基础设施投资的最优多站法

2022-5-7 10:30:40

基础设施投资决策的最优多重停止方法Seric Dahlgrena，Tim Leungb，*纽约哥伦比亚大学地球与环境工程系阿伦费斯特可持续能源中心，NY 10027摘要传统上，能源和材料加工行业的特点是大规模的实物资本，是定制的，具有较长的交付周期和较长的使用寿命。然而，最近在低成本自动化方面的技术进步使大量小型和模块化生产装置的并行运行成为可能。为了适应大规模生产，这些单位可以更灵活地部署，但他们也可能有更快的营业额。这种范式转变促使人们分析交付周期和寿命对基础设施投资决策的综合影响。为了对潜在的realoption进行估值，我们引入了一种最优的多次停止方法，该方法考虑了运营灵活性、交付周期引起的延迟以及多个（有限/有限）未来投资机会。我们提供了企业价值函数和最优停止规则的分析特征。这使我们开发了一个迭代的数值方案，并研究了投资决策如何依赖于交付周期和寿命，以及其他参数。此外，我们的模型可用于分析使小规模（短交付周期、短寿命）替代方案与传统大规模基础设施竞争的关键投资成本。关键词：最优多次停车、实物期权、基础设施投资、交付周期、运营灵活性2010 MSC:60G40、62L15、62L20JEL:C41、G13、H541。介绍能源和材料（例如：。

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2022-5-7 10:30:43

水和石油化工）加工业是一个传统的特点是单位规模的实体资本非常大。例如，额定功率为100兆瓦的独立发电机，每天容量为10万巴的蒸馏塔，以及能够运输400吨矿石的采矿卡车*相应的authorEmail地址：ed2405@columbia.edu（埃里克·达尔格伦），leung@ieor.columbia.edu（Tim Leung）2018年10月29日提交给爱思唯尔的预印本是其各自行业的常见尺寸。然而，最近出现的低成本自动化技术使得模块化、小规模和潜在的分布式方法成为可能，具有可比的总生产能力。这就需要重新审视当前的“大德国更好”的公共政策。事实上，如Dahlgren等人（2013年）所述，放弃单位规模经济而转向大规模生产经济带来了几个机会。与典型的大型资本具有25年或更长的使用寿命相比，小型和大规模生产的设备的实际使用寿命可能要短得多。这可以是在施工中设计的，也可以是在有限的维护计划下运行的。此外，随着单位规模的缩小，可以按库存生产，大大缩短投资和运营之间的交付周期。这些因素为企业提供了参与和退出特定活动的额外灵活性，在投资估值和决策中应予以考虑。在这种预期范式转变的推动下，我们在这里介绍了一个框架，该框架结合了运营灵活性、交付周期、资本寿命和多个（有限/有限）未来投资机会。

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大多数88

2022-5-7 10:30:47

为此，我们制定了一个最优多重停止问题，即企业从连续投资中最大化预期贴现回报。特别是，该项目的奖励功能捕获了暂时暂停生产的运营灵活性，以避免负现金流。此外，它明确取决于两个关键因素，即寿命和交付周期。在产能约束下，公司的非执行性投资按资本寿命进行分离（或折射）。因此，该公司的投资决策与报酬上写的远期启动摆动期权的估值相似。我们的主要结果是描述了企业的价值函数和最优停止规则。多重投资的最佳时机由一系列临界价格阈值描述。此外，在投资机会有限的情况下，这些人力资源存量呈下降趋势，并收敛到相应的水平。我们的分析适用于一种迭代算法，该算法数值求解最优值函数和所有练习阈值，这与现有文献中关于摆动类型选项的模拟方法相反（Meinshausen和Hambly，2004；Chiara等人，2007；Bender，201 1）。我们将检查交付周期和寿命以及其他参数对投资决策的影响。此外，我们的模型还可用于分析使小规模（交付周期短、寿命短）替代方案与传统大型基础设施具有竞争力的关键投资成本。众所周知，投资决策的实物期权方法可以将项目价值提高到经典净现值（NPV）ar guments（Sick and Gamba，2010；D ixit and Pindyck，1994）中所述的价值之上。

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2022-5-7 10:30:50

由于其固有的短视性，NPVA方法无法捕捉时机的灵活性，因为它最多只能给决策者一个指示，表明当前是否应该进行单一投资。标准实物投资期权分析解决了这一局限性。在Kaslow和Pindyck（1994）等书中，可以找到关于个人投资决策的此类分析的实施示例；弗雷尔和乌卢代尔（2001）；Lumley和Zervos（2001）；Carelli等人（2010年）和Westner和Madlener（2012年）。尽管如此，多个连续投资的估值在相关行业中并未受到太多关注。在当前的para digm中，个人投资通常都是大型且长期的，因此公司的下一个投资决策，包括产能置换，将是遥远的未来。在如此长的时间范围内，贴现将使未来现金流量降至最低现值。然而，由于提前期和寿命较短，未来投资可能会对当前的资本预算决策产生重大影响，我们将在本文中展示。我们的估值方法考虑了多种可能是有限的未来投资选项，这反过来又允许比较不同寿命期的资本投资。为了举例说明，让我们比较两个生命周期不同的项目，即一个10年，另一个3年。为了解决投资期限的差异，一种方法是考虑30年的更长期限，3和10的最小公倍数，并比较相应的净现值。然而，这种方法隐含地假设在每个生命周期结束时无需连续投资。

