用高斯项结构模型微笑

2022-5-7 06:48:52

用高斯项结构模型微笑Abdelkoddousse Ahdida，Aurélien Alfonsi*, 欧内斯托·帕利达*2015年11月5日摘要我们提出了线性高斯项结构模型（LGM）的一个精确扩展，使得因子的瞬时协变量由半无限正矩阵的精确过程给出。首先，我们建立了模型，并给出了与因子的拉普拉斯变换和模型的遍历性有关的一些重要性质。然后，我们介绍了两种主要的数值工具来实现该模型。首先，我们获得了围绕LGM的Caplet和掉期期权价格的扩张。这种快速而准确的近似对于评估隐含波动率的模型行为是有用的。其次，我们为弱误差提供了一个二阶方案，它可以通过蒙特卡罗算法计算奇异期权。将这两种定价方法与基于傅里叶反演的标准定价方法进行了比较。关键词：期限结构模型、线性高斯模型、Wishart过程、价格扩展、离散化方案、CAPlet、互换期权动机和论文概述期限结构模型（ATSM）是一类重要的利率模型，包括Vasicek[34]和Cox Ingersoll-Ross[11]的经典和开创性模型。Duf fie和Kan[19]、Dai和Singleton[15]以及Duf fie、Filipovi\'c和Schachermayer[18]的论文已经解决并推广了这些模型。关于这些术语结构模型的教科书，我们参考菲利波维奇[22]。线性高斯模型（LGM）是ATSM的一个简单但重要的子类，它假设潜在因素遵循高斯过程。El Karoui和Lacoste[21]以及El Karoui等人[20]已经考虑过它，由于它的简单性，它现在已经成为固定收益衍生品定价的市场标准。

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2022-5-7 06:48:55

然而，该模型有一个主要缺点需要根据市场数据进行校准：它会产生隐含的波动率微笑。本文的目标是呈现LGM的一个非常自然的扩展，它保持了af FIN结构，并产生了隐含的波动微笑。为此，我们考虑在半无限正矩阵集合上的Wishart类型的精细扩散，并用（该过程的线性函数）粗略地替换恒定波动率矩阵。这些因素及其波动性之间的依赖性是通过一个特定的协变量来实现的，该协变量保持了清晰的结构，这是由Da Fonseca等人[14]在一个公平框架中提出的。正因为如此，提出的模型是一个随机方差-协方差的期限结构模型（见定义6），能够产生隐含的波动率微笑。它有许多参数，乍一看似乎很难处理。因此，我们将其表示为LGM的扰动。因此，模型对市场数据的校准可以分两步进行：首先，可以校准LGM，然后将新参数校准到隐含的挥发性文件。Palidda[27]在一些案例中讨论了该模型的校准。在本文中，我们没有解决实际校准问题：我们的目标只是建立模型，并给出实际使用该模型的主要数值方法。也就是说，我们在第2节中定义了该模型，并给出了一些重要性质，如初始和前向测度下的拉普拉斯变换值或遍历性性质。然后，我们给出了在实践中实现该模型的两个重要工具。

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2022-5-7 06:48:58

首先，我们在第3节中介绍了当因子Y的波动性很小时，LGM周围的小市值和互换期权的价格扩展。这些显式公式有助于快速计算参数对波动率立方体的影响，从而校准模型。第二，我们在第4节中提出了一个针对弱误差的二阶模型的离散化方案。有一个精确的方案在实践中是很重要的，因为它允许计算*巴黎东部大学，CERMICS，Projet MATHRISK ENPC-INRIA-UMLV，布莱斯帕斯卡大道6-8号，法国马恩拉瓦莱77455号。电子邮件：阿迪达。abdel@gmail.com, alfonsi@cermics.enpc.fr埃内斯托。palidda@gmail.com.Most这项工作的一部分是在埃内斯托为农业信贷公司的理性研究小组工作时完成的。我们感谢Christophe Michel、Victor Reutenauer、Anas Benabid和Nicole El Karoui围绕本文进行了有趣而富有成效的讨论。这项研究还得益于“主席风险金融家”Risque基金会的支持。选项由蒙特卡罗算法确定。此外，该方案可以很容易地适用于依赖于相同结构的其他模型，如Da Fonseca等人[14]的模型。最后，第5节将展开法和Monte Carlo方法与Carr和Madan[9]推广的经典傅里叶技术进行了比较，并指出了每种方法的相关性。1线性高斯模型（LGM）简而言之，我们提出的模型是为了扩展经典的LGM，因此我们需要回顾一下LGM。我们在一个风险中性测度P下工作，并考虑一个P维标准布朗运动Z。设Y为以下方程的解：Ornstein-Uhlenbeck-SDEYt=Y+Ztκ（θ）- Ys）ds+Zt√V dZs，（1）其中κ∈ Mp（R）是p阶矩阵，V是p阶和θ阶半有限正矩阵∈ Rp。

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2022-5-7 06:49:01

即期汇率是向量Y的一个函数的LGmassume:rt=~n+pXi=1Yit，（2）和坐标yit通常被称为模型的因子。假设（2）中每个因素的权重对于所有因素都是相同的，并且等于一，这是没有限制的：如果我们有rt=~n+Ppi=1miYit，我们可以很容易地检查（mY，…，mpYp）也是一个奥恩斯坦-乌伦贝克过程。长期结构模型通常认为，参数（此处为κ、θ和V）是固定的，并且在很长一段时间内有效，而因素（此处为向量Y）会演变并反映市场的当前状态。因此，人们通常认为这个过程是静止的，以反映某种市场均衡。此外，这些因素通常与不同的时间尺度相关：一个小（或大）均值回归的因素将影响利率的长期（或短期）行为。这导致我们假设κ=diag（κ，…，κp）与0<κ<···<κp，我们在续集中就是在这个假设下工作的。可以很容易地检查（例如，参见Andersen和Piterbarg[3]），任何线性高斯模型，例如κ具有明显的正特征值，都可以在当前的参数化中重写，直到因子的线性变换。让（Ft）t≥0表示Z的自然过滤。对于0≤ T≤ T，价格Pt，T=Ehexp-RTtrsds|到期日为t的零息债券的时间t是Y:Pt，t=exp（E（t）的指数函数- t） +B（t）- （t）Yt），（3）式中B（τ）=-(κ)-1（Ip）-E-κτ） 1和E（τ）=-ντ+RτB（s）κθ+B（s）τ的vb（s）ds≥ 0.这里，1p代表RPT中的向量，它的所有条目都等于一。函数B（τ）映射因子变化在收益率曲线上变化，通常被称为支持函数。

