在本节中，我们将介绍两种方法，在这种方法中，潜在的有限解算法可以转化为通过许多步骤实现解的过程。这些方法的共同原则是包含当前迭代条件下默认的企业信息。事实证明，这种轻微的修改有助于克服可能包含很多迭代步骤的缺点。为了保证即将到来的程序得到充分定义，我们必须放弃Elsin gerProperty，并要求所有权矩阵的属性更严格（见Fischer（2014））。假设2。对于债务和股权矩阵，它认为kMdk<1和kMsk<1。对于本节的剩余部分，我们假设假设2成立。请注意，假设2的重要性在于假设1，而不是相反。因此，在假设2下，金融系统仍然有一个独特的解决方案。4。设R=（rt，st）t∈ （R+）可以是一个任意向量，其对应的默认集为D（R），默认矩阵∧=∧（R）。伪解br∈ 属于D（R）的（5）和（6）中的（R+）由BR定义=（在- ∧d+x（In）- ∧）x, （72）其中x∈ Rn是线性方程组Ax=b，其中a=In的解-Md∧+Ms（英寸）- Λ)∈ Rn×n（73）和b=a+Md（In- ∧）d- （在- ∧）d∈ 注册护士。（74）为了激发对伪解决方案的定义，假设每一个问题都知道它是否在（5）和（6）的解决方案下违约。用D表示* N根据R*:D*= D（r）*, s*) =我∈ N:ai+nXj=1Mdijr*j+nXj=1Msijs*j<di（75）让∧*= ∧（r）*, s*) 是对应的默认矩阵。我们假设这个集合是已知的，尽管这个信息不是先验的。然而，如果我们有这些信息，就不需要迭代程序来找到固定点R*.

我们只需要计算属于D的假想解*, 如命题10所示。我们必须将以下考虑限制在amatrix范数较小的所有权矩阵上的原因是，我们必须保证定义4中的x是唯一定义的。这只能在kMdk<1且kMsk<1之后，kMd∧+Ms（在-对于任何∧，k<1。这又意味着（73）中的A是可逆的。对于具有Elsinger性质的所有权矩阵MDA和MSA，A的可逆性显然并不总是给定的。提议10。属于D的伪解*解决方案是R吗*财务系统F（a、Md、Ms、d），即*=（在- Λ*)d+λ*x（英寸）- Λ*)十、, （76）其中∧*是属于D的默认矩阵*x是（73）和（74）中定义的方程Ax=bde的解。证据根据（5）和（6）中的清算值方程，向量r*和s*A被给予asr*i=（di，如果我/∈ D*,ai+Pnj=1Mdijr*j+Pnj=1Msijs*j、 如果我∈ D*（77）和*i=（ai+Pnj=1Mdijr）*j+Pnj=1Msijs*J- 迪，如果我/∈ D*,0，如果我∈ D*.（78）在矩阵表示法中，th特别是指（在- Λ*)R*= （在- Λ*)d和∧*s*= 0nandthusR*=（在- Λ*)d+λ*R*（在- Λ*)s*. （79）对于违约的公司，我们只需计算债务支付，对于未违约的公司，我们必须确定股权价值。解决方案*因此只包含未知值，我们只需要考虑两个su B系统∧*R*= Λ*a+λ*耐多药*+ Λ*Mss*（80）和（在- Λ*)s*= （在- Λ*)（a+Mdr）*+ Mss*- d） （81）我们可以把这两个方程相加，把系统写得更紧凑：∧*R*+ （在- Λ*)s*= a+Mdr*+ Mss*- （在- Λ*)D

因为，因为- Λ*)s*= s*我们得到∧*R*+ （在- Λ*)s*= a+Mdr*+ Ms（中）- Λ*)s*- （在- Λ*)d、 （83）经过一些重新排列后，会导致∧*R*+ （在- Λ*)s*- Md∧*R*- Ms（中）- Λ*)s*= a+Md（在- Λ*)R*- （在- Λ*)d（84），相当于在里面-Md∧*+ Ms（中）- Λ*)(Λ*R*+ （在- Λ*)s*) = a+Md（在- Λ*)D- （在- Λ*)d、 （85）自∧*（在- Λ*) = 0n×n.设置x=∧*R*+ （在- Λ*)s*用定义4表示，方程组变成Ax=b。这种求解方法的主要挑战当然是最终结果集d*我不知道。遵循这一思想的算法可以发现R*因此，我们必须找到D*以一种快速的方式。一个简单的策略可能是检查金融系统所有可能的默认情况，计算相应默认集的伪解，并检查它是否实际上是Φ的执行点。然而，有2种可能的情况需要检查，这对于大型n可能会很麻烦。因此，需要使用更高效的算法，以便在不需要计算的情况下找到D*. 下一小节将介绍一些可能的算法。递减试错算法第3节中的三个算法1、3和6可以从一个向量R开始，该向量R是解向量R的上边界*. 本小节中的程序有一个共同点，即它们也从这个上边界开始，并计算相应的默认集。对于以下每次迭代，也会确定相应的默认集。为了避免每个defaultset都被检查，而实际上它是D*无论对应的伪解是否为Φ的固定点，该算法将识别潜在的默认集，以减少计算量。如果发现潜在的默认设置是D*, 算法停止。否则，该过程将继续，直到找到一个新的潜在默认集，必须再次检查，以此类推。

