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多项式项结构模型
mingdashike22
1196 27
2022-05-08
英文标题：
《Polynomial term structure models》
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作者：
Si Cheng and Michael R. Tehranchi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this article, we explore a class of tractable interest rate models that have the property that the price of a zero-coupon bond can be expressed as a polynomial of a state diffusion process. Our results include a classification of all such time-homogeneous single-factor models in the spirit of Filipovic\'s maximal degree theorem for exponential polynomial models, as well as an explicit characterisation of the set of feasible parameters in the case when the factor process is bounded. Extensions to time-inhomogeneous and multi-factor polynomial models are also considered.
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中文摘要：
在本文中，我们探讨了一类可控利率模型，其性质是零息债券的价格可以表示为状态扩散过程的多项式。我们的结果包括根据菲利波维奇指数多项式模型的最大度定理对所有此类时间齐次单因子模型进行分类，以及在因子过程有界的情况下对可行参数集的明确描述。还考虑了时间非齐次和多因子多项式模型的扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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mingdashike22
2022-5-8 02:43:43
多项式项结构模型——剑桥大学郑和迈克尔·R·德兰丘大学摘要。在本文中，我们探讨了一类可控利率模型，其性质是零息债券的价格可以表示为状态扩散过程的多项式。我们的结果包括根据菲利波维奇指数多项式模型的最大度定理对所有此类时间齐次单因子模型进行分类，以及在因子过程有界的情况下对可行参数集的明确描述。还考虑了对时间非齐次和多因素多项式模型的扩展。1.引言给定一个整数d≥ 1和非空的开放子集I Rd，无风险利率期限结构的d-因子无套利模型可以由四个函数建立，R:I→ R、 G:R+×I→ R、 b:我→ RDA：我→ Rd×d，满足以下假设：假设（PDE）。函数G是两次连续可微的，满足部分微分方程τG=X1≤我≤dbiziG+X1≤i、 j≤戴伊zizjG- R+×I上的RG，所有z的边界条件g（0，z）=1∈ 我假设（SDE）。存在一个函数σ：I→ Rd×msuch a=σσ就这样∈ I随机微分方程dzt=b（Zt）dt+σ（Zt）dW，Z=zha是一个非爆炸性弱解(Ohm, F、 Q；Z、 W）使得过程Z在Iand中取值，其中W是Rm值布朗运动。事实上，考虑到满足上述假设的函数R、G、b和a，我们只需要fix z∈ 一、 设Z为Z=Z的随机微分方程的解，其中zt对经济因素的时间t值进行建模。
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大多数88
2022-5-8 02:43:46
然后将time-t即期利率建模为RT=R（Zt），将到期日为t的零息债券的time-t价格建模为asPt，t=G（t- t、 Zt）。日期：2020年12月24日。关键词和短语：期限结构，利率，多项式模型。2010年数学学科分类：91G30、91B25、91G80。注意，PT，T=G（0，ZT）=1，通过边界条件n、It^o公式和部分微分方程，贴现债券价格e-RtrsdsPt，T是所有T的局部鞅≥ 特别是，测度Q是模型的局部鞅测度，因此债券市场不存在套利。通常取给定的函数R、b和a，然后求解R G的偏微分方程。在实践中，这样的方程可以通过数值求解。然而，在本文中，我们将事情扭转过来，并假设函数G具有特定的形式。这项研究的动机来自校准模型的问题。实际上，实践者实际上对函数族（Rθ，Gθ，bθ，aθ）θ感兴趣∈式中θ是未知参数或参数向量。给定一组观察到的初始债券价格P0，TF，用于各种到期债券∈ 然后，我们试图找到θ，以最小化观测价格（P0，T）T之间的距离∈Tand预测价格（Gθ（T，z））T∈一般来说，在计算上，通过数值求解偏微分方程来生成所有或至少一个T的代表性样本的Gθ（T，z）值是非常昂贵的∈ T和θ∈ Θ. 因此，人们一直对开发可转换模型感兴趣，其中函数Gθ具有合理的显式形式。也许最著名的两个可处理因子模型是Vasicek[19]和Cox，Ingersoll&Ross[5]的模型。
