结构模型中违约债权的套期保值

2022-5-8 05:14:31

用局部风险最小化方法对结构模型中的可违约索赔进行套期保值*, Alejandro Balb\'as+和Jos\'e GarridoAbstracts在局部风险最小化方法的背景下，在结构模型中讨论了可违约索赔及其F¨ollmer-Schweizer分解的问题。当基础流程是一个有限变量的evy流程，且索赔在到期时支付预先确定的付款，或有事项，且无事先违约时，就可以这样做。更准确地说，在这个特定的框架中，当基础过程发生跳跃，导数与默认事件相关联，并且概率度量不一定是风险中性时，就会执行局部风险最小化方法。关键词可违约索赔，套期保值策略，局部风险最小化，F¨ollmer Schweizer分解，Galtchouk Kunita Watanabe分解*南安普敦大学，南安普敦，英国，电子邮件：r。okhrati@soton.ac.uk.作者衷心感谢奥地利维也纳理工大学WWTF MA09-005赠款的部分财政支持。+西班牙马德里卡洛斯三世大学，电子邮件：balbas@emp.uc3m.es.作者感谢“马德里奥诺玛公司”（西班牙）和“西班牙经济部”（西班牙）对S2009/ESP-1594和ECO2009-14457-C04和ECO2012-39031-C02-01的部分财政支持加拿大蒙特利尔康科迪亚大学，电子邮件：jose。garrido@concordia.ca.作者衷心感谢NSERC grant 36860-2012的财务支持。1引言在其简单的形式中，可违约索赔在合同到期时支付一定的预先确定的金额，如果之前没有违约，否则支付零。在这项工作中，当基础风险集合由有限变化L’evy过程建模时，对这些衍生工具进行套期保值分析。

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2022-5-8 05:14:34

当资产价格受跳跃影响时，研究可违约债权的套期保值具有数学和实践意义。扩展到更复杂的衍生产品和基础过程将是未来工作的重点。首先，我们回顾了相关文献和前人的相关工作。我们从信用风险的定义开始。信用风险是指因交易对手发行人履行其义务的信用质量发生意外变化而导致衍生工具可能发生财务损失的风险。为路径独立索赔引入creditrisk的第一篇论文可以追溯到默顿（1974）的工作。在分析信用衍生工具时，通常有两个突出的问题，即衍生工具的定价和套期保值。后者是一个更具挑战性的问题，尤其是在市场不完整的情况下。在大多数金融模型中，即使使用简单的过程，对于信用衍生品来说，完整的对冲仍然可能不可行。在不完全市场中，有不同的方法来管理风险。方形边缘法是一种成熟且适用的风险管理方法。Schweizer（2001）或Pham（1999）对不完全市场中的二次套期保值方法进行了很好的调查。在Schweizer（2001）中，针对企业价值过程为半鞅的情况，讨论了两种二次套期保值方法。这些是局部风险最小化和均值-方差对冲。如果为了对冲或有权益，我们更喜欢一个自我融资的投资组合，我们称之为均值-方差对冲。如果我们选择的投资组合与或有权益具有相同的最终价值（但不一定是自我融资），我们就处于（本地）风险最小化方法的背景下。Schweizer、Heath和Platen（2001）对这两种方法进行了全面的研究和比较。

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2022-5-8 05:14:37

本文采用局部风险最小化方法来管理与可违约索赔相关的风险。局部风险最小化套期保值是在风险最小化概念的发展过程中出现的。福尔默和桑德曼（1986）是最先解决这个问题的人之一。当基本过程是鞅时，他们解决了识别风险最小化策略的问题。donein Schweizer（2001）对局部鞅情形进行了推广。风险最小化问题的解决方案与所谓的Galtchouk Kunita Watanabe（GKW）分解有关，假设基础过程是局部鞅。对于非鞅过程，Schweizer（1988）提供了一个不允许风险最小化策略的可实现索赔的例子。通过对基本流程和享乐策略施加更多限制条件，可以实现扩展。从字面上说，人们必须更加关注问题的局部性质。至于底层过程的作用，它必须满足结构条件*（SC），参见Schweizer（1991）或Schweizer（2001）。在特定条件下，如SC，局部风险最小化策略相当于更易于处理的策略，称为伪局部风险最小化策略。F¨ollmer and Schweizer（1991）给出了伪局部风险最小化策略存在的必要且有效的条件。事实证明，找到这些策略相当于存在广义的GKW分解，即F¨ollmer-Schweizer（FS）分解。Monat和Stricker（1995）提供了FS分解存在的充分条件。虽然在某些条件下证明了局部风险最小化策略的存在性，但它完全依赖于FS分解。

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2022-5-8 05:14:41

在某些特殊情况下，有一些建设性的方法可以明确地找到这种分解。连续过程的情况更加灵活，众所周知的最小等价局部鞅测度（MELMM）方法是适用的。Biagini和Cretarola（2009）在本地风险最小化方法下研究一般可融资市场。然而，基本过程的连续性是他们工作中的一个关键假设。最近，Choulli、Vandaele和Vanmaele（2010）发现了一种基于表示定理的显式形式的OFFS分解。他们的目的是提供一个获得FS分解的通用框架。虽然这项工作可以融入到他们的研究中，但我们的方法带来了一种更明确的FS分解形式。根据局部风险最小化理论，我们使用了一种略微不同的方法，特别关注可违约债权的套期保值，假设基础过程是有界变差的L’evy过程，具有正漂移。我们的论文研究的是一个结构模型，即违约事件被定义，我们使用由基础过程产生的过滤所代表的整个市场信息。然而，虽然默认事件是结构性的（因此在经济上是直观的），但我们使用类似于简化形式模型的分析，尤其是基于强度的模型。这些模型由Artzner和Delbaen（1995）或Jarrow和Turnbull（1995）的作品开创，它们不使用或确定企业的默认模型。他们使用的是强度过程或危险过程。应用了鞅技术和简化模型中的强度思想*假设X是一个正则分解为X=X+M+a的平方可积特殊半鞅。