由于这些特点，我们将这种类型的算法命名为试错算法。这类算法的一般过程类似。算法7（减少试错算法）。设l≥ 2和p=0.1。选择Picard（算法1）、Elsinger（算法3）或混合算法（算法6），后者用于生成下一个迭代。2.如果在步骤1中选择了Picard算法，则设置d=-1，R=R，并确定（R）。否则，设置d=0，R=ds（d）并测定D（R）。如果D（R）=N，则设置R*=（在-（医学博士）-1an停止算法。4.如果在步骤1中选择了Elsinger或混合算法，并且如果D（R）=, 设定R*= 兰德停止算法。5.否则，使用在步骤1中选择的算法和相应的默认设置D（Rk）计算k>p的迭代Rkstarting，直到k=q和q=min{m>p:D（Rm）-l+1）=达到D（Rm）和| D（Rm）|>D}（86）。确定属于D（Rq）的伪解，并用BRQ表示。6.如果Φ（bRq）=bRq，停止算法。否则，设置d=| d（Rq）|和p=q并继续执行步骤5。算法1、3和6在其递减版本中产生递减的迭代序列，从而增加默认集的序列，即D（Rk） D（Rk+1）代表k≥ 算法7表示迭代并检查默认集与前一个默认集相比是否没有改变。如果默认设置在下一个l中保持不变- 1连续迭代，这表明实际*可能已经联系上了。为了检查这一点，计算ps优度解，并检查它是否解（5）和d（6）。如果没有找到解决方案，则再次迭代，直到l的较大默认集保持不变- 连续1次，并且可以重复所述过程。如果找到解决方案，程序将停止。

由于其所描述的性质，我们称l为滞后值。在l=2的特殊情况下，这意味着如果d默认设置从一个迭代步骤到另一个迭代步骤保持相同，则计算伪解。显然，在潜在的默认集中选择更大的滞后值，因为默认集保持不变的时间越长，它成为实际默认集的可能性就越高。根据递减试错算法第1步中算法的选择，我们得到了算法7的三个不同版本：（i）R=Rgreat的递减试错Picard算法，其中迭代次数由Rk=Φ（Rk）给出-1).（ii）R=（（rgreat）t，（s（rgreat））t）t的递减试错埃尔辛格算法，其中s（rgreat）通过算法2A获得，下一次迭代通过算法3获得。（iii）使用与（ii）中相同的起始向量的递减试错混合算法，其中使用算法6获得下一次迭代。D（R）时的特殊情况∈ {, N}在步骤3和4中，值得单独提及，因为在这种情况下，不需要迭代，解决方案R*在某些情况下可以明确给出。以下命题给出了这种现象的正当性。提议11。对于递减试错混合算法，f如下：（i）如果D（R）=N，则R*=（在-（医学博士）-1an, 无论算法的哪个版本是istaken。（ii）如果D（R）= 使用递减试错埃尔辛格算法或递减试错混合算法，则R=R*.证据（i） 首先，假设在算法7的步骤1中选择了P icard算法。因为D（R）=N，它必须保持a+Mdd+msgreat<D，并且a+Mdd<D。a序列是sgreat=（In- Ms）-1（a+Mdd）- d） +=0n。从命题1可以看出*= 0

对于s=s*= 0，方程式（5）现在由r求解*= （在- （医学博士）-1a，其中引理A3证明了这一点（在- （医学博士）-1存在。如果在第一步中选择了Elsinger算法或混合算法，我们得到了a+Mdd+Mss（d）<d。它由（27）得出，即s（d）=s*= 0nsence s*= s（r）*) ≤ s（d）是因为r*≤ 方程（5）的解与Picard的情况相同。（ii）现在，R=ds（d）因为D（R）=, 它认为a+Mdd+Mss（d）≥ d、 这将导致ds（d）= Φmin{d，a+Mdd+Mss（d）}（a+Mdd+Mss（d）- d）+=ds（d）, （87）这证明了这一主张。注意，对于递减试错法或Picard算法，我们不能得出R=Rgreat=R的结论*如果D（R）=. 有这样一些简单的反例。提议12。算法7到达解R*（5）和（6）在一定数量的迭代步骤中。证据通过（14）中D（Rk）的定义，并且由于Rk收敛于R*从上面看，对于三种算法1、3和6中的任何一种，都存在一个k≥ 使得D（Rk）=D（R*) = D*好吧≥ k、 4.2。增加试错算法与上一小节中介绍的减少算法相比，当然也可以使用相反方向的算法，即生产数据系列增加，默认数据集减少。一般形式与算法7非常相似。算法8（增加尝试和错误或算法）。东南部≥ 2，d=n+1，p=0.1。选择一个起始向量并确定D（R）。如果D（R）=, 设定R*=ds（d）停止算法。3.否则，使用算法1、3或6中的一种以及相应的默认集D（Rk）计算k>p的迭代Rkstarting，直到k=q，其中q=min{m>p:D（Rm-l+1）=到达D（Rm）和| D（Rm）|<D}（88）。确定属于D（Rq）的伪解，并用BRQ表示。4.

如果Φ（bRq）=bRq，则停止算法。否则，设置d=| d（Rq）|和p=q并继续执行步骤3。算法8的功能类似于递减试错算法，不同之处在于，生成的默认集序列明显减少。如第4节所述。1.选择计算方法以确定下一次迭代的方式，允许进行不同的修改：（i）R=Rsmalland Rk=Φ（Rk）的递增试错Picard算法-1).（ii）R=（（rsmall）t，（s（rsmall））t）t的递增试错埃尔辛格算法，其中s（rsmall）通过算法2A获得，下一次迭代通过算法3获得。（iii）递增试错H yb rid算法，具有与（ii）中相同的起始向量，并且使用算法6获得下一次迭代。注意，对于下一次迭代，在递减版本中使用算法5A而不是算法4A。算法8第2步中停止标准的调整如下。假设选择了算法的Picard版本，并且D（R）=, 也就是说ata+Mdrsmall+MSSmall≥ d、 自从rsmall≤ d和ssmall≤ 它还认为a+Mdd+Mss（d）≥ d和s（d）≥ 从这里开始。通过等式（87），我们可以看到R*=ds（d）.还要注意的是，与算法7相比，在D（R）=N的情况下，没有停止cr iteria。原因是在这种情况下，没有关于解R结构的一般性陈述*无论使用哪种版本的算法，都可以使用mad e。特别是，从D（R）=N，它一般不遵循D（R*) = N，因为有容易构造的反例。我们区分递减和递增试错算法的原因是算法7总是会找到正确的默认集D*= D（R）*), 这是一系列迭代步骤。