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2022-5-7 10:30:55

这对公司来说可能不是最佳选择，因为它忽略了每个投资决策中嵌入的时机选择。我们估值框架的另一个特点是，根据市场情况，灵活地推迟未来投资。与成对比较相比的另一个优点是，我们可以很容易地检查投资时间对不同模型参数的敏感程度，尤其是对于所有交付周期和使用寿命。我们承认，资本的持久性是一个路径依赖变量，导致了可变的寿命。相比之下，我们的方法使用的是独立于运营频率的固定寿命，它可能有利于资本的假定现状，具有更长的规定寿命。我们对固定寿命的选择，虽然很简单，但源于模型可处理性和现实细节之间的权衡。在能源交付合同中，摆动期权的使用最为普遍，持有人有权在每个时间段开始时改变或“摆动”交易量（Jaillet et al.，2004；Deng和Oren，2006）。与固定期限合同不同，我们设定的唯一时间限制是连续投资之间的最小折射时间。因此，摇摆合同的估值可以表述为折射最优多次停止问题（参见Carmona和Touzi（20 08）；Carmona a and Dayanik（2008））。其他涉及多种操作的金融应用包括员工股票期权估值（Leung and Sircar，2009；Grasselli a and Henderson，2009）和实物资产运营（Ludkovski，2008）。本文的结构如下。在第二节中，我们将投资决策归结为一个一般的最优多重停止问题。

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2022-5-7 10:30:58

我们还引入了一个奖励功能，该功能结合了暂时关闭生产以避免负现金流的灵活性。在下一节中，我们陈述并证明了多重停止问题具有明确停止边界的一般正向函数的充分条件。我们还提出了一种算法方法来寻找解决方案。在第4节中，我们在基础设施投资的背景下进一步激励和分析特定的回报函数，并给出数值结果。这些结果包括使用寿命和交付周期较短的投资情景与使用寿命和交付周期相对较长的传统情景的比较。最后，第5节讨论了结束语和可能的扩展。2.问题公式我们认为一家公司有能力投资于在特定市场生产单一商品的资本设备。此外，我们假设该公司是该市场的价格接受者，并受到有限的产能限制。这些条件意味着投资决策将是“砰砰”型的，也就是说，要么投资到这个限度，要么根本不投资。从运营成本的角度来看，我们不知道总产能是一个大单位还是10000个小单位。在这种情况下，我们可以不失概括性地以单位产能为基础分析投资时机。我们考虑了一种外生的、确定性的投资成本I（T，ν），它取决于寿命、T和提前期，以及其他因素。这两个参数都被认为是决定性的，也直接影响单个投资的净现值ψ。此外，我们认为企业使用的贴现率r也是外生的、恒定的。在此背景下，我们定义了一个完整的概率空间(Ohm, F、 P），配备过滤器F=（英尺）t≥0

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2022-5-7 10:31:01

让（Xt）t≥0是一个适应英国《金融时报》的产出价格流程。投资产生（f（Xt））t形式的大量现金流≥0，其中f是企业已知的函数。未来现金流的预期贴现流减去初始投资成本，得出净现值ψ（x；T，ν）=-I（T，ν）+Zν+Tνe-rtEFX0，xtdt，0<x<∞, （1）这里我们介绍了条件符号X0，xt≡ {Xt | X=X}。（1）中的表达式有助于阐明提前期ν作为支出I和开始运营之间的时间以及获得现金流f（Xt）的作用。在任何给定的时间点上都可以活动的容量的限制，正如上面讨论的作为价格接受者的假设所暗示的，自然引入了折射时间的概念。也就是说，两个连续的投资必须分开，至少有一个时间T，即资本的寿命。由于这是对企业投资策略的唯一限制，k个连续投资的值v（k）（x；T，ν）可以表示为一个最优多重停止问题v（k）（x；T，ν）=sup~τ∈SkE（kXi=1e）-rτiψ（X0，xτi，T，ν）），0<x<∞. （2）该集合跳过所有受影响的停止时间的集合τ=（τ，τ，…，τk），即τi- τi-1.≥ T fori=2，3，k、在这一要求下，没有任何东西可以阻止公司连续进行两次投资，并实现无缝过渡。这是因为投资未来资本的决定可以在当前投资到期之前做出。假设（2）中确实存在一个最小上界，我们可以在sk中包含停止向量，其中τp=τp+1=····=τk=∞, P≤ K

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能者818

2022-5-7 10:31:05

对于这样一个停止规则，v（k）可以被解释为合同的值，而不是在调用每个练习时。（2）中存在上确界的默认假设意味着-rtψ（Xt；T，ν）是可积且有限的→∞E{E-rtψ（Xt；T，ν）}=0，对于T和ν的每一个选择。为了简洁起见，我们将抑制ψ、v（k）和I中的参数T和ν，除非需要这种依赖关系。由于公司可以自由选择每项投资的时间，直到折射时间T的条件，以下命题高度强调了投资决策中的期权性。附录A提案1中提供了证据。函数v（k）（x），k≥ 1，满意度，v（k）（x）=sup~τ∈SkE（kXi=1e）-rτiψ+（X0，xτi）），（3）其中ψ+（x）=max{0，ψ（x）}。命题1揭示了在ψ（x）的负区域进行投资从来都不是最优的。这是因为该公司有延迟投资的灵活性，因此，渠道可以避免价值损失。我们现在考虑几何布朗运动（GBM）模型下（1）和（2）中的公式。具体而言，我们通过随机微分方程（SDE）对产出价格过程建模：dXt=αXtdt+σXtdBt，X∈ (0, ∞), （4） where（Bt）t≥0是标准的布朗运动。漂移率α和方差参数σ均假定为常数。我们表示F=（Ft）t≥0作为B产生的过滤。从公司的角度来看，我们假设投资现金流是（4）建模的不确定产出价格Xt和恒定运营成本c之间的差异（第4节，我们表明，这种计算相当于现金流是两个GBM的差异，可能是相关的，通过改变度量）此外，如果成本超过产出价格，公司有运营灵活性暂停生产。

