价格和风险影响是什么？Bo和Capponi（2013）最近的一项研究得出了拥有大量实体的CDS投资组合的XVA。除定价外，交易对手风险还应纳入衍生品交易的静态或动态策略（参见。

焦和范（2011），以及按市值计价的timingLeung和Liu（2012）。鉴于金融危机，交易对手风险也已成为清算所设计的关键组成部分。这些问题的答案不仅对个人或机构投资者有用，对监管机构也有用。附录。1关于w的定理3.3的证明∈ C1,2b（[0，T）×D，R）和（3.1）中的算子M，我们定义了v≡ v（t，s，x）byv:=Mw=Et，s，xE-RTtrudug（ST，XT）+ZTte-车辙rvdvf（u，苏，徐，w（u，苏，徐））杜. （A.1）方程式（A.1）的形式与希思和施韦泽（2000）的方程式（1.2）相同。根据Heath和Schweizer（2000）的定理1，v是偏微分方程的经典解（C1,2（[0，T）×D，R））：v（t，s，x）t+Lv（t，s，x）- 对于（t，s，x）r（t，s，x）v（t，s，x）+f（t，s，x，w（t，s，x））=0（A.2）∈ [0，T）×D。为了应用它们的结果，我们验证了（A1）、（A2）、（A3）和（A3a）的有效条件-（A3e）在他们的定理1中。条件（A1）、（A2）、（A3）和（A3a）- （A3c）与我们的条件（C1）、（C2）、（C4）和（C5）相同- （C6）。自从w∈C1,2b（[0，T）×D，R），它在[0，T]×Dn上是Lipschitz连续的，n、 结合条件（C7），它意味着组成（t，s，x）→ f（t，s，x，w（t，s，x））在[0，t]×Dn×R上是一致H¨older连续的，因此满足（A3d）。最后，引理3.1中v的有界性对应于（A3e）。因此，我们得出结论，v是（T，s，x）的PDE（a.2）的有界经典解（即C1,2b（[0，T）×D，R））∈ [0，T）×D.现在，让我们选择初始函数P（0）∈ C1,2b（[0，T]×D，R），例如P（0）=0。然后，子函数P（n）=MP（n-1） n=1，2。，也就是C1，2b（[0，T]×D，R），满足线性非均匀偏微分方程（3.4）。

根据命题3.2，收缩映射M确保序列（P（n））收敛到唯一的固定点P∈ Cb（[0，T）×D，R）.A.2命题4.3的证明首先，我们表示λ：=λ（1）+λ（2）和h（T，s）：=h（T，s）+λ（0）l（T，s）。将正支付作用应用于（2.13）中Pb=P的定义，具有CR规定的MtM值由Pb（T，s）=Et，s给出E-（r+λ）（T）-t） g（ST）+ZTte-（r+λ）（u）-t） ~h（u，Su）du+ZTt（~λ）- α） e-（r+λ）（u）-t） Pb（u，Su）du.（A.3）为了证明（4.7），我们将其替换为（A.3）的RHS，并验证其确实减少到（4.7）。为此，我们得到pb（t，s）=Et，sE-（r+λ）（T）-t） g（ST）+ZTte-（r+λ）（u）-t） ~h（u，Su）du+ZTt（~λ）- α） e-（r+λ）（u）-（t）E-（r+α+λ（0））（T-u） g（ST）+ZTue-（r+α+λ（0））（v-u） ~h（v，Sv）dv杜= Et，sE-（r+α+λ（0））（T-t） g（ST）+ZTte-（r+λ）（u）-t） ~h（u，Su）du+ZTtZvt（~λ）- α） e-(~λ-α） u-r（v）-（t）+(-α-λ（0））v+λth（v，Sv）du dv= Et，sE-（r+α+λ（0））（T-t） g（ST）+ZTte-（r+λ）（u）-t） ~h（u，Su）du+ZTt（e）-（r+α+λ（0））（u-（t）- E-（r+λ）（u）-t） ）~h（u，Su）du= Et，sE-（r+α+λ（0））（T-t） g（ST）+ZTte-（r+α+λ（0））（u-t） ~h（u，Su）du.由于上一个等式类似于（4.7），我们得出结论。