对于不断增加的试错算法来说，这样的陈述通常是不可能的，因为在某些情况下，默认集不会收敛到*, 无论选择哪个滞后值。出现这种“异常”的情况通常是包含所谓的边界企业的金融系统。“边界线”一词取自Liu and Staum（2010），表示一家公司∈ N在具有固定点R的金融系统中*它认为*i=diand s*i=0。换言之，bord er line公司只能全额偿付其负债，但其资产负债表中没有剩余资本可供股东使用。根据（14）中默认设置的定义，bord er line Firm i不处于默认状态，因为0=si=ai+nXj=1Mdijr*j+nXj=1Msijs*J- 迪（89），因此我/∈ D（R）*). 然而，当使用一种不断增加的试错算法时，这种情况可能会发生在这样一个边缘企业，即∈ D（Rk）对于每个迭代Rk，k≥ 0.这意味着真正的默认设置为D*永远不会被算法识别。有许多金融系统具有这种特性。为了证明在这种情况下，固定点R*仍然可以通过计算伪解来确定，假设集合B n包含任意选择的bord er生产线企业。常用的一组基础设施和选定的边界设施用eD表示，即eD=d*∪ B.对应的“默认”矩阵由∧=e∧（eD）和∧给出*= Λ*（D）*), 分别地按照这个符号，EAA和*用相应的默认矩阵andeb和b定义（73）中的矩阵*定义类似。此外，我们定义∧B=e∧- Λ*作为对角线矩阵，表示选定的边界公司。引理2。向量x*= Λ*R*+ （在- Λ*)s*解方程组A*x=b*如果且仅当ifex=x*+e∧Bd是Ex=eb的解。证据

在不丧失普遍性的情况下，我们假设系统的前n个公司是有溶剂的，下n个公司是有溶剂的- 公司是选定的临界情况，其余公司在R下违约*. 这意味着n={1，…，n}∪ B∪ D*= {1，…，n}∪ {n+1，…，n}∪ {n+1，…，n}。（90）它遵循10号提案thatx*= （x，…，xn，xn+1，…，xn，xn+1，…，xn）t=（s）*, . . . , s*n、 0，0，r*n+1，R*n） t.（91）进一步，注意ms（在- Λ*)十、*= Ms（中）-e∧）x*= Ms（中）-e∧（x）*+e∧Bd）（92）和md（In- Λ*)D- Mde∧Bd=Md（英寸）-e∧）d（93）和tha*****∧*十、*+ Mde∧Bd=Mde∧（x*+e∧Bd）（94）因为x的结构*. 通过（73）和（74），x*解决一个*x=b*如果一个d仅为ifx*= B*+ （Md∧）*+ Ms（中）- Λ*))十、*= a+Md（在- Λ*)D- （在- Λ*)d+（Md∧）*+ Ms（中）- Λ*))十、*= a+Md（在- Λ*)D- Mde∧Bd- （在- Λ*)d+（Md∧）*+ Ms（中）- Λ*))十、*+ Mde∧Bd=a+Md（英寸）-e∧）d- （在- Λ*)d+（Mde∧+Ms（英寸）-e∧（x）*+e∧Bd）。（95）自（年）- Λ*)d=（英寸）-e∧）d+e∧Bd，我们可以在方程两边加∧Bd，得到x*+e∧Bd=a+Md（英寸）-e∧）d- （在-e∧d+（Mde∧+Ms（In-e∧（x）*+e∧Bd，（96）因此=（s*, . . . , s*n、 dn+1，dn，r*n+1，R*n） 这是当且仅当x的解*解决一个*x=b*.属于D的伪解*解决方案是R吗*系统的一部分。表2的一个直接结果是，of ed的伪解也等于R*. 与命题12的证明类似，我们可以认为，在有限的步数下，不断增加的试错算法将达到设定的目标。请注意，该语句尤其适用于递增混合试错算法，其中算法用于计算下一次债务迭代。尽管在这个辅助算法中使用了Picard类型的过程，但我们可以根据命题9和ε>0得出结论，迭代次数仍然是有限的。我们将在下一个命题中总结这些发现。提议13。

算法8得到了解R*（5）和（6）在一定数量的迭代步骤中。4.3. 三明治算法试错算法的一个缺点是，当一个潜在的默认集被搜索时，唯一能确定这个默认集是否实际存在的方法是*, 计算相应的伪解，并检查其是否为（7）的固定点。选择高滞后值可能会增加D*在第一次试验中达到，但没有确定性。找到D的另一种方法*就是用最大且最小的可能解同时开始一次迭代，并使用算法1、3或6中的一种来获得下一次迭代。为了k≥ 0表示以最大值开始算法时出现的序列的第k次迭代，以最小可能解开始时出现的序列的第k次迭代表示。根据选择的算法，当从上边界开始时，起始向量可以是beR=Rgreat（PicardIteration）或r=（rtgreat，（s（Rgreat））t）t（Elsinger和混合算法）。类似地，我们有R=rsmall或R=（rtsmall，（s（rsmall））t，如果最小可能解是起点。根据命题2、4、8和等式（14），上述算法之一的迭代使用要求默认集合彼此接近，即k≥ 0D（Rk） D（Rk+1） D* D（Rk+1） D（Rk）。（97）Letl=min{k≥ 0:D（Rk）=D（Rk）}（98）是两个起始向量的默认设置相同的第一个迭代步骤。那么我们必须有D（Rl）=D*根据命题10，确定属于D的伪解*导致R*. 由于它的特点，我们称之为三明治算法。算法9（Sandw ich算法）。限定词和Ras以及它们相应的缺省集D（R）和D（R）。