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可人4
2022-5-8 02:43:50
在这些模型中，因子是标量的，并与即期利率一致，因此在上面的符号中，d=1，R（z）=z，而函数b和a是有效的，函数G是指数函数f或Mg（τ，z）=eh（τ）+h（τ）z，众所周知，当偏微分方程简化为耦合的Riccati常微分方程组时，边界条件变为h（0）=h（0）=0。此外，相应的随机微分方程总是有唯一的局部解。虽然Vasicek随机微分方程的局部解实际上是唯一的全局解，但Cox–Ingersoll–Ross随机微分方程的情况更为微妙：对于某些参数值，局部解可能会在有限时间内通过击中状态空间的边界而爆发。Duffee&Kan[8]研究了因子过程为任意维d的指数模型≥ 1.相应的Tochastic微分方程具有非爆炸性解的发现条件。随后，人们对这些指数模型的性质进行了大量研究。对这篇文献的一个显著贡献是杜菲、菲利波维奇和夏切迈耶[7]对指数有效期限结构模型的一般描述。指数二次模型可被视为指数二次模型族的特例。Longsta off[16]提出了一个二次模型的早期示例，此后，Jamshidian[13]、Leippold&Wu[15]和Chen、Filipovi’c&Poor[3]等人开发并推广了Has模型。人们可能想知道是否存在非平凡指数立方（或更高阶）模型。菲利波维奇的回答是否定的，他证明了一元多项式模型的最大阶必然是两个。
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大多数88
2022-5-8 02:43:53
也就是说，指数二次模型确实是指数多项式模型中最普遍的一类。在本文中，我们考虑一类相关的债券定价函数，其中函数g（τ，·）本身是一个多项式。我们引入以下假设：假设（POLY）存在一个整数n≥ 1使得函数G的形式为G（τ，z）=Xk++杜兰特≤ngk（τ）zk表示所有（τ，z）∈ R+×I，其中k=（k，…，kd）∈ Zd+和z=（z，…，Zd）∈ Rd，单项式zk定义为zk=zk··zkdd，其中函数（gk）是可微分的。我们现在准备好定义我们的研究对象：定义1.1。多项式项结构模型是函数R、G、b、满足假设（PDE）、（SDE）和（POLY）以及一系列弱解的集合(Ohm, F、 Q；Z、 W）以初始点Z=Z为索引∈ I.如果系数（gk）是线性无关函数，则多项式模型是非退化的。这项工作的灵感来自西格尔[18]的利率模型。他向所有人展示了这一点≥ 1存在显式函数R和显式二次函数b，使得假设（PDE）由函数G满足，使得G（τ，·）是所有τ的函数≥ 0.注意在这种情况下zizjG完全消失，因此函数a=σσ无需指定来验证偏微分方程。此外，对于σ的某种选择，相应的随机微分方程在有界状态空间i=（（z，…，zd）：对于所有i和xizi<1，zi>0）中有一个非爆炸解。我们还提到了布罗迪-休斯顿比率模型[2]。在客观测度P下，状态价格密度被建模为Vt=α（t）+β（t）mt，其中α和β是确定性函数，M是P-鞅。
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能者818
2022-5-8 02:43:56
Akahori–Hishida–Teichman–Tsuchiya[1]、Filipovi\'c-Larsson–Trolle[11]和Macrina[17]等都扩展了此类国家有效模型。我们在第6节中展示了Brody–Hughston模型在我们的时间非齐次多项式框架中的作用。正如上面描述的布罗迪-休斯顿模型和西格尔模型一样，本文中的大多数多项式模型（但不是全部——见第3.2节）都具有短期利率有界的性质。这与许多熟悉的模型形成了对比，比如瓦西塞克和考克斯-英格索尔-罗斯模型。尽管如此，即期利率的范围可以很容易地用模型参数的术语来表示，因此该范围可以校准到任何所需的（确定的）宽度。最后，Cuchiero，Keller Ressel&Teichmann[6]的一项相关工作，他研究了一类时间齐次马尔可夫过程Y，其性质是第n（混合）阶矩最多可以表示为初始点Yof阶的一个多项式。实际上，考虑d=1的情况，让Fn成为至多n:Fn=（p:p（z）=nXk=0pkzk，pk∈ R） 。他们研究的过程Y的性质是，对于Y阶n和任何多项式∈ Fn，f或全部t≥ 存在一个多项式Q∈ 使e[P（Yt）|Y=Y]=Q（Y）。相比之下，在这项工作中，我们研究的过程Z的性质是，对于固定的degreen和固定的函数R，对于所有的t≥ 存在一个多项式P=G（t，·）∈ fn如此-RtR（Zs）ds | Z=Z]=P（Z）。特别是，他们的结果并不意味着我们的结果，反之亦然。关于多维多项式保持过程的结果的进一步存在性，请查阅最近的Filipovi’cand L arsson[10]一文。在本文的剩余部分中，安排如下。
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