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mingdashike22

2022-5-8 05:14:44

如果存在一个可预测的过程λ，使得At=Rtλ或全部0，那么X满足结构条件≤ T≤ 由kT=RtλsdhMis定义的均值-方差权衡过程，几乎可以肯定，对于所有0≤ T≤ T分析可违约索赔的结构。在第2节中，在某些条件下，补偿公式用于确定defaultableprocess Z的正则分解=f（t，Xt）1{τ>t}T≥0，其中τ是命中时间（定义默认时间），f=f（t，x）是实值函数。这使我们能够对这些类型的过程使用补偿技术。该分解的可预测有限变化部分相对于勒贝格测度是绝对连续的。因此，当f是一个常数函数时，这精确地确定了τ的强度。这种强度已经由郭和曾（2008）的定理1.3得到，该定理适用于狩猎过程，该过程在每个有界区间上有无数次跳跃。然而，有限变化的L’evy过程可能在有限区间上有很多跳跃，因此对他们的想法进行一些修改是必要的。请注意，在我们的分析中，基本过程允许跳跃，支付与结构性违约事件有关，概率度量不一定是鞅度量。此外，我们没有使用任何类型的Girsanov定理，但结果基于偏积分微分方程（PIDE）的解。我们还研究了默认指标过程的结构{τ>t}T≥最后一段时间。与本文的理论关注点不同，本文主要致力于回答两个有趣的问题。第一个问题是，给定一个可违约索赔，如何实施局部风险最小化策略。

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2022-5-8 05:14:47

由于不可能完全消除信用风险，第二个问题是，是否有可能设计一种定制的可违约证券，使产品完全可对冲，也就是说，索赔可以写成与基础过程有关的常数和随机积分之和。这将导致无风险的违约索赔。在我们的设置中，我们找到了此类产品存在的必要和充分条件。本文的结构如下。第2节提供了模型、一些初步假设和结果。随机过程的正则分解f（t，Xt）1{τ>t}T≥第3节讨论了0。这是我们分析的重要工具。可违约索赔的局部风险最小化对冲策略见第4节。在第5节中，我们来看看默认时间的结构。2模型和初步研究我们研究一个过程X，在概率空间上对企业资产价值进行建模(Ohm, F、 P）我们用FX表示其自然过滤、完成和规范化，以满足通常条件。我们研究了实际支付额为F（XT）1{τ>T}，（2.1）的可违约索赔，其中X>0，F:R→ R是实值函数，T>0是证券的到期日或到期日，τ=inf{T；Xt<0}。（2.2）请注意，假设该公司的资产价值是可观察的。因此，从财务角度来看，（2.2）中对违约的定义是有意义的，如果建模者是公司的管理层，会计数据是公开的，或者可以在市场上很好地估计。如果[0，T]中没有违约，则（2.1）中的证券支付F（XT），否则为零，因此回收率被视为零。可违约的零息票债券是这种证券的特例，它让F（x）=c，在R上，常数c>0。

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2022-5-8 05:14:50

稍后我们将看到函数F=F（x）是PIDE的边界条件。对于两个半鞅X和Y，符号[X，Y]和hX，Y i分别代表二次协变量和条件二次协变量，定义见Protter（2004）第三章第6节第二章和第5节或Jacodand Shiryaev（1987）第一章第4节。为了完整起见，我们回顾了一些基本定义。所有一致可积鞅的集合用M表示，所有平方可积鞅的集合用M表示，即所有鞅的集合X表示≥0E[Xt]<∞. 如果加法X=0，则表示法错误使用。此外，可积分变化过程集（从零开始）由一个。在下文中，ifC是一类过程，其局部类用Cloc表示。随机演算理论中的一个基本结果如下，参见命题4.50，Jacod和Shiryaev（1987）第一章的证明。提议2.1。假设进程X=（Xt）t≥0是局部鞅（即X∈Mloc）。那么X=xalm几乎肯定当且仅当[X，X]=0。定义2.1。如果XY属于Mloc，则属于Mloc的两个过程X和Y称为相互正交。如果过程X和Y属于Mloc，那么可以证明X与Y正交当且仅当hX，yi=0，例如参见定理4.2，Jacod and Shiryaev（1987）第一章。如果X和Y是两个局部鞅且[X，Y]属于Aloc，那么通过使用hX，yi是[X，Y]的补偿器这一事实，仍然可以证明X与Y是正交的当且仅当hX，yi=0。对于条件二次变量，命题2.1的类似结果仍然成立，事实上这是我们稍后使用的结果。推论2.1。假设X属于Mlocor[X]∈ 当X=xalmost确定当且仅当hX，Xi=0。证据

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2022-5-8 05:14:53

注意，如果X在Mlocthen[X]中∈ Aloc，见4.50号提案，Jacod和Shiryaev（1987）第一章。所以证明[X]的结果就足够了∈ 阿洛克。在这种情况下，结果来自命题2.1和hXi是[X]的补偿器这一事实。现在，我们来解释我们的模型假设。这项工作的动机是第一个基本问题，即如何管理公司债券的风险。此类债券代表了该公司的特殊违约索赔。具体而言，我们专注于对企业资产价值进行建模的有限变化过程。关于这些过程如何比扩散或跳跃扩散模型更好地模拟股票价格动态的一些动机，请参见Geman（2002）。此外，一些技术原因也促使了这种选择。以下假设贯穿全文，尤其是在第3节中，用于确定过程的规范分解f（t，Xt）1{τ>t}T≥0，其中f=f（t，x）是一个C1,1实值函数。假设2.1。假设企业的资产价值过程X从X=u>0开始，是一个有界变化的L’evy过程，具有L’evy三重态（γ，0，v），其中L’evy测量值v集中在R上- {0}. 过程X具有以下L’evy It^o分解xt=u+ut+ZtZRx JX（ds×dx），t≥ 0，（2.3），其中u=γ-R[-1,1]xv（dx）和JXis是过程x的跳跃度量。假设u>0和0<RRxv（dx）<∞. 同样在v（R）的情况下∞, 我们假设测量值v是连续的。注意，假设2.1中的过程X具有有限活性+（v（R）<∞) 初始活性（v（R）=∞). 在前一种情况下，根据Sato（1999）的注释27.3，（2.3）的复合泊松过程部分在R上具有连续分布- {0}，在后一个例子中，根据Sato（1999）的定理27.4，Xt对所有大于0的项都有一个连续分布。特别是，在这两种情况下，我们都有P（XT=0）=0。