为了k≥ 1.使用算法1、3或6中的一种以及相应的默认集D（Rk）和D（Rk）计算迭代Rk和Rk。如果D（Rk）=D（Rk），停止算法，设置D*= 并计算属于D的伪解*以下定义4。否则，设置k=k+1并返回步骤2。至于上述章节中的试错算法，三明治算法产生了不同的版本：（i）R=rgreat和R=rsmall的三明治Picard算法，以及步骤2中算法1的us e。（ii）R=（rtgreat，（s（rgreat））t）和R=（rtsmall，（s（rsmall））t的三明治埃尔辛格算法，并在步骤2中使用算法3。（iii）与Sandwich ElsingerAlgorithm具有相同起点的Sandwich混合算法，以及在步骤2中迭代使用算法6。回想第4.2节中的见解，在某些情况下，默认集D（Rk）序列可能永远不会收敛到实际的默认集D*. 出现此问题的情况总是至少有一家公司处于解决方案R的边界*. 由于这种行为，三明治算法可能不会收敛，因为默认集D（Rk）和D（Rk）永远不会相同。然而，如果我们考虑一个随机设置，并假设异源资产价格向量a的分布相对于（R+n）上的勒贝格测度具有密度，则无法确保收敛的情况只发生在概率为零的情况下，如下一个命题所示。请注意，这一假设在通常的n-Firm Merton模型中充分体现，其中单个aiare对数正态分布。14号提案。

三明治算法基因对达到默认集D的一系列递减默认集D（Rk）和一系列递增默认集D（Rk）进行评级*解决方案R*几乎可以肯定的是，经过很多步骤之后。因此，它达到了解R*（7）几乎可以肯定的是，经过无数步之后。证据默认集合的递增和递减特性直接来自于位置2、4和8。该算法的两系列默认集合都会在许多迭代步骤中收敛到D*如果金融系统中没有处于临界状态的公司。附录中的引理5表明，R*是零，从零开始，最确定的收敛。根据其性质，三明治算法收敛到*从计算的角度来看，这两个方向的计算量都翻了一番，使得算法有点效率。另一方面，该算法在不浪费时间进行“试错”的情况下，通过无数个迭代步骤计算出精确解。与试错算法相比，三明治算法的缺点是，当系统中存在边界企业时，无法保证程序的收敛性。为了克服这个问题，我们建议在三明治算法中也应用滞后值的概念。算法10（改进的三明治算法）。设l≥ 2.1. 限定词和Ras以及它们相应的缺省集D（R）和D（R）。为了k≥ 1.使用算法1、3或6中的一种以及相应的默认集D（Rk）和D（Rk）计算迭代Rk和Rk。如果D（Rk）=D（Rk），停止算法，设置D*= 并计算属于D的伪解*以下定义4。否则，如果k≥ l和| D（Rk）|- |D（Rk）|=。

=|D（Rk）-l+1）|- |D（Rk）-l+1）|，（99）计算属于D（Rk）的伪解，并在其解方程（5）和（6）时停止算法i。否则，设置k=k+1并返回步骤2。如果两个迭代方向的默认集合D（Rk）和D（Rk）在连续l次中不相同，则修改包括中断算法。如果l足够大（例如l≥ 5） （99）的结论是，这有力地表明，系统中至少有一个企业处于临界状态，并且没有给出两个序列的收敛性。在这种情况下，检查是否已经达到默认设置是合适的。5.本节的模拟研究旨在通过模拟证实前几节中的理论发现。特别是，我们重点考虑以下问题：（i）在第4.1节的试错算法中选择滞后值l时，调查权衡。这一部分的结果包含每个算法的“最佳”滞后值，将在下一部分中使用。（ii）研究第3节和第4节中提出的所有算法的算法效率。对于计算下一次迭代的每一种不同技术（Picard、Elsinger、Hybrid），我们将三种算法（非有限、试错、三明治）相互比较。在展示我们的研究结果之前，所使用的金融系统更为具体。5.1。金融系统的总体结构对于系统规模n，我们选择了六种不同的值，即：。N∈ {5, 10, 25, 50, 100, 200}. 只有5家或10家公司的系统可被视为相对较小，而n=25或n=50的网络则被视为中等规模。例如，Gourieroux等人（2012年）、Rogers and Veraart（2013年）和Elsinger等人（2006a）对小型系统进行了研究，其规模分别为5家、6家和10家。

中型系统的例子有Acemoglu等人（2013年）和Nier等人（2007年），其规模分别为20家和25家。此外，我们在研究中增加了100家和200家公司的网络，以包括更大的系统。针对此类规模的现有研究包括Elliott等人（2013年）、Cont等人（2010年）和Gai等人（2011年），分别涉及100125和250家企业的网络。有一些实证研究（Elsinger等人（2006b）、Gai和Kapadia（2010））调查了大约n=1000的系统尺寸。我们认为，出于实际目的，此类慷慨系统不受关注，这就是为什么我们没有考虑n>200的值。然而，可以预期的是，我们系统规模的结果也适用于拥有200多家企业的网络。接下来要定义的输入参数是资产和债务价值。为了简单起见，我们在本研究的每一个模拟场景中，假设外生资产的每个企业的价值为1，即a=（1，…，1）t∈ 注册护士。对于i公司的名义债务价值，我们为所有i公司设定了一个x ed值di=d∈ N，并对每个债务值添加一个随机变量，以获得不同的设置，即tod=（d，…，dn）t+（ε，…，εN）t∈ Rn，（100），其中εi独立正态分布，平均值为0，标准偏差为0。5，即εi~ N（0,0.25）。注意，对于εi<di的冲击，我们设置di=0以避免负性。在构建所有权矩阵时，由表达式集成操作的所有权程度可以提供一些关键信息。5点确定。考虑一个财务系统F=（a、d、Md、Ms）。d ebt integrationlevelu定义为Md的最大列和，即νd=maxi∈NnXj=1Mdij=kMdk。