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2022-5-7 10:31:09

因此，未来任何时间t的有效投资现金流f（X0，xt）由f（X0，xt）给出=X0，xt- C+, （5）在哪里（Xt）- c） +=max{0，Xt- c} 。因此，在（5）中，f（X0，xt）的期望值可以被视为执行价为c且到期日为t的X上的欧洲看涨期权的价格（参见McDonald和Siegel（1985）），即X0，xt- C+o=xΦ（d+（t））eαt- cΦ（d）-（t）式中Φ为标准正态累积分布函数，式中d±（t）=自然对数xc+α ±σT/σ√T将其应用于（1），奖励函数ψ（x）变成ψ（x）=-I+Zν+TνxΦ（d+（t））eαt- cΦ（d）-（t） )E-rtdt。在这种情况下，我们将最优多重停止问题转化为一系列最优单一停止问题。更精确地说，我们表示值v（k）（x）asv（k）（x）=supτk∈东南方E-rτkψ（k）（X0，xτk）. （6）集合S是所有F-停止时间和ψ（k）（x）=ψ（x）+e的集合-rTEv（k）-1）（X0，xT）, v（0）≡ 0 .通过构造，容许停止时间（τ，…，τk）再次折射至少t（年）。根据标准的最优停止理论，斯奈尔包络线E-rtv（k）（Xt）T≥0被构造为控制该过程的最小上乘函数E-rtψ（k）（Xt）T≥关于在更一般的框架下这种方法的更多细节，我们参考Carmona和Touzi（2008）。分析结果在本节中，我们对（6）中的最优停车问题进行了分析研究。我们的主要结果是对everyk的值函数和最优停止规则的表征≥ 1.投资机会（见定理1）。这导致我们开发了一种迭代方法，以确定值函数v（k）（x）和o pt imal运动边界x*k（见推论1），这将是第4.1节中介绍的数值算法的基础。在实际投资的背景下，让我们讨论关于一般报酬函数ψ的一些条件。

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大多数88

2022-5-7 10:31:13

首先，我们假设ψ是连续的、递增的且充分光滑的。此外，我们假设存在一个唯一的盈亏平衡点x>0，其中ψ（x）=0，对于x<x，ψ（x）<0，对于x>x，ψ（x）>0。最后，我们注意到ψ（x）由x的某个有效函数所限定。这样一个界，加上贴现率超过基础过程的漂移率α的假设，确保永久等待将导致预期回报为零，即limt→∞E{E-rtψ（Xt）}=0。在这种情况下，我们将首先分析具有单一投资机会的实物期权问题，这将是解决最优多重停止问题的基础。3.1. 最优单停问题我们首先考虑最优单停问题v（1）（x）=supτ∈东南方E-rτψ（X0，xτ）. （7）这个问题类似于支付ψ的永久美式期权的定价。考虑问题（7）的候选停止时间：τx*= inf{t≥ 0 | X0，xt≥ 十、*, x>0}，阈值为x*> 0.通过著名的拉普拉斯变换（Laplace transform of First Passation time of X），参见例如（Shreve，2004，p.346），我们得到了X的≤ 十、*,埃尼-rτx*ψ（X0，xτx）*)o=ψ（x）*)xx*γ、（8）在哪里=-ασ+s-ασ+2rσ。请注意，条件r>α意味着γ>1。如果x≥ 十、*, 然后τx*= 0和v（1）（x）=ψ（x）。从（8）中我们可以看到x的一个必要条件*作为一个最优停止边界y是thatx*最大化ψ（x）/xγ。ψ（x）上的线性界保证了这样一个极大值的存在。x=x时最大值的一阶条件*由ddxψ（x）xγ给出x=x*=十、*ψ′（x）*) - γψ（x）*)（十）*)γ+1≡ -∧ψ（x）*)（十）*)γ+1= 0 <=> ∧ψ（x）*) = 0，（9）其中我们引入了运算符符号∧=γ -xddx.

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2022-5-7 10:31:16

第二个或第二个条件，有助于证明一个最大值以及上述一阶条件，然后可以超越asddxψ（x）xγx=x*= -ddx∧ψ（x）*)（十）*)γ+1< 0 <=>ddx∧ψ（x）*) > 注意，在x处ψ（x）/xγ的最大值*不是最优停止规则τx的充分条件*对于一般的奖励函数ψ。人们还必须证明这一点E-rtv（1）（Xt）T≥0满足了τx选择的超马氏性*. 下面的引理给出了τx的充分条件*成为问题（7）的最佳停止规则。引理1。设ψ：R+→ R是单停问题（7）中的一个奖励函数。如果x*R+和ifddx∧ψ（x）上ψ（x）/xγ的isa全局最大值≡ (γ - 1） ψ′（x）- xψ′（x）≥ 0，x≥ 十、*, （10） thenv（1）（x）=ψ（x）∨ 十、*)1.∧xx*γ, 十、∈ R+，其中v（1）（x）在R+上是连续的。备注1。一阶条件∧ψ（x）*) = 0 in（9），以及（d/dx）∧ψ（x）的条件≥ 0，x≥ 十、*, 对大x的奖励函数ψ（x）的二阶导数（凸性）进行限制，直到在x=x时达到ψ（x）/xγ的最大值*, 函数ψ（x）在x=x左边的性质*这无关紧要。因此，引理1中的条件比施加e的漂移项限制更小-rtψ（Xt）对于所有Xt都是单调的，如（Dixit and Pindyck，1994，pp.128-130）所述，作为x=x处连接停止边界的有效条件的一部分*对于ψ（x）的永久美国人调用。证明：从（8）我们知道^v（x），其中^v（x）=（ψ（x）*)xx*γ、 x<x*,ψ（x），x≥ 十、*,（11）是解决方案的候选者。从ψ（x）的条件来看，对于x≥ 十、*,∧ψ（x）=γψ（x）- xψ′（x）≥ 0，（12）ddx∧ψ（x）=（γ）- 1） ψ′（x）- xψ′（x）≥ 0

