金融资产结构模型的估值算法

2022-5-7 09:53:20

金融关联结构模型的估值算法Johannes Hain和Tom Fischer*+伍尔茨堡大学2015年1月30日系统性风险的许多研究都集中在违约传染上。虽然这需要理解估值，但专门讨论互联金融系统结构模型中均衡价格的存在性、唯一性和计算的文章较少。然而，除了传染病研究之外，这些话题对于风险中性公关来说也是必不可少的。因此，在本文中，我们研究并比较了债务和股权交叉所有权标准模型中的估值算法，这一模型在过去15年的几位作者的工作中得到了具体体现。由于已知算法具有潜在的有限运行时间，我们开发了一系列新算法，可以在许多计算步骤中找到精确解。通过对一系列金融系统设计的模拟研究，我们可以得出不同系统参数下不同数值方法效率的结论。关键词：交易对手风险、金融互联性、金融网络、数值类估值、结构模型、系统风险。JEL分类：G12、G13、G32、G33MSC2010:91B24、91B25、91G20、91G40、91G50、91G60*德国伍尔茨堡大学数学研究所，阿姆胡布兰德，97074伍尔茨堡。电话：+499313184869。通讯作者的电子邮件地址：johannes。hain@uni-伍尔茨堡。de+作者感谢Roger Nussbaum提供关于定点问题的背景信息。内容1。导言22。符号和模型假设33。非有限算法it hms 83.1。Picard算法。83.2. Elsin-ger算法。93.3. 一种混合算法。

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2022-5-7 09:53:23

. . . . . . . . . . . . . . . . 154.有限算法214.1。减少试错算法。234.2. 不断增加的试错算法。254.3. 三明治算法。275.模拟研究295.1。金融体系的总体结构。295.2. 滞后值的影响。315.3. 算法效率比较。346.摘要37A。附录38A。1.证明和辅助结果。38A。2.附加表格和模拟结果。411.导言自世纪之交以来，对系统性金融风险的研究兴趣稳步增长，过去五年的出版数量显著增加。人们感兴趣的一个主要领域是违约传染，例如，参见Acemoglu等人（2013）、Elliott等人（2013）、Gai等人（2011）和Nier等人（2007）的著作，或Staum（2012）的调查。许多关于系统性风险的出版物都提到了艾森伯格和诺伊（2001）的开创性工作，这是第一个在非物质文化遗产企业可以在有限责任的假设下将彼此的财务义务作为资产持有的结构模型财务系统。然而，伊森伯格和德诺模型的核心思想，可以被解释为默顿（1974）模型的多公司扩展，其中允许系统成员之间交叉持有零息票债务，受到研究界的关注较少。

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2022-5-7 09:53:26

Eisenberg和Noe与标准的多功能默顿模型之间的主要区别在于，由于一家公司的股权或债务价值可能取决于系统中任何其他公司的债务价值，因此到期价格的确定并不简单。Eisenberg和Noe（2001）给出了在成熟期只有一个平衡解存在的条件。结合他们提供的有限数值算法，该模型不仅可用于违约传染研究，还可用于金融互联性下的风险中性无套利估值（另见Fischer，2014）。Elsinger（2009）将艾森伯格和Noe制度进行了推广，包括交叉持股，并允许债务的资历结构。然而，提供了一个数值算法，无法保证均衡价格向量的有限步数。早在2002年，Teruyoshi Suzuki就在他不知道的情况下将Eisenberg和Noe的设置推广到了一种情况，即一个资历的债务和股权可以在一个金融系统内交叉拥有（Suzuki，2002）。与Eisenberg和Noe（2001）和andElsinger（2009）不同，铃木明确打算推广Merton（1974），提供了Picard迭代作为计算价格均衡的数值方法。菲舍尔（2014）对铃木的安·德·埃尔辛格的工作进行了进一步的概括，将互联性的结构模型扩展到债务可以是衍生工具的情况，即依赖于系统中的其他债务或股权。正如Suzuki（2002）所述，为解决到期清算价值方程而提供的数值程序是Picard迭代。

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2022-5-7 09:53:31

然而，不幸的是，Picard迭代无法保证在很多步骤中都能得到精确解。因此，虽然对具有金融互联性的系统中价格均衡的存在性和唯一性有少量但越来越多的研究，但提供的算法主要反映了个别作者对该问题的特殊方法。例如，Gouri’eroux等人（2013年）的一份出版物提到，在具有两个债务优先权但没有股权的Elsinger模型中，可以采用单纯形方法。然而，现有文献中似乎没有对不同方法进行比较研究。此外，目前还没有一种数值算法能够在有限的计算步骤内达到精确解，即交叉持有股权和一种优先级别债务（Suzuki，2002；Elsinger，2009；Gourieroux等人，2012）。基于这些原因，本文有三个主要目标。首先，我们希望通过统一符号并将其嵌入一个通用模型框架中，对现有的估值算法进行概述。其次，我们提出了一种新的算法，它是艾森伯格、诺伊和埃尔辛格方法的混合，具有改进的收敛性。第三，我们介绍了一系列基于三种不同类型（即Picard、Elsinger和Hybrid）的算法版本，它们将在有限的计算步骤中获得精确解（如果存在且唯一）。通过介绍这些新算法，我们可以看出，对于这三种类型的算法，总是存在递增和递减的版本，这取决于正确选择（并明确给出）的起点。此外，我们使用默认集技术和线性化技术来实现一致性。