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2022-5-8 05:14:57

因此，我们可以假设（2.1）中函数F的域是正实线。这是因为+在这种情况下，过程X只是一个复合泊松过程加上从u>0开始的漂移。F（XT）1{τ>T}=F |（0，∞)（XT）1{τ>T}，几乎可以肯定，其中F |（0，∞)限制是否关闭到（0，∞).根据备注A.1，（2.2）给出的默认时间τ是完全不可访问的停止时间。τ的完全不可接近性保证了违约的不可预测性。备注2.1。关于金融风险过程，例如股票价格过程提取T≥从财务角度来看，0和非零壁垒水平是首选。然而，我们的模型可以涵盖这种情况。例如，假设对于常数势垒0<c<eu，默认值由τ=inf{t；eXt<c}定义。这相当于τ=inf{t；Xt<log c}，关于（2.2），这里跨越零级没有什么特别的，这只是为了便于记法。第4节和第5节使用了以下假设和定义，以便将套期保值策略和违约时间的分布风险降至最低。假设2.2。给定一个C1,1函数f=f（t，x）和一个[0]的子区间O，∞), 我们认为，如果以下条件适用于O中的所有t:ZR | f（t，x+y），则它满足可积条件- f（t，x）| v（dy）<∞, R.定义2.2中的所有x。

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2022-5-8 05:14:59

函数F=F（x）属于类（*），如果有一个C1,1函数F=F（t，x）是下列PIDEAf（t，x）的解=AK（t，x）- xAf（t，x）- βf（t，x）RRyv（dy）β，对于所有0≤ T≤ 对于所有的实数x>0，其中K（T，x）=xf（T，x），β=u+RRy v（dy），并且算符A由af（T，x）给出=Ft（t，x）+uFx（t，x）-Z(-∞,-x] f（t，x+y）v（dy）+ZRf（t，x+y）- f（t，x）v（dy），t≥ 0，x>0。（2.4）还假设函数f和K在区间O=[0，T]上满足假设2.2的可积条件。备注2.2。首先要注意的是，假设（2.2）的可积性条件下，表达式（2.4）在积分是有限的意义上得到了很好的定义。PIDE定义2.2将有助于在X不是鞅的情况下获得策略。这个假设可以被认为是对概率测度变化的一种替代。一般来说，定义2.2中PIDE的经典解的存在性并不总是得到保证。然而，如果β=0（即当X是鞅时），则在某些正则性条件下，费曼-卡克表示可以提供经典解。有关完整的讨论、示例和许多有用的参考资料，请参阅Cont and Tankov（2004）的第12章。简言之，主要问题是，由于weare处于纯跳跃模型中，因此没有差异，因此提议的Feynman-Kacre演示不一定是C1,1。在这种光滑性成立的情况下，Offeynman-Kac表示实际上是一种解决方案。Cont，Tankovand Voltchkova（2004）的例子1和2说明了如何容易违反规则。如果平滑度不成立或β非零时，则必须使用一些近似技术；实际上，可以使用粘度溶液。

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2022-5-8 05:15:04

将结果扩展到非光滑情况还有待于将来的工作。最后，假设市场是无摩擦的，只由两种资产组成，一种是由满足假设2.1的过程建模的风险资产，另一种是无风险资产。为了简单起见，假设无风险资产的价值在任何时候都等于1，即利率为零。3的正则分解f（t，Xt）1{τ>t}T≥0在本节中，我们研究过程Z=（Zt）t的正则分解≥其中Zt=f（t，Xt）1{τ>t}和f:[0，∞) ×R→ R是一个C1，1函数。更准确地说，在某些条件下，我们证明了它是一个特殊的半鞅，并且我们为它的有限变化可预测部分找到了一个封闭形式。这一结果在第4节中使用。定理3.1。假设X满足假设2.1。设f:[0，∞)×R→ R是一个C1,1函数，满足O=[0]上假设2.2的可积条件，∞). 然后，过程Z，其中Zt=f（t，Xt）1{τ>t}，是一个特殊的半鞅，过程Zt- Z-ZtAf（s，Xs）1{τ>s}dsT≥0，（3.5）是FX-局部鞅，其中停止时间τ由τ=inf{t；Xt<0}（3.6）定义，算子A由（2.4）给出。证据因为函数f是一个C1,1函数，所以过程（f（t，Xt））t≥0是半鞅，所以使用半鞅的乘积公式，对于t≥ 我们有f（t，Xt）1{τ≤t} =Zt{τ<s}df（s，Xs）+Ztf（s，Xs）-) d1{τ≤s} +f（，X.），1{τ≤.}]t、（3.7）得到Ez的正则分解=f（t，Xt）1{τ≤t}T≥0，我们证明了由上述方程右侧的三项中的每一项定义的过程是特殊的半鞅，并得到了它们的正则分解。屋顶的其余部分分为四个步骤。第一步。

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2022-5-8 05:15:07

因为f是一个C1，1函数，通过应用它的^o公式，我们得到了f（t，Xt）=f（0，X）+ZtFs（s，Xs）ds+uZtFx（s，Xs）ds+ZtZRf（s，Xs）-+ y）- f（s，Xs）-)JX（ds×dy），参见Kyprianou（2006）的定理4.2以获得证明。通过补偿公式，参见Kyprianou（2006）的定理4.4，我们得到了[ZtZRHs]f（s，Xs）-+ y）- f（s，Xs）-)JX（ds×dy）]=E[ZtZRHsf（s，Xs）-+ y）- f（s，Xs）-)v（dy）ds]，对于所有有界的非负可预测过程H，理解其中一个期望值定义良好，当且仅当另一个期望值定义良好且相等时。因此，通过假设2.2的可积性条件和Kyprianou（2006）的推论4.5，我们可以证明f（t，Xt）=f（0，X）+Mt+λft，fort≥ 0，其中M是一个FX-局部鞅，∧fis是一个可预测的有限变化过程。由∧ft=RtAf（s，Xs）ds给出的过程∧fis，其中运算符A由af（s，x）定义=Fs（s，x）+uFx（s，x）+ZR（f（s，x+y）- f（s，x））v（dy），s≥ 0，x∈ 这证明了（f（t，Xt））t≥0和Z是特殊的半鞅。因此Zt{τ<s}df（s，Xs）=Zt{τ<s}dMs+Zt{τ<s}Af（s，Xs）ds。由于上面右边的第一项是局部鞅，（3.7）的开头是一个特殊的半鞅，其可预测的有限变化部分由下式给出：Zt{τ<s}Af（s，Xs）dsT≥0.（3.8）第2步。自从{τ≤s}s≥0是一个特殊的半鞅，（3.7）的第二项也是一个特殊的半鞅。为了找到它的正则分解，我们考虑了两种情况。第一个v（R）<∞, 在这种情况下，过程X是一个复合泊松过程加上从u>0开始的位移，并且在每个有界区间上有很多跳跃。此外，由于u>0，可以很容易地检查每x≥ 0，Px（τ=0）=0。

