我们发现，将未来投资纳入当前估值会显著影响行使边界，尤其是当个人投资是短期投资时。此外，当考虑多项投资时，延长寿命的边际效益迅速降低。此外，这项工作允许确定关键的资本投资成本，其使用寿命和交付周期偏离行业标准。其中一个例子（见图7）显示，将人均寿命从典型的25年缩短到2.5年，只需同时降低投资成本的2倍，就可以在总体价值方面取得优势。对于我们的分析和可处理性，我们使用了对数正态随机现金流。利用对数正态过程，我们得到了单停问题的解析值函数和定理1的解析结果。或者，对于更现实的商品价格动态表示，可以使用其他过程，例如均值回归和跳跃，尽管这些设置可能不太适合数学分析，数字实现可能更具挑战性和麻烦。例如，在指数Ornstein-Uhlenbeck价格动力学下，单停问题不允许封闭形式的解，最佳运动阈值只能从隐式方程中找到（见Leung et al.（2014））。然而，在均值回归下，具有相当长的交付周期和使用寿命的投资价值预计将产生接近最终长期均值的现金流。另一方面，寿命较短、部署速度更快的资本将更适合利用与平均值的正偏差，也更适合避免低价格时期。

因此，在均值回归框架中，我们预计小规模投资的关键投资成本Icrit将比图7中的情况更高，以实现小规模和小规模情景之间的平价。这表明，小规模和模块化方法可能对大型基础设施投资具有吸引力。未来的研究方向有很多。首先，我们可以将企业储蓄与随机投资回报相关的风险和模糊性结合起来，正如亨德森（2007）和贾蒙格尔（2011）在单一投资的情况下所讨论的那样。此外，有关技术变革、行业发展和未来投资成本的额外信息将加强决策分析。例如，直觉表明，频繁的技术进步更容易实现，营业额也更快速，因为过时的技术可以被放弃，而不需要牺牲投资，而且还有很长的剩余时间。同样，随着投资窗口的缩短，监管风险也不再是问题。随着气候变化的威胁迫在眉睫，以及与之相关的对碳排放的担忧，这一问题今天在能源领域备受关注。例如，naturalgas燃烧比煤和油更清洁，是未来清洁技术的桥梁燃料。然而，在目前使用寿命长的大型装置的范例中，近年来天然气产能的急剧增长意味着至少要为另外四分之一的世纪提供化石燃料。感谢作者感谢克劳斯·拉克纳、加勒特·范·雷津和卡纳·戈克曼提出的有用建议和对话。Tim Leung的研究得到了NSF拨款DMS-09 08295的部分支持。附录A。

每个固定停止规则~τ=（τi）ki=1命题1的证明∈ Sk，我们定义了一个子序列（^τj）sj=1，s≤ k、 （τi）ki=1，只记录奖励为非负的停止时间：{τj}=τi |ψ（X0，xτi）≥ 0 ; i=1，K.在有限k的情况下，我们可以用k附加子序列（^τj）sj=1- 在有限的停止时间内，τs+1=·τk=∞ 创建完整序列~^τ=（^τj）kj=1。由于~τ内的停止时间至少以恒定时间T折射，因此~^τ内的停止时间也是如此，因此~^τ∈ Sk。通过使用负奖励避免停车时间，总折扣奖励：gk（x；~τ，ψ）：=kXi=1e-rτiψ（X0，xτi），~τ∈ Sk，在期望值中由gk（x；~τ，ψ）控制，即E{gk（x；~τ，ψ）}≤ 此外，当~τ被认为是~τ时，我们几乎可以肯定地得到等式gk（x；~τ，ψ）=gk（x；~τ，ψ+）。这意味着，对原始问题v（k）（x）的停止规则~^τ进行最大化，将在非负报酬ψ+的情况下达到上界（RHS of（3））。总之，我们得到了v（k）（x）≡ sup~τ∈SkE{gk（x；~τ，ψ）}=sup~^τ∈SkEngk（x；~^τ，ψ+）o=sup~τ∈SkEgk（x；~τ，ψ+）. 附录B.定理1的证明：作为对具有盈亏平衡点x的rewa rd函数的定义，我们知道ψ（x）<0和ψ′（x）≥ 当x<x时为0，ψ′（x）>0。这意味着∧ψ（x）=γψ（x）- xψ′（x）<0，x≤ x、 特别地，由于∧ψ（x）在（x）上是凸的，∞) 对于大的x，有一个解，x*, 到∧ψ（x）*) = 此外，（d/dx）∧ψ（x*) > 0代表x≥ x、 回想引理1，v（1）（x）=ψ（1）（x）∨ 十、*)1.∧xx*γ, （B.1）式中ψ（1）≡ ψ. 此外，ψ（2）（x）=ψ（1）（x）+e-rTEv（1）（X0，xT）.