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2022-5-7 10:31:20

（13）看看e的漂移术语-rt^v（Xt），E判定元件-rt^v（Xt）= E-rtψ（x）*)（十）*)γ-r+αγ+σγ（γ- 1){Xt≤十、*}dt+e-rt-rψ（Xt）+αXtψ′（Xt）+σXtψ′（Xt）{Xt≥十、*}dt，（14）我们观察到，从（12）和（13）中，第一项相同地消失，第二项不为正。因此-rt^v（Xt））t≥0是一个超鞅，这意味着^v（x）=EE-r（0∧τ） ^v（X0，X0）∧τ)≥ EE-r（t）∧τ） ^v（X0，xt）∧τ), τ ∈ S.（15）ψ（x）上的线性b意味着e-r（t）∧τ） ^v（X0，xt）∧τ）是可积的。还有，接受限制→ ∞ in（15）和最大化τ产量：^v（x）≥ supτ∈东南方E-rτψ（X0，xτ）. （16）对于一般的基础过程X，可以应用局部化过程来消除de的鞅项-rt^v（Xt）根据预期。相反，选择特定的停止时间τ=τx*, 过程E-r（t）∧τx*)^v（Xt）∧τx*)T≥0是构造的鞅，因此^v（x）=Ene-r（t）∧τx*)^v（Xt）∧τx*)o=Ene-rτx*^v（x）*)o=Ene-rτx*ψ（x）*)o≤ supτ∈东南方E-rτψ（X0，xτ）. （17）（16）和（17）中的表达式一起给出了期望的结果，^v（x）=v（x）=supτ∈东南方E-rτψ（X0，xτ）. 3.2. 最优多重停止问题利用引理1和命题1，我们现在可以陈述主要结果。有关证明，请参见附录B。定理1。设ψ：R+→ R是一个具有盈亏平衡点x的奖励函数。如果∧ψ（x）是x的凸∈ （十），∞), 对于大x，∧ψ（x）inc，则对于每k≥ 1，这里有一个x*k> xsuch thatv（k）（x）=ψ（k）（x）∨ 十、*（k）1.∧xx*Kγ, K≥ 其中ψ（k）（x）=ψ（x）+e-rTEv（k）-1）（X0，xT）. （19）此外，序列（x*k） k≥1正在严格减少，并且v（k）K≥1是R+上连续函数的严格递增序列。而且，对于任何有界子集D 存在常数KD，使得v（k）（x）≤ KD代表x∈ D和k≥ 1.从计算的角度来看，通过hu（k）（x）=∧v（k）（x）=∧ψ（k）（x）11{x引入辅助函数u（k）是很方便的≥十、*k} 。

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2022-5-7 10:31:24

（20）在ψ（x）（以线性函数为界，∧ψ（x）在（x）上的凸性，∞) 对于大x，∧ψ（x）增加，我们可以用与定理1中v（k）类似的方式证明：u（k）K≥1是一个不断增加的连续函数序列，它建立在每一个未定义的子集D上 R+。给定函数u（k）（x），我们可以通过hv（k）（x）=xγ重构值函数v（k）（x）ψ（k）（x）*k）（十）*k） γ-Zxy-γ-1u（k）（y）dy. （21）注意，由于u（k）（x）=0表示x<x*k（21）中没有收敛问题。作为定理1的结果，我们得到以下结果。推论1。函数u（k）（x），对于k=1，2，满足感（k）（x）=∧ψ（x）+e-rTEu（k）-1）（X0，xT）{x≥十、*k} ，u（0）（x）≡ 0，（22）边界点x*kis是解决问题的唯一方法∧ψ（x）*k） +e-rTEnu（k-1）（X0，x）*kT）o=0，ddx∧ψ（x）+e-rTEu（k）-1）（X0，xT）x=x*> 0 （23）推论1和方程式（21）概述了用于找到（6）解的归纳算法。下一节将详细介绍实施过程。现在仍然需要考虑在有限多个行使权的限制下，最优多重停止问题的解的行为。也就是说，我们将调查valuefunctionv(∞)（x） =sup~τ∈s∞E（Xn）≥1e-rτnψ（X0，xτn））。（24）自（e）-RTAX）t≥0，其中ax>ax- B≥ ψ（x）是所有Xtand的上鞅，因为断裂停止时间（τn）n≥1满足τn≥ （n）- 1）我们有(∞)（十）≤ E(∞Xn=1e-rτnaX0，xτn）≤∞Xi=0EE-riTaX0，xiT=ax1- E-（r）-α） T.（25）也就是说，v(∞)（x）在R+的每个有界子集上都有界。通过（24）中的积分定义，该界限确保了v的连续性(∞)（x）在R+的每个有界子集上。最后，给出以下收敛结果。提议2。序列v（k）（x）一致收敛于v(∞)（x）在R+的每个有界区间上。证明：在不丧失基本通用性的情况下，我们假设x≤ M