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2022-5-8 05:15:10

此外，注A.1，停止时间τ现在完全不可访问，因此郭和曾（2008）的定理1.3适用，因此该过程Ztf（s，Xs）-) d1{τ≤s}-ZtZ(-∞,-Xs]f（s，Xs）1{τ>s}v（dy）dsT≥0是一个FX局部鞅。现在假设v（R）=∞, 然后，根据Sato（1999）的定理21.3，在每个有界区间上有无数次跳跃。因此，郭和曾（2008）的结果本次不直接适用。但是，由于u>0，每x≥ 0是一个不规则的点(-∞, 0]，这意味着Px（τ=0）=0，参见Kyprianou（2006）的定理6.5及其后续讨论。所以，使用补偿公式，他们的证明实际上表明Z∞Hsd1{τ≤s}= EZ∞Hs{τ>s}Z(-∞,-Xs]v（dy）ds,理解到左手边定义良好，当且仅当右手边定义良好且它们相等时。同样通过引理A.2，对于每t>0，RtR(-∞,-Xs]{τ>s}v（dy）ds几乎肯定是有限的，因此根据Jacod和Shiryaev（1987）第一章的引理3.10和3.11，这个过程RtR(-∞,-Xs]{τ>s}v（dy）dsT≥0属于Aloc。因此，根据引理A.1，在任何一种情况下，（3.7）中第二项的可预测有限变化部分如下所示：ZtZ(-∞,-Xs]f（s，Xs）1{τ>s}v（dy）dsT≥0.（3.9）第3步。最后，我们在（3.7）中找到了第三项的正则分解。指示程序{τ≤t}T≥0是有限的变量。然后通过命题4.49（a），Jacod和Shiryaev（1987）的ChapterI，我们得到[f（，X.），1{τ≤.}]t=Ztf（s，Xs）d1{τ≤s} 。这是一个特殊的半鞅，可以证明它属于Aloc。因此，通过引理A.1，为了获得过程中可预测的有限变化部分，我们需要计算以下期望值Z∞Hsd[f（，X.），1{τ≤.}]s= EZ∞Hsf（s，Xs）d1{τ≤s},对于任意有界非负可预测过程H。

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2022-5-8 05:15:13

同样，该期望值的计算与郭和曾（2008）中定理1.3的计算几乎相同，与步骤2的第二种情况类似，其中使用了补偿公式。由此我们得到期望值ER∞Hsd[f（，X.），1{τ≤.}]s脚趾是相等的Z∞Hs{τ>s}Z(-∞,0]（f（s，y）- f（s，Xs））v（dy- Xs）ds,理解到其中一个期望是明确定义的，当且仅当另一个期望也是明确定义的，并且它们是相等的。由于Hypothesis 2.2的可积性条件，引理A.1的假设有效，因此过程[f（，X.），1{τ≤.}]T-ZtZ(-∞,0]（f（s，y）- f（s，Xs））1{τ>s}v（dy- Xs）dsT≥0是一个FX局部鞅。因此，第三个终端（3.7）的可预测有限变化部分如下所示：ZtZ(-∞,0]（f（s，y）- f（s，Xs））1{τ>s}v（dy- Xs）dsT≥0.（3.10）第4步。根据方程式（3.8）、（3.9）和（3.10），我们得出结论，可预测的有限变化是过程的一部分f（t，Xt）1{τ≤t}T≥0等于Zt{τ<s}Af（s，Xs）ds+ZtZ(-∞,-Xs]{τ>s}f（s，Xs）v（dy）ds+ZtZ(-∞,0]（f（s，y）- f（s，Xs））1{τ>s}v（dy- Xs）dsT≥0.注意，在上述任何被积函数中，指示符过程的严格不等式可以更改为包含等式，因为勒贝格测度ds不带电荷{s；s=τ}。从上面的方程中，由于f（t，Xt）=f（t，Xt）1{τ≤t} +f（t，Xt）1{τ>t}，经过一些处理后，得出过程（3.5）是一个FX-局部鞅的结论。因此，可预测的有限变化是过程的一部分f（t，Xt）1{τ>t}T≥0等于ZtAf（s，Xs）1{τ>s}dsT≥0，其中Af（s，x）由（2.4）给出。备注3.1。1.关于定理3.1，有几点值得一提。在定理的证明中，假设0<RRxv（dx）<∞ 假设2。1没有使用。（2.4）给出的算符A与Dynkin的orIt^o算符不同。

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大多数88

2022-5-8 05:15:16

定理3.1对于满足假设2.2关于O=[0，T]，T>0的可积条件的C1,1（[0，T]×R）函数f仍然成立。最后，使用Jacod和Shiryaev（1987）第一章的3.10和3.11，定理的正则分解表明过程（Zt- Z） t≥0属于Aloc。2.注意，如果f的导数有界，则定义的可积条件为2。2满足。特别是，这表明τ允许一个相对于勒贝格测度绝对连续的补偿器；换句话说，下面的过程是一个FX局部鞅{τ≤t}-Zt{τ>s}v((-∞, -Xs]）dsT≥对于常数函数f和复合泊松过程加漂移，定理3。1是郭和曾（2008）中定理1.3的结果。4违约索赔的套期保值策略在本节中，我们的目标是获得（2.1）中支付的信用敏感证券的局部风险最小化套期保值策略。如果基础过程X是（局部）鞅，则局部风险最小化减少了托里斯克最小化，并且套期保值策略的存在由GKWdecomposition保证。当过程X是半鞅时，风险最小化不再有效。它必须改进为局部风险最小化，并通过FS分解来解决套期保值策略。FS分解首先由F¨ollmer和Schweizer（1991）提出。Schweizer（1994）证明了平方可积索赔的FS分解的存在性，假设过程X满足SC条件，且均值-方差交换（MVT）过程一致有界于ω（ω属于Ohm), t和has跳跃从上面严格限定为1。Monantand Stricker（1994）通过假设MVT过程在ω和t中一致有界，证明了FS分解的存在性。