（B.2）由于∧E{g（Xt）}=E{g（Xt）}对于任何可积函数g，我们应用（B.2）得到∧ψ（2）（x）=∧ψ（1）（x）+E-rTE∧v（1）（X0，xT）= ∧ψ（1）（x）+e-rTE∧ψ（1）（X0，xT）11{xT≥十、*}, （B.3）在第二步中，我们使用了∧v（1）（x）在v（1）（x）的连续区域中消失的事实，即x<x*. 因为∧ψ（1）（x）是凸的，∞), 期待∧ψ（1）（X0，xt）11{xt≥十、*}在（x）上也是凸的，∞). 作为两个凸函数之和，∧ψ（2）（x）在（x）上也是凸的，∞). 此外，由于∧ψ（1）（x）11{x≥十、*}是一个递增函数（对于x>x严格为正）*), （B.3）意味着∧ψ（2）（x）在足够大的x上增加。我们从（B.1）和（B.2）中观察到，ψ（2）（x）是一个具有limx的连续可微递增函数→0ψ（2）（x）=limx→0ψ（1）（x）<0。此外，如果ψ（1）（x）以f（x）=ax为界，对于某些a>0，则可以证明v（1）（x）≤ ax，因此ψ（2）（x）≤ ax+e-rTEaX0，xT≤ A.1+e-（r）-α） Tx、 （B.4）这确保了x=x时存在最大值*对于f函数ψ（2）（x）/xγ，因此也存在∧ψ（2）（x）=0的解。此外，命题1暗示了X*≥ xas负回报的锻炼从来都不是最佳选择。∧ψ（2）（x）在（x）上的凸性，∞) 确保只有一个这样的最大值，由∧ψ（2）（x）唯一定义*) = 0，和ddx∧ψ（2）（x）>0，x≥ 十、*.因此，再次应用引理1，我们得到v（2）（x）=ψ（2）（x）∨ 十、*)1.∧xx*γ.此外，从（B.4）中ψ（2）（x）的界，我们推断v（2）（x）≤ A.1+e-（r）-α） Tx、 重复上述论点，我们同样可以证明重叠边界x的存在性和唯一性*k、 每k≥ 1，并推导出每个v（k）：v（k）（x）的上界≤ axk-1Xi=0e-（r）-α） 它！。（B.5）接下来，我们继续通过归纳证明∧ψ（k+1）>∧ψ（k），这与前面的证明部分一起意味着x*k+1<x*k、 如前所述，∧ψ（1）（x）11{x≥十、*}对于x>x为正*.