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2022-5-7 10:31:27

让（τ）*N∞)N≥1be值函数v的非最佳停止规则(∞)（x）在第24页。利用（25）中类似的论点，用f（x）=ax边界ψ（x），我们得到v(∞)（x） =E（kXn=1e）-rτ*N∞ψ（X0，xτ）*N∞) +∞Xn=k+1e-rτ*N∞ψ（X0，xτ）*N∞))≤ v（k）（x）+E(∞Xn=k+1e-rτ*N∞f（X0，xτ）*N∞))≤ v（k）（x）+aMe-（r）-α） kT1- E-（r）-α） T.（26）在第二步中，我们使用了（τ）*N∞)kn=1是v（k）（x）的一个允许但并非必要的最优停止规则。和x≤ 从定理1可知（v（k））k≥1严格递增且有界，因此在[0，M]上收敛。v（k）的统一m收敛→ 五(∞)在x上∈ [0，M]然后从（26）开始。4.基础设施投资的应用在本节中，我们将第3节中的分析结果应用于基础设施投资问题，并讨论数值实现。此外，我们还研究了寿命T和提前期ν等关键参数以及工艺参数对结果的敏感性。最后，利用所提出的框架将寿命和交付周期相对较短的投资场景与寿命和交付周期都较长的场景进行比较。这样的比较将揭示短期情景的关键投资成本，它将与长期情景相竞争。回顾第2节中的现金流f（Xt），我们在其中纳入了暂时暂停生产以避免负现金流的可行性，即f（Xt）=（Xt）- c） +。与该现金流相关的奖励函数为ψ（x）=-I+Zν+TνxΦ（d+（t））eαt- cΦ（d）-（t） )E-rtdt，（27）式中±（t）=自然对数xc+α ±σT/σ√t、（28）由于f（Xt）以Xt为界，人们认识到有一个线性函数以ψ（x）为界。研究ψ（x）的导数得到ψ′（x）=Zν+TνddxxΦ（d+（t））eαt- cΦ（d）-（t） )E-rtdt=Zν+TνΦ（d+（T））e-（r）-α） tdt>0。

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2022-5-7 10:31:31

（29）在第二步中，我们将积分中的导数识别为欧洲看涨期权的delta。从m（27）-（29）我们看到ψ（x）是连续的，并且在x中增加→0ψ（x）=-I<0存在唯一的盈亏平衡点x。因此，ψ（x）满足第3.1节给出的奖励函数定义中的所有条件。通过差异，我们发现ddx[λψ（x）]=Zν+Tνφ（d+（T））xσT(γ - 1)σ√t+d+（t）E-（r）-α） tdt，其中φ（x）是正态分布的密度函数。可以看出∧ψ（x）是所有x的凸≥ x′，其中x′=c exp-α + γσ-σν. 反过来，如果x≥ x′，通过在I上施加一个下边界来确定，那么∧ψ（x）在（x）上是凸的，∞), 因此，定理1的所有条件都得到满足，推论1中概述的算法也可以应用。如果取消了暂停运营的运营灵活性，那么预期现金流可以很容易地整合，在这种情况下，奖励函数ψ（x）将为ψ（x）=-I+Zν+Tνe-rtEX0，xt- Cdt=a（ν，T）x+b（ν，T），其中a（ν，T）和b（ν，T）仅是提前期和寿命的函数。也就是说，在没有操作灵活性的情况下，奖励函数ψ（x）在x中显然是线性的，使得∧ψ（x）在R+上是凸的，因此定理1也适用于这种情况。4.1. 上面（20）和（21）中u（k）（x）和v（k）（x）的表达式构成了我们的数值算法的基础，其中u（k）（x）、v（k）（x）和x*kare计算了k=1，2，3。下面的计算是在由500个点组成的网格上进行的，这些点的间距在0和xmax之间，后者由过程和模型参数确定。（2）中期望值的计算由于u（k）的事实而变得复杂-1）（x）不受R+的限制。

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2022-5-7 10:31:34

然而，由于我们在（27）中选择的奖励函数ψ（x）近似于大x，所以∧ψ（x）a和u（k）也是如此-1）（十）。而不是截断分布，我们可以代替线性外推u（k-1）（x）在给定网格之外。自（x）*k） k≥1在减少时，网格的必要范围主要取决于x*. 具体地说，Xmax被选为x左右99.9%置信区间的上界*,xmax=expln（x）*) +α -σT+3.29σ√T.xmax的选择，加上网格点的数量，是一个可以接受的折衷方案，这两个方案都有足够大的网格来确保u（k）的线性行为-1）（x）没有无法使用的计算复杂性。当比较不同的场景时，即T、ν和i的不同值时，使用了最大的网格。使用梯形方法，计算（22）中的期望值u（k）-1）（X0，xT）=Zxmaxu（k-1）（z）g（z；x，T，α，σ）dz+z^xxmax（kz+m）g（z；x，T，α，σ）dz，（30），其中kz+m是u（k）的线性外推-1）对于x>xmax，其中g（z；x，T，α，σ）是对数正态分布的密度函数。选择（30）中的上限^x，以使分布的支持包含一个围绕x的双边置信区间，即外汇≤ xmax。边界点x*kwere在（2-3）的凸函数上使用了一种简单的二分法。u（k）（x）的计算，以及x的lso*kand v（k）（x）终止于公差ε，定义为ε=|u（k）- u（k）-1） |u（k）|，（31）已达到ε≤ 10-3.这种公差产生的溶液v（k）（x）在v的0.1%范围内(∞)（x），考虑到基础参数估计中的合理误差，该精度可能足够高。

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能者818

2022-5-7 10:31:38

在下面的结果中，我们用x表示*∞和v(∞)（x）根据（31）中的公差，算法hm终止时的停止边界和值函数。图1展示了值函数v（k）（x）和停止边界x的算法的收敛性*分别地。下表1给出了计算中使用的默认参数值。固定成本参数（I和c）或其比值I/c=10的选择源于相关行业的观察结果。最近关于能源投资和大宗商品的研究报告称，价格波动在20%左右，尽管它们偶尔会经历短期的大幅上涨（见Westner和Madlener（2012）；杰曼和奥哈纳（2009）。因此，设置σ=20%相当于一个相对保守的选择，因为较低的可用性有利于维持现状。然而，我们还将研究图5中相对较高的波动率（σ=40%）情景。此外，使用有效贴现率（r-α） 5%的比例也与相关领域的文献中的例子一致，如Frayer和Uludere（2001）。总的来说，参数值的选择虽然合理，但主要用于说明目的。根据定理1，v（k）（x）K≥1严格递增，停止边界的顺序（x*k） k≥1严格来说是在减少。在图1（左）中，我们看到值函数随着每次迭代而单调增加。经过50次迭代后，上述公差ε小于10-5.此外，我们注意到，对于较大的e x，值函数呈线性。在图1（右）中，停止边界y x*Kd从0.85迅速下降到0.44，我们提到盈亏平衡点是x=0.33。即使经过20次迭代，收敛性也很明显。