同样的步骤将产生表达式（4.8）的证明。为了验证（4.9），我们使用（2.4）中的∏和（2.14）中的bpb=bP的表达式来获得bpb（t，s）=Et，sE-（r+λ）（T）-t） g（ST）+ZTte-（r+λ）（u）-t） ~h（u，Su）du-ZTtαe-（r+λ）（u）-t） π（u，Su）du+ZTtλe-（r+λ）（u）-t） π（u，Su）du= Et，sE-（r+λ）（T）-t） g（ST）+ZTte-（r+λ）（u）-t） ~h（u，Su）du-ZTtαe-（r+λ）（u）-t） π（u，Su）du+ZTtλe-（r+λ）（u）-（t）ZTue-（r+λ（0））（v-u） ~h（v，Sv）dv+e-（r+λ（0））（T-u） g（ST）杜= Et，sE-（r+λ（0））（T-t） g（ST）-ZTtαe-（r+λ）（u）-t） π（u，Su）du+ZTte-（r+λ）（u）-t） ~h（u，Su）du+ZTt（1）- E-λ（v）-t） ）e-（r+λ（0））（v-t） ~h（v，Sv）dv= Et，sE-（r+λ（0））（T-t） g（ST）-ZTtαe-（r+λ）（u）-t） π（u，Su）du+ZTte-（r+λ（0））（u-t） ~h（u，Su）du= π（t，s）- Et，sZTtαe-（r+λ）（u）-t） π（u，Su）du.将相同的步骤应用于蛋白酶的定义（2.17），我们得到了方程（4.10）。A.3（4.9）和（4.10）中命题4.5和条件α、β的证明≥ 0，我们得到了不等式bpb（t，s）≤ π（t，s）和bps（t，s）≤ π（t，s）。价格表达式（4.7）和（4.8）意味着Pb（t，s）=Et，sE-RTt（r+α+λ（0））挖（ST）+ZTte-车辙（r+α+λ（0））dvh（u，Su）du≤ Et，sE-RTt（r+λ（0））挖（ST）+ZTte-车辙（r+λ（0））dvh（u，Su）du= π（t，s）。（A.4）类似的论点给出Ps（t，s）≤ π（t，s）。因此，我们得出结论（4.13）。接下来，应用PBB的定义≡在（2.14）中的bP和不等式（A.4）一起，我们得到了BPB（t，s）=Et，sE-（T）-t） （r+λ）g（ST）+ZTte-（u）-t） （r+λ）~h（u，Su）du+ZTt（~λ）- α） e-（u）-t） （r+λ）π（u，Su）du≥ Et，sE-（T）-t） （r+λ）g（ST）+ZTte-（u）-t） （r+λ）~h（u，Su）du+ZTt（~λ）- α） e-（u）-t） （r+λ）Pb（u，Su）du= Pb（t，s）。最后一个等式来自Pbin的定义（2.13）。