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mingdashike22

2022-5-8 05:15:19

在这种情况下，进一步的Monand Stricker（1995）也证明了唯一性。Choulli、Krawczyk和Stricker（1998）通过引入一个新的概念来定义函数分解的存在性和唯一性，从而找到了必要和充分的条件。他们证明了在半鞅X=X+M+RζdhM i下，平方可积索赔存在FS分解，如果首先，过程E(-RζdM）满足一个可积条件，第二个条件是“正则”（我们参考原始文件中的定义）。这里是过程E(-RζdM）是多尔-达德指数过程，见Protter（2004）第二章第8节。Choulli、Vandaele和Vanmaele（2010）讨论了假设E(-RζdM）是严格正的。然后在一个一般的框架中，在一个较弱的假设下，不需要E的严格正性(-RζdM），他们根据论文中的一个表示定理，即定理2.1，找到了FS分解的封闭形式。他们的总体框架可以覆盖我们的特定模型。然而，与他们论文中的定理2.1不同，我们工作中的定理3.1给出了套期保值策略的更明确的解决方案。此外，尽管目前的方法通常从apayo ff开始，然后构建一个价值过程，但我们不知何故改变了这一点，并对FS分解的组成部分进行了自包含的计算。假设进程X和Z属于Mlocon[0，T]。然后通过GKW分解，有一个可预测的过程ξ和一个（局部）鞅L，正交toX，使得Z=Z+ZξdX+L，过程ξ由ξ=dhZ，XidhX，Xi给出。（4.11）同样值得一提的是，这种分解在较温和的条件下仍然有效。例如，有[Z，X]，[X]就足够了∈ Aloc，Z是局部鞅，ξ是局部有界可预测过程。

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大多数88

2022-5-8 05:15:22

在Mlocspace中，所有这些条件都是满足的。局部风险最小化策略与FS分解相关。因此，我们的目标是找到Payoff（2.1）的FS分解。为了实现这一目标，下一步的第一步给出了一个与FS分解接近的分解，事实上是更一般的。第5节也用到了这个定理。在说明定理之前，我们先解释基本过程X的条件。假设假设假设2.1，则nRR | X | v（dx）<∞, 因此，过程X具有正则分解X=X+M+∧，其中M是一个鞅，∧是一个连续的有限变分过程（实际上是一个确定性函数），由∧t=ut+ZtZRy v（dy）ds，t给出≥ 0.我们提醒读者：f（t，Xt）1{τ>t}0≤T≤由Z=（Zt）0表示≤T≤也让过程θ=（θT）0≤T≤由θt=Kf（t，Xt）给出-)RRyv（dy）{τ≥t} 式中Kf（t，x）=AK（t，x）- xAf（t，x）- βf（t，x）, 函数K=K（t，x）和f=f（t，x）在定义2.2和β=u+RRy v（dy）中定义。注意，过程θ是可预测的，并且隐式地依赖于函数F=F（x）。同样，如果β是非零的，那么θ可以等价地表示为θt=Af（t，Xt）-)β{τ≥t} 。定理4.1。假设假设假设2.1成立，函数F属于类（*）。我们进一步假设过程[Z，X]属于Aloc。那么对于所有0≤ T≤ T，下面的分解支持一个瞬逝集Zt=f（T，Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs+Lt，（4.13），特别是对于T=T，一个得到的是szt=f（Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs+Lt，几乎可以肯定，（4.14）其中函数f=f（T，x）在定义2.2中被引入，过程L=（Lt）0≤T≤T、 L=0，是一个局部鞅，与X的鞅部分正交，即M证明。

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2022-5-8 05:15:26

由于F=F（x）属于类（*），根据定理3.1，有以下几点FXt0≤T≤T-局部鞅M（1）和M（2）在[0，T]上，M（1）T=Zt- Z-ZtAf（s，Xs）1{τ>s}ds，M（2）t=K（t，Xt）1{τ>t}- K（0，X）-ZtAK（s，Xs）1{τ>s}ds。首先，我们找到了M（1）与M的GKW分解。我们证明了M（1）t=ZtθsdMs+Lt，0≤ T≤ T、（4.15）对于局部鞅L=（Lt）T≥0与M正交。根据Jacod和Shiryaev（1987）第一章命题4.49，[Z，X]=[M（1），M]。因此[M（1），M]属于Alocand，其补偿器由hM（1），Mi给出，见Protter（2004）第三章第5节。由于类似的原因，或者正如我们将很快看到的那样，“这意味着，对于一个瞬逝集，我们有Z.=Z+RθdX+L。过程hMi也存在。由于这些原因，GKW分解存在，公式（4.11）适用。所以我们需要得到hM（1），Mi和hMi。计算hMi很简单。由于X在[0，T]上是平方可积的，所以Jacod和Shiryaev（1987）第一章命题4.50表明[X]∈ 阿洛克。此外，我们有[M]=[X]，因此，作为[M]的补偿，M的条件二次变化存在并等于hXi。因此，过程hM i等于hmit=ZtZRyv（dy）ds。（4.16）由于【M（1），M】=【Z，X】，两个过程的补偿器是相同的，若设为hM（1），Mi，则足以获得hZ，Xi。半鞅[0，T]givesZtXt=ZX+ZtZs的分部积分-dXs+ZtXs-设F（1）t=RtAf（s，Xs）1{τ>s}ds和F（2）t=RtAK（s，Xs）1{τ>s}ds，那么Z=Z+M（1）+F（1），XZ=XZ+M（2）+F（2），我们还有X=X+M+2。因此，在[0，T]上通过部分公式进行的上述积分变成了[Z，X]T- （F（2）t-中兴通讯-dF（1）s-ZTZ-d∧s）=M（2）t-中兴通讯-dM（1）s-ZTZ-dMs。上面等式右边的积分是局部鞅，过程F（2）t-中兴通讯-dF（1）s-ZTZ-d∧s0≤T≤这是一个可预测的有限变化过程，[Z，X]=[M（1），M]。