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2022-5-7 09:53:36

通过模拟研究，最终可以得出一些关于所提出的数值算法在模型参数（如系统尺寸）方面的效率的结论。本文的结构如下。在下一节中，我们将为金融系统的独特解决方案建立模型和必要假设。第3节介绍了Suzuki（2002）和Elsinger（2009）现有的估值方法，其中还开发了Eisenberg和Noe（2001）以及E lsinger（2009）算法的混合版本。本节的算法都是不确定的。在第四部分中，我们介绍了一类新的基于默认集技术的估值算法，这些算法可以在有限时间内找到解决方案。第5节中的模拟研究比较了金融系统不同等级的不同算法的运行时。在第6节中，我们得出结论。技术附录如下。2.两个矩阵M=（Mij）i，j=1，…，的符号和模型假设，。。。，N∈ Rn×nand N=（Nij）i，j=1，。。。，N∈ Rn×nwe写M≥ Nif Mij≥ 尼杰，我∈ 如果至少一对（i，j）的Mij>nij，则为{1，…，n}和M>n。对于两个向量u=（u，…，un）t∈ Rnand v=（v，…，vn）t∈ 美国的定义≥ v和u>v类似于上述矩阵的约定。矩阵M∈ 如果Mij≥ 0代表我，j∈ {1，…，n}和ifPni=1Mij≤ 1为所有j∈ {1，…，n}。符号用于n×n-id实体矩阵，0用于长度为n且仅包含零的（列）向量。

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2022-5-7 09:53:40

此外，对于只有零个条目的（n×n）-矩阵，可以使用0n×n命令。对于向量u∈ Rn，表达式diag（u≤ 0n）表示（n×n）对角矩阵，其中第i项为1≤ 0和0，否则，即diag（u≤ 0n）=（1，表示i=j和ui≤ 0，0，否则。（1）所有操作，如最小值、最小值{·}、最大值、最大值{·}或正部分（·）+都是按元素应用于向量和矩阵。本文的标准是l-定义为askxk的标准：=kxk=nXi=1 | xi |代表x∈ 注册护士。（2）左次随机矩阵M的对应范数∈ Rn×nis由kMk给出：=kMk=maxkxk=1kMxk=maxjnXi=1Mij≤ 1，（3）表示kMk是列和的最大值。可以很容易地证明kMxk≤kMkkxk。我们考虑一个由n个金融实体组成的系统，并表示n={1，…，n}。在下文中，这些实体简称为“企业”。每家公司都拥有外部资产，这些资产将在下一步确定。1。让ai≥ 0表示企业i持有的外生资产的市场价值。顾名思义，这些资产的定价不在考虑的体系内，因为企业的资本结构对此类资产的定价机制没有影响。Bya=（a，…，an）t∈ （R+）nwe表示外部资产的（列）向量。此外，我们假设各公司的未偿负债在到期时的票面价值为Di。这些负债汇总在向量d中∈ 在我们的框架中，我们假设d的条目是常数。由于假设外生资产的价格由常数向量a给出，因此，如果d依赖于a，即如果d=d（a），则第2至第4节中给出的本文结果也成立。然而，为了方便起见，对于剩余的f，我们将写d。

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2022-5-7 09:53:43

负债向量的这种定义允许解释diare简单贷款或零息债券，因为它们不是可以依赖于系统内其他资产的衍生品。该领域的大多数现有出版物都使用了固定负债的情况，例如Su zuki（2002年）、Gourieroux等人（2012年）和Elsinger（2009年）。文献中也讨论了d依赖于内生资产等更一般的情况（见Fischer，2014）。考虑到企业之间的相互关联性，我们允许每家企业拥有其他企业的部分负债。为了将这些可能的交叉持股形式化，我们使用了nership矩阵。2。左亚随机矩阵Md∈ Rn×nin哪个条目是0≤ Mdij≤ 1债务i公司在j公司负债中所占的份额称为债务所有权矩阵。由于不允许任何公司对其自身承担债务，我们假设所有i∈ N（左次随机）股权矩阵的条目Msijo∈ Rn×NAR定义为i公司拥有j公司股权的比例。请注意，MSM的对角线条目不得为零；这意味着在Msii>0的情况下，允许其持有自己的股份。对于债务所有权矩阵而言，通常的惯例是（参见Eisenberg和Noe（2001）或Elsinger（2009））Mdii=0，因为a FIR m本身不承担债务义务。元组F=（a，d，Md，Ms）有时在下文中被称为金融系统。与责任向量相关，我们考虑恢复索赔向量r∈ （R+）n.恢复索赔向量代表公司到期时的实际付款，即通常我们有rk≤ 因为存在违约风险。

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2022-5-7 09:53:46

因此，公司i对公司j的债务索赔价值由Mdijrjan给出，公司i对系统其他成员的债务索赔总价值isPnj=1Mdijrj。此外，用s表示∈ （R+）n家公司的等值，这意味着mi拥有的所有系统内生资产的总回收价值由MDR+Mss的第i个条目给出。（4）该模型的基本假设是，权益被视为剩余索赔，这意味着任何未偿债务必须在股东收到正付款之前全部付清。因此，当且仅当i公司能够完全满足其所有权利人的要求时，i公司的股权价值为正。绝对优先权规则立即导致以下回收索赔和权益的清算价值方程式（参见Fischer，2014）：r=min{d，a+Mdr+Mss}（5）s=（a+Mdr+Mss- d） +，（6）其中（5）中的和不包含（·）+，因为定理1将证明这个系统的所有解都是非负的。因此，清算值方程（5）和（6）的解是映射Φ：（R+）2n的执行点→ （R+）2n，其中R=（rt，st）t∈ （R+）和Φ（R）=Φrs=min{d，a+Mdr+Mss}（a+Mdr+Mss- d）+. （7）我们有时会提到R的债务成分，在这种情况下，指代表系统债务支付的R的前n个成分。出于同样的原因，Rwe的n+1到2n分量也被称为权益分量。我们有兴趣找到Φ的固定点，我们也将其称为金融系统F=（a、d、Md、Ms）的解决方案。如果没有进一步的限制，可能存在多个固定点。为了确保解是唯一的，我们必须做一个额外的假设，在这个假设中我们需要一个新的能量矩阵的另一个性质。3。