根据PSIN（2.17）的定义和不等式0≤ 附言≤ 在（4.13）中，我们得到了bps（t，s）=Et，sE-（T）-t） （r+λ）g（ST）+ZTte-（u）-t） （r+λ）~h（u，Su）du+ZTt（~λ）- β） e-（u）-t） （r+λ）π（u，Su）du≥ Et，sE-（T）-t） （r+λ）g（ST）+ZTte-（u）-t） （r+λ）~h（u，Su）du+ZTt（~λ）- β） e-（u）-t） （r+λ）Ps（u，Su）du= Ps（t，s）。最后一个等式是Psin（2.15）的定义。因此，我们得出结论（4.14）。A.4有OU和CIR参考违约强度的CRF CDS和TRS价格这里我们总结了CDS和TRS的CRF值的计算。假设无风险率是时间确定性函数r（t），默认强度λ（i），i∈ {0,1,2}，are的形式为λ（i）（t，Xt）=ψi（t）+wiXt，其中X遵循OU或CIR模型。该规范比第5.1-5.2节中的数值示例中使用的规范更具一般性，它给出了其中考虑的信用违约掉期和总回报掉期的违约前价格（无交易对手风险准备金）的分析表达式。这些价格用于比较分析（见图7和图8）。在OU模型中，到期日为T且回收率为零的违约前零息票债券价格等于公式（Sch¨onbucher，2003，第7.1.1章）C（T，x；T）=e-RTtr（u）到期-RTtψ（u）二重唱，xhe-RTtwXsdsi=e-RTt（r（u）+ψ（u））dueA（T-（t）-B（T）-t） wx，（A.5）where（u）=ZuσB（v）- κθB（v）dv，B（u）=1- eκuκ，0≤ U≤ 在CIR模型中，债券价格由（Sch¨onbucher，2003，第7.2章）C（T，x；T）=e给出-RTtr（u）到期-RTtψ（u）二重唱，xhe-RTtwXudui=e-RTt（r（u）+ψ（u））duA（T- t） e-B（T）-t） x，（A.6）其中（u）=“2Ξeu（Ξ+κ）（Ξ+κ）（eΞ·u- 1） +2Ξ#2κθσ，B（u）=2（eΞ·u）- 1） w（Ξ+κ）（eΞ·u）- 1) + 2Ξ, （A.7）对于0≤ U≤ 带常数Ξ的T=√κ+2σw。反过来，我们可以总结第5.1节中讨论的CD的价格。

在OU模型下，买方为CDS支付违约前的预付款：∏（t，x）=ZTtC（t，x；u）wxe-κ（u）-t） +（κθ）-σκ（u）- t） +σκ（1）- E-κ（u）-t） )- Pdu，（A.8），其中C（t，x；u）是违约前的零息债券价格，到期日为t，回收率为零（A.5）。在CIR模型下，到期日为T且溢价率为p的CDS的违约前前期价格由∏（T，x）=ZTtC（T，x；u）hw（κθB（u）给出- t） +B（u）- t） 十）-pidu（A.9）和C（t，x；u）在（A.6）和B（·）在（A.7）中。见Sch–onbucher（2003）第7章。对于第5.2节所述的总回报掉期，其CRF在时间t的前期值≤ T，由∏（T，x）=Et，x给出E-RTt（r（u）+λ（0）（u，Xu））du（C（T，XT；T）- （K）-ZTtλ（0）ue-车辙（r（v）+λ（0）（v，Xv））dvK-du-中兴通讯-车辙（r（v）+λ（0）（v，Xv））dvK（r（u）+p）du= C（t，x；t）- K1+pZTtC（t，x；u）du. （A.10）对于图7和图8中的CRF价格，我们设置ψ=0，并假设利率r不变。缔约方违约率λ（1）和λ（2）也不变，参考违约率设置为λ（0）（t，Xt）=Xt。这相当于在（A.5）-（A.10）中设置w=w=0和w=1，以获得CRF值。参考文献Becherr，D.和Schweizer，M.（2005）。反应的经典解决方案——通过it^o和点过程相互作用的对冲问题的扩散系统。《应用概率年鉴》，15（2）：1111-1144。Bo，L.和Capponi，A.（2013）。大型信用衍生品投资组合的双边信用估值调整。《金融与随机》，即将出版。Brigo，D.，Buescu，C.，和Morini，M.（2012）。交易对手风险定价：收尾和首次违约时间的影响。《国际理论与应用金融杂志》，15（06）：1250039-1-23。Brigo，D.，Capponi，A.，和Pallavicini，A.（2014）。无套利双边交易对手风险评估、欠融资和信用违约掉期应用。数学金融。Brigo，D.和Chourdakis，K.（2009）。

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