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2022-5-7 06:49:05

与较大参数κi相关的因素会影响收益率曲线的短期行为，而与较小参数κi相关的因素会更多地驱动长期行为。我们现在简要介绍一下利率期权市场的一些基本概念。流动性最强的利率期权是互换期权和Caplet。它们分别表示为远期伦敦银行同业拆借利率和远期掉期利率，其定义如下：≤ T≤ T，δ>0和m∈ N*:Lt（T，δ）=δPt，TPt，T+δ- 1.St（T，m）=Pt，T- Pt，T+mδPmi=1Pt，T+iδ。caplet和swoption的价格分别由ct（T，δ，K）=E给出E-RT+δtrsds（LT（T，δ）- （K）+英尺Swaptiont（T，m，δ，K）=E“E-RTtrsdsmXi=1δPT，T+iδ（ST（T，m）-（K）+英尺#。caplet通常适用于短期限δ（最长1年），而swoptions则适用于2至30年的期限mδ。市场实践是采用标准的数字变化技术（见Geman等人[24]），并写出上述表达式asCt（T，δ，K）=Pt，T+δet+δh（LT（T，δ）- K） +| Fti（4）swaptiton（T，m，δ，K）=mXi=1δPt，T+iδ！EAh（ST（T，m）-K） +|Fti，（5）其中ET+δ（resp.EA）表示与基准Pt，T+δ（resp.Pmi=1δPt，T+iδ）相关的测量T+δ-正向中性（resp.annuity）测量的预期。然后根据对数正态或正态隐含波动率对市场价格进行报价和分析，通过分别反转定价公式（4）和（5）w.r.t.Black-Scholes和Bachelier公式获得。在LGM模型中，caplet的对数正态隐含波动率由ztt[B（T）给出- u）-B（T+δ）- u） ]V[B（T- u）- B（T+δ）- u） ]du，这是下面公式（28）的特例。这种隐含的波动性并不取决于罢工。

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2022-5-7 06:49:08

它表明，根据不同的时间尺度，均值回归参数κ在形成caplets波动率立方体的形式中起着作用。矩阵V的对角系数的作用由支持函数SMII（τ，δ）=（1）确定-E-κiΔκi）1-E-2κiτ2κiτ。方差-协方差矩阵V的非对角元素的影响由支持函数mij（τ，δ）=1确定-E-κiΔκi1-E-κjΔκj1-E-（κi+κj）τ（κi+κj）τ。这些函数如图1所示。此外，通过使用标准近似值，我们可以获得互换期权的正常隐含波动率：ZTt[BS（u）]V BS（u）du，其中BS（u）=ωB（T- u）- ωmB（T+mδ）- u）- S（T，m，δ）Pmk=1ωkB（T+kδ- u） ωk=P0，T+kδPmi=1P0，T+iδ。这是下面公式（43）的特殊情况。这种隐含波动率的结构与caplet相当相似，但它不是时间均匀的。caplet和swoption的隐含波动率都不依赖于图1：在两因素模型中，在3个月（左）和2年（右）的期限内，κ=diag（0.01,1）的波动率期限结构的支持函数。这是一个众所周知的事实。如果试图重现市场数据中观察到的波动率立方体（即关于到期日T、期限δormδ和履约K的隐含波动率），这是不幸的。我们在第2节中介绍的LGM扩展旨在纠正这一缺陷。2具有随机协方差的LGM的一个详细扩展本节致力于定义我们在本文中研究的模型。该模型是LGM的随机方差-协方差扰动。我们选择了一个非常通用的规范，该规范使模型保持一致，并给出了因子的随机瞬时协方差，这将为caplet和swapptions生成微笑。

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2022-5-7 06:49:11

我们首先介绍了因子的动力学，然后介绍了依赖于其精细结构的模型的一些特性。2.1状态变量动态我们考虑W是由独立的标准布朗运动构成的d×d平方矩阵，Z是维数为p的独立布朗运动。我们将用（Ft）t表示≥0由（W，Z）生成的过滤。对于状态变量（或因子）Yt=y+Ztκ（θ），我们考虑以下SDE- Ys）ds+ZtcpXs[°ρdZs+dWsρ]（6）Xt=x+ZtOhm + （d）- 1） Ind+bXs+Xsb)ds+ztpxsdwind+InddW间谍。（7）未定义0的矩阵≤ N≤ d乘以（Ind）i，j=i=j≤n、参数取值如下：，Ohm ∈ S+d（R），b∈ 医学博士（右），∈ R+，y，θ∈ Rp，κ=diag（κ，…，κp）与κ。。。，κp>0，c∈ Mp×d（R），ρ∈ Rd使得|ρ|：：=dXi=1ρi≤ 1和ρ=p1-|ρ|，（8）其中S+d（R）、Md（R）和Mp×d（R）分别表示d阶半有限正矩阵集、d阶方阵集以及具有p行和d列的矩阵集。过程X是S+d（R）上的一个内扩散，因子Y在时间t的瞬时协方差由cXtc给出. 当=0和Ohm = -bx-xb, 我们得到了Xt=x，得到了V=cxc的高斯模型. 通过驱动布朗运动，Y和X之间的依赖结构与Da Fonseca、Grasselli和Tebaldi[14]提出的相同。如[14]所述，这是获得Y和X之间非平凡瞬时相关性的最常用方法，同时保持af FIN结构。特别是，瞬时二次协变量与（Y，X）是线性的，我们有1≤ i、 j，k，l≤ d和1≤ m、 m′≤ p:hd（Yt）m，d（Yt）m′i=（cXtc）)m、 m′dt，（9）hd（Xt）i，j，d（Xt）k，li=[（Xt）i，kj=l≤n+（Xt）i，lj=k≤n+（Xt）j，ki=l≤n+（Xt）j，li=k≤n] dt，（10）hd（Yt）m，d（Xt）i，ji=[（cXt）m，i（Indρ）j+（cXt）m，j（Indρ）i]dt。