由（B.3）可知∧ψ（2）（x）- ∧ψ（1）（x）=e-rTE∧ψ（1）（X0，xT）11{xT≥十、*}> 现在，假设∧ψ（k）（x）>∧ψ（k）-1） （十）。根据（19）中ψ（k）（x）的定义，我们得到了∧ψ（k+1）（x）- ∧ψ（k）（x）=e-rTE∧v（k）（X0，xT）- λv（k）-1） （X0，xT）= E-rTEn∧ψ（k）（X0，xT）11{x*K≤Xt≤十、*K-1} o+e-阿尔滕∧ψ（k）（X0，xT）- ∧ψ（k）-1） （X0，xT）{x*K-1.≤Xt}o>0。关于序列（v（k））k的单调性≥1，我们首先证明v（2）>v（1）。由于v（1）>0fr-om引理1，因此f-r-om（19）ψ（2）（x）- ψ（1）（x）=e-rTEv（1）（X0，xT）> 0.（B.6）由于x*< 十、*ψ（2）（x）>ψ（1）（x），不等式v（2）=ψ（2）（x）>ψ（1）（x）=v（1）对x成立≥ 十、*. 此外，由于ψ（2）（x）/xγ在x=x时最大*, 我们看到v（2）（x）=ψ（2）（x）≥ ψ（2）（x）*)xx*γ> ψ（1）（x）*)xx*γ=v（1）（x），x∈ （十）*, 十、*).同样，对于x≤ 十、*,v（2）（x）=ψ（2）（x）*)xx*γ≥ ψ（2）（x）*)xx*γ> ψ（1）（x）*)xx*γ=v（1）（x），x<x*. （B.7）因此，我们证明了v（2）>v（1）。通过归纳，我们得到ψ（k）（x）- ψ（k）-1） （x）=e-rTEv（k）-1） （X0，xT）- v（k）-2） （X0，xT）> 利用这个不等式，我们可以按照（B.6）到（B.7）的步骤得到v（k）（x）>v（k）-1） （十）。最后，（B.5）中的不等式意味着价值函数v（k）允许任何k的以下边界：v（k）（x）≤aM1- E-（r）-α） T，x<M。参考Bender，C.（2011）。交易量约束下多个行权期权的双向定价。财经与随机，15:1-26。Carelli，M.，G arrone，P.，Locatelli，G.，Mancini，M.，Mycoff，C.，Trucco，P.，和Ricotti，M.（2010）。整体式、模块化、中小型反应堆的经济特点。核能进展，52（4）：403–414。Carmona，R.和Dayanik，S.（2008）。线性差异的最佳多次停止。运筹学数学，3 3（2）：446-460。R.卡莫纳和N.图兹（2008）。最优多重停止和摆动期权的估值。数学金融，18（2）：239-268。N.奇亚拉、M.加文和J.维克尔（2007）。

评估基础设施项目中简单的多重行使实物期权。基础设施系统杂志，13（2）：97-104。Dahlgren，E.，G–o,cmen，C.，Lackner，K.S.，和van Ryzin，G.（2013）。小型模块化基础设施。《工程经济报》，58（4）：231。邓S.和奥伦S.（2006）。电力衍生品和风险管理。能源，31（67）：940-953。电力市场改革和放松管制。Dixit，A.和Pindyck，R.（1994年）。不确定性下的投资。普林斯顿大学出版社。弗雷尔，J.和乌卢德尔，N.（2001）。这是什么？实物期权理论在发电资产评估中的应用。《电力杂志》，14（8）：40-51。Geman，H.和Ohana，S.（2009）。石油和天然气市场的远期曲线、稀缺性和价格波动性。能源经济学，31（4）：576-585。格拉塞利，M.和亨德森，V.（2009）。风险规避和阻止执行股票期权的行使。经济动力与控制杂志，33（1）：109-127。亨德森，V.（2007）。在不完全市场中对投资选择权进行估值。数学与金融经济学，1（2）：103-128。Jaillet，P.，Ronn，E.I.，和Tompaidis，S.（2004）。基于商品的摇摆期权估值。管理科学，50（7）：909-921。Jaimungal，S.（2011）。不可逆转的投资和模糊厌恶。多伦多大学工作文件。T.卡斯洛和R.平迪克。(1994). 评估公共设施规划中的灵活性。《电气杂志》，7（2）：60-65。拉米尼，J.和迪克，A.（2003）。燃料电池系统解释。约翰·威利父子有限公司梁，T.，L i，X.，和王，Z.（20-14）。具有交易费用的指数模型下的最优多次交易时间。工作文件。梁T.和瑟卡尔R.（2009）。在员工股票期权估值中考虑风险规避、行权、解雇风险和多次行使。数学金融，19（1）：99-128。卢德科夫斯基，M.（20 08）。

经营灵活性的财务对冲。《国际理论和应用金融杂志》，11（8）：799-839。卢姆利，R.和泽沃斯，M.（2001年）。考虑转换成本的自然资源行业投资模型。运筹学数学，26（4）：637–6 53。麦克唐纳，R.和西格尔，D.（1985）。当有选择关闭时，投资和企业估值。《国际经济评论》，26（2）：331-349。梅恩豪森，N.和哈姆布莱，B.M.（2004）。多重行使期权估值的蒙特卡罗方法。数学金融，14（4）：557-583。什里夫，S.（20 04）。金融随机演算II：连续时间模型。纽约州纽约：斯普林格。Sick，G.和Gamba，A.（2010年）。涉及实物期权的一些重要问题：概述。《跨国金融杂志》，14（1/2）：73-123。Westner，G.和Madlener，R.（2012）。不确定性下的新发电投资：基于copula分析的热电联产与冷凝电厂的效益。能源经济学，34（1）：31-44。