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2022-5-7 10:31:41

特别是停止边界x*= 第一次迭代的0.85（见（9））帮助我们定义网格的上边界和X轴。停止边界x*kis指的是考虑到k的选择，第一笔投资应达到或高于的价格水平-1.以后再进行投资，每项投资在时间上至少间隔一辈子。由于企业很少有固定数量的投资续签，因此*∞最重要的是。对比x的值*到x*∞揭示了未来投资选择对当前投资决策的影响。在图1中，练习次数（迭代次数）为k=50，加上T=5年的寿命，给出了超过250年的时间范围。在合理的情况下，这种时间范围实际上是有限的。另一方面，在k较大的情况下，剩余投资机会的数量对第一次投资时机的影响较小。x的收敛性证明了这一点*随着k的增加，k达到一个恒定的水平。通过数值试验，我们发现折射时间（寿命）对收敛速度没有很大影响。由于贴现系数e，这是直观的-在（22）中定义u（k）（x），减少迭代过程中的差异。另一方面，提前期描述参数值Lifetime T 5提前期ν1投资成本I运营成本c 0.1贴现率r 10%漂移率α5%波动率σ20%表1：计算中使用的默认参数值。ν对收敛速度的影响要小得多，因为它只影响第一次投资的时机。在下一小节中，我们将进一步研究寿命和交付周期的影响。0.2 0.4 0.6 0.8 10246810121416价值函数，v（k）（x）价格，x0 10 20 30 500.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.9停止边界，x*k数，k图1：（左）值函数v（k）（x）的收敛性，对于k=1。

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2022-5-7 10:31:44

, 50. （右）停止边界x*KDE在迭代过程中迅速衰减。4.2. 敏感性分析我们将首先调查x的敏感性*∞关于工艺参数α和σ。之后，我们研究了x射线和x射线的敏感性*∞值函数v(∞)（x）关于寿命T和提前期ν的主要模型参数。漂移率αcor r的低值对应于更高的“有效”贴现率r-α、有时被称为便利收益。这降低了未来投资的现值，这解释了x和x之间的微小差异*还有x*∞关于小α，请参见图2（左）。相反，基础资产的更高漂移率会提高未来投资的价值。这将在停止边界x之间驱动一个GR齿楔*与停止边界x相比的单个投资*∞对大型企业进行多次连续投资。因此，这强调了在高漂移率环境中，将未来投资纳入当前决策的重要性。请注意，如果降低计数ra t e r，则预期会出现相同的结果，但条件仍然是r- α > 0. 在图中，我们观察到，随着α接近r（10%），运动边界x*k、 k=1，2，3，迅速增加。这是直观的，因为理论上，α的最佳运动边界是有限的≥ r、 x也会出现同样的现象*∞当α非常接近r时。-0.04-0.02 0.02 0.04 0.06 0.0800.20.40.60.811.21.41.61.82停止边界，x*漂移率，αx*1x*2x*3倍*∞0.1 0.2 0.3 0.40.20.40.60.811.21.41.6停止边界，x*波动率σx*1x*2x*3倍*∞图2：最佳停车边界x的灵敏度*千瓦。r、 t.漂移率α（左），w.r.t.波动率σ（右）。在图2（右图）中，我们看到o pt ima l运动边界x*∞随着波动率σ的增加而增加。

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2022-5-7 10:31:48

这表明，在更不稳定的环境中，企业将要求更高的输出价格水平才能进入市场。我们观察到，对于有限的k，k=1，2，3，a以及有限的情况，其增长模式为。现在，我们来研究寿命T（主要关注的参数）对停止边界x的影响*k值v（k）（x），相同固定成本I=1。首先，在图3中，我们观察到x和*还有x*∞长寿命（T≥ 20). 从直觉上看，由于贴现系数e，20年或20年以上额外投资的增量价值最小-rTin（22）和（23）。因此，在很长的生命周期内，未来的投资决策不会显著影响当前的投资决策。然而，对于非常短的寿命，T<2，在一次和有限的投资机会（即x*vs.x*∞对于小T）。在寿命为5至15年的中间制度中，我们观察到，仅包括一个或两个未来投资决策将显著影响有关第一次投资的决策。在有限和有限的情况下，最佳运动边界随着寿命的延长而迅速衰减。例如，x*∞使用寿命为10年或更长。考虑到价值v(∞)（x）在不同生命周期的多重投资情景中，我们观察到一种类似于停止bo Dary的趋势。为短命资本增加一年寿命的边际影响是显著的。然而，对于寿命更长的资本来说，这种影响会急剧增加。例如，如图3所示，在相同的投资成本I和相同的交付周期ν下，寿命为25年的资本l的多次投资价值与寿命为5年的资本几乎相同。