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mingdashike22

2022-5-8 05:15:29

因此，条件二次协变量的唯一性（见Protter（2004）第三章第5节）给出，hM（1），Mit=F（2）t-中兴通讯-dF（1）s-ZTZ-d∧s，0≤ T≤ 因此，经过一些操作hM（1），Mitis被认为等于ZtKf（s，Xs）-){τ≥s} ds。（4.17）那么（4.15）中的GKW分解是表达式（4.11）、（4.16）和（4.17）的结果。通过引理A.2的方程（1.1），m（[0，t]∩ {s；Xs=0}）=0，几乎可以肯定，其中m是勒贝格度量。这意味着我们几乎肯定有M（1）t=Zt-Z-RtAf（s，Xs）1{τ>s}{Xs>0}ds。另一方面，f=f（t，x）满足定义2.2的PIDEof，因此M（1）t=Zt-Z-Rtθsd∧将GKW分解（4.15）变成-Ztθsd∧s=f（0，X）+ZtθsdMs+Lt.（4.18）因为函数f和K满足假设2.2的可积条件，所以几乎可以肯定，对于所有0≤ T≤ T因此，对于所有0≤ T≤ 因此，术语rtθsd∧定义得很好，几乎肯定是确定的。因此，我们可以把等式左边的积分移到等式的另一边。这给出了（4.13）中的分解。最后，（4.14）中的分解是通过在方程（4.13）中设t=t，并注意到通过定义2.2，ZT=f（t，XT）1{τ>t}=f（t，XT）1{τ>t}{XT>0}=f（XT）1{τ>t}{XT>0}，几乎可以肯定。备注4.1。在定理4.1的证明中，最终使用定义2.2的PIDE来获得方程（4.18）。另一方面，无论f和K是否满足这个PIDE，GKW分解（4.15）仍然有效。事实上，Hypothesis 2.2的可积性条件就是所需要的。备注4.2。注意，定理4.1的计算，特别是方程（4.17）以及Choulli、Krawczyk和Stricker（1998）的推论3.16表明，Z是E-局部鞅，Z+hZ，eNi是局部鞅，其中en=-βRRyv（dy）M。

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2022-5-8 05:15:32

然后，与Choulli、Vandaele和Vanmaele（2010）的4.2提案相比，这表明Z应该是对冲组合的价值。提案4.1证实了这一点。在特殊情况下，当过程X是局部鞅时，我们有以下推论。推论4.1。假设假设2.1成立。让函数F=F（x）属于类（*），进程[Z，x]属于Aloc。现在进一步假设X是由X生成的自然完全过滤中的局部鞅，即FX。然后我们有zt=F（XT）1{τ>T}=Z+ZTAK（s，Xs）-)RRyv（dy）{τ≥s} dXs+LT，几乎可以肯定，（4.19）在（2.4）中引入了运算符A，在定义2.2中定义了函数f=f（t，x）和K=K（t，x），过程L=（LT）0≤T≤T、 L=0是与X正交的局部鞅证明。由于X是局部鞅，那么β=u+RRy v（dy）等于零，因此通过定义2.2，Af也等于零。现在，推论很容易从定理4.1得到。我们的目标是在（2.1）中找到收益的FS分解，但找到这种分解只会导致伪局部风险最小化，而不一定会导致局部风险最小化。为了在这两个概念之间架起一座桥梁，首先我们需要研究底层过程的SC条件，以及FSD分解的存在，更多细节请参见Schweizer（2001）。由于过程X满足假设2.1，它是平方可积的，人们可以很容易地证明SC条件适用于X。因此，根据Schweizer（2001）的定理3.3，局部风险最小化策略与伪局部风险最小化策略相同。另一方面，通过命题3。Schweizer（2001）的第4章，后者的存在是等价的，是Payoff的FS分解存在的结果。

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2022-5-8 05:15:35

由于我们模型中的MVT过程在t和ω中是统一的，因此存在FS分解。因此我们得出结论，在我们的框架中，F¨ollmer-Schweizer分解和局部风险最小化策略的存在是有保证的。综上所述，为了获得一个局部风险最小化策略，我们只需要找到分解。一些可积条件将（4.14）中的分解转化为FS分解。下一个命题阐明了这一点。首先，我们提供了以下命题中使用的Θ、L-策略和L（X）的定义，更多解释请参见Schweizer（2001）。定义4.1。假设X是局部鞅。那么L（X）是所有可预测过程θ的空间，使得E[RTθsd[X]s]<∞.定义4.2。假设X是一个平方可积的特殊半鞅，其正则分解为X=X+M+a。那么Θ是所有可预测过程的空间θ，使得EhRTθsd[M]s+（RT|θsdAs |）i<∞.定义4.3。L策略是一对φ=（θ，η），其中θ∈ Θ和η是一个实值适应过程，因此值过程V（φ）=θX+η是右连续且平方可积的。也就是Vt（φ）∈ L(Ohm, Ft，P）每t∈ [0，T]。提议4.1。假设假设2.1成立，函数F=F（x）属于类（*）。我们进一步假设，对于所有0≤ T≤ T，f（T，Xt）属于toL(Ohm, Ft，P），由（4.12）给出的过程θ在Θ中。然后存在一个局部风险最小化的L-策略φ=（θ，η），如下所示。要投资于therisky资产的股份数量由θ给出。套期保值误差L属于M。