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能者818

2022-5-7 09:53:50

所有权矩阵M∈ 如果不存在子集J，则Rn×n具有Elsinger属性 N苏志伟∈JMij=1表示所有j∈ J（8）之所以选择该地产的名称，是因为据作者所知，Elsinger（2009）是第一个将这一假设应用于ow nership矩阵和系统风险评估的公司。在我们的模型中，我们要求考虑的所有权矩阵填充该房产。假设1。Elsinger财产持有债务和股权所有权矩阵Md。请注意，Md和Msare持有矩阵的事实等同于- （医学博士）-1和（在- Ms）-1，如Elsinger（2009）所示。此外，下面的定理1将表明假设1确保Φ只有一个固定点。为了展示这一点，我们介绍了两个向量=rgreatsgreat=d（英寸）- Ms）-1（a+Mdd）- d）+（9）安德斯梅尔=rsmallssmall=min{d，a}（a）- d）+（10）向量r假设债务完全收回，因此在债务分量r=d中。注意，即使对于固定点r*=R*s*当然，它认为*= d、它不一定能保持Rgreat=R*. 当应用液化方程式（5）和（6）且完全忽略负债和公平的所有者结构时，第二个向量Rs会合并。在这种情况下，代表每个企业因债务和股权交叉所有权而产生的收入的术语Mdr+Mss设置为零。因此，企业只有作为收入的外生资产。向量rsmall是将等式（7）中的映射Φ应用于向量02n的结果，即Φ（02n）=Φnn=min{d，a}（a）- d）+= Rsmall。（11）引理1。根据上述定义，它认为Φ（[Rsmall，Rgreat]） [Rsmall，Rgreat]。证据假设R∈ [Rsmall，Rgreat]。因为（11）和Φ的单调性，我们得到了Φ（R）≥ Rsmall。

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2022-5-7 09:53:53

通过定义Φ和Rgreat，只有向量不等式Φ（R）的下n行≤ 我需要成为霍恩。通过引理A3和（9），它认为- Mssgreat=（a+Mdd）- d） +（12）因此很棒≥ （a+Mdd+MSS）太好了- d） +。（13）在展示Rgreat和Rsmallas解的上下界的重要性之前*, 我们需要引入术语默认集合和默认矩阵。对于r≥ 0与s≥ 0NTHESTED（右、南）=我∈ N:ai+nXj=1Mdijrj+nXj=1Msijsj<di（14）在r和s下被称为违约集，因为给定r和s，D（r，s）中的公司无法完全履行其义务，因此处于违约状态。我们说，公司i在R下违约，如果我∈ D（r，s）。对于R=（rt，st），twe有时会将默认集缩写为D（R）。对应于r和s的默认矩阵∧（r，s）∈ Rn×n定义为∧（r，s）=diag（a+Mdr+Mss- d<0n）（15）是对角线矩阵，在相应位置的r和s下，默认企业的条目为1，非默认企业的值为0。用新的符号，我们可以显示RGreat和Rsmall的极限性质。提议1。让R*是（7）中定义的定点问题的非负解。然后R*∈ [Rsmall，Rgreat]。证据因为（11）和Φ，R的单调性*≥ Rsmall，所以我们只显示上界Rgreat的有效性。自从R*是Φ的固定点，我们可以写ΦR*s*=min{d，a+Mdr*+ Mss*}（a+Mdr）*+ Mss*- d）+=R*s*= R*. （16）显然，r*≤ d=rgreat，因此我们将考虑因素减少到R的权益部分*加上∧（r）*, s*) = Λ*, 可以展示给你*= （a+Mdr）*+ Mss*- d） +=（在- Λ*)（a+Mdr）*+ Mss*- d）。（17）因为- Λ*)s*= s*我们可以重新制定世界审计组织*= （在- Λ*)Mss*+ （在- Λ*)（a+Mdr）*- d） =（在- Λ*)Ms（中）- Λ*)s*+ （在- Λ*)（a+Mdr）*- d）。（18）重新安排收益率*= （在- （在- Λ*)Ms（中）- Λ*))-1（英寸）- Λ*)（a+Mdr）*- d）。