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2022-5-7 06:49:14

（11）我们注意到，只有ρ的第一个分量是物质，我们可以假设ρn+1=·ρd=0，而不丧失普遍性。从（7）中，我们可以很容易地得到eκtYt=y+Zteκsκθds+ZteκscpXs[°ρdjs+dWsρ]。因此，一旦给出过程Z、W和X，过程Y就被唯一地确定。Cuchieroet等人[12]知道，当X∈ S+d（R）和Ohm ∈ S+d（R），如果我们假设x是可逆的且Ohm - 2Ind∈ S+d（R）。这将导致以下结果。命题1——如果x∈ S+d（R），Ohm ∈ S+d（R）SDE（7）存在唯一的弱解。如果我们假设Ohm - 2Ind∈ S+d（R）和x∈ S+d（R）是正定义，有一个独特的强解。过程（X，Y）的精细结构允许我们通过矩阵Riccati微分方程（MRDE）给出边缘定律的拉普拉斯变换公式。Da Fonseca等人[14]或Benabid等人[5]在EquityModeling中进行了类似的计算。下面的命题陈述了精确的结果，这对零息债券的定价很有用。命题2-设∧，\'∧∈ Rp，Γ，Γ∈ Sd（R）。对于t≥ 0，我们定义λ（t）∈ Rpbyλi（t）=∧ie-κit+？∧iκi（1-E-κ它）。（12）让我们假设存在Υ∈ Sd（R）使得Υ-Γ ∈ S+d（R）、（13）T≥ 0, -2ΥIndΥ+Υ（b+Indρλc） +（b+Indρλ）c）Υ+cλλc+Γ∈ S+d（R）（14）那么，下面的微分方程组˙g=2gIndg+g（b+Indρλc） +（b+Indρλ）c）g+cλλc+Γ，g（0）=Γ，˙η=λκθ+Trg(Ohm + （d）- 1）（印度）, η（0）=0，（15）有一个唯一的解，该解定义在R+上。它满足了Υ- g（t）∈ 对于任何t，S+d（R）≥ 此外，我们还有很多≤ T≤ T:E“expTr（ΓXT）+∧YT+ZTTRΓXs+ΛYsds！Ft#=exp（η（T-t） +Tr（g（t）-t） Xt）+λ（t）-（t）Yt）。（16）证明：该证明对于精确扩散来说是相当标准的。

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2022-5-7 06:49:17

首先，我们注意到，如果（16）成立，我们必然有Mt=expRtTrΓXs+ΛYsdsexp（η（T）- t） +Tr（g（t）- t） Xt）+λ（t）- （t）Yt）是一个鞅。Weapply它的配方和用法（9）、（10）和（11）。鞅性质产生于‘Xt+’λYt- ˙η（T）- （t）- Tr（˙g（T- t） Xt）-˙λ（T）- （t）Yt+Tr（g（T）- （t）[Ohm + （d）- 1） Ind+bXs+Xsb])+ λ（T）- （t）κ(θ - Yt）+2Tr（Xg（T- t） Indg（t- t））+Tr（Xcλ（T）- t） λ（T）- t） c）+Tr（X[c]λ（T）- t） ρIndg（T- t） +g（t）- t） Indρλ（T）- t） c]）=0。通过确定常数项和关于Yt和Xt的线性项，我们得到（15）和˙λ=-κλ+？∧，λ（0）=∧，这导致（12），因为κ与正项成对角线。通过将Dieciand Eirola[17]的命题1.1应用于Υ-g、存在（15）的解决方案，并对t进行了充分定义≥ 0 . 此外，Υ-通过使用（13）和（14），g保持在S+d（R）中。然后，还需要检查我们是否确实有（16），检查t=0是否足够。为此，我们将Yit^o的公式应用于M和getdMs=MshTr（g（T- s） [pXsdWsInd+InddWspXs]）+λ（T- （s）因此，M是一个正的局部鞅，因此是一个超鞅，它给出了M≥ E[MT]。为了证明M=E[MT]，我们使用了里德伯格[30]提出的论点。我们定义Nt=Mt/Min，以便使用概率度量。我们定义了K>0，τK=inf{t≥ 0，Tr（Xt）≥ K} ，πK（x）=Tr（x）≤Kx+Tr（x）≥KKTr（x）x代表x∈ 考虑N（K）t N（K）S=N（K）S的解Tr（g（T）- s） [pπK（Xs）dWsInd+InddWspπK（Xs）]）+λ（T- （s）cpπK（Xs）[ρdZs+dWsρ],N（K）=1。显然，E[N（K）T]=1，且在dP（K）下dP=N（K）T，dW（K）T=dWt- 2pπK（Xt）g（T）- t）印第安纳州-pπK（Xt）cλ（T）- t） ρ我们感谢Martino Grasselli为我们提供这一参考。是P（K）下的矩阵布朗运动。我们现在写E[NT]=E[NTτK>T]+E[NTτK≤T] 。根据支配收敛定理，我们得到了[NTτK]≤[T]→K→+∞此外，E[NTτK>T]=E[N（K）TτK>T]=P（K）（τK>T），我们必须证明这个概率为1。

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2022-5-7 06:49:21

为此，我们关注以下SDEdXt=(Ohm + （d）- 1） Ind+（b+2Indg（T- t） +Indρλ（T）- t） c）~Xt+~Xt（b）+ 2g（T- t） Ind+cλ（T）- t） ρInd）dt+qXtdWtInd+InddWtqXt从X=X开始，我们检查X在P（K）下的τKand之前解出的SDE与P（K）下的∧X相同。这就产生了P（K）（τK>T）=P（inf{T）≥ 0，Tr（~Xt）≥ K} (T)。由于X满足的SDE是S+d（R）上的精确扩散，因此对于任何t≥ 0.尤其是maxt∈[0，T]Tr（~Xt）<∞ a、美国，它给出了SP（inf{t≥ 0，Tr（~Xt）≥ K} >T）→K→+∞1.备注3——当且仅当Υ=0时，满足条件（13）和（14）-Γ ∈ S+d（R）和T≥ 0, -Γ -Cλ（t）λ（t） c∈ S+d（R）。（17）自|λi（t）|≤ ma x（|∧i |，|∧i/κi |），我们得到λ（t）λ（t）≤Ppi=1max（λi，（\'∧i/κi））。因此我们有ppi=1max（λi，（\'∧i/κi））Id- λ（t）λ（t）∈ S+d（R），然后ppi=1max（λi，（？∧i/κi））cC- Cλ（t）λ（t） c∈S+d（R）。因此，（17）的充分条件是-Γ -pXi=1max（λi，（\'∧i/κi））cC∈ S+d（R）。利用拉普拉斯变换（16），我们有一个数学工具来检查过程（X，Y）是否是静止的。这对于我们的建模视角很重要：除非是在某个短暂的时期，否则人们可能会认为这些因素在某种平衡点附近是稳定的。下一个命题给出了一个确保平稳性的简单充分条件。附录B中证明了这一点。命题4——如果-（b+b）) ∈ S+d（R）是正定义，过程（X，Y）是静止的。备注5——我们选择将过程X的动力学尽可能保持在正半限定矩阵空间中。选择X的Wishart规格（对应于Ohm = αInd，α>0）不会导致模型的显著简化。虽然Wishart过程允许显式拉普拉斯变换，但（7）定义的过程（X，Y）并非如此。