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2022-5-8 05:15:38

它与M正交，且给定为byLt=Zt- Z-ZtθsdXs，0≤ T≤ T.投资组合的价值过程（Vt（θ））T≥与策略φ相关的0等于vt（θ）=Z+ZtθsdXs+Lt，0≤ T≤ T、投资于无风险资产的股份数为ηT=Vt（θ）- θtXt，0≤ T≤ T、最后，成本过程由ct=Z+Lt，0给出≤ T≤ T.证明。工艺X满足SC条件。因此，LST策略的存在等价于FS分解的存在。请注意≤ T≤ T，f（T，Xt）属于L(Ohm, 因此，根据雅科德和希里亚耶夫（1987）的第四章第4.50条命题，这个过程[Z，X]是在高空中进行的。从4.1中的等式（4.13）中，我们得到了zt-Ztθsd∧s=Z+ZtθsdMs+Lt，0≤ T≤ T、其中，L是与M正交的局部鞅。因为θ在Θ中，f（t，Xt）是平方可积的，所以上面方程的左边和右边都是平方可积的。由于θ属于Θ，它也在L（M）中，因此通过Schweizer（2001）的引理2.1，processRθdM在M中。因此过程L在[0，T]上是平方可积的，属于M。现在的结果来自Schweizer（2001）的命题3.4。备注4.3。当X是局部鞅时，可以得到与命题4.1类似的结果，但策略θ的形式更简单。请注意，尽管我们没有使用MELMM方法，但我们已经通过涉及PIDE来付出代价。在MELMM方法中，当基本过程是鞅时，发现享乐策略的问题更简单。在这里，同样的情况也会发生，如果基本过程是鞅，那么套期保值策略的PIDE求解形式更简单。下一个定理研究定理4.1中的过程L消失的必要和充分条件。定理4.2。假设假设假设2.1成立，函数F=F（x）属于类（*）。

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2022-5-8 05:15:42

假设函数f在O=[0，T]上满足假设2.2的可积条件，定义为f（T，x）=（f（T，x）），其中函数f在定义2.2中定义。现在进一步假设分解（4.13）和（4.14）中的过程[Z，X]和过程[L]属于Aloc。将算子L定义为lf（t，x）=Af（t，x）- 2βf（t，x）-Kf（t，x）RRyv（dy），（4.20），其中Kf（t，x）=AK（t，x）- xAf（t，x）- βf（t，x）定义2.2定义了函数K=K（t，x）。那么鞅L在[0，T]上为空，当且仅当Lf（T，x）=0表示所有0≤ T≤ T和所有x>0。在本例中，对于所有0≤ T≤ T，我们有以下结果，直到一个消失集，Zt=f（T，Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs，（4.21），特别是对于T=T，几乎可以肯定地得到Zt=f（Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs。（4.22）证据。因为[L]在Aloc中，根据推论2.1，L=0相当于hL，Li=0。另一方面，根据定理4.1，下面的等式是szt=Z+ZtθsdXs+Lt。通过这个分解，我们得到了hl，Li=hZi- 2hZ，ZθdXi+hZθdXi。（4.23）在下面的内容中，我们证明了这个方程是有效的，因为右手边的所有项都存在，我们显式地计算它们。首先，让我们获得hZi。我们已经知道Z=Z+M（1）+F（1），并且观察到Zt=F（t，Xt）1{τ>t}。根据定理3.1，Z=Z+M（3）+F（3），其中M（3）是FX-局部鞅，F（3）t=RtAf（s，Xs）1{τ>s}ds。利用分部积分公式，我们得到Z=Z+2ZZ-dM+2ZZ-d∧+[Z]，Z+M（3）+F（3）=Z+2ZZ-dM+2ZZ-d∧+Z]或[Z]- （F（3）- 2ZZ-d∧=M（3）- 2ZZ-马克。上面方程的右边是一个局部鞅。这表明[Z]∈阿洛克。

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2022-5-8 05:15:45

（F（3）的可预测性-2RZ-d∧）和条件二次变分的唯一性- 2ZtZsd∧s.表示（4.23）的第二项，因为[Z，X]=[M（1），M]和[Z，X]∈ Aloc，计算第二项，从Hz开始，ZθdXit=ZtθsdhM（1），Mis=ZtKf（s，Xs）RRyv（dy）{τ>s}ds，其中hM（1），Mi已经在定理4.1的证明中计算出来，参见等式（4.12）和（4.17）。过程[X]属于Alocand，第三项可以类似地计算HZθdXit=ZtθdhMi，或HZθdXit=ZtKf（s，Xs）RRyv（dy）{τ>s}ds。从（4.23）和前面的计算中，我们得到如下hl，Lit=ZtLf（s，Xs）1{τ>s}{Xs>0}ds，几乎可以肯定，其中lf（t，x）=Af（t，x）- 2βf（t，x）-（Kf（s，x））RRyv（dy）。由于函数f是C1，1，hL，Li在[0，T]上几乎肯定为零，当且仅当[0，T]×R+上的ifLf（T，x）=0。另一方面，根据推论2.1，前者等于L=0。因此，在分解（4.13）和（4.14）中，正交部分消失，且仅当[0，t]×R+上的Lf（t，x）=0时，这就给出了方程（4.21）和（4.22）。通过结合定理4.2和命题4.1，我们得到了以下结果，为无风险产品的存在提供了一个必要的充分条件。在跳跃扩散过程的背景下，Kunita（2010）回答了与路径无关的支付方案4.2的类似问题。假设假设假设2.1成立，函数F=F（x）满足假设2.2。假设定义为f（T，x）=（f（T，x））的函数满足假设2.2的可积条件，其中函数f在假设中定义。现在进一步假设≤ T≤ T，f（T，Xt）属于L(Ohm, Ft，P），由（4.12）给出的过程θ在Θ中。将运算符L定义为（4.20）。