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大多数88

2022-5-7 09:53:56

（19）再加上Appen-dix中的引理A4，这导致*= （在- （在- Λ*)Ms（中）- Λ*))-1（英寸）- Λ*)（a+Mdr）*- d）≤ （在- （在- Λ*)Ms（中）- Λ*))-1（英寸）- Λ*)（a+Mdd）- d）≤ （在- （在- Λ*)Ms（中）- Λ*))-1（英寸）- Λ*)（a+Mdd）- d）+≤ （在- Λ*)（在- Ms）-1（英寸）- Λ*)（a+Mdd）- d）+≤ （在- Ms）-1（a+Mdd）- d） +=sgreat，（20），从中得出断言。利用上面的结果，我们现在可以证明在区间[Rsmall，Rgreat]中只有一个固定点。附录中给出了下列定理的证明。定理1。在假设1下，对于任意金融系统F=（a，d，Md，Ms），存在一个映射Φ的唯一固定点。固定点R*是非负的安德烈*∈ [Rsmall，Rgreat]。在后半部分中，我们假设假设F只有一个解R*∈ （R+）2n，即*=R*s*= ΦR*s*= Φ（R）*). （21）假设1的要求没有Fischer（2014）、Suzuki（2002）或Gourieroux等人（2012）中使用的kMdk<1和KMSK<1的假设严格。因此，在md具有Elsinger性质的情况下，kMdk<1，因此Φ不再是严格收缩。然而，假设仍然保证了系统的解决方案是唯一的。3.非有限算法本节介绍了文献中已有的两种求解算法。一种算法是在选定的起始向量上迭代使用映射Φ，并在第一小节中给出。埃辛格（2009）的工作中使用了皮卡尔迭代法的一个修正，在确定权益部分时，使用了更复杂的子算法（第3.2节）。在最后一小节中，结合Elsinger（2009）和Eisenberg及Noe（2001）的思想，开发了一种新的算法，从而使p过程更快地收敛。3.1.

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2022-5-7 09:54:00

Picard算法是计算R的最直观的方法*对于系统，F由Φ的迭代使用组成。在本节中，我们将展示n，任意起始向量R∈ （R+）2n，R*= 极限→∞Φl（R）=liml→∞Φ o . . . o Φ|{z}l（R），（22），通常称为Picard迭代。自从R*≥ 0时，起始向量的范围可以减小为仅非负向量。除此之外，对最佳起始点的搜索可以限制在区间[Rsmall，Rgreat]，如定理1所示。直接后果是任何旨在计算R的迭代过程*应确保（i）迭代的起始点不在间隔[Rsmall，Rgreat]之外，并且（ii）过程的每个间隔结果也需要在该间隔内。另一方面，这个程序是非常有效的。基于这些原因，我们提出了一种算法，可以同时从rgreat和Rsmall开始。算法1（Picard算法）。对于k=0，选择R∈ [Rsmall，Rgreat]和ε>0.2。为了k≥ 1，确定Rk=Φ（Rk-1).3. 如果kRk-1.- Rkk<ε，停止算法。否则，设置k=k+1并继续执行步骤2。对于算法1，我们将使用Picard迭代和Picard算法这两个表达式。在Suzuk i（2002）和Fischer（2014）中，Picard迭代是选择确定（5）和（6）解的算法。提议2。在R=Rsmall的情况下，算法1生成递增向量Rk的序列，在R=rgreat的情况下生成递减向量的序列。对于所有的起点，算法收敛到解R*.证据设R=Rsmall，然后Φ（Rsmall）=min{d，a+Mdrsmall+mssmall}（a+Mdrsmall+mssmall- d）+≥min{d，a}（a）- d）+= Rsmall。（23）由Φ的单调性可知，对于所有迭代，我们都有Rk+1≥ Rk，k≥ 1.

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2022-5-7 09:54:03

ForR=Rgreat，首先检查是否因为sgreat=（In- Ms）-1（a+Mdd）- d） +和rgreat=d，（a+Mdrgreat+msgreat）- d）+=a+Mdd- d+M太好了- sgreat+sgreat+=a+Mdd- D- （在- Ms）sgreat+sgreat+=a+Mdd- D- （a+Mdd）- d） +|{z}≤0n+sgreat+≤ （sgreat）+=sgreat（24），因此Φ（Rgreat）=min{d，a+Mdrgreat+Msrgreat}（a+Mdrgreat+msgreat- d）+≤太好了= 好的。（25）由于Φ的单调性，它再次认为Rk+1≤ Rk，k≥ 1.因此对于任何R∈[Rsmall，Rgreat]因为R≤ RGRΦ（R）≤ Φ（Rgreat）≤ 根据同样的论证，可以得出Φ（R）≥ Φ（Rsmall）≥ Rsmall。这意味着Picard迭代的任何系列，其起点在[Rsmall，Rgreat]区间内，都是从上到下的。由于Φ是连续的，因此级数必须收敛到Φ（eR）=eR。根据定理1，只有一个固定点，所以它必须保持thater=R*.关于以Rsmallor Rgreat为起点的Picard迭代，应该提到的是，除了Suzuki（2002）和Fischer（2014）之外，Shin（2006）还考虑了系统估值背景下的Picard迭代。Shin的模型是一个债务交叉所有权和多重所有权的模型，而不考虑股权交叉所有权。因此，该模型位于艾森伯格-德诺（2001）和埃尔辛格（2009）框架之间。与成熟度值（如本文所述）不同，Shin在时间0时直接考虑风险中性值，并在迭代过程开始时采取“保守”观点，其中债务被假定为零，或“乐观”观点，其中债务的价值被假定为面值。