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2022-5-7 06:49:24

漂移项Ohm 考虑到过程X的均值回归行为，我们通常会考虑负均值回归矩阵b，在这种情况下，我们可以设置Ohm = -bx∞- 十、∞B, 矩阵的平均值X变为过程∞.2.2模型定义6——我们假设（Xt，Yt）t≥0在风险中性措施下遵循（6）和（7）。然后，我们将短期利率定义为byrt=~n+pXi=1Yit+Tr（γXt），（18）加上∈ R和γ∈ Sd（R）。从命题2，我们很容易得到以下关于零息票债券的结果。推论7键重建公式。让0≤ T≤ T和Pt，T=E[exp(-RTtrsds）| Ft]表示到期日为t的零息债券在t时的价格。让我们假设γ-pXi=1κi！CC∈ S+d（R）。（19）然后，使用备注3，Pt，由Pt给出，T=e xp（A（T- t） +Tr（D（t）- t） Xt）+B（t- （t）Yt），（20）带A（t）=η（t）- ηt，D（t）=g（t）和B（t）=λ（t），其中（η，g，λ）是（15）与（12）的解，其中∧=0，Γ=0，Γ=0-γ和∧=-1p（即？∧i=-一对一≤ 我≤ p）。特别是，我们有-D（T）- （t）∈ S+d（R）。让我们对该模型进行一般性评论。它与Bensusan[6]的HD论文中提出的模型非常接近，但略有不同。尽管如此，我们作为LGM模型扰动的介绍使我们能够更好地理解模型参数。因此，向量过程Y可以解释为TLGM模型，这意味着它被认为是收益率曲线的主要驱动因素。个别因素被视为收益率曲线的主成分变动。我们选择指定模型，以便matrixprocess X允许类似的解释。通常我们会考虑Ohm = -bx∞- 十、∞B与b对称负有一个均值回归到一个给定的协方差矩阵x∞. 参数测量LGM周围的扰动水平。

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2022-5-7 06:49:28

矩阵过程X扮演着收益率曲线主要运动的随机方差协方差矩阵X的角色。可以定义扩散参数c，使得矩阵X的对角因子发挥收益率曲线运动的瞬时随机方差的作用，而非对角项发挥两条收益率曲线运动之间的瞬时协方差的作用。向量ρ是过程Y和X之间的一个相关参数。在第一个近似值中，利率期权是因子Y的线性组合上的期权，这些线性组合的瞬时方差是因子X的线性组合。因此，相关参数ρ将驱动利率期权的倾斜。我们现在对该模型做出更精确的评论为了保持与LGM中相同的因子，我们希望取γ=0。然而，只有当LGM周围的扰动足够小时，这种选择才可能，前提是-（b+b）) 是肯定的定义，见备注8。此外，即使是Pt，T也可能被定义为T- t足够小，它将由相同的公式给出，因此收益率曲线动态取决于因子X。为了对因子Y上的波动因子X有一个清晰的解释，一个可能的选择是考虑d=q×p和q∈ N*和ci，j=（i-1） ×p<j≤因此，从（9）中，主矩阵（Xk，l）（i）-1） ×p<k，l≤i×prules因子yi的瞬时二次变化，而子矩阵（Xk，l）（i）-1） ×p<k≤i×p，（j）-1） ×p<l≤j×prules因子yi和Yj之间的瞬时协变量该模型不阻止出现负短期利率或E[|Pt，T|k]=∞ 对于任何k>0，除非我们考虑退化情况（p=0），其中收益率曲线由波动率因子X驱动，因子Y为零。

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2022-5-7 06:49:30

Gnoatto在[25]中研究了这个特殊的模型期限结构模型通常考虑在较长时间内固定不变的参数，并反映市场行为，而因子的当前值则与市场数据相符。这就是为什么我们在这里考虑常数参数。然而，为了精确地确定零息票债券价格，在保持模型可跟踪性的同时，可以采用时间相关函数。备注8——条件（19）足以确定Pt。然而，这个条件并不依赖于，而我们知道，对于=0，Pt，这是很好的定义，因为X是确定性的，Y是高斯过程。当-（b+b）) 是正定义，这是一个合理的假设，因为它导致命题4中的平稳过程。在这种情况下，存在u>0，因此-（b+b）) - uId∈ S+d（R）。通过使用命题2和Υ=u4Id，我们得到（14）是满意的，如果我们有T≥ 0，u8Id-u8（Indρλ）c+Indρλc）-Cλλc+γ∈ S+d（R）。请注意，即使在简单的LGM模型中，这也不是完全正确的。短期利率/阶乘利率模型的一个重要特征是，收益率曲线不仅取决于模型的（随机）状态变量，还取决于状态变量的波动性。因此，波动系数X出现在利率期权的收益中。因为t≥ 0，λ（t）取Rp的紧子集中的值，存在>0，使得该条件满足任何∈ (0, ).备注9——让我们来谈谈∈ Md（R），并考虑模型rt=~n+Ppi=1Yit+Tr~γ~Xty=y+Ztκ（θ）- Ys）ds+ZtcqXshp1-|~ρ| dZs+dWs~ρi~Xt=~x+Zt~Ohm + （d）- 1） aa+~b~Xs+~Xs~b)ds+ZtqXsdWsa+adWsqXs和γ∈ 标准差（R），~x，~Ohm ∈ S+d（R），~c，~b∈ Md（R），ρ∈ Rd使得| |ρ|≤ 1.这个模型似乎先验地更一般，但事实并非如此。

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2022-5-7 06:49:34

事实上，n是a和u的秩∈ Md（R）是一个可逆矩阵a=（u）-1)Ind（美国）-1). 那么，Xt=u~Xtu solvesdXt=[Ohm + （d）-1） Ind+bXt+Xtb]dt+uqXtdWtau+uA.dWtqxt，b=u~b（u）-1), Ohm = U~OhmU∈ S+d（R），从x=u开始■徐∈ S+d（R）。经过一些计算，我们得到了hd（Yt）m，d（Yt）m′i=（~c~Xt~c）)m、 m′dt=（cXtc）)m、带c=~c（u）的m′dt-1); hd（Xt）i，j，d（Xt）k，li=[（Xt）i，kj=l≤n+（Xt）i，lj=k≤n+（Xt）j，ki=l≤n+（Xt）j，li=k≤n] dt和hd（Yt）m，d（Xt）i，ji=h（u~Xt~c)m、 i（u）A.§ρ）j+（u）~Xt~c)m、 j（u）A.）iidt=1ρ（Xtc）)m、 i（u）A.§ρ）j+（Xtc)m、 j（u）A.ρ）idt。由于（X，Y）定律的特点是它的极小生成元，因此我们可以在不失去普遍性的情况下假设∈ 克尔（u）A.)⊥= Im（au）。因此，存在ρ′∈ Rd使得ρρ=auρ′，我们设置ρi=ρ′ifor i≤ n<i时，与非ρi=0≤ d、我们有|ρ|=（ρ′）Indρ′=||ρ|≤ 因此（X，Y）遵循与（6）和（7）的解相同的规律，我们有rt=~n+Ppi=1Yit+Tr（γXt）和γ=u-1~γ（u）-1).2.3度量和拉普拉斯变换在固定收益市场中，香草产品的定价通常（如果不总是）根据与风险中性度量不同的适当选择等价鞅度量进行。因此，在这些措施下，表征潜在状态变量的分布是很重要的。远期中性措施可能是此类定价措施中最重要的例子。在这一段中，我们将看到，在前瞻性措施下，各因素的动态仍然是明确的，并保持相同的结构。2.3.1前进空档测量下的动力学我们假设条件（19）成立。让qu表示U向前中性概率，该概率由FUbydQUdP=e定义-RUrsdsP0，U。这是与基准Pt，U相关的度量。