（101）类似地，νs=maxi∈NnXj=1Msij=kMsk（102）称为股权整合水平。因此，整合水平是衡量债务或股权组成部分交叉所有权程度的指标，其定义基于Elliott等人（2013年）的工作中给出的定义。由于假设2，它直接得出了νd，νs∈ [0，1）.积分级别ν和ν显然没有指定所有权矩阵的单个条目。为此，我们将在以下方面限制我们对矩阵的某种规则结构的考虑。定义6.所有权矩阵M被称为o如果每列中只有一个条目大于0，则称为环所有权矩阵o如果每个条目都大于0，则称为完整所有权矩阵，除对角线条目外，大于0且大小相同。此外，让Fm是一个环所有权矩阵，CM是一个完整的所有权矩阵。Fm和Cm的λ-凸组合被定义为矩阵M，其中entriesMij=λfMij+（1- λ） cMij，λ∈ [0，1]。（103）环、完备矩阵和凸组合的概念最初在Emoglu等人（2013）中使用。如果MDI是一个环形矩阵，这意味着每个企业在系统内只有一个Creditor，如果MSI是一个环形矩阵，则只有一个股东。在不失去普遍性的情况下，我们假设i+1是i=1的i公司的债权人（股东），N- 该公司是该公司的债权人（股东）。当Md（Ms）是一个完整的所有权矩阵时，债务（股份）比例在n- 1.企业。选择的λ越低，对应凸组合的入口就越相等。例1。对于si ze n=4的系统，我们假设债务积分水平为νd=0.9，设置λ=0.5。

然后给出了环所有权矩阵xmd、完全所有权矩阵xmd和λ-凸组合矩阵md=0 0 0 .9.9 0 0 00 .9 0 00 0 .9 0,命令=0 .3 .3 .3.3 0 .3 .3.3 .3 0 .3.3 .3 .3 0和医学博士=0 .15 .15 .6.6 0 .15 .15.15 .6 0 .15.15 .15 .6 0. （104）考虑两个金融系统F=（a、d、Md、Ms）和F=（ea、ed、fMd、fMs），它们具有相应的集成级别νd、ν和d、s。由于所有权矩阵的规则结构，我们可以说一个系统F比F的债务集成度更高，当且仅当d>νd。同样，我们确定一个系统的集成度更高。根据前面的定义，模拟金融系统需要以下参数：n、d、νd、ν和λ，我们将使用相同的λ来根据（103）定义债务和股权矩阵。模拟系统是金融系统F=（A，d，Md，Ms），其中参数n，d，νd，ν和λ用于定义A，Md和Ms，其中负债d是（100）中随机变量的实现。滞后值的影响如第4.1节所述，在试错算法中选择的滞后值l越小，第一个可能的默认设置不是实际的D的变化越大*. 这将导致不必要的计算步骤，以达到真正的默认设置。另一方面，如果lis值非常高，比如l=5或更高，那么算法中可能不需要很多迭代步骤。因此，我们希望通过确定第一个潜在违约集的错误率来调查这种权衡情况。假设对于给定的参数n，d，νd，νsandλ，我们已经生成了n个模拟系统。

对于每一个系统，我们为滞后值l确定试错Picard（TP）、试错lsinger（TE）和试错或混合算法（TH）≥ 2第一个潜在违约s et“DjTP（l）”、DjTE（l）和“DjTH（l）”，其中j=1，N.对于计量和误差Picard算法，我们定义εjIP（l）=（1，如果¨DjIP（l）6=D*对于TE和TH算法，分别为0，else，（105）和类似的εjTE（l）和εjTH（l）。然后通过εTP（l）=NNXj=1εjTP（l）给出滞后值l的TP算法的误差率∈ [0，1]。（106）以同样的方式定义了错误率εTE（l）和εTH（l）。为了调查错误率，我们选择di=d=1.5 In（100）作为债务价值。Debt积分值，其中νd∈ {0.9,0.5,0.1}，我们将其视为具有高、中、低债务交叉所有权的系统。同样地，我们取了νs∈ {0.45,0.25,0.05}表示权益积分，其中每个值是相关债务积分的一半。这种方法的主要特点是，股权所有权通常不如债务所有权。此外，我们希望避免可能的交叉所有权条目大于0.5，因为这意味着一家公司由该系统中的另一家公司拥有多数股权。每个股权和债务整合价值相互结合，形成9种可能的系统设置。除此之外，对所有9种设置进行了三次调查，其中结构p参数λ超过了三个可能值λ∈ 考虑了{0,0.5,1}，即仅具有环所有权矩阵的系统、具有完全矩阵的系统和具有0.5-凸组合的系统。总的来说，参数νd、νsandλ的组合导致了27种不同的设置，并生成了预测设置N=1000个模拟系统。对于滞后值l=2，…，采用三种算法计算错误率，7.

N=1000的重复模拟表明，不同模拟运行的错误率相当稳定，这就是为什么我们认为1000次重复的次数是可靠的。我们使用了算法7中定义的递减试错算法，但递增试错算法的模拟结果非常相似。表1：以百分比表示的误差率εkTP（l）、εkTE（l）和εkTH（l），对于l=2，7.显示每个组合的所有λ值和所有ν和ν值的平均值。表的最后三行显示了所有考虑的系统大小的总体平均错误率。1.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0=50TP 10.596 3.122 1.111 0.482 0.189 0.078TE 3.300 0.389 0.0410 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0第一个观察结果是，所有权结构矩阵，即λ的选择，对错误率没有严重影响。这将导致比较给定n、ν和νs的系统在λ的三个选项中的错误率。