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2022-5-7 09:54:06

因此，Shin的起点似乎是风险中性的时间零点，相当于这里所考虑的Rsmalland Rgreat。Picard迭代——或本节中的任何其他迭代算法——可能无法达到解决方案R*在任何迭代步骤中，都要有明确的定义。具有这种属性的金融系统的例子可以很容易地构建。从计算或实际的角度来看，这意味着像Picard迭代这样的迭代算法的缺点是，在某些情况下，需要多次迭代才能接近R*非常接近，这使得这些算法非常有效。第4节中介绍的试错算法没有这个缺点，因为对于这些过程，可以保证它们将在无数步内达到解决方案。3.2. Elsinger算法（2009），一种用于R*它与Picard迭代不同。该程序包括拆分R的两个组成部分，即权益部分和债务部分，并在每个迭代步骤中对这两个组成部分应用不同的计算方法。对于权益部分，采用子算法，其中系统的权益支付是在假定债务支付金额固定的情况下确定的。用“r”表示债务支付的向量，因此为0≤\'r≤ d、子算法的目的是找到映射Φs：（R+）n的固定点→ （R+）带Φs（s；\'R）=（a+Md\'R+Mss- d） +。（26）该映射表示给定债务支付的Φ的权益部分。Φs（·；\'r）的x edpoint用s（\'r）表示，即Φs（s（\'r）；\'r）=（a+Md\'r+Mss（\'r）- d） +=s（`r）。（27）如Elsinger（2009）所示，这一固定点是存在的，并且是唯一的，因为MSM具有ElsingerProperty。以下算法为给定的r提供一系列向量wk∈ Rn收敛到一个向量，其正部分为（26）的固定点。

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2022-5-7 09:54:09

为了更详细地解释这一点，首先定义给定向量w∈ RN setP（w）={i∈ N:wi≥ 0}（28）和矩阵Γ（w）=diag（w≥ 0n）（29）作为相应的对角矩阵。请注意，P（w）和Γ（w）的这些定义与Elsinger（2009）中的原始定义略有不同，后者使用了严格意义上更大的符号。根据我们在（14）中对违约的定义，股权价值为零的公司仍然可以在所有义务都可以完全履行的意义上不违约。这种情况被称为边缘企业（参见第4.2节）。然而，这种修改并没有改变即将到来的理论结果。算法2A。1.对于k=0，设置w=a+Md\'r- d并测定P（w）和Γ（w）。为了k≥ 1，求出ψwk（w）=w，其中ψwk（w）=w+MsΓ（wk）w（30），并用wk+1表示解，即ψwkwk+1= wk+1。测定P（wk+1）和Γ（wk+1）。如果P（wk）=P（wk+1），停止算法。E lse，设置k=k+1，然后继续执行步骤2。在对算法2A的特性进行分析之前，我们对其功能进行了一些解释。起点是w，即A+Md’r和d之间的差异。r之和代表了公司资产负债表上的收入，包括外部资产和因债务交叉所有权而支付的款项。请注意，在这一步中，由于Msdoes未出现，平等交叉所有权的潜在收入被忽略。现在的想法如下：不在P（w）中的公司无法完全履行其债务（假设EBT付款为r），并将违约。另一方面，P（w）中的公司将能够满足其目标，并且可以被视为有偿付能力（再次假设债务支付为r），即使不考虑因股权交叉所有权而产生的系统间支付。因此，非违约公司的股权支付通过产品MsΓ（w）w添加到系统中。

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2022-5-7 09:54:14

我们可以将向量w以及其他迭代向量wk解释为伪股权向量，为我们提供关于当前债务和股权支付下的偿付能力和违约公司的信息。WK的条目可以是负数，这就避免了它们可以自然地解释为权益向量，这就是为什么我们使用“伪”一词的原因。与Picard算法相比的不同之处在于，求解线性方程组以获得新的股权支付向量，而不是将Φ应用于（rt，（wk）t）t。这是因为对于ψwk的固定点，它与（30）wk+1=（In）结合在一起- Γ女士（wk））-1w（31）注意，逆矩阵的存在是因为Ms和h ence MsΓ（sk）具有Elsinger性质。向量w可以解释为w的“更新”版本，因为P（w）中的非违约公司的权益包含在w中。根据更新的向量，一些不在P（w）中的公司现在在w中有非负分录。这可以从w得出结论≥ 我们稍后会展示。但这些公司现在也能够向s y stem提供股权支付。因此，必须通过确定w来再次更新系统。该过程将继续进行，直到一个迭代步骤到下一个迭代步骤的默认文件集保持不变。提议3。给定债务支付的固定向量≥ 0n:（i）算法2A生成一个递增的向量序列wk。（ii）让1≤ L≤ n使得l:=min{j∈ {0，1，…，n}:P（wj）=P（wj+1）}。（32）那么s（\'r）=（wl+1）+是映射Φs（·；\'r）的固定点。（iii）设d=| P（w）|∈ {0，1，…，n}是w中有正条目的公司的数量。不超过n后达到固定点s（`r）- 分解步骤。证据（i）这部分命题由埃尔辛格（2009）提出。我们给出了不同的版本。