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2022-5-7 06:49:38

它来源于贴现资产价格的鞅性质，对于t∈ （0，U），dE-美国RtrsdsPtE-RtrsdsPt，U=2Tr（D（U- t） pXtdWtInd）+B（U- （t）cpXtdWtρ+’ρB（U- （t）cpXtdZt=Tr（[2IndD（U- t） pXt+ρB（U）- （t）cpXt]dWt）+ρB（U- （t）cpXtdZt。根据Girsanov定理，processesdWUt=dWt-pXt（2D（U- t） Ind+cB（U）- t） ρ)dtdZUt=dZt- ρpXtcB（U）- t）量子下的矩阵值布朗运动和向量值布朗运动分别是独立的。在QU:dXt=(Ohm + （d）- 1） bU（Xt+t）)dt+PXTDWUTIN+Ind（dWUt）pXt（21）dYt=κ（θ）- Yt）dt+cXtcB（U）- t） dt+2cXtD（U- t） Indρdt+cpXt（dWUtρ+’ρdZUt），（22）带bU（t）=b+2IndD（U）- t） +IndρB（U）- （t）c、 2.3.2拉普拉斯变换我们现在感兴趣的是在T的U向前测量下计算（XT，YT）定律≤ 更准确地说，我们计算了eqhexp（Tr（ΓXT）+∧YT）| FTIT∈ [0，T]再次使用命题2。我们假设条件（19）成立并有eqhexp（Tr（ΓXT）+∧YT）| Fti=Pt，UEhexp（Tr（ΓXT）+∧YT- （U）- t） ~n-祖特pYsds-ZUtTr（γXs）ds|Fti=Ehexp（Tr（Γ+D）U- T）XT）+（λ+B（U）- （T）YT+A（U- （T）- （T）- t） ~n-RTtpYsds-RTtTr（γXs）ds）| Ftiexp（A（U）- t） +Tr（D（U）- t） Xt）+B（U- （t）Yt）。我们考虑Γ∈ Sd（R）和∧∈ 这样-Γ ∈ S+d（R）和∧i |≤ E-κi（U）-T）/κi，为1≤ 我≤ p、为了得到∧i+Bi（U- T）|≤ 1/κI- （Γ+D（U）- （T）∈ S+d（R）。通过命题2，条件（19）和备注3，我们得到期望是有限的，并且等于p（Tr（ΓXT）+∧YT）| Fti=exp（AU（t，t）+Tr（DU（t，t）Xt）+BU（t，t）Yt），（23）与FU（t，t）=F（t）-t） +F（U）-（T）-F（U）-t）为了F∈ {A，D，B}，其中（~B，~D，~A）是（15）的解，~B（0）=∧+B（U）- T），ΓD（0）=Γ+D（U）- T），~A（0）=0，“∧”=1和“Γ=-γ.推论10让（19）保持不变。为了Γ∈ Sd（R）和∧∈ 这样-Γ ∈ S+d（R）和∧i |≤ E-κi（U）-T）/κifor1≤ 我≤ p、 eqhexp（Tr（ΓXT）+∧YT）| Fti<∞ a、美国。

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2022-5-7 06:49:42

无论如何∈ [0，T]由（23）给出。让我们提到，在实践中，上面关于AU（t，t）、DU（t，t）和BU（t，t）的公式需要解两个不同的常微分方程。可以更方便地使用以下公式，该公式可以很容易地从U向前测量下的（X，Y）动力学推导得出：日分t（t，t）=κBU（t，t），BU（t，t）=∧，-杜t（t，t）=2DUIndDU+DU（bU（t）+Indρ（bU）c） +（bU（t）+Indρ（bU）c）DU+cBU（BU）c+cBUB（U）- （t）c+D（U）- t） Indρ（BU）c+cBUρIndD（美国）- t），DU（t，t）=Γ，-AUt（t，t）=BU（t，t）κθ+Tr杜（t，t）(Ohm + （d）- 1）（印度）, AU（T，T）=0。（24）3围绕LGM的波动率微笑的扩展本节的目标是提供波动率参数接近零时Caplet和掉期期权价格的渐近行为。这些公式的实际意义在于快速给出这些价格的代理。因此，他们提供了一个工具来校准微笑的模型参数。在此，我们要提到的是，由于模型的精细结构，Gram-Charlier类型的扩展也可以应用于定价帽和交换期权，例如，见Collin Dufresne和Goldstein[10]和Tanaka等人[33]。[27]中给出了我们模型中CAPlet定价的一些数值例子。在这里，我们只给出关于的展开式，因为它与我们将模型表示为LGM的扰动一致。我们在本节中用来获得展开式的论点已经在Fouqueet al.[23]一书中得到了发展。它们依赖于小型发电机相对于的扩展。最近，Bergomi和Guyon[7]应用这种技术，在多因素模型下为正向方差提供近似值。在这里，我们必须考虑固定收入的一些特定特征，并在适当的概率度量下工作，以应用这些论点。

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2022-5-7 06:49:45

毫不奇怪，展开式中的零阶项正是LGM的波动率，具有随时间变化的方差-协方差矩阵。更有趣的是，高阶项证实了对决定波动性形状和动力学的参数和因素作用的直觉。最后，我们必须指出，本节中给出的计算是相当正式的。特别是，Weimplicity假设caplet和swaption价格足够平稳，并允许相对于的扩张。对这些展开式的严格证明超出了本文的范围。3.1 Caplets的价格和波动率扩展从（4）开始，为了理解Caplets波动率立方体，我们唯一感兴趣的数量是我们称之为正向Caplets价格fcaplet（t，t，δ）=ET+δh（LT（t，δ）- K） +| Fti，可重写为远期零息债券PT、TPt、T+δFCaplet（T，T，δ）=δET+δ上的看涨期权PT，TPT，T+δ- （1+δK）+英尺#。由于（X，Y）是一个马尔可夫过程，FCaplet（t，t，δ）是（Xt，Yt）的函数，因此我们可以定义正向价格函数p（t，X，Y）=ET+δ“PT，TPT，T+δ- （1+δK）+Xt=x，Yt=y#。（25）第3.1小节的目标是获得关于的P的二阶展开式（27）。3.1.1变量的方便变化我们希望得到关于的caplet价格的展开式。为此，我们需要先验地得到过程（X，Y）的极小生成元在概率QT+δ下的展开式。然而，我们可以在改变变量之前简化这种方法。因此，我们定义=A（t，t，δ）+Tr(D（t，t，δ）Xt+B（t，t，δ）是的A（t，t，δ）=A（t，t）- A（t，t+δ）(BD）（t，t，δ）=（B，D）（t）- （t）- （B，D）（T+δ- t）因此，我们有pt，TPt，t+δ=eHt。众所周知，pt，TPt，T+δ是QT+δ下的鞅，参见Brigo and Mercurio[8]中的命题2.5.1。