在n=100的情况下，如果存在中等债务和低权益的所有权（νd=0.5，νs=0.05），且滞后值l=1，则完整和环形所有权矩阵（9.6%至3.2%）之间的试错Picard算法存在较大的绝对差异。在绝大多数可能的组合中，差异要小得多，这就是为什么我们得出结论，所有权结构本身并没有从根本上影响错误率。出于这个原因，我们总结了λ的三个值，并计算了所有λ之前n，ν和ν的每个组合的平均错误率，以获得进一步的结果。表1总结了调查系统尺寸影响的模拟结果。误差率计算为每个n值的债务和权益积分的所有可能组合的平均值。我们观察到，网络规模仅对误差率产生轻微影响，因为对于所有系统规模，f或相同的滞后值，它们相对接近。唯一的例外是n=10的系统，与其他系统相比，误差率更小。在表的最后三行中，错误率的总体表现表明，即使对于TP算法和l=2的滞后值，错误率也不高于10%。我们还发现TE算法的错误率要小得多，而TH算法的错误率更高。对于增加滞后值，所有考虑的方法的错误率都会迅速减小。表2:l=2,3时，TP、TE和铊的错误率εkTP（l）、εkTE（l）和εkTH（l）的百分比。对于deb t积分水平νd，低积分、中积分和高积分分别定义为0.1、0.5和0.9。对于股权整合水平，相应的水平定义为0.05、0.25和0.45。

对于每个组合，给出了λ的所有三个值和n的所有值的平均值。此外，各债务和股权整合水平内的总体平均误差率显示在附加列和行中。l=2 l=3TPνdνsνdν慢模。高低模。高低2.60 4.65 7.64 4.96低0.22 0.54 1.41 0.72mod。8.53 19.64 35.83 21.33国防部。1.72 5.58 14.62 7.31高1.31 2.47 1.75 1.84高0.14 0.73 0.57 0.484.11 8.73 15.14 9.38 0.69 2.29 5.53 2.84TEνdνsνdν慢模。高低模。高低2.16 2.34 2.51 2.34低0.19 0.19 0.18 0.19模。6.24 6.07 5.60 5.97国防部。1.07 0.91 0.86 0.95高0.29 0.13 0.06 0.16高0.03 0.02 0.022.90 2.84 2.72 2.82 0.43 0.37 0.35 0.38次νdνsνdν慢模。高低模。高低0.02 0.13 0.24 0.13低0.0。0.22 0.96 1.59 0.92模。0.01 0.04 0.02高0.04 0 0 0.01高0 0 00.09 0.36 0.61 0.35 0 0.01 0.01 0.01为了评估债务和股权整合水平的影响，采用平均错误率总体考虑的系统规模，并针对整合水平的每个可能组合列出，如表2所示。如果债务整合水平从低到中等，错误率也会增加。例如，在表2最后一列中，将债务整合水平0.1和0.5的平均误差率与所有权益整合水平的平均误差率（每个滞后值）进行比较时，可以看出这一点。对于试错Picard算法，错误率从4.96%增加到21.33%；对于其他算法，我们观察到类似的结果。然而，债务整合从0.5进一步增加到0.9会产生影响，因为在这种情况下，错误率会降低。我们再次以TP算法为例，其中错误率从21减少。33%至1.84%。

对这种行为的一种可能解释是，对于TP算法，对于组合νd=0.5和νs=0.45（数据未显示），收敛到解所需的迭代步数总是最大的。因此，在这些情况下，收敛速度非常慢，这解释了为什么第一个潜在的默认集通常不是实际的故障集。当我们检查了每一个权益整合水平的平均错误率，并对所有的价值进行了平均，我们观察到，除了TE算法外，错误率随着整合水平的增加而增加。在TP算法的情况下，我们从4.11%增加到了8%。对于νs=0.05、νs=0.25和νs=0.45，分别为73%到15.14%。theTE算法的错误率近似恒定（2.90%，2.84%，2.72%）。我们对这部分模拟研究的总体结论是，选择算法和滞后值l对错误率的影响最大，即滞后值越大，错误率越快降低。正如预期的那样，TP算法的总体错误率最高，比TE和TH算法高得多。所有权矩阵的集成水平也会影响错误率。在我们的模拟环境中，正是适度的BT和高股权整合的结合产生了最高的利率。另一方面，所有权矩阵的结构对错误率没有影响。以总体平均错误率为主要参考，我们可以指出，对于TE和TH算法，滞后值2是合适的，因为相应的错误率非常小，分别为2.82%和0.36%。然而，对于TP算法，对于l=2，我们得到的总错误率为9.38%，这就是为什么对于这个过程来说，总错误率为2.84%的滞后值为3似乎更方便。5.3.

算法效率的比较寻找最有效的算法，主要问题是最小化计算效率，以找到解决方案R*. 在算法的每次迭代步骤中，对不同的算法进行不同类型的计算。我们用朗道符号（大O符号）量化计算成本，例如O（n）表示计算大小为n的问题的时间T（n）以n的速度增长。我们在考虑时区分两种不同类型的计算。对于第一种类型，将映射应用于给定向量。这种映射可以是（7）中的映射Φ，也可以是（26）和（40）中的映射Φ和Φsin，其中第二种是矩阵乘法。在所有情况下，最昂贵的计算都是矩阵乘法，而这种类型体现了线性方程组的解，如算法2A和4A中定义的解。两种类型的计算成本都在O（n）和O（n）之间（参见Dahlquist和Bj¨orck（2008））。考虑到算法的功能，Elsinger算法和混合算法的效率似乎低于Picard算法，因为在e上的Picard算法中，不必求解线性方程组，从而降低计算成本。然而，正如我们在命题5和命题9中所看到的，就迭代步骤而言，与埃尔辛格算法相比，混合算法收敛到解的速度更快，而埃尔辛格算法又比皮卡德迭代收敛到解的速度更快。因此，在计算成本和算法收敛速度之间给出了一个典型的特效情况。请注意，对于收敛到固定点R的序列*如果存在c，则收敛速度称为线性∈ （0，1）这样*- Rk+1k≤ ckR*- Rkk（107）代表所有k≥ 0