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2022-5-7 09:54:17

因为（31），Γ（w）w≥ 以及我们在- Γ女士（女））-1如附录的引理A3所示，我们得到W=（在- Γ女士（女））-1w=（In+MsΓ（w）+（MsΓ（w））+…）w=w+MsΓ（w）w |{z}≥0n+MsΓ（w）MsΓ（w）w |{z}≥0n+。≥ w、（33）哪个是感应启动。对于诱导步骤，我们假设wk≥ 工作-1和Γ（周）≥Γ（周）-1）从它开始。我们需要证明wk+1≥ wk，或者，相当于wk+1=wk+e，其中e≥ 0n。自从Γ（wk）wk≥ Γ（周）-1） wk和wk=w+MsΓ（wk-1） wk，它的结果是u:=w+MsΓ（wk）wk- wk=Ms（Γ（wk）- Γ（周）-1））工作≥ 0n。（34）有了这个定义，我们就有了wk+e=w+MsΓ（wk）（wk+e）=w+MsΓ（wk）wk+MsΓ（wk）e（35），我们可以重新振作起来- MsΓ（wk）e=w+MsΓ（wk）wk- wk=u≥ 0n。（36）为e求解这个问题会导致toe=（In- Γ女士（wk））-1u≥ 0n（37），从中可以看出wk+1≥ 工作。（ii）首先，我们将展示一旦达到“稳定系统”，即k≥ 如果我们有P（wk）=P（wk+1），那么序列wk将是常数。让l如上文（32）所述定义。请注意，这样的l自wk起就存在≤ wk+1，因此P（wk+1） P（wk）代表所有k≥ 0如上所示。由于Γ（wl）=Γ（wl+1），由于ψwl（w）=w+MsΓ（wl）w=w+MsΓ（wl+1）w=ψwl+1（w）（38），这两个映射ψwl和ψwl+1是相同的，因此wl+1=wl+2。一个直接的结果是P（wl+2）=P（wl+1）=P（wl），这意味着Γ（wl+2）=Γ（wl+1）=Γ（wl）。通过迭代，以下所有向量将等于wl+1。有待证明的是，该迭代向量的正部分是映射Φs（·；\'r）的固定点。因为wl+1是ψwl的固定点，所以认为wl+1=w+MsΓ（wl）wl+1。这就产生了Φs（（wl+1）+）；\'r）=（a+Md\'r+Ms（wl+1）+- d） +=（a+Md\'r+MsΓ（wl+1）wl+1- d） +=（a+Md\'r+MsΓ（wl）wl+1- d） +=（w+MsΓ（wl）wl+1）+=（wl+1）+。（39）（iii）如图所示，系列WK增加，这意味着P（w）中的公司将在以后的每一个迭代步骤中保持积极的条目。

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2022-5-7 09:54:20

同样的说法适用于wki<0和wk+1i的每一家公司≥ 任何k都是0≥ 因为（ii）这意味着，如果在每个迭代步骤中，setP（wk）增加1，如果| P（wl+1）|=n，那么迭代步骤的数量肯定是最大的。在这种情况下，我们将有| P（wl+1）|- |P（w）|=n- D最大可能的迭代步骤。使用算法2A获得给定债务支付向量的权益向量，我们现在可以给出计算解R的算法*. 在续集中，我们将使用映射Φd:（R+）n→ （R+）由Φd（R；\'s）=min{d，a+Mdr+Ms}（40）定义，代表给定股权支付向量Φ的ebt分量≥ 0n。算法3（埃尔辛格算法）。设置ε>0.1。对于k=0，选择r∈ {rsmall，rgreat}并使用算法2A确定s（r）。2.为了k≥ 1，设置rk=Φd（rk-1.s（rk）-1））并通过算法2A计算s（rk）。3.如果rk-1sk-1.-rksk< ε、停止算法。否则，设置k=k+1并继续执行步骤2。该算法首先假设所有企业都能完全履行其债务义务（r=rgreat=d），或者所有企业都有足够的外部资产来偿还其债务（r=rsmall=min{d，a}）。利用该支付向量，使用算法2A获得相应的股权支付。在下一步中，债务向量必须适应新的股权支付，而ich的支付方式与之前的债务向量相同。然后，更新后的债务支付向量用于确定新的股权支付向量。此过程将继续，直到迭代彼此足够接近。

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2022-5-7 09:54:24

除了最初在Elsinger（2009）中提出的算法外，算法3还包含第二个可能的起点rsmall。我们将在下一个命题中说明，如果选择r=r，债务和股权支付向量将建立一个递增序列，从而收敛到解r*从下面看，对于r=rgreat，它从上面收敛。提议4。如果r=rgreat，E lsinger算法提供一系列递减向量；如果r=rsmall，E lsinger算法提供一系列递增向量。这两个序列都收敛到（7）中映射Φ的固定点。证据递减部分如Elsinger（2009）所示，我们只需证明其中算法中的debtiterate与rkin算法3相同。用我们的符号，Elsinger（2009）中的DebT分量的迭代定义为Rk=min{d，（w*（rk）-1） +d）+}，（41）其中w*（rk）-1）是W=a+Mdrk的解吗-1+城市固体废物+- d、（42）然而，从（39）可以看出，`r=rk-1，（wl+1）+=Φs（wl+1）+；rk-1.=a+Mdrk-1+Ms（wl+1）+- D+=W*（rk）-1)+, （43）式中，wl+1是算法2A的结果，其中债务支付向量为rk-1，即（w）*（rk）-1））+=s（rk-1). 因为（42），我们有*（rk）-1） =a+Mdrk-1.- d+Ms（w）*（rk）-1））+，（44），其后是（40）和a≥ 0nthatrk=min{d，（w）*（rk）-1） +d）+}=min{d，a+Mdrk-1+Ms（w*（rk）-1））+}=Φd（rk-1.（w）*（rk）-1））+）=Φd（rk-1.s（rk）-1)).（45）尚待显示的是，对于起点r=rsmall，生成的序列增加并收敛到r*, 这是通过归纳法完成的。对于感应s开始检查R=min{d，a}≤ min{d，a+Mdr+Mss（r）}=Φd（r；s（r））=r.（46）如Elsinger（2009）所示，结果为*（r）算法2A中的s（r）在r中增加，也就是说s（r）在r中增加≤ s（r）完成感应启动。对于诱导步骤，假设rk-1.≤ RKS和rk（rk-1) ≤ s（rk）。