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2022-5-7 06:49:48

因此，我们从（21）和（22）中得到（X，H）解以下SDEdXt=(Ohm + （d）- 1） Ind+bT+δ（t）Xt+Xt（bT+δ（t））)dt+pXtdWT+δtInd+Ind（dWT+δt）pXt，dHt=-BcXtcB+4Tr(丁DXt）+2(BcXtDIndρ）dt+BC√Xt（dWT+δtρ+’ρdZT+δt）+2Tr(D√XtdWT+δtInd）。（26）因此，P（t，x，y）=ET+δheHT- （1+δK）+|Xt=x，Yt=yi仅取决于（x，y）到（x，h），其中h=B（t，t，δ）y+Tr(D（t，t，δ）x+A（t，t，δ），我们仍然用符号sp（t，x，h）=ET+δh来表示eHT- （1+δK）+|Xt=x，Ht=hi。让我们强调变量的这种变化对于应用类似于Bergomi和Guyon[7]的展开程序至关重要。它允许减少潜在状态变量的维数。这个变量是一维的，它是caplet收益中唯一的变量。虽然从模型的定义可以明显看出这一点，但我们坚持认为，CAPlet的隐含波动率是各因素的函数。这在SDE（26）中表现得很明显，可以将其视为远期伦敦银行同业拆借利率的连续版本，其波动性仅取决于因子X。3.1.2价格的扩展从SDE（26）、（9）、（10）和（11）中，我们得到P的以下PDE表示：tP+L（t）P=0P（t，x，h）=（eh- （1+δK））+式中，L（t）是（26）的最小生成元。我们假设P允许二阶展开式P=P+P+P+o（）。（27）我们的目标是以非常明确的方式计算P，Pand P的值。我们在推导中假设这些函数P，Pand P足够光滑。为了确定P，Pand P的值，我们按照Bergomian和Guyon[7]进行，并对生成元L（t）=L（t）+L（t）+L（t）+。为了获得P满意的偏微分方程，P。

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2022-5-7 06:49:51

也就是说，我们获得tP+L（t）P=0，P（t，x，h）=（eh- （1+δK））+，tP+L（t）P+L（t）P=0，P（t，x，h）=0，tP+L（t）P+L（t）P+L（t）P=0，P（t，x，h）=0。因此，我们可以先解P的偏微分方程，然后解Pand的偏微分方程，依此类推。让BS（h，v）=Eh经验H-五+√vG- （1+δK）+我和G~ N（0，1）表示已实现波动率v的Black-Scholes价格。我们很容易得到p（t，x，h）=BS（h，v（t，t，δ，x）），其中v（t，t，δ，x）=ZTtB（u，T，δ）cXu-t（x）cB（u，T，δ）du，（28）Xs（x）=ebsx+Zse-日分OhmE-B乌杜电子束s、（29）高阶项由p（t，x，h）给出=c（t，t，δ，x）(H- h） +c（t，t，δ，x）(H- h）P（t，x，h）（30）和P（t，x，h）=”d（t，t，δ，x）(H- h） +d（t，t，δ，x）(H- h）h+d（t，t，δ，x）(H- h）+e（t，t，δ，x）(H- h）h+e（t，t，δ，x）(H- h）h+e（t，t，δ，x）(H- h）（31）+e（t，t，δ，x）(H- h）h+e（t，t，δ，x）(H- h）h+e（t，t，δ，x）(H- h）#P（t，x，h）。这些简单但繁琐的计算细节可以在网上找到http://arxiv.org/abs/1412.7412在本文的第一稿中，我们介绍了Caplet和Swaption。附录A.1给出了系数ci、Dian和Ei。我们记得衍生品可以明确计算关于toh的ihPof P，因此从计算时间的角度来看，扩展非常有效，见第5节。备注11——很容易获得由δFCaplet（t，t，δ）=BS（h，vImp）定义的隐含挥发性的展开式vImp=v+v+v+o（）。我们得到了预期的v=v（t，t，δ，x）和v=c（t，t，δ，x）+c（t，t，δ，x）-H- 对数（1+δK）v. （32）由于CNO和CDE都不在走向上倾斜，因此倾斜处于与c成正比的一阶，也就是说，倾斜的角度是ρ的线性函数。

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2022-5-7 06:49:54

正如人们所预料的，当ρ=0时，我们在第一阶会有一个特别的微笑。3.2互换期权的价格和波动性扩展从（5）开始，为了理解互换期权波动性立方体，唯一感兴趣的数量是我们所说的年度远期互换期权价格互换期权（t，t，m，δ）=EAh（St（t，m，δ）-K） +| Fti。标准做法是将互换期权视为具有随机权重的远期伦敦银行同业拆借利率篮子期权，我们有st（T，m，δ）=mXi=1ωitLt（T+（i- 1） δ，T+iδ）（33）ωit=Pt，T+iδPmi=1Pt，T+iδ。（34）这里的困难在于远期伦敦银行同业拆借利率和随机权重是状态变量（X，Y）的复杂函数。第一个含义是，P和Qaisal之间的度量变化也很复杂，在这种新度量下，状态变量的动态很难处理。第二个含义是，我们不能像对caplet那样直接操作一个方便的变量变化。为了推导交换选项的展开式，我们这样逐步进行。首先，我们使用标准近似值，将权重冻结在初始值（例如，见Brigo and Mercurio[8]第239页，d\'Aspremont[16]和Piterberg[29]）。这是因为权重的变化不如正向伦敦银行同业拆借利率的变化重要。其次，我们对掉期利率使用类似的近似值。因此，近似掉期利率是基础状态变量的一个确定函数，这使我们能够利用模型的确定结构。我们要提到的是，这种技术类似于皮特堡[29]提出的互换率的二次近似。