自kΦ（R）*) - Φ（Rk）k≤ ImaxkR*- Rkk与Imax=max{| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |}（Fischer（2014）中的seeLemma 4.1），线性收敛适用于Picard算法，前提是不采用假设1，矩阵范数严格等于1（这意味着所有。然而，Elsinger算法和混合算法的特性使其无法证明线性收敛性（或更高的收敛速度）。下一个问题是，一个算法的总计算成本通常是不可确定的。由于这些原因，在分析数据库上比较不同的计算技术（Picard、Elsinger、Hybrid）似乎是不可能的。这就是为什么我们测量执行算法所需的时间，并将该值视为我们模拟的主要结果。虽然这一指标强烈依赖于计算机的处理器速度和内存容量，但它允许对不同算法进行客观比较。模拟是在一台具有3.2 GHz和4GB RAM的计算机上进行的，使用的软件是R（R Core Team（2014））。定义金融系统的参数如下所示。与第5.2节中使用固定债务价值d的模拟不同，我们在五种可能的债务价值和债务价值之间变化∈ {1, 1.5, 2, 2.5, 3}. 权益和债务整合水平的集合扩展到了νs∈ {0.025,0.1,0.175,0.25,0.325,0.4,0.475}和νd∈ {0.05,0.2,0.35,0.5,0.65,0.8,0.95}，因此分别有七种可能的整合水平。第5.2节中的一个结果是所有权矩阵d的结构不影响误差率，这就是为什么我们在本次模拟中只考虑了完整的能量矩阵，即λ=0 in（103）。

以及六种考虑过的系统尺寸（n∈ {5,10,25,50,100,200}），这个新设置会导致6·5·7·7=1470个不同的设置。同样，对于每个设置，为每个参数组合生成N=1000个模拟系统。对于每个模拟系统，我们应用了前一节中介绍的所有15种算法，并记录了每个过程的运行时间，以确定解决方案R*.我们使用了Picard、E lsinger和混合算法（算法1、3和6）两种版本，即递减版本和递增版本。此外，还考虑了试验和错误版本，同样是递减版本（算法7）和递增版本（算法8），对于Picard版本，滞后值为l=3，对于Elsinger和Hybride版本，滞后值为l=2。滞后值的选择是第5.2节中模拟的结果。请注意，将错误率降至适当值并不一定等同于最小化算法的运行时间。出于这些原因，我们使用l=2到l=5的滞后值，比较了每种情况下的试错算法的运行时间。结果（此处未显示）是，对于Elsinger和混合版本的算法，选择l=2不仅可以将错误率保持在非常低的水平上，还可以最小化运行时间。对于试错Picard算法，仿真表明，对于l=2和l=3，时间几乎相同。然而，在选择l之间没有明显的趋势：对于某些参数组合，l=2会导致较小的运行时间，对于某些情况，l=3就是这样。由于试验和错误Picard算法的差异，根据第5.2节的发现，这些程序的weset l=3。最后，还考虑了三明治算法（算法9）的三个版本。

所有算法中的公差水平均设置为ε=10-3.表3：根据系统规模、算法和迭代类型分组的所有债务和权益积分值（νdandνd）和所有债务值（d），每个算法的平均运行时间（秒）。对于这三种迭代类型中的每一种，计算了相应的递增和递减版本的平均运行时间，但三明治算法除外。算法Ty pe迭代类型系统大小n5 10 25 50 100 200非最终卡片1.81 1.90 2.27 3.01 6.19 21.16Elsinger 1.86 2.08 2.90 5.71 24.38 175.40混合1.65 1.84 2.58 5.24 23.06 164.031.78 1.94 2.58 4.65 17.87 120.20试验和错误卡片1.29 1.30 1.64 2.81 8.77 45.21Elsinger 1.32 1.39 1.91 3.95 17.14 119混合1.57 1.24.67 1.49 1.49 1.49混合1.49 1.981.16 1.28 1.79 3.31 10.73 55.08Elsinger 1.33 1.54 2.41 5.53 26.18 192.65 Hybrid 1.49 1.70 2.55 5.57 25.44 182.911.32 1.51 2.25 4.80 20.78 143.55总体Picard 1.47 1.54 1.92 2.99 8.13 37.56Elsinger 1.54 1.69 2.41 4.97 21.84 156.44 Hybrid 1.59 1.74 2.44 2.44 5.01 21.93 154 1.551.53 1.66 2.26 2.14.17是三明治技术的一个重要试验过程和错误比较（新开发的课程）按照现有的程序。在表3中，平均运行时间按金融系统的规模、算法和迭代类型分组列出。通过计算两种算法的平均运行时间，分别总结了每种算法的递减版本和递增版本。在大多数情况下，递减版本的运行时间都比对应版本小。忽略一个实例的d的随机结构并计算固定点，可以看出，在所有考虑的情况中，约60%的情况下，没有一个企业是不确定的，这解释了递减算法的轻微“过度表现”。

如果我们比较所有迭代类型的平均运行时间，我们发现对于n=5，与试错法和非有限法（分别为1.39秒和1.78秒）相比，三明治算法的性能最好（1.32秒）。为了n≥ 5.对于试错过程，在迭代类型中获得了最快的平均运行时。通过比较不同的迭代技术，我们发现使用Picard迭代技术对所有考虑的系统尺寸的计算影响最小。更具体地说，对于小型金融系统（n=5,10），Sandwich Picard算法的运行时间最小（分别为1.16秒和1.28秒），而对于中型系统（n=25,50），与其他算法类型（分别为1.64秒和2.81秒）相比，试错Picard算法的性能最好。对于大型金融系统，即n=100200，非有限形式的Picard迭代产生最低运行时（分别为6.19s和21.16s）。总的来说，很明显，Picard类型的算法在每种算法类型中都有最好的性能。这一趋势的唯一例外是非现场算法，其中对于n=5和n=10，混合算法的运行时间略低于Picard算法。然而，在所有其他情况下，Picard算法都优于其他算法。除了大小n之外，我们还研究了其他参数对运行时财务系统形式的影响。我们观察到，债务价值的增加导致计算效率的增加，详情见附录中的表4。这种趋势的一个例外是混合算法，无论考虑哪种算法类型，larged的运行时间都再次开始减少。