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2022-5-7 09:54:27

下一个滴度出现为rk+1=min{d，a+Mdrk+Ms（s（rk））+}≥ min{d，a+Mdrk-1+Ms（s）rk-1））+}=rk，（47），也跟在s（rk+1）后面≥ s（rk）以及级数的递增性质。对于收敛，选择s（rk）≥ 并且它认为S（rk）=（a+Mdrk+Mss（rk）- d）+≤ Mss（rk）+（a+Mdrk- d） +。（48）因为rk≤ R*, 它是在一些重新安排之后出现的，即（rk）≤ （在- Ms）-1（a+Mdrk）- d）+≤ （在- Ms）-1（a+Mdr）*- d） +，（49）因此级数s（rk）也从上面有界，因此收敛到一些s*从下面。Φsis连续in（rt，st）与Φs（s（rk）同时存在；rk）=s（rk）等于Φs（s）*; R*) = s*. 因此（（r）*)t、（s）*)t）索尔夫斯（6）。同样，我们可以说，由于Φd的连续性，Φd（r*; s*) = R*下面是（（r*)t、（s）*)t）塔尔索解（5），因此必须是固定点R*.如上所述，Elsinger算法以与Picard迭代不同的方式确定迭代的公平成分。这种方法的一个重要结果是，对于递减版本，Elsinger算法的迭代比Picard算法的迭代要小得多，我们将在下一个命题中展示。对于这两个过程的递增版本，同样的语句也适用，其中来自Elsinger算法的迭代将大于来自Picard算法的迭代。由于获得下一次权益迭代的方式不同，两种程序的总计算效率难以比较（参见第5.3节）。然而，如果我们只把需要的迭代次数作为一个质量标准，我们可以得出结论，埃尔辛格算法收敛到R*而不是Picard迭代，无论算法是从上边界开始还是从下边界开始。提议5。

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2022-5-7 09:54:30

设RkP=（（RkP）t，（skP）t）t是Picard算法的第k次迭代，rkE=（（rkE）t，（skE）t）t是Elsinger算法的相应迭代。（i）对于任何迭代k≥ 0我认为RkP≥ 如果RP=rgreat和RE=（rtgreat，s（rgreat）t）t。如果RP=rsmall和RE=（rtsmall，s（rsmall）t）t，我们有这个RkP≤ 这是为每个文盲准备的。（ii）让Rk，k≥ 1，用R=R迭代Picard算法，或用R=（rtgreat，s（rgreat）t）t迭代Elsinger算法。然后Rk+1P（Rk）≥ Rk+1E（Rk）。如果起始向量是R=rsmall或R=（rtsmall，s（rsmall）t）t，它认为Rk+1P（Rk）≤Rk+1E（Rk）。证据（i）归纳法证明了这一论断。对于k=0，假设上边界是两种算法的起始向量。在等式（49）中，SE=s（d）≤ （在- Ms）-1（a+Mdd）- d） +=sgreat=sP.（50）由于rE=rP=d，感应启动完成。现在假设k≥ 1.它支持RkP≥ 马克。从命题4，我们知道Rk+1E≤ 马克。此引线tork+1P=最小值{d，a+MdrkP+MsskP}≥ min{d，a+MdrkE+MsskE}=rk+1E（51）和SK+1P=（a+MdrkP+MsskP）- d）+≥ （a+MdrkE+MsskE）- d）+≥ （a+Mdrk+1E+Mssk+1E）- d） +=sk+1E。（52）如果起始向量是下界ary，并且序列RkPand Rk在增加，则该论证类似。（ii）我们证明了算法的递减版本，对于反向的证明是相似的。首先，让Rk=RkP。债务分量的下一次迭代等于两种算法，即rk+1P=Φd（rk；sk）=rk+1E。对于权益部分，它持有sk+1P=Φs（sk；rk）。映射Φs（·；rk）有一个唯一的固定点，我们用s（rk）表示，可以通过Picard迭代获得：liml→∞（Φs）l（sk；rk）=s（rk）。（53）迭代明显形成一个递减序列，因此sk+1P≥ s（rk）≥ s（rk+1）=sk+1E，（54），其中第二个不等式来自s（r）在r中增加的事实（参见。

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2022-5-7 09:54:33

埃尔辛格（2009）。如果第k次迭代由Rk=RkE给出，则参数类似于onesabove。3.3. 一种混合算法为了激励下一种算法的方法，我们必须比较埃尔辛格算法和皮卡德迭代的函数。两次迭代之间的主要差异出现在权益部分的计算中。假设我们在迭代步骤k中≥ 0并希望计算权益部分的下一次迭代。我们暂时忽略了这两种算法都提供了不同的迭代，并假设第k次迭代由Rk=（（Rk）t，（sk）t）t给出。在埃尔辛格算法中，Rk+1首先被计算，然后sk+1是Φs（·Rk+1）的固定点，因此它认为sk+1=Φs（sk+1；Rk+1）。另一方面，Picard迭代可以写成sk+1=Φs（sk；rk），从中可以清楚地看出，Picard迭代既不使用“更新”的deb t向量rk+1，也不解决单独的定点映射来获得sk+1。然而，债务成分rk+1的确定在两种算法中是可比的。再次从rk开始，两种程序的rk+1=Φd（rk；sk）。Elsinger算法的一个明显扩展是利用权益部分和债务部分的原理。在Eisenberg和Noe（2001）的文章中，这个概念用于没有股权交叉所有权的系统，即Ms=0n×n。

