因此，在C.引理A2中存在可数目的Φ的固定点。让我∈ Rn×nbe具有Elsinger属性的所有权矩阵。那么ρ（M）<1，其中ρ（M）=max{λi |：M的λieigenvalue}（109）是M的谱半径。一个众所周知的结果（参见R乌丁（1991））是ρ（M）≤ kMk≤ 1.如果kMk<1，则无需证明，因此我们假设kMk=1，这与M的ElsingerProperty没有矛盾。我们将通过矛盾来证明索赔。为此，假设ρ（M）=1。对于相应的本征值v is，必须保持v6=0和Mv=ρ（M）v=v。我们可以用（In）来表示这个方程- M） v=0n。（110）由于M具有Elsinger性质，Elsinger（2009）引理1得出如下结论：- M） 不可靠。但这意味着不存在向量v6=0，所以（110）是真的。因此，v=0，这是一个矛盾，从中得出ρ（M）<1。引理A3。让我∈ Rn×nbe具有Elsinge r性质且ρ（M）<1的所有权矩阵。然后（进来）- M）-1存在并可通过诺依曼展开式获得：- M）-1=∞Xn=0Mn，（111），其中M=In。因此，在- M）-1大于或等于1，其他条目均为非负数。证据见鲁丁（1991）。定理1的证明：定理1的证明是必要的，因为Suzuki（2002）、Gourieroux等人（2012）和Fischer（2014）的相关证明依赖于比Elsinger性质更强的矩阵条件，而Elsinger（2009）则考虑了与（5）和（6）略有不同的方程组。首先，注意（5）和（6）只能有非负解。Fischer（2014）的Emma 3.5在更严格的矩阵条件下显示了这一点，但由于本文的引理A3，很容易看出，在ElsingerProperty下，证明在相同的mann-er下工作。区间[Rsmall，Rgreat]是凸紧的，Φ（R）在R中是连续的。

根据Emma 1和Brouwer-Schauder不动点定理，至少存在一个解。Fu rthermore，Φ，如式（7）中所示，是一个非扩张映射。这源于Fischer（2014）的引理4.1，其中在更严格的矩阵条件下显示了严格收缩性质，但同样可以直接看出，对于所有所有权矩阵，相应的证明如何暗示Elsinger性质下的非扩展性。因为从命题10可以得出（5）和（6）的2n个可能解的最大值，所以引理1和引理A1在附录中给出了不唯一性。引理A4。让我∈ Rn×nbe一个所有权矩阵，如引理A3所示，N N，矩阵∧∈ Rn×Nb定义为（λ）ij=（1，如果i=j和i∈ N、 0，否则。（112）那么它认为- ∧M∧）-1Λ ≤ ∧（In）- M）-1Λ. （113）证据。注意（在- ∧）k=（In）- λ）对于k∈ N（114）和M=（In- λ）=In。使用引理A3，我们得到了（在- ∧M∧）-1Λ =∞Xn=0（λM∧）n！∧=（In+M∧+M∧M∧+M∧M∧M∧M∧+…）∧=∧+∧（M+M∧M |{z}≤M+M∧M∧M |{z}≤M+…）Λ≤ Λ + Λ∞Xn=1Mn！Λ= Λ∞Xn=0Mn！∧=∧（英寸）- M）-1Λ.（115）引理A5。让随机变量a有一个关于（R+）n上Lebesguemeasure的密度。系统解包含至少一个边界形式的所有a的集合，即一个i∈ N这样r*i=diand s*i=0，则测量值为零。证据首先，请注意，它需要显示所有a的集合a（I）的声明，其中r*i=diand s*每i=0∈ 我 N，因为{1，…，N}的子集的数目是有限的，并且勒贝格测度为零的集合的一个单位具有勒贝格测度为零。我们首先证明A（I）是Borel s et，因此Lebesgue是可测量的。为此，请注意，Fischer（2014）中显示，映射ψ：a 7→ R*（a） 将外生资产的任何价格向量映射到（5）和（6）的对应解上是Borel可测的。