这种行为的原因是，混合算法的递增版本的运行时间f变小，而n变大，算法递增版本和递减版本的平均值也变小，如表4所示。一种可能的解释是，递增混合算法使用aPicard类型的技术来确定下一个债务迭代（参见算法5A）。如上所示，Picard迭代的运行时性能要好得多，尤其是对于大n。如果债务整合水平增加，我们首先观察到债务价值对运行时间的类似影响，即整合水平越高，运行时间越高。然而，在大多数情况下，这种单调性仅适用于νd=0.5或νd=0.65。对于更大的债务整合水平，计算效率再次降低。这种行为的原因可能是，对于小的νd值，财务系统中的许多公司很可能处于违约状态。在这种情况下，我们观察到在R之前只需要很少的迭代步骤*到达。如果债务整合水平非常高，那么同样的影响也会产生差异，即系统中的许多公司都是有偿付能力的。对于中等债务整合水平，偿付能力和违约之间的这种明显区别消失了。结果是需要更多的迭代步骤，这也会影响运行时。此外，这种解释还强调了一个事实，即对于小的νd（默认情况下更可能是企业），算法的不断增加版本具有更好的性能，而对于更可能是溶剂的大积分级别，这种关系正好相反。为了提高公平整合水平，这种影响是不可见的，如果νs增加（结果不是自己的），运行时间会增加。

自从≤ 0.45股权整合似乎对企业在系统中的地位影响较小，因此，债务整合水平上的影响可能不会出现。6.总结在这篇文章中，我们对现有的算法（“Picard”和“Elsinger”）进行了综述，这些算法用于计算存在股权和债务交叉持有的金融系统中的均衡价格。此外，我们还展示了如何将Elsinger（2009）、Eisenberg和No e（2001）的思想结合起来，得到一个迭代过程（“混合算法”），该迭代过程每迭代一步都更接近解R*比“Picard”和“Elsinger”算法更有效。我们开发了新的迭代方法，基于当前支付向量下的违约公司和有偿付能力的公司的信息。这些默认的基于集合的方法的一个结果是，系统的精确解是在有限的步骤中实现的，而现有的迭代程序无法确保这一点。使用这种新方法会产生两个不同的概念，我们称之为“三明治”算法和“试错”算法。对于前一种类型，可以定义一个明确的停止标准（至少几乎可以肯定），而后一种算法撤回了每个可能的解决方案h，以检查其有效性。在模拟研究中，我们认为选择适当的滞后值l，计算效率可以保持在最小值。另一个模拟显示，当使用新的基于默认集的技术时，需要执行的迭代步骤基本上更少。然而，关于迭代次数的更快收敛是有代价的：在Picard类型以外的新算法中，每个迭代步骤都必须求解几个线性方程组。

这导致这些方法的计算效率更高，对所有算法运行时间的实证研究结果表明，尤其是对于大型金融系统，计算成本会高于不需要求解线性方程组的算法。运行时分析的另一个结果是，最有效的迭代技术是Picard类型。在大多数考虑的设置中，这些迭代技术表现最好，无论使用哪种算法类型（非有限、试错、San dwich）。主要结果之一是，最有效算法的选择很大程度上取决于金融系统的规模。我们发现，对于小型系统（n=5，10），三明治式Picard技术，对于中型系统（n=25，50），试错式Picard技术，对于大型系统（n=100200），简单的非有限Picard技术在运行时间最小化方面取得了最佳效果。关于公差水平ε的选择，其值小于ε=10中使用的值-3将强烈影响非有限迭代技术的结果，因为额外的模拟（此处未列出结果）表明，ε的增加将导致所需迭代步骤以及运行时间的比例大幅增加。在econsequence上，对于大型系统，非有限Picard迭代将不再是最优的，因为有限算法技术不依赖于ε。我们知道这一影响，但我们认为，出于实际目的，ε=10的公差水平-3是非常小的。第5.3节中的模拟仅包含完整的所有权矩阵（λ=0 in（103））。无论是在环所有权矩阵还是λ-凸组合的情况下，这都是一个潜在的问题，其结果都会导致相同的结论。

无论选择λ的哪个值，与Msstill的条目都是唯一可确定的。这一假设的一个潜在扩展是，允许基于随机网络矩阵的随机所有权矩阵，如Elliott等人（2013）所用。除了这些问题，进一步研究的主要重点应该是将算法推广到具有一个以上资历级别的系统。在Fischer（2014）中，这是针对非有限Picard算法进行的，在Elsinger（2009）中，还讨论了非有限Elsinger算法的扩展。这将是一个有趣的问题——如果是的话——如何将混合算法推广到一个允许债务资历结构的模型。A.附录A。1.证明和辅助结果引理A1。设| |·| |不一定是Rn上的严格凸范数，设Φ是非空凸紧集C上的映射 它对于范数诱导度量是不可扩张的。然后，C中Φ的固定点集是非空的、闭合的，或者是单个的，或者是不可数的。证据这一结果的许多定义版本是已知的（例如Bruck（1973））。为了方便起见，给出了一个简短的证明。非扩张性意味着Φ是（1-Lipschitz）连续的。因此，s-etof固定点是闭合的，Brouwer–Schauder不动点定理（如Rudin（1991））提供了至少一个固定点的存在性。现在假设th在x，y∈ C是Φ的两个不同固定点。为了v∈ C和ε>0，Bε（v）={w∈ C:| | w-v | |≤ ε} 是λ的C.的非空、凸和紧子集∈ （0，1），交点cλ=Bλ| | y-x | |（x）∩ B（1）-λ） | | y-x | |（y）（108）是非空的（因为它包含（1- λ） x+λy），凸且紧，它既不包含x，也不包含y∩ Cλ= 对于λ6=λ。非膨胀性意味着Φ（Cλ） Cλ。根据Brouwer–Schauder，在Cλ中存在Φ的固定点。