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2022-5-7 06:49:57

最后，我们对互换率的精确近似值进行了扩展，并得到了二阶扩展（41），这是第3.2.3.2.1小节年金计量下因素动态的主要结果。年金计量知道最新信息t，QA | fti由Dqadp定义Ft=e-RTtrsdsAT（T，m，δ）At（T，m，δ）。它来源于风险中性测度thatd下贴现资产价格的鞅性质E-RtrsdsAt（T，m，δ）E-RtrsdsAt（T，m，δ）=mXi=1ωitB（T+iδ）- （t）cpXt（dWtρ+’ρdZt）+2TrD（T+iδ）- t） pXtdWtInd.（35）据我们所知，很少有人试图从理论上或数字上量化这一说法。在[16]d\'Aspremont研究对数正态BGM模型中互换期权定价近似值的准确性时，他表明，该近似值对长期到期和长期有效性较差。根据Girsanov定理，度量的变化由dwat=dWt给出-pXt2mXi=1ωitD（T+iδ- t） Ind+cB（T+iδ）- t） ρ!dt，dZAt=dZt- ρpXtcmXi=1ωitB（T+iδ- t） dt。从θ到θ，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ到ε，从θ- Yt）+cXtcmXk=1ωktB（T+kδ- t） +2cXtmXk=1ωktD（t+kδ- t） Indρ！dt（36）+cpXt（？ρdZAt+dWAtρ），dXt=(Ohm + （d）- 1） Ind+bA（t）Xt+Xt（bA（t））)dt+pXtdWAtInd+Ind（dWAt）pXt, （37）式中bA（t）=b+IndρPmk=1ωktB（t+kδ）- （t）c+2IndPmk=1ωktD（T+kδ- t） .3.2.2远期掉期利率的精确近似值远期掉期利率是年金计量QA下的鞅。

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2022-5-7 06:50:00

因此，在应用它的公式toPt，T时，我们只能把重点放在matingale项上-Pt，T+mδPmi=1Pt，T+iδ，我们从（20）中得到：- （t）- ωmtB（T+mδ）- （t）- St（T，m，δ）mXk=1ωktB（T+kδ）- （t）#cpXt（dWAtρ+’ρdZAt）+2Tr“ωtD（T- （t）- ωmtD（T+mδ）- （t）- St（T，m，δ）mXk=1ωktD（T+kδ）- t） #pxtwatind！通过稍微滥用符号，我们现在将放弃互换率的（T，m，δ）依赖性，并简单地用tits time T值表示。我们现在使用标准近似法，将右侧的权重ωkt和交换率Stin的值冻结为零。然后我们得到了dst=BS（t）cpXt（dWAtρ+’ρdZAt）+2TrDS（t）pXtdWAtInd, （39）式中（B，D）S（t）=ω（B，D）（t）- （t）- ωm（B，D）（T+mδ）- （t）- S（T，m，δ）mXk=1ωk（B，D）（T+kδ）- t）。这些系数具有时间依赖性和确定性。我们对X做同样的近似，getdXt=(Ohm + （d）- 1） Ind+bA（t）Xt+Xt（bA（t））)dt+pXtdWAtInd+Ind（dWAt）pXt, 其中ba（t）=b+IndρmXk=1ωkB（t+kδ- （t）c+2IndmXk=1ωkD（T+kδ- t）。由于这种近似，我们注意到，为了简单起见，我们仍然用（St，Xt）表示的过程现在是确定的。这使我们能够再次使用与Caplet prices相同的论点来获得价格的扩张。唯一的区别在于，展开是围绕高斯模型展开的，而不是围绕对数正态模型展开的。3.2.3互换期权价格扩展集PS（t，x，s）=EAh（St- K） +|St=s，Xt=xidenote时间t时互换期权的价格∈ [0，T]。它解决了以下定价问题tPS+L（t）PS=0，t∈ （0，T），PS（T，x，s）=（s- K） +，其中L是SDE（39）和（40）的最小生成元。同样，我们假设PS具有二阶展开式PS=PS+PS+PS+o（）（41），并且函数PS、PS和Psa足够光滑。

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2022-5-7 06:50:05

设BH（s，v）=Eh（s）+√vG- K） +I与G~N（0，1）表示在已实现波动率v>0和现货价格s的Bachelier模型中，具有罢工K的欧洲买入价∈ R.我们得到ps（t，x，s）=BH（s，vS（t，t，x）），（42），其中vS（t，t，x）=ZTtBS（R）cXr-t（x）cBS（r）dr（43）和Xs（x）由（29）定义。高阶项arePS（t，x，s）=cS（t，t，x）s+cS（t，t，x）sBH（s，vS（t，t，x）），（44）PS（t，x，s）=“dS（t，t，x）s+dS（t，t，x）s+dS（t，t，x）s（45）+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s+eS（t，t，x）s#BH（s，vS（t，t，x）），其中系数cSi、DSI和ESI在附录A.2中给出。同样，可以显式计算Ps相对于扫描的导数，这使得从计算角度来看，这个公式非常有效。3.3数值结果我们现在通过一些例子来评估我们开发的展开式的准确性。在实践中，我们有兴趣知道，在什么样的参数水平下，对于什么样的到期日和期限，扩展的精度是令人满意的。让我们回顾一下，我们对caplet的展开是由两种展开组合而成的，第一种是由（52）和（53）给出的支持矩阵函数D到的阶数1，第二种是由（26）定义的马尔可夫过程（X，H）的微元生成器。通过构造，对于较小的τ，D（τ）的近似值将更精确。因此，对于给定的一组参数，对于短期、短期和小型股，完全扩张可能更准确。交换选项的展开源自补充近似步骤，该步骤包括冻结（37）和（38）定义的马尔科夫过程（X，S）扩散中的权重ωii。对于长期债券和长期债券期权，这种近似值可能不准确。

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2022-5-7 06:50:08

因此，我们预计，对于短期、短期互换期权，全面扩张将更加准确。我们评估了Caplet和Swaption价格扩张的质量。我们将扩展价格与使用蒙特卡罗模拟和第4节中描述的离散化方案1在规则时间网格上计算的价格进行比较。扩展价格和蒙特卡罗价格根据CAPlet的远期Libor利率和掉期期权的远期掉期利率的正常隐含效用进行比较。隐含波动率以基点（10）表示-4). 横坐标表示的是罢工和罢工之间的差额，单位为1%。6M×2Y型可转换债券指到期日T=2年、期限δ=0.5年的可转换债券，5Y×2Y型可转换债券指到期日T=2年、期限δ=5年的可转换债券。0 1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.81.21.41.6K-SMC_Examc_Examc_Examc_Examc_扩展caplets0 1的价格扩展-0.8-0.6-0.4-0.20.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.852.553.554.555.556.557.5K-图2：ρ= (-0.4, -0.2). 对于参数的不同值，分别从左到右=0.002和=0.0015，用100000条路径和4个点的离散化网格，绘制了1Y×1Y caplet的扩展微笑与蒙特卡罗微笑的关系图。远期伦敦银行同业拆借利率值为L（0，1Y，1Y）=1.02%。0.2-1 1 3-0.50.51.52.5K-SMC_Examc_Examc_Examc_Examc_扩展caplets0 2 4的价格扩展-1 1 3-1.5-0.50.51.52.53.54.5K-图3：ρ= (-0.4, -0.2）和=0.0015。左图：一头6米×2岁的披风展开的微笑与蒙特·卡洛微笑的对比图。右图：一只6米×5岁的披肩展开的微笑与蒙特卡洛微笑的对比图。