现在让H（I）表示2（n）- |r2上的I |）维超平面，其h（I）={（rt，st）t∈ R2n:ri=d，si=0表示所有i∈ 一} 。（116）显然，H（I）是一个Borel集。一个a（I）=ψ-1（H（I）∩ （R+2n），（117）也必须是波雷尔可测量的。现在请注意，如果>> a（严格大于所有成分），然后是Φna（R）≥ Φna（R）f或任何非负R。因此，通过picardiation，R*（a）≥ R*（a） 。从公式（5）和（6）中可以看出，r+s=a+Mdr+Mss（另见Fischer（2014））。因此，如果>> a、 然后r*i（a）+s*i（a）>r*i（a）+s*尽管我∈ N，这与a，a相矛盾∈ A（I）。因此*i（a）+s*我（a）=dia∈ A（我）和我∈ 一、 a>> a不适用于a，a∈ A（I）。这意味着A（I）与帕累托集有一些相似之处。因此，集合A（I）与平行于向量（1，…，1）t的任何直线相交∈ 要么一次，要么一点也不。因此，由于勒贝格测度是旋转变量，问题现在简化为引理A6中所示的问题。引理A6。设Q是Rn中的Borel集，使得| Qω|≤ 任何ω的1∈ 注册护士-1，其中qω={x∈ R：（x，ωt）t∈ Q} 。那么Q的勒贝格测度为零。证据设λm，m∈ N、 表示Rm上的Lebesgue度量。对于任何Borel集Q，它遵循乘积测度的定义（例如Billingsley（1995））和λn=λ λn-1λn（Q）=Zλ（Qω）dλn-1(ω). （118）由于λ（Qω）=0，结果如下。表4：如上所示：所有债务和权益积分值（νd）和按债务值（d）分组的系统大小（n）上每个算法的平均运行时间（秒）。

下面：所有权益积分值（νs）、债务值（d）和按债务积分值（νd）分组的系统大小（n）的每种算法的平均运行时间（秒）。算法E H T H SP SE SHd1 5.43 31.21 33.87 9.51 22.71 26.78 10.94 30.90 35.171.5 5.61 35.73 36.59 9.95 25.03 28.61 11.86 38.27 39.722 5.98 36.46 34.70 10.31 25.00 27.56 12.55 40.92 39.192.5 6.46 36.67 31.69 10.53 24.65 26.23 12.97 41.04 36.293 6.81 36.87 28.49 10.23.53.24.07 12.32νd0。7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.9.9.9.9.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.9.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.7.7.7.7.7 7 7.7.7.7 7 7 7 7.7.7 7 7.7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 37 22.84 22.95 11.53 38.17 32.53A。2.附加表格和模拟结果本节表格中的符号如下。表中算法的名称由其迭代类型（P代表Picard，E代表Elsinger，d代表Hybrid）和方向（d代表递减，I代表递增）组成。如果省略了前缀“D”或“I”，则会显示相应增加和减少版本的平均值。额外的Pre fix“T”表示尝试和错误版本，“S”表示三明治版本的健康算法。表5:Every y算法在所有债务和权益积分值（νd和νd）以及按系统大小（n）分组的债务值（d）上的迭代（计算）步骤中值。计算步骤定义为线性方程组的解，例如在算法2A中的每个迭代步骤中进行。

迭代步骤定义为从第k次迭代Rk到k的Rk+1的步骤≥ 0，无论使用哪种算法。5（6）5（8）5（9）5（10）5（10）5（10）5（10）6（10）6（10）6（6）6（6）6（6）6（7）6（7）6（6）6（6）6（6）6（6）6）6（6）6）6（7）6（6）6）6（6）6）6（6）6）6（6）6）6）6（9）6）6）6（9）6）6（6）6）6）6（6）6）6）6（6）6）6（6）6）6（6）6）6（6）6（6）6）6）6（6）6）6）6（6）6）6（6）6）6（6）6（6）6）6）6（6）6（6）6）6）6（6（6）6）6（6（6）6）6）6）6（6）6）6 1（5）2（5）2（7）ITE 1（3）1（4）2（5）2（7）2（7）3（8）DTH 1（4）1（6）1（6）2（7）2（8）ITH 1（3）1（4）2（4）2（5）2（6）2（7）SP 1 2 3 SE0（4）1（4）1（6）1（8）2（8）2（12）SH0（4）1（4）1（5）1（6）1（8）1（7）参考。Acemoglu、A.Ozdaglar和A.Tahbaz Salehi。金融网络的系统风险和稳定性。技术报告，国家经济研究局，2013年。P.比林斯利。概率和测度。约翰·威利父子出版社，1995年。R·E·布鲁克。Banach空间中非扩张映射不动点集的性质。《美国数学学会学报》，179:251–2631973。R.康特、A.穆萨和E.桑托斯。银行系统的网络结构和系统性风险。2010年。可在http://ssrn.com/abstract=1733528.G.达尔奎斯特和A.比约克。科学计算中的数值方法，第1卷。工业和应用数学学会（SIAM），2008年。L.艾森伯格和T.H.诺伊。金融系统中的系统性风险。《管理科学》，47:236–2492001。M.艾略特，B.戈卢布，d.O.杰克森。金融网络和传染。工作文件，2013年。可在http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2175056.H.埃尔辛·格尔。金融网络、交叉持股和有限责任。工作文件156。¨奥斯特里希国家银行，维也纳，2009年。H.埃尔辛格、A.莱哈尔和M.萨默。利用市场信息进行银行系统风险评估。

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