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2022-5-8 05:15:48

命题4.1中定义的过程φ=（θ，η）是一种局部风险最小化的L-策略，使得导数F（XT）1{τ>T}完全可对冲当且仅当Lf（T，x）=0时，对于所有0≤ T≤ T，所有x>0。这意味着我们有以下分解f（XT）1{τ>T}=f（0，X）+ZTθsdXs。备注4.4。如果过程X是鞅，那么算子L简化为toLf（t，X）=Af（t，X）-（AK（t，x））RRyv（dy）。备注4.5。根据定理4.2和命题4.2，鞅的零性取决于两个函数F=F（x）和F=F（t，x）的存在性，这样它们同时满足定义2.2和Lf（t，x）=0，x>0，即一个微分方程组。对于作者来说，这种解决方案的存在是一个公开的问题。下一个例子展示了命题4.1的一个应用，之所以选择它，是因为在这种情况下，Rolski等人（1999年）的定理5.6.3给出了定义2.2的一个封闭形式解。因此，可以将模拟解与精确解进行比较。一般来说，必须使用模拟技术。例4.1。假设Xt=u+ut+PNtj=1Yi，其中N是强度为λ的齐次泊松过程，Yi是具有跳跃分布fy的i.i.d.随机变量。让u>0，-Y~ 指数（δ），假设过程X是由X生成的自然过滤中的鞅，这意味着λ=δ。我们提醒读者，本文中利率为零。考虑一种可违约的零耦合债券，如果没有违约，它会支付一个单位的货币，即F（x）=1代表所有x。

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2022-5-8 05:15:51

我们可以检查F是否属于（*）类，根据命题4.1，为了实施混合策略，投资于风险资产的股份数量由θs=δZ给出-Xs-yf（s，Xs）-+ y） FY（dy）+δf（s，Xs）-)!{τ≥s} ，（4.24），其中f=f（t，x）满足以下PIDEAf（t，x）=0，对于所有0≤ T≤ 当所有x>0时，f（T，x）=1。Feynman-Kac公式或更新参数可用于证明该解具有以下表达式F（t，x）=1- P（τ）≤ T- t | X=X）。无论跳跃分布的类型如何，这种表示都适用。对于本例中的指数跳跃，可以使用封闭形式的解决方案。该解由Rolski等人（1999）的定理5.6.3或定理5.6.4提供。它是一个复杂的函数，图1给出了它在[0,2]×[0,0.4]上的图，其中u=0.1，δ=100，λ=10，T=2。图1：具有指数跳跃的精确函数f。函数f=f（t，x）也可以通过模拟进行数值估计。在上述参数相同的情况下，图2给出了[0,2]×[0,0.4]上f=f（t，x）的估计图。投资于风险资产的股份数量θ是该函数的封闭形式，由等式（4.24）给出。因此，函数f=f（t，x）充当解决问题的接口。然而，这个函数也有一个很好的解释。从命题4.1中，我们可以很容易地验证投资组合的价值过程是通过函数f=f（t，x）提供的。更精确地说，我们有Vt（θ）=f（t，Xt）1{τ>t}。接下来，我们获得了与过程X的模拟样本路径相对应的局部风险最小化策略。在实践中，动态投资组合会在某些特定时间更新。10.20.30.51.01.52.00.20.40.60.81.0xT图2：指数跳跃的估计函数f。交易日期。事实上，命题4.1和公式（4.24）不能直接应用。

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大多数88

2022-5-8 05:15:55

实现这一理论需要一个分离程序。这里我们使用一个简单的程序。我们把区间[0，T]=[0，2]分成1000个相等的子区间。假设交易日期由{t，t，…，t}，fortj=jT给出，其中j=0，1。。。，1000.然后通过θt=θt=0+nXk=0θk（tk，tk+1）（t）给出投资于风险资产的股份数量，其中每个θk是一个有界的FXti可测量随机变量，在交易tk之后立即确定。这是因为现实的战略必须是连续的或可预测的。积分θdX也必须离散化。这对于获得过程L的观察值至关重要。图3显示了过程X的模拟样本路径，X=0.01，以及每个交易期间投资于风险资产的股份数量θ。如图1或图2所示，该过程穿过屏障的概率相对较高，P（τ≤ 2) ≈ 0.754995. 对于图3所示的过程X的样本路径，默认值发生在τ处≈ 0.30869. 此时，θ的数值降为0，并保持为0。0 0.5 1.0 1.5 2.0-0.04-0.02 0.00 0.02tXDefault Levelτ0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50 5 10 15 20tθX的样本路径共享数量θ图3：在合同到期之前，过程θ和X的样本路径。对于无风险资产的股份数η、投资组合的价值V（θ）、误差项和成本过程C.5违约时间的结构和分布，我们将讨论违约时间的结构和分布。假设X满足假设2.1。第4节的一些结果有助于理解默认时间的结构。关于定理4.1，我们可以让F=F（x）是常数函数F=1。

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2022-5-8 05:15:59

因此，在几乎没有任何影响的情况下，我们有以下分解。提议5.1。假设假设2.1成立。那么对于所有0≤ T≤ T，我们有以下分解到一个瞬逝集合Zt=f（T，Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdXs+Lt，（5.1），特别是对于T=T，我们得到{τ>T}=f（0，X）+ZtθsdXs+Lt，几乎可以肯定，（5.2）在定义2.2中引入函数f=f（T，X），过程θ=（T）0≤T≤由等式（4.12）给出，过程L=（Lt）0≤T≤T、 L=0，是与X的鞅部分正交的局部鞅，即M。注意，由于进程X是平方可积的，进程[1{τ>t}，Xt]0≤T≤B到Aloc。虽然这种分解揭示了默认时间的结构，但它并没有告诉我们多少默认时间的分布。这是指标流程与流程X的分解。关于defaulttime的分布，下面是一个更有用的分解。提议5.2。假设假设2.1成立。设C1，1函数f=f（t，x）为下列PIDE的解，对于所有0，Af（t，x）=0≤ T≤ T和所有x>0，f（T，x）=f（x），对于所有x>0，其中函数f=f（x）是实值函数，函数f满足假设2.2的可集成条件。假设过程M是X的正则分解的鞅部分，即X=X+M+A。我们进一步假设过程[Z，X]属于Aloc。那么对于所有0≤ T≤ T，下面的分解支持一个瞬逝集Zt=f（T，Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdMs+Lt，特别是对于T=T，可以得到Zt=f（Xt）1{τ>T}=Z+ZtθsdMs+Lt，几乎可以肯定，（5.3）其中θ由θT给出=AK（t，Xt）-) - βf（t，Xt）-)RRyv（dy）{τ≥t} ，进程L=（Lt）0≤T≤T、 L=0，是与过程M正交的局部鞅。证据

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