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2022-5-7 06:50:11

Monte Carlo微笑由100000条路径和8个点的离散网格获得。远期伦敦银行同业拆借利率的取值分别为L（0,6M，2Y）=1.14%和L（0,6M，5Y）=1.35%。我们测试了不同的模型参数集。选择参数值的方式是，模型生成的收益率曲线和波动率水平与今天的美国和欧元利率市场水平一致。这里，我们只考虑p=2和d=2的以下参数集：κ=diag（0.1,1），c=Id，b=-diag（0.41,0.011），Ohm = -（bx）∞+ 十、∞B) + 0.4Id，γ=0.001Id（46）x=10-4.2.25-1.2-1.2 1., 十、∞= 10-4.1.-0.125-0.125 0.25.我们注意到-（b+b）) = -2b为正定义。我们从备注8中了解到，当足够小时，这些参数集的非爆炸条件通常会得到验证，并且我们已经检查了该参数集给出的产量曲线在50年内得到了很好的定义。在所有图形中，虚线表示通过100000条模拟路径获得的蒙特卡罗微笑，带小箭头的实线表示展开的微笑，两条连续实线表示蒙特卡罗价格95%置信区间的上限和下限。图2和图3显示了Caplet估值扩展的准确性。对于最长2年的到期日，近似值是准确的，而对于较长的到期日，相同参数的近似值精度较低。对于最长为2年的到期日，扩展微笑的货币波动率为0.2-1 1 3-1.5-0.50.51.52.5K-SMC_EXAMC_exaDMC_EXAMPLANTIONS交换选项的价格扩展0 2-1 1 3-0.50.51.52.53.5K-SMC_Examc_Examc_Examc_扩展交换选项的价格扩展图4：=0.0015。

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2022-5-7 06:50:14

5年×2年掉期期权（息票支付频率为6个月）的扩展微笑图，与通过100000条路径获得的蒙特卡罗微笑图对比，以及参数ρ的不同值（从左到右ρ）的8点离散网格= (-0.4, -0.2）和ρ= (0.4, 0.2). 远期掉期利率值为S（0，5Y，2Y）=1.3%。几乎与蒙特卡洛微笑相同，整个扩展微笑保持在95%的置信区间内。图4显示了互换期权估值扩展的准确性。我们观察到，对于相关参数ρ的负值，展开式更为精确（对于Caplet也观察到类似的行为）。这可以从Riccati方程（15）中直观地理解：负ρ将D推到零，而正ρ将D推离零，我们对D使用的展开式（见（52）和（53））则不太准确。总的来说，扩张在资金方面是准确的，而在资金方面则不那么准确。例如，图3右侧的图形显示，6个月到期5年到期的扩展微笑非常不准确，扩展的微笑无法满足蒙特卡罗微笑的倾斜。然而，扩大价格和蒙特卡罗之间的货币波动率差异约为1个基点。总之，对于小扰动和小到期日，二阶展开式基本上是准确的。否则，应谨慎使用其他方法，如蒙特卡罗法或傅里叶反演法。尽管如此，正如第5节所讨论的，膨胀的计算要比其他方法快得多。

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2022-5-7 06:50:18

因此，启动校准程序并选择一组合理的参数可能是相关的。4蒙特卡罗模拟的二阶离散化方案本节的目标是为（6）和（7）定义的过程（X，Y）构造离散化方案。为了在实践中使用该模型，必须有一种有效的方法来模拟该模型。理想情况下，该模型应根据市场数据进行校准，以获得普通期权，如caplet和swoptions，然后用于计算exoticoption价格。这些价格的计算通常采用蒙特卡罗算法，该算法需要模拟过程（X，Y）。值得一提的是，标准的Euler Maruyama方案对于平方根扩散没有很好的定义，即使是在一维中，参见Alfonsi[2]。然后我们必须考虑另一个方案。这里我们使用的拆分技术已经被Ahdida和Alfonsi[1]用于Wishart过程。我们在这里简要解释了该方法的主线，并参考[2]以了解嵌入细微扩散的框架中的精确陈述。让我们考虑一下，对于i=0，…，我们想要在规则时间gridti=iT/N上近似一个SDEξ，其中有一个极小的生成器L，N一个方案完全由概率定律^px（t，dz）描述，该定律近似于ξt激励ξ=x的定律。我们用^ξxta表示遵循该定律的随机变量。然后，给出了相应的离散格式（^ξti，0≤ 我≤ N）如下所示：^ξ=ξ和^p^ξti（T/N，dz）是^ξti+1激励（^ξtj，0）的条件定律≤ J≤ i）。然后，我们想知道当使用近似方案而不是原始过程ξ时所产生的误差。根据[2]中给出的技术细节，我们基本上得到了以下结果。

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2022-5-7 06:50:21

如果对于任何光滑函数f，^ξxta满足以下展开式[f（^ξxt）]=f（x）+tLf（x）+tLf（x）+O（t）（47），那么C>0，| E[f（^ξtN）]- E[f（ξtN）]|≤ 因此，为了得到一个2阶的弱误差，我们主要需要构造一个满足（47）的方案。我们可以通过拆分极小生成元来构造迭代的二阶格式。事实上，让我们假设L=L+Land，^ξi，XT是Li的二阶格式。设B为参数为1/2的独立贝努利变量。然后，给出了以下方案：^ξ1，^ξ2，^ξ1，xt/2tt/2和B^ξ2，^ξ1，xtt+（1-B） ^ξ1、^ξ2、xtt（48）满足（47），因此是L的二阶格式。因此，构造二阶格式的策略是将有限小生成器拆分为已知二阶格式甚至精确格式的基本块。为了使用这种分裂技术，我们首先必须计算（X，Y）的最小生成元。定义为C函数f:Md（R）×Rp→ R乘Lf（x，y）=limt→0+E[f（Xt，Yt）]-f（x，y）t.从（9）、（10）和（11）开始，weeasily getL=pXm=1（κ（θ- y））mym+X1≤i、 j≤d(Ohm + （d）- 1） Ind+bx+xb)i、 jxi，j+pXm，m′=1（cxc)m、 m′嗯ym′+pXm=1X1≤i、 j≤d[（cx）m，i（Indρ）j+（cx）m，j（Indρ）i]xi，jym+X1≤i、 j，k，l≤d[xi，k（Ind）j，l+xi，l（Ind）j，k+xj，k（Ind）i，l+xj，l（Ind）i，k]xi，j这里，Ym表示Rpand中关于m坐标的偏导数xi，j第i行和第j列元素的偏导数。当ρ=0时，该算子只是X的最小生成元与X冻结时Y的生成元之和。我们从[1]中知道X的二阶模式。当X冻结时，Y遵循Ornstein-Uhlenbeck过程和Ytis定律，即可以精确采样的高斯变换器。

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