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可人4

2022-5-7 10:31:51

即使投资5 10 15 20 2500.511.522.53停止边界*kLifetime，T x*1x*2x*3倍*∞00.511.525101520025010203040价格，xLifetime，TValue，v(∞ )（x，T）图3：（左）最佳停车边界x*K随着寿命T的增加而减少。（右）价值观(∞)（x，T）相对于基本价格水平x和寿命T增加。成本是一样的，在寿命较短的情况下，未来投资时机的灵活性增加，使得它们几乎同样具有吸引力。0 1 2 3 4 500.511.5停止边界，x*克莱德时间，νx*1x*2x*3倍*∞0 1 2 3 4 55.566.577.588.599.5值函数，v(∞ )（x0，Ti，ν）提前期，νT=5T=10T=15T=20图4：（左）最佳停车边界x*k对于不同的交付周期，相同的成本i=1。（右）v值(∞)（x，Ti，ν）在x=0.5和forTi=5,10,15,20时，评估不同的提前期ν。如图4（左）所示，交付周期基本上不会影响x*∞, 也没有x之间的差异*还有x*∞在固定的ν。换句话说，不同的交付周期（在给定范围内）几乎不会影响企业的投资决策。这是意料之中的，因为无论交付周期长短，SeamlessConcertive投资都是可能的。另一方面，相对于投资成本的支出，较长的交付周期会延迟收入的产生。因此，增加交付周期会降低未来每项投资的净现值。这解释了图4（右图）中价值函数v（k）相对于提前期的下降趋势。

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2022-5-7 10:31:56

综上所述，公司将通过更长的投资前置时间实现更低的价值，即使相应的执行边界变化不大。显示值v(∞)在不同的交付周期ν和固定价格水平下，但对于生命周期的几个价值，T再次显示了增加生命周期资本的收益递减。从第2节中，我们知道rewa r d函数ψ可以解释为不确定输出价格X上的欧式看涨期权的和（积分），行使c和期限在整个生命周期内变化。由于提高欧式看涨期权的履约价格会降低其价值，因此成本参数c对价值v（k）有相同的影响，这反过来又会提高违约边界x*k、通过类似的推理，I也是如此。最后，我们研究了短期和长期投资暂停生产的选择权的价值。图5比较了两种情况：短期投资（T=5，ν=0.5）和长期投资（T=25，ν=5），波动率σ分别为20%和40%。请注意，在这两种情况下，都使用了I=1的投资成本，这解释了短期资本的停止成本相对较高。在这个例子中，无论波动性如何，在短期情景中，运营灵活性似乎几乎不会影响投资决策。对于低波动性，同样的差异也出现在长期情景中，如图5（右）。然而，与短命情景相比，在长期情景下，在高波动性下，操作选项会导致更早的投资时机。

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2022-5-7 10:31:59

比较图5的左面板和右面板，我们可以看到一个较短的lifespan为未来的投资提供了更高的阈值。0 10 20 30 40 500.40.50.60.70.80.911.11.21.31.4停车边界，Xkitation，k有弹性，σ=20%无弹性，σ=20%有弹性，σ=40%无弹性，σ=40%无弹性，σ=0 10 20 30 40 500.250.30.350.40.450.50.550.60.65停车边界，Xkitation，k有弹性，σ=20%无弹性，σ=20%有弹性，σ=40%无弹性，σ=40%图5：（左）短期情景的停止边界，其中资本的寿命T=5年，交付周期ν=0.5年。（右图）在一个长期场景中停止边界，其中Capital的寿命T=25年，交付周期ν=5年。这种运营灵活性特征通常与竞争性和不规范的市场有关，而本文中的许多相关行业传统上都是在监管环境中运营的。此外，可以说，传统的“越大越好”范式在历史上一直要求对市场进行监管，因为在生产规模较大的行业中，往往会出现垄断。然而，可以想象的是，随着新技术的进步，这些条件可能会发生变化，从而形成更具竞争力的分布式小规模生产模式。例如，这些变化正在发生，并随后使发电中的操作灵活性可用。在美国，超过一半的州已经转向放松管制的电力市场。虽然发电商面临着许多不同的成本，但在给定市场中，各种可用发电机的调度顺序是零或运行成本的函数。也就是说，由各个生产商决定开始运营的地点。

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2022-5-7 10:32:03

应该注意的是，对一个不运行的单元的解释取决于所涉及的时间尺度。例如，小时到小时的决策通常意味着将发电机投入称为旋转备用的同步备用容量，而季节性中断对应于完全冷停。一些技术，如核能，目前运行成本相对较低，因此在调度方面领先，以满足需求（也称为基本负荷发电）。一般来说，如果生产涉及较低的暂停和恢复成本，则运营灵活性选项的价值预计会更高。最后，我们指出，如果由此产生的供应变化对市场价格产生重大影响，我们必须重新审视我们的长期假设，即企业作为价格接受者。4.3. 关键投资成本在过去的一个世纪里，能源、水和石化等许多（如果不是全部的话）基础加工行业都遵循“越大越好”的趋势。给定行业的经验为我们提供了巨大的投资成本（单位产能），以及当前模式下大规模资本的寿命和交付周期。过渡到小规模、大规模生产和模块化设备，将产生一个新的参数集合{Ismall、Tsmall、νsmall}，我们先验地只能推断出更短的寿命和交付周期。通过考虑有限的时间范围，我们可以使用本文中的框架来确定使小规模方法具有竞争力的关键投资成本。也就是说，对于给定的参考系综{Ilarge，Tlarge，νlarge}，我们发现对于Tsmallandνsmallan Icritsuch的每一个选择(∞)小的≥ 五(∞)大的，前提是≤ 是的。观察到的单位面积增加的历史趋势似乎表明，总成本随着面积的增加而减少。