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2022-5-7 09:54:36

在这一小节中，我们将概括这项工作的结果，结果将证明，将这两种观点结合起来，即奥尔辛格（2009）和艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe）（2001）的观点，将有助于最大限度地减少全局算法所需的迭代步数，以确定*.为了更详细地解释这个想法，假设债务支付向量∈ [rsmall，rgreat]我们有一个对应的权益向量s（\'r），即（26）中映射Φs（·；\'r）的固定点。在Elsinger算法中，下一个债务迭代出现为Φd（\'r；s（\'r））。我们的目标不是使用这个迭代，而是找到Φd（·s（\'r））的固定点作为新的迭代。这可以通过以下算法实现。算法4A。假设s≥ 0n。1.对于k=0，设置r=`r并确定D（r，s）和∧（r，s）。为了k≥ 1.解决问题-1，s（r）=r其中Θrk-1，s（r）=∧（rk）-1，s）a+Md∧（rk）-1，s）r+在里面- ∧（rk）-1，s）D+ Mss+在里面- ∧（rk）-1，s）d（55）3。用rk表示解，即Θrk-1，s（rk）=rk，并确定D（rk，s）和∧（rk，s）。如果D（rk，s）=D（rk-1，s），停止算法。否则，设置k=k+1并继续执行步骤2。该算法与艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe，2001）中给出的算法相同，但对由于股权交叉所有权而产生的一些额外固定薪酬进行了修改。它解决了（5）固定金额的股权支付问题≥ 0n，即映射Φd（·，s）的固定点，我们将在下一个命题中展示。用r表示该固定点*（s）比如说。在后面的混合算法中，r*（s）用作债务组件的下一次迭代。要查看Elsinger算法中债务分量计算之间的差异，假设任意债务支付向量r∈ [0n，d]被给出，相应的股权支付向量s（r）也被给出。

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2022-5-7 09:54:40

映射Φd（·；s（r））的固定点一方面可以使用上述算法4A获得，但另一方面，我们也可以使用aPicard迭代，因为对于任何r∈ [0n，d]它是这样的≤ Φd（r；s（d））=min{d，a+Mdr+Mss（d）}≤ d、（56）从向量r开始，固定点r*（s）被给予asr*（s） =极限→∞（Φd）l（r；s（d））。（57）然而，在Elsinger算法中，债务成分的下一次迭代被定义为Φd（r；s（r）），这是（57）中Picard迭代的第一次迭代。因此，可以说，在Elsinger算法中，使用一个简单的映射来获得下一个迭代，而在混合算法中，映射的固定点是确定的。在命题9中，我们将证明，当使用后一种算法的思想时，迭代RK将始终小于搜索的解R*.提议6。让我们∈ [rsmall，rgreat]成为一个债务支付工具和≥ 0na权益支付向量，使得Φd（`r；s）≤r.（58）（i）算法4A生成了一个定义良好的v向量rk递减序列。（ii）让1≤ L≤ n使得l:=min{j∈ {0，1，…，n}:D（rj，s）=D（rj+1，s）}。（59）那么r*（s） =rl+1是（40）中定义的映射Φd（·s）的固定点。（iii）设d=|d（|r，s）|为|r和s下的违约公司数量。固定点r*（s）在不超过n之后到达- 分解步骤。证据由于权益向量s被认为是固定的，我们可以通过设置a=a+Mss和fMs=0n×n来修改财务系统F。新系统F=（a，d，Md，fMs）是一个没有权益交叉所有权的系统。Eisenber g和Noe（2001）中考虑了此类系统。（i）序列RK下降的证明现在等价于inEisenberg和Noe（2001）给出的证明。其中证明中需要的一个假设是，r是所谓的s超解，它是因为Φd（\'r；s（\'r））而给出的≤\'r≤ D

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2022-5-7 09:54:44

我们要完成这一部分的是，（55）中映射的固定点存在且独特，因为它们对金融系统的定义与我们的略有不同。用∧：=∧（rk，s）表示对角矩阵f或rk。下一次迭代rk+1根据（55）givenbyrk+1=∧~a+Md∧rk+1+（In- ∧d）+ （在- ∧d=∧Md∧rk+1+∧~a+Md（英寸）- ∧）d+ （在- ∧）d（60）和重新排列产生tork+1=在里面- ∧Md∧-1.Λ~a+Md（英寸）- ∧）d+ （在- ∧）d. （61）注意Md具有Elsinger性质，因此∧Md∧也具有Elsinger性质，这意味着- 存在∧Md∧。这证明了rk+1的唯一性。（ii）序列收敛并最终变为常数的论证与命题3证明的第（ii）部分是一致的。由于rk在减少，我们得到了D（rk，s） D（rk+1，s）这意味着违约公司的数量增加。如果D（rl，s）=D（rl+1，s），那么我们也有∧（rl，s）=∧（rl+1，s），从中可以看出映射Θrl，sandΘrl+1具有相同的固定点。它必须保持所有的后续迭代是相等的。为了证明rl+1是Φd（·s）的固定点，首先通过定义∧（rl+1，s）检查：rl+1=∧（rl+1，s）rl+1+（In- ∧（rl+1，s））d.（62）然后它认为Φd（rl+1；s）=min{d，~a+Mdrl+1}=（In- λ（rl+1，s））d+λ（rl+1，s）（a+Mdrl+1）=（In- ∧（rl，s））d+∧（rl，s）~a+Md∧（rl+1，s）rl+1+（In- ∧（rl+1，s））d= （在- ∧（rl，s））d+∧（rl，s）~a+Md∧（rl，s）rl+1+（In- ∧（rl，s））d= rl+1，（63），其中最后一个等式从（55）开始。（iii）这一部分与命题3的证明的第（iii）部分相似，论证的反面是e。由于序列减少，起始向量下的违约公司将保持违约状态。为了实现算法的最大理论长度，在每个新的迭代步骤中必须恰好出现一个额外的默认步骤。

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