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2022-5-7 10:32:07

然而，我们在这里将让运行成本c独立于参数I、T和ν。为了在下面的示例中激发这种设置，我们考虑在单个位置安装的总容量，因此辅助成本，例如进出工厂的输入和输出的运输成本、管理成本、安全成本等，尽管不取决于此黑匣子内硬件的粒度。这就留下了两个可能影响运营成本的潜在规模相关因素；劳动和效率。从历史上看，必要的运营劳动力数量随着雇佣的个体单位数量的增加而增加。因此，操作更少和更大的装置可以提高劳动生产率，降低单位产量的劳动成本。然而，自动化技术的进步使得今天能够以合理的成本将所需的劳动力从单个单元的数量中分离出来。至于效率，从物理角度来看，在某些情况下，人们可以声称lar ger装置的耗散损失较低（例如，通过f r碰撞和不必要的热传递），因此效率更高，运行成本更低。另一方面，并不总是清楚这些影响有多重要。例如，对四种不同发电技术中成本的规模依赖性进行的统计分析表明，一旦去除劳动力成本，单位规模就不是影响总运营成本的重要因素（Dahlgren等人，2013）。举例来说，我们可以将单循环火力发电厂与内燃发动机进行比较，两者基本上执行相同的任务，将化学能转换为机械功。在合理的情况下，他们可以以相当的效率做到这一点。这辆汽车的发动机是按天批量生产的。

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大多数88

2022-5-7 10:32:10

另一方面，发电厂通常要到做出投资决定后的几年后才能开始运营。此外，该发电厂的设计寿命为几十年，而汽车发动机在持续运行下的使用寿命大概为几年。如果一台发动机是全自动的，用同样的燃料改装而成，并配有发电机发电，人们愿意支付多少钱？可以合理地假设，这种小型发电厂每千瓦时的运行成本与大型发电厂相当。这使得投资成本、寿命和交付周期成为大型发电厂的主要特点。我们首先分析（27）中大x的奖励函数。可以看出Φ（d±）≈ 1对于x>> c、因此，ψ（x）与ψ（x）是渐近的≈ -I+Zν+Tνxeαt- CE-rtdt=e-（r）-α） νr- α(1 - E-（r）-α） T）x-I+e-rνr（1）- E-rT）c= 斧头- b、（32）对于足够大的x值，函数u（k）也是有效的，并且u（k）（x）=∧ψ（x）+e-rTEu（k）-1）（X0，xT）≈ ∧ψ（x）+e-rTu（k）-1)EX0，xT=kXi=0E-（r）-α）它（γ- 1）斧头- E-γb,E在哪里X0，xT= 用（32）代替a，我们得到了大x:u(∞)（十）≈E-（r）-α） νr-αx-γb1- E-rT，其中斜率与寿命T无关，并在提前期内减小。从（20）中u（k）的定义可以看出，对于大x值函数v（k）（x；t，ν）也可以具有相同的性质>> c、因此，比较不同的情况，即不同的T、ν和i，提前期最短的情况下，x的最大值总是较高的。现在我们比较小规模资本的价值，这里的特点是Tsmall≤ 5年，小≤ 3年，与基准k相比，t大=25年，v大=5年，代表传统的大规模资本。

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2022-5-7 10:32:14

此外，我们设定Ilarge=1作为参考点，与恒定运营成本c=0.1（假设每个I、T和ν的选择相同）一起提供了一个相对的货币规模。0.5 1 1.5051015225价格，X值，v(∞ )（x）五(∞)大（x，I=1）v(∞)小，1（x，I1=0.5）v(∞)小，2（x，I2=1）v(∞)小，3（x，I3=1.5）0.5 1 1.500.20.40.60.811.2价格，x比率，v(∞ )小，j（x）/v(∞ )大（x）Ismall，1=0.5Ismall，2=1Ismal，3=1.5图6：（左）在不同的投资成本下，大规模投资情景（Tlarge=25和νsmall=5）与小规模类似物（Tsmall=3和dV small=0.25）的价值。图中显示了提前期较短的情况下，大价格的价值较高的结果，x.（右）显示了之前价值函数的比率v(∞)小，j（x）/v(∞)大（x）比v更清晰(∞)小型，1（x）>v(∞)大（x）代表每x。这表明存在一个关键投资成本ICRIT，因此小规模投资方案的价值超过了传统的大规模投资方案，只要价格为x≤ 是的。在图6中，值v(∞)大尺度参数集合的大（x）与v一起显示(∞)对于三种不同的投资成本，Ismall，j（x）和Tsmall=3，νsmall=0.25，Ismall，j=0.5,1,1.5。由于提前期较短，v值(∞)小，j（x）被认为超过v(∞)大（x）对于大的x值，验证上述分析。从定理1我们知道v(∞)（x）对于足够小的x值，与xγ成正比。这解释了r atio v的恒定出现(∞)小，j（x）/v(∞)图6中的大（x）表示小x。投资成本最低的情景的价值v(∞)小，1明显超过所有价格x的“大”情景的价值。

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2022-5-7 10:32:17

事实上，考虑到Tlarge、νLarge和iLarge，我们可以找到一个临界值iRit（Tsmall，νsmall），这样，只要Ismall<iRit，“小”情景的价值在任何价格水平上都更大。这导致了图7中的等高线图，它显示了不同寿命的临界值Tsmalland lead t Times，νsmall。在第4.2节中，其值为v(∞)随着使用寿命的延长而增加（见图3），随着交付周期的延长而减少（见图4）。这有助于解释图7中T和ν对应的ICRIT趋势。准确地说，在寿命较短的领域，提前期的减少会产生更高的临界投资成本，这反过来又会提高小规模方法的竞争力。例如，当Tsmall=2.5年，νsmall=0.3时，我们可以从图7中推断出Icrit=0.5。也就是说，尽管f-actor 10在寿命（t大=25年）上存在差异，但短期和长期寿命周期之间的投资成本仅需相差2倍，以使短期寿命周期更好。01231234500.20.40.60.81提前期，ν寿命，TIcrit（T，ν）图7：给定T和ν的单个小规模投资的关键投资成本Icrit（T，ν），以便在任何价格水平下，多个连续的此类投资的价值超过多个连续的大规模投资的价值。由于价值函数，对于任何选择ofT和ν，都会降低投资成本，因此我们有v(∞)（I，T，ν）≥ 五(∞)（Ilarge，Tlarge，νlarge），前提是I<Icrit（T，ν）。

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